Ayane Adelina da Silva

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1 Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Ciências Exatas Departamento de Matemática Ayane Adelina da Silva Teorema de Abel Belo Horizonte - MG 2017

2 Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Ciências Exatas Departamento de Matemática Programa de Pós-Graduação em Matemática Autor: Ayane Adelina da Silva Orientador: Arturo Ulises Fernández Pérez Belo Horizonte - MG 2017

3 ii AYANE ADELINA DA SILVA TEOREMA DE ABEL Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Matemática da Universidade Federal de Minas Gerais, como requisito parcial para obtenção do Grau de Mestre em Matemática. Orientador: Prof. Dr. Arturo Ulises Fernández Pérez Belo Horizonte - MG 2017

4 iii Ao meu amigo, segundo pai e avô, José Firmino (in memorian).

5 iv Agradecimentos Agradeço aos meus pais, Edilson José e Adelina Maria, e minha avó, Bernardina Maria, por toda educação e transmissão de valores, e pelo apoio à conclusão de mais esta etapa na minha vida. De modo especial, agradeço ao meu avó e segundo pai, José Firmino, que me incentivou até o último momento de sua vida. Agradeço também às minhas irmãs, Aline Kelly e Amanda Kelle, pelo incentivo e pela referência que são para mim. Agradeço a todos os amigos que ajudaram no entendimento deste trabalho, além dos momentos de lazer compartilhados. Em particular, Myrla Kedyna, que contribuiu de modo signicativo na elaboração e nos detalhes deste texto. De modo especial, agradeço ao meu namorado e melhor amigo, Alan Anderson, por toda atenção e carinho gastos no acompanhamento desta e de muitas outras realizações. Agradeço ainda ao prof. Dr. Arturo U. Fernández Pérez, pela orientação, pelo tempo disponibilizado em me ajudar e pelo conhecimento que me transmitiu ao longo da elaboração deste trabalho. À todos os professores e funcionários do Programa de Pós-Graduação em Matemática da UFMG, pelo auxílio na minha formação e pelas burocracias resolvidas. Por m, agradeço a CAPES, pelo nanciamento concedido.

6 CONTEÚDO v Conteúdo Agradecimentos Resumo Abstract v vii viii Introdução 1 1 Denições Básicas 3 2 Funções e Aplicações entre Superfícies de Riemann Funções em Superfícies de Riemann Aplicações entre Superfícies de Riemann Formas Diferenciais e Integração em Superfícies de Riemann Formas Diferenciais Integração em Superfícies de Riemann Um Pouco de Homologia Divisores 49 5 Teorema de Abel O Jacobiano de uma Superfície de Riemann Compacta O Mapa de Abel-Jacobi Operador Traço O Teorema de Abel

7 CONTEÚDO vi Resumo O objetivo deste trabalho é apresentar a demonstração do Teorema de Abel. Considerando X uma superfície de Riemann compacta, todo divisor principal em X é um divisor de grau zero. Assim, surge naturalmente o seguinte questionamente: quando um divisor de grau zero será um divisor principal em X? O Teorema de Abel responde a essa pergunta, estabelecendo que se D é um divisor de grau zero então D é divisor principal de X se, e somente se, A 0 (D) = 0 no Jacobiano de X, onde A 0 é o mapa de Abel-Jacobi restrito aos divisores de grau zero. Palavras-chave: Superfícies de Riemann, Divisores, Mapa de Abel-Jacobi.

8 CONTEÚDO vii Abstract The purpose of this note is to present a proof of Abel's Theorem. Considering X be a compact Riemann surface, every principal divisor in X is a zero degree divisor. Therefore, naturally arises the following question: when a zero degree divisor is a principal divisor in X? Abel's Theorem answers this question, and stablish that if D is a zero degree divisor then D is a principal divisor of X if and only if A 0 (D) = 0 on the Jacobian of X, where A 0 is the map of Abel-Jacobi restricted to zero degree divisors. Key words: Riemann surfaces, Divisors, Abel-Jacobi map.

9 CONTEÚDO 1 Introdução Como sugere o título, esse texto trata da construção da teoria necessária para o entendimento do enunciado e demonstração do teorema de Abel. O teorema de Abel dá uma condição necessária e suciente para que um divisor de grau zero em uma superfície de Riemann compacta X seja um divisor principal em X. Antes de demonstrar o teorema precisaremos entender as superfícies de Riemann, bem como as funções, aplicações e formas diferenciais em superfícies. Além disso, dada uma superfície de Riemann X precisaremos conhecer alguns outros objetos que serão ferramentas básicas para este trabalho, tais como: grupo dos divisores em X, períodos em X, jacobiano de X, o mapa de Abel-Jacobi, o operador traço, entre outros. Vale ressaltar que alguns dos objetos citados anteriormente só fazem sentido quando X é uma superfície de Riemann compacta. No primeiro capítulo daremos denição e exemplos de superfícies de Riemann. Uma superfície de Riemann é um espaço topológico Hausdor, conexo, cuja topologia tem base enumerável e, além disso, possui uma estrutura complexa. Podemos pensar em uma superfície de Riemann como um espaço topológico que é localmente um aberto de C. Naturalmente, o conjunto C dos números complexos é o primeiro e o mais simples exemplo de superfície de Riemann. Além disso, toda superfície de Riemann X pode ser vista como uma 2-variedade real, de modo que se X é compacta, podemos denir seu gênero topológico. No capítulo seguinte, trataremos de funções e aplicações em superfícies de Riemann. Através das cartas, poderemos transportar algumas propriedades de funções holomorfas e meromorfas em abertos de C para funções e aplicações em superfícies de Riemann. No capítulo 3 falaremos sobre integração. Deniremos formas diferenciais holomorfas, meromorfas e C, que basicamente são os objetos de integração. Veremos também que toda aplicação holomorfa F : X Y induz um homomorsmo de grupo entre a C-álgebra O(Y ) das funções holomorfas denidas em Y e a C-álgebra O(F 1 (Y )) das funções holomorfas denindas em F 1 (Y ) X. De modo mais especíco, para cada função holomorfa f denida em Y temos uma função, denota por F f, que está bem denida e é holomorfa em F 1 (Y ). Podemos fazer o processo análogo para funções meromorfas e 1- formas diferencias denidas em Y. Ainda neste capítulo veremos alguns resultados clássicos de integração tais como Teorema de Stokes e Teorema dos Resíduos. O quarto capítulo é voltado para o estudo de divisores em superfícies de Riemann. Um divisor é simplesmente uma função D de uma superfície de Riemann X sobre Z com suporte discreto, que recebe a notação especíca D = p X D(p) p. No caso em que X é uma superfície de Riemann Compacta, um divisor em X tem suporte nito. O grupo Div(X) dos divisores em X é um grupo abeliano livre com

10 CONTEÚDO 2 base no conjunto dos pontos de X. Deniremos o grau de um divisor, e veremos que o conjunto Div 0 (X) dos divisores de grau zero formam um subgrupo de Div(X). Um divisor principal em X é um divisor da forma p X ord p(f) p, onde f é uma função meromorfa em X; tais divisores formam um subgrupo de Div(X), denotado por PDiv(X). No caso em que X é uma superfície de Riemann compacta, PDiv(X) é um subgrupo de Div 0 (X). Também deniremos divisores canônicos, associados a 1-formas meromorfas em X, e veremos que o conjunto dos divisores canônicos em X, denotado por KDiv(X), é um subgrupo de Div(X) e os divisores D KDiv(X) tem o mesmo grau. O último capítulo deste trabalho é destinado a demosntração do Teorema de Abel. Deniremos o Jacobiano de uma superfície de Riemann X, como o grupo quociente dos funcionais lineares em Ω 1 (X) módulo períodos. De modo mais objetivo, o Jacobiano de X é o grupo abeliano Jac(X) = Ω1 (X), onde Λ é subgrupo dos funcionais lineares da forma para alguma [c] classe de homologia em X. Deremos [c] também o mapa de Abel-Jacobi e veremos que, restrito aos divisores de grau zero, este mapa independe da escolha do ponto base. Além disso, veremos a denição e algumas propriedades do operador traço. Por m, utilizaremos os resultados obtidos ao longo do trabalho para aprensentar a demonstração do teorema de Abel. Λ

11 Capítulo 1 Denições Básicas Neste capítulo deniremos superfícies de Riemann, um dos principais objetos de nosso estudo. Para formalizar esse conceito, deniremos cartas, atlas e estrutura complexa. Ainda neste capítulo apresentaremos alguns exemplos de superfícies de Riemann. Denição 1.1. Seja X um espaço topológico. Uma carta complexa (ou simplesmente carta) em X é um homeomorsmo φ : U V, onde U é um aberto de X e V é um aberto de C. Se φ : U V é uma carta em X, dizemos que z = φ(x), para x U, é um sistema de coordenada local. Além disso, dizemos que φ é uma carta centrada em p U (ou ainda, z é coordenada centrada em p) se φ(p) = 0. Dadas duas cartas φ 1 : U 1 V 1 e φ 2 : U 2 V 2 com U 1 U 2, a função φ 2 φ 1 1 : φ 1 (U 1 U 2 ) φ 2 (U 1 U 2 ) é chamada mudança de coordenadas. Dizemos que φ 1 e φ 2 são compatíveis se U 1 U 2 = ou a mudança de coordenadas é holomorfa. Figura 1.1: Mudança de coordenada φ 2 φ 1 1. Lema 1.1. Sejam φ 1 e φ 2 cartas compatíveis em X e T = φ 2 φ 1 1 a mudança de coordenadas. Então T 0 no domínio de T. 3

12 CAPÍTULO 1. DEFINIÇÕES BÁSICAS 4 Demonstração. De fato, T é inversível em seu domínio e sua inversa é T 1 = φ 1 φ 1 2. Assim T T 1 = Id e pela regra da cadeia temos Portanto T 0 em todo domínio de T. T (T 1 ) = 1. Seja p em ponto de X e sejam φ 1 e φ 2 cartas compatíveis com φ 1 (p) = w 0 e φ 2 (p) = z 0. Uma vez que a mudança de coordenada T = φ 2 φ 1 1 é holomorfa, ela possui expansão em série de Taylor em torno de w 0 z = T (w) = z 0 + n 1 a n (w w 0 ) n, com a 1 0. Denição 1.2. Dado X um espaço topológico, um atlas em X é uma coleção de cartas A = {φ α : U α V α } duas a duas compatíveis, com X = α U α. Dizemos que dois atlas A 1 e A 2 são equivalentes se qualquer carta de A 1 é compatível com toda carta de A 2. Observamos que dois atlas são equivalentes se, e somente se, a união deles é uma atlas. Desse modo, pelo Lema de Zorn, todo atlas A está contido em um único atlas maximal. Denição 1.3. Uma estrutura complexa num espaço topológico X é um atlas maximal em X. Denição 1.4. Uma superfície de Riemann é um espaço topológico Hausdor, conexo e 2-enumerável (ou seja, a topologia de X tem base enumerável), munido de uma estrutura complexa. Agora daremos os primeiros exemplos de cartas, atlas e superfícies de Riemann. Exemplo 1.1. O espaço C dos números complexos, considerado topologicamente como R 2 com a estrutura complexa A = {Id : C C} é uma superfície de Riemann. Exemplo 1.2. A esfera S 2 com a topologia induzida de R 3 é uma superfície de Riemann. Claramente S 2 é um espaço de Hausdor, conexo e 2-enumerável. Seja U 1 = S 2 {(0, 0, 1)}. Em U 1 denimos a aplicação φ 1 : U 1 C dada por φ 1 (x, y, w) = x 1 w + i y 1 w. por Observamos que φ 1 é uma aplicação contínua. Além disso, φ 1 tem inversa φ 1 1 : C U 1 dada ( 2 Re(z) φ 1 1 (z) = 1 + z 2, 2 Im(z) ) 1 + z 2, z z 2, que também é uma aplicação contínua. Assim, segue que φ 1 é homeomorsmo de U 1 sobre C e, portanto, uma carta em S 2. Agora, considerando U 2 = S 2 {(0, 0, 1)}, a aplicação φ 2 : U 2 C dada por φ 2 (x, y, w) = x 1 + w i y 1 + w

13 CAPÍTULO 1. DEFINIÇÕES BÁSICAS 5 é homeomorsmo de U 2 sobre C, cujo homeomorsmo inverso φ 1 2 : C U 2 é a aplicação Portanto, φ 2 é uma carta em S 2. ( 2 Re(z) 2 (z) = 2 Im(z), 1 + z z 2, 1 ) z z 2. φ 1 Cada uma das cartas φ 1 e φ 2 é chamada projeção estereográca. Figura 1.2: Projeção Estereográca. Agora vejamos que as cartas φ 1 e φ 2 são compatíveis. De fato, temos U 1 U 2 = S 2 {(0, 0, 1), (0, 0, 1)} e φ 1 (U 1 U 2 ) = φ 2 (U 1 U 2 ) = C {0} = C. Além disso, temos 2 Re(z) φ 2 φ 1 1 (z) = 1+ z ( 2 ) i 1 + z z 1 + ( 2 2 Re(z) = 1 + z z 2 2 z 2 = Re(z) z 2 = z z 2 = 1 z. i Im(z) z 2 2 Im(z) 1+ z ( 2 ) z z 2 ) i ( 2 Im(z) 1 + z z 2 2 z 2 ) Desse modo, a mudança de coordenadas T = φ 2 φ 1 1 : C C, dada por T (z) = 1/z, é holomorfa em C. Portanto as cartas φ 1 e φ 2 são compatíveis. Uma vez que S 2 = U 1 U 2, a coleção A = {φ 1, φ 2 } é um atlas em S 2. Portanto, S 2 é uma superfície de Riemann com a estrutura complexa induzida pelo atlas A. Observamos ainda que essa superfície de Riemann é compacta, já que S 2 é compacta. Tal superfície é chamada Esfera de Riemann e denotada por C. Observamos ainda que C pode ser coberta por apenas duas cartas e se φ 1 é uma carta em C fornecendo coordenada z, então a outra carta fornece coordenada 1/z. Além disso, existe um único ponto em C que não é coberto pela carta φ 1. Tal ponto é chamado ponto no innito e o conjunto dos demais pontos é chamado plano nito. Se denotarmos = (0, 0, 1) então C = U 1 { } = C { }.

14 CAPÍTULO 1. DEFINIÇÕES BÁSICAS 6 Exemplo 1.3. Qualquer subconjunto U aberto de C com a topologia usual é uma superfície de Riemann. De fato, U é coberto por uma única carta φ = Id U. Podemos denir variedades reais do seguinte modo: Denição 1.5. Seja X um espaço topológico Hausdor. Uma carta real n-dimensional em X é um homeomorsmo φ : U V de uma aberto U de X em um aberto V de R n. Dizemos que duas cartas n-dimensionais φ 1 : U 1 V 1 e φ 2 : U 2 V 2 em X são compatíveis se, ou U 1 e U 2 são disjuntos, ou a aplicação φ 2 φ 1 1 : φ 1 (U 1 U 2 ) φ 2 (U 1 U 2 ) é um difeomorsmo C. Um atlas C em X é uma coleção de cartas, duas a duas compatíveis, cuja união de seus domínios cobre X. Dois atlas são equivalentes se a união deles é um atlas, e uma estrutura C em X é uma atlas maximal em X. Finalmente, uma n-variedade real é um espaço topológico Hausdor, conexo e 2-enumerável, munido de uma estrutura C. Com isso, toda superfície de Riemann pode ser considerada como uma 2-variedade real. Denição 1.6. Se X é uma superfície de Riemann compacta, o gênero topológico de X é o gênero topológico de X vista como 2-variedade real. Alguns exemplos de Superfícies de Riemann Seja X um conjunto qualquer. Se tivermos uma cobertura A = {U α } de subconjuntos de X e em cada U α uma topologia, nós podemos construir uma topologia em X denindo os abertos por: U X é aberto em X U U α é aberto em U α, para cada U α. Agora se tivermos uma cobertura {U α } de subconjuntos de X e para cada U α uma bijeção φ α : U α V α, onde V α é aberto em C, nós podemos construir uma topologia em X do seguinte modo: 1. Primeiro construimos uma topologia em U α denindo os abertos como: U U α é aberto em U α φ α (U) é aberto em V α. Como V α é aberto de C, isso é equivalente a pedir que φ α (U) seja aberto em C. 2. Em seguida construimos uma topologia em X denindo os abertos da seguinte maneira: U é aberto em X U U α é aberto em U α, para cada U α. Observamos que, por construção, φ α é homeomorsmo quando consideramos U α com a topologia acima. Além disso, essa topologia satisfaz a seguinte relação: U β é aberto em X se, e somente se, para cada U α, φ α (U α U β ) é aberto em V α (ou em C, como observado anteriormente).

15 CAPÍTULO 1. DEFINIÇÕES BÁSICAS 7 Dessa maneira, para denir uma superfície de Riemann, podemos seguir os seguinte passo: 1. Dado um conjunto X, consideramos uma cobertura {U α } de subconjuntos de X. 2. Para cada U α encontramos uma bijeção φ α : U α V α, onde V α é aberto em C. 3. Para cada α e β vericamos que φ α (U α U β ) é aberto em V α. Isso permite denir uma topologia em X tal que U α é aberto e φ α é uma carta em X. 4. Vericamos que as cartas φ α são compatíveis. 5. Por m, vericamos que X é conexo e Hausdor. Agora usaremos as considerações acima para dar mais alguns exemplos de supercíes de Riemann. RETA PROJETIVA: Consideremos a reta projetiva complexa P 1, ou seja, o conjunto de todos os subespaços unidimensionais de C 2. Em C 2 {0} denimos uma relação de equivalência u v λ C ; u = λv. Denimos então P 1 = C2 {0}. Um ponto de P 1 é denotado por [z : w], onde (z, w) é um vetor não nulo de C 2 e, para cada λ C temos [z : w] = [λz : λw]. As entradas na notação [z : w] são chamadas coordenadas homogêneas. Consideremos os conjuntos: U 0 = {[z : w]; z 0}, U 1 = {[z : w]; w 0}. Claramente temos P 1 = U 0 U 1. Além disso, podemos denir as aplicações: e φ 0 : U 0 C [z : w] w/z φ 1 : U 1 C [z : w] z/w AFIRMAÇÃO 1: φ 0 e φ 1 são bijeções. Primeiro observamos que ambas aplicações estão bem denidas em P 1, pois para cada λ C temos φ 0 ([λz : λw]) = λw λz = w z = φ 1([z : w]). Portanto φ 0 está bem denida em P 1, e de modo análogo, obtemos que φ 1 também está bem denida em P 1.

16 CAPÍTULO 1. DEFINIÇÕES BÁSICAS 8 Agora, suponhamos w 1 /z 1 = w 2 /z 2. Então w 1 = (z 1 /z 2 )w 2, logo [z 1 : w 1 ] = [z 1 : (z 1 /z 2 )w 2 ], donde segue que [z 1 : w 1 ] = [z 1 z 2 : z 1 w 2 ] = [z 2 : w 2 ]. Assim φ 0 é injetiva. E ainda, para todo w C, temos w = φ 0 ([1 : w]). Assim, φ 0 é sobrejetiva. Desse modo, φ 0 é bijeção e sua inversa é dada por φ 1 0 (z) = [1 : z]. De modo análogo, obtemos que φ 1 é bijeção e tem inversa φ 1 1 (z) = [z : 1]. Isso conclui a armação 1. Uma vez que U 0 U 1 = {[z : w]; z 0 e w 0}, temos φ 0 (U 0 U 1 ) = C = φ 1 (U 0 U 1 ), e portanto, φ i (U 0 U 1 ) é aberto de C, com i = 0, 1. Então, podemos considerar em X a topologia descrita anteriormente, de modo que U i é aberto em X e φ i é carta em X. Agora vejamos que φ 0 e φ 1 são compatíveis. De fato, a mudança de coordenadas é (φ 0 φ 1 1 )(z) = φ 0([1 : z]) = 1/z, que é holomorfa em C. Portanto as cartas são compatíveis. Segue que a coleção {φ 0, φ 1 } é um atlas em X e, portanto, induz uma estrutura complexa em X. Além disso, U 0 e U 1 são conexos não disjuntos, portanto P 1 = U 0 U 1 é conexo. Agora vejamos que P 1 é Hausdor. Para isso, consideremos dois pontos distintos p e q em P 1. Uma vez que U 0 e U 1 são Hausdor e P 1 = U 0 U 1, basta considerar o caso em p U 0 U 1 e q U 1 U 0, ou seja, p = [1 : 0] e q = [0 : 1]. Seja D o disco unitário de C. Então φ 1 0 Assim, temos p φ 1 0 φ 1 0 (D) = {[1 : z], z < 1} e φ 1(D) = {[z : 1], z < 1}. (D) e q φ 1 1 (D). Obviamente φ 1 0 (D) e φ 1 1 (D) são abertos em P1. Além disso, (D) e φ 1 1 (D) são disjuntos. Com efeito, suponha que existe c φ 1 0 (D) φ 1 1 (D), então existem z 0 e w 0 em D tais que c = [1 : z 0 ] e c = [w 0 : 1]. Consequentemente, teremos z 0 = 1/w 0 e, como z 0 < 1, segue que w 0 > 1, o que é uma contradição pois w 0 D. Portanto φ 1 0 concluímos que P 1 é Hausdor. Portanto, P 1 é uma superfície de Riemann, chamada Reta Projetiva. 1 (D) e φ 1(D) são disjuntos e 1 z w : AFIRMAÇÃO 2: A reta projetiva P 1 é uma superfície de Riemann compacta. De fato, temos P 1 = φ 1 0 (D) φ 1 1 (D), pois dado [z : w] P1, temos duas possibilidades: Primeiro observamos que φ 1 0 (D) = {[1 : z 1]; z 1 1}. Agora, como z e w não se anulam simultaneamente, temos necessariamente z 0. z < w : Além disso (w/z) 1, logo [z : w] = [1 : w/z] φ 1 0 (D). Neste caso, fazendo observações análogas ao caso anterior, obtemos [z : w] φ 1 1 (D). Portanto, P 1 = φ 1 0 (D) φ 1 1 (D). Uma vez que D é compacto e φ i é homeomorsmo, temos φ 1 i (D) compacto. Donde concluimos que P 1 é compacto.

17 CAPÍTULO 1. DEFINIÇÕES BÁSICAS 9 TORO COMPLEXO: Sejam w 1 e w 2 números complexos linearmente independentes sobre R e L o reticulado L = Zw 1 + Zw 2 = {m 1 w 1 + m 2 w 2 ; m 1, m 2 Z}. O reticulado L é um subgrupo de C com a adição. Consideremos o grupo quociente X = C L e a aplicação projeção π : C X dada por π(z) = [z]. Em X consideremos a topologia quociente: U X é um aberto se, e somente se, π 1 (U) é aberto de C. Com essa topologia, π é contínua. Além disso, π(c) = X, portanto X é conexo. Observamos ainda que π é uma aplicação aberta. De fato, se V é subconjunto aberto de C então temos π 1 (π(v )) = w L(w + V ). Assim π 1 (π(v )) é união de abertos de C, logo é aberto em C. Portanto, π(v ) é aberto em X. Uma vez que L é discreto, existe um ɛ > 0 tal que w > 2ɛ, para todo w L {0}, isto é, 0 é único ponto de L numa bola de raio 2ɛ. Fixado z 0 C e tomando ɛ como anteriormente, seja D z0 = D(z 0, ɛ) o disco de centro z 0 e raio ɛ. Então dois pontos distintos de D z0 não diferem por um elemento de L, pois se w 1, w 2 D z0 então w 1 w 2 2ɛ, logo w 1 w 2 não está em L. Para cada z 0 C, a aplicação π Dz0 : D z0 π(d z0 ) é homeomorsmo. De fato, ela é contínua pois é restrição de uma função contínua; é injetiva, pois a diferença de dois pontos distintos em D z0 não está em L; e é aberta pois é restrição de uma aplicação aberta, logo sua inversa é contínua. Assim, as aplicações φ z0 = (π Dz0 ) 1 : π(d z0 ) D z0 são cartas em X. Agora vamos vericar que essas cartas são duas a duas compatíveis. Para isso, tomemos z 1 e z 2 (distintos) em C e suponhamos que U = π(d z1 ) π(d z2 ). Então a mudança de coordenadas é T (z) = (φ z2 φ 1 z 1 )(z) = φ z2 (π(z)), logo, π(t (z)) = π(z). Assim, para cada z φ z1 (U) existe w(z) L tal que T (z) z = w(z). Então podemos construir uma função contínua w : φ z1 (U) L z T (z) z. Como L é discreto, segue que w(z) é constante em cada componente conexa de φ z1 (U). Desse modo, em cada componente conexa de φ z1, existe w L tal que T (z) = z + w, donde segue que T é holomorfa em φ z1 (U). Portanto T é holomorfa. Segue que a coleção {φ z ; z C} é um atlas e, portanto, induz uma estrutura complexa em X. Desse modo, X é superfície de Riemann chamada toro complexo. Proposição 1.1. O toro complexo X denido acima é uma superfície de Riemann compacta.

18 CAPÍTULO 1. DEFINIÇÕES BÁSICAS 10 Demonstração. Fixado z C, denimos o paralelogramo fechado P z = {z + λ 1 w 1 + λ 2 w 2 ; λ 1, λ 2 [0, 1]}. Armamos que todo ponto de C é congruente a um ponto de P z módulo L. De fato, como w 1 e w 2 são linearmente independentes sobre R eles formam uma base de C como R-espaço vetorial. Então, dado w C, consideremos α 1 e α 2 coordenadas de w na base {w 1, w 2 }; β 1 e β 2 coordenadas de z na base {w 1, w 2 }. Dado x R, denimos a parte inteira de x como sendo o maior número inteiro menor que x e denotamos por x. A parte fracionária de x é denotada por {x} e denida por {x} = x x. Assim, temos {x} [0, 1) e x Z. Tomando λ i = {α i β i }, com i = 1, 2, temos α i β i λ i = α i β i Z. Escrevendo w e z na base {w 1, w 2 }, segue que w z λ 1 w 1 + λ 2 w 2 = α 1 β 1 w 1 + α 2 β 2 w 2, logo, w z λ 1 w 1 λ 2 w 2 L. Portanto, w = z + λ 1 w 1 + λ 2 w 2 mod L. Isso conclui a armação. Agora, segue diretamente da armação acima, que π(p z ) = X. Como π é contínua e P z é compacto, segue que X é compacto. Além disso, X tem gênero topológico 1, desde que esta 2-variedade é homeomorfa a S 1 S 1. GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO HOLOMORFA: Sejam V um aberto conexo de C e g : V C uma função holomorfa não constante. Seja X = {(z, g(z)); z V } o gráco de g com a topologia induzida de C 2. Consideremos ainda a projeção na primeira entrada π : X V (z, g(z)) z. Claramente π é bijeção contínua, e tem inversa π 1 (z) = (z, g(z)) que também é contínua. Portanto π é homeomorsmo. Desse modo, π é uma carta em X, cujo domínio cobre X e, portanto, {φ} é um atlas e induz uma estrutura complexa em X. Além disso, π é homeomorsmo entre X e V (que é conexo e Hausdor) logo X é conexo e Hausdor. Portanto, X é uma superfície de Riemann. CURVA PLANA AFIM SUAVE: Uma curva plana am é o lugar geométrico dos zeros em C 2 de um polinômio f(z, w). O polinômio f(z, w) é não singular em um zero p se pelo menos uma das derivadas parciais, f z f ou w, não se anula em p. Uma curva plana am X dada pelos zeros de um polinômio f é dita não singular em p X se

19 CAPÍTULO 1. DEFINIÇÕES BÁSICAS 11 f é não singular em p. Se X é não singular em cada um de seus pontos, dizemos que X é suave. O Teorema da Função Implícita, nos permite encontrar cartas curva plana am suave X. De fato, dado um ponto p X, pelo menos uma das derivadas parciais f z, f w é não nula em p. Digamos que seja f z (p) 0, então pelo Teorema da Função Implícita f é localmente o gráco de uma aplicação holomorfa e, portanto, tem estrutura complexa. Além disso, como subconjunto de C 2, X é Hausdor e 2-enumerável com a topologia induzida de C 2. Mas para garantir a conexidade de X precisamos de uma hipótese a mais sobre o polinômio f, que segue do Teorema: Teorema 1. Se f(z, w) é um polinômio irredutível, então o lugar geométrico dos zeros de f é conexo. Uma demonstração deste Teorema pode ser vista na referência [7]. Portanto, se f é polinômio irredutível então X é uma superfície de Riemann. Observação 1. A condição de f ser irredutível é indispensável. Como exemplo, tomemos o polinômio f(z, w) = (z + w)(z + w 1). Então X é a união {(z, z)} {(z, 1 z)} de retas complexas paralelas e, portanto, X não é conexo. Assim, X não é uma superfície de Riemann.

20 Capítulo 2 Funções e Aplicações entre Superfícies de Riemann Neste capítulo falaremos sobre funções de superfícies de Riemann em C e aplicações entre superfícies de Riemann. Usaremos as cartas para transportar propriedades das funções holomorfas e meromorfas com domínio em subconjuntos abertos de C às superfícies de Riemann. 2.1 Funções em Superfícies de Riemann Denição 2.1. Sejam X uma superfície de Riemann, W um aberto de X e f : W C uma função. Dado um ponto p W dizemos que f é holomorfa em p se existe uma carta φ : U V denida numa vizinhança U de p tal que f φ 1 é holomorfa em φ(p) (ver gura??). Se f é holomorfa em todo ponto de W, dizemos que f é holomorfa. Observamos que esta denição independe da escolha da carta φ. De fato, suponhamos que φ 1 e φ 2 são cartas numa vizinhança de p. Então f φ 1 1 = (f φ 1 2 ) (φ 2 φ 1 1 ), e como a mudança de coordenadas φ 2 φ 1 1 é holomorfa no seu domínio, segue que f φ 1 1 é holomorfa em φ 1 (p) se, e somente se, f φ 1 2 é holomorfa em φ 2 (p). Portanto a denição acima independe da escolha da carta. Além disso, se f φ 1 é holomorfa em φ(p) então é holomorfa em uma vizinhança de φ(p). Portanto se f é holomorfa em p então f é holomorfa numa vizinhança de p. Vejamos alguns exemplos: Exemplo 2.1. Seja X uma superfície de Riemann. Toda carta em X é uma função holomorfa de um aberto de X sobre um aberto de C. 12

21 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES E APLICAÇÕES ENTRE SUPERFÍCIES DE RIEMANN 13 Exemplo 2.2. Se f e g são funções holomorfas em p então as funções f ± g e fg são holomorfas em p. Além disso, se g(p) 0 então f/g é holomorfa em p. Exemplo 2.3. Sejam X a esfera de Riemann e f uma função numa vizinhança de. Então f é holomorfa em se, e somente se, f(1/z) é holomofa em z = 0. De fato, o ponto corresponde ao ponto (0, 0, 1) S 2 e a carta φ 2 do exemplo 1.2 dá uma coordenada 1/z numa vizinhança de, com φ 2 ( ) = 0. Assim, f é holomorfa em se, e só se, f(1/z) é holomorfa em z = 0. Em particular, uma função racional f(z) = p(z)/q(z) é holomorfa em se, e só se, deg(p) deg(q). Exemplo 2.4. Consideremos a reta projetiva P 1 com coordenadas homogêneas [z : w]. Sejam p(z, w) e q(z, w) polinômios homogêneos de mesmo grau d, com q(z 0, w 0 ) 0. Então a função f([z : w]) = p(z, w)/q(z, w) é holomorfa numa vizinhança de [z 0 : w 0 ]. Primeiro vejamos que f está bem denida em P 1. De fato, como os polinômios p(z, w) e q(z, w) são homogêneos de grau d, para cada λ C, temos p(λz, λw) = λ d p(z, w) e q(λz, λw) = λ d q(z, w). Assim, f([λz, λw]) = p(λz, λw) q(λz, λw) = λd p(z, w) p(z, w) λ d = = f([z : w]). q(z, w) q(z, w) Portanto, f está bem denida em P 1. Agora, como q(z 0, w 0 ) 0, então existe uma vizinhança U de (z 0, w 0 ) tal que q 0 em U. Então pelo exemplo 2.2 segue que p/q é holomorfa em U, ou seja, f é holomorfa em U. Exemplo 2.5. Seja X o toro complexo C/L. Uma função f denida em um aberto W de X é holomorfa num ponto p W se, e só se, existe uma preimagem z de p tal que f π é holomorfa em z. De fato, f é holomorfa se, e só se, existe uma carta φ = (π D ) 1 : π(d) D, com p π(d) e z = φ(p), tal que f φ 1 é holomorfa em z = φ(p). Como φ 1 = π D, segue f é holomorfa em p se, e só se, f π é holomorfa em z. Desse modo, f é holomorfa em W se, somente se, f π é holomorfa em π 1 (W ). Exemplo 2.6. Seja X uma curva plana am suave dada por um polinômio (irredutível e não singular) f(z, w) = 0. As projeções sobre os eixos z e w são holomorfas. De fato, dado p X suponhamos que f w (p) 0. Consideremos W uma vizinhança de p tal que w = (z, g(z)) para todo w W (relembre que X é localmente gráco de uma função holomorfa g). Então a projeção na primeira coordenada (π z ) W é carta de X, portanto, holomorfa em W. Já a projeção (π w ) W na segunda coordenada é π w (z, g(z)) = g(z), que é holomorfa. W, ou seja, Portanto as projeções são holomorfas. Dado W um aberto de X, denotamos por O(W ) o conjunto das funções holomorfas denidas em O X (W ) = O(W ) = {f : W C; f é holomorfa}. Uma vizinhança perfurada de p é um conjunto da forma U {p}, onde U é uma vizinhança de p. Denição 2.2. Sejam X uma superfície de Riemann e f uma função holomorfa numa vizinhança perfurada de p. Dizemos que

22 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES E APLICAÇÕES ENTRE SUPERFÍCIES DE RIEMANN p é singularidade removível de f se existe uma carta φ tal que φ(p) é singularidade removível de f φ p é polo de f se existe uma carta φ tal que φ(p) é polo de f φ p é singularidade essencial de f se existe uma carta φ tal que φ(p) é singularidade essencial de f φ 1. A denição acima independe da escolha da carta. De fato, se φ 1 e φ 2 são cartas numa vizinhança de p, temos f φ 1 1 = (f φ 1 2 ) (φ 2 φ 1 1 ) e como a mudança de coordenadas φ 2 φ 1 1 é holomorfa no seu domínio, segue que φ 1 (p) é singulariade removível de f φ 1 1 se, e só se, φ 2 (p) é singularidade removível de f φ 1 2. Analogamente se p é polo ou singularidade essencial de f. Lema 2.1. Sejam X uma superfície de Riemann e f uma função holomorfa numa vizinhança perfurada de p X. Então 1. p é singularidade removível de f se, e somente se, f(x) é limitada numa vizinhança de p. Neste caso, existirá o limite lim x p f(x) e denindo f(p) = lim x p f(x) temos f holomorfa em p. 2. p é polo de f se, e somente se, lim x p f(x) =. 3. p singularidade essencial de f se, e somente se, não existe o limite lim x p f(x). Denição 2.3. Seja f uma função holomorfa numa vizinhança perfurada de p e φ : U V uma carta em X fornecendo uma coordenada z numa vizinhança de p, ou seja, φ(x) = z para x U. Suponhamos que φ(p) = z 0. A função f φ 1 é holomorfa numa vizinhança perfurada de z 0 e, portanto, possui uma expansão em série de Laurent em torno de z 0. Assim para todo z numa vizinhança de z 0 temos f φ 1 (z) = c n (z z 0 ) n. n= Essa expressão acima dene a Série de Laurent de f em torno do ponto p com respeito a carta φ. As constantes c n são chamadas de coecientes da série de Laurent. Esta série depende da escolha da carta φ. Podemos vericar o tipo de singularidade de um ponto p, analisando a série de Laurent de f em torno de p com respeito a uma carta φ, como veremos abaixo. Lema 2.2. Com as mesmas notações da denição 2.3, temos: 1. p é singularidade removível de f se, e somente se, existe uma carta φ numa vizinhança de p tal que os coecientes de índices negativos da série de Laurent de f em torno de p com respeito a uma carta φ são todos nulos. Ou seja, se a expansão de f é dada por f φ 1 (z) = c n (z z 0 ) n n=

23 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES E APLICAÇÕES ENTRE SUPERFÍCIES DE RIEMANN 15 então p é singularidade removível de f se, e somente se, c n = 0 para todo n < 0, de modo que temos f φ 1 (z) = c n (z z 0 ) n 2. p é polo de f se, e somente se, existe uma carta φ em torno de p tal que apenas uma quantidade nita de coecientes com índices negativos da série de Laurent de f em torno de p com respeito a uma carta φ é não nula, mas tem pelo menos um coeciente de índice negativo não nulo. Ou seja, se a expansão de f é dada por f φ 1 (z) = c n (z z 0 ) n n=0 n= então p é polo de f se, e somente se, existe m < 0 tal que c m 0 e c n = 0 para todo n < m, de modo que f φ 1 (z) = c n (z z 0 ) n com c m 0 e m < p é singularidade essencial de f se, e somente se, existe uma carta φ em torno de p tal que a série de Laurent de f em torno de p com respeito a uma carta φ tem innitos coecientes de índices negativos não nulos. O lema anterior independe da escolha da carta φ. n=m Denição 2.4. Seja f uma função holomorfa em uma vizinhança perfurada de p. Dizemos que f é meromorfa em p se f é holomorfa em p, ou p é singularidade removível de f ou p é polo de f. Dizemos que f é meromorfa se f é meromorfa em todo ponto de W, ou seja, f não tem singularidades essenciais no seu domínio. Exemplo 2.7. Seja X uma superfície de Riemann e f e g funções meromorfas em p X. Então as funções f ±g e f g são meromorfas em p. Além disso, se g não é identicamente nula então f/g é meromorfa em p. Exemplo 2.8. Seja X a esfera de Riemann e f uma função denida numa vizinhança de. Então f é meromorfa em se, e somente se, f(1/z) é meromorfa em z = 0. Em particular, qualquer função racional f(z) = p(z)/q(z) é meromorfa na esfera de Riemann. Exemplo 2.9. Sejam p e q polinômios homogêneos de mesmo grau e q não identicamente nulo. A função f([z : w]) = p(z, w)/q(z, w) é meromorfa em P 1. Exemplo Seja X = C/L um toro complexo, π : C X a projeção e W um aberto de X. Então f é meromorfa em p se, e só se, existe uma preimagem p = π(z) tal f π é meromorfa em z. E ainda, f é meromorfa em W se, e somente se, f π é meromorfa em π 1 (W ).

24 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES E APLICAÇÕES ENTRE SUPERFÍCIES DE RIEMANN 16 Observamos que existe uma correspondência entre funções meromorfas no toro C/L e funções meromorfas L-periódicas em C. De fato, pelas observações acima, para cada função meromorfa f, a função f π é meromorfa L-periódica em C. Além disso, se f é uma função meromorfa L-periódica em C então a função g = f π 1 é uma função meromorfa bem denida em C/L. Se W é um aberto de X denotamos o conjunto de todas as funções meromorfas denidas em W por M(W ), ou seja, M X (W ) = M(W ) = {f : W C; f é meromorfa}. Dada uma função meromorfa f numa supercíe de Riemann X, podemos atribuir a cada ponto de X um número natural que dará informações sobre o tipo de singularidade da função f no ponto p. Esse número natural é chamado ordem de f em p e é denido como segue abaixo. Denição 2.5. Sejam f uma função meromorfa numa superfície de Riemann X e φ : U V uma carta numa vizinhança de um ponto p de X. Suponhamos que φ fornece coordenada z e z 0 = φ(p). Pelo lema 2.1 a série de Laurent de f em torno de p com respeito a qualquer carta φ tem, no máximo, uma quantidade nita de coecientes de índices negativos e, portanto, é da forma f φ 1 (z) = c n (z z 0 ) n, com c M 0. A ordem de f em p é denotada por ord p (f) e denida por ord p (f) = M. n=m Em outras palavras, a ordem de f em p é o menor expoente com coeciente não nulo da série de Laurent. Embora a série de Laurent dependa da escolha da carta φ, a ordem de f num ponto p independe da escolha da carta. Proposição 2.1. A denição acima independe da escolha da carta φ. Demonstração. Seja φ 1 uma carta numa vizinhança de p, com coordenada local z e z 0 = φ 1 (p). Suponhamos que a ordem de f em p com respeito a carta φ 1 é m. Então, a série de Laurent de f com respeito a φ 1 é da forma (f φ 1 1 )(z) = n=m c n (z z 0 ) n. (2.1) Suponhamos que φ 2 é outra carta numa vizinhança de p fornecendo coordenada w e w 0 = φ 2 (p). Consideremos T (w) = φ 1 φ 1 2 (w) a mudança de coordenada e sua série de Taylor z = T (w) = z 0 + n 1 b n (w w 0 ) n, com b 1 0, donde obtemos z z 0 = n 1 b n (w w 0 ) n.

25 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES E APLICAÇÕES ENTRE SUPERFÍCIES DE RIEMANN 17 Substituindo z z 0 na série (2.1), vemos que expressão da série de f φ 1 2 é da forma f φ 1 2 = α m (w w 0 ) m + termos de ordem maior, com α m 0. Concluimos que a ordem de f no ponto p considerando uma coordenada w também é m. Isso mostra que a ordem de f num ponto p é um número inteiro bem denido, independendo da escolha da coordenada local. Lema 2.3. Segue diretamente da denição de ord p (f) e do lema 2.2 que: 1. f é holomorfa em p se, e somente se, ord p (f) 0 e, neste caso, f(p) = 0 se, e somente se, ord p (f) > f tem polo em p se, e somente se, ord p (f) < O ponto p não é zero nem polo de f se, e só se, ord p (f) = 0. Além disso, temos as seguintes relações: Lema 2.4. Se f e g são funções meromorfas não nulas num ponto p X, vale as seguintes relações: 1. ord p (fg) = ord p (f) + ord p (g). 2. ord p (1/f) = ord p (f). 3. ord p (f/g) = ord p (f) ord p (g). 4. ord p (f + g) min{ord p (f) + ord p (g)}. Demonstração. Para vericar esses fatos, pela proposição 2.1, podemos considerar uma coordenada local z = φ(x) centrada em p. Além disso, para simplicar a notação, escreveremos apenas f(z) para nos referirmos a (f φ 1 )(z). Com essas considerações, suponhamos que ord p (f) = k e ord p (g) = m. Então as séries de Laurent de f e g na coordenada z são f(z) = g(z) = Assim, temos: a n z n, com a k 0; n=k b n z n, com b m 0. n=m 1. A série se Laurent do produto fg é da forma a k b m z k+m + termos de ordem maior, com a k b m 0. Portanto ord p (f + g) = k + m = ord p (f) + ord p (g)

26 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES E APLICAÇÕES ENTRE SUPERFÍCIES DE RIEMANN Consideremos a série de Laurent de 1/f 1 f = c n z n. n=l Temos 1 = f 1 f = c la k z l+k + termos de ordem maior. Segue que l + k = 0 e c l a k = 1. Assim, temos l = k e c l = 1/a k. Portanto ord p (1/f) = ord p (f) 3. Segue diretamente dos itens 1 e A série de f + g é da forma (f + g)(z) = a k z k + b m z m + a k+1 z k+1 + b m+1 z m+1 + logo, a ordem de f + g será maior ou igual ao mínimo entre k e m. Ou seja, ord p (f + g) min{ord p (f), ord p (g)} Exemplo Seja f = p/q uma função racional em C. Fatorando os polinômios p e q, conseguimos expressar f como f(z) = c (z λ i ) ei, i com c constante não nula, λ i 's distintos e e i inteiros. Assim, para cada i, temos ord z=λi (f) = e i. Além disso, ord (f) = ord 0 (f(1/z)) = i e i. Nos demais pontos temos ord p (f) = 0. Desse modo, temos ord p (f) = 0. p X Teorema 2. Sejam X uma superfície de Riemann, W um aberto de X e f : W C uma função meromorfa em W não identicamente nula. Então os polos e os zeros de f são pontos isolados. A demonstração desse teorema segue de aplicar o resultado análogo para funções meromorfas denidas em subconjuntos abertos de C. Como consequência desse teorema temos o seguinte resultado para superfícies compactas: Corolário 1. Se X é superfície de Riemann compacta e f é uma função meromorfa não identicamente nula, então o conjunto dos zeros e polos de f é nito.

27 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES E APLICAÇÕES ENTRE SUPERFÍCIES DE RIEMANN 19 Demonstração. De fato, se o conjunto dos polos e zeros de f não for nito, ele terá um ponto de acumulação pois X é compacta. Então segue pelo teorema 2 que f deve ser identicamente nula Ainda como consequência do teorema 2 temos o Princípio da Identidade. Teorema 3 (Princípio da Identidade). Sejam f e g funções meromorfas num aberto conexo W X. Então f = g se, e somente se, o conjunto A = {p W ; f(p) = g(p)} tem ponto de acumulação em W. Demonstração. Com efeito, se A tem ponto de acumulação em W então o conjunto dos zeros da função f g tem ponto de acumulação em W e, pelo teorema 2 segue que f g é identicamente nula. Portanto f = g. A outra implicação é óbvia. Outro teorema importante que vale para funções denidas em abertos de C e também pode ser estendido para funções em superfícies de Riemann é o Teorema do Módulo Máximo. Teorema 4 (Teorema do Módulo Máximo). Seja f uma função holomorfa aberto conexo W de X. Se existe um ponto p W tal que f(x) f(p) para todo x W então f é constante. E como consequência deste teorema, temos o seguinte resultado: Corolário 2. Em uma superfície de Riemann compacta, toda função holomorfa é constante. Demonstração. Se f é holomorfa em X, uma vez que X é compacta, segue que f atinge uma máximo em X. Portanto f é constante pelo Princípio do Módulo Máximo. 2.2 Aplicações entre Superfícies de Riemann Denição 2.6. Sejam X e Y superfícies de Riemann, F : X Y uma função e p X. Dizemos que F é holomorfa em p se existe uma carta φ : U 1 V 1 numa vizinhança U 1 de p em X e uma carta ψ : U 2 V 2 numa vizinhança de F (p) em Y, tais que ψ F φ 1 é holomorfa em φ(p) (ver gura 2.1). Dizemos que F é aplicação holomorfa se F é holomorfa em todo X. De modo análogo podemos denir aplicações C entre superfícies de Riemann. Denição 2.7. Sejam X e Y superfícies de Riemann, F : X Y uma função e p X. Dizemos que F é uma aplicação C se, para quaisquer cartas φ : U 1 V 1 de X e ψ : U 2 V 2 de Y, a composta ψ F φ 1 é C. Observamos que essa denição independe das escolhas das cartas φ e ψ. De fato, consideremos cartas φ 1 e φ 2 numa vizinhança de p, e cartas ψ 1 e ψ 2 numa vizinhança de F (p). Temos ψ 1 F φ 1 1 = (ψ 1 ψ 1 2 ) (ψ 2 F φ 1 2 ) (φ 2 φ 1 1 ). Então, como as mudanças de coordenadas ψ 1 ψ 1 2 e φ 2 φ 1 1 são holomorfas, segue que ψ 1 F φ 1 1 é holomorfa se, e somente se, ψ 2 F φ 1 2 é holomorfa. Portanto a denição acima independe da escolha das cartas.

28 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES E APLICAÇÕES ENTRE SUPERFÍCIES DE RIEMANN 20 Segue diretamente das denições que se F : X Y é holomorfa então F é C. Além disso, temos as seguintes propriedades: Figura 2.1: F é holomorfa em p se, e só se, ψ F φ 1 é holomorfa em φ(p). Lema 2.5. Sejam F : X Y e G : Y Z aplicações holomorfas e f : W C função holomorfa em um aberto de W Y. Então 1. A composta G F : X Z é holomorfa. 2. Se g é meromorfa em W então (g F ) é meromorfa no conjunto F 1 (W ). Em particular, se g é holomorfa em W então (g F ) é holomorfa em F 1 (W ). Demonstração. Consideremos ϕ uma carta numa vizinhança de p X, φ carta numa vizinhança de F (p) = q e ψ carta numa vizinhança de G(q). 1. Como F e G são holomorfas em p e q, respectivamente, as funções φ F ϕ 1 e ψ G φ 1 são holomorfas em ϕ(p) e φ(q), respectivamente. Então, a composta ψ G F ϕ 1 = (ψ G φ 1 ) (φ F ϕ 1 ) é holomorfa em ϕ(p). Portanto G F é holomorfa em p. 2. Uma vez que F é holomorfa em p, a composta φ F ϕ 1 é holomorfa em ϕ(p). Além disso, se g é meromorfa em q = F (p), a composta g φ 1 é meromorfa em φ(q). Desse modo, segue que g F ϕ 1 = (g φ 1 ) (φ F ϕ 1 ) é meromorfa em ϕ(p). Portanto, g F é meromorfa em p. Sejam X e Y superfícies de Riemann, F : X Y uma aplicação holomorfa e W um aberto de Y. A aplicação F induz um homomorsmo F * : M Y (W ) M X (F 1 (W ))

29 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES E APLICAÇÕES ENTRE SUPERFÍCIES DE RIEMANN 21 denido por F * (g) = g F. Além disso, F * OY (W ) é homomorsmo de O Y (W ) sobre O X (F 1 (W )). Observamos ainda que se F : X Y e G : Y Z são holomorfas então (G F ) = F * G. Com efeito, dada g M(Z) temos (F * G )(g) = F * (G (g)) = F * (g G) = g G F = (G F ) (g). Dizemos que uma aplicação holomorfa F : X Y é um isormorsmo (ou biholomorsmo) entre as superfícies X e Y se F é bijeção e tem inversa F 1 : Y X holomorfa. Quando existe um isormorsmo F : X Y, dizemos que as superfícies X e Y são isomorfas. Um automorsmo de X é isomorsmo de uma superfície de Riemann X nela própria. Lema 2.6. A reta projetiva P 1 e a esfera de Riemann são isomorfas. A demonstração deste lema pode ser encontrada na referência [5] O próximo resultado é o correspondente ao Teorema da Aplicação Aberta para funções em subconjuntos abertos de C. Teorema 5 (Teorema da Aplicação Aberta). Se F : X Y é uma aplicação holomorfa não constante entre superfícies de Riemann então F é uma aplicação aberta. O próximo resultado arma que se F : X Y é uma aplicação holomorfa entre superfícies de Riemann e possui inversa, então sua inversa é holomorfa. Proposição 2.2. Se F : X Y é uma aplicação holomorfa injetiva então F é isomorsmo de X sobre F (X). Demonstração. De fato, suponha que F é injetiva e considere sua inversa F 1 : F (X) Y. Dado um ponto q em F (X), tomemos cartas φ e ψ em vizinhanças de p = F 1 (q) e q, respectivamente. Como F é holomorfa em p, a aplicação ψ F φ 1 é holomorfa em φ(p). Além disso, como F é injetiva, segue que ψ F φ 1 é injetiva e, portanto, tem inversa φ F 1 ψ 1 holomorfa em (ψ F φ 1 )(φ(p)) = ψ(q), ou seja, φ F 1 ψ 1 é holomorfa em ψ(q). Portanto, F 1 é holomorfa em q. De modo análogo ao Princípio da Identidade para funções holomorfas, temos o Princípio da Identidade para aplicações holomorfas: Teorema 6 (Princípio da Identidade). Sejam X e Y superfícies de Riemann, F : X Y e G : X Y aplicações holomorfas. Então F = G se, e somente se, o conjunto {p X, F (p) = G(p)} tem ponto de acumulação em X. Proposição 2.3. Sejam X e Y superfícies de Riemann e F : X Y uma aplicação holomorfa não constante. Se X é compacta então F é sobrejetiva e Y é uma superfície de Riemann compacta. Demonstração. Se F é holomorfa e não constante, pelo teorema 5 segue que F (X) é aberto em Y. Além disso F é contínua e, como X é compacta, segue que F (X) é um subconjunto compacto de Y. Uma vez

30 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES E APLICAÇÕES ENTRE SUPERFÍCIES DE RIEMANN 22 que Y é espaço de Hausdor, temos F (X) fechado em Y. Desse modo, F (X) é subconjunto aberto e fechado em Y, donde segue que F (X) = Y, uma vez que Y é conexo. Portanto, F é sobrejetiva e Y é compacta. O Princípio da Identidade implica no seguinte resultado: Proposição 2.4 (Pré-imagens isoladas). Sejam X e Y superfícies de Riemann e F : X Y uma aplicação holomorfa não constante. Então, para cada y Y, o conjunto F 1 (y) = {x X; F (x) = y} é um subconjunto discreto de X. Em particular, se X e Y são compactas, então o conjunto F 1 (y) é nito, para cada y Y. Proposição 2.5 (Forma Local Normal). Seja F : X Y uma aplicação não constante e p X tal que F é holomorfa em p. Então existe um único inteiro m 1 que satisfaz: para cada carta φ 2 : U 2 V 2 centrada em F (p) existe uma carta φ 1 : U 1 V 1 centrada em p de modo que φ 2 F φ 1 1 (z) = zm. Neste caso, dizemos que w = z m é forma local normal de F. Ao número inteiro m 1 da proposição acima chamamos multiplicidade de F em p e usamos a notação mult p (F ) = m. Dizemos que um ponto p X é um ponto ramicação de F se mult p (F ) 2. E dizemos que um ponto q Y é ponto ramo de F se q é imagem de um ponto de ramicação de F. Se f : X C é uma função meromorfa numa superfície de Riemann X, podemos denir uma aplicação holomorfa F : X C associada a f da seguinte maneira: f(x), se x não é polo de f F (x) =, se x é polo de f De fato, F é holomorfa pois fora dos polos de f temos F = f e portanto F é holomorfa. Agora se p é um polo de f, suponhamos que ord p (f) = m, com m > 0. Em uma vizinhança perfurada de p podemos considerar uma carta ψ fornecendo coordenada w centrada em p de modo que f ψ 1 (w) = n m c nw n. Além disso, podemos tomar uma carta φ numa vizinhança de na esfera de Riemann, de modo que 1/z é coordenada local. Assim, nesta vizinhança perfurada de p, temos (φ F ψ 1 )(w) = (φ f ψ 1 )(w) = donde segue que série de Laurent de F é da forma 1 (f ψ 1 )(w), (φ F ψ 1 )(w) = (c m ) 1 w m + termos de ordem maior. Como m > 0 segue que F é holomorfa em p. Temos o seguinte resultado: Lema 2.7. Sejam f uma função meromorfa numa superfície de Riemann X e F : X C a aplicação holomorfa associada a f. Então

31 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES E APLICAÇÕES ENTRE SUPERFÍCIES DE RIEMANN Se p é um zero de f, temos mult p (F ) = ord p (f). 2. Se p é um polo de f, temos mult p (F ) = ord p (f). 3. Se p não é um polo nem um zero de f, temos mult p (F ) = ord p (f f(p)). A demonstração deste resultado pode ser encontrada na referência [5]. Sejam X e Y superfícies de Riemann compactas e F : X Y uma aplicação holomorfa não constante. Vimos na proposição 2.4 que F 1 (y) é um conjunto nito, e na proposição 2.3 vimos que F 1 (y) é não vazio, para cada y Y. Assim, d y (F ) = mult p (F ) p F 1 (y) é um número inteiro bem denido, tem-se a seguinte propriedade: Proposição 2.6. Sejam X e Y superfícies de Riemann compactas e F : X Y uma aplicação holomorfa não constante. Então, o inteiro d y (F ) = mult p (F ) p F 1 (y) independe do ponto y. A demonstração deste resultado pode ser vista na referência [5]. Como consequência da proposição 2.6, se F : X Y é uma aplicação holomorfa não constante entre superfícies de Riemann compactas, o grau de F, denotado por deg(f ), é denido por deg(f ) = d y (F ) = mult p (F ), p F 1 (y) para qualquer y Y. Se S é uma 2-variedade real compacta e {T i } uma triangulação de S com v vértices, a arestas e t triângulos então o número de Euler de S segundo a triangulação {T i } é o inteiro e(s) = v a + t. É possível mostrar que o número de Euler independe da triangulação escolhida, então podemos denotá-lo apenas por e e além disso vale a igualdade e = 2 2g(S), onde g(s) é o gênero topológico de S. As demonstrações destes fatos podem ser vistas na referência [5]. Se X e Y são superfícies de Riemann compactas e F : X Y é uma aplicação holomorfa, podemos relacionar o número de Euler de X e Y com o grau da aplicação F. Esta relação é dada pela Fórmula de Hurwitz, como veremos a seguir. Teorema 7 (Fórmula de Hurwitz). Sejam X e Y superfícies de Riemann compactas e F : X Y uma aplicação holomorfa. Então 2g(X) 2 = deg(f )(2g(Y ) 2) + p X [mult p (F ) 1], onde g(x) e g(y ) são os gêneros topológicos de X e Y respectivamente.

32 Capítulo 3 Formas Diferenciais e Integração em Superfícies de Riemann O objetivo deste capítulo é denir integração sobre uma superfície de Riemann. Para isso, precisaremos denir as formas diferenciais. Além disso, veremos alguns resultados clássicos da teoria de integração, tais como Teorema de Stokes. 3.1 Formas Diferenciais Nesta seção trataremos de formas diferenciais, que são nossos objetos de integração: uma 1- forma é objeto de integração ao longo de cadeias, enquanto uma 2-forma real é o objeto de integração em superfícies. Começamos com o conceito de formas em abertos de C e transferimos esse conceito para superfícies de Riemann, via cartas. 1-Formas Holomorfas e Meromorfas Denição 3.1. Seja V C aberto. Uma 1-forma meromorfa em V na coordenada z é uma expressão do tipo ω = f(z)dz, onde f : V C é uma função meromorfa. Se f for uma função holomorfa dizemos que ω é 1-forma holomorfa. O conceito de 1-formas será levado para superfícies de Riemann por meio de cartas, e será necessária uma condição de compatibilidade para cartas cujos domínios tenham interseção não vazia. Essa condição de compatibilidade é dada na denição abaixo. Denição 3.2. Sejam ω 1 = f(z)dz uma 1-forma meromorfa (holomorfa) na coordenada z, denida num aberto V 1 C; e ω 2 = g(w)dw 1-forma meromorfa (holomorfa) na coordenada w, denida num aberto V 2 C. Considere T (w) = z uma aplicação holomorfa de V 2 em V 1. Dizemos que ω 1 transforma em ω 2 por T se g(w) = f(t (w))t (w). 24

33 CAPÍTULO 3. FORMAS DIFERENCIAIS E INTEGRAÇÃO EM SUPERFÍCIES DE RIEMANN 25 z = T (w). Veja que essa denição é construida para que valha a regra dz = T (w)dw no conjunto onde Observe também que se ω 1 transforma em ω 2 por uma aplicação invertível T então ω 2 transforma em ω 1 por T 1. De fato, se T é holomorfa e invertível então sua inversa T 1 também é holomorfa, além disso, se g(w) = f(t (w)) então g(t 1 (z)) = f(z) e, portanto, ω 2 transforma em ω 1 por T 1. Agora deniremos 1-forma holomorfa e 1-forma meromorfa numa superfície de Riemann. Denição 3.3. Seja X uma superfície de Riemann. Uma 1-forma meromorfa em X é uma coleção {ω φ } de 1-formas meromorfas, onde cada carta φ : U V em X tem uma 1-forma associada ω φ denida em V. Além disso, se φ 1 e φ 2 são duas cartas cujos domínios tem interseção não vazia, então ω φ1 transforma em ω φ2 pela mudança de coordenadas T = φ 1 φ 1 2. De modo análogo, uma 1-forma holomorfa em X é uma coleção {ω φ } de 1-formas holomorfas, dadas em cada carta de X, satisfazendo as mesmas condições. Para denir uma 1-forma holomorfa numa supercie de Riemann X não precisamos necessariamente ter uma 1-forma para cada carta de X, basta ter 1-formas em cartas de apenas um atlas de X, como nos diz o próximo resultado. Lema 3.1. Sejam X uma superfície de Riemann e A = {φ α : U α V α } um atlas em X. Suponha que para cada carta φ α A tenhamos uma 1-forma holomorfa ω φα denida em V α e, além disso, se duas cartas de A tem domínios não disjuntos então uma transforma na outra pela mudança de coordenadas. Então existe uma única 1-forma holomorfa em X que estende as 1-formas ω φα. Demonstração. Suponhamos que ψ : U V é uma carta de X que fornece coordenadas w e que ψ não está no atlas A. Fixado um ponto p U, consideremos φ : U 1 V 1 uma carta do atlas A numa vizinhança U 1 do ponto p fornecendo coordenada z 1 e suponhamos que ω φ = f(z 1 )dz 1. Tomando T = φ ψ 1 temos z 1 = T (w) e denimos ω ψ = f(t (w))t (w)dw. AFIRMAÇÃO : A denição de ω ψ independe da escolha da carta φ A. Com efeito, suponhamos ϕ : U 2 V 2 é outra carta de A numa vizinhança U 2 do ponto p fornecendo coordenada z 2 e que ω ϕ = g(z 2 )dz 2. Assim podemos denir ω ψ = g(t 1 (w))t 1(w)dw, onde T 1 = ϕ ψ 1. Como a interseção U 1 U 2 é não vazia, pela condição de compatibilidade temos que f(z 1 ) = g(s(z 1 ))S (z 1 )dz 1, onde S = ϕ φ 1. Agora observamos que podemos escrever T 1 = S T e temos g(t 1 (w))t 1(w) = g(s(t (w)))s (T (w))t (w)

34 CAPÍTULO 3. FORMAS DIFERENCIAIS E INTEGRAÇÃO EM SUPERFÍCIES DE RIEMANN 26 mas como z 1 = T (w), segue que g(t 1 (w))t 1(w) = f(t (w))t (w). Isso mostra que a denição de ω independe da escolha da carta no atlas A e conclui a armação. Assim, para cada carta de X nós temos denida uma 1-forma holomorfa. Para vericar que a coleção {ω ψ ; ψ é carta de X} é uma 1-forma holomorfa em X, basta vericar que uma 1-forma da coleção transforma em qualquer outra quando seus domínios não são disjuntos. Mas aqui basta lembrar que, por denição, qualquer 1-forma da coleção transforma em qualquer 1-forma associada à uma carta do atlas (quando seus domínios não são disjuntos). Portanto temos denida uma 1-forma holomorfa em X, que estende as 1-formas ω φα do atlas A. Temos o resultado análogo para 1-forma meromorfa, cuja demonstração é idêntica (a menos de trocar a palavra holomorfa por meromorfa). Lema 3.2. Sejam X uma superfície de Riemann e A = {φ α : U α V α } um atlas em X. Suponha que para cada carta φ α A tenhamos uma 1-forma meromorfa ω φα denida em V α e, além disso, se duas cartas de A tem domínios não disjuntos então uma transforma na outra pela mudança de coordenadas. Então existe uma única 1-forma meromorfa em X que estende as 1-formas ω φα. Para 1-forma meromorfa ω em X também podemos denir o conceito de ordem num ponto p X. Para isso, consideremos uma vizinhança de p e escolhamos uma coordenada local z centrada em p. Na coordenada z, podemos escrever ω = f(z)dz e denimos a ordem de ω em p do seguinte modo: Denição 3.4. A ordem de ω em p é denotada por ord p (ω) e denida por ord p (ω) = ord 0 (f). Se ord p (ω) > 0 dizemos que p é zero de ω. E se ord p (ω) < 0 dizemos que p é polo de ω. Essa denição independe da escolha da coordenada local. De fato, suponhamos que w é outra coordenada local em torno de p, com p w 0, e que nesta coordenada tenhamos ω = g(w)dw. Considere w = T (z) a mudança de coordenadas (observe que T (0) = w 0 ). Pela condição de compatibilidade temos f(z) = g(t (z))t (z), logo ord 0 (f) = ord w0 (g) + ord 0 (T ). Mas T é holomorfa e T (0) 0, pelo lema 1.1. Então ord 0 (T ) = 0, e portanto, ord 0 (f) = ord w0 (g). Isso mostra que a denição acima independe da escolha de coordenadas. Além disso, pelo lema 2.3 segue que uma 1-forma meromorfa ω é holomorfa se, e somente se, ord p (ω) 0 para todo p X. Exemplo 3.1. Seja X a esfera de Riemann. Na coordenada z do plano nito considere ω z = dz, e na coordenada w em torno do ponto considere ω w = 1/w 2 dw. Observamos que z = T (w) = 1/w é a mudança de coordenada e que T (w) = 1/w 2. Logo ω z transforma em ω w pela mudança de coordenada. Então existe única 1-forma meromorfa ω em X que estende {ω z, ω w }.

35 CAPÍTULO 3. FORMAS DIFERENCIAIS E INTEGRAÇÃO EM SUPERFÍCIES DE RIEMANN 27 Como 0 é polo de ordem -2 de 1/w 2, segue que ord ω = 2. Além disso, nos demais pontos de X, ord p (ω) = 0. Portanto ω não possui zeros e o ponto é o único polo de ω, com ord (ω) = 2. Observação 2. Seja X uma superfície de Riemann e U um aberto de X. Considere os conjuntos Ω 1 (U) = {1-formas holomorfas denidas em U}; M 1 (U) = {1-formas meromorfas denidas em U}. Então Ω 1 (U) e M 1 (U) são espaços vetoriais sobre C com as operações usuais: 1. Sejam ω 1 e ω 2 1-formas holomorfas (meromorfas) em U. Suponhamos que localmente temos ω 1 = f 1 dz e ω 2 = f 2 dz. Denimos ω 1 + ω 2 localmente por ω 1 + ω 2 = (f 1 + f 2 )dz. 2. Seja ω 1-forma holomorfa (meromorfa) localmente escrita como ω = fdz e λ um número complexo. Denimos λω localmente por λω = (λf)dz. Com as operações 1 e 2, o conjunto M 1 (U) e Ω 1 (U) são espaços vetoriais sobre C. 1-Formas C e 2-Formas C Antes de construir o conceito de 1-forma C numa superfície de Riemann, faremos algumas considerações. Sejam U um aberto de R 2, f(x, y) e g(x, y) funções C em U. Podemos considerar f e g como funções complexas nas variáveis z e z, fazendo z = x + iy e z = x iy. Assim teremos x = z + z 2 e y = z z. 2i Além disso, escrevemos dx e dy em função de dz e dz usando que dz = dx + idy e dz = dx idy. Desse modo podemos transformar uma expressão do tipo f(x, y)dx + g(x, y)dy em uma expressão do tipo r(z, z)dz + s(z, z)dz. Assim, se f(x, y) uma função C, podemos calcular as derivadas parciais de f com relação a z e z usando as seguintes relações: f z = f x x z + f y y z = 1 f 2 x + 1 f 2i y, e f z = f x x z + y y y z = 1 f 2 x 1 f 2i y. Pelas equações de Cauchy-Riemann, f é holomorfa se, e somente se, f z = 0.

36 CAPÍTULO 3. FORMAS DIFERENCIAIS E INTEGRAÇÃO EM SUPERFÍCIES DE RIEMANN 28 Denição 3.5. Uma 1-forma C na coordenada z denida num aberto V C é uma expressão da forma ω = f(z, z)dz + g(z, z)dz, onde f e g são funções C em V. Em alguns momentos omitiremos as coordenadas e escreveremos apenas ω = f dz + gdz para representar uma 1-forma C. Assim como em 1-formas meromorfas e holomorfas, vamos precisar de uma condição de compatibilidade para transferir a ideia de 1-formas C para superfícies de Riemann. Esta condição é estabelecida por meio da próxima denição. Denição 3.6. Sejam ω 1 = f 1 (z, z)dz + g 1 (z, z)dz 1-forma C na coordenada z, denida num aberto V 1 de C; e ω 2 = f 2 (w, w)dw + g 2 (w, w)dw 1-forma C na coordenada w, denida num aberto V 2 de C. Considere T (w) = z uma aplicação holomorfa de V 2 em V 1. Dizemos que ω 1 transforma em ω 2 por T se f 2 (w, w) = f 1 (T (w), T (w))t (w) e g 2 (w, w) = g 1 (T (w), T (w))t (w). Novamente observamos que a denição acima é construída para valer as regras dz = T (w)dw e dz = T (w)dw sempre que z = T (w). Denição 3.7. Seja X uma superfície de Riemnann. Uma 1-forma C em X é uma coleção {ω φ } de 1-formas C, onde cada carta φ : U V em X tem uma 1-forma ω φ associada denida em V. Além disso, se φ 1 e φ 2 são duas cartas cujos domínios não são disjuntos, então ω φ1 transforma em ω φ2 pela mudança de coordenadas T = φ 1 φ 1 2. Assim como o lema 3.1, o próximo resultado garante que é possível denir uma 1-forma C em X quando temos 1-formas denidas em cartas de um único atlas de X. A demonstração deste é análoga a demonstração do lema 3.1. Lema 3.3. Sejam X uma superfície de Riemann e A = {φ α : U α V α } um atlas de X. Suponha que para cada carta φ α A tenhamos uma 1-forma C, ω φα denida em V α e, além disso, se duas cartas de A tem domínios não disjuntos então uma 1-forma transforma na outra pela mudança de coordenadas. Então existe uma única 1-forma C em X que estende as 1-formas ω φα. Dizemos que uma 1-forma C é do tipo (1, 0) se ela é localmente da forma f(z, z)dz e dizemos que ela é do tipo (0, 1) se ela é localmente da forma g(z, z)dz. Observamos que toda 1-forma holomorfa é do tipo (1, 0) e uma 1-forma meromorfa será do tipo (1, 0) se ela for C (ou seja, se ela não tiver polos). Riemann. A seguir deniremos 2-formas C em abertos de C e levaremos este conceito para superfícies de Denição 3.8. Uma 2-forma C na coordenada z, denida em um aberto V de C é uma expressão da forma com f : V C função C. η = f(z, z)dz dz,

37 CAPÍTULO 3. FORMAS DIFERENCIAIS E INTEGRAÇÃO EM SUPERFÍCIES DE RIEMANN 29 Temos as seguintes propriedades: 1. dz dz = dz dz. 2. dz dz = 0 = dz dz. Denição 3.9. Sejam ω 1 = f(z, z)dz dz uma 2-forma C na coordenada z, denida num aberto V 1 de C; e ω 2 = g(w, w)dw dw uma 2-forma C na coordenada w, denida num aberto V 2 de C. Considere T (w) = z uma aplicação holomorfa de V 2 em V 1. Dizemos que ω 1 transforma em ω 2 por T se g(w, w) = f(t (w), T (w)) T (w) 2. Denição Seja X uma superfície de Riemnann. Uma 2-forma C em X é uma coleção {ω φ } de 2-formas C, onde cada carta φ : U V em X tem uma 2-forma ω φ associada denida em V. Além disso, se φ 1 e φ 2 são duas cartas cujos domínios não são disjuntos, então ω φ1 transforma em ω φ2 pela mudança de coordenadas T = φ 1 φ 1 2. Lema 3.4. Sejam X uma superfície de Riemann e A = {φ α : U α V α } um atlas de X. Suponha que para cada carta φ α A tenhamos uma 2-forma C, ω φα denida em V α e, além disso, se duas cartas de A tem domínios não disjuntos então uma 2-forma transforma na outra pela mudança de coordenadas. Então existe uma única 2-forma C em X que estende as 2-formas ω φα. Observação 3. Seja X uma superfície de Riemann e U um aberto de X. Considere os conjuntos: E 1 (U) = {1-formas C denidas em U}; E (1,0) (U) = {1-formas C do tipo (1,0) denidas em U}; E (0,1) (U) = {1-formas C do tipo (0,1) denidas em U}. Com operações análogas à observação 1, os conjuntos E 1 (U), E (1,0) (U) e E (0,1) (U) são espaços vetoriais sobre C. Operações com Formas Diferenciais Sejam f uma função C na superfície de Riemann X e ω uma 1-forma C em X. Denimos fω a 1-forma C em X dada do seguinte modo: se na coordenada z a 1-forma ω é dada por ω = hdz + gdz então fω = fhdz + fgdz. Isso dene uma 1-forma C em X como veremos no resultado seguinte: Lema 3.5. Se f é uma função C e ω é uma 1-forma C numa superfície de Riemann X, então fω, como descrita acima, dene uma 1-forma C em X que satisfaz as seguintes propriedades: 1. Se ω é 1-forma do tipo (1, 0) então fω também é tipo (1, 0). 2. Se ω é 1-forma do tipo (0, 1) então fω também é tipo (0, 1). 3. Se ω é 1-forma holomorfa e f uma função holomorfa então fω também é holomorfa. 4. Se ω é 1-forma meromorfa e f é uma função meromorfa então fω também é meromorfa. Além disso, temos que ord p (fω) = ord p (f) + ord p (ω).

38 CAPÍTULO 3. FORMAS DIFERENCIAIS E INTEGRAÇÃO EM SUPERFÍCIES DE RIEMANN 30 Demonstração. Sejam φ 1 : U 1 V 1 carta fornecendo coordenada z e φ 2 : U 2 V 2 carta fornecendo coordenada w, com U 1 e U 2 não disjuntos. Suponha que na coordenada z temos ω = h 1 (z, z)dz+g 1 (z, z)dz, e na coordenada w temos ω = h 2 (w, w)dw + g 2 (w, w)dw. Assim, pela descrição dada acima temos, na coordenada z, fω = fh 1 (z, z)dz + fg 1 (z, z)dz e, na coordenada w, fω = fh 2 (w, w)dw + fg 2 (w, w)dw. Uma vez que U 1 e U 2 não são disjuntos, temos h 2 (w, w) = h 1 (T (w), T (w))t (w) e g 2 (w, w) = g 1 (T (w), T (w))t (w), onde T = φ 1 φ 1 2. Assim segue que fh 2 (w, w) = fh 1 (T (w), T (w))t (w) e fg 2 (w, w) = fg 1 (T (w), T (w))t (w), e, portanto, hω dene uma 1-forma C em X. As propriedades de 1 à 3 são evidentes e a propriedade 4 segue diretamente do lema 2.4. Sempre que formos construir 1-formas ou 2-formas C numa supercíe de Riemann, daremos suas expressões locais (tomando um sistema de coordenada) e a vericação de que tais expressões satisfazem a condição de compatibilidade é feita de modo análogo ao lema anterior e, portanto, omitiremos tais vericações. Também é possível denir o produto de f por uma 2-forma C. Sendo η uma 2-forma C, escrevemos localmente η = f(z, z)dz dz. Assim, denimos localmente hη = h(z, z)f(z, z)dz dz. Fazendo contas análogas ao lema 3.1, verica-se que fη dene uma 1-forma C em X. Podemos ainda denir as 1-formas f, f e df, como segue abaixo. Denição Suponhamos que φ : U V é uma carta em X que fornece coordenada local z. Em U, escrevemos f(z, z) na coordenada local, e denimos 1. f = f z dz. 2. f = f z dz. 3. df = f + f. Note que se f é uma função C então f é holomorfa se, e somente f é identicamente nula. Além disso, os operadores d, e são C-lineares e satisfazem as relações dadas no lema abaixo. Lema 3.6. Sejam f e g funções C numa superfície de Riemann X. Então: 1. (fg) = f g + g f. 2. (fg) = f g + g f. 3. d(fg) = f dg + g df.

39 CAPÍTULO 3. FORMAS DIFERENCIAIS E INTEGRAÇÃO EM SUPERFÍCIES DE RIEMANN 31 Demonstração. 1. Escolhemos uma carta φ : U V em X, que fornece coordenada z. Em U escrevemos f e g em termos de tais coordenadas como f(z, z) e g(z, z). Então, na coordenada z temos e, portanto, (fg) = f g + g f. 2. Análogo ao item Segue diretamente dos itens 1 e 2. (fg) = (fg) ( z dz = f g z + g f ) dz = f g f dz + g z z z dz, Denição Sejam ω uma 1-forma C em uma superfície de Riemann X e U um aberto de X. Dizemos que ω é exata em U se existe uma função f denida em U e C tal que df = ω em U. Podemos denir um produto de duas 1-formas C, que resultará em uma 2-forma C, da seguinte maneira: Denição Sejam ω 1 e ω 2 1-formas C numa superfície de Riemann X. Suponhamos que na coordenada z escrevemos ω 1 = f 1 dz + g 1 dz e ω 2 = f 2 dz + g 2 dz. O produto exterior de ω 1 por ω 2 é uma 2-forma C em X, denotada por ω 1 ω 2 e denida localmente por ω 1 ω 2 = (f 1 g 2 f 2 g 1 )dz dz. Ainda com o intuito de obter 2-formas C em X, podemos construir operdores,, e d, que nos fornecerão uma 2-forma C a partir de uma 1-forma C dada, como segue abaixo. Denição Seja ω uma 1-forma C numa superfície de Riemann. Suponhamos que na coordenada local z temos ω = fdz + gdz. Localmente, denimos as 2-formas C em X: 1. ω = g dz dz. z 2. ω = f dz dz. z ( g 3. dω = ω + ω = z f ) dz dz. z Observação 4. Segue diretamente da denição que: 1. Se ω é do tipo (1,0) então ω = Se ω é do tipo (0,1) então ω = 0. Além disso, lembrando que uma função f, C, é holomorfa se, e somente se, f z = 0, segue que se ω é holomorfa então ω = 0. E reciprocamente, se ω é 1-forma do tipo (1,0) que satisfaz ω = 0 então ω é holomorfa. Com isso temos outras duas propriedades: 3. Se ω é do tipo (1,0) então ω é holomorfa se, e somente se, ω = Se ω é holomorfa então dω = 0.

40 CAPÍTULO 3. FORMAS DIFERENCIAIS E INTEGRAÇÃO EM SUPERFÍCIES DE RIEMANN 32 Lema 3.7. Sejam f uma função C e ω uma 1-forma C, ambas numa superfície de Riemann X. Os operadores denidos acima são C-lineares e satisfazem as seguintes propriedades: 1. (fω) = f ω + f ω. 2. (fω) = f ω + f ω. 3. dω = fdω + df ω. Demonstração. Sejam α, β C e ω 1, ω 2 1-formas C em X. Suponha que localmente temos ω 1 = h 1 dz + g 1 dz e ω 2 = h 2 dz + g 2 dz. Então αω 1 + βω 2 = (αh 1 + βg 1 )dz + (αh 2 + βg 2 )dz. Logo (αω 1 + βω 2 ) = (αg ( 1 + βg 2 ) dz dz = α g 1 z z + β g ) 2 dz dz = α g 1 z z dz dz + β g 2 dz dz, z ou seja, (αω 1 + βω 2 ) = α ω 1 + β ω 2. De modo análogo vericamos que (αω 1 + βω 2 ) = α ω 1 + β ω 2, e uma vez que dω = ω + ω, segue que d(αω 1 + βω 2 ) = αdω 1 + βdω 2. Portanto os operadores d, e são C-lineares. Agora vericaremos as propriedades: 1. Suponha que em coordenadas locais temos ω = hdz + gdz. Assim fω = fhdz + fgdz e temos (fω) = (fg) ( dz dz = f g z z + g f ) z dz dz = f g z dz dz + g f z f dz dz = f ω + g dz dz. z Agora observamos que g f z dz dz = f ω. De fato, temos f = f z f ω = ( g f ) z h 0 dz dz. f dz = z dz + 0dz. Logo, Portanto, (fω) = f ω + g f dz dz = f ω + f ω. z 2. Análogo ao item Por denição temos d(fω) = (fω) + (fω) e pelos itens anteriores temos d(fω) = (f ω + f ω) + (f ω + f ω) = f( ω + ω) + ( f + f) ω = fdω + df ω. Se f é uma função C, faz sentido avaliar os operadores, e d nas 1-formas f, f e df. Com isso, vericamos que: ( f) = ( f) = d(df) = 0.

41 CAPÍTULO 3. FORMAS DIFERENCIAIS E INTEGRAÇÃO EM SUPERFÍCIES DE RIEMANN 33 temos De fato, como f é do tipo (1,0) e f é do tipo (0,1), segue que ( f) = ( f) = 0. Além disso, d(df) = ( f + f) + ( f + f) = ( f) + ( f) + ( f) + ( f) = ( f) + ( f). Assim, para vericar que d(df) = 0 basta vericar que ( f) = ( f). Com efeito, vejamos que Portanto d(df) = 0. ( f) = z ( ) f dz dz = 2 f z z z dz dz = z ( ) f dz dz = ( f). z Denição Seja ω uma 1-forma C numa superfície de Riemann X. Dizemos que: 1. ω é harmônica em um aberto U se ω = 0 em U. 2. ω é -fechada se ω = 0 3. ω é -fechada se ω = ω é fechada se d(ω) = 0. Como d(df) = 0 para qualquer função f que seja C, segue que toda 1-forma exata é fechada. Além disso, toda 1-forma holomorfa é fechada, como mostraremos no próximo lema. Lema 3.8. Se ω é 1-forma holomorfa então ω é fechada. Reciprocamente, se ω é 1-forma do tipo (1,0) fechada então ω é holomorfa. Demonstração. Suponhamos que ω é holomorfa. Pela observação 1, temos que dω = 0, logo ω é fechada. Reciprocamente, suponhamos que ω é do tipo (1,0). fechada então dω = ω = 0. Então pela observação 1, segue que ω é holomorfa. Localmente escrevemos ω = f dz, assim se ω é Suponhamos que X e Y são superfícies de Riemann e que F : X Y é uma aplicação holomorfa. Dada ω uma 1-forma C em Y, é possível construir em X uma 1-forma C a partir de ω, que preserva algumas propriedades importantes de ω, como veremos a seguir. Denição Sejam X e Y superfícies de Riemann e F : X Y uma aplicação holomorfa. Considere uma carta φ : U V em X fornecendo coordenada w e uma carta ψ : U V em Y fornecendo coordenada z, e tais que F (U) U. Suponha que ω é uma 1-forma C em Y escrita na coordenada z como ω = f(z, z)dz + g(z, z)dz. O pullback de ω por F é a 1-forma C em X denotada por F * ω e denida localmente (na coordenada w) por F * ω = f(h(w), h(w))h (w)dw + g(h(w), h(w))h (w)dw, onde z = h(w) = (ψ F φ 1 )(w) é forma local de F. Segue diretamente da denição que:

42 CAPÍTULO 3. FORMAS DIFERENCIAIS E INTEGRAÇÃO EM SUPERFÍCIES DE RIEMANN Se ω é holomorfa então F * ω é holomorfa. 2. Se ω é meromorfa então F * ω é meromorfa. 3. Se ω é do tipo (1,0) então F * ω é do tipo (1,0). 4. Se ω é do tipo (0,1) então F * ω é do tipo (0,1). Também é possível denir o pullback de uma função f : Y C e de uma 2-forma C em Y. O pullback de f é simplesmente F * f = f F. Já o pullback de uma 2-forma é denido do seguinte modo: Denição Sejam X e Y superfícies de Riemann e F : X Y uma aplicação holomorfa. Considere uma carta φ : U V em X fornecendo coordenada w e uma carta ψ : U V em Y fornecendo coordenada z, e tais que F (U) U. Suponha que η é uma 2-forma C em Y escrita na coordenada z como η = f(z, z)dz dz. O pullback de η por F é a 2-forma C em X denotada por F * η e denida localmente (na coordenada w) por F * η = f(h(w), h(w)) h (w) 2 dw dw, onde z = h(w) = (ψ F φ 1 )(w) é forma local de F. O operador F * comuta com os operadores, e d: 1. F * ( f) = (F * f). 2. F * ( f) = (F * f). 3. F * (df) = d(f * f). 4. F * ( ω) = (F * ω). 5. F * ( ω) = (F * ω). 6. F * (dω) = d(f * ω). As propriedades são vericadas do seguinte modo: 1. Suponhamos que F tem forma local z = h(w) e na coordenada z escrevamos f = f z dz. Então temos F * ( f) = (f(h(w), h(w))) h (w)dw. z Além disso, pela regra da cadeia para funções complexas, segue que: (f(h(w), h(w))) h (w) = z (f(h(w), h(w))) h (f(h(w), h(w))) (f h) (w) = = (h(w)) w w Logo F * ( f) = (f h) w dw = (F* f). 2. Segue por contas análogas ao item 1.

43 CAPÍTULO 3. FORMAS DIFERENCIAIS E INTEGRAÇÃO EM SUPERFÍCIES DE RIEMANN Temos F * (df) = F * ( f + f), e pela linearidade do pullback, temos F * (df) = F * ( f) + F * ( f). Pelos itens 1 e 2, segue que F * (df) = (F * f) + (F * f) = d(f * f). 4. Suponhamos que F tem forma local z = h(w) e não coordenada z escrevamos ω = f(z, z)dz + g(z, z)dz. Então F * ω = f(h(w), h(w))h (w)dw + g(h(w), h(w))h (w)dw, Então (F * ω) = ( ) g(h(w), h(w))h w (w) dw dw. Pela regra do produto para funções complexas, temos ( ) g(h(w), h(w))h w (w) = (g(h(w), h(w))) w h (w) + (h (w)) g(h(w), h(w)). w Como f (w) é holomorfa, temos (h (w)) w (F * ω) = (g(h(w), h(w))) h (w)h (h(w)) (w)dw dw = Por outro lado, temos ω = g(z,z) z dz dz, logo Portanto (F * ω) = F * ( ω). F * ( ω) = 5. Segue por contas análogas ao item 4. = 0. E pela regra da cadeia segue que (g(h(w), h(w))) h (w) 2 dw dw. z (g(h(w), h(w))) h (w) 2 dw dw. z 6. Segue pela linearidade do pullback e pelos itens anteriores, de modo análogo ao item 3. Já vimos que se ω é meromorfa então o pullback F * ω também é meromorfa. É possível relacionar a ordem de F * ω no ponto p com a ordem de ω no ponto F (p). Essa relação é dada no lema abaixo: Lema 3.9. Sejam F : X Y uma função holomorfa entre superfícies de Riemann e ω uma 1-forma meromorfa em Y. Para qualquer p X, vale a seguinte igualdade: ord p (F * ω) = (ord F (p) (ω) + 1) mult p F 1. Demonstração. Vamos supor que mult p (F ) = m e ord F (p) (ω) = n. Assim, a forma local normal de F é z = w m e na coordenada z podemos escrever ω = f(z)dz, onde f é meromorfa e ord 0 f = n. Considere a expansão de f em série de Laurent f(z) = c k z k. k= n Como F * ω = f(h(w))h (w)dw temos ord p (F * ω) = ord 0 (f(h(w))h (w)) e pelo lema 2.4 segue que ord p (F * ω) = ord 0 (f(h(w))) + ord 0 (h (w)).

44 CAPÍTULO 3. FORMAS DIFERENCIAIS E INTEGRAÇÃO EM SUPERFÍCIES DE RIEMANN 36 Temos f(h(w)) = c k (h(w)) k = c k (w m ) k, k= n k= n logo ord 0 (f(h(w))) = nm. segue que Além disso, como h(w) = w m, temos que h (w) = mw m 1. Então ord 0 (h (w)) = m 1. Assim ord p (F * ω) = nm + m 1 = (1 n)m 1 = (1 + ord F (p) (ω)) mult p (F ) 1. Portanto, ord p (F * ω) = (ord F (p) (ω) + 1) mult p F 1. Notações Sejam X uma superfície de Riemann e U um aberto de X. Vamos adotar as seguintes notações: E(U) = E 0 (U) = {funções C denidas em U}; E 1 (U) = {1-formas C denidas em U}; E (1,0) (U) = {1-formas C do tipo (1,0) denidas em U}; E (0,1) (U) = {1-formas C do tipo (0,1) denidas em U}; E 2 (U) = {2-formas C denidas em U}; O(U) = {funções holomorfas denidas em U}; Ω 1 (U) = {1-formas holomorfas denidas em U}; M(U) = M 0 (U) = {funções meromorfas denidas em U}; M 1 (U) = {1-formas meromorfas denidas em U}. Todos esses conjuntos são espaços vetorias sobre C e valem as relações: O(U) M(U); O(U) E(U); Ω 1 (U) M 1 (U); Ω 1 (U) E (1,0) (U); E 1 (U) = E (1,0) (U) E (0,1) (U).

45 CAPÍTULO 3. FORMAS DIFERENCIAIS E INTEGRAÇÃO EM SUPERFÍCIES DE RIEMANN 37 Lemas de Dolbeaut e de Poincaré Nós já vimos que toda 1-forma exata é fechada. É interessante perguntar-se se vale a recíproca, ou seja, existem condições sob as quais uma 1-forma fechada é exata? O Lema de Poincaré dá uma resposta a essa pergunta. Lema 3.10 (Lema de Poincaré). Seja ω uma 1-forma C numa superfície de Riemann X. Suponha que ω é fechada numa vizinhança de um ponto p X. Então existem uma vizinhança U do ponto p e f função C f denida em U tais que df = ω em U. Ou seja, ω é exata numa vizinhança do ponto p. Uma demonstração deste resultado pode ser vista na referência [6]. Já o Lema de Dolbeault dá uma condição para que uma 1-forma ω satisfaça ω = f. Basta que ω seja do tipo (0,1), como veremos a seguir. Lema 3.11 (Lema de Dolbeault). Se ω é 1-forma C do tipo (0,1), então existem uma vizinhança U de um ponto p X e uma função f, C denida na vizinhança U, tais que f = ω em U. Uma demonstração do Lema de Dolbeault pode ser vista na referência [3] 3.2 Integração em Superfícies de Riemann Nesta seção falaremos de integração em superfícies de Riemann. Vamos denir integral de 1- formas ao longo de cadeias e integral de 2-formas em subconjuntos triangularizáveis na superfície. Além disso, veremos resultados importantes na teoria de integração, tais como Teorema de Stokes e Teorema dos Resíduos. Caminhos e Cadeias Um caminho em X é uma função γ : [a, b] X contínua e C por partes. Os pontos γ(a) e γ(b) são chamados ponto inicial e ponto nal de γ, respectivamente. Quando γ(a) = γ(b), dizemos que γ é um caminho fechado. Agora vejamos as seguintes observações sobre caminhos: 1. Se γ : [a, b] X é um caminho e α : [c, d] [a, b] é uma função contínua e C por partes, tal que α(c) = a e α(d) = b, então γ α é também um caminho em X. Dizemos que γ α é uma reparametrização de γ. 2. Todo caminho pode ser reparametrizado de modo que seu domínio seja o intervalo [0, 1]. De fato, basta tomar α(t) = (1 t)a + tb com t [0, 1]. 3. Dado uma caminho γ : [a, b] X, o caminho inverso de γ é denotado por γ e denido do seguinte modo: para cada t [a, b], γ(t) = γ(a + b t). 4. Sejam X e Y duas superfícies de Riemann, F : X Y uma aplicação holomorfa e γ um caminho em X. Então F γ é uma caminho em Y, que será denotado por F γ.

46 CAPÍTULO 3. FORMAS DIFERENCIAIS E INTEGRAÇÃO EM SUPERFÍCIES DE RIEMANN Dados um ponto p X e uma subconjunto D de X tal que p não está no fecho topológico de D, existe uma caminho fechado γ em X com as seguintes propriedades: (a) γ é injetiva (fora do ponto inicial e do ponto nal) e a imagem de γ está contido no domínio de uma única carta φ : U V de X. (b) O caminho fechado φ γ tem índice de rotação 1 no ponto φ(p). (c) φ γ tem índice de rotação 0 de nos pontos φ(s) tais que s D U. Dizemos que este caminho é um caminho que envolve p e não envolve pontos de D. Esta denição independe da escolha da carta φ. Então podemos escolher uma carta φ centrada em p, ou seja, tal que φ(p) = O interior de um caminho γ que envolve p e não envolve outros pontos do conjunto D é denido como sendo a componente conexa de X {γ} que contém o ponto p. 7. Sejam γ 1 e γ 2 caminhos em X tais que o ponto inicial de γ 2 coincide com o ponto nal de γ 1. A concatenação de γ 1 com γ 2 é um caminho γ em X, que podemos supor com domínio em [1, 0], tal que γ [0,1/2] = γ 1 e γ [1/2,1] = γ Seja γ : [a, b] X um caminho em X e {a = a 0 < a 1 < < a n = b} uma partição de [a, b]. Para cada i = 1,, n, consideremos o caminho γ i = γ [ai 1,a i]. Então a coleção de caminho {γ i } é chamada partição de γ. Observemos que γ será a concatenação dos caminhos γ i. 9. Qualquer caminho γ numa superfície de Riemann possui uma partição {γ i } tal que γ i é C e a imagem de cada γ i está contido no domínio de uma única carta de X. Denição Uma cadeia γ em X é uma soma formal nita de caminhos γ i com coecientes inteiros. Ou seja, γ = η i γ i, i onde η i são inteiros e γ i são caminhos em X. O conjunto das cadeias em X é um grupo abeliano livre, cuja operação é a soma formal de caminhos, e tem base no conjunto dos caminhos em X. Integral de 1-formas Denição Sejam ω uma 1-forma C em X e γ : [a, b] X um caminho. Considere uma partição {a = a 0 < a 1 < < a n = b} do intervalo [a, b], tal que γ i = γ [ai 1,a i] são caminhos C para cada i = 1,, n, e de modo que cada γ i tem imagem contida no domínio de uma única carta φ i : U i V i. Suponha que para cada carta φ i temos ω = f i (z, z)dz +g i (z, z)dz. A integral de ω ao longo de γ é denida por γ ω = n i=1 ai a i 1 [ ] f i (z(t), z(t))z (t) + g i (z(t), z(t))z (t) dt.

47 CAPÍTULO 3. FORMAS DIFERENCIAIS E INTEGRAÇÃO EM SUPERFÍCIES DE RIEMANN 39 temos modo: No caso em que a imagem de γ está no domínio de uma única carta φ e em tal carta ω = fdz+gdz, γ ω = φ γ fdz + gdz. Dada uma cadeia γ = k i=1 η iγ i, podemos estender a denição acima para cadeias do seguinte γ ω = k η i ω. γ i i=1 Desse modo, a integral é Z-linear nas cadeias. Agora veremos algumas propriedades de integrais Lema A integral independe da parametrização do caminho, ou seja, ω = ω, γ α γ para qualquer α reparamentrização de γ. 2. Sejam λ, µ C e ω 1, ω 2 1-formas C em X. Então Ou seja, a integral é C-linear nas 1-formas C. γ λω 1 + µω 2 = λ ω 1 + µ ω 2. γ γ 3. (Teorema Fundamental do Cálculo) Seja f uma função C em uma vizinhança da imagem de γ : [a, b] X. Então γ df = f(γ(b)) f(γ(a)). 4. Considerando γ como o caminho γ percorrido no sentido inverso, temos γ ω = ω. γ 5. Sejam F : X Y uma função holomorfa e γ um caminho em X, temos ω = F * ω. F γ γ Demonstração. Em todas as demonstrações (exceto quando especicado de outro modo) vamos supor que a imagem de cada curva citada esta contida no domínio de uma única carta φ : U V que fornece coordenada z. 1. Na coordenada z escrevamos ω = fdz + gdz. Vamos tomar α : [c, d] [a, b] reparametrização de

48 CAPÍTULO 3. FORMAS DIFERENCIAIS E INTEGRAÇÃO EM SUPERFÍCIES DE RIEMANN 40 [a, b], com α(s) = t. Temos γ α ω = = = φ γ α [c,d] [c,d] f(z, z)dz + g(z, z)dz Como α(s) = t, temos α (s)ds = dt, logo γ α [ ] (z(α(s)), z(α(s)))(z α) (s) + g(z(α(s)), z(α(s)))(z α) (s) ds [ ] f(z(α(s)), z(α(s)))z (α(s))α (s) + g(z(α(s)), z(α(s)))z (α(s))α (s) ds ω = α([c,d]) [ ] (z(t), z(t))z (t) + g(z(t), z(t)))z (t) dt = ω. γ 2. Sejam λ e µ números complexos. Suponhamos que na coordenada z temos ω 1 = f 1 dz + g 1 dz e ω 2 = f 2 dz + g 2 dz. Então λω 1 + µω 2 = (λf 1 + µf 2 )dz + (λg 1 + µg 2 )dz. Então γ λω 1 +µω 2 = b a [( ) ( ) ] λf 1 (z(t), z(t)) + µf 2 (z(t), z(t)) z (t) + λg 1 (z(t), z(t)) + µg 2 (z(t), z(t)) z (t) dt, Pela linearidade da integral de funções complexas, segue que γ λω 1 + µω 2 = λ + µ b a b a [ ] f 1 (z(t), z(t))z (t) + g 1 (z(t), z(t))z (t) dt [ ] f 2 (z(t), z(t))z (t) + g 2 (z(t), z(t))z (t) dt, ou seja, γ λω 1 + µω 2 = λ ω 1 + µ ω 2 γ γ 3. Na coordenada z escrevamos df = f f z dz + z dz. Então γ df = b a [ f(z(t), z(t)) z (t) + z ] f(z(t), z(t)) z z (t) dt = Pelo Teorema Fundamental do Cálculo para funções complexas, segue que γ df = f(γ(b)) f(γ(a)). b a f (z(t), z(t))dt. 4. Na coordenada z temos ω = fdz + gdz. Então ω = fdz + gdz. γ φ ( γ) Como φ é biholomorsmo temos φ ( γ) = (φ γ). Logo ω = fdz + gdz. γ (φ γ)

49 CAPÍTULO 3. FORMAS DIFERENCIAIS E INTEGRAÇÃO EM SUPERFÍCIES DE RIEMANN 41 Mas Portanto, (φ γ) fdz + gdz = fdz + gdz = ω. (φ γ) γ γ ω = ω. γ 5. Lembremos que F γ = F γ. Vamos supor que γ está num domínio de uma única carta ψ de Y e que nesta carta temos ω = f(w, w)dw + g(w, w)dw. Então ω = f(w, w)dw + g(w, w)dw. F γ ψ F γ Por outro lado, tomando h = ψ F φ 1, vamos supor h(z) = w. Então F * ω = f(h(z), h(z))h (z)dz + g(h(z), h(z))h (z)dz, logo, F * ω = f(h(z), h(z))h (z)dz + g(h(z), h(z))h (z)dz. γ φ γ Como w = h(z), segue que dw = h (z)dz. Logo f(h(z), h(z)h (z)dz + g(h(z), h(z)h (z))dz = f(w, w)dw + g(w, w)dw. φ γ h φ γ Assim, temos F * ω = f(w, w)dw + g(w, w)dw = ω. γ h φ γ F γ Seja ω uma 1-forma meromorfa em um ponto p de uma superfície de Riemann X. Vamos denir o resíduo de ω em p. Para isso, consideremos coordenada z centrada em p e escrevamos ω = f(z)dz. Tomemos a expansão de f em série de Laurent f(z) = n= M c nz n, com c M 0. Então podemos escrever ω via série de Laurent como ω = ( n= M c n z n ) dz, e temos ord p (ω) = M. Assim, podemos denir o resíduo de ω como segue. Denição Com as considerações feitas acima, o resíduo de ω é denotado por Res p (ω) e é denido como o coeciente c 1 da série de Laurent de ω em p. O próximo resultado expressa o resíduo de uma 1-forma em termos de integral. Vejamos:

50 CAPÍTULO 3. FORMAS DIFERENCIAIS E INTEGRAÇÃO EM SUPERFÍCIES DE RIEMANN 42 Lema Sejam X uma superfície de Riemann e ω uma 1-forma meromorfa em X. Suponha que γ um caminho fechado em torno de um polo p X que não envolve outros polos de ω. Então Res p (ω) = 1 ω. 2πi γ Demonstração. Consideremos uma carta φ : U V de X centrada em p, fornecendo coordenada z e tal que a imagem de γ está contida em U. Suponhamos que nessa coordenada temos ω = f(z)dz. Então γ ω = φ γ f(z)dz. Observe que φ γ é uma curva no aberto V C que envolve 0, que é um polo de f(z) já que p é polo de ω, e não envolve outros polos de f(z). Assim, como f(z) é uma função complexa de V em C, segue que portanto 1 f(z)dz = Res 0 (f) = Res p (ω), 2πi φ γ 1 ω = Res p (ω). 2πi γ Este resultado mostra que o resíduo de ω é um número complexo bem denido. Lema Seja f uma função meromorfa num ponto p X. Então Res p ( df f ) = ord p (f). Demonstração. Vamos supor que ord p (f) = n. Consideremos uma coordenada z centrada em p, e em tais coordenadas escrevemos f = c n z n + c n+1 z n+1 +, assim, 1 f = c 1 n + termos de ordem maior. Então, temos df f = nz 1 + termos de ordem maior, e portanto Res p ( df f ) = n = ord p (f). Integral de 2-formas Seja X uma superfície de Riemann. Dizemos que T X é um triângulo em X se T é homeomorfo a um triângulo em C. Se T é um triângulo que está contido no domínio de uma única carta φ, T é o caminhos que percorre o bordo de T no sentido anti-horário e parametrizado pelo comprimento de arco.o

51 CAPÍTULO 3. FORMAS DIFERENCIAIS E INTEGRAÇÃO EM SUPERFÍCIES DE RIEMANN 43 bordo de um triângulo T é um caminho fechado em X Se η é uma 2-forma C em X, podemos denir a integral de η em T do seguinte modo: Denição Considerando T um triângulo em X, vamos supor que T está contigo no domínio de uma única carta φ : U V e que tal carta fornece coordenada z. Seja η uma 2-forma C em X escrita localmente como η = f(z, z)dz dz. A integral de η em T é denida por η = f(z, z)dz dz = ( 2i)f(x + iy, x iy)dx dy. T φ(t ) φ(t ) Agora vamos estender essa denição para um subconjunto D triangularizável em X, isto é, um subconjunto que pode ser escrito como união de triângulos T i em X, de modo que as arestas que coincidem tem orientação oposta. Neste caso, a coleção de triângulos {T i } é dita uma triangularização de X. Figura 3.1: Numa triagulação, as arestas que coincidem devem ter orientação oposta. Se D é um conjunto fechado triangularizável de X. Podemos encontrar uma triangularização de D tal que cada triângulo esteja contido no domínio de uma única carta de X e denimos o bordo de D como sendo a cadeia D = i T i, chamada cadeia de bordo. A integral de η está bem denida em cada um desses triângulos, então denimos a integral de η em D como a soma das integrais de η em cada triângulo. O primeiro resultado que temos é o Teorema de Stokes: Teorema 8 (Teorema de Stokes). Sejam X uma superfície de Riemann e D um subconjunto fechado triangularizável em X. Se ω é uma 1-forma C em X então ω = dω. D D Demonstração. Considere {T i } uma triangulação de D tal que cada triângulo T i está contido no domínio de uma única carta φ i : U i V i. Então ω = ω. D i T i Desse modo, podemos supor que D é um triângulo contido no domínio de uma única carta φ, que fornece

52 CAPÍTULO 3. FORMAS DIFERENCIAIS E INTEGRAÇÃO EM SUPERFÍCIES DE RIEMANN 44 coordenada z. Em tal coordenada, escrevemos ω = f(z, z)dz + g(z, z)dz. Então, teremos ( g(z, z) dω = z ) f(z, z) dz dz, z logo D dω = Por outro lado, temos φ(d) ( g(x + iy, x iy) ( 2i) z D ω = φ( (D)) f(z, z)dz + g(z, z)dz. ) f(x + iy, x iy) dx dy. z Colocando z = x + iy e olhando as funções f e g como funções de x e y, temos f(z, z)dz + g(z, z)dz = f(x + iy, x iy)(dx + idy) + g(x + iy, x iy)(dx idy) = [f(x + iy, x iy) + g(x + iy, x iy)]dx + i[f(x + iy, x iy) g(x + iy, x iy)]dy. escrevemos Para simplicar a notação vamos escrever f = f(x + iy, x iy)e g = g(x + iy, x iy). Assim, D D ω = dω = φ( (D)) φ(d) (f + g)dx + i(f g)dy; ( 2i) ( g z f ) dx dy. z Como φ é biholomorsmo, segue que φ( (D)) = (φ(d)). Assim, pelo Teorema de Green, temos φ( (D)) (f + g)dx + i(f g)dy = φ(d) ( (f g) i x ) (f + g) dx dy. y AFIRMAÇÃO: Vale a seguinte igualdade: Com efeito, temos: (f g) x ( (f g) (f + g) g i = ( 2i) x y z f ). z = f z z x + f z z x g z z x g z z x = f z + f z + g z + g z e (f + g) y = f z z y + f z z y g z z y g z z y = i f z i f z i g z + i g z. Logo ( (f g) (f + g) (f g) (f + g) g i = i = ( 2i) x y x y z f ), z

53 CAPÍTULO 3. FORMAS DIFERENCIAIS E INTEGRAÇÃO EM SUPERFÍCIES DE RIEMANN 45 e verica-se a armação. Assim, temos φ( (D)) (f + g)dx + i(f g)dy = φ(d) ( g ( 2i) z f ) dx dy. z Portanto, ω = dω. D D Agora aplicaremos o Teorema de Stokes na demonstração do Teorema do Resíduo. Teorema 9 (Teorema dos Resíduos). Sejam X uma superfície de Riemann compacta e ω uma 1-forma meromorfa em X. Então Res p ω = 0 p X Demonstração. Como X é compacta, ω possui uma quantidade nita de polos. Vamos supor que p 1,, p d são todos os polos de ω. Para cada i = 1,, d, consideremos γ i um caminho que envolve p i e não envolve outros polos de ω (ver gura 3.2). Seja U i o interior de γ i e tomemos D = X d i=1 U i (ver gura 3.3). Figura 3.2: O caminho γ i envolve apenas o polo p i. Figura 3.3: D é triangularizável e D = d i=1 γ i. fechada em D. Assim, D é triangulável e D = d i=1 γ i. Além disso, ω é holomorfa em D e, portanto, ω é Temos e pelo lema 3.13, segue que Res p ω = p X d Res pi (ω) = i=1 d i=1 d Res pi (ω), i=1 1 2πi γ i ω = 1 2πi γ i ω,

54 CAPÍTULO 3. FORMAS DIFERENCIAIS E INTEGRAÇÃO EM SUPERFÍCIES DE RIEMANN 46 ou seja, d i=1 Pelo Teorema de Stokes (8), temos d i=1 Res pi (ω) = 1 ω. 2πi D Res pi (ω) = 1 dω. 2πi D Como ω é fechada em D, temos dω = 0 em D. Portanto, Res p ω = p X d Res pi (ω) = 0. i=1 Como corolário do Teorema dos Resíduos, temos o seguinte resultado: Corolário 3. Se X é uma superfície de Riemann compacta e f é função meromorfa em X então ord p (f) = 0. Demonstração. De fato, pelo lema 3.14 temos p X ord p (f) = Res p ( df f ), portanto, p X ord p (f) = p X Res p ( df f ) = 0. Utilizando o Teorema de Stokes, podemos ainda demonstrar uma propriedade importante da integral de 1-formas fechadas, que diz que ela independe de caminhos homotópicos, como veremos adiante. Denição Sejam β 0 e β 1 caminhos em X. Dizemos que β 0 e β 1 são homotópicos se existe uma aplicação contínua Γ : [a, b] [0, 1] X que satisfaz: 1. Para cada s [0, 1] xo, γ s : [a, b] X dado por γ s (t) = Γ(t, s) é um caminho em X, com γ 0 = β 0 e γ 1 = β Todos os caminhos γ s tem mesmo ponto inicial e mesmo ponto nal. Neste caso, dizemos que a aplicação Γ é uma homotopia entre os caminhos β 0 e β 1.

55 CAPÍTULO 3. FORMAS DIFERENCIAIS E INTEGRAÇÃO EM SUPERFÍCIES DE RIEMANN 47 Proposição 3.1. Sejam X uma superfície de Riemann e ω 1-forma fechada em X. Se γ 0 e γ 1 são homotópicos então ω = γ 0 ω. γ 1 Demonstração. Sejam Γ : [a, b] [0, 1] X uma homotopia entre os caminhos γ 0 e γ 1, e D a imagem de [a, b] [0, 1] pela homotopia. Então D é triangularizável e D = γ 0 γ 1. Pelo Teorema de Stokes segue que ω = γ 0 γ 1 Desse modo, se ω é fechada, dω = 0 e, portanto, ω = 0, γ 0 γ 1 D ω = dω. D logo, ω = ω. γ 0 γ 1 Fixado um ponto p X, o grupo fundamental de X, denotado por π 1 (X) é o grupo das classes de equivalências (via homotopia)de caminhos fechados com mesmo ponto inicial e nal p. Ou seja, os elementos de π 1 (X) são classes de homotopia de caminhos em X, xado um ponto p X. A proposição acima nos diz que a integral de 1-forma fechada depende apenas da classe de homotopia do caminho em X. 3.3 Um Pouco de Homologia Nesta seção deniremos o primeiro grupo de homologia de X. Não entraremos em detalhes, mas assumiremos os resultados básicos dessa teoria. Para um estudo mais detalhado, pode-se consultar a referencia [4] Seja CH(X) o grupo das cadeias em X (ver denição 3.18). Dada uma cadeia γ = i η iγ i, o bordo de γ é denotado por γ e denido do seguinte modo: para cada γ i denimos o bordo γ i como a diferença formal de seus pontos extremos γ i (b) γ i (a) e estendemos esta denição para a cadeia γ por linearidade. Assim o bordo de γ é a soma formal γ = i η i (γ i (b) γ i (a)). Desse modo, temos um homomorsmo de grupo entre CH(X) e o grupo abeliano livre nos conjunto dos pontos de X. O núcleo desse homomorsmo é denotado por CLCH(X) e o chamaremos de grupo das cadeias fechadas em X. Assim, uma cadeia γ = i η iγ i é fechada se, e somente se, γ = 0. Sejam D é um subconjunto triangularizável em X e {T i } uma triangulação de D. Como cada

56 CAPÍTULO 3. FORMAS DIFERENCIAIS E INTEGRAÇÃO EM SUPERFÍCIES DE RIEMANN 48 triângulo é fechado, temos T i = 0. Assim D = i T i = 0, ou seja, o bordo de um subconjunto triangularizável é uma cadeia fechada. Quando uma cadeia fechada γ é o bordo de um subconjunto triangularizável de X, dizemos que γ é cadeia de bordo em X. O grupo gerado pela cadeias de bordo é um subgrupo de CLCH(X), denotado por BCH(X). Denição O primeiro grupo de homologia de X, denotado por H 1 (X) ou H 1 (X, Z), é o grupo quociente H 1 (X) = CLCH(X) BCH(X). O primeiro grupo de homologia de X é grupo abeliano livre e temos o seguinte teorema. Teorema 10. Se X é uma superfície de Riemann compacta de gênero g(x) = g então H 1 (X) tem posto 2g.

57 Capítulo 4 Divisores Denição 4.1. Seja X uma superfície de Riemann. Um divisor em X é uma função D : X Z cujo suporte é discreto, ou seja, o conjunto {p X; D(p) 0} é um conjunto discreto. O conjunto dos divisores em X é grupo com a adição, denotado por Div(X). Geralmente denotamos um divisor D em X do seguinte modo: D = p D(p) p. Dada uma superfície de Riemann compacta X, uma função D : X Z é um divisor se, e somente se, o suporte de D é um conjunto nito. Neste caso podemos denir o grau de um divisor como segue. Denição 4.2. Sejam X uma superfície de Riemann compacta e D um divisor em X. O grau de D é denido por deg(d) = D(p).p p A função deg : Div(X) Z que associa cada divisor ao seu grau, é claramente um homomorsmo de grupos. Portanto, o núcleo da função deg, ou seja, o subconjunto dos divisores de grau 0, é um subgrupo de Div(X), e será denotado por Div 0 (X). Denição 4.3. Dada uma função meromorfa f numa superfície de Rimenan X, o divisor de f é denotado por div(f) e denido por: div(f) = ord p (f) p. p Denição 4.4. Um divisor principal em X é um divisor de uma função meromorfa f : X C. O conjunto dos divisores principais de X é denotado por PDiv(X). Lema 4.1. Sejam f e g funções meromorfas em X não nulas. Então: 1. div(fg) = div(f) + div(g). 2. div(1/f) = div(f). 49

58 CAPÍTULO 4. DIVISORES div(f/g) = div(f) div(g). Demonstração. 1. Por denição temos div(fg) = p ord p(fg) p. Pelo lema 2.4 temos ord p (fg) = ord p (f) + ord p (g), donde segue que div(fg) = p [ord p (f) + ord p (g)] p = p ord p (f) p + p ord p (g) p = div(f) + div(g). As demonstrações de 2 e 3 seguem de modo análogo utilizando o lema 2.4. Do lema acima, concluimos de PDiv(X) é um subgrupo de Div(X). Lema 4.2. Sejam X é uma superfície de Riemann compacta e f uma função meromorfa em X. Então o divisor de f tem grau 0. Demonstração. Por denição deg(div(f)) = p ord p(f). p ord p(f) = 0. Portanto, deg(div(f)) = 0. Se X for compacta, pelo corolário 3 temos Este lema implica o seguinte resultado: Se X é superfície de Riemann compacta então PDiv(X) é subgrupo de Div 0 (X). Exemplo 4.1. Na esfera de Riemann C considere coordenada z no plano nito C e f uma função racional fatorada como f(z) = c onde e i são inteiros e λ i são complexos distintos. n (z λ i ) ei, i=1 Então {λ 1,, λ n } é o conjunto de zeros e polos de f no plano nito. Cada λ i tem ordem e i e, além disso, ord (f) = n i=1 e i. Então o divisor de f é div(f) = ( n n ) e i λ i e i. i=1 Denição 4.5. Sejam X uma superfície de Riemann e f uma função meromorfa em X. Odivisor de zeros de f é denotado por div 0 (f) e denido por div 0 (f) = p X; ord p(f)>0 i=1 ord p (f) p. De modo análogo, o divisor de polos de f é denotado por div (f) e denido por div (f) = p X; ord p(f)<0 ( ord p (f)) p. Observação 5. Os divisores acima denidos são funções não negativas e têm suporte disjuntos. Além disso, segue diretamente das denições que div(f) = div 0 (f) div (f).

59 CAPÍTULO 4. DIVISORES 51 Denição 4.6. Seja ω uma 1-forma meromorfa numa superfície de Riemann X. denotado por div(ω) e denido por div(ω) = ord p (ω) p. p O divisor de ω é Denição 4.7. Um divisor canônico em X é um divisor de uma 1-forma meromorfa ω. O conjunto dos divisores canônicos de X é denotado por KDiv(X). Exemplo 4.2. Na esfera de Riemann considere a 1-forma ω = dz na coordenada z do plano nito C. Como visto no exemplo 3.1, ω não tem zeros e tem polo de ordem 2 em. Segue que o divisor de ω é div(ω) = 2. De modo geral, considere ω = f(z)dz, com f = c i (z λ i) ei. No plano nito, ω tem zeros e polos nos pontos λ i com ord λi (ω) = e i, e no ponto temos ord (ω) = (2 + i e i). Assim, o divisor de ω é div(ω) = ( e i λ i 2 + ) e i. i i Desse modo, qualquer divisor canônico na esfera de Riemann tem grau deg(div(ω)) = 2, visto que toda função meromorfa na esfera de Riemann é uma função racional (ver [5]). Se f é função meromorfa não nula e ω é 1-forma meromorfa não nula numa superfície de Riemann X, segue diretamente do lema 4.1 que div(fω) = div(f) + div(ω). Ou seja, a soma de um divisor principal com um divisor canônico resulta num divisor canônico. Lema 4.3. Sejam X uma superfície de Riemann, ω 1 e ω 2 duas 1-formas meromorfas em X, com ω 1 não identicamente nula. Então existe uma única função meromorfa f em X tal que ω 2 = fω 1. Demonstração. Consideremos φ : U V uma carta local em X. Na coordenada z dada pela carta φ escrevemos ω 1 = g 1 (z)dz e ω 2 = g 2 (z)dz. A função racional h = g 2 /g 1 é uma função meromorfa em V, e segue que f = h φ é função meromorfa em U. Além disso, f não depende da escolha da carta local. De fato, suponhamos que φ 1 : U 1 V 1 é outra carta local. Consideremos a mudança de coordenada T = φ φ 1 1. Na coordenada w dada por φ 1 temos f(w)ω 1 (w) = f(t (w))(g 1 (T (w))t (w)dw) = g 2 (T (w))t (w)dw = ω 2 (w). Portanto f está bem denida, independente da escolha da carta local e, claramente, ω 2 = fω 1. Lema 4.4. Seja X uma superfície de Riemann compacta de gênero g. Então existe um divisor canônico em X de grau 2g 2. Demonstração. Consideremos uma função meromorfa f em X (a demonstração da existência de uma função meromorfa em X pode ser consultada na referência [2]) e F : X C aplicação holomorfa

60 CAPÍTULO 4. DIVISORES 52 induzida por f. Suponhamos que deg(f ) = d. Na esfera de Riemann, tomemos a 1-forma ω = dz. Já vimos que ω tem polo de ordem 2 no ponto, não tem outros polos nem possui zeros em C. Seja η = F * ω. Armamos que deg(div(η)) = 2g 2. De fato, temos deg(div(η)) = ord p (F * ω), p X e pelo lema 3.9, segue que deg(div(η)) = p X [ (1 + ordf (p) (ω)) mult p (F ) 1 ] = q (mult p (F ) 1) + p F 1 (q) p F 1 ( ) ( mult p (F ) 1). Adicionando e subtraindo o termo p F 1 ( ) (mult p(f ) 1) ao lado direito da igualdade acima, obtemos deg(div(η)) = (mult p (F ) 1) p X 2 mult p (F ), p F 1 ( ) ou seja, deg(div(η)) = p X(mult p (F ) 1) 2 mult p (F ) = (mult p (F ) 1) 2 deg(f ). p F 1 ( ) p X Pela fórmula de Hurwitz dada no teorema 7, temos p X (mult p(f ) 1) = 2g deg(f ). Assim, segue que deg(div(η)) = 2g deg(f ) 2 deg(f ) = 2g 2. Portanto, η tem grau 2g 2. Proposição 4.1. Seja X uma superfície de Riemann compacta. Então qualquer divisor canônico em X tem grau 2g(X) 2. Demonstração. O lema anterior garante a existência de uma 1-forma η tal que deg(div(η)) = 2g(X) 2. Além disso, pelo lema 4.3, dada qualquer 1-forma meromorfa ω em X, existe uma única função meromorfa f tal que ω = fη. Assim, temos div(ω) = div(fη) = div(f) + div(η), logo deg(div(ω)) = deg(div(f)) + 2g(X) 2. Como X é compacta, deg(div(f)) = 0. Portanto, deg(div(ω)) = 2g(X) 2.

61 CAPÍTULO 4. DIVISORES 53 Denição 4.8. Seja γ = i n iγ i uma cadeia em X e suponhamos que cada γ i está denida no intervalo [0, 1]. Então o divisor bordo de γ é denotado por γ e denido por γ = i n i γ i (1) i n i γ i (0) = i n i [γ i (1) γ i (0)]. Proposição 4.2. Se X é superfície de Riemann compacta, então um divisor em X tem grau 0 se, e somente se, é divisor bordo de alguma cadeia em X. Demonstração. Claramente o divisor bordo de uma cadeia tem grau 0. Agora, suponhamos que D é divisor de grau 0 em X. Uma vez que X é compacta, D tem suporte nito. Digamos que D = m i=1 n p i p i. Para cada i = 1,, m 1, consideremos γ i caminho em X com γ i (0) = p m e γ i (1) = p i. Denamos a cadeia γ = m 1 i=1 n p i γ i. Então γ = m 1 i=1 n pi [γ i (1) γ i (0)] = m 1 i=1 m 1 n pi p i Como m i=1 n p i = 0, temos n pm = m 1 i=1 n p i. Assim temos γ = m 1 i=1 n pi p i + n pm p m = Portanto, D é divisor bordo da cadeia γ. i=1 m n pi p i = D. i=1 n pi p m. Observação 6. Uma cadeia é fechada se, e somente se, seu divisor bordo é 0. Este fato segue diretamente da denição de cadeia fechada e da denição de divisor bordo de uma cadeia. Nas próximas denições, consideraremos F : X Y uma aplicação holomorfa não constante entre superfícies de Riemann. Denição 4.9. Dado um ponto q em Y o divisor imagem inversa de q será denotado por F (q) e denido por F (q) = p F 1 (q) mult p (F ) p. Se X e Y são compactas, então o grau do divisor imagem inversa independe do ponto q e coincide com o grau da aplicação F. Podemos generalizar a denição acima, como veremos a seguir. Denição Seja D = q n q q um divisor em Y. O divisor pullback de D é denotado por F (D) e é denido como o seguinte divisor em X: F (D) = q n q F (q).

62 CAPÍTULO 4. DIVISORES 54 Usando a denição de F (q), obtemos F (D) = q n q mult p (F ) p = p p F 1 (q) D(F (p)) mult p (F ) p, então, visto como função, o pullback de D é dado por F (D)(p) = D(F (p)) mult p (F ). Agora veremos algumas propriedades do pullback de divisores. Lema 4.5. Seja F : X Y uma aplicação holomorfa não constante. 1. A operação pullback F : Div(Y ) Div(X) é um homomorsmo de grupos. 2. Se f : Y C é uma função meromorfa em Y então F (div(f)) = div(f (f)) = div(f F ). Isto é, o pullback de um divisor principal é um divisor principal. 3. Se X e Y são compactas então deg(f (D)) = deg(f ) deg(d). Demonstração. 1. Claramente, se D é divisor nulo em Y então F (D) é divisor nulo em X. Além disso, se D 1 = q n1 q q e D 2 = q n2 q q são divisores em Y temos D 1 + D 2 = q (n1 q + n 2 q) q, logo F (D 1 + D 2 ) = q Y (n 1 q + n 2 q)f (q) = q Y n 1 qf (q) + q Y n 2 qf (q) = F (D 1 ) + F (D 2 ). Portanto, F é homomorsmo de grupo. 2. Seja f uma função meromorfa em Y. Para cada p X temos F (div(f))(p) = ord F (p) (f) mult p (F ). Como ord p (f F ) = ord F (p) (f) mult p (F ), segue que F (div(f))(p) = ord p (f F ) = ord p (F (f)), donde segue que F (div(f)) = p X ord p (F (f)) p = div(f (f)) = div(f F ). 3. Por denição temos F (D) = D(q)F (q) = D(q) q Y q Y mult p (F ) p p F 1 (q)

63 CAPÍTULO 4. DIVISORES 55 Assim, temos deg(f (D)) = D(q) mult p (F ). q Y p F 1 (q) Uma vez que deg(f ) = p F 1 (q) mult p(f ), independente do ponto q, segue que deg(f (D)) = deg(f ) q Y D(q) = deg(f ) deg(d). Seja F : X Y uma função holomorfa não constante entre superfícies de Riemann. Podemos denir os seguintes divisores. Denição O divisor ramicação de F é o divisor em X denotado por R F e denido como R F = p X(mult p (F ) 1) p. Odivisor ramo de F é o divisor em Y denotado por B F e denido como B F = (mult p (F ) 1) q. q Y p F 1 (q) Se X e Y são compactas então deg(r F ) = p X (mult p (F ) 1) e deg(b F ) = q Y (mult p (F ) 1), p F 1 (q) e portanto deg(r F ) = deg(b F ), ou seja, o divisor ramo e o divisor de ramicação tem o mesmo grau. Com o conceito desses divisores, podemos reescrever a fórmula de Hurwitz do seguinte modo: 2g(X) 2 = deg(f )(2g(Y ) 2) + deg(r F ). Podemos ainda generalizar esta fórmula, com o resultado que segue. Lema 4.6. Sejam X e Y superfícies de Riemann, F : X Y uma aplicação holomorfa não constante e ω uma 1-forma meromorfa não identicamente nula em Y. Então div(f * ω) = F * (div(ω)) + R F. Em outras palavras, a diferença entre o pullback do divisor de ω e o divisor do pullback de ω é o divisor ramicação de F.

64 CAPÍTULO 4. DIVISORES 56 Demonstração. Pelo lema 3.9 temos ord p (F * ω) = (1 + ord F (p) (ω)) mult p (F ) 1, ou seja, ord p (F * ω) = (mult p (F ) 1) + mult p (F ) ord F (p) (ω) Assim, segue que div(f * ω) = p X ord p (F * ω) p = p X[mult p (F ) ord F (p) (ω) + (mult p (F ) 1)] p = (mult p (F ) 1) p + mult p (F ) ord F (p) (ω) p p X p X = R F + F * (div(ω)) Se X e Y são compactas, podemos recuperar a fórmula de Hurwitz tomando o grau em ambos os lados da igualdade resultante do lema acima. De fato, pela proposição 4.1 temos deg(div(f * ω)) = 2g(X) 2 e pelo lema 4.5 junto com a proposição 4.1 temos deg(f * (div(ω))) = deg(f ) deg(div(ω)) = deg(f )(2g(Y ) 2). Então tomando o grau em ambos os lados da igualdade div(f * ω) = F * (div(ω)) + R F, obtemos 2g(X) 2 = deg(f )(2g(Y ) 2) + deg(r F ). No conjunto Div(X) dos divisores é possível introduzir uma ordem parcial do seguinte modo: Dado D Div(X) dizemos que D é não negativo e escrevemos D 0 se D(p) 0 para todo p X (visto como função de X em Z). Se D 0 e D 0, dizemos que D é positivo e escrevemos D > 0. E nalmente, escrevemos D 1 D 2 se D 1 D 2 0 e, de modo análogo, D 1 > D 2 se D 1 D 2 > 0. De modo análogo, criamos as noções de e <. Proposição 4.3. Todo divisor D pode ser escrito de modo único como D = P N, com P e N divisores não negativos e com suportes disjuntos.

65 CAPÍTULO 4. DIVISORES 57 Demonstração. De fato, tomando P = p X; D(p) 0 D(p) p e N = p X; D(p) 0 [ D(p)] p, temos claramente que supp(p ) supp(n) =, P, N 0 (ou seja, P e N são não negativos) e ainda, D = p X D(p) p = p X; D(p) 0 = p X; D(p) 0 = P N. D(p) p + D(p) p p X; D(p) 0 p X; D(p) 0 D(p) p [ D(p)] p Exemplo 4.3. Seja f uma função meromorfa numa superfície de Riemann X. Como vimos na observação 5, olhados como funções de X em Z, os divisores div 0 (f) e div (f) são funções não negativas com suportes disjuntos e satisfazem div(f) = div 0 (f) div (f) Observamos que uma função meromorfa f em X é holomorfa se, e somente se, div(f) 0. De fato, f é holomorfa se, e somente se, div (f) = 0 e, portanto, div(f) = div 0 (f) 0. Exemplo 4.4. De modo análogo ao exemplo anterior, se ω é uma 1-forma meromorfa em X, podemos escrever div(ω) = div 0 (ω) div (ω), e ainda, ω é 1-forma holomorfa se, e somente se, div(ω) = div 0 (ω) 0. Denição Seja M = {D 1,, D n } um conjunto nito de divisores numa superfície de Riemann X. Para cada p X, o mínimo de M em p é denotado por min{d 1,, D p }(p) e é denido como min{d 1,, D p }(p) = min{d 1 (p),, D n (p)}. Sejam f e g funções meromorfas não nulas com f + g não nula. Para cada p X segue do lema 2.4 que ord p (f + g) min{ord p (f), ord p (g)}. Então, para cada p X, temos div(f + g)(p) min{div(f)(p) + div(g)(p)}, donde segue que div(f + g) min{div(f) + div(g)}.

66 Capítulo 5 Teorema de Abel Neste capítulo enunciaremos o Teorema de Abel e apresentaremos uma de suas demonstrações. Para isso, deniremos o Jacobiano de uma variedade compacta, o mapa de Abel-Jacobi e o Traço de uma 1-forma meromorfa. Além disso, introduziremos o conceito de períodos e vericaremos algumas propriedades desses objetos. 5.1 O Jacobiano de uma Superfície de Riemann Compacta Sejam ω uma 1-forma fechada C em X e D um subconjunto triangularizável de X. Pelo Teorema de Stokes, temos ω = dω = 0 = 0. D D D Desse modo, se duas cadeias d e c estão na mesma classe de homologia então d c = D, para algum subconjunto D triangularizável de X, e assim temos ω = ω = 0 d c D logo ω = ω. d c Assim, dadas ω uma 1-forma fechada C em X e [c] H 1 (X, Z) uma classe de homologia, a integral ω = ω [c] c está bem denida. De modo particular, a integral acima está bem denida para qualquer 1-forma holomorfa em X, pois toda 1-forma holomorfa é fechada. Assim, xada [c] H 1 (X, Z), a função : Ω 1 (X) C [c] ω ω = ω 58 [c] c

67 CAPÍTULO 5. TEOREMA DE ABEL 59 é um funcional linear. Denição 5.1. Um funcional linear λ : Ω 1 (X) C é um período se λ = [c] para alguma classe de homologia [c] H 1 (X, Z). O subconjunto de Ω 1 (X) formado pelos períodos é denotado por Λ. Proposição 5.1. O subconjunto Λ é um subgrupo de Ω 1 (X). Demonstração. Basta vericar que se f, g Λ então (f g) Λ. De fato, suponha que [c 1 ] e [c 2 ] são classes de homologia e seja ω Ω 1 (X). Temos Ω 1 (X). ( [c 1] [c 2] ) (ω) = [c 1] ω ω = ω = ω. [c 2] [c 1] [c 2] [c 1 c 2] Desse modo, se f e g são períodos, f g também é um período. Portanto Λ é um subgrupo de Denição 5.2. Seja X uma superfície de Riemann compacta. O jacobiano de X, denotado por Jac(X), é o grupo quociente dos funcionais lineares de 1-formas holomorfas em X módulo períodos. Ou seja, Claramente Jac(X) é um grupo abeliano. Jac(X) = Ω1 (X). Λ Denição 5.3. Seja X uma superfície de Riemann compacta. O gênero análitico de X é denido como a dimensão do espaço Ω 1 (X). O gênero analítico de X coincide com o gênero topológico de X (ver denição 1.6). A vericação deste fato pode ser encontrada na referência [5]. Observação 7. Suponha que X tem gênero g e seja {ω 1,, ω g } uma base de Ω 1 (X). Para cada funcional linear λ Ω 1 (X) associamos o vetor coluna (λ(ω 1 ),, λ(ω g )) T C g, isso nos dá um isomorsmo linear entre Ω 1 (X) e C g. Em particular, para um período correspondendo à classe de homologia [c] associamos o vetor ( c ω 1,, c ω g) T C g. Assim, temos Jac(X) = Cg Λ, onde Λ denota o subgrupo de C g associado aos períodos. Exemplo 5.1. Temos Jac(C ) = {0}. Pois Ω 1 (C ) = {0}. Exemplo 5.2. Seja X o toro complexo C/L. Então Jac(X) = X. De fato, o toro complexo tem gênero 1, logo Ω 1 (X) = ω 0, para ω 0 1-forma não nula em X. E ainda, Ω 1 (X) = C. Sejam [c 1 ] e [c 2 ] as classes geradoras de H 1 (X, Z). Como subgrupo de C, Λ é gerado por µ 1 = [c 1] (ω 0) e µ 2 = [c 2] (ω 0). Assim o subgrupo dos períodos é isomorfo ao reticulado L = Zµ 1 + Zµ 2.

68 CAPÍTULO 5. TEOREMA DE ABEL 60 Assim, temos Jac(X) = C/Λ = C/L = X. Portanto Jac(X) = X. 5.2 O Mapa de Abel-Jacobi Fixemos um ponto base p 0 X. Para cada p X, consideremos um caminho γ p em X que liga o ponto p ao ponto p 0. Podemos denir uma aplicação A : X Ω 1 (X) do seguinte modo: para cada p X, o funcional linear A(p) : Ω 1 (X) C é dado por A(p)(ω) = ω. γ p Esta aplicação depende da escolha do caminho γ p. Mas, se considerarmos γ p um outro caminho ligando o ponto p ao ponto p 0, uma vez que γ p γ p é uma cadeia fechada em X, temos ( ω γ p γ p ) ω Λ, para qualquer ω Ω 1 (X). Ou seja, mod Λ, γ p = γ p e, portanto, o funcional A(p) está bem denida em Jac(X). Denição 5.4. A aplicação A : X Jac(X) denida acima é chamada mapa de Abel-Jacobi de X. Uma vez que Jac(X) = Cg Λ, podemos considerar o mapa de Abel-Jacobi como uma aplicação de X em Cg Λ. Assim, dada uma base {ω 1,, ω g } de Ω 1 (X), o mapa de Abel-Jacobi é dado por ( p A(p) = ω 1,, p 0 p p 0 ω g ) T mod Λ. modo: Nós podemos estender o mapa de Abel-Jacobi ao grupo Div(X) dos divisores de X, do seguinte A : Div(X) Jac(X) np p n p A(p). Esta aplicação também é chamada mapa de Abel-Jacobi. Podemos ainda, restringir o mapa de Abel-Jacobi ao subgrupo Div 0 (X) dos divisores de grau 0 em X: A 0 = A Div0(X) : Div 0 (X) Jac(X). Observamos que o mapa de Abel-Jacobi depende da escolha do ponto base p 0 em X. Porém, o próximo resultado mostra que a restrinção de A aos divisores de grau 0 independe da escolha do ponto

69 CAPÍTULO 5. TEOREMA DE ABEL 61 base. Lema 5.1. O mapa de Abel-Jacobi A 0 : Div 0 (X) Jac(X) independe da escolha do ponto base. Demonstração. Sejam D um divisor de grau 0 em X e {ω 1,, ω g } uma base de Ω 1 (X). Consideremos (A 0 (D)) p0 o vetor de C g associado à A 0 (D) quando escolhido o ponto base p 0 e, para cada p X, seja γ p um caminho em X que liga o ponto p 0 ao ponto p. Analogamente, seja (A 0 (D)) p1 o vetor de C g associado à A 0 (D) quando escolhido o ponto base p 1 e para cada ponto p consideremos γ p um caminho em X que liga o ponto p 1 ao ponto p. Tomemos α um caminho em X que liga o ponto p 0 ao ponto p 1. Assim, γ p γ p α é cadeia fechada. Então temos ( (A 0 (D)) p0 (A 0 (D)) p1 = n p ω 1,, ) T ( n p ω g n p ω 1,, p γ p p γ p p γ p p ( = n p ω 1,, ) T n p ω g mod Λ p α p α n p γ p ) T ω g mod Λ Observamos que α ω k independe de p, para todo k = 1,, g. Assim, temos (A 0 (D)) p0 (A 0 (D)) p1 = p ( ) T n p ω 1,, ω g mod Λ. α α Por hipótese deg(d) = 0, ou seja, p n p = 0. Assim, temos (A 0 (D)) p0 (A 0 (D)) p1 = 0 mod Λ. Portanto, A 0 (D) independe da escolha do ponto base. 5.3 Operador Traço Sejam X e Y superfícies de Riemann compactas, F : X Y uma aplicação holomorfa nãoconstante e h : X C uma função meromorfa. Suponhamos que q Y não é um ponto ramo de F (isto é, mult F 1 (q)(f ) = 1). Se deg(f ) = d, temos d = mult p (F ), p F 1 (q) logo existem exatamente d pre-imagens de q em X, digamos p 1,, p d. Além disso, como mult pi (F ) = 1 para cada p i, existem vizinhanças coordenadas U de q e V i de p i tais que F 1 (U) = i V i, com V i disjuntos e F Vi biholomorsmo, para cada i = 1,, d. Suponhamos

70 CAPÍTULO 5. TEOREMA DE ABEL 62 que φ i : U V i é a inversa de F Vi. Denimos uma função Tr(h) : U C, por: Tr(h) = d h φ i = i d φ i (h Vi ), i ou seja, Tr(h)(q) = h(p). p F 1 (q) Esta função está bem denida em vizinhanças de pontos que não sejam pontos ramos F. Vericaremos no próximo lema que Tr(h) também está bem denido nos pontos ramos de F. Lema 5.2. Sejam F e h como acima. Se h é meromorfa em p então Tr(h) é meromorfa em q. Analogamente, se h é holomorfa em p então Tr(h) é holomorfa em que q. Demonstração. Vamos assumir que q é ponto ramo de F e que F 1 (q) = {p}, com mult p (F ) = m. Escolhamos coordenadas locais z centrada em que q e w centrada em p, tais que F tenha forma local z = w m. Na coordenada w, a função h tem expansão em série de Laurent h = c n w n. Como z = F (w) = w m, para z 0 temos F 1 (z) = {wζ k }, onde ζ k = exp ( ) 2kπi m, para cada k = 0,, m 1 (ou seja, F 1 (z) são as raizes m-ésimas de z). Assim, temos Tr(h)(z) = w F 1 (z) h(w) = m 1 k=0 Usando a expansão de h em série de Laurent, segue que Assim, temos Tr(h)(z) = m 1 k=0 h(wζ k ). ( ) c n (wζ k ) n. n Tr(h)(z) = n ( m 1 k=0 c n w n ζ n k ) = n ( m 1 c n k=0 ζ n k ) w n. Agora temos dois casos: Se m não divide n: Como ζ n k é raíz m-ésima da unidade, para cada k = 0,, m 1, segue que m 1 k=0 ζ n k = 0. Se n = ml: Neste caso, temos ζ n k = ζ ml k = (ζ m k ) l = 1 l = 1. Assim, temos Tr(h)(z) = n=ml mc n w n = l mc ml w ml,

71 CAPÍTULO 5. TEOREMA DE ABEL 63 e, como w m = z, segue que Tr(h)(z) = l mc ml z l. Fazendo z = 0, obtemos Tr(h)(0) = mc 0 = m(h φ 1 )(0). Portanto, de modo geral denimos Tr(h)(q) = mh(p). Desse modo se h é meromorfa em p então Tr(h) é meromorfa em q, e de modo análogo, se h é holomorfa em p então Tr(h) é holomorfa em q. Agora, se F 1 (q) = {p 1,, p j } então escolhemos vizinhanças V k de cada pre-imagem p k tais que (F Vk ) 1 (q) = {p k }, para cada k = 1,, j. Pelo que mostramos anteriormente, segue que em tais vizinhanças Tr(h)(z) = l m k c mk lz l. Desse modo, e fazendo z = 0, obtemos ( ) j Tr(h)(z) = m k c mk lz l, k=1 l j j Tr(h)(0) = m k c mk 0 = m k h(p k ). k=1 k=1 Portanto denimos Tr(h)(q) = j k=1 m kh(p k ). De modo geral, temos Tr(h)(q) = p F 1 (q) (mult p (F ))h(p). Segue que se h é meromorfa em cada pre-imagem de q então Tr(h) é meromorfa em q e, analogamente se h é holomorfa em cada pre-imagem de q então Tr(h) é holomorfa em q. Denição 5.5. A função Tr(h) : Y C denida acima é chamada traço de h. Agora vamos denir o traço de uma 1-forma meromorfa em X, de modo análogo ao que zemos anteriormente para uma função h Sejam X e Y superfícies de Riemann compactas, F : X Y uma aplicação holomorfa e ω uma 1-forma meromorfa em X. Suponhamos que q não é um ponto ramo de F e que deg(f ) = d. Então o ponto q tem exatamente d pre-imagens em X, digamos p 1,, p d. Escolhemos vizinhanças coordenada V 1,, V d de p 1,, p d (respectivamente) e U de q tais que F 1 (U) = d i=1 V i, V i são disjuntas e F Vi é biholomorsmo. Consideremos φ i : U V i a inversa de F Vi, para cada i = 1,, d. coordenada w i. Em cada vizinhança coordenada V i, a 1-forma ω tem um representante local ω Vi Denimos o traço de ω em U por Tr(ω) = d φ i (ω Vi ). i=1 = h i dw i em De modo análogo ao traço de funções, é possível vericar que a expressão acima também se extende para

72 CAPÍTULO 5. TEOREMA DE ABEL 64 os pontos ramos de F. Assim, o traço de ω é uma 1-forma em Y e temos o seguinte resultado: Lema 5.3. Se ω é meromorfa em p então Tr(ω) é meromorfa em q. Analogamente, se ω é holomorfa em p então Tr(ω) é holomorfa em que q. Demonstração. Suponhamos que q é ponto ramo de F com F 1 (q) = {p} e mult p (F ) = m. Escolhamos coordenadas locais z centrada em q e w centrada em p tais que F tem forma local normal z = w m. Nas coordenadas w, escrevemos ω = h(w)dw, com h meromorfa. Assim, nas coordenadas z podemos escrever o traço de ω do seguinte modo: Tr(ω) = φ (ω V ), ou seja, Tr(ω)(z) = h(w)dw. w F 1 (z) Como z = F (w) = w m, temos w = F 1 (z) = ζ k w com k = 0,, m 1 e ζ k são raízes m-ésimas da unidade. Além disso, dz = mw m 1 dw, logo Desse modo, temos logo, Assim, temos Segue que Tr(ω) = dw = m 1 k=1 dz m(ζ k w) m 1. dz h(ζ k w) m(ζ k w) m 1. Na coordenada w, h tem expansão em série de Laurent h = n c nw n. Assim, temos Tr(ω) = m 1 k=0 Tr(ω) = n Tr(ω)(z) = 1 m Novamente temos dois casos: [( ) c n (ζ k w) n n [( m 1 k=0 n ] 1 dz, m(ζ k w) m 1 ) c n ζk n w n 1 mζ m 1 k w ( m 1 c n k=0 ζ n m+1 k ) m 1 dz ]. w n m+1 dz. Se m divide n m + 1 (ou seja, se n = ml 1) então ζ n m+1 k Se m não divide n m + 1 então m 1 k=0 ζn m+1 k = 0. Tr(ω)(z) = 1 m c ml 1 mw ml 1 m+1 dz ml 1 = ml 1 c ml 1 (w m ) l 1 dz, = 1 e m 1 k=0 ζn m+1 k = m.

73 CAPÍTULO 5. TEOREMA DE ABEL 65 e usando o fato de que z = w m, temos Tr(ω)(z) = l c ml 1 z l 1 dz donde concluimos o resultado para o caso F 1 (q) = {p} No caso F 1 (q) = {p 1,, p d } concluimos de modo análogo ao lema anterior que Tr(ω)(z) = Isso conclui a demonstração do lema. d c mk l 1z l 1 dz k=1 O próximo resultado segue imediatamente do lema acima. Lema 5.4. Seja F : X Y aplicação holomorfa entre superfícies de Riemann compactas e ω uma 1-forma meromorfa em X. Então Res q (Tr(ω)) = Res p (ω). l p F 1 (q) Demonstração. Se F 1 (q) = {p} então, pelo lema anterior, o traço de ω tem expansão em série de Laurent Tr(ω) = l c ml 1 z l 1 dz. Por denição, o resíduo de Tr(ω) em q é o coeciente de 1/z na série de Laurente de Tr(ω), o que corresponde a l = 0 na expressão acima, ou seja, c 1. Portanto, Res q (Tr(ω)) = Res p (ω). Se F 1 (q) = {p 1,, p d }, temos ( ) d Tr(ω) = c mk l 1z l 1 dz, k=1 l assim, portanto, ( ) d Res q (Tr(ω)) = Res q c mk l 1z l 1 dz, k=1 l d Res q (Tr(ω)) = Res pk (ω) = Res p (ω). k=1 p F 1 (q) Isso conlui o resultado. Agora vamos relacionar a integral do traço de ω com a integral de ω. Sejam F : X Y uma aplicação holomorfa não constante entre superfícies de Riemann compactas, γ um caminho em Y e ω uma 1-forma meromorfa em X cujos polos não estão em F 1 ({γ}). Se F tem grau d e q não é ponto ramo de F então q tem exatamente d pre-imagens por F e F é localmente um biholomorsmo. Vamos supor que os pontos de γ não são pontos ramos de F. Assim, podemos levantar

74 CAPÍTULO 5. TEOREMA DE ABEL 66 γ em exatamente d caminhos γ 1,, γ d em X pela aplicação F. Se γ contém pontos ramos de F, então todos, exceto uma quantidade nita de pontos de γ, podem ser levantados por F em d caminhos. Esses caminhos estão ligados por pontos de ramicação de F, cujas imagens são pontos ramos de γ. Então tomamos o fecho desses caminhos e os denotamos por γ 1,, γ d. Com essa notação temos a seguinte denição: Denição 5.6. O pullback de γ por F é a cadeia em X d F (γ) = γ i. Se α = i η iα i é uma cadeia em Y, estendendo a denição acima por linearidade, podemos denimos o pullback de α por F (α) = η i F (α i ). i i=1 Lema 5.5. Sejam F : X Y uma aplicação holomorfa não constante entre superfícies de Riemann compactas, ω uma 1-forma holomorfa em X e γ uma cadeia em Y. Então γ Tr(ω) = Demonstração. Suponhamos que deg(f ) = d, γ não contém pontos ramos de F e que {γ} está contido em uma única vizinhança coordenada U de Y. F (γ) ω. Suponhamos ainda que U = d i=1 F 1 (V i ) e F Vi é biholomorsmo. Consideremos φ : U V i inversa de F Vi e γ i levantamento de γ em V i, ou seja, φ i ({γ}) = (F Vi ) 1 ({γ}). Desse modo, temos φ i (γ) = γ i. Além disso, temos Tr(ω) = d i=1 φ i (ω V i ). Assim, segue que Pelo lema 3.12 temos donde segue que logo γ γ γ Tr(ω) = γ Tr(ω) = d i=1 φ i (ω Vi ) = d i=1 φ i (γ) γ φ i (ω Vi ). φ i (γ) ω Vi = Tr(ω) = ω = γi ω Vi, d i=1 F (γ) ω. γ i ω, 5.4 O Teorema de Abel Sejam X uma superfície de Riemann compacta e D um divisor de grau 0 em X. O Teorema de Abel nos diz que D é divisor principal de uma função meromorfa em X se, e somente se, o mapa de Abel-Jacobi aplicado em D é 0 no Jacobiano de X. Para apresentar uma demonstração desse teorema,

75 CAPÍTULO 5. TEOREMA DE ABEL 67 precisamos de mais alguns resultados que serão apresentados nesta seção. Se X tem gênero g, podemos identicá-la com um polígono P de 4g lados, digamos {a i, b i, a i, b i }d i=1. Em X, os lados a i e a i são identicados com o caminho fechado a i e os lados b i e b i são identicados com o caminho fechado b i. Por exemplo, no caso g = 1 podemos identicar um polígono de 4 lados com um toro complexo. Figura 5.1: No caso g = 1, temos um polígono P de 4 lados. Figura 5.2: Identicando um polígono P com o toro, obtemos as curvas a 1 e b 1. Denição 5.7. Seja σ uma 1-forma qualquer em X, os números A i (σ) = σ e B i (σ) = a i são chamados de a-períodos de σ e b-períodos de σ, respectivamente. Observação 8. Como H 1 (X, Z) é gerado pelas curvas {a i, b i } g i=1 segue que Λ é gerado por {A i, B i } g i=1. Visto como subgrupo de C g, Λ é gerado por {(A i (ω 1 ),, A i (ω g )); (B i (ω 1 ),, B i (ω g ))} g i=1, onde {ω 1,, ω g } é base de Ω 1 (X). Dada σ uma 1-forma C fechada em X, podemos considerar σ como uma 1-forma C em P. Fixado um ponto base x no interior de P, para qualquer ponto p P podemos denir f σ (p) = onde a integral é tomada sobre qualquer caminho em P que liga o ponto x ao ponto p. p x Uma vez que P é simplismente conexo e σ é fechada, a integral acima independe da escolha do caminho que liga os pontos x e p e, portanto, a função acima está bem denida. Além disso, f σ é C em P e, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos df σ = σ. Particularmente, se σ é holomorfa então f σ também é holomorfa. Lema 5.6. Sejam σ e τ 1-formas fechadas C em X. Então P f σ τ = σ b i σ g A i (σ)b i (τ) A i (τ)b i (σ) i=1 onde P é a cadeia P = g i=1 (a i + b i a i b i ).

76 CAPÍTULO 5. TEOREMA DE ABEL 68 Demonstração. Sejam p um ponto no lado a i do polígono P e p seu correspondente no lado a i. Consideremos x um ponto base no interior do polígono e α p um caminho em P ligando o ponto p ao ponto p. Então, dados quaisquer caminhos γ p e γ p α p γ p + γ p é fechada. Assim, ou seja, Além disso, temos p x em P ligando x à p e x à p, respectivamante, a cadeia p σ x σ = σ, α p f σ (p) f σ (p ) = σ. α p σ = σ. α p b i De fato, consideremos o segmento β sobre o lado a i do polígono P que liga o ponto p ao vértice formado pelos lados a i e b i ; e de modo análogo, consideremos β o segmento sobre o lado a i que liga o ponto p ao vértice formado pelos lados b i e a i. Em X, os caminhos b i e β + α p β são homotópicos e, como σ é fechada, a integral de σ ao longo de tais caminhos coincidem. Mas, em X, β = β e, portanto, α p σ = b i σ. Desse modo, para qualquer p a i, temos f σ (p) f σ (p ) = σ = B i (σ), b i e de modo análogo obtemos que, para qualquer q b i, f σ (q) f σ (q ) = σ = A i (σ). a i Além disso, como a i e a i são identicados com o mesmo caminho a i em X, τ assume valores iguais em a i e a i. E de modo análogo, τ assume valores iguais em b i e b i. Assim, temos P g f σ τ = f σ τ f σ τ + f σ τ f σ τ i=1 a i a i b i b i g ( ) = f σ (p)τ(p) f σ (p )τ(p ) f σ (q)τ(q) f σ (q )τ(q ) i=1 p a i q b i g ( ) = [f σ (p) f σ (p )]τ + [f σ (q) f σ (q )]τ i=1 p a i q b i g ( ) = B i (σ)τ + A i (σ)τ. p a i q b i i=1 Uma vez que B i (σ) não depende dos valores de p ao longo de a i, nem A i (σ) depende dos valores

77 CAPÍTULO 5. TEOREMA DE ABEL 69 de q ao longo de b i, segue que P f σ τ = = g ( ) A i (σ) τ B i (σ) τ q b i p a i g A i (σ)b i (τ) A i (τ)b i (σ). i=1 i=1 Lema 5.7. Sejam X um superfície de Riemann e ω uma 1-forma holomorfa em X não identicamente nula. Então ( g ) Im A i (ω)b i (ω) < 0. P i=1 Demonstração. Uma vez que A i (ω) = A i (ω), temos A i (ω)b i (ω) = A i (ω)b i (ω). E aplicando o lema 5.6 para ω e ω temos g f ω ω = A i (ω)b i (ω) A i (ω)b i (ω) g = A i (ω)b i (ω) A i (ω)b i (ω), i=1 ou seja, ( g ) f ω ω = 2i Im A i (ω)b i (ω) i=1 P i=1 Por outro lado, pelo Teorema de Stokes, temos f ω ω = d (f ω ω) P P = (f ω dω + df ω ω). Como ω é fechada, segue que f ω ω = df ω ω P P P Supondo ω = f(z)dz localmente, temos ω = f(z)dz, logo ω ω = (f(z)dz) (f(z)dz) = f 2 dz dω = 2i f 2 dx dy Portanto, P f ω ω = 2i f 2 dx dy, P

78 CAPÍTULO 5. TEOREMA DE ABEL 70 donde segue que ( g ) f 2 dx dy = Im A i (ω)b i (ω). P i=1 Como f é não-negativa e não é identicamente nula (pois ω não é identicamente nula), segue que f 2 dx dy > 0, P e, portanto, ( g ) Im A i (ω)b i (ω) < 0. i=1 Do lema acima, segue o resultado seguinte. Lema 5.8. Se ω é 1-forma holomorfa em X tal que A i (ω) = 0 para cada i = 1,, g, então ω é identicamente nula. Analogamante, se B i (ω) = 0 para cada i, então ω é identicamente nula. Demonstração. Suponhamos que A i (ω) = 0 para todo i, ou que B i (ω) = 0 para todo i, então ( g ) Im A i (ω)b i (ω) = 0. Se ω não for identicamente, segue do lema 5.7 que ( g ) Im A i (ω)b i (ω) < 0, i=1 i=1 o que é uma contradição. Portanto, ω é identicamente nula. Seja {ω 1,, ω g } base de Ω 1 (X). Denimos as matrizes A = (a ij ) g g e B = (b ij ) g g, onde a ij = A i (ω j ) = a i ω j e b ij = B i (ω j ) = b i ω j. Temos o seguinte resultado. Lema 5.9. As matrizes A e B denidas acima são não singulares. Demonstração. Lembramos que A é singular se, e somente se, Ax = 0 tem solução não trivial. Agora, suponhamos que A é singular e tomemos x = (x 1,, x g ) T não nulo tal que Ax = 0. g Como x não é nulo, a 1-forma holomorfa denida por ω = x k ω k não é identicamente nula. Para cada i = 1,, g, temos g A i (ω) = A i ( x k ω k ) = k=1 k=1 k=1 Por outro lado temos ( g Ax = x k A 1 (ω k ),, k=1 k=1 = (A 1 (ω),, A g (ω)) T. g x k A i (ω k ). g x k A g (ω k ) ) T

79 CAPÍTULO 5. TEOREMA DE ABEL 71 Assim, Ax = 0 A i (ω) = 0, i = 1,, g. Mas como ω não é identicamente nula, isso contradiz o lema 5.8. Portanto A é não singular. De modo análogo, obtemos que B é não singular. Lema A matriz A T B é simétrica, ou seja, A T B = B T A. Demonstração. Observamos que A T B = (a ij ) g g, onde a ij = g k=1 A k(ω i )B k (ω j ); e B T A = (b ij ) g g, onde b ij = g k=1 A k(ω j )B k (ω i ). Assim, A T B = B T A g g A k (ω i )B k (ω j ) = A k (ω j )B k (ω i ). k=1 k=1 Fixados i e j, pelo Teorema de Stokes segue que f ωi ω j = d(f ωi ω j ) = f ωi dω j + df ωi ω j. P P P Como ω j é fechada, temos dω j = 0. Além disso, df ωi = ω i, logo df ωi ω j = ω i ω j = 0. Assim, temos P f ωi ω j = 0. Pelo lema 5.6 segue que g g A k (ω i )B k (ω j ) = A k (ω j )B k (ω i ), k=1 k=1 e, portanto, A T B = B T A. Lema Sejam X uma superfície de Riemann compacta e D um divisor de grau 0 em X tal que A 0 (D) = 0 em Jac(X). Então existe uma 1-forma meromorfa ω em X tal que: 1. ω tem polos simples nos pontos de p X em que D(p) 0 e não tem outros polos. 2. Res p (ω) = D(p) para todo p X. 3. Os a-períodos e b-períodos de ω são múltiplos de 2πi. Demonstração. A demonstração dos itens 1 e 2 envolve o Teorema de Riemann-Roch. O leitor pode encontrar a demonstração na referência [5]. Vamos a prova do item 3. Sejam τ uma 1-forma meromorfa que satifaz 1 e 2, e seja {ω 1,, ω g } uma base de Ω 1 (X). Como ω k Ω 1 (X) para todo k = 1,, g, a 1-forma g ω = τ c k ω k também satisfaz 1 e 2 para quaisquer c k C. Assim, basta escolhermos c 1,, c g tais que ω denida como acima satifaça 3. k=1

80 CAPÍTULO 5. TEOREMA DE ABEL 72 Assumiremos que τ não tem polos sobre as curvas a i e b i, ou seja, os pontos tais que D 0 não estão sobre as curvas a i e b i. Para cada k = 1,, g dena ρ k = 1 2πi Pelos lemas 5.6 e 3.13, temos g [A j (ω k )B j (τ) A j (τ)b j (ω k )]. j=1 g [A j (ω k )B j (τ) A j (τ)b j (ω k )] = j=1 P f ωk τ = 2πi p X Res p (f ωk τ), assim, para cada k = 1,, g, temos ρ k = p X Res p (f ωk τ). Uma vez que ω k é holomorfa, o mesmo acontece com f ωk, e desse modo temos Res p (f ωk τ) = f ωk (p) Res p (τ) = D(p)f ωk (p). Fixado um ponto base x X, para cada k = 1,, g, segue que ρ k = p X D(p) p x ω k. Por outro lado, temos A 0 (D)(ω k ) = p X D(p) A(p)(ω k ) = D(p) p X = ρ k, p ω k x ou seja, ρ k é k-ésima entrada de A 0 (D) visto como vetor de C g. Por hipótese, A 0 (D) = 0 em Jac(X), portanto (ρ 1,, ρ g ) T é um período. Assim, g g (ρ 1,, ρ g ) = m j (A j (ω 1 ),, A j (ω g )) n j (B j (ω 1 ),, B j (ω g )), j=i j=1 e segue que g g ρ k = m j A j (ω k ) n j B j (ω k ), k = 1,, g. j=i j=1

81 CAPÍTULO 5. TEOREMA DE ABEL 73 Por denição, temos ρ k = 1 2πi g [A j (ω k )B j (τ) A j (τ)b j (ω k )] = j=1 g j=1 B j (τ) 2πi A j(ω k ) g j=1 A j (τ) 2πi B j(ω k ), donde segue que e, portanto, g j=1 ( Bj (τ) 2πi m j ) A j (ω k ) = g j=1 ( Aj (τ) 2πi n j ) B j (ω k ), g (B j (τ) 2πim j )A j (ω k ) = j=1 g (A j (τ) 2πin j )B j (ω k ); k = 1,, g. j=1 Consideremos os vetores a e b em C g cujas j-ésima entradas são A j (τ) 2πin j e B j (τ) 2πim j, respectivamente. Observamos que g j=1 (A j(τ) 2πin j )B j (ω k ) é a k-ésima entrada de B T a e g j=1 (B j(τ) 2πim j )A j (ω k ) é a k-ésima entrada de A T b. Portanto, temos que A T b = B T a. Agora consideremos a seguência de aplicações C g α C 2g β C g onde α = A B ( e β = B T A T ). Observamos que β α = 0. De fato, temos ( β α = ) B T A T A B = B T A A T B, mas, pelo lema 5.10, B T A A T B = 0. Portanto β α = 0, isto é, Im(α) Ker(β). Além disso, α e β tem posto máximo pois A e B são não singulares. dim(im(α)) = g = dim(ker(β)) e concluimos que Im(α) = Ker(β). Desse modo, temos Uma vez que A T b = B T a, o vetor a b pertence ao núcleo de β e, portanto, está na imagem α. Tomamos c o vetor tal que α(c) = Ac Bc = a b, e denimos ω = τ k c kω k, onde c k é a k-ésima entrada com vetor c. Por denição, a é o vetor cuja j-ésima entrada é A j (τ) 2πin j. Por outro lado Ac = a, assim a

82 CAPÍTULO 5. TEOREMA DE ABEL 74 j-ésima entrada de a é k c ka j (ω k ). Desse modo temos g c k A j (ω k ) = A j (τ) 2πin j. k=1 De modo análogo, b é o vetor cuja j-ésima entrada é B j (τ) 2πim j. Mas como Bc = b, a j-ésima enttrada de b é k B j(ω k )c k e segue que g c k B j (ω k ) = B j (τ) 2πim j k=1 Agora vamos vericar que os a-períodos e os b-períodos de ω são múltiplos de 2πi: ) g A j (ω) = A j (τ c k ω k = A j (τ) k=1 g c k A j (ω k ) k=1 = A j (τ) [A j (τ) 2πin j ] = 2πin j e ) g B j (ω) = B j (τ c k ω k = B j (τ) k=1 g c k B j (ω k ) k=1 = B j (τ) [B j (τ) 2πim j ] = 2πim j. Isso conclui a demonstração do lema. Finalmente, apresentaremos agora a demonstração do Teorema de Abel. Teorema 11 (Teorema de Abel). Seja X uma superfície de Riemann compacta e D um divisor de grau 0 em X. Então D é divisor principal de uma função meromorfa em X se, e somente se, A 0 (D) = 0 em Jac(X). Demonstração. ( ) Seja D um divisor de uma função meromorfa f em X. Considere F : X C a aplicação holomorfa associada à f e suponha que deg(f ) = d. Na esfera de Riemann, seja γ um caminho ligando 0 ao que não possui pontos ramos de F. O caminho γ é levantado por F a exatamente d caminhos γ 1, γ 2,, γ d em X. Cada γ i liga um zero de f à um polo de f. Assim, o pullback de γ por F é a cadeia F γ = d i=1 γ i

83 CAPÍTULO 5. TEOREMA DE ABEL 75 onde γ i (0) = p i são zeros de f e γ i (1) = q i são polos de f, para cada i = 1,, d. Como ord pi (f) = mult pi (F ) e ord qi (f) = mult qi (F ), temos d d D = div 0 (f) div (f) = p i q i. i=1 i=1 Agora, escolhamos um ponto base x X. Considere α i um caminho em X ligando p i ao ponto x e β i um caminho em X ligando q i ao ponto x. Tomando {ω 1,, ω g } uma base de Ω 1 (X), temos ( d A 0 (D)(ω) = ω 1,, α i i=1 d i=1 α i ω g ) T ( d ω 1,, β i i=1 d i=1 β i ω g Para cada i = 1,, d, considere a cadeia fechada η i = α i β i γ i, então ( d i=1 η i ω 1,, d ω g i=1 η i Desse modo, temos ( d A 0 (D)(ω) = ω 1,, γ i d i=1 i=1 Segue pelo lema 5.5 que, para cada k = 1,, g, d ω k = γ i i=1 γ Tr(ω k ) ) T Λ. γ i ω g ) T mod Λ. ) T mod Λ. então ( A 0 (D) = γ ) Tr(ω 1 ),, Tr(ω g ) mod Λ. γ Portanto Uma vez que ω k Ω 1 (X), temos Tr(ω k ) Ω 1 (C ), logo Tr(ω k ) = 0 para todo k = 1,, g. ou seja, A 0 (D) = 0 em Jac(X). A 0 (D) = 0 mod Λ, ( ) Seja D um divisor de grau 0 em X tal que A 0 (D) = 0 em Jac(X). Considere ω uma 1-forma meromorfa como no lema Fixado um ponto base x X dena a função em X ( p ) f(p) = exp ω x onde a integral é tomada sobre qualquer caminho ligando o ponto x ao ponto p. Vejamos que f independe da escolha do caminho que liga x ao ponto p. De fato, para quaisquer dois caminhos α e α ligando os pontos x e p, temos γ = α + ( α ) cadeia fechada. Temos dois casos: 1. Se não há polos de ω no interior de γ. Neste caso, escrevemos γ = i (m ia i + n i b i ), logo γ ω = m i a i ω + n i b i ω = 2kπi,

84 CAPÍTULO 5. TEOREMA DE ABEL 76 com k inteiro. Segue que α ω = α ω + 2kπi, e portanto ( ) ( ) ( ) exp ω = exp ω + 2kπi = exp ω. α α α 2. Se há polos de ω no interior de γ. Podemos supor que há apenas um polo p no interior de γ. Neste caso, pelo lema 3.13 temos γ ω = 2πi Res p (ω), logo, α ω = α ω + 2πi Res p (ω), e como os resíduos de ω são inteiros, segue que ( ) ( ) ( ) exp ω = exp ω + 2πi Res p (ω) = exp ω. α α α Portanto f está bem denida. Agora observamos que f não se anula em nenhum ponto de X, e além disso, f é holomorfa onde ω é holomorfa. Lembremos que ω tem polos simples nos pontos onde D 0 e não possue outros polos. Além disso, D(p) = Res p (ω). Assim, consideremos coordenadas locais tais que ou seja, onde h(z) = ω = Res p(ω) z ω = D(p) z + c n z n, n=0 + h(z), c n z n é uma função holomorfa. Desse modo, segue que n=0 ( z f(z) = exp [ D(p) x z ( D(p) ln(z) + ] ) + h(z) z ) h(z) = exp x ( z ) = exp(ln(z D(p) )) exp h(z) x assim, localmente f(z) = z D(p) g(z), onde g(z) = exp ( z x h(z)) é uma função holomorfa. Desse modo, temos ord p (f) = D(p). Segue div(f) = p X ord p (f) p = p X D(p) p. Portanto D é divisor principal de f. Isso conclui o teorema.

85 Bibliograa [1] Conway, John B.: Functions of One Complex Variable. Springer-Verlag, New York, [2] Farkas, Hershel M. & Kra, Irwin: Riemann Surfaces. Graduate Texts in Mathematics, No. 71, Springer-Verlag, [3] Forster, Otto: Lectures on Riemann Surfaces. Graduate Texts in Mathematics, No. 81, Springer- Verlag, [4] Hatcher, Allen: Algebraic Topology. Cambridge University Press, [5] Miranda, Rick: Algebraic curves and Riemann surfaces. Graduate Studies in Math., vol. 5, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1995, xxi+390 pp., ISBN [6] Munkres, James R.: Analysis on Manifolds. Addison-Wesley, Reading, MA, [7] Shafarevich, Igor: Basic Algebraic Geometry. Springer-Verlag, Berlin, [8] Spivak, Michael: O Cálculo em Variedades. Ciência Moderna, Rio de Janeiro,