Elementos de Topologia para Sistemas Dinâmicos

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1 Elementos de Topologia para Sistemas Dinâmicos Fernando Lucatelli Nunes Brasília - DF

2 Sumário Prefácio Conjuntos e Relações Conjuntos Noções básicas Funções Relação de Ordem Relações de Equivalência Cardinalidade Teorema de Cantor-Schroeder-Bernstein Conjunto das partes Conjuntos Enumeráveis Topologia Topologias Linguagem Básica da Topologia Continuidade Conexidade e Compacidade Espaços Hausdor Espaços Conexos Espaços conexos por caminhos Componentes conexas Espaços Compactos Rigidez Hausdor-Compacto Caracterização de espaços compactos

3 2 SUMÁRIO 3 Topologias Produto e Quociente Topologia Produto Produto Finito de Espaços Topologia Produto Topologia Quociente Espaços Métricos A Topologia da Métrica Conjuntos Limitados Espaços Vetoriais Normados Métrica da convergência uniforme Funções Contínuas Convergência Uniforme Espaços Métricos Completos Espaços topologicamente completos Espaços Métricos Compactos Semicontinuidade Inferior e Superior Grupos Topológicos Teoria Básica dos Grupos Homomorsmo de grupos Teorema de Lagrange Grupo Quociente Grupos Topológicos Sistema de vizinhanças do elemento neutro Axiomas de Separação Subgrupos de grupos topológicos Grupos topológicos quocientes

4 SUMÁRIO 3 Prefácio O principal objetivo deste texto é cobrir os pré-requisitos necessários para a leitura da referência [6]. Nessa referência, um sistema dinâmico é denido como sendo um par (X, G), onde X é um espaço métrico compacto e G é um grupo topológico agindo em G. A topologia e a análise necessárias para entender essa terminologia serão apresentadas neste texto. O capítulo 0 será dedicado à teoria dos conjuntos. Os capítulos 1, 2 e 3 são dedicados à topologia geral. Neles, são tratados os assuntos sucientes para entender (e ter uma visão mais ampla) sobre a estrutura dos espaços de fase dos sistemas dinâmicos. O capítulo 4 complementa o trabalho desenvolvido nos capítulos anteriores falando sobre espaços métricos (principal importância para a referência [6] ). Finalmente, no capítulo 5, há uma revisão de aspectos elementares de teoria básica dos grupos seguido de uma introdução a grupos topológicos (com denições e resultados mais pertinentes). A primeira versão deste texto foi parte do meu trabalho de Iniciação Cientíca pela UnB, intitulada Introdução à Dinâmica Topológica e Aplicações à Teoria dos Números, no período de Agosto/ Agosto/2010. Essa Iniciação Cientíca recebeu apoio do CNPq e foi orientada pelo professor Mauro Moraes Alves Patrão. Para mais detalhes sobre a iniciação, o relatório é a referência [7], disponibilizada na página do grupo de Teoria de Lie e Aplicações, cujo endereço é

5 4 SUMÁRIO

6 Capítulo 0 Conjuntos e Relações 0.1 Conjuntos Noções básicas Um conjunto é uma coleção de objetos e pode ser denotado ou pela lista explícita de seus objetos (quando possível), ou por uma uma regra que determine quais são seus membros. Um conjunto A é um subconjunto de B, se todo elemento de A pertencer, também, a B. Se A é subconjunto de B, denota-se A B. Dois conjuntos, A e B, são iguais, se A B e B A. O conjunto vazio é o conjunto que não possui nenhum elemento e é denotado por. Dados dois conjuntos A e B, dene-se A B = {x A : x B}. Se A B, o complementar do conjunto A relativo ao conjunto B é o conjunto A C = B A dos elementos que pertencem a B, mas não pertencem a A. Quando não há ambigüidade sobre qual é o conjunto universo (qual é o conjunto B), dizemos apenas complementar de A e denotamos A C, para nos referir a B A. Sejam A e B dois conjuntos, a união de A e B é o conjunto A B de todos elementos que pertencem ou a A, ou a B e a interseção A B é a coleção dos elementos que pertencem a A e a B simultânemente. O produto cartesiano de A e B é o conjunto A B dos pares (a, b) tais que a A e b B. Analogamente, pode-se denir o produto cartesiano de uma coleção nita ou innita de conjuntos. 5

7 6 CAPÍTULO 0. CONJUNTOS E RELAÇÕES Funções Sejam A e B conjuntos. Uma relação de A em B é um subconjunto R do A B. Quando (a, b) R, diz-se que a se relaciona com b. Uma função de A em B é uma relação F de A em B tal que (a, b), (a, c) F = b = c, quando F é uma função e (a, b) F, denota-se F (a) = b. Uma função f de A em B é denotada por f : A B. A é chamado o domínio e B é chamado o contradomínio de f. O conjunto Im(f) = {f(x) : x A} B é a imagem de f. Se Im(f) = B, a função f é chamada sobrejetiva. Se f(x) = f(y) implicar x = y, f é dita injetiva. Caso uma função seja injetiva e sobrejetiva, ela é dita bijetiva. Seja f : A B uma função. Se X B, a imagem inversa de X é o conjunto f 1 (X) = {x A : f(x) X}. Se x B, note que o conjunto f 1 (x) = {y A : f(y) = x} pode ser vazio, unitário ou um conjunto com mais de um elemento. Caso f seja injetiva, a última possibilidade é excluída e, por sua vez, caso f seja sobrejetiva a primeira possibilidade é excluída. Portanto, se f é bijetiva, necessariamente f 1 (x) = {y A : f(y) = x} é unitário e, nesse caso, então, podemos denir a função inversa de f, f 1 : B A. 0.2 Relação de Ordem Nesta seção, apresentaremos algumas denições básicas sobre ordem num conjunto A. Primeiramente, dene-se o que é ordem como segue: Denição 0.1 (Ordem) Uma ordem num conjunto A é uma relação R o de A nele mesmo que satisfaz as seguintes propriedades: 1. a A, (a, a) R o (propriedade reexiva) 2. (a, b) R o e (b, a) R o = a = b (anti-simetria) 3. (a, b) R o e (b, c) R o = (a, c) R o (transitividade) Se R o é uma relação de ordem, (a, b) R o é denotado por a b e diz-se que a é menor ou igual a b. Uma ordem num conjunto X é dita total, se a, b X, ou a b, ou b a. Caso isso não ocorra, a ordem é dita ordem parcial.

8 0.2. RELAÇÃO DE ORDEM 7 Quando um conjunto A está munido de uma ordem parcial, ele é denominado parcialmente ordenado, e ele é denominado totalmente ordenado se estiver munido de uma ordem total. Seja A um conjunto parcialmente ordenado. Se B A, então a ordem parcial de A induz uma ordem em B fazendo, para a, b B, a b se, e somente se, a b em A. Se um subconjunto B de um conjunto A parcialmente ordenado é totalmente ordenado, ele é chamado de cadeia em A. Denição 0.2 (Cotas, sup e inf) Seja A um conjunto parcialmente ordenado. Caso B A, um elemento a A é cota superior de B, se b a, b B. Analogamente, um elemento a A é cota superior de B, se a b, b B. Se existir um número s A, tal que s é cota superior de B A e: a A é cota superior de B = s a; esse número s A é chamado o supremo do conjunto B, e denota-se s = sup B. Analogamente, se existir um número I A, tal que I é cota inferior de B A e: a A é cota inferior de B = a I; esse número I A é chamado o ínmo do conjunto B, e denota-se I = inf B. Observação: Note que nem todo subconjunto B não-vazio de A possui cota superior ou cota inferior. Nem todo conjunto B A, que possua uma cota superior, possui um supremo. Analogamente nem todo conjunto B A, que possua uma cota inferior, possui um ínmo. Por exemplo, o subconjunto { x Q : x > 2 } Q possui cota inferior em Q e, no entanto, não possui ínmo. Denição 0.3 (Máximo e mínimo) Seja A um conjunto parcialmente ordenado e B A, o elemento m B é máximo em B, se m b para todo b B {m}. O elemento m B é mínimo em B, se b m para todo b B {m }. Um axioma importante e muito famoso da teoria dos conjuntos é o axioma da escolha, o qual é enunciado abaixo. Axioma 0.1 (Axioma da escolha) Se {A i } i L é uma família de conjuntos não-vazios, então existe uma função f : L j L A j tal que f(j) A j, j L.

9 8 CAPÍTULO 0. CONJUNTOS E RELAÇÕES Geralmente, fazemos uso do axioma da escolha na forma do lema de Zorn que está apresentado na forma de axioma abaixo. Axioma 0.2 (Lema de Zorn) Se A é parcialmente ordenado e toda cadeia em A possui uma cota superior, então A possui um elemento máximo. 0.3 Relações de Equivalência Denição 0.4 (Relação de equivalência) Uma relação R e é dita ser uma relação de equivalência, quando a relação é de um conjunto A nele mesmo e satisfaz as três propriedades abaixo: 1. a A, (a, a) R e (propriedade reexiva) 2. (a, b) R e = (b, a) R e (simetria) 3. (a, b) R e e (b, c) R e = (a, c) R e (transitividade) Se R e é uma relação de equivalência, (a, b) R e é denotado por a b e diz-se que a é equivalente a b. Um relação satisfazendo a propriedade 1 é chamada relação reexiva, satisfazendo a 2 é chamada relação simétrica e satisfazendo a 3 é dita relação transitiva. Um exemplo trivial de relação de equivalência num conjunto A é a igualdade =. Note que uma ordem difere-se de uma relação de equivalência apenas na propriedade 2 (a ordem parcial é anti-simétrica, enquanto a relação de equivalência é simétrica). Se é uma relação de equivalência em X, o conjunto de todos os elementos de X que são equivalentes a um dado elemento x é chamado a classe de equivalência de x. Com efeito, se x X, o conjunto x = {y X : y x} é a classe de equivalência de x. A família das classes de equivalências é denotado por X/. Seja X um conjunto munido de uma relação de equivalência. É bem fácil de vericar que, se dois elementos de um conjunto X não são relacionados, então eles possuem classes de equivalência disjuntos. E, então, escolhendo um único (elemento) representante para cada classe de equivalência em X, X é particionado pelas classes de equivalência desses representantes.

10 0.4. CARDINALIDADE 9 Exemplo Seja f : X Y uma função. Dene-se uma relação em X da seguinte forma: x y, se f(x) = f(y). Isso é uma relação de equivalência. Podemos denir uma função injetiva f : X/ Y de maneira natural, colocando f( x) = f(x). 0.4 Cardinalidade Aqui, será feita uma breve exposição sobre o tema. O objetivo é apenas mostrar alguns dos pontos importantes que serão necessários para o prosseguimento da leitura do texto. Caso o leitor identique falta de familiaridade com o assunto, ele deve consultar um livro de Teoria dos Conjuntos, como a referência [1], ou de Análise, como a referência [3] Teorema de Cantor-Schroeder-Bernstein O primeiro importante resultado sobre o tema é o teorema de Cantor-Schroeder- Bernstein. Apesar do nome, ele é simples, além de ser muito conhecido e bastante usado. Dois conjuntos A e B são, por denição, de mesma cardinalidade se existe uma bijeção φ : A B. Quando existe essa bijeção, denota-se card(a) = card(b). Antes de enunciar o teorema, será provado um lema e uma proposição. Lema 0.3 Sejam A, B conjuntos não-vazios. Existe uma sobrejeção γ : A B se, e somente se, existe uma injeção λ : B A. Prova: Com efeito, se existe uma sobrejeção γ : A B, segue que, para cada x B, podemos escolher um único y x A tal que γ(y x ) = x. Então denimos λ : B A, λ(x) = y x. Note que isso é, evidentemente, uma injeção. Reciprocamente, se existe λ : B A injetivo, xando a B qualquer, dene-se γ : A B tal que: γ(x) = λ 1 (x), se x λ(b); e γ(x) = a, se x λ(b). Note que γ é evidentemente sobrejetivo. Dizemos que card(a) card(b) (cardinalidade de A é menor ou igual à cardinalidade de B ) se existe uma injeção λ : A B. E, portanto, pelo lema precedente, isso é equivalente a existir uma sobrejeção γ : B A.

11 10 CAPÍTULO 0. CONJUNTOS E RELAÇÕES Segue uma proposição que servirá de apoio para a demonstração do teorema de Cantor-Schroeder-Bernstein. Proposição 0.4 Se B A e card(a) card(b), então A e B tem a mesma cardinalidade. Ou seja, se B A e existe uma injeção f : A B, então A e B tem a mesma cardinalidade. Prova: Com efeito, toma-se a injeção f : A B. Como B A, tem-se que f(b) f(a). E é fácil de vericar por indução que, para todo n N, f n (B) f n (A). Dene-se K = x A : x f n (A) f n (B). n N {0} E, então, dene-se h : A B tal que h(x) = f(x), se x K; e h(x) = x, se x (A K). Evidentemente, h K e h ( A K) são injetivas. Logo, para provar que h é injetiva, basta provar que, dados a K e b (A K), h(a) h(b). Bom, supõe-se por absurdo que, nessas condições, h(a) = h(b). Isso implica que f(a) = h(a) = h(b) = b. Toma-se m N tal que a (f m (A) f m (B)). Tem-se que f(a) = b f m+1 (A). E, como b K, tem-se que b f m+1 (B). Disse segue que existe t f m (B) tal que f(t) = b. Mas, pela injetividade de f, a = t f m (B). Portanto a (f m (A) f m (B)). Absurdo. Portanto deve-se ter que h(a) h(b). E isso completa a prova de que h é injetiva. Resta provar que h é sobrejetiva. Dado q B, se q B K, basta ver que h(q) = q. Caso q K B, tem-se que q (f t (A) f t (B)) para algum t N (positivo), anal q B. Note que, então, existe z f t 1 (A) tal que f(z) = q. E, també, tem-se que z f t 1 (B), pois o contrário implicaria f(z) = q f t (B) e, então, q (f t (A) f t (B)). Disso segue que z (f t 1 (A) f t 1 (B)) e, portanto, h(z) = f(z) = q. Isso completa a prova da sobrejetividade de h. Portanto h é bijeção, donde segue que card(a) = card(b). O Teorema de Cantor-Schroeder-Bernstein é enunciado e provado abaixo. Ele diz que, se card(a) card(b) e card(b) card(a), então card(a) = card(b).

12 0.4. CARDINALIDADE 11 Teorema 0.5 (Teorema de Cantor-Schroeder-Bernstein) Sejam A, B conjuntos não vazios. Se card(a) card(b) e card(b) card(a), segue que card(a) = card(b). Ou seja, se existem injeções f : A B e g : B A, então existe uma bijeção φ : A B. Prova: Com efeito, tomando as injeções f : A B e g : B A, tem-se que f : A f(a), onde f (x) = f(x), é uma bijeção entre A e f(a) B. Logo (f g) : B f(a) é uma injeção. Como f(a) B, pela proposição 0.4, segue que card(f(a)) = card(b), ou, em outras palavras, existe uma bijeção h : f(a) B. Note, então, que φ = (h f ) : A B é composição de bijeções e, portanto, bijeção. Segue, como consequência do teorema 0.5, o denominado princípio da casa dos pombos (muito usado em combinatória). Proposição 0.6 (Princípio da casa dos pombos) Se a cardinalidade de A é (estritamente) maior que a cardinalidade de B, então não existe injeção f : A B. Prova: Basta ver que se card(b) card(a) e se houvesse uma injeção f : A B, f : A f(a), seguiria que card(a) card(b). E, pelo teorema 0.5, isso implicaria que card(a) = card(b). Isso provou a proposição Conjunto das partes Seja X um conjunto, dene-se o conjunto das partes de X como sendo o conjunto P (X) = {A : A X}. Será provado nesta subseção que a cardinalidade de P (X) é estritamente maior que X. Proposição 0.7 O conjunto das partes P (X) de um conjunto X tem cardinalidade (estritamente) maior que a cardinalidade de X. Prova: Com efeito, supõe-se por absurdo que card(x) card(p (X)). Ou seja, a hipótese de absurdo é de que existe f : X P (X)

13 12 CAPÍTULO 0. CONJUNTOS E RELAÇÕES sobrejetiva. Toma-se o conjunto U = {x X : x f(x)}. Pela hipótese de absurdo, segue que f 1 (U) não é vazio. Toma-se y f 1 (U). Se y U, segue que y f(y) = U. Portanto deveríamos ter que y U. Mas isso também implicaria na contradição de que y U. Portanto não existe y X tal que y f 1 (U). Ou seja, f 1 (U) = (isso provou que f não é sobrejetiva) Conjuntos Enumeráveis Um conjunto X é nito, se X =, ou se, para algum n N, houver uma bijeção C : {1,..., n} X e, nesse caso, diz-se que X possui n elementos. Quando X possui n elementos, denota-se X = n. Se X não é nito, ele é innito. O conjunto X é enumerável, se é nito, ou se X possui a mesma cardinalidade de N. Se X for innito e não possuir a mesma cardinalidade de N, X é dito não-enumerável. Exemplo Pela proposição 0.7, tem-se que P (N) não é enumerável. Os racionais, os naturais e os inteiros são enumeráveis; mas o conjunto dos reais e o conjunto dos números irracionais são não-enumeráveis. Proposição 0.8 Valem as seguintes propriedades sobre conjuntos: 1. Se X é um conjunto innito, então card(x) card(n); 2. Um subconjunto de um conjunto nito é necessariamente nito; 3. Uma reunião nita de conjuntos nitos é nita; 4. Um subconjunto de um conjunto enumerável é necessariamente enumerável; 5. Uma reunião enumerável de conjuntos enumeráveis é necessariamente enumerável; 6. Um produto nito de conjuntos enumeráveis é enumerável.

14 0.4. CARDINALIDADE 13 Observação: Note que um produto enumerável de conjuntos enumeráveis não é necessariamente enumerável. Um exemplo são os reais R. Com efeito, se a R, a é formado por uma quantidade enumerável de algarismos pertencentes ao conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, ou seja, podemos formar uma injeção f : R {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} N {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} N e, como R é não-enumerável, {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} N {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} N é não-enumerável. Temos, também, a seguinte versão do princípio da casa dos pombos. Corolário Se A é um conjunto innito e B é nito, dada uma função f : A B, existe pelo menos um x tal que f 1 (x) é um conjunto de cardinalidade innita. Prova: Com efeito, se B é nito e existe uma função f : A B tal que f 1 (x) é nito para todo x B, seguiria que f 1 (x) x B é uma reunião nita de conjuntos nitos. E, portanto, A seria nito.

15 14 CAPÍTULO 0. CONJUNTOS E RELAÇÕES

16 Capítulo 1 Topologia Esse capítulo introduz os conceitos básicos de topologia geral. Ele começa denindo espaço topológico e, depois, segue que a lingugem básica de topologia. Para trabalhar esses conceitos, consulte, por exemplo, as referências [5] e [2]. 1.1 Topologias Munir um conjunto X de uma topologia, equivale a muní-lo de uma estrutura de abertos. Essa estrtura deve satisfazer algumas condições que, por exemplo, possibilita a noção de proximidade e, principalmente, possibilita denir continuidade de funções. Segue a denição clara. Denição 1.1 (Topologia) Uma topologia em um conjunto X é uma família τ de subconjuntos de X tal que: 1., X τ 2. A união dos conjuntos de qualquer subfamília de τ pertence a τ. 3. A interseção dos conjuntos de toda subfamília nita de τ pertence a τ. X é chamado o espaço da topologia τ. Um espaço topológico é um par (X, τ) de um conjunto e uma topologia especíca nesse conjunto. Um subconjunto U de X é aberto, se U τ. Quando não há ambigüidade com relação à topologia adotada, diz-se que X 15

17 16 CAPÍTULO 1. TOPOLOGIA é um espaço topológico (em vez de (X, τ)). Pela denição, sempre X e são abertos. Quando nos referimos ao espaço topológico (X, τ), dizemos que X está munido da topologia τ. Exemplo (Topologia trivial e a topologia discreta) Seja X é um conjunto qualquer. Uma topologia trivial em X é a topologia que consiste apenas dos conjuntos e X.Ou seja, quando τ = {X, }. Essa topologia também é chamada de topologia caótica. Outro exemplo é a topologia discreta em um conjunto X, onde se tomam todas as partes de X como conjuntos abertos. Exemplo Dado X = {a, b, c}. Então {X,, {a}} e {X,, {a}, {a, b}, {a, c}} são exemplos de duas topologias em X. Exemplo Seja X um conjunto. Consegue-se denir uma topologia τ em X consistindo de todos os subconjuntos U, tal que X U é nito ou é o X todo. Também é uma topologia em X a coleção de todos U X, tal que X U é enumerável ou é o X todo. Denição 1.2 Sejam τ e τ duas topologias em X. Diz-se que τ é mais na que τ, se τ τ. Nesse caso, também se diz que τ é mais grosseira que τ. Também é usada a terminologia (mais intuitiva) τ menor que τ, quando τ τ. Tomando um conjunto qualquer X, é fácil notar que a topologia discreta em X é mais na que qualquer outra topologia nesse conjunto. Da mesma forma, tem-se que a topologia trivial é a mais grosseira de todas. Denição 1.3 (Vizinhança) Seja (X, τ) um espaço topológico. Um conjunto U X é uma vizinhança de um ponto x X, se U contém algum aberto que contenha x. Lema 1.1 Seja X um espaço topológico. A X é aberto, se e somente se A é vizinhança de cada um de seus pontos.

18 1.1. TOPOLOGIAS 17 Prova: Evidente que, se A é aberto, dado x A, por A A, tem-se que A é vizinhança de x. Se A X é, por hipótese, vizinhança de cada um dos seus pontos, segue que, para cada x A, existe α x A aberto. Portanto A = x A α x é uma união de abertos e, portanto, aberto. O que completa a demonstração da recíproca do lema. Veremos agora que, dada uma topologia τ num conjunto X, podemos gerá-la apartir de certos abertos dessa topologia, no sentido que será esclarecido no lema 1.2. O fato desses abertos gerarem a topologia faz com que a família desses abertos receba o nome de base da topologia. Reduzir uma topologia à sua base nos será importante, pois nos facilitará provar propriedades da topologia (como, por exemplo, a continuidade de uma função) 1. Denição 1.4 (Base) Seja (X, τ) um espaço topológico. A base da topologia τ é uma família B de abertos, chamados elementos básicos, tal que, B e, para cada x X e cada vizinhança U de x, existe um aberto β B tal que x β U. Lema 1.2 Sejam (X, τ) um espaço topológico e B uma base para a topologia τ. Tem-se que τ é a família das uniões dos elementos de B. Prova: Com efeito, os elementos de B são, também, elementos de τ, logo a união dos elementos de qualquer subfamília de B pertencem a τ. O que mostra que α B = β τ. β α Resta provar que γ τ = α B : β α β = γ. Caso γ =, tem-se que α = { } evidentemente. Se γ é não-vazio, basta, t γ, tomar β t B tal que β t γ e t β t. Então é evidente que β t = γ O que completou a demonstração. t γ 1 Ver lema 1.12

19 18 CAPÍTULO 1. TOPOLOGIA Exemplo Para todo conjunto X, uma base para a topologia discreta é a família de todos os conjuntos unitários pertencentes à topologia τ. E a única base possível para a topologia trivial é a família que possui X e somente. Lema 1.3 Seja X um conjunto. Para que B seja uma base para alguma topologia em X é necessário e suciente que B seja uma família de subconjuntos de X, tal que 1. x X, β x B : x β x ; 2. β 1, β 2 B, se x β 1 β 2, então β 3 B : x β 3 β 1 β 2 ; 3. B. Prova: Seja B é a base de alguma topologia em X. Tem-se que, dado x X e a vizinhança X, existe β x tal que x β x X; pela denição. Dados β 1, β 2 B, se x β 1 β 2, segue que β 1 β 2 é um aberto (por ser interseção de abertos) e, portanto, β 1 β 2 é uma vizinhança de x. Pela denição, segue que existe β 3 B tal que x β 3 β 1 β 2. Evidente que B. O que completa a prova de que, se B é a base de uma topologia qualquer, B satisfaz as condições do lema. Agora, supomos que B satisfaz as condições acima. Vamos provar que B é uma base de alguma topologia. Toma-se a família τ das uniões dos elementos de cada subfamília de B. Com efeito, τ é uma topologia de X. Basta ver que a união de todos os elementos de qualquer subfamília pertence à τ evidentemente. Também ocorre que, X τ, pois X é a união de todos os elementos de B e é a união dos elementos da subfamília { } B. Dada uma interseção nita γ de elementos em B(e x γ), segue que existe β B tal que x β γ. 2 Dada uma interseção nita α de elementos de T, essa interseção vai ser uma reunião de interseções nitas de B. Logo, para cada x α, x pertence a uma dessas interseções e, portanto, existe β x B tal que β x α. Portanto β x = α τ, o que completa a prova de que τ é uma topologia. x α 2 Basta fazer indução sobre a condição 2 para vericar.

20 1.1. TOPOLOGIAS 19 Agora é fácil notar que, dada uma vizinhança U de x X em relação à topologia τ, basta tomar um aberto K τ que contenha x contido em U e, então, teremos que esse aberto é uma reunião de conjuntos em B. Logo existe β x B tal que x β x K U. O que completa a prova de que B é base da topologia formada pelas uniões dos elementos das suas subfamílias. Exemplo Para todo conjunto X, uma base para a topologia discreta é dada pela família de todos os conjuntos unitários. Exemplo Pelo último lema, a família de todos os intervalos (a, b) é uma base de uma topologia em R. Tal topologia é chamada topologia usual da reta (ou padrão da reta). Da mesma forma, o conjunto de interiores de todos retângulos num plano cartesiano é uma base para uma topologia τ 2 em R 2. Outra base para a mesma topologia é o conjunto dos interiores de todos os círculos no plano. A topologia τ 2 é chamada topologia usual de R 2. De forma análoga, o conjunto de todos interiores das esferas é uma base para uma topologia τ 3 em R 3. Tal topologia é a topologia usual de R 3. De forma geral, R n possui uma topologia análoga, como será explicado no capítulo 4. Denição 1.5 (Subbase) Seja F uma família qualquer de subconjuntos de X. Existe uma menor topologia τ que contém F. Basta tomar a família B de todas interseções nitas de F. B é a base da menor topologia que contém F. F diz-se subbase da topologia τ gerada por B. Exemplo (Topologia produto) Sejam (X, τ X ) e (Y, τ Y ) dois espaços topológicos. Então a família B = {U V : U aberto em X e V é aberto em Y } é a base para a topologia produto de U V. Exemplo Seja (X, τ) um espaço topológico. Se Y X, então o subespaço topológico Y de (X, τ) é Y munido da topologia τ Y denida por: τ Y = {Y U : U τ}

21 20 CAPÍTULO 1. TOPOLOGIA. Diz-se que (Y, τ Y ) é subespaço topológico de (X, τ X ). Podemos omitir, dizendo o subespaço topológico Y de (X, τ) deixando, assim, subentendido que adotamos em Y a topologia acima denida. Teorema 1.4 Sejam X um espaço topológico e Y X um aberto. Temos, então, que A Y é aberto no subespaço Y se, e somente se, A é aberto em X. Prova: Com efeito, seja A Y. Se A é aberto em X, então A Y = A é aberto em Y. Reciprocamente, se A Y é aberto em Y, então existe um aberto K X tal que A = K Y. Mas, como K é aberto (e Y também), temos que K Y = A é um aberto em X por ser uma interseção nita de abertos. Isso completa a demonstração da recíproca do teorema. 1.2 Linguagem Básica da Topologia Segue alguns conceitos e terminologias básicas de topologia geral. Denição 1.6 (Ponto isolado) Seja X um espaço topológico. x X é um ponto isolado em X, se {x} é um aberto em X. Por exemplo, todos os pontos de um espaço discreto são isolados. Ou, com a topologia usual, o conjunto {1/n : n N} {0} é tal que 0 é o único ponto não isolado. Denição 1.7 (Conjunto fechado) Um subconjunto A de um espaço topológico X é fechado, se A C = X A é aberto. Exemplo O intervalo fechado [a, b] R é um conjunto fechado em R(quando munido da topologia usual). Basta ver que [a, b] é o complemento da união dos abertos (, a) (b, + ). Mas o conjunto Q não é fechado (nem aberto) em R. Lema 1.5 Seja X um espaço topológico, sobre os conjuntos fechados de X pode-se armar que:

22 1.2. LINGUAGEM BÁSICA DA TOPOLOGIA A união nita de conjuntos fechados é um conjunto fechado; 2. A interseção dos elementos de qualquer família de conjuntos fechados é um conjunto fechado. Prova: Dados F 1, F 2,..., F n X fechados, o complementar A i de F i é aberto evidentemente, tem-se, então, que: ou seja, n F i = i=1 n n (A i ) C = ( A i ) C i=1 n F i é o complementar de uma interseção nita de abertos (que, i=1 evidentemente, é um aberto), logo i=1 n F i é um fechado. O que completa a i=1 demonstração de 1. Dada uma família Γ de fechados no espaço topológico X, segue que a família = {X F : F Γ} é uma família de abertos. Logo X F Γ F = A A é aberto. E, portanto, F Γ F é fechado. Como a interção dos elementos de qualquer família de fechados (num espaço topológico X) é um fechado, segue que, dado um conjunto F X, podemos tomar o menor fechado que contém F. Esse menor fechado é, na verdade, a interseção de todos os fechados que contém F. Essa interseção é chamada de fecho de F em X. De forma análoga, a união dos elementos de uma família qualquer de abertos (de um espaço X) é um aberto. Logo, dado A X, podemos tomar o maior aberto contido em X, ou seja, a união de todos os abertos contidos em X. Essa reunião é chamada de interior de A em X. A denição desses conceitos seguem abaixo.

23 22 CAPÍTULO 1. TOPOLOGIA Denição 1.8 (Interior de um conjunto) O interior de um subconjunto A de um espaço topológico (X, τ) é a união de todos os conjuntos abertos contidos em A. Ou seja, int(a) = α = α α A,α τ α A,α τ O interior de um conjunto A é denotado por int(a) ou por A o. Denição 1.9 (Fecho e densidade) O fecho de um conjunto A X é a interseção de todos os conjuntos fechados que contém A. O fecho de A é denotado por A. Ou seja, A = α α A,α C τ. Os pontos do fecho de um conjunto A são ditos valores de aderência de A. O conjunto A X diz-se denso em B, se A = B. Exemplo O conjunto Q dos racionais é denso em R. Mas Z não é denso em R. Os interiores de Q e de Z são vazios. Lema 1.6 Seja (X, τ) um espaço topológico. Se A X, então A = X int(x A) = (int(x A)) C. Ou seja, os pontos de A são os pontos que não estão em ((X A) 0 ) C. Prova: Basta ver que, como int(x A) X A, temos que (X A) C = A X int(x A) = (int(x A)) C, donde segue, por X (X A) 0 ser fechado, que A X int(x A). Reciprocamente, como A A, tem-se que X A X A e, por o complementar do fecho de A ser aberto, segue que X A int(x A). Portanto X int(x A) A. O que completa a prova de que A = X int(x A) = (int(x A)) C. Proposição 1.7 (Abertos e Fechados: caracterização) Sejam (X, τ) um espaço topológico e A X. Segue que são verdadeiras as armações: 1. A X é aberto, se e somente se A = A o. 2. A X é fechado, se e somente se A = A.

24 1.2. LINGUAGEM BÁSICA DA TOPOLOGIA 23 Prova: (1): Se A é aberto é fácil ver que A = A o. Reciprocamente, se, por hipótese, A o = A, então segue que A é união de abertos, portanto é aberto. (2): Evidente que, se A é fechado, A = α A α, ou seja, A = A. Reciprocamente, se, por hipótese, A = A, tem-se que A é uma interseção de fechados e, portanto, pelo lema 1.5, A é fechado. Denição 1.10 (Fronteira) A fronteira de um conjunto A X é o conjunto A = A A o. Lema 1.8 Sejam (X, τ) um espaço topológico e A um subconjunto de X. x A se, e somente se, toda vizinhança de x contém elementos de A e de X A. Prova: Se x A = A A 0, então, evidentemente, x A 0, ou seja, não existe uma vizinhança de x contida em A 0. Portanto a interseção de toda vizinhança de x com X A é não-vazia. Por x A, segue, pelo lema 1.6, que x int(x A) e, portanto, nenhuma vizinhança está contida em (X A) também. Isso completa a demonstração de que, dado x A, toda vizinhança U de x contém pontos de A e de seu complementar. Reciprocamente, se x é tal que todas as suas vizinhanças tem interseções não vazias tanto com A quanto com X A, então x A 0 e x int(x A). De x int(x A), pelo lema 1.6, temos que x A e, de x A 0, segue que x A A 0 = A. O que completa a prova da recíproca. Observação: Note que, se (X, τ) é um espaço topológico, dado A X qualquer, tem-se que X = A 0 A (X A) 0 é uma reunião disjunta. Para provar, basta ver que, dado x X, somente uma das armações é verdadeira: ou existe uma vizinhança de x contida em A, ou existe uma vzinhança de x contida em X A, ou não ocorre nenhuma das anteriores (e, portanto, toda vzinhança de x possui interseções não-vazias tanto com X quanto com X A). Lema 1.9 A fronteira de um conjunto A X é vazia, se e somente se A é fechado e aberto ao mesmo tempo.

25 24 CAPÍTULO 1. TOPOLOGIA Prova: Sempre ocorre A o A A. Se a fronteira é vazia, segue que A o = A; portanto é fácil provar que A = A o = A, donde segue, pela proposição 1.7, que A é fechado e, também, é aberto. Reciprocamente, se A é fechado e, também, aberto, então A = A = A o. Portanto A = A A o = A A =. O que completa a demonstração da recíproca. Exemplo Em um espaço topológico (X, τ), o conjunto X e o são exemplos abertos que também são fechados. Já em um espaço topológico discreto, todos subconjuntos são tanto abertos quanto fechados. Denição 1.11 (Ponto de acumulação) Se A X, diz-se que x é ponto de acumulação de A, se toda vizinhança U de x tem interseção com A que contenha um elemento diferente do x. Ou seja, x é ponto de acumulação de A, se toda vizinhança U de x é tal que a A U; a x. O conjunto dos pontos de acumulação de A é chamado conjunto derivado de A. Lema 1.10 Seja K o conjunto derivado de um subconjunto A de um espaço topológico (X, τ). Segue que ( A A ) K. Prova: Pelo lema 1.8, segue que todo ponto x A = A A 0 A A é tal que toda vizinhança sua possui interseções não vazias com A e X A. Então, dado x A A, segue que a interseção de toda vizinhança U de x com A é não vazia e, por x A, tem-se que a A U; a x, ou seja, x é ( ponto ) de acumulação de A (x K). O que completa a prova da inclusão A A K. Lema 1.11 Seja X um espaço topológico. A X é fechado se, e somente se, todos os pontos de acumulação de A são elementos de A. Prova: Seja A fechado. Temos que X A é aberto, logo X A é vizinhança de cada um dos seus pontos 3 ; donde segue que não existe ponto de acumulação de A em X A, pois, para todo x (X A), (X A) é uma vizinhança de x e é tal que (X A) A = evidentemente. Logo temos que todo ponto de acumulação de A está em A. 3 Pelo lema 1.1.

26 1.3. CONTINUIDADE 25 Supondo que A contenha todos os seus pontos de acumulação, segue que os pontos de X A são tais que existe uma vizinhança tal que α tal que α A =, ou seja, α (X A). Donde tira-se que (X A) é vizinhança de todos os seus pontos, ou seja, (X A), pelo lema 1.1, é aberto. Portanto A é fechado. 1.3 Continuidade Entre dois grupos, é denido um tipo de aplicação elementar que, de certa forma, preserva a estrutura de grupo: o homomorsmo. Entre dois espaços vetoriais, são denidas as transformações lineares. Essas aplicações são os morsmos entre cada tipo de objetos. No caso da topologia, entre espaços topológicos, os mormos são as aplicações contínuas. Segue a denição mais direta de aplicação contínua, partindo da denição de topologia adotada. Denição 1.12 (Aplicação contínua) Sejam X e Y espaços topológicos. Uma aplicação f : X Y é contínua, se, V Y aberto, f 1 (V ) também for aberto em X, ou seja, f : X Y é contínua se valer: V Y aberto = f 1 (V ) aberto em X. A continuidade de uma função depende da coerência de sua denição com as topologias em X e em Y. Na verdade, existe uma forma local de denir continuidade (que parece ser a mais natural). Uma função entre dois espaços topológicos f : X Y é contínua num ponto x se a imagem inversa de toda vizinhança de f(x) é uma vizinhança de x. É bem fácil a vericação de que essa denição é coerente com a precedente (ou seja, uma aplicação é contínua segundo a primeira denição se, e somente se, é contínua em todos os pontos do domínio). Para vericar a continuidade de uma aplicação é suciente checar as imagens inversas dos elementos básicos da topologia de Y ; como é estabelecido no lema seguinte: Lema 1.12 Sejam X, Y espaços topológicos e B uma base de Y. f : X Y é contínua se, e somente se, para todo β B, f 1 (β) é aberto em X.

27 26 CAPÍTULO 1. TOPOLOGIA Prova: Se, por hipótese, f : X Y é contínua, evidente que, dada uma base B, β B a imagem inversa f 1 (β) é aberta em X, por β ser um aberto. Reciprocamente, seja f : X Y tal que as imagens inversas dos elementos de uma base B da topologia de Y são abertas em X. Dado V Y aberto, pelo lema 1.2, temos que V pode ser escrito da forma: V = α, para algum L B, ou seja, na forma de união de elementos de B. α L Tem-se que f 1 (V ) = f 1 ( α L(α) ) = α L(f 1 (α)) e, como f 1 (β) é aberto β B, tem-se que a reunião acima (f 1 (V )) é uma reunião de abertos, portanto um aberto. O lema seguinte simplica ainda mais a vericação da continuidade de uma aplicação. Lema 1.13 Sejam X, Y espaços topológicos e S uma subbase de Y. A aplicação f : X Y é contínua se, e somente se, para cada U S, f 1 (U) é aberto em X. Prova: De fato, se f é contínua, as imagens inversas dos membros de uma subbase de Y necessariamente serão abertas. Reciprocamente, seja F uma subbase da topologia de Y. Se f 1 (U) é aberto para todo U F, segue que, n dado A Y pertencente à base B, tem-se que A = U i, onde U i F. Logo ( n ) f 1 (A) = f 1 U i = i=1 i=1 n ( f 1 (U i ) ), ou seja f 1 (A) é interseção nita de abertos e, portanto, é um aberto. i=1 Exemplo Seja (X, τ) é um espaço topológico. A aplicação identidade id : X X do espaço topológico (X, τ) no próprio (X, τ) é contínua. Basta ver que f 1 (A) = A, donde segue que, se A é aberto, então f 1 (A) = A é aberto.

28 1.3. CONTINUIDADE 27 Também, se (X, τ) é um espaço topológico discreto, então toda função f : X X é contínua. Proposição 1.14 Sejam X e Y espaços topológicos. As seguintes armações a respeito de f : X Y são equivalentes: 1. f é contínua. 2. Para todo subconjunto fechado B de Y, f 1 (B) é fechado em X. 3. Para todo subconjunto A de X, f(a) f(a). Prova: (1) = (2) Seja f : X Y contínua. Se B é um subconjunto fechado em Y, segue que B C = Y B é aberto; logo f 1 (B C ) é aberto em X. Portanto (f 1 (B C )) C = f 1 (B) é fechado em X. O que completa a demonstração de (1) = (2). (2) = (1) Reciprocamente, seja f : X Y tal que, para todo subconjunto fechado B de Y, f 1 (B) é fechado em X. Se A é um subconjunto aberto em Y, segue que A C = Y A é fechado; logo f 1 (A C ) é fechado em X. Portanto (f 1 (A C )) C = f 1 (A) é aberto em X. O que completa a prova de que f é contínua. (2) = (3) Se f : X Y é tal que, para todo subconjunto fechado B de Y, f 1 (B) é fechado em X; então, dado A X, f 1 (f(a)) é fechado. Evidente que A f 1 (f(a)), donde segue, por f 1 (f(a)) ser fechado, que A f 1 (f(a)). Ou seja, f(a) f(a). O que completa a demonstração dessa parte do teorema. (3) = (2) Seja f : X Y tal que, para todo subconjunto A de X, f(a) f(a). Seja B Y fechado, faz-se A = F 1 (B). A inclusão A A é óbvia, basta, então, provar que A A. Dado x A, segue que f(x) f(a) f(a) = B = B, ou seja, x f 1 (B) = A. O que completa a prova da inclusão A A

29 28 CAPÍTULO 1. TOPOLOGIA e, portanto, da igualdade A = A, ou seja, de que A é fechado. Os próximos teoremas dão formas de se contruir funções contínuas. O teorema 1.15 trata de funções de espaços topológicos em espaços topológicos. Já o teorema 1.16 lida com o caso restrito de funções com contra-domínios nos reais. Teorema 1.15 Sejam X,Y e Z espaços topológicos, então vale: 1. A função constante f : X Y é contínua; 2. A função identidade id : X X é contínua; 3. Se f : X Y e g : Y Z são contínuas, então a composta g f : X Z é contínua; 4. Se A X é um subespaço de X, então a aplicação de inclusão j : A X é contínua; 5. Se A é um subespaço de X e a aplicação f : X Y é contínua, então a restrição de f em A, denotada por f A e denida por f A : A Y, f A (x) = f(x), também é contínua; 6. As projeções p 1 : X Y X, p 1 (x, y) = x, e p 2 : X Y Y, p 2 (x, y) = y são contínuas; 7. Se f : X Y Z é dado por f(a) = (f 1 (a), f 2 (a)), então f é contínua se, e somente se, também são contínuas as aplicações f 1 : X Y e f 2 : X Z. Prova: (1): Seja f(x) = k, x X. Dado A Y aberto, tem-se que, ou k A, ou k A. Se k A, f 1 (A) = X é aberto. Caso k A, f 1 (A) = é abero. Portanto, independente da escolha do aberto A Y, f 1 (A) é aberto, id est, f é contínua.

30 1.3. CONTINUIDADE 29 (2): Seja id : X X a função identidade. Se A X é aberto em X, então é evidente que id 1 (A) = A é aberto em X. Portanto id é contínua. (3): Dado A Z aberto, segue que g 1 (A) Y é aberto. Logo temse que f 1 (g 1 (A)) X é aberto, ou seja, f 1 (g 1 (A)) = (g f) 1 (A) é aberto. (4): Seja j : A X, j(x) = id(x). Tem-se que, dado um aberto K X, j 1 (K) = id 1 (K) A = K A. Como A é subespaço de X (e, portanto, tem a topologia induzida), os abertos de A são justamente as interseções B A, sendo B um aberto de X. 4 Id est, K A é aberto em A, o que completa a demonstração de que j é contínua. (5): Seja j : A X. De fato, f A = (f j) e, como f e j são contínua, tem-se, pelo (3), que f A = (f j) é contínua. (6): Utilizando a topologia denida em 1.5.1,dado um aberto A X, é evidente que p 1 i (A) = A Y. Como A é aberto e Y também, segue que p 1 i (A) = A Y é também aberto. O que completa a prova de que p i é contínua. A prova de que p j é contínua é análoga. (7): Seja f : X Y Z contínua e seja p i : Y Z Y a função projeção. Como f e p i são contínuas, segue que é também contínua a aplicação (p i f) = f 1 : X Y. Da mesma forma, seja a projeção p j : Y Z Z. Como p j e f são contínuas, segue que é contínua a função (p j f) = f 1 : X Z. O que completou a demonstração de um sentido da armação. Reciprocamente, sejam f 1 : X Y e f 2 : X Z contínuas. Temos que, dado A B Y Z aberto, como A Y e B Z são abertos, 2 (B) são abertos em X e, portanto, f 1 (A B) = segue que f 1 1 (A) e f 1 f 1 1 (A) f 1 1 (B) é uma interseção nita de abertos, ou seja, é um aberto em 4 Conforme foi denido no exemplo 1.5.2

31 30 CAPÍTULO 1. TOPOLOGIA X. O que completa a demonstração. Teorema 1.16 Sejam X um espaço topológico e f, g : X R funções contínuas. Segue que f + g, f g e f g são contínuas, e, se g(x) 0, x X, então f também é contínua. g Prova: Note que a adição A : R R R é contínua. Dene-se h : X R R, h(x) = (f(x), g(x)), que é, pelo teorema precedente, contínnua. Logo f + g = (A h) é contínua. As demonstrações para as outras funções são análogas. Agora, deniremos um tipo de aplicação que é o principal tipo estudado na topologia: O homeomorsmo. Se existe um homeomorsmo de um espaço X num espaço Y, eles são ditos homeomorfos e, do ponto de vista topológico, eles são, de certa forma, indistinguíveis 5. Denição 1.13 (Homeomorsmo) Sejam X e Y espaços topológicos e f : X Y uma bijeção tal que ambas funções f e f 1 são contínuas. f é chamada de homeomorsmo, e X e Y são espaços topológicos homeomorfos. Ou, equivalentemente, f : X Y é um homeomorsmo, se: U é aberto em X f(u) é aberto em Y. A relação de homeomorsmo entre espaços é uma relação de equivalência. Com efeito, fácil ver que A sempre é homeomorfo a ele mesmo. Também é fácil ver que, se A é homeomorfo a B, B é homeomorfo a A (pela denição). E, fazendo composição dos homeomorsmos, conseguimos chegar à transitividade: se A é homeomorfo a B (existe homeomorsmo J : A B) e B é homeomorfo a C (existe homeomorsmo T : B C); então A é homeomorfo a C (pois T J : A C é homeomorsmo). Lema 1.17 Todos intervalos abertos da reta são homeomorfos entre si. 5 Todas as propriedades oriundas da estrutura da topologia de X são preservadas em Y. Essas propriedades são chamadas propriedades topológicas.

32 1.3. CONTINUIDADE 31 Prova: Basta provar que qualquer intervalo (a, b), com a < b, é homeomorfo ao intervalo ( 1, 1). Chamemos R = b a o raio do intervalo e 2 c = a+b o centro dele. Basta, então, ver que a hometetia m 2 R (x) = R x e, também, a translação t (b R) (x) = x + (b R) são homeomorsmos. É fácil, então, ver que (t (b R) m R ) : R R é um homeomorsmo e que (t (b R) m R ) (( 1, 1)) = (a, b). Logo (t (b R) m R ) : ( 1, 1) (a, b) é um homeomorsmo, ou seja, ( 1, 1) é homeomorfo a (a, b). Proposição 1.18 Todo intervalo aberto da reta é homeomorfo à reta toda. Prova: Como, pelo lema acima, todos os intervalos abertos são homeomorfos entre si, basta provar que a reta é homeomorfa a um dessses intervalos. Com efeito, basta vercar que f : ( 1, 1) R, f(x) = x é um homeomor- 1+ x smo (Verique!). Donde segue que ( 1, 1) é homeomorfo à reta e, portanto, todo intervalo é homeomorfo à reta (por homeomorsmo ser uma relação de equivalência). Sejam (X, τ X ) e (Y, τ Y ) espaços topológicos. Um homeomorsmo f : X Y induz uma bijeção entre os abertos do espaço X e os abertos de Y da seguinte forma: H : τ X τ X, H(U) = f(u).portanto toda propriedade que depende apenas dos abertos do espaço (ou seja, que depende apenas da topologia dele) é preservada pelos homeomorsmos. Tais propriedades são chamadas propriedades topológicas de X. No próximo capítulo, 6 será trabalhado com algumas propriedades topológicas. São elas: conexidade e compacidade. Esse capítulo será encerrado com um importante resultado sobre funções contínuas. Teorema 1.19 Sejam X, Y espaços topológicos. Se f : X Y é contínua, segue que X é homeomorfo ao gráco de f. 6 No capítulo 2. G(f) = {(x, f(x)) : x X}

33 32 CAPÍTULO 1. TOPOLOGIA Prova: Com efeito, basta vericar que H : X G(f) x (x, f(x)) é um homeomorsmo. De fato, é fácil vericar que é uma bijeção. A continuidade é óbvia (da denição de topologia produto). E a inversa é a projeção (portanto contínua).

34 Capítulo 2 Conexidade e Compacidade As propriedades invariantes por homeomorsmo são chamadas propriedades topológicas. Nste capítulo, estudaremos três tipos de propriedades topológicas: conexidade, compacidade e T Espaços Hausdor Intuitivamente, pensamos nos conjuntos nitos como conjuntos fechados, assim como ocorre em R. No entanto, é fácil denir uma topologia sem essa propriedade. Por exemplo, se X = {a, b, c} e τ = {, X, {b}}, então {b} não é fechado, já que seu complemento {a, b} não é aberto. Para o espaço topológico satisfazer essa intuição geométrica, costuma-se acrescentar uma hipótese extra, chamada condição T 1. Aqui, falaremos sobre uma condição um pouco mais forte, denominada, condição de Hausdor. Denição 2.1 (Espaço Hausdor) Um espaço topológico X é um espaço de Hausdor, se, para todo par x, y X de pontos distintos, existem vizinhanças abertas U de x e V de y, tais que U V =. A reta, R n e todos subespaços desses espaço são Hausdor. Veremos, futuramente, por exemplo, que todos espaços métricos são Hausdor. Teorema 2.1 Todo subespaço de um espaço Hausdor é Hausdor. Prova: Seja X um espaço Hausdor. Se A X, tem-se que, dados a b em A, existem abertos U a e U b tais que a U a, b U b e U a U b =. 33

35 34 CAPÍTULO 2. CONEXIDADE E COMPACIDADE Evidente, então, que (U a A) (U b A) =. E, como (U a A) e (U b A) são, respectivamente, vizinhanças abertas de a e b em A; isso completa a demonstração. A proposição abaixo mostra que todo subconjunto nito de um espaço Hausdor é, de fato, um fechado no espaço todo. Proposição 2.2 Seja X um espaço de Hausdor. Se A X é nito, então A é fechado. Prova: Considere o conjunto unitário {x} X. Para todo y x em X, existem vizinhanças abertas U y de y e V y de x, tal que U y V y =. Em particular, x U y. Toma-se K = y x U y. K é uma reunião de abertos, logo é um aberto. Como X K = {x}, segue que {x} é fechado. Como todo conjunto nito é uma reunião nita de conjuntos unitários, segue que os conjuntos nitos são fechados. Sejam X um espaço topológico e A X um subconjunto. Um ponto x X é ponto de ω- acumulação de A se toda vizinhança de x possui innitos pontos de A. Na reta, um ponto é de acumulação se, e somente se, é de ω-acumulação. Segue, abaixo, a prova de que isso vale para qualquer espaço Hausdor. Teorema 2.3 Sejam X um espaço de Hausdor e A X. Segue que x X é um ponto de acumulação de A se, e somente se, toda vizinhança aberta de x contém innitos pontos de A. Prova: Seja X um espaço de Hausdor e A X. Se x é ponto de acumulação de A, supõe-se, por absurdo, que uma vizinhança aberta U de x contém nitos pontos de A {x}. Seja {x 1, x 2,..., x n } o conjunto de todos esses pontos. Pela proposição anterior, {x 1, x 2,..., x n } é fechado e, então, {x 1, x 2,..., x n } C = X {x 1, x 2,..., x n } é aberto. Segue que U {x 1, x 2,..., x n } = U (X {x 1, x 2,..., x n }) é uma interseção de dois abertos (e contém x), ou seja, é um aberto e, por conter x, é uma vizinhança aberta de x. Essa vizinhança aberta não contém nenhum ponto de A {x}, o que contraria a hipótese de que x é ponto de acumulação.

36 2.1. ESPAÇOS HAUSDORFF 35 Evidente que a recíproca é verdadeira: se toda vizinhança de um ponto x X contém innitos pontos de A, toda vizinhança conterá algum ponto de A {x}. A condição Hausdor é uma propriedade topológica: a vericação desse fato é imediata. Abaixo, será provada uma caracterização de espaços Hausdor. Depois, para encerrar a seção, serão provados teoremas importantes sobre aplicações contínuas com contradomínio Hausdor. Seja X um espaço topológico. O subconjunto = {(x, y) X X : x = y} é denominado diagonal de X X. Observe que o espaço X X é munido da topologia produto, denida no exemplo Mais detalhes sobre a topologia produto serão encontrados no capítulo 3. Teorema 2.4 O espaço X é Hausdor se, e somente se, a diagonal de X X é fechada dem X X. Prova: Com efeito, se X é Hausdor, dado (x, y) (X X ), segue que x y. Logo existem abertos U, V tais que U V = e x U, y V. Note, então, que U V (X X ) é uma vizinhança aberta de (x, y) em X X. Isso completa a prova de que (X X ) é fechado em X X. Reciprocamente, se é fechado em X X, segue que, dados x, y X distintos, (x, y) (X X ). Como (x, y) (X X ) é aberto em X X, pela base da topologia produto, segue que existem abertos U, V X tais que (x, y) U V (X X ). Portanto U, V X são abertos tais que x U, y V e U V =. Sejam X, Y espaços topológicos e f, g : X Y aplicações contínuas. Chamamos de núcleo diferença de (f, g), denotado por Ker(f, g), o subespaço Ker(f, g) = {x X : f(x) = g(x)} de X. Os teoremas abaixo serão principalmente importantes para a próxima seção. Teorema 2.5 Sejam X, Y espaços topológicos e f, g : X Y aplicações contínuas. Se Y é Hausdor, segue que o Kernel diferença de (f, g) é fechado em X.

37 36 CAPÍTULO 2. CONEXIDADE E COMPACIDADE Prova: Dene-se a aplicação h : X Y Y x (f(x), g(x)) Temos que h é contínua. Seja a diagonal de Y Y. Se Y é Hausdor, temos que é fechado em Y Y. Note que, pela continuidade de h, h 1 ( ) = Ker(f, g) é fechado. Como corolário do teorema precedente, segue um resultado que será usado na seção sobre conexidade. Corolário Sejam X, Y espaços topológicos e A X. Se Y é Hausdor e f, g : A Y são aplicações contínuas tais que A Ker(f, g), então f = g (ou seja, Ker(f, g) = A). Prova: Com efeito, Ker(f, g) é fechado em X. Logo, se A Ker(f, g), A Ker(f, g). 2.2 Espaços Conexos A conexidade é uma forma de generalizar a idéia que temos de componentes de um subconjunto de R 2. Um conjunto formado por dois círculos disjuntos é certamente não homeomorfo a um subconjunto contendo apenas um círculo. Veremos que, com conexidade, podemos entender situações análogas em contextos mais gerais. Denição 2.2 (Espaço conexo) Uma cisão do espaço topológico X é uma decomposição X = U V com U e V abertos tais que U V =. Qualquer espaço topológico X admite a cisão trivial X = X. Quando X adimite uma cisão não trivial X = U V, X é denominado desconexo. Por outro lado, quando X admite somente a cisão trivial, ele é chamado de conexo. Um subconjunto Z X é conexo, quando o subespaço Z é conexo (com a topologia de subespaço induzida).

38 2.2. ESPAÇOS CONEXOS 37 É facil ver que X é conexo se, e somente se, os únicos conjuntos que são abertos e fechados em X são o X e o. Portanto a denição de conexidade depende apenas dos abertos e fechados em X, ou seja, da topologia de X. Isso implica que, se X é conexo, então também é conexo todo espaço homeomorfo a X, o que signica que conexidade é um propriedade topológica. O fato de conexidade ser uma propriedade topológica vai ser conrmado no teorema 2.7. Sejam X, Y espaços topológicos, denotamos por Hom(X, Y ) ou C(X, Y ) o conjunto das aplicações contínuas X Y. Seja D o espaço topológico discreto de dois elementos. Verique que todos espaços topológicos discretos de dois elementos são homeomorfos entre si: em particular, são homeomorfos ao espaço discreto {1, 2}. É importante notar que D é Hausdor. Trabalharemos com uma caracterização dos espaços conexos que depende da cardinalidade do conjunto de aplicações contínuas denidas no espaço e com contradomínio em D. Teorema 2.6 Sejam X um espaço topológico e D um espaço discreto de dois pontos. X é conexo se, e somente, C(X, D) tem cardinalidade 2. Ou seja, X é conexo se, e somente se, toda aplicação contínua X D é aplicação constante. Prova: Note que, se X é espaço topológico, de fato, C(X, D) tem cardinalidade 2 se, e somente se, todas aplicações contínuas X D são aplicações constante. Denotemos D = {1, 2}. Seja X um espaço conexo. Se f : X D é uma aplicação contínua, segue que f 1 (1) é um aberto-fechado, visto que {1} é um aberto-fechado de D. Pela observação sobre espaços conexos, segue que, ou f 1 (1) é vazio, ou f 1 (1) = X. Nos dois casos, teremos que f é constante. Reciprocamente, se X é um espaço desconexo, temos que X = A B para algum par A, B X de abertos-fechados disjuntos. Dene-se a função h : X D, com h(x) = 1, se x A, e h(y) = 2, se y B. Note que h é contínua e não-constante. Portanto poderíamos ter denido espaço conexo usando essa caracterização. E, portanto, poderíamos dizer que, por denição, um espaço X é conexo, se satisfaz

39 38 CAPÍTULO 2. CONEXIDADE E COMPACIDADE f : X {1, 2} é contínua = f é constante. Faremos muito uso dessa caracterização, pois ela torna algumas demonstrações bem mais diretas. Denição 2.3 (Desconexidade total) Seja X um espaço topológico. Um subconjunto A X é denominado conexo, se o subespaço topológico A for conexo. É fácil ver que todo conjunto unitário é conexo. Um espaço topológico é chamado totalmente desconexo, se os únicos subconjuntos conexos de X forem os conjuntos unitários. Teorema 2.7 Sejam X e Y espaços topológicos. Se f : X Y é uma aplicação contínua e A é um subconjunto conexo de X, então f(a) é conexo. Conseqüentemente, se g : X Y for um homeomorsmo, então: A é conexo f(a) é conexo. Prova: Sejam X, Y espaços topológicos, A X conexo e f : X Y contínua. Considera-se a aplicação g : A f(a) x f(x). Observe que g é contínua. Seja D o espaço discreto de dois pontos. Provemos que toda aplicação contínua f(a) D é constante. Se k : f(a) D é contínua, segue que (k g) : A D é contínua. Mas, pela conexidade de A, segue que (k g) é constante. Como g é sobrejetiva, isso implica que k é constante. Corolário Se X é conexo, todo espaço homeomorfo a X é conexo. Prova: É conseqüência imediata do teorema precedente. Com efeito, se Y é homeomorfo a X, então existe um homeomorsmo f : X Y, donde, segue, pelo teorema precedente, que f(x) = Y é conexo. Segue do corolário precedente que, se tivermos, teríamos que eles não são homeomorfos. Seguem alguns exemplos de espaços conexos, desconexos ou totalmente desconexos.

40 2.2. ESPAÇOS CONEXOS 39 Exemplo Evidente que o espaço topológico discreto X é totalmente desconexo. Em contraste, o espaço topológico trivial é conexo. Exemplo O espaço dos racionais é totalmente desconexo. Com efeito, qualquer subconjunto não unitário F Q é tal que, dados a < b F, existe um irracional r (a, b). Logo F = (F (, r)) (F (r, + )) é uma cisão não trivial de F. Exemplo (Reais) O conjunto dos reais R é conexo. Com efeito, por absurdo, supõe-se que R = A B é uma cisão não-trivial de R. Logo, podemos tomar a A e b B e supor, sem perda de generalidade, que a < b. Temos que o conjunto S = {x A : x < b} é não-vazio (pois ao menos a S) e possui uma cota superior (o b); logo possui um sup. Tomemos s = sup(s), donde temos que, ou s A, ou s B. Se s B, temos que, por B ser aberto, existe ɛ > 0 tal que (s ɛ, s+ɛ) B, id est, teríamos ( s 2) ɛ B, entretanto, pela denição de sup, temos que existe t > ( s 2) ɛ em S, o que signica que existe t (s ɛ, s + ɛ) B tal que t A. Mas, como A e B são disjuntos, isso é um absurdo. Supondo, agora, que s A, analogamente, teríamos que existe ɛ > 0 tal que (s ɛ, s + ɛ) A, ou seja, s < ɛ A. Logo s b < ɛ, pois o contrário 2 2 implicaria em s < ɛ S (o que é um absurdo). Id est, b (s ɛ, s + ɛ) A. 2 Absurdo, pois A e B são disjuntos. Portanto não há cisão não-trivial de R, i.e., R é conexo. E, como foi visto, todo intervalo aberto é homeomorfo à reta, donde infere-se que todo intervalo aberto é conexo. Caminharemos rumo ao teorema que fala que um subconjunto de R é conexo se, e somente se, é um intervalo. Com esse forte teorema, poderemos provar posteriormente o teorema da análise real conhecido por teorema do valor intermediário. Começaremos provando a proposição 2.8. Proposição 2.8 Sejam X um espaço topológico e A, B X. Se A é conexo e A B A, então B também é conexo. Em particular, o fecho de um conjunto conexo A é conexo. Prova: Com efeito, seja D = {1, 2} o espaço topológico discreto de dois pontos. Se k : B D é uma aplicação contínua, dene-se f = k A. Temos que f : A D é contínua.

41 40 CAPÍTULO 2. CONEXIDADE E COMPACIDADE Pela conexidade de A, f é constante. Dado a A, f é constante igual a f(a). Dene-se F : B D com F (x) = f(a) para todo x B. Note que o fecho de A em B é B e, também, F, k : A D são aplicações contínuas tais que F A = k A (ou seja, A Ker(F, k)). Portanto, pelo corolário 2.5.1, F = k. Ou seja, k é constante. Com a proposição precedente, temos a ferramenta necessária para demonstrar a proposição que nos diz que os únicos subconjuntos conexos de R são intervalos. Proposição 2.9 Um subconjunto X de R é conexo se, e somente se, é um intervalo. Prova: Se X é um intervalo aberto, temos que ele é conexo. Se X é um intervalo qualquer, basta ver que os intervalos fechados são fecho de um intervalo aberto (que é conexo). E, também, basta ver que os intervalos semi-fechados satisfazem a hipótese da proposição 2.8, logo são conexos. Seja X R conexo. Toma-se a, b X, supondo, sem perda de generalidade, a < b, dado c R tal que a < c < b. Se, por absurdo, c X, então X = ((, c) X) ((c, + ) X) é um cisão de X, onde os dois abertos são não-vazios, pois ao menos a ((, c) X) e ao menos b ((c, + ) X), ou seja, é uma cisão não-trivial de X. Absurdo, pois X é conexo. Portanto deve-se ter que c tal que a < c < b, c X; o que completa a demonstração de que X é um intervalo. Teorema 2.10 Seja M um espaço topológico conexo e f : M R uma função real contínua. Segue que f(m) é um intervalo. Prova: Pelo teorema 2.7, temos que f(m) é conexo e, portanto, pela proposição precedente, f(m) é um intervalo. De fato, a recíproca do teorema precedente é verdadeira. Ou seja, um espaço topológico X é conexo se, e somente se, a imagem de toda aplicação contínua X R é um intervalo. De fato, se Y é desconexo, existe uma aplicação contínua não constante f : X D, onde D = {1, 2}. Logo i f : X R, onde i : D R é inclusão, é uma aplicação contínua com imagem {1, 2}.

42 2.2. ESPAÇOS CONEXOS 41 Como consequência de alguns resultados provados, segue imediatamente o Teorema do Valor Intermediário. Corolário (Teorema do Valor Intermediário) Seja f : [a, b] R contínua, com a < b. Se f(a) < d < f(b), segue que existe c (a, b) tal que f(c) = d. Prova: De fato, pelo teorema anterior, temos que f ([a, b]) é um intervalo; logo, d (f(a), f(b)), d f ([a, b]); o que signica que c (a, b) tal que f(c) = d Espaços conexos por caminhos Além da conexidade como foi denida, outra idéia de conexidade é a de um conjunto no qual se pode passar de um ponto qualquer a outro por um movimento contínuo. Isso é o que motiva o conceito de conexidade por caminhos, conceito mais particular e provido de mais signicado intuitivo do que o conceito geral de espaço conexo. Agora, enunciaremos e demonstraremos dois resultados sobre conexidade que prepararão o terreno para denir conexidade por caminhos. Esse conceito não será muito explorado aqui: deniremos e demonstraremos alguns poucos resultados. Teorema 2.11 Seja {X i } i L uma família de conjuntos conexos tal que j L X j. Tem-se que a reunião C = i L X i é um conjunto conexo. Prova: Toma-se a j L X j. Seja D = {1, 2} um espaço topológico discreto de dois pontos. Se f : j L X j D é contínua, provaremos que f é constante. Dado t L, f Xt : X t D é contínua. Logo, pela conexidade de X t, temos que f é constante igual a f(a). Portanto isso provou que, para todo j L, f(x) = f(a) para todo x X j. Ou seja, f é constante igual a f(a).

43 42 CAPÍTULO 2. CONEXIDADE E COMPACIDADE Corolário A m de que um espaço topológico M seja conexo, é necessário e suciente que dois pontos quaisquer a, b M estejam contidos em algum conexo X ab M. Prova: Se M é tal que dois pontos quaisquer a, b M estão contidos em algum conexo X ab M, xando um a M, fazemos M = X ab e, pelo teorema precedente, segue que M é conexo. Reciprocamente, se M é conexo, temos que, dados dois pontos a, b M, basta tomar o conexo X ab = M, que, evidentemente, é tal que a, b X ab. O que completa a demonstração do teorema. Segue a denição de conexidade por caminos. Denição 2.4 (Conexidade por caminhos) Um caminho num espaço topológico X é uma aplicação contínua σ : [0, 1] M. Os pontos a = σ(0) e b = σ(1) são os extremos do caminho σ. Diz-se, neste caso, que o caminho σ liga o ponto a ao ponto b em X. Um espaço topológico X chama-se conexo por caminhos quando dois pontos quaisquer de X podem ser ligados por um caminho contido em X. Evidente que todo subconjunto conexo da reta é conexa por caminhos. O mesmo não ocorre em contextos mais gerais. No entanto, é bem fácil provar que a conexidade por caminhos implica em conexidade. Segue, então, o enunciado desse resultado (e sua demonstração). Proposição 2.12 Se o espaço topológico X é conexo por caminhos, então X é conexo. Prova: Basta ver que, dados a, b X, temos σ ab : [0, 1] R contínua, logo, por [0, 1] ser conexo, a imagem X ab = σ ab ([0, 1]) é conexa. Donde, pelo corolário , tem-se que X é conexo. Para encerrar a seção, provaremos alguns resultados que mostram que conexidade por caminhos é uma propriedade topológica, ou seja, é invariante por homeomorsmos. Teorema 2.13 Seja M um espaço topológico conexo por caminhos e seja f : M N uma função contínua. Tem-se, então, que f(m) é conexo por caminhos. b M

44 2.2. ESPAÇOS CONEXOS 43 Prova: Dados f(a), f(b) f(m), toma-se o caminho σ ab : [0, 1] M. Segue que a composição (f σ ab ) : [0, 1] f(m) é uma composição de funções contínuas e, portanto, contínua, ou seja é um caminho. Os extremos desse caminho são f(a) e f(b) evidentemente. O que completou a demonstração. Corolário Seja f : M N um homeomorsmo. Tem-se que M é conexo por caminhos se, e somente se, N é conexo por caminhos. Prova: Basta ver que, se M é conexo por caminhos, pelo teorema anterior f(m) = N é conexo por caminhos. A recíproca é óbvia, pois caímos no mesmo caso considerando a função inversa f 1 : N M Componentes conexas O conceito de componentes conexas formaliza a idéia de espaço formado por mais de um pedaço. Quando temos um espaço topológico X, se A X é conexo, podemos tomar a união de todos os conexos que contém A: essa união é o maior conexo que contém o subconjunto A: chamado de componente conexa que contém A. Denição 2.5 (Componente conexa) Seja X um espaço topológico. Um subconjunto C X é chamado de componente conexa se ele é conexo maximal, ou seja, nenhum conjunto que o contenha propriamente é conexo. As componentes conexas são sempre fechadas no espaço. Teorema 2.14 Toda componente de um espaço X conexa é fechada em X. Prova: Basta saber que fecho de conexo é conexo. Logo o fecho de uma componente conexa seria um conexo que contém a componente conexa. Portanto o fecho da componente é igual à componente. Teorema 2.15 Seja X um espaço topológico com um número nito de componentes conexas. Segue que cada componente conexa é um aberto-fechado do espaço X.

45 44 CAPÍTULO 2. CONEXIDADE E COMPACIDADE Prova: Como as componentes conexas são fechadas, supondo que o número de componentes conexas é nito, o complementar de uma componente conexa é uma reunião nita de fechados: portanto o complementar seria fechado. Logo a componente donexa é aberta. É importante destacar que o teorema 2.15 vale apenas no caso de um número nito de componentes conexas. Existem vários exemplos de espaços com um número innito de componentes conexas, em que as componentes não são abertas: o conjunto dos racionais é um exemplo (as componentes conexas dos racionais são os pontos, os quais não são abertos). Lema 2.16 Todo ponto de um espaço X pertence a alguma componente conexa de X. Prova: Dado x X, basta tomar a união de todos os subconjuntos conexos que contém x. Pelo teorema 2.11, essa união seria conexa e note que seria, de fato, maximal (pois qualquer conexo que contivesse essa união, seria um conexo da união). Teorema 2.17 As componentes conexas formam uma partição do espaço, ou seja, são duas-a-duas disjuntas e a união das componentes é o espaço todo. Prova: Com efeito, se duas componentes conexas distintas tivessem interseção não vazia, a união dessas componentes conexas seria, pelo teorema 2.11, conexa. Teríamos um conexo contendo propriamente a componente conexa: absurdo. Por outro lado, pelo lema 2.16, todo ponto do espaço está na reunião de todas componentes conexas. De forma análoga, denimos componentes conexas por caminhos. Podemos denir uma relação de equivalência num espaço topológico X. Dois pontos são equivalentes caso exista um caminho (contínuo) que ligue esses dois pontos. As classes de equivalência dessa relação são chamadas componentes conexas por caminhos. Outra denição equivalente segue abaixo. Denição 2.6 Seja X um espaço topológico. Chamamos um conjunto A X de componente conexa por caminhos, caso A seja conexo por caminhos

46 2.3. ESPAÇOS COMPACTOS 45 maximal, ou seja, nenhum conjunto conexo por caminhos contém A propriamente. Componentes conexas por caminhos nem sempre são fechadas, mas, como as componentes conexas, elas formam uma partição do espaço. Isso ca evidenciado pelo fato de serem classes de equivalência da relação denida anteriormente. 2.3 Espaços Compactos Uma das propriedades topológicas que são mais fortemente utilizadas em Dinâmica Topológica é a compacidade. O conceito de compacidade é, realmente, bem frutífero. A condição de compacidade diz que, de certa forma, o espaço topológico possui poucos abertos. Denição 2.7 (Espaço compacto) Uma família υ de subconjuntos de um espaço topológico X cobre X, se a união de todos os elementos da família contém X. Essa família é chamada de uma cobertura aberta de X, quando seus elementos são todos conjuntos abertos. O espaço X é compacto, se toda cobertura aberta de X contiver uma subfamília nita que cobre X, ou seja, se toda cobertura aberta de X contiver uma subcobertura nita. Um subconjunto K X é compacto, se o subespaço K é compacto. Um conjunto X é perfeito, se ele é compacto e não contém nenhum ponto isolado. Claramente, todo conjunto nito é compacto, pois a quantidade de subconjuntos abertos é necessariamente nita e, portanto, toda cobertura aberta é nita. Em geral, é difícil determinar se um conjunto é compacto ou não. Antes de dar algun exemplos de conjuntos compacto e não-compactos, o teorema 2.18, que nos mostra que compacidade é uma propriedade topológica, será estabelecido. Teorema 2.18 Seja f : X Y contínua. Se X é compacto, então f(x) é compacto. Conseqüentemente, se K e M são homeomorfos, K é compacto se, e somente se, M é compacto. Ou seja, compacidade é uma propriedade topológica.

47 46 CAPÍTULO 2. CONEXIDADE E COMPACIDADE Prova: Seja f : X Y contínua, sendo X compacto. Toma-se uma cobertura aberta qualquer de f(x), λ = {A i } i L. Segue, então, que λ = {f 1 (A i )} i L é uma cobertura aberta de X e, como X é compacto, segue que existe uma subcobertura α λ nita. Seja α = {f 1 (A 1 ), f 1 (A 2 ), f 1 (A 3 ),..., f 1 (A n )}, então i {1,...,n} f ( f 1 (A i ) ) = f i {1,...,n} i {1,...,n} ou seja, (A i ) = f(x), f 1 (A i ) = f(x), id est, {A i } i {1,...,n} é uma subcobertura nita. O que completa a prova de que f(x) é compacto. A conseqüência é óbvia. Exemplo A reta R não é compacta. Basta ver que a cobertura aberta {(n, n + 5) : n Z} não possui subcobertura nita. Como vimos no teorema 2.18, compacidade é um invariante topológico, donde segue que os intervalos abertos não são compactos (pois esses são homeomorfos a R). Proposição 2.19 O intervalo fechado [0, 1] R é compacto. Conseqüentemente, todo intervalo fechado é compacto, pois todos são homeomorfos. Prova: Dada uma cobertura aberta υ = {U λ } λ L de [0, 1], tomamos o conjunto C = {x [0, 1] : existe uma subcobertura nita ϑ υ de [0, x)}. Evidente que existe um aberto A o em υ tal que 0 A o e, portanto, existe um intervalo (a, b) aberto que contém 0 contido em A o, ou seja, isso prova que C (pois b C) e que 0 não é cota superior de C, pois 0 < b C (pois [0, b) possui uma subcobertura nita). Temos, também, que 1 é cota superior de C. Toma-se, então, sup(c) = c e supõe-se, por absurdo, que c (0, 1). Ou c C, ou c C. Se c C, toma-se a subcobertura nita ϑ = {U j1,..., U jk } de [0, c). Tem-se que existe U λ υ tal que c U λ e, por

48 2.3. ESPAÇOS COMPACTOS 47 U λ ser aberto, segue que existe um intervalo aberto (m, n) U λ tal que c (m, n). Portanto ϑ {U λ } = {U j1,..., U jk, U λ } é uma subcobertura nita de [0, n), o que contraria a hipótese de sup(c) = c. Caso c C, toma-se a subcobertura nita ϑ = {V j1,..., V jk } de [0, c) V λ (tal que V λ é um intervalo aberto que contenha c). Mas, então, segue que ϑ {V λ } = {V j1,..., V jk, V λ } é uma subcobertura nita de [0, c), o que contraria a hipótese de que c C. O que completa a demonstração por absurdo de que c (0, 1), logo c = 1. E tomando a subcobertura nita ϑ = {T j1,..., T jk } de [0, 1), basta acrescentar um aberto T λ 1 contido em υ e, então, ϑ {T λ } = {T j1,..., T jk } é uma subcobertura nita de [0, 1], o que completa a prova de que, dada uma cobertura aberta de [0, 1], conseguimos obter uma subcobertura nita; ou seja, [0, 1] é compacto. Conseqüentemente, todo intervalo fechado é compacto, pois todos intervalos fechados são homeomorfos entre si. Segue desse resultado que um intervalo fechado não é homeomorfo a um intervalo aberto, pois o primeiro é compacto e o segundo não. Antes de entender o conceito de compacidade, essa prova poderia ter sido feita usando conexidade 1. Segue uma forma de caracterizar a compacidade de um subconjunto de um espaço. Teorema 2.20 Seja X um espaço topológico. Um subespaço Y de X é compacto se, e somente se, toda cobertura aberta de Y por conjuntos abertos de X contém uma subcobertura nita cobrindo Y. Prova: Supõe-se que Y é compacto. Logo, dada uma cobertura υ X = {U j } j L de Y por conjuntos abertos U j X. Então tem-se que υ Y = {U j Y : j L} é evidentemente uma cobertura aberta de Y. Portanto há uma subcobertura {U j1 Y,..., U jn Y } = ϑ υ Y que cobre Y, donde segue que {U j1,..., U jn } υ X é uma subcobertura por conjuntos abertos de X que cobre Y. Reciprocamente, se ocorre que toda cobertura aberta de Y por conjuntos abertos de X contém uma subcobertura nita cobrindo Y. Então tem-se que, 1 Usando conexidade, poderíamos, também, provar que um intervalo semi-fechado não é homeomorfo a um intervalo aberto.

49 48 CAPÍTULO 2. CONEXIDADE E COMPACIDADE se υ Y = {V j } j L é uma cobertura de Y por conjuntos abertos de Y, temos que podemos tomar conjuntos U λ X abertos tais que V λ = U λ Y. Logo υ X = {U j } j L é uma cobertura de Y por conjuntos abertos de X e, então, pela hipótese, existe uma subcobertura {U j1,..., U jn } de Y por conjuntos abertos de X, donde segue que {V j1,..., V jn } é uma subcobertura de υ Y por conjuntos abertos de Y. Ou seja, Y é compacto. Dado um conjunto compacto K, é falso dizer que subconjuntos de K são compactos. É fácil dar exemplos para isso: o intervalo fechado é compacto, mas o intervalo aberto contido nele não é. Mas veremos que todo subconjunto fechado de um compacto K é compacto. Segue esse resultado. Teorema 2.21 Todo conjunto fechado de um espaço compacto é compacto. Prova: Seja X um espaço topológico compacto. Se Y X é fechado, toma-se uma cobertura aberta υ = {U i } i L de Y por conjuntos abertos de X. Temos, então, que υ {X Y } é uma cobertura aberta de X e, portanto, há uma subcobertura nita {U j1,..., U jn, X Y } = ϑ υ de X, donde segue que {U j1,..., U jn } υ é uma subcobertura nita de Y usando conjuntos abertos de X. Isso completa a demonstração de que Y é compacto. Segue dessa proposição que nenhum subconjunto fechado de um compacto é homeomorfo a um espaço não compacto. Por exemplo, o conjunto de Cantor, por ser fechado de um compacto, é compacto: logo não é homeomorfo a nenhum conjunto não-compacto (no caso da reta, isso implica que o conjunto de Cantor não é homeomorfo a nenhum conjunto não-limitado) Rigidez Hausdor-Compacto Espaços Hausdor e espaços compactos têm certa relação entre suas condições impostas aos abertos. A condição Hausdor diz que, de certa forma, o espaço contém muitos abertos. E, por outro lado, a condição de compacidade diz que, de certa forma, o espaço possui poucos abertos. Veremos que essa idéia intuitiva faz sentido, quando vericarmos que, num conjunto X, não existe uma topologia Hausdor (estritamente) menor que uma topologia compacta. Mas, antes disso, seguem alguns importantes resultados que relacionam a topologia Hausdor com compacidade.

50 2.3. ESPAÇOS COMPACTOS 49 Teorema 2.22 Seja H um espaço Hausdor. Todo subconjunto compacto de H é fechado. Prova: Com efeito, sejam H um espaço Hausdor e K H compacto. Dado z K, segue que, para cada x K, existem vizinhanças abertas V x (de x) e U x (de z) disjuntas. Segue que K V x. Logo, pela compacidade x K de K, tem-se que existem x 1,..., x n K tais que K n V xi. Portanto n i=1 U x i é uma vizinhança aberta de z contida no complementar de K. Como z foi tomado de forma arbitrária, isso provou que K C é aberto, ou seja, K é fechado. Como todo fechado de um compacto é compacto, segue o seguinte corolário. Corolário Seja X um espaço Hausdor compacto. K X é compacto se, e somente se, é fechado. Prova: Note que esse corolário é conseqüência imediata dos dois teoremas precedentes (teoremas 2.22 e 2.21). De fato, dado um espaço Hausdor H compacto, tem-se que todo subconjunto fechado de H é compacto, pelo teorema Reciprocamente, se K H é compacto, então, por H ser Hausdor, K é fechado (segundo o teorema 2.22). O que completa a demonstração do corolário. Segue dos resultados acima, um importante resultado sobre aplicações contínuas denidas em compactos e com contradomínio em espaços Hausdor. Teorema 2.23 Sejam X um espaço compacto e Y um espaço Hausdor. Se f : X Y é contínua, segue que f é fechada. Prova: Com efeito, por X ser compacto, dado F X fechado, segue que F é compacto. Logo f(f ) Y é compacto. E, por Y ser Hausdor, implica-se que f(f ) Y é fechado em Y. i=1

51 50 CAPÍTULO 2. CONEXIDADE E COMPACIDADE O corolário abaixo deixa precisa a armação de que, num conjunto X, não existe uma topologia Hausdor (estritamente) menor que uma topologia compacta. Corolário Sejam X um espaço compacto e Y um espaço de Hausdor. f : X Y é uma função contínua bijetiva se, e somente se, f é um homeomorsmo (e X é compacto). Prova: Isso é conseqüência imediata do teorema precedente. Desse último corolário, segue um interessante (e útil) resultado. Proposição 2.24 Sejam X um espaço Hausdor e Y um espaço topológico qualquer. O gráco G(f) = {(x, f(x)) : x X} de uma função f : X Y é compacto se, e somente se, f é contínua e X é compacto. Prova: Com efeito, seja X é compacto. Como f é contínua, tem-se que X é o homeomorfo a G(f). Logo G(f) é compacto. Reciprocamente, sejam X Hausdor e G(f) compacto. Tem-se que a projeção p X : G(f) X é uma aplicação bijetiva contínua. Como X é Hausdor e G(f) é compacto, segue que p X é um homeomorsmo. Disso já segue que X é compacto. Se p Y : G(f) Y é a projeção, segue que f = (p Y (p X ) 1 ) : X Y é uma composição de aplicações contínuas e, portanto, contínua Caracterização de espaços compactos Aqui, será apresentada uma forma de se caracterizar espaços compactos. Neste texto, ela será especialmente importante na demonstração do teorema de Tychono. Essa caracterização é muito importante em argumentos de envolvendo espaços compactos e, conseqüêntemente, será usada em argumentos de Dinâmica Topológica (por exemplo, para provar a existência de subsistemas minimais). Abaixo, dene-se propriedade da interseção nita para que seja enunciado o teorema 2.25, principal objetivo desta subseção.

52 2.3. ESPAÇOS COMPACTOS 51 Denição 2.8 (Propriedade de interseção nita) Uma coleção ϑ de subconjuntos de X satisfaz a propriedade nita de interseção, se toda coleção n nita {A 1,..., A n } ϑ possuir interseção não-vazia, ou seja, A i. Teorema 2.25 (Interseção nita) Um espaço topológico X é um compacto se, e somente se, para toda coleção ϑ de subconjuntos fechados satisfazendo a propriedade de interseção nita é tal que A ϑ A. i=1 Prova: Seja υ = { X A = A C : A ϑ }. Essa é uma coleção de subconjuntos abertos, já que ϑ é uma família de subconjuntos fechados. Segue que ( ) ( C υ cobre X se, e somente se, A =, já que A C = A) = A ϑ ( ) C = X. Seja X tal que para toda coleção ϑ de conjuntos fechados satisfazendo a propriedade de interseção nita é tal que A ϑ A. Tomando uma cobertura aberta υ de X, segue que a família ϑ u = { A C = X A : A υ } é tal que U ϑ u U = e, portanto, ϑ u não satisfaz a propridade da interseção nita, ou A ϑ seja, existe uma subfamília nita {U 1,..., U n } tal que A ϑ n U i =. Portanto existe uma subfamília {A 1,..., A n } = { (U 1 ) C,..., (U n ) C} υ tal que n A i = i=1 i=1 ( n n ) C (U i ) C = U i = ( ) C = X i=1, ou seja, {A 1,..., A n } υ é uma subfamília aberta de X. Isso completa a prova de que X é compacto. Seja X compacto. Se a família de fechados, ϑ = {U i } i L, é tal que { U i =, então υ = (U i ) C} é uma cobertura aberta de X, pois: i L i L i=1 ( ) (U i ) C = (U i ) = ( ) C = X. i L i L

53 52 CAPÍTULO 2. CONEXIDADE E COMPACIDADE { E, por X ser compacto, existe uma subcobertura nita (U 1 ) C,..., (U n ) C} ( n ) ( n C υ e, portanto, (U i ) = (U i )) = X C =. Ou seja, provamos que i=1 i=1 a interseção de todos conjuntos de uma família de subconjuntos do compacto X ser não-vazia implica que X não tem a propriedade de interseção nita. O que completa a demonstração da recíproca do teorema. Segue, como corolário, que toda família decrescente de fechados nãovazios F 1 F 2 F n num espaço compacto K possui interseção não-vazia.

54 Capítulo 3 Topologias Produto e Quociente Um dos importantes meios de se obter espaços de outros espaços topológicos é com os conceitos de topologia produto e topologia quociente. É neste capítulo, que teoremas importantes, como o teorema de Tychono, serão provados. A importância para a referência [6] desse capítulo é principalmente na demonstração do teorema de Van der Waerden usando dinâmica simbólica (é lá que o teorema de Tychono no caso enumerável é usado). 3.1 Topologia Produto Aqui, pretende-se denir uma topologia para um espaço topológico que seja o produto cartesiano de outros espaços topológicos. Note que zemos isso no exemplo Podemos estender a denição do exemplo ao caso de um produto nito de espaços topológicos (produto de n espaços topológicos). Esse capítulo terá como objetivo essa extensão da denição e, posteriormente, a construção de uma topologia para um produto innito de espaços Produto Finito de Espaços Denição 3.1 Seja {X i } i L uma família nita de espaços topológicos, onde L = {1,..., n}. A família { B = i L U i : U i é subconjunto aberto de X i } 53

55 54 CAPÍTULO 3. TOPOLOGIAS PRODUTO E QUOCIENTE é uma base de uma topologia de i L X i. Essa topologia é denominada topologia produto de i L X i e, quando não mencionado o contrário, o produto nito de espaços topológicos sempre é munido dessa topologia. De fato, essa família é a base de uma topologia. Fica a cargo do leitor essa vericação, mas basta ver que a interseção de membros da família B pertence a B. O espaço topológico i L X i munido da topologia produto é denominado espaço produto. As aplicações projeção p i : X X i, p i (x) = x i, desempenham papel principal quando falamos em topologia produto (de fato, elas que motivam a denição da topologia produto). Proposição 3.1 As projeções do espaço produto j L X j em qualquer um dos espaços X i são aplicações contínua. Ou seja, as projeções p i : X j X i são contínuas. j L (x 1,..., x n ) x i Prova: Dado A X i aberto, segue que ( i 1 ) ( n ) p 1 i (A) = X j A X j, j=1 j=i+1 ou seja, a imagem inversa p 1 i (A) é um aberto em j L X j. Isso completa a prova de que p i é contínua ( i L). O lema abaixo mostra uma outra forma que a topologia de um produto nito de espaços poderia ter sido denida. Lema 3.2 Seja {X j } j L uma família nita de espaços topológicos. A família F = { } p 1 i (U) : i L e U é aberto em X i

56 3.1. TOPOLOGIA PRODUTO 55 é uma sub-base da topologia produto em i L X i. Prova: Com efeito, os abertos básicos da topologia produto de j L X j são os conjuntos U j, onde U j é aberto em X j. Logo cada aberto básico U j j L j L é dado por p 1 j (U j ). Isso prova que a base da topologia produto está con- j L tida na base gerada por F. A recíproca é truísmo. Logo poderíamos ter denido a topologa do produto nito de espaços como sendo a topologia gerada pela subbase descrita acima. O teorema abaixo também caracteriza a topologia produto. Teorema 3.3 Sejam L um conjunto nito de índices e {X j } j L uma família de espaços topológicos. Uma aplicação com contradomínio no produto desses espaços é contínua se, e somente se, as suas projeções são contínuas (as funções coordenadas são contínuas). Isto é, sejam p i : X j X i as projeções, f : Y j L X j é contínua se, e somente se, a composição p j f é uma aplicação contínua seja qual for o j L. Prova: Se f é contínua, segue que as composições p i f são composições de funções contínuas e, portanto, são contínuas. Reciprocamente, se todas as composições p i f são contínuas, segue que, dado A j L X j pertencente à sub-base, ou seja, dado A = p 1 i (U) (onde U é aberto em X i e i L), segue que f 1 (p 1 i (U)) é aberto, pois p i f é contínua. Isso completa a prova de que f é contínua. De fato, ca a cargo do leitor vericar que o teorema acima caracteriza a topologia produto. Ou seja, um produto de espaços está munido da topologia produto se, e somente se, vale o teorema acima. Futuramente, isso será j L

57 56 CAPÍTULO 3. TOPOLOGIAS PRODUTO E QUOCIENTE interessante para vericar se uma métrica é coerente/induz com a topologia produto. Lema 3.4 Seja f : X Y uma aplicação contínua. Se Z é um espaço topológico qualquer, g : X Z Y, g(x, z) = g(x), é contínua. Prova: Com efeito, dado U Y aberto, g 1 (U) = f 1 (U) Z, ou seja, é um aberto. Proposição 3.5 Seja f : X Y uma aplicação contínua. Segue que (f f) : X X Y Y (x, y) (f(x), f(y)) é contínua. E, se f é aberto, então (f f) é aberto. Prova: Com efeito, para provar basta notar que as projeções de (f f) são contínuas. Isso completa a prova de que (f f) é contínua. Dados abertos U, V de X. Tem-se que (f f)(u V ) = f(u) f(v ). Logo f é aberta. Uma outra propriedade importante da topologia produto é que produto de conexos é conexo. O caso de produto nito de espaços é provado abaixo. Teorema 3.6 Sejam X 1,..., X k espaços topológicos. O espaço topológico X 1 X k é conexo se, e somente se, para todo j = 1,..., k, X j é conexo. Prova: De fato, se o produto X 1 X k é conexo, então, dado j {1,..., k}, X j é a imagem do espaço X 1 X k pela j-ésima projeção (que é uma aplicação contínua). Portanto X j é conexo. Reciprocamente, provemos que o produto de dois espaços conexos é conexo (a prova para k espaços conexos sai por indução). Sejam X 1, X 2 são espaços conexos. Escolhe-se b X 2 e, para cada a X 1, dene-se P a = ({a} X 2 ) (X 1 {b}). Note que X 1 é homeomorfo a X 1 {b}, e X 2 é homeomorfo a {a} X 2 seja qual for a X 1. Portanto X 1 {b} e {a} X 2 são conexos.

58 3.1. TOPOLOGIA PRODUTO 57 Temos que, para todo a X 1, (a, b) (X 1 {b}) ({a} X 2 ), logo P a é conexo (pois é união de conexos não disjuntos). Escolhe-se f X 1. Temos que, para todo a X 1, (f, b) X 1 {b} P a. Logo P a é uma reunião de conexos não-disjuntos. Portanto a X 1 conexo. a X 1 P a é Topologia Produto Seja {X i } i L uma família innita de espaços topológicos. Essa subseção será dedicada a encontrar uma topologia razoável para o produto i L X i. Lembremos que o conjunto i L X i é, na verdade, o conjunto de todas as funções u : L i L X i tal que u(j) X j ( j L). O axioma da escolha garante que esse produto cartesiano é não-vazio (se todos os conjuntos X i não forem). Para muní-lo de uma topologia, nos motivaremos com o caso nito. Uma das propriedades que seria razoável manter para o caso innito é o fato das projeções serem contínuas. Note que, se Y é um espaço topológico e f : X Y é uma aplicação, é possível encontrar uma topologia τ para X que torna f : X Y contínua. Uma topologia τ que satisfaria isso é a topologia discreta: de fato, a topologia discreta é a maior topologia que satisfaz isso. Para que as projeções p j : i L X i X j sejam contínuas, devemos ter que a topologia τ em i L X i seja maior ou igual (mais na) que a topologia gerada pela subbase F = { p 1 i (U) : i L e U é aberto em X i }. Denição 3.2 (Topologia produto) Seja {X k } k L uma família de espaços topológicos. A topologia em k L X k gerada pela subbase F = { p 1 i (U) : i L e U é aberto em X i }

59 58 CAPÍTULO 3. TOPOLOGIAS PRODUTO E QUOCIENTE é chamada topologia produto de j L X j. Teorema 3.7 Seja {X i } i L uma família innita de espaços topológicos. As projeções p j : X i X j são contínuas ( j L). i L x x j Prova: Conseqüência direta da denição da topologia produto. Teorema 3.8 Seja i L X i um espaço produto. Temos que as projeções p j : i L X i X j são aplicações abertas, ou seja, as imagens de conjuntos abertos são a conjuntos abertos. Prova: Com efeito, basta provar que a imagem de cada elemento da base da topologia em i L X i é um berto em X j. Para isso, note que os elementos da base são do tipo U = {x : α F e x α U α }, para algum F L nito, onde U α X α é aberto. Note que p j (U) = U j se j F, ou p j (U) = X j caso contrário. Ou seja, a imagem de U é aberta. Portanto p j é uma aplicação aberta. Temos, abaixo, o principal resultado que envolve a topologia produto e continuidade de funções. Esse resultado, como veremos, caracteriza a topologia produto.

60 3.1. TOPOLOGIA PRODUTO 59 Teorema 3.9 Sejam {X i } i L uma família de espaços topológicos e Y um espaço topológico. Uma função f : Y i L X i é contínua se, e somente se, cada projeção p j f (j L) é contínua; onde p j : i L X i X j é a função projeção da j-ésima coordenada. Prova: De fato, se f é contínua, temos que p j f é uma composição de aplicações contínuas, ou seja, é contínua. Reciprocamente, se cada projeção p j f da função f : Y i L X i for contínua, segue que, para todo j L e todo U j X j, a imagem inversa f ( 1 p 1 j (U j ) ) é um aberto. Ou seja, a imagem inversa por f dos elementos da subbase p 1 j (U j ) da topologia produto são abertos. Portanto f é contínua. A propriedade acima é uma caracterização da topologia produto. Ou seja, X i está munido da topologia produto se, e somente se, o teorema acima i L vale. Provemos a recíproca do teorema como lema. Lema 3.10 Seja {X i } i L uma família de espaços topológicos. Mune-se o X i de uma topologia τ. Suponha que, para qualquer espaço Y, uma função i L f : Y i L X i é contínua se, e somente se, cada projeção p j f (j L) é contínua; onde p j : i L X i X j é a função projeção da j-ésima coordenada. Segue, então, que τ é a topologia produto. Prova: Com efeito, temos que a aplicação identidade Id : i L X i i L X i é contínua (na topologia τ). Logo, segue da hipótese, que as aplicações

61 60 CAPÍTULO 3. TOPOLOGIAS PRODUTO E QUOCIENTE projeção são contínuas na topologia τ. Temos que a topologia produto é a menor topologia que torna todas projeções contínuas. Portanto a topologia produto é menor (ou igual) que a topologia τ. Seja P o produto cartesiano dos conjuntos X i munido da topologia produto. Dene-se T : P i L X i z z Compondo T com as projeções, teremos exatamente as aplicações projeção no espaço P (que é munido da topologia produto). Logo teremos aplicações contínuas. Segue, então, da hipótese que T é contínuo. Ou seja, a topologia τ é menor ou igual à topologia produto. Sempre, num produto de espaços, consideramos a topologia produto. A situação do lema é aquela em que você mune um produto cartesiano de conjuntos de uma topologia e, depois, prova que, na verdade, essa topologia é a topologia produto em relação a uma família de espaços topológicos (espaço produto daqueles conjuntos munidos de certas topologias). O produto de uma família de espaços conexos é conexo. Segue o resultado em sua forma mais geral. Teorema 3.11 Seja {X α } α L uma família de espaços topológicos. Segue que X α é conexo se, e somente se, para todo α L, X α é conexo. α L Prova: Com efeito, se α L X α é conexo, dado k L, temos que X k é a imagem de α L X α pela k-ésima aplicação projeção (que é contínua). Logo X k é conexo. Reciprocamente, se X α é conexo para todo α L, escolhe-se, para cada λ L, a λ X λ. Então, para cada subconjunto nito F L, toma-se ( ) ( ) A F = X α {a γ }. α F γ L F

62 3.1. TOPOLOGIA PRODUTO 61 Observe que A F é homeomorfo a α F X α e, portanto, é homeomorfo a um produto nito de espaços conexos: em particular, é conexo. Seja P f o conjunto das partes nitas de L. Temos que Z = A F é conexo pois (a λ ) A F. F P f F P f Verique que todos os abertos da base da topologia produto de α L X α possui interseção não vazia com Z. Portanto Z = α L X α, o que completa a prova de que α L X α é conexo. Como veremos futuramente, nem todo produto de espaços métricos é metrizável (apenas produtos enumeráveis). Mas uma propriedade interessante de espaços produto é que o produto (qualquer) de espaços Hausdor é um espaço Hausdor. Segue o teorema que estabelece isso. Teorema 3.12 Seja {X α } α L uma família de espaços topológicos Hausdor. Segue que é um espaço Hausdor. α L Prova: Com efeito, basta notar que, se a, b α L X α são pontos distintos, temos que, para algum h L, a h b h. Portanto existem vizinhanças U h (de a h ) e V h (de b h ) disjuntas em X h, donde segue que p 1 h (U h) e p 1 h (V h) são vizinhanças disjuntas de a e b (respectivamente) no espaço produto X α. α L A recíproca do teorema acima também é verdadeira. A demonstração desse fato será adiada para a próxima seção. Um dos mais famosos resultados sobre espaços compactos de topologia geral, o teorema de Tychono, envolve a topologia produto. Esse teorema arma que o produto de conjuntos compactos é compacto. X α

63 62 CAPÍTULO 3. TOPOLOGIAS PRODUTO E QUOCIENTE Seja X um espaço topológico. Usando o lema de Zorn, é fácil provar que, dada uma família F de subconjuntos de X satisfazendo a propriedade de interseção nita, existe uma família M F de subconjuntos de X maximal em relação à propriedade interseção nita. É usando esse resultado, que provaremos o teorema de Tychono. Lema 3.13 Sejam X um espaço topológico e F uma coleção de partes de um conjunto X com a propriedade de interseção nita. Existe, então, uma coleção M de partes de X maximal satisfazendo a propriedade de interseção nita e contendo F. Prova: Seja P a família das coleções (de subconjuntos de X) que satisfazem a propriedade de interseção nita e que contém F. Dada uma cadeia em P, é bem fácil vericar que a reunião dos elementos dessa cadeia também pertence a P. Portanto, essa reunião é uma cota superior para a cadeia. Portanto segue do lema de Zorn que P possui elemento maximal M. Segue o enunciado e a demonstração do teorema de Tychono. Teorema 3.14 (Teorema de Tychono) Seja {K λ } λ L espaços compactos. Segue que K λ é compacto. λ L uma família de Prova: Seja {K λ } λ L uma família de espaços compactos. Usaremos o teorema 2.25 para provar que λ L K λ é compacto. Dada uma família F de fechados em λ L K λ satisfazendo a propriedade da interseção nita, segue do lema precedente que existe M maximal contendo F e satisfazendo a propriedade de interseção nita. Para completar a demonstração, precisamos provar que F F F. Mas, para isso basta provar que M M M é não vazio. Note que, para todo λ L, a projeção p λ (M) = {p λ (M) : M M} satisfaz a propriedade de interseção nita. Portanto, por X λ ser compacto (para todo λ L), segue que A. A p λ (M)

64 3.2. TOPOLOGIA QUOCIENTE 63 Logo, para cada λ L, podemos escolher x λ A p λ (M) A X λ. Escolhendo dessa forma, segue que, para todo λ L, toda vizinhança U de x λ e todo M M, vale U p λ (M). Portanto p 1 λ (U) M para quaisquer λ L, vizinhança U de x λ e M M. E, como M é maximal em relação à propriedade de interseção nita, isso implica que, para todo λ L e todo aberto U contendo x λ, p 1 λ (U) M. Segue, então, que, dados λ 1,..., λ m L e abertos U 1,..., U m contendo x λ1,..., x λm (respectivamente), a interseção M p 1 λ 1 (U 1 ) p 1 λ m (U m ) é não vazia. Isso provou que todo aberto básico contendo x = (x λ ) tem interseção não vazia com M (para todo M M). E, então, segue que x M para todo M M, donde segue que Em particular, isso provou que teorema. x M M M M M. M, o que completa a prova do 3.2 Topologia Quociente Seja f : X Y uma aplicação sobrejetiva. Se X é um espaço topológico, pode-se munir Y de uma topologia que torne f : X Y contínua. Por exemplo, se Y estiver munido da topologia indiscreta, teria-se f contínua. No entanto, o interesse está em encontrar a maior topologia que satisfaz isso. Denição 3.3 Seja f : X Y uma aplicação. A topologia quociente em Y (em relação a f) é a denida por τ = { U : f 1 (U) é aberto em X }.

65 64 CAPÍTULO 3. TOPOLOGIAS PRODUTO E QUOCIENTE É fácil vericar que, de fato, essa é a maior topologia que torna f contínua. No entanto, será provado na proposição a seguir. Proposição 3.15 Seja f uma aplicação contínua de (X, τ X ) em (Y, τ Y ). Se ϑ é a topologia quociente de Y (em relação a f), então τ Y ϑ. Ou seja, a topologia quociente é a maior topologia que torna f contínua. Prova: Dado U τ Y, por f ser contínua, tem-se que f 1 (U) é aberta em X. Portanto U ϑ. Isso completa a prova de que ϑ é, de fato, a maior topologia que torna f contínua. Teorema 3.16 Seja f : X Y uma sobrejeção contínua de (X, τ X ) em (Y, τ Y ). Se f é aberta (ou fechada), então a topologia τ Y é exatamente a topologia quociente de Y em relação f. Prova: Seja f : X Y uma sobrejeção contínua e aberta. Denotemos por ϑ a topologia quociente em Y. Dado U ϑ, segue que f 1 (U) é aberto. Por ser uma sobrejeção, tem-se que f (f 1 (U)) = U e, por ser aberta, U τ Y. Isso prova que ϑ τ Y. E, por ϑ ser maximal, isso prova que ϑ = τ Y. Seja f : X Y uma aplicação sobrejetiva. Quando a topologia em Y coincide com a topologia quociente em relação a f : X Y, f : X Y é chamada de aplicação quociente. O teorema precedente provou que uma aplicação aberta (ou fechada) sobrejetiva é necessariamente uma aplicação quociente. E, então, segue do teorema 2.23 que toda aplicação sobrejetiva de um compacto num Hausdor é uma aplicação quociente. O teorema abaixo caracteriza a topologia a quociente. Teorema 3.17 Seja f : X Y uma aplicação quociente. Segue que uma aplicação g : Y M é contínua se, e somente se, g f : X M é contínua. Prova: Com efeito, se g é contínua, g f é uma composição de funções contínuas e, portanto, é contínua. Reciprocamente, se g f é contínua, dado um aberto U M, tem-se que f 1 (g 1 (U)) é aberto em X. Logo, por Y estar munido da topologia quociente, tem-se que g 1 (U) é necessariamente aberto

66 3.2. TOPOLOGIA QUOCIENTE 65 em Y. Portanto g é contínua. Isso completa a demonstração do teorema. O teorema precedente, na verdade, caracteriza a topologia quociente. Ou seja, um espaço topológico Y está munido da topologia quociente em relação a uma aplicação f : X Y se, e somente se, o teorema precedente é válido. Seja X um espaço topológico. Uma relação nos pontos de X é encarado como sendo um subconjunto E X X. Se R é uma relação de equivalência, denotamos o conjunto das classes de equivalência por X/R. Dene-se a projeção P : X X/R x x Onde x X/R é a classe de equivalência de x. Evidentemente que P está bem denida e é uma sobrejeção. Mune-se, então, X/R da topologia quociente (em relação a P ). Dada uma aplicação quociente g : X Y, temos que X = g 1 (y). y Y Podemos, então, denir uma relação de equivalência em X: R = {(x, y) : g(x) = g(y)}. Assim, podemos identicar Y com X/R: e, então, todo espaço quociente é obtido da forma acima. Teorema 3.18 Seja X um espaço topológico. Se R é uma relação de equivalência no conjunto X, tal que a aplicação quociente P : X X/R é aberta. Temos que X/R (munido da topologia quociente) é Hausdor se, e somente se, R é fechado em X X. Prova: Com efeito, seja P : X X/R a aplicação quociente. Armamos que (P P ) : X X X/R X/R, dada por (P P )(y, z) = (P (y), P (z)), é aplicação quociente (visto que é uma aplicação aberta e sobrejetiva). Se X/R é Hausdor, segue que a diagonal de X/R X/R é fechada em X/R X/R. Logo temos que a imagem inversa da diagonal pela P P é fechada em X X. Essa imagem inversa é justamente a relação R X X. Ou seja, provamos que R é fechada em X X. Reciprocamente, se R é fechada em X X, então o complementar de R é aberto. Mas o complementar é imagem inversa do complementar da diagonal de X/R X/R. Portanto, pela topologia quociente, segue que o

67 66 CAPÍTULO 3. TOPOLOGIAS PRODUTO E QUOCIENTE complementar da diagonal é aberto em X/R X/R. Ou seja, a diagonal de X/R X/R é fechada. Portanto X/R é Hausdor. Para completar o capítulo, provaremos um resultado que relaciona as duas topologias: quociente e produto. De fato, as projeções do espaço produto são aplicações quociente. Teorema 3.19 Seja {X α } α L uma família de espaços topológicos. Temos que as aplicações de projeção p γ : Π α L X α X γ são aplicações quociente. Prova: Esse resultado sai imediamente do fato de que as projeções são aplicações abertas (sobrejetivas). Um exemplo de aplicação do resultado acima é o teorema abaixo. Teorema 3.20 Seja {H α } α L uma família de espaços. Temos que Π α L H α é Hausdor se, e somente se, H α é Hausdor para todo α L. Prova: Se H α é Hausdor α L, já provamos que o produto desses espaços será Hausdor na seção precendente. Reciprocamente, se o produto é Hausdor, dado γ L, temos que a projeção p γ : α L H α H γ é aplicação quociente. Toma-se o conjunto { ( ) ( ) } R = (u, j) H α H α : p γ (u) = p γ (j). α L α L ( ) ( Note que R é fechado em H α H α ). Como a projeção é α L α L uma aplicação quociente aberta, segue que X γ é Hausdor.

68 Capítulo 4 Espaços Métricos Denição 4.1 Um métrica num conjunto X é uma função d : X X R tal que 1. d(x, y) = d(y, x); 2. d(x, x) = 0; 3. x y d(x, y) > 0; 4. x, y, z X, d(x, z) d(x, y) + d(y, z). A última condição é chamada desigualdade triangular (devido a sua origem). A função d é chamada de métrica ou função distância em X, e o par (X, d) é um espaço métrico. É bem fácil encontrar exemplos de espaços métricos. R é um espaço métrico, quando munido da métrica usual (d(x, y) = x y ). De forma mais geral, um espaço vetorial normado E é um espaço métrico, com sua métrica usual (d(x, y) = x y ) e qualquer subconjunto de do espaço é um subespaço métrico. Denição 4.2 (Bola aberta) Seja (M, d) um espaço métrico. A bola aberta de centro a M e raio R é o conjunto B(a; R) = {x M : d(a, x) < R}. Dene-se também a bola fechada e a esfera de centro a M e raio R como sendo os conjuntos B [a; R] = {x M : d(a, x) R} e S(a; R) = {x M : d(a, x) = R}, respectivamente. 67

69 68 CAPÍTULO 4. ESPAÇOS MÉTRICOS 4.1 A Topologia da Métrica Um espaço métrico M é um tipo especial de espaço topológico, quando adotamos a topologia induzida pela métrica do espaço em questão. Tal topologia será apresentada abaixo. Denição 4.3 (Topologia da métrica) Um espaço métrico (M, d) é de forma natural um espaço topológico, munindo M da topologia τ d que tem base H d = {B(a; r) : a M e r 0}. Para ver que existe uma topologia cuja base é H d basta vericarmos os tópicos do lema 1.3. Com efeito, x M, temos, evidentemente, que x B(x; 1), e, dadas duas bolas não-disjuntas B(a; r) e B(b; R), toma-se t B(a; r) B(b; R) e, então B (t, min {R d(t, b), r d(t, a)}) B(a; r) B(b; R) (Verique!). O que foi mostrado somado ao fato de que B(a, 0) = H d completa a prova de que B é uma base para uma topologia. A topologia τ d gerada pela base H d é chamada topologia induzida pela métrica d, ou simmplesmente topologia do espaço métrico (M, d). Observação: Podemos munir um conjuto M com duas métricas diferentes d 1 : M M R e d 2 : M M R. Assim temos dois espaços métricos diferentes, são eles (M, d 1 ) e (M, d 2 ). Quando essas duas métricas induzem a mesma topologia em M, elas são ditas equivalentes. Exemplo (Subespaço métrico) Seja (M, d) um espaço métrico. Se A M, (A, d A A ) é chamado de subespaço métrico de M. Note que a topologia induzida por d A A em A é justamente a topologia do subespaço topológico A de M, denida no exemplo Um dos problemas que motivaram uma parte da pesquisa em topologia no passado foi o de metrizibilidade. Ou seja, descobrir quando um espaço topológico pode ser munido de uma métrica coerente com sua topologia. Denição 4.4 (Espaço topológico metrizável) Um espaço topológico (X, τ) é metrizável, se podemos denir uma métrica d em X que induza a topologia τ. Um espaço métrico pode ser considerado um par (X, d), onde X é um espaço topológico metrizável e d é uma métrica que induza a topologia de X. Exemplo Dado um conjunto X, dene-se a métrica zero-um d : X X R dada por:

70 4.1. A TOPOLOGIA DA MÉTRICA 69 d(x, y) = 1, se x y; d(x, y) = 0, se x = y. A topologia induzida por essa métrica é a topologia discreta (Verique!). É bem fácil vericar a recíproca, ou seja, que todo espaço topológico discreto é metrizável: e a métrica zero-um é coerente com a topologia. O produto nito de espaços métricos é metrizável. E existem algumas métricas coerentes com a topologia produto. Segue a denição. Exemplo (Métrica produto) Sejam (M 1, d 1 ), (M 2, d 2 ), (M 3, d 3 ),..., (M n, d n ) espaços métricos. O produto cartesiano M 1 M 2 M n tornase um espaço métrico ao muní-lo com uma das três métricas abaixo. Dados x = (x 1, x 2,..., x n ) e y = (y 1, y 2,..., y n ), sendo x i, y i M i, essas métricas são tais que: n d C (x, y) = d i (x i, y i ); (4.1) i=1 d m (x, y) = max i {1,...,n} {d i (x i, y i )} ; (4.2) ( n ) 1/2 d E (x, y) = d i (x i, y i ) 2. (4.3) i=1 Tais métricas induzem a topologia produto 1 das topologias induzidas por d 1,..., d n em M 1,..., M n. Todas as três são, portanto, equivalentes. O produto innito (enumerável) de espaços métricos é metrizável, mas adiaremos essa armação para a subseção de conjuntos limitados. As topologias induzidas por uma métrica têm algumas propriedades especiais. Um exemplo é que todas as topologias induzidas por uma métrica são Hausdor. Proposição 4.1 Todo espaço métrico é Hausdor. E, portanto, todo espaço topológico metrizável é Hausdor. 1 Ver seção 3.1.

71 70 CAPÍTULO 4. ESPAÇOS MÉTRICOS Seja ) M ( um espaço ) métrico. Dados a, b M distintos, basta ver que e B b; d(a,b) são abertos que satisfazem a condição de Haus- 2 Prova: ( B dor. a; d(a,b) 2 Assim, todo espaço que não for Hausdor não é metrizável. Outra propriedade topológica interessante que espaços métricos (e metrizáveis) possuem é de possuírem bases locais enumeráveis. Isso quer dizer que, para cada x num espaço métrico, existe uma família enumerável de vizinhanças abertas de x tal que, para qualquer vizinhança V de x, existe um elemento dessa família que é subconjunto de V. Note que, num espaço métrico M, para cada x M, podemos tomar a família {B(x; 1/n) : n N}. Quando um espaço topológico X possui bases locais (também chamadas de sistema fundamental de vizinhanças abertas) enumeráveis, dizemos quee X satisfaz o 1 o axioma da enumerabilidade. Nem todo espaço topológico satisfaz o 1 o axioma da enumerabilidade e é fácil ver que isso é uma propriedade topológica, portanto, quando um espaço topológico não satisfaz o 1 o axioma da enumerabilidade, ele não é metrizável. Quando um espaço topológico possui uma base enumerável, diz-se que ele satisfaz o segundo axioma da enumerabilidade. É bem fácil de vericar que todo espaço que satisfaz o segundo axioma da enumerabilidade, satisfaz, também, o primeiro axioma da enumerabilidade. Diferente do primeiro axioma da enumerabilidade, nem todo espçao métrico satisfaz o segundo axioma da enumerabilidade. Na verdade, se M é um espaço métrico, M satisfaz o segundo axioma da enumerabilidade se, e somente se, M é separável 2. Vale, então, o seguinte lema de Urysohn (que não será provado por não ter muita importância no contexto). Lema 4.2 (Lema de Urysohn) Seja X um espaço topológico. Se X é Hausdor, satisfaz o segundo axioma da enumerabilidade e todo par de fechados disjuntos em X possui um par de abertos disjuntos os contendo 3, então X é metrizável. Como conseqüência desse lema, temos que todo espaço Hausdor compacto com base enumerável é metrizável. 2 Ser separável signica possuir um subconjunto enumerável denso em M. 3 Essa condição é chamada de espaço regular.

72 4.1. A TOPOLOGIA DA MÉTRICA 71 Teorema 4.3 Todo espaço Hausdor, compacto com base enumerável é metrizável. Prova: É bem fácil de provar que um espaço é Hausdor se, e somente se, separa compactos por abertos (ou seja, todo par de subconjuntos compactos disjuntos no espaço possui um par de abertos disjuntos os contendo (cada um aberto contém um compacto)). Logo, dado um par de fechados disjuntos num espaço Hausdor compacto X (satisfazendo o segundo axioma da enumerabilidade), segue que temos um par de subconjuntos compactos disjuntos em X. E, portanto, esse par é separado por abertos. Isso completou a prova do teorema, pois provamos que o espaço Hausdor, compacto com base enumerável satisfaz a hipótese do lema de Urysohn Conjuntos Limitados Uma propriedade métrica é aquela que é preservada por isometrias (aplicações bijetivas que preservam distâncias). Como é fácil ver, toda propriedade topológica é uma propriedade métrica, mas nem toda propriedade métrica é topológica. Veremos, aqui, uma propriedade que não é topológica: a limitação. Mas, usando isso, nesta subseção, mostraremos que um produto enumerável de espaços metrizáveis é metrizável. Denição 4.5 (Conjunto limitado) Seja M um espaço métrico. A M é um conjuto limitado, se o conjunto {d(x, y) : x, y A} é limitado. Denese, também, o diâmetro de A. Com efeito, se A é limitado, o diâmetro de A é dado por diam(a) := sup {d(x, y) : x, y A}. Note que a propriedade de A ser limitado não é uma propriedade topológica, já que depende da métrica em A. Seja M um espaço métrico. Se M é limitado, dizemos que a métrica de M é limitada. O lema abaixo diz que todo espaço metrizável possui uma métrica coerente com a topologia que é limitada. Lema 4.4 Seja (M, d) um espaço métrico. Para todo k N, segue que existe uma métrica d l limitada por 1/k equivalente à métrica d.

73 72 CAPÍTULO 4. ESPAÇOS MÉTRICOS Prova: Com efeito, basta denir d l (x, y) = d(x, y) k(1 + d(x, y)). É fácil de vericar que d l é métrica. Além disso, de fato, d l (x, y) 1/k para quaisquer x, y M. O lema precendente implica, em particular, que, de forma geral, limitação não é uma propriedade topológica, anal, todo espaço topológico metrizável possui uma métrica limitada. Com essas observações, podemos provar que o produto enumerável de espaços metrizáveis é metrizável. Proposição 4.5 Seja {M n } n N uma família de espaços metrizáveis. Segue que M = n N M n é metrizável. Prova: Com efeito, basta ver que, para cada espaço metrizável M n da família, existe uma métrica d n limitada por 1/2 n. Logo, dados x, y M, podemos denir d(x, y) = d n (x n, y n ). n N De fato, isso converge e, portanto, está bem denido. Vericar que isso é uma métrica e que é coerente com a topologia produto é fácil. Seguem alguns resultados básicos sobre conjuntos limitados. Lema 4.6 Seja M um espaço métrico. São verdadeiras as seguintes armações: 1. Todo subconjunto de um conjunto limitado é limitado; 2. As bolas abertas, bolas fechadas e esferas são conjuntos limitados; 3. A reunião de duas bolas abertas é limitada;

74 4.1. A TOPOLOGIA DA MÉTRICA 73 Prova: (1): Seja A M limitado. Dada uma cota superior c das distâncias d(x, y) (x, y M), basta ver que, d(x, y) c, x, y M e, em particular, d(x, y) c, x, y A. (2): Dada uma bola aberta B (a; r) M, tomando x, y B (a; r), tem-se que, pela desigualdade triangular, d(x, y) d(x, T ) + d(a, y) r + r = 2r. Logo 2r é cota superior do conjunto {d(x, y) : x, y B (a; r)}, ou seja, B (a; r) é limitado. As demonstrações para as esferas e para as bolas fechadas são análogas. (3): Dadas as bolas abertas B 1 = B (a; r) e B 2 = B (b; R). Basta ver que, dados x, y B 1 B 2. Ou eles pertecem cada um a um conjunto, ou eles pertecem a um mesmo conjunto. Se supormos que x B 1 e y B 2. Tem-se, pela desigualdade triangular, que: d(x, y) d(x, b) + d(b, y) d(x, a) + d(a, b) + d(b, y) R + r + d(a, b) Ou seja, temos que max {(d(a, b) + R + r), 2R, 2r} é uma cota superior do conjunto {d(x, y) : x, y B 1 B 2 }, ou seja, B 1 B 2 é limitado. Lema 4.7 Seja M um espaço métrico. X M é limitado se, e somente se, X está contido numa bola aberta. Prova: Como toda bola aberta em M é limitado, se A é subconjunto de uma bola aberta, então A é limitado. Reciprocamente, tem-se que, se X M é limitado, então, a X, tem-se B (a; sup {d(x, y) : x, y X}) X. O que completa a demonstração da recíproca. Proposição 4.8 Seja M um espaço métrico. A reunião de dois conjuntos limitados A, B M é limitada. Conseqüentemente, podemos generalizar, ou seja, sejam X i M, i {1,..., n} conjuntos limitados, então a reunião n X i é limitada. i=1

75 74 CAPÍTULO 4. ESPAÇOS MÉTRICOS Prova: Sejam A, B M limitados. Tomando as bolas abertas B 1, B 2 M tais que B 1 A e B 2 B, basta ver que, pelo lema 4.6, B 1 B 2 é limitado e, como B 1 B 2 A B, tem-se, pelo mesmo lema, que A B limitado. Se X i M é limitado i {1,..., n, n ( + 1}, supõe-se por indução que n n+1 n ) X i é limitado. Basta ver que X i = X i X n é uma reunião de i=1 i=1 dois conjuntos limitados, logo é limitado. Segue um lema bem interessante sobre espaços metrizáveis compactos. i=1 Lema 4.9 Todo espaço métrico compacto é limitado. Prova: Seja M um espaço métrico compacto. Basta tomar uma cobertura aberta por bolas abertas de raio 1. Pela hipótese de compacidade, segue que existe uma subcobertura nita. Ou seja, M está contido numa reunião nita de limitados. E, portanto, M é limitado. O lema precedente mostrou que todas as métricas de um espaço metrizável compacto são limitadas. Tínhamos visto que todos os espaços metrizáveis possuem uma métrica limitada. No caso de espaços compactos, vemos que só existem métricas limitadas Espaços Vetoriais Normados Exemplo (Métrica em R n ) A métrica usual da reta R é a métrica dada por d(x, y) = x y. Ela induz a topologia usual da reta (Verique!). Em R 2 usamos distância de ponto a ponto e teremos a métrica euclidiana d e : R 2 R 2 tal que, dados x = (x 1, x 2 ) R 2 e y = (y 1, y 2 ) R 2, d e (x, y) = (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2. Essa métrica induz a topologia usual de R 2.

76 4.1. A TOPOLOGIA DA MÉTRICA 75 De forma geral, a métrica euclidiana de R n é tal que, dados x = (x 1, x 2,..., x n ) R n e y = (y 1, y 2,..., y n ) R n, ( n ) 1/2 d E (x, y) = (x i y i ) 2 i=1 (4.4) A métrica euclidiana induz a chamada topologia usual de R n (note que essa métrica coincide com as que vimos para os casos n = 3, n = 2 e n = 1). Outras métricas induzem a mesma topologia em R n. São elas a métrica d C : R n R n e a métrica d m : R n R n tais que, dados x = (x 1, x 2,..., x n ) R n e y = (y 1, y 2,..., y n ) R n, d C (x, y) = Essas três métricas são equivalentes. e n x i y i (4.5) i=1 d m (x, y) = max i {1,...,n} { x i y i }. (4.6) Podemos denir de maneira natural uma métrica num espaço vetorial normado. Antes de dení-la, vamos relembrar o que queremos dizer por espaço vetorial normado. Comecemos por denir o que é uma norma num espaço vetorial. Denição 4.6 (Função norma) Seja E um espaço vetorial. Uma norma em E é uma função : E R tal que: 1. u = 0 = u é o vetor nulo; 2. λ R e u E, λ u = λ u ; 3. u, v E, u + v u + v. A última condição também é chamada desigualdade triangular.

77 76 CAPÍTULO 4. ESPAÇOS MÉTRICOS Observação: Um espaço vetorial E munido de uma função norma é chamado de espaço vetorial normado. Um espaço vetorial normado pode ser denotado pelo par (E, ), sendo E o espaço vetorial e : E R a função norma nele. Antes de denir a métrica do espaço vetorial normado, vamos apresentar alguns resultados básicos sobre a função norma. Proposição 4.10 Seja (E, ) um espaço vetorial normado. Segue, então, que: 1. u 0, u E; 2. Se z é o vetor nulo do espaço E se, e somente se, z = 0. Prova: Para demonstrar 1, utilizamos a desigualdade triangular da função norma. Com efeito, dado u E, basta ver que u + ( u) u + ( u), ou seja, u + ( 1)u 0 = 0, donde tem-se que u + ( 1) u 0. Portanto u + u 0, id est, 2 u 0 e, então, u 0. Para provar o 2, se z é o vetor nulo, é evidente que z = 0 z. Portanto z = 0 z = 0 z = 0, o que completa a demonstração do 2, já que a recíproca já é uma condição para que seja uma norma. Denição 4.7 Seja (E, ) um espaço vetorial normado. Dene-se em E a métrica d : E E R, d(x, y) = x y. Tal métrica é chamada de métrica proveniente da norma. Observação: Resta-nos provar que a métrica acima denida é realmente uma métrica, id est, satisfaz os 4 postulados da métrica. Com efeito, 1. Dados u, v E, d(u, v) = u v = ( 1)v u = ( 1) v u = 1 v u = v u = d(v, u). 2. u E, d(u, u) = u u = 0; 3. Dados u v em E, tem-se que u v não é o vetor nulo. Portanto d(u, v) = u v > 0.

78 4.1. A TOPOLOGIA DA MÉTRICA u, v, w E, d(u, w) = u w = (u v) + (v w) e, pela desigualdade triangular da norma, d(u, w) = (u v) + (v w) u v + v w = d(u, v) + d(v, w). Ou seja, d(u, w) = d(u, v) + d(v, w). O que completa a prova de que estamos realmente falando de uma métrica. Exemplo (Espaço vetorial R n ) No espaço vetorial R n normalmente dene-se uma das três normas: ( n ) 1/2 1. Dado x = (x 1,..., x n ) R n, x = x 2 i ; 2. Dado x = (x 1,..., x n ) R n, x = i=1 n x i ; 3. Dado x = (x 1,..., x n ) R n, x = max { x 1,..., x n }. Note que as métricas provenientes dessas normas são as métricas 4.4, 4.5 e 4.6 do exemplo Fica a cargo do leitor demonstrar que essas funções acima denidas são realmente normas em R n. As três normas acima são ditas equivalentes pelo fato de que as métricas provenientes delas o serem. Exemplo Sejam (E 1, 1 ),..., (E n, n ) espaços vetoriais normados. Segue que E 1 E n é um espaço vetorial e podemos muní-lo de uma das três normas abaixo: ( n ) 1/2; 1. Dado x = (x 1,..., x n ) (E 1 E n ), x = ( x i i ) 2 i=1 2. Dado x = (x 1,..., x n ) (E 1 E n ), x = i=1 n x i i ; 3. Dado x = (x 1,..., x n ) (E 1 E n ), x = max { x 1 1,..., x n n }. As métricas provenientes dessa norma são as métricas 4.3, 4.1 e 4.2 do exemplo 4.4.2, as quais são equivalentes; logo as normas acima também são chamadas de equivalentes. i=1

79 78 CAPÍTULO 4. ESPAÇOS MÉTRICOS Métrica da convergência uniforme Denição 4.8 Uma aplicação f : X M, denida num conjunto arbitrário X e tomando valores num espaço métrico (M, d), chama-se limitada quando sua imagem f(x) é um subconjunto limitado de M. Exemplo (Métrica da convergência uniforme) Sejam X um conjunto arbitrário e (M, d M ) um espaço métrico. Indica-se com a notação β (X; M) o conjunto das funções limitadas f : X M. Dadas f, g β (X; M), as distâncias d M (f(x), g(x)), quando x varia em X, formam um conjunto limitado, pois f(x) g(x) é uma reunião de limitados temos que: {d (f(x), g(x)) : x X} {d(a, b) : a, b f(x) g(x)}, ou seja, é um subconjunto de um conjunto limitado, portanto limitado. Por {d (f(x), g(x)) : x X} ser limitado, pode-se denir d cm : β (X; M) β (X; M) R (f, g) sup {d (f(x), g(x)) : x X}. Fica a cargo do leitor mostrar que isso realmente é uma métrica. Essa métrica é chamada métrica do sup ou métrica da convergência uniforme Funções Contínuas Nesta seção, será trabalhado com funções contínuas em espaços métricos: será denido e alguns resultados serão provados. Denição 4.9 Sejam (M, d M ) e (N, d N ) espaços métricos. f : M N é contínua no ponto a M, se ɛ > 0, δ > 0, tal que d(x, a) < δ = d(f(x), f(a)) < ɛ. A função f é contínua, se for contínua em todos os pontos a M. Ou seja, f : M N é contínua, se para toda bola B N (f(a); ɛ) N, existe uma bola B M (a; δ) M tal que f (B M (a; δ)) B N (f(a); ɛ). Vamos, primeiramente, provar que essa denição de continuidade é equivalente à denição de continuidade em espaços topológicos metrizáveis. Com efeito, a proposição abaixo estabelece isso. 4 Esse último nome é devido a um fato que cará claro na seção 4.3.

80 4.2. FUNÇÕES CONTÍNUAS 79 Proposição 4.11 Sejam M e N espaços topológicos metrizáveis com métricas d M e d N respectivamente. Então f : M N é contínua se, e somente se, para toda bola B N (f(a); ɛ) N, existe uma bola B M (a; δ) M tal que f (B M (a; δ)) B N (f(a); ɛ). Prova: É fácil ver que, se f é contínua com as topologias induzidas pelas métricas, então a imagem inversa de um bola aberta B(f(a); ɛ) é um aberto; logo podemos tomar uma bola aberta B(a; δ) tal que B(a; δ) f 1 (B(f(a); ɛ)), ou seja, f (B(a; δ)) f 1 (B(f(a); ɛ)). Para provar a recíproca, basta ver que, se f : M N é contínua segundo a denição acima, e se A N aberto, então, dado a f 1 (A ), por A ser aberto, existe ɛ > 0 tal que B N (f(a); ɛ) A. Pela denição acima, segue que existe δ > 0 tal que f (B M (a; δ)) B N (f(a); ɛ) A. O que quer dizer que B(a; δ) f 1 (A ), ou seja, a f 1 (A ), existe δ > 0 tal que B(a; δ) f 1 (A ). Isso quer dizer que f 1 (A ) é um aberto, o que completa a prova da recíproca. Logo poderíamos ter denido (de forma mais interessante) uma função contínua entre espaços métricos como sendo uma função contínua de acordo com as topologias induzidas. Exemplo Um exemplo de aplicação contínua é uma função sobrejetiva f : M N tal que d(f(x), f(y)) = d(x, y) para quaisquer x, y M. Esse tipo de aplicação é chamado de isometria. De fato, toda isometria é um homeomorsmo. As propriedades preservadas por isometrias são chamdas de propriedades métricas (dois espaços métricos isométricos são indistinguíveis). Pelo observado, segue que toda propriedade métrica é uma propriedade topológica. Quando a aplicação satisfaz a igualdade, mas não é sobrejetiva, ela é chamada de imersão isométrica. Nesse caso, o espaço do domínio é isométrico a sua imagem (um subconjunto do espaço contadomínio) 5. Denição 4.10 (Seqüência e seqüência convergente) Uma seqüência de pontos num espaço topológico M é uma função x : N M. Diz-se que x(n) é o n-ésimo termo da seqüência e denota-se por x n. A seqüência pode ser denotada por (x 1, x 2,...), ou por (x n ) n N, ou ainda por apenas (x n ). 5 Verique que toda imersão isométrica é injetiva.

81 80 CAPÍTULO 4. ESPAÇOS MÉTRICOS Diz-se que (x n ) converge para L M, se, para toda vizinhança aberta U de L, existe N N, tal que n > N = x n U. Escreve-se lim x n = L ou x n L. L é denominado o limite da seqüência (x n ) Como os espaços topológicos podem ter comportamentos patológicos, o teorema da unicidade do limite não vale para todos os espaços topológicos. Assim, uma seqüência num espaço topológico pode convergir para mais de um ponto. No caso de espaços Hausdor, perdemos essa possibilidade. Proposição 4.12 Num espaço de Hausdor, se (x n ) converge, então seu limite é único. Prova: Seja M um espaço topológico de Hausdor. Por absurdo, caso existissem dois limites x, y M distintos de uma seqüência (x n ), teríamos que existem abertos U x e U y tais que x U x, U y U y e U x U y =. Pela denição de convergência, teríamos que existem N x N e N y N tais que n > N x = x n U x e n > N y = x n U y. Portanto n > max {N y, N x } = x n U x e x n U y, ou seja, x n U x U y, o que é um absurdo (pois U x U y = ). O que completa a prova por absurdo de que o limite é único. Como todo espaço métrizável é Hausdor, segue uma conseqüência óbvia. Corolário Em um espaço métrizável M, se (x n ) for uma seqüência de pontos de M convergente em M, então seu limite é único. Prova: Pela proposição 4.1, todo espaço métrizável é Hausdor e, pela proposição precedente, temos que isso infere que todo espaço metrizável tem os limites de suas seqüências convergentes únicos. Trabalharemos, aqui, apenas com seqüências em espaços metrizáveis. Portanto as seqüências convergentes, aqui, consideradas terão necessariamente limites únicos. Proposição 4.13 Seja X um espaço métrico e (x n ) um seqüência em X. Então (x n ) converge para L X se, e somente se, ɛ > 0, existe N N tal que n > N = x n B(L; ɛ).

82 4.2. FUNÇÕES CONTÍNUAS 81 Prova: Se (x n ) é contínua, então, dado uma vizinhança B(L; ɛ) de L, existe N N tal que n > N = x n B(L; ɛ). Para provar a recíproca, basta ver que se ɛ > 0, existe N N tal que n > N = x n B(L; ɛ), então, dada uma vizinhança U de x, temse que existe uma bola B(L; ɛ) U e, portanto, existe N N tal que n > N = x n B(L; ɛ) U, ou seja, x U. O que completa a demonstração da proposição. Podemos caracterizar a topologia de um espaço metrizável por seqüências. Assim, muitos conceitos topológicos, como conjuntos serem fechados, conjuntos serem abertos, dentre outras, podem ser caracterizadas de acordo com o comportamento de certas seqüências. Segue uma caracterização desse tipo: caracterização de funções contínuas por seqüências. Teorema 4.14 Sejam M e N espaços métricos. Então f : M N é contínua se, e somente se, (x n ) em M ser tal que x n a implicar f(x n ) f(a) (em N). Prova: Seja f : M N contínua. Dada uma seqüência x n a, temse que, dada uma vizinhança aberta U de f(a), a imagem inversa de U também é um aberto (vizinhança aberta de a). Logo existe N N tal que n > N = x n f 1 (U), ou seja, existe N N tal que n > N = f(x n ) U, o que completa a prova de que f(x n ) f(a). Seja f : M N tal que (x n ) em M converge para a implique f(x n ) f(a). Por absurdo, suponhamos que f não é contínua em um dado a M. Logo tem-se que, existe ɛ > 0 tal que para cada n N, podemos escolher x n B (a; 1/n) e d (f(x n ), f(a)) ɛ; ou seja, temos que x n a, mas não f(x n ) não converge para f(a), pois, caso f(x n ) f(a), teríamos que, para algum N N, n > N = d (f(x n ), f(a)) < ɛ. O fato de f(x n ) não convergir para f(a) (e x n a) contraria a hipótese, o que completa a demonstração por absurdo da recíproca do teorema. Existe uma noção de continuidade uniforme em espaços métricos. Enquanto a noção de continuidade é local (fala-se em continuidade em um ponto), a noção de continuidade uniforme é global. Segue a denição.

83 82 CAPÍTULO 4. ESPAÇOS MÉTRICOS Denição 4.11 Sejam M, N espaços métricos. Uma aplicação f : M N diz-se uniformemente contínua, quando para todo ɛ > 0 existe δ > 0 tal que d(x, y) < δ d(f(x), f(y)) < ɛ. Exemplo Evidente que toda aplicação uniformemente contínua é contínua. Sejam X, Y espaços métricos. Uma aplicação f : X Y chama-se aplicação de Lipschitz, se existe λ > 0 tal que, para todo x, y M, d(f(x), f(y)) λd(x, y). Segue que toda aplicação de Lipschitz é uniformemente contínua. dado ɛ > 0, basta tomar δ = ɛ e, então, segue que 2λ Anal, d(x, y) < δ d(f(x), f(y)) < ɛ. 4.3 Convergência Uniforme Denição 4.12 (Convergência uniforme) Seja f n : X Y uma seqüência de funções de um espaço métrico (X, d X ) num espaço métrico (Y, d Y ). Diz-se que (f n ) converge uniformemente para a função f : x Y, se, para todo ɛ > 0, existir um N N tal que n > N = d Y (f n (x), f(x)) < ɛ, x X. Note que (f n ) converge uniformemente para f, se (f n ) converge para f no espaço métrico (β (X; M), d cm ) 6. Teorema 4.15 Seja f n : X Y uma seqüência de funções contínuas de um espaço topológico X num espaço métrico Y. Se (f n ) converge uniformemente para f : X Y, então f é contínua. Prova: Dados um ponto x o X e uma bola aberta B(f(x o ); ε) em Y, existe N N tal que n > N = d(f n (x), f(x)) < ε, x X. 3 6 Espaço métrico apresentado no exemplo

84 4.4. ESPAÇOS MÉTRICOS COMPLETOS 83 Pela continuidade de f N+1, segue que existe uma vizinhança V de x o tal que x V = d(f N+1 (x o ), f N+1 (x)) < ɛ 3. Segue que x V = d(f(x), f(x o )) < d(f(x), f N+1 (x)) + d(f N+1 (x), f N+1 (x o )) + d(f N+1 (x o ), f(x o )) < ɛ 3 + ɛ 3 + ɛ 3 < ɛ Isso completa a prova de que f é contínua. 4.4 Espaços Métricos Completos Para apresentar a denição de espaços métricos completos, precisamos fazer uso de um tipo de seqüência chamada seqüência de Cauchy. Denição 4.13 (Seqüência de Cauchy) Seja (M, d) um espaço métrico. Uma seqüência (x n ) de pontos em M é dita de Cauchy, se ɛ > 0, existe N tal que: m, n > N d(x n, x m ) < ɛ. Para começarmos a discutir a noção acima introduzida, enunciaremos a proposição abaixo. Proposição 4.16 Seja M um espaço métrico. Toda seqüência (x n ) em M convergente é Cauchy. Prova: Seja (x n ) convergente. Basta ver que, dado ɛ > 0, existe N N tal que n > N implica x n B(L; ɛ ) (onde L é o limx 2 n), donde segue que m, n > N implica que d(x n, x m ) d(x n, L) + d(x m, L) = ɛ + ɛ = ɛ. 2 2 Note que a recíproca da proposição 4.16 nem sempre é verdadeira. Basta ver o espaço métrico (Q, d) dos racionais com a métrica induzida da reta é tal que podemos tomar uma seqüência de Cauchy que não tenha limite (fato que é explicitado em cursos de Análise). Por exemplo, se tomarmos (x n ) tal que x n = 3, a 1 a 2... a n, onde a n é o n-ésimo digito do π. Evidente que essa

85 84 CAPÍTULO 4. ESPAÇOS MÉTRICOS seqüência é de Cauchy e, no entanto, sabemos que ela não converge para nenhum ponto em Q. Quando a recíproca da proposição acima vale para um espaço métrico (M, d), dizemos que (M, d) é completo. Por exemplo, a reta com a métrica usual é completa. Denição 4.14 (Espaço métrico completo) Diz-se que um espaço métrico M é completo, quando toda seqüência de Cauchy de pontos em M converge para um ponto em M, ou seja, quando toda seqüência de Cauchy é convergente. Veremos, futuramente, que um espaço métrico ser completo não é uma propriedade topológica. Um exemplo é o espaço dos números irracionais. Com a métrica usual (induzida pela métrica usual da reta), esse espaço não é completo. Mas existe uma métrica equivalente à usual que o torna completo. Um exemplo mais fácil é um intervalo aberto da reta. Evidente que, com a métrica usual, intervalos abertos não são completos. Mas sabemos que intervalos abertos são homeomorfos à reta; logo, tomando a métrica induzida por esse homeomorsmo (que é equivalente à métrica usual por induzir a mesma topologia), os intervalos abertos se tornam completos. Uma das importantes caracterizações de espaços métricos completos tem a ver com fechados encaixantes. Segue o teorema que estabelece essa caracterização. Teorema 4.17 (Caracterização) Um espaço métrico (M, d) é completo se, e somente se, toda seqüência decrescente F 1 F 2... F n... de fechados não-vazios em M, com diamf n 0 tem interseção unitária, ou seja, F i = {a} para algum a F 1. i=1 Prova: Com efeito, se M é completo, dada F 1 F 2... F n... uma seqüência de fechados não-vazios em M satisfazendo as condições da hipótese, segue que, para cada j N, podemos tomar a j F j. A seqüência (a n ) é obviamente de Cauchy, pois, dado ɛ > 0, existe m N, tal que diamf m < ɛ. Logo, como n, k > m implica a n, a k F m, segue que isso implica d(a, a k ) < ɛ. Logo (a n ) é, de fato, de Cauchy. Donde segue que a n L M. Como a n F m para

86 4.4. ESPAÇOS MÉTRICOS COMPLETOS 85 todo n N e para todo m N, por F m ser fechado (para todo m N, segue que L F m para todo m N. Ou seja, L F i. i=1 Dado um ponto z L no espaço métrico M, segue que existe t N tal que d(z, L) diam(f t ) <. Portanto z F t e, em paticular, 2 Isso completou a prova de que z F i. i=1 F i = {L}. i=1 Reciprocamente, se toda seqüência de fechados não-vazios num espaço métrico M satisfazendo as condições da hipótese tiverem interseção unitária, então, dada uma seqüência (a n ) de Cauchy, segue que F m = {a n : n > m} é um seqüência decrescente de fechados não-vazios. Por (a n ) ser de Cauchy, tem-se que, dado ɛ > 0, existe m 0 N tal que d(x, y) < ɛ para quaisquer x, y {a n : n > m 0 }, ou seja, diamf m0 ɛ. Isso provou que F 1 F 2... F n... é um seqüência decrescente de fechados em M e diamf n 0. Logo, pela hipótese, F i = {L}. Note que, dado ε > 0, existe t 0 N i=1 tal que n > t 0 diam(f n ) < ε e, em particular, n > t 0 d(a n, L) < ε. Portanto a n L. E isso completa a prova de que M é completo. Com a caracterização acima, ca fácil provar que todo espaço métrico compacto é completo. Corolário Todo espaço métrico compacto é completo.

87 86 CAPÍTULO 4. ESPAÇOS MÉTRICOS Prova: Com efeito, se M é compacto, dada uma seqüência decrescente de fechados não-vazios F 1... F n... como diam(f n ), tem-se que, para qualquer subfamília nita α = {F j1,..., F jk } de {F n : n N}, k F jk = F máxji. i=1 Logo essa família de fechados necessariamente satisfaz a propriedade de interseção nita. Por M ser compacto, segue que a interseção F i. Portanto podemos tomar L F i. i=1 Dado um ponto z L do espaço métrico M, segue que existe q 0 N tal d(z, L) que diam(f q0 ) <. Logo z F i. Portanto 2 i=1 F i = {L}. i=1 i=1 Isso completou a prova de que M é completo. O corolário acima é muito interessante, pois mostra que toda métrica num espaço compacto metrizável é completa. É bem fácil de provar que toda métric Espaços topologicamente completos Um espaço topológico é topologicamente completo quando é homeomorfo a um espaço métrico completo, ou seja, ele é metrizável e existe uma métrica completa para ele. Em particular, todo espço métrico completo é topologicamente completo. Existem alguns importantes resultados para espaços topologicamente completos (em particular, para espaços completos). Alguns deles, serão usados no livro de dinâmica topológica. Teorema 4.18 Todo aberto de um espaço métrico topologicamente completo é topologicamente completo.

88 4.4. ESPAÇOS MÉTRICOS COMPLETOS 87 Prova: Com efeito, se M é um espaço topolgicamente completo e A M é um aberto, mune-se M de uma métrica completa. Dene-se a função contínua φ : M R, onde φ(x) = d(x, M A). Como φ(x) > 0 para todo x A, segue que podemos denir f : A R, onde f(x) = 1. Tem-se que f é contínua. φ(x) Note que o gráco da função f é a imagem inversa de {1} pela função contínua F : M R R, onde F (x) = t φ(x). Logo o gráco de f é um fechado de M R e, como M R é completo (por ser produto de completos), segue que o gráco G de f é completo com a métrica induzida. Como o domínio de uma função contínua é homeomorfo ao seu gráco, segue que A é homeomorfo a um espaço métrico completo G. O teorema precedente generalizou o fato de intervalos abertos possuírem métricas (equivalentes às usuais) completas. Teorema 4.19 Seja M um espaço topologicamente completo. Se F M é fechado, então F é topologicamente completo. Prova: Mune-se M de uma métrica completa. Um fechado de um completo é completo (evidentemente). Logo F, com a métrica induzida, é completo. Teorema 4.20 Seja M um espaço topologicamente completo. Se {A i } i N é uma família enumerável de abertos em M, segue que A i é topologicamente completo. Prova: Com efeito, tem-se, pelo teorema já demonstrado, que todo aberto de M é topologicamente completo. Logo A i é topologicamente completo para todo i N. Mune-se A i de sua métrica d i completa. Logo A i com alguma das métricas produto (por exemplo, d(x, y) = 1 2 d n(x n n, y n ) ) é completo. { } Tem-se que a diagonal = (x n ) : x i = x j j, i N, (x n ) A i é fechada em i=1 A i, logo é completo. i=1 i=1 i=1

89 88 CAPÍTULO 4. ESPAÇOS MÉTRICOS Dene-se φ : um homeomorsmo. A i, onde φ(x n ) = x 1. Tem-se que φ é obviamente i=1 Exemplo Se X é um espaço topologicamente completo, todo subconjunto H de X tal que o complementar é enumerável é topologicamente completo (ou seja, se "tirarmos"uma "quantidade"enumerável de pontos de um espaço topologicamente completo, o espaço permanece topologicamente completo). Com efeito, basta ver que, se X H é enumerável, então H = x X H X {x} é uma interseção enumerável de abertos de X. Segue disso que o conjunto dos números irracionais (munido da topologia usual) é topologicamente completo. Além disso, o conjunto dos números transcendentes (com a topologia usual) é topologicamente completo. Um subconjunto de um espaço topológico X diz-se magro se ele está contido numa reunião enumerável de fechados com interior vazio. O complementar de um subconjunto magro é chamado residual. Um espaço topológico diz-se de Baire se todo subconjunto magro possui interior vazio. Teorema 4.21 (Teorema de Baire) Todo espaço topologicamente completo é de Baire. Prova: Seja M um espaço topologicamente completo. Mune-se M de uma métrica completa. Se X M é um conjunto magro, tem-se que X F i, i=1 para alguma família enumerável {F i } i N de fechados com interior vaizo em M. Logo {A i } i N, onde A i = M F i, é uma família de abertos densos. Para provar que X tem interior vazo, basta provar que i=1 F i tem interior vazio. E, para isso, podemos provar que A = A i é denso. Dada uma bola aberta B M, provemos que B A é não-vazio. Por A 1 ser denso, tem-se que A 1 B é não-vazio e aberto. Logo existe uma bola i=1

90 4.4. ESPAÇOS MÉTRICOS COMPLETOS 89 B 1 A 1 B aberta de raio menor que 1. Dene-se indutivamente, B n+1 da seguinte forma: B n A n é (aberto) não vazio por A n ser denso, logo podemos 1 tomar uma bola aberta B n+1 B n A n+1 com raio menor que (n + 1). Como M é completo, segue que B i = {a}, ou seja, a B n A n para i=1 todo n N, e a B 1 B. Portanto a B A. Teorema 4.22 Se X é um espaço de Baire e X = é não-vazio para algum j N. F i, tem-se que int(f j ) Prova: Com efeito, caso X fosse uma reunião enumerável de fechados com interior vazio, seguiria que X tem interior vazio. Absurdo. i=1] Teorema 4.23 Seja M um espaço topologicamente completo. Se M = onde {F i } i N é uma família de fechados em M, segue que em M. F i, i=1 intf i é denso Prova: Dado um aberto U M, segue que U é topologicamente completo. Além disso, ele é escrito como a reunião enumerável de fechados em U : U = U F i = (F i U). i=1 i=1 Logo, por U ser de Baire, segue que int U F j = U intf j é não-vazio para algum j N. Portanto U F i é não vazio. Isso provou que i=1 F i é denso. i=1 Exemplo Todo espaço enumerável topologicamente completo tem, como conjunto (aberto e) denso, o conjunto dos pontos isolados. Com efeito, i=1

91 90 CAPÍTULO 4. ESPAÇOS MÉTRICOS se X é um espaço topologicamente completo enumerável, segue que ele é a reunião enumerável de seus pontos. Logo a reunião dos interiores dos pontos é densa (ou seja, a reunião dos pontos isolados). Segue desse exemplo que Q não é topologicamente completo (com a topologia usual). Com efeito, Q é enumerável e, no entanto, não possui pontos isolados (o conjunto dos pontos isolados é vazio). Pelo exemplo, se Q fosse topologicamente completo, seguiria que é denso em Q: absurdo. Analogamente, o conjunto dos números algébricos (com a topologia usual) não possui pontos isolados e é enumerável. Logo não é topologicamente completo. 4.5 Espaços Métricos Compactos Existem muitas propriedades importantes que são inferidas de um espaço compacto metrizável. Algumas dessas propriedades serão trabalhadas nesse capítulo. Começaremos com um teorema de caracterização. Denição 4.15 Um espaço métrico M é chamado de totalmente limitado, se para todo ɛ > 0, existe uma família nita e bolas com raios menores que ɛ que cobrem M. Proposição 4.24 (Caracterização) Seja M um espaço métrico, as seguintes armações são equivalentes M é compacto; Todo subconjunto innito de M possui um ponto de acumulação; Toda seqüência em M possui subseqüência convergente; M é completo e totalmente limitado. Prova: (1) (2): Com efeito, sejam M um espaço métrico compacto e A M um subconjunto. Se A não possui ponto de acumulação, segue que A contém o conjunto dos seus pontos de acumulação e, portanto, A é fechado. Como A M é fechado de um compacto, segue que A é compacto. Por A não ter pontos de

92 4.5. ESPAÇOS MÉTRICOS COMPACTOS 91 acumulação, segue que existe, para cada x A uma vizinhança aberta V x de x tal que A V x = {x}. Portanto A x A V x é uma cobertura aberta de A. Disso segue que existem x 1,..., x n A tais que A n i=1 V x i. Mas isso implica que A {x 1,..., x n }. Ou seja, A é nito. Isso completa a prova de que (1) (2). (2) (3): Com efeito, dada uma seqüência (x n ) em M, segue que, se {x n : n N} é nito, evidente que (x n ) possui uma subseqüência constante e, portanto, convergente. Se {x n : n N} é innito, segue, pela hipótese, que {x n : n N} possui um ponto de acumulação z. E, disso, segue que, pode-se tomar x n1 {x n : n N} e, dado k N, pode-se tomar n k > n k 1 tal que d(x nk, z) < 1/k. Disso segue que x nk z. (3) (4): Dada uma seqüência de Cauchy (x n ) em M, segue, pela hipótese, que (x n ) possui uma subseqüência convergente. Por (x n ) ser de Cauchy, possui subseqüência convergente implica que (x n ) converge. Isso completou a prova de que M é completo. Supõe-se, por absurdo, que M não é totalmente limitado. Logo existe ɛ > 0 tal que toda coleção nita de bolas abertas de raio 2ɛ não cobre M. Fixa-se x 1 M e, então, escolhe-se x 2 B[x 1 ; ɛ]. Indutivamente, tomados ( ) C x 1,..., x n 1, como B[xi ; ɛ], toma-se x n ( B[xi ; ɛ]) C. Denida assim, temos uma seqüência (x n ). Logo a seqüência (x n ) é tal que d(x m, x k ) ɛ, m, k N, donde segue que (x n ) não possui subseqüência convergente. Absurdo. Logo deve-se ter M totalmente limitado. (4) (1):

93 92 CAPÍTULO 4. ESPAÇOS MÉTRICOS Supõe-se por absurdo que existe uma cobertura aberta M = λ L A λ que não possui subcobertura nita. Como M é totalmente limitado, pode-se cobrir M por um número nito de fechados de diâmetros menores que 1. Segue que pelo menos um desses fechados não pode ser coberto por uma subfamília nita de {A λ } λ L. Seja X 1 um desses fechados. Indutivamente, supõe-se que foram tomados X 1 X n 1 fechados tais que X i não pode ser coberto por uma subfamília nita de {A λ } λ L, e tal que diam(x i ) < 1/i. Como X n 1 M, segue que X n 1 é totalmente limitado. Portanto pode-se cobrir X n 1 por um número nito de fechados com diâmetros menor que 1/n. Como X n 1 não possui subcobertura nita, segue que pelo menos um desses fechados (da cobertura) não possui subcobertura nita. Seja X n um desses fechados. Isso provou que podemos tomar uma seqüência de fechados X 1 X n com diamx n 0 e tal que X i não possui subcobertura nita para todo i N. Por M ser completo, segue de 4.17 que existe a M tal que X i = {a}. n N Tem-se que, para algum γ L, a A γ. Como A γ é aberto, segue que existe n 0 N tal que a B(a; 1/n 0 ) A γ. Mas tem-se que a X n0 e diamx n0 < 1/n 0, logo X n0 B(a; 1/n 0 ) A γ. Ou seja, X n0 possui uma subcobertura nita. Absurdo. Segue que M é compacto. Temos o primeiro resultado sobre aplicações contínuas denidas em espaços métricos compactos. Teorema 4.25 Sejam K um espaço compacto e M um espaço metrizável. Funções contínuas f : K M são limitadas (em qualquer métrica de M). Prova: Com efeito, f(k) é compacto e é subespaço de M. Segue que é um espaço metrizável compacto. Portanto f(k) é limitado (independente da

94 4.5. ESPAÇOS MÉTRICOS COMPACTOS 93 métrica coerente com a topologia adotada em M). Antes de provar o próximo resultado importante sobre funções contínuas denidas em espaços metrizáveis compactos, vamos falar sobre uma interessente propriedade relacionadas com coberturas abertas de espaços métricos: existência de um número de Lebesgue. Essa propriedade é extensamente utilizada em argumentos básicos que envolvem espaços métricos compactos (e aplicações contínuas denidas nele). Em particular, essa propriedade é usada em argumentos elementares de Dinâmica Topológica. Segue a denição de número de Lebesgue. Denição 4.16 Sejam M um espaço métrico e M = λ L C λ uma cobertura de M. Diz-se que ɛ > 0 é um número de Lebesgue da cobertura M = λ L C λ, se S M, diam(s) < ɛ = γ L : S C γ. Proposição 4.26 (Existência de número de Lebesgue) Se o espaço métrico M é compacto, então toda cobertura aberta de M possui um número de Lebesgue. Prova: Supõe-se por absurdo que existe uma cobertura aberta M = λ L A λ que não possui um número de Lebesgue. Toma-se, para cada n N, S n M com diam(s n ) < 1/n tal que S n A γ para todo γ L. Como S i para todo i N, segue que, para cada n N, pode-se tomar x n S n. Por M ser compacto, segue que existem L M e uma subseqüência (x nj ) tais que x nj L. Tem-se que L A γ para algum γ L. Logo existe n 0 N tal que B(L; 4/n 0 ) A γ. Como x nj L, segue que existe m 0 N tal que m 0 > n 0 e tal que d(l, x m0 ) < 1/n 0. Logo tem-se que y S m0 d(l, y) d(l, x m0 )+d(x m0, y) 1/n 0 +1/m 0 < 1/n 0 +1/n 0 < 4/n 0. Disso segue que S m0 B(L; 4/n 0 ) A γ. Absurdo, pois contraria a hipótese. E isso completa, então, a prova de que toda cobertura aberta de M possui um número de Lebesgue. Segue um teorema muito importante sobre aplicações contínuas denidas em espaços métricos compactos. Ele será extensamente utilizados no [6].

95 94 CAPÍTULO 4. ESPAÇOS MÉTRICOS Teorema 4.27 Sejam M, N espaços métricos. Se f : M N é contínua e M é compacto, segue que f é uniformemente contínua. Prova: Com efeito, dado ɛ > 0, tem-se que, como f(m) é compacto, existem n f(x 1 ),..., f(x n ) f(m), tais que f(m) B(f(x i ); ɛ/2). Logo M = i=1 n f 1 (B(f(x i ); ɛ/2)) i=1 é uma cobertura aberta de M. Disso segue que existe um número de Lebesgue δ tal que d(x, y) < delta = j {1,..., n} : x, y f 1 (B(f(x j ); ɛ/2)) = d(f(x), f(y)) d(f(x), f(x j )) + d(f(x j ), f(y)) < ɛ. E, então, isso completou a prova do teorema. 4.6 Semicontinuidade Inferior e Superior Um dos teoremas de Furstenberg em Dinâmica Topológica que dão apoio para a demonstração de um dos resultados em teoria dos números (Teorema de Van der Waerden) na referência [6] recorre à denição de Semicontinuidade Inferior. Segue a denição e, para encerrar o capítulo, um resultado elementar a respeito. Denição 4.17 Sejam M um espaço métrico e f : M R uma aplicação. f diz-se semicontínua inferiormente, se, para todo α R, tem-se f 1 ((α, + )) aberto em M. Analogamente, f diz-se semicontínua superiormente, se, para todo α R, tem-se f 1 ((, α)) aberto em M. Note que uma aplicação f : M R é semicontínua superiormente se, e somente se, é f semicontínua inferiormente. Além disso, uma aplicação f : M R é contínua se, e somente se, f é semicontínua superiormente e inferiormente. Teorema 4.28 Se uma função f : M R denida num espaço métrico completo é semicontínua superiormente (ou inferiormente), então o conjunto de pontos em que f é contínua é residual.

96 Capítulo 5 Grupos Topológicos Um conceito que estará intimamente ligado com toda teoria de dinâmica topológica exposta no texto de [6] é o de grupos topológicos. Antes de abordálos, será feita uma breve revisão da teoria básica de grupos. Existem vários livros de álgebra que possuem um tratamento interessante de teoria básica dos grupos. O leitor interessado pode recorrer a esses livros. 5.1 Teoria Básica dos Grupos Denição 5.1 (Grupo) Um par (G, ), onde G é um conjunto e é uma operação denida em G, é um grupo quando a operação é associativa, com elemento neutro, e com inversos. Ou seja, 1. (a b) c = a (b c), a, b, c G; 2. e G tal que a e = e a = a a G; 3. a G, a 1 a = e. Quando a operação é comutativa, o grupo é chamado abeliano. Resultados elementares sobre grupos podem ser encontrados em qualquer livro de álgebra. Denição 5.2 Seja (G, ) um grupo. Um subconjunto H G é denominado subgrupo de G e denotado por H G, se (H, ) é um grupo. 95

97 96 CAPÍTULO 5. GRUPOS TOPOLÓGICOS Exemplo R, Q, Z, C são grupos aditivos (ou seja, são grupos em relação à operação de adição). R, Q, C são grupos multiplicativos. Em ambos casos, Q é subgrupo de R. Também, dados dois grupos (G, ) e (H, ), G H se torna naturalmente um grupo quando é munido da operação tal que (a, b) (c, d) = (a c, b d). O grupo G H é chamado de grupo produto Homomorsmo de grupos Em toda teoria, montamos uma relação de equivalência de tal forma que as propriedades estudadas são invariantes por classe de equivalência. Assim as propriedades topológicas (que provém unicamente da estrutura topologia do espaço) são mantidas por homeomorsmos Em espaços métricos, a isometria preserva a estrutura que provém da métrica (propriedades métricas). Em álgebra, dá-se o nome de isomorsmo à relação (de equivalência) que mantém a estrutura algébrica. E, na teoria (básica) dos grupos, as propriedades que se mantém por classes de equivalência dessa relação que são o objeto de estudo. Aqui será apresentado o chamado isomorsmo de grupos. Denição 5.3 (Homomorsmo de grupos) Sejam (G, ) e (H, ) grupos. Uma aplicação f : G H é um homomorsmo, se satisfaz f(a b) = f(a) f(b) para todo a, b G. Quando f é bijeção, f é denominado isomor- smo e G e H dizem-se isomorfos. Quando f é sobrejetivo, f é chamado epimorsmo. E, quando f é injetivo, é chamado monomorsmo. A relação de isomorsmo é, de fato, uma relação de equivalência. A demonstração é de caráter trivial e ca a cargo do leitor. Outras proposições elementares sobre homomormos e isomorsmos podem ser encontradas em qualquer livro de álgebra 1, por exemplo, no livro [8] da referência bibliográ- ca. Denição 5.4 O Núcleo ou Kernel de um homomorsmo f : G H é o conjunto Ker(f) = {g G : f(g) = e H }. A imagem de f é o conjunto Im(f) = {h H : g G tal que f(g) = h}.

98 5.1. TEORIA BÁSICA DOS GRUPOS 97 Teorema 5.1 Seja f : G H um homomorsmo. As seguintes armações são verdadeiras: 1. O núcleo Ker(f) é um subgrupo de G; 2. A imagem Im(f) é um subgrupo de H; 3. f é um monomorsmo se, e somente se, Ker(f) = {e G }; 4. f é um epimorsmo se, e somente se, Im(f) = H Prova: A última armação é óbvia. Para provar 1, basta ver que, dados a, b Ker(f), f(a b) = f(a) (f(b)) 1 = e H e h = e H, ou seja, a 1 Ker(f). Isso mais o fato de que ao menos e G Ker(f) completa a prova de que, de fato, Ker(f) G. Analogamente, dados a, b Im(f), segue que existem g, t G tais que f(g) = a e f(t) = b. Logo f(g t 1 ) = f(g) f(t) 1 = a b 1, ou seja, g t 1 G é tal que f(g t 1 ) = a b 1. Portanto g t 1 Im(f). Isso junto com o fato de que ao menos e H Im(f) completam a demonstração de que, de fato, Im(f) H. Para provar 3, primeiramente, nota-se que, se f é monomorsmo, segue obviamente que Ker(f) = {e G }. Reciprocamente, se Ker(f) = {e G }, tem-se que, dados a, b G tais que f(a) = f(b), segue que f(a) f(b) 1 = f(a b 1 ) = e H, ou seja, (a b 1 ) Ker(f). Pela hipótese, isso implica que a b 1 = e. Ou seja, a = b. Isso completa a prova da recíproca. Exemplos de homomorsmos e isomorsmos normalmente são trabalhados e apresentados em livros de álgebra 1. Como foi dito anteriormente, do ponto de vista algébrico, dois grupos isomorfos são indistinguíveis. Mas nem sempre a estrutura de grupo é a única presente em algum objeto de estudo como é o caso dos grupos topológicos.

99 98 CAPÍTULO 5. GRUPOS TOPOLÓGICOS Teorema de Lagrange Denição 5.5 Sejam G um grupo e H G. Dene-se a seguinte relação de equivalência: a b(modh) a 1 b H. As classes de equivalência dessa relação são chamadas classes laterais da esquerda de H e são, na verdade, os conjuntos b H. Dene-se analogamente, a relação de equivalência: a (modh)b a b 1 H. As classes de equivalência H b são denominadas classes laterais da direita de H. Prova-se que, de fato, essa relação é uma relação de equivalência. Para isso, provaremos para a primeira relação denida (a demonstração para a segunda é análoga). Prova: Basta provar que a relação é reexiva, simétrica e transitiva. 1. Reexividade: evidentemente que, a G, a a 1 = e H. Isso completa a prova da reexividade. 2. Simetria: se (a 1 b) H, então, por H ser um subgrupo, Isso completa a prova da simetria; (a 1 b) 1 = b 1 a H. 3. Transitividade: se a 1 b H e b 1 c H, segue que a 1 b b 1 c H, ou seja, a 1 c H. Isso completa a prova da transitividade. Portanto, de fato, trata-se de uma relação de equivalência. Denição 5.6 (Índice) A quantidade de classes laterais à esquerda distintas é denominado índice de H em G e denotado por (G : H). Ou seja,

100 5.1. TEORIA BÁSICA DOS GRUPOS 99 a cardinalidade da família das classes laterais à esquerda {g H : g G} é chamada de índice de H em G. Onde está escrito classe lateral à esquerda pode ser substituído por classe lateral à direita. Basta notar que φ : {g H : g G} {H g : g G} g H H g é uma bijeção, ou seja, as duas famílias tem mesma cardinalidade. Proposição 5.2 Sejam G um grupo e H G um subgrupo. Todas classes laterais de H possuem mesma cardinalidade de H. Prova: Dado x G, seja φ : H x H tal que φ(g) = x g. Provemos que φ é uma bijeção. De fato, dados g, h H tais que φ(g) = φ(h), segue que x g = x h e, portanto, g = h. Isso prova que φ é injeção. Dado k x H, tem-se que x 1 k H e que φ(x 1 k) = k. Isso prova que φ é sobrejeção. Portanto φ é uma bijeção e a cardinalidade de H é a mesma de x H. A cardinalidade um grupo é denominada a ordem do grupo. A ordem de um grupo pode ser nita ou innita. A ordem de um elemento é a ordem do subgrupo gerado por esse elemento. Seja G um grupo, o subgrupo gerado por um elemento a G é o subgrupo {a n : n Z} denotado por a. Note que, de fato, isso é um subgrupo de G. Um subgrupo gerado por um subconjunto S de G é o menor subgrupo que contém S e é denotado por S. Teorema 5.3 (Teorema de Lagrange) Sejam G um grupo nito e H um subgrupo de G. Então G = H (G : H). Em particular, o índice e a ordem de H dividem a ordem de G. Prova: Com efeito, as classes laterais g H são, evidentemente, uma partição de G. Existem (G : H) classes laterais com cada uma H elementos (como foi provado em 5.2).

101 100 CAPÍTULO 5. GRUPOS TOPOLÓGICOS Corolário Seja f : G H um homomorsmo de grupos nitos. Tem-se que G = Ker(f) Im(f). Prova: Note que Im(f) é exatamente o índice do núcleo em G. De outra forma, note que {a Ker(f) : a G} é uma partição de G. E a quantidade de elementos distintos nessa família é exatamente o número de elementos da imagem (pois para cada elemento da imagem, escolhe-se um representante a na imagem inversa) Grupo Quociente Aqui, o objetivo é generalizar a idéia da construção do grupo (Z/mZ, +). Para isso, dene-se subgrupo normal. Denição 5.7 (Subgrupo Normal) Seja G um grupo. Um subgrupo N G é denominado normal, se g G g N g 1 N. Proposição 5.4 Um subgrupo N G é normal se, e somente se, g N = N g g G. Prova: Com efeito, se N G é normal, segue que, dados g G e g n g N, tem-se, por N ser normal, que g n g 1 N. Logo g n g 1 g N g, ou seja, g n N g. Isso completa a prova de que g N N g. A prova da inclusão N g g N é análoga. Reciprocamente, se g N = N g g G, então, dados g G e n N, tem-se que g n g N = N g. De g n N g segue que g n g 1 N. Logo N é normal e isso completa a prova da recíproca do teorema.

102 5.1. TEORIA BÁSICA DOS GRUPOS 101 Proposição 5.5 Todo subgrupo de um grupo abeliano é normal. Prova: Sejam G um grupo abeliano e N G. Dados n N e g G, g n g 1 = g g 1 n = e n = n N. Isso demonstrou a proposição. Proposição 5.6 Sejam G um grupo e H, K G. Segue que H K é um subgrupo de H (e de G). E, ainda, se K é subrupo normal de G, então H K é subgrupo normal de H. Prova: A primeira armação é de fácil demonstração. Se K é normal, dados n H K e g H, segue que g n g 1 K (por K ser subgrupo normal de G). Mas, também, g n g 1 H, pois n, g H. Logo g n g 1 K H. Isso completou a prova de que K H é subgrupo normal de H. Teorema 5.7 O Kernel de um homomorsmo f : G H é um subgrupo normal de G. Prova: Dados g G e n Ker(f), segue que f(g n g 1 ) = f(g) f(n) f(g 1 ) = f(g) e H f(g) 1 = f(g) f(g) 1 = e H Ou seja, g n g 1 Ker(f). Isso completa a prova de que Ker(f) é um subgrupo normal. Denição 5.8 O centro de um grupo G é o conjunto Z(G) = {g G : g h = h g, h G}. Proposição 5.8 Um grupo G é abeliano se, e somente se, G = Z(G).

103 102 CAPÍTULO 5. GRUPOS TOPOLÓGICOS Prova: Evidente que se G é um grupo abeliano, G = Z(G). E, se Z(G) = G, então G é abeliano. Denição 5.9 Sejam G um grupo e N G um subgrupo normal. Dene-se a operação em G/N = {gn : g G} da seguinte forma gn hn = ghn. Prova: Resta provar que a operação acima está bem denida. Dados j h e g t do grupo G tais que gn = tn e jn = hn. Segue, então, que gn jn = gjn = ghn = gnh = tnh = thn = tn hn. Isso completa a prova de que está bem denida. Teorema 5.9 O conjunto G/N munido da operação denida em 5.9 é um grupo. Ele é chamado de grupo quociente. Prova: O elemento N = en G/N é o elemento neutro de, pois gn G/N, gn en = en gn = egn = gn. Dado gn G/N, g 1 N gn = en = N. Isso completa a prova da existência de inversos. Para provar a associatividade, basta ver que an (bn cn) = a (bcn) = a(bc)n = (ab)cn = abn cn = (an bn) cn. Proposição 5.10 Sejam G um grupo abeliano e H um subgrupo de G. Segue que o grupo quociente G/H é abeliano.

104 5.1. TEORIA BÁSICA DOS GRUPOS 103 Prova: A demonstração é trivial. Com efeito, basta ver que, dados ah, bh G/H, ah bh = abh = bah = bh ah. Observação: Seja G um grupo e H G um subgrupo normal. vezes, denota-se os elementos xh G/N por x G/N, ou por Muitas Teorema 5.11 (Primeiro teorema do isomorsmo) Se f : G H é um homomorsmo de grupos. Segue que G/Ker(f) é isomorfo à Im(f). Prova: Com efeito, dene-se φ : G/Ker(f) Im(f), φ(xker(f)) = f(x). Provemos que isso está bem denido. Com efeito, dados a bker(f), segue que a = bt (onde t Ker(f)). Portanto f(a) = φ(aker(f)) = f(bt) = f(b). Ou seja, a função está bem denida. Nota-se facilmente que isso é um homomorsmo e que é sobrejetivo. Nota-se que Ker(φ) = {xker(f) : x Ker(f)} = {Ker(f)} = {e} Logo, de fato, φ é um isomorsmo. Teorema 5.12 Sejam G, H grupos e N G, M H subgrupos normais. Tem-se que G/N H/M é isomorfo a (G H)/(N M). Em especial,(g/n) n é isomorfo G n /N n. Prova: Com efeito, primeiramente deve-se provar que (N M) é subgrupo normal de G H. Dados g G H e a N M, gag 1 = (g 1 a 1 g 1 1, g 2 a 2 g 1 2 ) N M. Agora, dene-se o seguinte homomorsmo: f : G/N H/M (G H)/(N M), f(xn, ym) = (x, y)(n M).

105 104 CAPÍTULO 5. GRUPOS TOPOLÓGICOS Prova-se que isso se trata realmente de um homomorsmo. Note que, dados (x 1 N, x 2 M), (y 1 M, y 2 M) (G/N H/M), tem-se que: f ((x 1 N, x 2 M)(y 1 N, y 2 M)) = f ((x 1 y 1 )N, (x 2 y 2 )M) = (x 1 y 1, x 2 y 2 )(N M) = (x 1, x 2 )(N M)(y 1, y 2 )(N M) = f ((x 1 N, x 2 M)) f ((y 1 N, y 2 M)) Evidente que f é uma sobrejeção. Provemos que f seja um monomor- smo (para isso, basta provar que o Kernel é unitário). Com efeito, se f((x 1 N, x 2 M)) = (e G, e H )(N M), segue que x 1 = e G N, x 2 = e H M. Portanto isso completa a prova de que f se trata de um isomorsmo. 5.2 Grupos Topológicos Agora, vamos tratar de grupos topológicos. Grupos topológicos são conjuntos munidos da estrutura de grupo e de topologia, com as duas estrturas concordando. A denição abaixo estabelece de forma precisa o que é grupo topológico. Denição 5.10 (Grupos topológicos) Um grupo topológico é um grupo (G, ) munido de uma topologia tal que: 1. A operação m : G G G, m(x, y) = x y, é contínua; 2. I : G G, I(x) = x 1, é contínua. Lema 5.13 Um grupo (G, ) munido de uma topologia τ é um grupo topológico se, e somente se, a função g : G G G, g(x, y) = x y 1, é contínua. Prova: Na demonstração desse lema, f : G G denotará a função denida por f(x) = x 1, m : G G G denotará a função denida por m(x, y) = x y, e g : G G G denotará a função denida no enunciado. Seja (G, ) munido de τ tal que a função g : G G G é contínua. Segue que a função g H restrita ao domínio H = {e} G é contínua. Evidente que a função k : G H, g(x) = (e, x), é contínua e, portanto, g H k = f : G G

106 5.2. GRUPOS TOPOLÓGICOS 105 é contínua (note que, de fato, f(x) = x 1 ). Ou seja, a função que associa cada elemento ao seu inverso é contínua. Seja I : G G, I(x) = x, a aplicação identidade. Por f ser contínua, segue que a aplicação (I f) : G G G G (x, y) (x, y 1 ) é contínua. Logo m = g (I f) : G G G, m(x, y) = x y é contínua. Isso completa a prova de que G é, de fato, um grupo topológico. Reciprocamente, seja (G, ) um grupo topológico. Temos que g = m (I f) : G G G, logo g é contínua. Exemplo Qualquer grupo munido da topologia discreta (ou indiscreta) é um grupo topológico. Também, o grupo aditivo R munido da topologia usual, assim como o gupo multiplicativo R {0} munido da mesma topologia, são grupos topológicos. O grupo multiplicativo C {0} é um grupo topológico usando a topologia usual de C. Lema 5.14 Seja H um subgrupo de G. Se G é um grupo topológico, H munido da topologia induzida por G é um grupo topológico e é chamado de subgrupo topológico de G. Prova: Basta ver que as restrições das funções m : G G, m(x, y) = x y, e f : G G, f(x) = x 1, a H H e a H permanecerão, evidentemente, contínuas. Exemplo O subgrupo S 1 = {x C : x = 1} de C {0} é um subgrupo topológico de C {0}. Tem-se, também, que Z, Q são subgrupos topológicos de R com respeito à adição.

107 106 CAPÍTULO 5. GRUPOS TOPOLÓGICOS Sistema de vizinhanças do elemento neutro Os sistemas de vizinhanças dos elementos de um grupo topológico tem propriedades bem interessantes. Essas propriedades normalmente nos servem bastante quando se quer provar algo a respeito de de grupos topológicos. Por isso, essa subseção é dedicada a apresentar tais propriedades. Teorema 5.15 Seja G um grupo topológico. As translações à direita R a e à esquerda L a são homeomorsmos. Prova: Provemos que a translação à direita R a : G G x xa é contínua. Com efeito, R a = (m t), onde t : G G G é tal que t(x) = (x, a) e m : G G G é a operação. Resta apenas provar que t é contínua. Para isso, basta tomar um aberto básico U V de G G e notar que, ou a V, ou a V. Se a V, segue que t 1 (U V ) =, ou seja, aberto. Caso a V, segue que t 1 (U V ) = U, ou seja, aberto. Isso completa a prova de que t é contínua. Portanto R a é uma composição de funções contínuas, ou seja, contínua. Evidentemente que R a é uma bijeção e, também, que R a 1 é a inversa de R a. Como R a 1 é, também, uma translação a direita, segue que é contínua. Portanto R a é homeomorsmo. A prova para a translação à esquerda L a é análoga. Os resultados abaixo descrevem o bom comportamento das vizinhanças num grupo topológico. Como conseqüência dos resultados abaixo, dizemos que os grupos topológicos são espaços uniformes. Teorema 5.16 Seja G um grupo topológico. Dado g G, U é vizinhança de G se, e somente se, Ug 1 é vizinhança de e (onde e é o elemento neutro). Ou seja, todas vizinhanças de g G são do tipo gv, onde V é uma vizinhança de e. E, se V é uma vizinhança de e, então gv é vizinhança de g. O teorema vale também para translações à direita das vizinhanças.

108 5.2. GRUPOS TOPOLÓGICOS 107 Prova: Com efeito, dado g G, se U é vizinhança de e, então L g (U) = gu é uma vizinhança de g (por L g homeomorsmo). Da mesma forma, se V é vizinhança de g, então L g 1(V ) = g 1 V é vizinhança de e (por L g 1 ser um homeomorsmo). A prova para translações à direita da vizinhança do elemento neutro é análoga. Corolário Seja G um grupo topológico. Se U é uma vizinhança de e G, então, para todo gug 1 é uma vizinhança de e. Prova: Com efeito, dada uma vizinhança U de e G. Pelo teorema 5.16, gu é vizinhança de g. E, pelo mesmo teorema, segue que gug 1 é vizinhança de e. Note que, com os resultados anteriores, vericamos que a topologia de um grupo topológico é bem descrita, quando sabemos o sistema de vizinhanças do elemento neutro. Todo espaço vetorial normado (ou, de forma mais geral, topológico) é, em particular, um grupo (abeliano aditivo) topológico. Logo as vizinhanças são bem comportadas (por translações) de forma semelhante à descrita pelos resultados anteriores. Proposição 5.17 Seja G um grupo topológico. Se U é uma vizinhança de e, então existe uma vizinhança V de e tal que V V 1 U. Prova: Com efeito, por G ser um grupo topológico, tem-se que m : G G G (g, h) gh 1 é contínua. Logo, dada uma vizinhança U de e, m 1 (U) é aberto em G G. Por m 1 (U) ser aberto, segue que existe uma vizinhança V tal que e V V m 1 (U). Isso acontece por {U T : U e T são abertos em G} ser a base da topologia de G G. Note que essa vizinhança V é tal que V V 1 m(v ) U. Isso completa a demonstração do teorema.

109 108 CAPÍTULO 5. GRUPOS TOPOLÓGICOS Axiomas de Separação Para enunciar o único resultado desta subseção, serão feitas algumas denições sobre os axiomas de separação de espaços topológicos. Essa única proposição diz que, se dois elementos distintos de um grupo topológico podem sempre ser de alguma forma topologicamente distinguidos, então eles sempre podem ser separados por vizinhanças, ou seja, o grupo topológico é Hausdor. Denição 5.11 (Axiomas de separação) Um espaço topológico X é chamado T 0, se, dados dois pontos distintos x, y X, existe uma vizinhança U de pelo menos um dos dois pontos que não contém o outro ponto. Um espaço topológico X é denominado T 1, se, dados dois pontos distintos x, y X, existe uma vizinhança U de x e uma vizinhança V de y tais que: x V e y U. Um espaço é T 2 se é Hausdor. Teorema 5.18 Seja G um grupo topológico. Se G é T 0, então é T 2. Prova: Com efeito, seja G um grupo topológico T 0. Dados x, y distintos do grupo G, sem perda de generalidade, supõe-se que x T (onde T é uma vizinhança de y) e, então, xy 1 T y 1 = U. Segue que U = T y 1 é vizinhança do elemento neutro. Pela proposição 5.17, existe uma vizinhança V de e tal que V 1 V U. Por absurdo, existe u V x V y e, portanto, u 1 u = e x 1 V 1 V y x 1 Uy. Disso segue que existe t U tal que x 1 ty = e, ou seja, t = xy 1 U. Absurdo. Portanto V x V y =. Isso completa a prova de que G é Hausdor.

110 5.2. GRUPOS TOPOLÓGICOS Subgrupos de grupos topológicos Agora, vamos tratar de subgrupos topológicos. O primeiro resultado sobre o assunto é que um subgrupo de um grupo topológico, com a topologia induzida, é um grupo topológico: esse resultado foi provado em Seja G um grupo tpológico. O teorema abaixo diz que o fecho de um subgrupo topológico de G é um subgrupo topológico. Note que, pelo lema, segue que a única coisa que precisamos provar é que o fecho de um subgrupo é um subgrupo. Teorema 5.19 Sejam G um grupo topológico e H um subgrupo de G. O fecho de H é um subgrupo (topológico). E o fecho de um subgrupo normal é um subgrupo normal (topológico). Prova: Seja m : G G G a operação de G. Com efeito, supõe-se por absurdo que existem a, b H tal que ab H. Logo existe uma vizinhança U (G H) de ab. Tem-se que m 1 (U) é uma vizinhança de (a, b), logo m 1 (U) contém um conjunto V K, onde V é vizinhança de a e K é vizinhança de b. Logo m 1 (U) H H. Ou seja, existe (q, r) m 1 (U) H H tal que qr H. Absurdo, pois H é um subgrupo. Logo isso prova que ab H. De forma análoga, supõe-se por absurdo que existe a H tal que a 1 H. Segue que existe uma vizinhança V de a 1 cuja interseção com H é vazia. Pela continuidade de f : G G g g 1 segue que V 1 é uma vizinhança de a e, por a H, segue que Ou seja, existe g H tal que V 1 H. g 1 V (G H). Isso, novamente, contraria a hipótese de que H é subgrupo de G. Absurdo. Logo a 1 H e isso completa a demonstração de que H é um subgrupo. 1 Lema 5.14

111 110 CAPÍTULO 5. GRUPOS TOPOLÓGICOS Seja N G um subgrupo normal. Pelo demonstrado, N é um subgrupo. Supõe-se por absurdo que N não é um subgrupo normal. Ou seja, existe a G tal que ana 1 N e isso quer dizer que existe t N tal que ata 1 N. Logo existe uma vizinhança U (G N) de ata 1. Portanto a 1 Ua tem interseção não-vazia com N (por ser uma vizinhança de t N), logo existe k U N. Todo subgrupo aberto de um grupo topológico é, também, fechado. Isso é facilmente vericado ao tomar as classes laterais: anal, as classes laterais de um subgrupo aberto são abertas 2. Proposição 5.20 Seja G um grupo topológico e H G um subgrupo. Se H é aberto então também é fechado. Prova: Com efeito, seja H um subgrupo aberto. Segue, pelos resultados provados anteriormente, que as classes laterais ah são abertas (e, evidentemente, são disjuntas e formam uma partição do grupo). Nota-se, então, que G H = H C = a H ah. Isso prova que o complementar de H é uma reunião de abertos e, portanto, é aberto. Como conseqüência do resultado anterior, segue um resultado muito interessante: todo aberto não-vazio de um grupo topológico conexo G gera o grupo todo. Um exemplo é a reta (grupo (topológico) aditivo): um intervalo aberto gera a reta toda. Mas antes de enunciar e provar o resultado descrito, provamos o seguinte resultado. Proposição 5.21 Seja G um grupo topológico e A G um conjunto aberto não-vazio. Se H é um subgrupo de G tal que H A, então H é aberto. E, então, aberto-fechado. 2 Pois as translações são homeomorsmos.

112 5.2. GRUPOS TOPOLÓGICOS 111 Prova: Com efeito, toma-se t A. Segue que B = At 1 H é uma vizinhança de e. Tem-se que gb H por H ser um subgrupo (portanto g H fechado para a operação) e a outra inclusão é óbvia, então H = gb, g H ou seja, H é uma reunião de abertos. Logo H é aberto. Pela proposição 5.20, segue que H também é fechado. Exemplo Nenhum subgrupo próprio de (R, +) contém um intervalo. Com efeito, se H R contém um intervalo, pela proposição 5.21, o subgrupo H é aberto-fechado em R. R é conexo, logo, por H ser conexo, ou H = R, ou H =. Evidente que H, pois H é um subgrupo. Logo H = R. Isso prova a armação. De outro modo, (R {0}, ) possui subgrupos que contém intervalos. Por exemplo, R + = {x R : x > 0}. Mas, analogamente a R, R + não possui subgrupos (com respeito à multiplicação) que contém intervalos. Corolário Todo aberto não-vazio de um grupo topológico conexo G gera G todo. Prova: Dado um aberto A G não-vazio, tem-se que o subgrupo gerado pelo conjunto A é, por denição, o menor subgrupo que contém A. Se H é o subgrupo gerado por G. Como H A, segue do resultado anterior que H é aberto-fechado. Como H não é vazio e G é conexo, isso implica que H = G. Segue um teorema que encerra essa subseção sobre a componente conexa da identidade. Teorema 5.22 Sejam G um grupo e e G seu elemento neutro. A componente conexa de e é um subgrupo normal de G.

113 112 CAPÍTULO 5. GRUPOS TOPOLÓGICOS Prova: Seja N G a componente conexa do elemento neutro. Segue que N N é conexo, logo N N = {gh : g, h N} é conexo (pela continuidade da operação). Como e N N, segue que N N N (por N ser componente conexa). Analogamente, N 1 = { g 1 : g N } é conexa (pela continuidade da inversão). Como e = e 1 N 1, segue que N N 1 (por N ser componente conexa). Isso completa a prova de que N é subgrupo. Provemos que N é normal. Com efeito, dado g G, nota-se que gng 1 é conexo (pela continuidade das translações à direita e à esquerda). Tem-se que gng 1 é conexo e contém e, logo N gng 1. Isso completa a prova do teorema. Um exemplo óbvio é a componente conexa do elemento neutro no grupo (multiplicativo) R {0}. Tal componente conexa é o grupo (multiplicativo) R +, e esse subgrupo é evidentemente um subgrupo normal Grupos topológicos quocientes Sejam G um grupo topológico e N G um subgrupo normal. Na subseção 5.1.3, foi construído o grupo quociente G/N. Aqui, será provado que G/N com a topologia quociente é um grupo topológico e que algumas propriedades são carregadas para o grupo quociente. Para isso, serão usados resultados da seção 3.2 do capítulo 3. Para evitar confusão, os elementos de G/N serão denotados por x = xn. Proposição 5.23 Sejam G um grupo topológico com a operação e N G um subgrupo normal. A projeção P : G G/N, P (x) = x, é uma aplicação aberta (quando G/N está munido da topologia quociente). Prova: Com efeito, dado U G/N aberto, segue que P 1 (P (U)) = U N, ou seja, é uma reunião de abertos, logo é um aberto. Portanto P (U) é aberto. Isso completa a prova de que P é aberta.

114 5.2. GRUPOS TOPOLÓGICOS 113 Teorema 5.24 Sejam G um grupo topológico e N G um subgrupo normal. Segue que G/N, munido da topologia quociente, é um grupo topológico. Prova: Seja P : G G/N, P (x) = x, a projeção. Prova-se primeiramente que é contínua. Tem-se que I : G/N G/N x x 1 (I P ) :: G G/N x x 1 é contínua, pois (I P ) = (P i), onde i : G G é tal que i(x) = x 1 ; ou seja, (I P ) = (P i) é uma composição de aplicações contínuas e, portanto, contínua. Pelo teorema 3.17, a continuidade de (I P ) implica que I é contínua. Resta provar que m : G/N G/N G/N (x, y) x y é contínua. Seja (P P ) = P 2 : G G G/N G/N. P 2 é contínua e aberta, pois P ser contínua e aberta. Denota-se por j : G G G a operação de G. Logo (m P 2 ) = (P j) : G G G/N é contínua (por ser a composição de funções contínuas (P e j)). Portanto, dado um aberto U G/N, tem-se que P2 1 (m 1 (U)) é aberto em G G. P 2 ser aberto implica que P 2 (P 1 2 (m 1 (U))) = m 1 (U) é aberto. Portanto m é contínua e isso completa a prova de que, de fato, G/N é um grupo topológico. Algumas propriedades são carregadas do grupo G para o grupo quociente G/N. Essas são propriedades topológicas que são preservadas por aplicações contínuas, como compacidade e conexidade. Uma não tão trivial característica que é preservada no grupo quociente será apresentada abaixo.

115 114 CAPÍTULO 5. GRUPOS TOPOLÓGICOS Proposição 5.25 Seja G um grupo topológico Hausdor. G/N é Hausdor se, e somente se, N é fechado. Prova: Seja P : G G/N a a a projeção e seja G um grupo Hausdor. Com efeito, se N é fechado, dados a b do grupo G/N, as imagens inversas (da projeção P : G G/N) P 1 (a) = an e P 1 (b) = bn. Como N é fechado, segue que o complementar de bn é um aberto que contém an. A imagem desse complementar por P será um aberto U que a contém a mas não contém b (pois U bn = ).Isso prova que G/N é ao menos T 0. Mas, pelo teorema 5.18, o fato de G/N ser T 0 implica que G/N é Hausdor. Reciprocamente, se G/N é Hausdor, segue que os pontos em G/N são fechados. Logo {e} é fechado (onde e é o elemento neutro). Pela continuidade da projeção P 1 (e) = N é fechado. Denição 5.12 (Grupo metrizável) Seja G um grupo topológico. topologia de G é metrizável, ele é denominado grupo metrizável. Se a Proposição 5.26 Sejam G um grupo metrizável, separável e localmente compacto, e N um subgrupo normal fechado. Segue que também é metrizável o grupo G/N. Prova: Com efeito, prova-se que G/N é T 1, satisfaz o segundo axioma da enumerabilidade e é regular. Pela proposição anterior, G/N é Hausdor (e, em particular, T 1 ). Seja P : G G/N a a a projeção. Dada uma base enumerável B = {β i } i N de G, tomam-se as imagens dos abertos báscos pela projeção P. Dado um aberto U G/N, segue que existe β j B tal que β j P 1 (U). Logo P (β j ) U. Isso

116 5.2. GRUPOS TOPOLÓGICOS 115 completa a prova de que G/N possui uma base enumerável, ou seja, satisfaz o segundo axioma da enumerabilidade. Dados x G/N e uma vizinhança U de x, a imagem inversa P 1 (U) é uma vizinhança de x. Por G ser metrizável (e, portanto, regular), segue que existe uma vizinhança fechada V P 1 (U) contida numa vizinhança compacta K de x (portanto V é vizinhança compacta). Logo P (V ) U é uma vizinhança compacta de x. Como G/N é Hausdor, segue que P (V ) U é uma vizinhança fechada de x. Isso completa a prova de que G/N é regular. Pelo teorema de Urysohn 3, como G/N satisfaz o segundo axioma da enumerabilidade, é regular e é T 1, G/N é metrizável. Para encerrar essa subseção será provado um teorema análogo ao teorema Ele será vastamente usado no livro [6]. Teorema 5.27 Sejam G, H grupos topológicos e N G, M H subgrupos normais. Tem-se que (G/N H/M), (G H)/(N M) são grupos topológicos isomorfos (quando munido da topologia quociente). Em especial, (G/N) n, (G n /N n ) são grupos topológicos isomorfos. Prova: Com efeito, basta provar que o isomorsmo denido em 5.12 é um homeomorsmo. Sejam P : G H (G H)/(N M), P 1 : G G/N e P 2 : H H/M as funções projeções. Será denotado P 3 = P 1 P 2 e f será o isomorsmo denido em 5.12.f P 3 é exatamente a projeção P de (G H) no grupo quociente (G H)/(N M) e, portanto, é contínua. Dado U (G H)/(N M), P3 1 f 1 (U) é aberto em G H. Por P 3 ser aberto, tem-se que P 3 (P3 1 f 1 (U)) = f 1 (U) é aberto. Isso completa a prova de que f é contínua. Prova-se que f 1 é contínua. Com efeito, tem-se que f 1 P = P 3, logo f 1 P é contínua. E, pelo teorema 3.17, segue que f 1 é contínua. Isso completa a prova do teorema. 3 Mais detalhes sobre o teorema no livro [2].

117 116 CAPÍTULO 5. GRUPOS TOPOLÓGICOS

118 Referências Bibliográcas [1] Halmos, P. R. Naive Set Theory. Springer-Verlag, [2] Kelley, J. L. General Topology. The University Series in Higher Mathematics, [3] Lima, E. L. Curso de Análise, vol. 1. Projeto Euclides. IMPA, [4] Lima, E. L. Análise Real, vol. 1. Coleção de Matemática Universitária. IMPA. [5] Lima, E. L. Espaços Métricos. Projeto Euclides. IMPA, [6] Lucatelli Nunes, F. Dinâmica Topológica e Aplicações à Teoria dos Números. [7] Lucatelli Nunes, F. Relatório da Iniciação Cientíca [8] Shokranian, S. Álgebra 1. Ciência Moderna,