Notas de Aula Álgebra 1. Martino Garonzi. Universidade de Brasília. Primeiro semestre 2019

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1 Notas de Aula Álgebra 1 Martino Garonzi Universidade de Brasília Primeiro semestre

2 2 D ora in poi ripeterò solo ed esclusivamente quello che avrò già detto.

3 Conteúdo Capítulo 1. Conjuntos 5 1. Elementos de Lógica 5 2. Conjuntos 7 3. Funções Relações Resolução listas de exercícios Seção Lógica Seção Conjuntos Seção Funções Seção Relações Relações de equivalência Congruências modulares Inversos modulares Resolução listas de exercícios Seção Relações de equivalência Seção Congruências modulares Seção Inversos modulares 47 Capítulo 2. Grupos Grupos Grupos cíclicos Ordem de um grupo Resolução listas de exercícios Seção Grupos Seção Grupos cíclicos Seção Ordem de um grupo Mais exercícios Subgrupos Teorema de Lagrange Resolução listas de exercícios Seção Mais exercícios Seção Subgrupos Seção Teorema de Lagrange 87 Capítulo 3. Aneis Indução Polinômios 95 3

4 4 CONTEÚDO 3. Aneis comutativos unitários Resolução listas de exercícios Seção indução Seção Polinômios Seção Aneis comutativos unitários Ideais Fatoração Resolução listas de exercícios Seção Ideais Seção Fatoração 126

5 CAPíTULO 1 Conjuntos 1. Elementos de Lógica Trabalharemos com uma lógica simplificada (chamada de lógica booleana) em que toda proposição é verdadeira ou falsa. O valor lógico de uma proposição P é então V (VERDADEIRO) ou F (FALSO). Por exemplo = 4 é verdadeiro, = 5 é falso. Usando proposições basicas podemos construir proposições mais complexas usando conectivos lógicos. Os conectivos lógicos principais são AND ( e ), OR ( ou ) e NOT ( não ). A tabela seguinte formaliza o valor lógico de P Q, P Q e P dados os valores lógicos de P e Q. P Q P Q P Q P V V V V F V F F V F F V F V V F F F F V Em outras palavras P Q é verdadeiro apenas quando P é verdadeiro e Q é verdadeiro, P Q é verdadeiro exatamente quando pelo menos um entre P e Q é verdadeiro (observe: pelo menos um, e não exatamente um ), e P é verdadeiro exatamente quando P é falso. Proposição (De Morgan). Para toda proposição P, Q vale (( P ) ( Q)) = P Q. Demonstração. Para demonstrar o enunciado escrito temos que calcular o valor lógico das duas proposições envolvidas. P Q P Q ( P ) ( Q) (( P ) ( Q)) P Q V V F F F V V V F F V V F F F V V F V F F F F V V V F F O enunciado segue pois as últimas duas colunas da tabela são iguais. 5

6 6 1. CONJUNTOS No futuro, no lugar de para todo P e para todo P, Q escreveremos também P e P, Q. O simbolo é chamado de quantificador e significa para todo. Um outro quantificador muito usado é ( existe ). Um outro exemplo de tautologia é o seguinte: P ( P ) (que formaliza o fato que toda proposição é verdadeira ou falsa). De fato temos a tabela seguinte. P P P ( P ) V F V F V V Definição (Implicação lógica). Sejam P e Q duas proposições. Definamos P Q como sendo (P ( Q)). Usando a definição podemos facilmente calcular o valor lógico da implicação lógica: P Q Q P ( Q) P Q V V F F V V F V V F F V F F V F F V F V A ideia atràs dessa definição é formalizar o fato que P implica Q. A definição diz que P implica Q quando não acontece que P é verdadeiro e Q é falso. Ou seja, a única condição para que P Q seja verdadeiro é que se P é verdadeiro então Q é verdadeiro. Isso pode parecer natural mas as vezes vai contra a nossa intuição. Por exemplo se sou italiano então não sou brasileiro é verdadeiro e parece natural, mas se sou italiano então = 4 é também verdadeiro (pois = 4 independentemente de eu ser ou não ser italiano) mas vai contra a nossa intuição que a implicação lógica tenha que ter uma interpretação de causa-efeito (de fato, o conceito de causa-efeito é uma construção mais filosofica que matemática). Se P Q digamos que P é condição suficiente para que valha Q e Q é condição necessária para que valha P. Proposição. Q (P Q). Demonstração. P Q P Q Q (P Q) V V V V V F F V F V V V F F V V

7 2. CONJUNTOS 7 A proposição Q (P Q) é um exemplo de tautologia, ou seja proposição, dependente das proposições basicas P e Q, que é verdadeira para qualquer valor lógico possível de P e de Q. EX FALSO QUODLIBET (princípio de explosão). O fato (as vezes contra-intuitivo) que se P é falso então P implica Q para todo Q (o que segue pela definição de implicação olhando a tabela) pode ser justificado da seguinte forma: usando uma coisa falsa pode-se demonstrar tudo (verdadeiro ou falso que seja). Por exemplo agora vou mostrar que se = 5 então o pato Donald existe. Suponha = 5, aí subtraindo 4 aos dois lados 0 = 1. Tem dois casos: ou o pato Donald existe ou o pato Donald não existe (lembra que na nossa lógica toda proposição é verdadeira ou falsa). Se o pato Donald existe então a demonstração terminou, agora suponha de estar no segundo caso, ou seja que o pato Donald não exista. Nesse segundo caso posso me perguntar quantos patos Donald existem? a resposta é: zero. Mas como 0 = 1, existe um pato Donald. A demonstração terminou. Definição (Se e somente se). P Q é definido por Leia P se e somente se Q. (P Q) (Q P ). Podemos facilmente deduzir a tabela de. P Q P Q Q P P Q V V V V V V F F V F F V V F F F F V V V A ideia intuitiva de P Q é que P e Q são proposições equivalentes, ou seja uma das duas vale exatamente quando a outra também vale. Exercícios. Demonstrar os fatos seguintes para toda proposição P, Q. (1) ( P ) (P Q). (2) (P Q) (( P ) ( Q)). (3) P P. (4) P (P Q). (5) (( P ) ( Q)) (P Q). (6) (P Q) = (( Q) ( P )). (7) P Q = ( P ) ( Q). (8) (P Q) ((P Q) (( P ) ( Q))). 2. Conjuntos Um conjunto é uma coleção de objetos. Exemplos de conjuntos são {1, 2, 3}, {a, b, c, d, e}, {x, y, z, w}.

8 8 1. CONJUNTOS Nessa notação a ordem não é levada em conta, assim por exemplo {1, 2, 3} = {3, 2, 1} = {1, 3, 2}. Além disso, cada elemento é contado no máximo uma vez, assim por exemplo {1, 1, 2, 2, 2} = {1, 2} (os conjuntos em que as repetições são permitidas são chamados de multiconjuntos - multiset). Os objetos que pertencem ao conjunto A são chamados de elementos de A e para dizer que a é um elemento de A escrevamos a A. Agora introduziremos algumas construções que correspondem aos conectivos lógicos introduzidos na seção anterior. (1) União. A B := {x : x A ou x B} (em linguagem natural: os elementos x tais que x pertence a A ou x pertence a B). Conectivo lógico correspondente: OR. Se trata do conjunto cujos elementos são definidos pela propriedade de pertencer a A ou a B. Por exemplo {1, 3} {1, a, b} = {1, 3, a, b}. (2) Interseção. A B := {x : x A e x B} (em linguagem natural: os elementos x tais que x pertence a A e x pertence a B). Conectivo lógico correspondente: AND. Se trata do conjunto cujos elementos são definidos pela propriedade de pertencer simultaneamente a A e a B. Por exemplo {1, 3, a, x, 8} {4, 8, u, x, 2} = {x, 8}. (3) Complementar. A c := {x : x A} (em linguagem natural: os elementos x tais que x não pertence a A). Construção lógica correspondente: NOT. Se trata do conjunto dos cujos elementos são definidos pela propriedade de não pertencer a A. O complementar é construido em relação a um conjunto maior, por exemplo o complementar de {1, 2} em {1, 2, 3, 4, 5} é {3, 4, 5}. (4) Inclusão. A B significa que se x A então x B. Construção lógica correspondente: (implicação lógica). Por exemplo a frase verdadeira se o número natural n é divisível por 4 então é divisível por 2 corresponde à inclusão {4, 8, 12, 16, 20, 24,...} {2, 4, 6, 8, 10, 12,...}. Assim por exemplo {1} {1, 2} {1, 2, 3} e se trata de inclusões próprias (não são igualdades). IGUALDADE ENTRE CONJUNTOS. Se A e B são dois conjuntos, A = B significa que A B e B A. Alguns exemplos notáveis de conjuntos: (1) N = {0, 1, 2, 3,...} (números naturais). (2) Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} (números inteiros). (3) Q = {a/b : a, b Z, b 0} (números racionais). (4) R é o conjunto dos números reais (racionais irracionais). (5) C = {a + ib : a, b R} (números complexos), onde i = 1. Temos a sequência de inclusões N Z Q R C.

9 2. CONJUNTOS 9 Tais inclusões são estritas (próprias), ou seja não são igualdades. Para mostrar isso basta construir um elemento que contradiz a igualdade em cada caso. Assim N Z pois 1 Z mas 1 N (especificamente isso mostra que Z N), Z Q pois 3/2 Q mas 3/2 Z (especificamente isso mostra que Q Z), Q R pois π R mas π Q (especificamente isso mostra que R Q), e R C pois i C mas i R (especificamente isso mostra que C R). Vamos fazer um exemplo de demonstração com conjuntos. Proposição. Se A, B, C são conjuntos, A (B C) = (A B) (A C). Demonstração. Para mostrar a igualdade entre os conjuntos dados precisamos mostrar as duas inclusões. (1) Primeira inclusão: queremos mostrar que A (B C) (A B) (A C). Seja então x A (B C). Queremos mostrar que x (A B) (A C). A nossa hipótese é que x A (B C), ou seja x A e x B C. Daí sabemos que x A e pelo fato que x B C tem dois casos possíveis: Primeiro caso: x B. Nesse caso como x A temos x A B. Segundo caso: x C. Nesse caso como x A temos x A C. Isso mostra que x (A B) (A C) e conclui essa parte. (2) Segunda inclusão: queremos mostrar que (A B) (A C) A (B C). Seja então x (A B) (A C). Queremos mostrar que x A (B C). Sabemos que x A B ou x A C. Logo temos dois casos: Primeiro caso: x A B. Nesse caso x A e x B. Como B B C temos também x B C logo x A (B C). Segundo caso: x A C. Nesse caso x A e x C. Como C B C temos também x B C logo x A (B C). Os dois casos levam ao resultado que queremos, logo a demostração desse item é terminada. A demonstração é terminada. O simbolo é lido se e somente se e é definido por (ou seja, se e somente se significa que as duas implicações valem simultaneamente). Proposição. Sejam A e B dois conjuntos. Então A B A B = B. Demonstração. Mostraremos as duas implicações. (1) Primeira implicação: A B A B = B. Suponha então A B. Queremos mostrar que A B = B. Para mostrar essa igualdade entre conjuntos precisamos mostrar as duas inclusões. Primeira inclusão: A B B. Seja então x A B. Precisamos mostrar que x B. Tem dois casos: x A ou x B. No segundo caso x B e acabou, no primeiro caso x A e como A B (que é a nossa hipótese) segue x B e acabou.

10 10 1. CONJUNTOS Segunda inclusão: B A B. Obvia (segue da definição de união). (2) Segunda implicação: A B = B A B. Suponha então A B = B. Queremos mostrar que A B. Para mostrar essa inclusão precisamos mostrar que se x A então x B. Seja então x A, em particular x A B (pois obviamente A A B), mas por hipótese A B = B logo x A B = B implica x B, como queriamos. A demonstração é terminada. Existe um conjunto, chamado de conjunto vazio, caracterizado pela propriedade de não conter elementos (ou de conter zero elementos ). É indicado por. O conjunto vazio representa o falso pois a proposição x é sempre falsa. Proposição. Se A é um conjunto qualquer A. Demonstração. Precisamos mostrar que se x então x A. Mas essa implicação é verdadeira (logicamente) pois a premessa x é falsa (veja a definição de implicação lógica). Exercícios. Mostrar as proposições seguintes envolvendo os conjuntos A, B, C. (1) A A = A. (2) A B A B. (3) A B se e somente se B c A c. (4) Defina A B = {a A : a B} (os elementos de A que não pertencem a B). Demonstre a versão de De Morgan em teoria de conjuntos, ou seja A (B C) = (A B) (A C). (5) A A =. (6) A (B C) = (A B) (A C). (7) Diga (justificando) se a igualdade seguinte é verdadeira ou falsa (se for falsa encontre um contra-exemplo): A (B C) = A (B C). (8) Dado um conjunto X seja P (X) = {A : A X} (o conjunto dos subconjuntos de X). Calcule P ( ), P ({ }) e P ({1, 2, 3}). Se X contem exatamente n elementos quantos elementos contem P (X)? 3. Funções Sejam X e Y dois conjuntos. Uma função entre X e Y é uma lei que associa a todo elemento x X um único elemento f(x) Y - escrevamos f : X Y, x f(x). O elemento f(x) é chamado de imagem do elemento x. O conjunto X é chamado de domínio da função f e o conjunto Y é chamado de contradomínio (ou codomínio ) da função f. A imagem de f é o conjunto Im(f) = f(x) = {f(x) : x X}.

11 3. FUNÇÕES 11 Por exemplo f : {1, 2} {a, b}, f(1) = a e f(2) = b define uma função. A imagem de f é {a, b}, é igual ao contradomínio. As outras funções possíveis entre {1, 2} e {a, b} são dadas pelas regras 1 b, 2 a: a imagem é {a, b}; 1 a, 2 a: a imagem é {a}; 1 b, 2 b: a imagem é {b}. Observe que nos últimos dois casos os elementos 1 e 2 têm a mesma imagem (a no primeiro caso, b no segundo). Em particular existem exatamente quatro funções possíveis {1, 2} {a, b}. Observe que nas últimas duas a imagem da função é diferente do contradomínio. Se f : X Y é uma função e A X, B Y, definimos (1) a imagem direta (imagem) de A é f(a) = {f(a) : a A}; (2) a imagem inversa (preimagem) de B é f 1 (B) = {x X : f(x) B}. Observe que a imagem direta de um conjunto não vazio é um conjunto não vazio (pois se a A então com certeza f(a) f(a)) mas a imagem inversa de um conjunto não vazio pode ser vazia (por exemplo f : R R definida por f(x) = x 2 satisfaz f 1 ({ 1}) = ). Por outro lado f( ) = e f 1 ( ) = para toda função f. Digamos que a função f : X Y é (1) injetiva se f(a) = f(b) implica que a = b, para todo a, b X. Em outras palavras elementos distintos têm imagens distintas: se a, b X são tais que a b então f(a) f(b). (2) sobrejetiva se para todo y Y existe x X tal que f(x) = y. Em outras palavras as imagens inversas dos elementos são não vazias. Em outras palavras a imagem de f é igual ao seu contradomínio. (3) bijetiva se é injetiva e sobrejetiva. Observe que se X e Y são conjuntos finitos e f : X Y é uma função bijetiva então X e Y têm o mesmo número de elementos (a mesma cardinalidade ). Exemplos. (1) Seja f : R R definida por f(x) = x 2. Se trata de uma função não injetiva (pois f( 1) = 1 = f(1)) e não sobrejetiva (pois não existe x R tal que f(x) = 1), e Im(f) = f(r) = [0, + ) = {y R : y 0}. Indicamos com [a, b] o intervalo fechado {x R : a x b}. Temos f([0, 1]) = [0, 1], f([ 1, 1]) = [0, 1], f([ 1, 0]) = [0, 1], f([1, 2]) = [1, 4], f 1 ([0, 1]) = [ 1, 1], f 1 ([1, 4]) = [ 2, 1] [1, 2], f 1 ({1}) = { 1, 1}, f 1 ([ 2, 1]) =.

12 12 1. CONJUNTOS (2) f : R [0, + ) definida por f(x) = x 2 é sobrejetiva. De fato se y [0, + ) então y R e f( y) = y. (3) f : [0, + ) [0, + ) definida por f(x) = x 2 é bijetiva. É injetiva pois se a 2 = b 2 com a, b 0 então a = b. É sobrejetiva pois se y [0, + ) então y [0, + ) e f( y) = y. (4) Seja f : R R definida por f(x) = 3 para todo x R. Se trata de uma função não injetiva (pois f(0) = 3 = f(1)), não sobrejetiva (pois por exemplo 0 R pertence ao contradomínio mas não existe x R tal que f(x) = 0), a imagem de f é Im(f) = f(r) = {3} e se A é um qualquer subconjunto não vazio de R então f(a) = {3}. (5) Lembre-se que Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...}. Seja f : Z Z definida por f(x) = x + 1. Se trata de uma função bijetiva: é injetiva pois se f(a) = f(b) então a + 1 = b + 1 logo a = b; é sobrejetiva pois se y Z então y 1 Z (!) e f(y 1) = (y 1) + 1 = y. (6) Lembre-se que N = {0, 1, 2, 3,...}. Seja f : N N definida por f(n) = n + 1. Se trata de uma função injetiva (pois se f(a) = f(b) então a + 1 = b + 1 logo a = b) e não sobrejetiva (pois não existe n N tal que f(n) = 0, um tal n seria 1 mas 1 N). (7) Seja f : R R definida por f(x) = 2x. Se trata de uma função bijetiva: é injetiva pois se f(a) = f(b) então 2a = 2b e dividindo por 2 obtemos a = b, e é sobrejetiva pois se y R então y/2 R (!) e f(y/2) = 2(y/2) = y. (8) Seja f : Z Z definida por f(x) = 2x. Se trata de uma função injetiva pois se f(a) = f(b) então 2a = 2b e dividindo por 2 obtemos a = b, e não sobrejetiva pois não existe x Z tal que f(x) = 1: um tal x teria que ser igual a 1/2 mas 1/2 Z. (9) Não existe nenhuma função bijetiva {1, 2} {1, 2, 3}. De fato dada uma qualquer função injetiva {1, 2} {1, 2, 3} as imagens de 1 e 2 serão exatamente dois elementos de {1, 2, 3} logo pelo menos um elemento do contradomínio fica sem preimagem. Na verdade, como já comentado, para que exista uma função bijetiva X Y os dois conjuntos X e Y devem ter o mesmo número de elementos (a mesma cardinalidade ). Proposição. Seja f : X Y uma função. Então f é injetiva se e somente se para todo subconjunto A, B de X temos f(a B) = f(a) f(b). Demonstração. Suponha f injetiva. Sejam A, B X. Queremos mostrar que f(a B) = f(a) f(b). A inclusão é obvia, pois se x A B então x A e x B logo f(x) f(a) e f(x) f(b) assim f(x) f(a) f(b). Mostraremos agora. Seja y f(a) f(b), assim existem a A e b B tais que f(a) = y e f(b) = y, logo f(a) = y = f(b) implica f(a) = f(b) e como f é injetiva (por hipótese) deduzimos a = b. Logo, a B assim a A B e y = f(a) implica y f(a B). Suponha que f(a B) = f(a) f(b) para todo A, B X. Mostraremos agora que f é injetiva. Sejam a, b X com a b: mostraremos que

13 4. RELAÇÕES 13 f(a) f(b). De fato sejam A = {a}, B = {b}. Temos A B =. Por hipótese f(a B) = f(a) f(b) (de fato por hipótese isso vale para todo A, B, em particular vale para A = {a} e B = {b}), por outro lado f(a B) = f( ) = logo f(a) f(b) =, o que implica que f(a) f(b) (se fosse f(a) = f(b) então seria f(a) = f(b) logo f(a) f(b) = f(a) ). Uma outra maneira de mostrar a segunda implicação era a seguinte: mostraremos que se f(a) = f(b) então a = b. Por contradição, suponha a b. Definindo A = {a} e B = {b} temos f(a) = {f(a)} = {f(b)} = f(b) logo f(a) f(b) = f(a), por outro lado f(a B) = f( ) = contradiz o fato que f(a B) = f(a) f(b) (verdadeiro por hipótese). Exercícios. (1) Conte as funções {1, 2} {1, 2, 3}. (2) Conte as funções injetivas, sobrejetivas e bijetivas de domínio {1, 2, 3} e contradomínio {1, 2, 3, 4}. (3) Suponha que X tenha exatamente n elementos e Y tenha exatamente m elementos. Conte as funções X Y, mostre que existe uma função injetiva X Y se e somente se n m, e que existe uma função sobrejetiva X Y se e somente se n m. (4) Mostre que se f : X Y é uma função e A, B Y então f 1 (A B) = f 1 (A) f 1 (B), f 1 (A B) = f 1 (A) f 1 (B). (5) Faça um exemplo de função f : X Y tal que existem A, B X tais que f(a B) f(a) f(b). (6) Mostre que f : X Y é injetiva se e somente se para todo A, B X temos f(a B) = f(a) f(b). (7) Mostre que se f : X Y é bijetiva então existe uma função g : Y X com a propriedade que g(f(x)) = x para todo x X e f(g(y)) = y para todo y Y (a mesma função g satisfaz as duas propriedades). 4. Relações Sejam A, B dois conjuntos. Se a A e b B, o par ordenado (a, b) é o conjunto {{a}, {a, b}} (Kuratowski). O elemento a é chamado de primeiro elemento de (a, b) e b é chamado de segundo elemento de (a, b). O produto cartesiano entre A e B é o conjunto dos pares ordenados A B = {(a, b) : a A, b B}. Uma relação entre A e B é um subconjunto R de A B. As funções são particulares relações, à função f : A B corresponde R = {(a, f(a)) : a A}. Seja A um conjunto. Uma relação sobre A é uma relação entre A e A, ou seja um subconjunto R do produto cartesiano A A. Se (a, b) R

14 14 1. CONJUNTOS digamos que a está em relação com b e escrevamos arb. Por exemplo se A = R então uma relação sobre A é um desenho no plano R 2, e as propriedades da relação as vezes podem ser enxergadas graficamente. Uma relação R sobre A é dita (1) Reflexiva se ara para todo a A. Graficamente: R contem a diagonal {(a, a) : a A}, ou seja a reta de equação y = x. (2) Simétrica se arb implica bra para todo a, b A. Graficamente: R é simétrica com respeito à diagonal. (3) Transitiva se arb e brc implica arc para todo a, b, c A. (4) Antissimétrica se arb e bra implica a = b para todo a, b A. Graficamente: se um par (a, b) em R está fora da diagonal o simétrico dele (com respeito à diagonal) não pertence a R. (5) Total se para todo a, b A temos arb ou bra. Graficamente: dado um qualquer par (a, b) ou ele pertence a R ou o simétrico dele (com respeito à diagonal) pertence a R. Exemplos. (1) A relação = sobre N é reflexiva (pois a = a para todo a), simétrica (pois se a = b então b = a), transitiva (pois se a = b e b = c então a = c) e antissimétrica (pois se a = b e b = a então a = b). Na verdade, se trata da única relação com essas quatro propriedades. De fato, se é uma relação reflexiva, simétrica, transitiva e antissimétrica então se a, b A e a b então b a sendo simétrica logo a = b sendo antissimétrica. Por outro lado a a para todo a A sendo R reflexiva. Isso implica que R = {(a, a) : a A}. É claro que = não é total (pois se a, b são dois elementos distintos então a b e b a). (2) A relação sobre N não é reflexiva (pois a a é sempre falso), é simétrica (pois se a b então b a), não é transitiva (pois se a b então a b e b a mas a = a) e não é antissimétrica (pois se a, b são distintos a b e b a). É claro que não é total porque a a é sempre falso. (3) A relação R = {(a, b) R R : a 2 + b 2 = 1} (o círculo unitário) é uma relação sobre R. Ela não é reflexiva (pois por exemplo ), é simétrica (pois se a 2 + b 2 = 1 então b 2 + a 2 = 1), não é antissimétrica (pois = 1 e = 1), não é transitiva (pois 1R0 e 0R1 mas 1 não é em relação com 1), não é total (pois 1 não é em relação com 2 e nem 2 com 1). (4) é uma relação sobre um qualquer conjunto A (pois é um subconjunto de A A). Ela é simétrica, transitiva, antissimétrica mas se A não for vazio então não é reflexiva e não é total. Isso é porque

15 4. RELAÇÕES 15 as propriedades de simetria, transitividade e antissimetria são definidas por meio de implicações (que são verdadeiras se a premissa for falsa!) enquanto a reflexividade e a totalidade são definidas impondo a existência de algum par na relação (logo não valem se a relação for vazia!). Por exemplo isso implica que uma relação (sobre um conjunto não vazio) total ou reflexiva com certeza é não vazia. Mas uma relação simétrica, transitiva ou antissimétrica pode ser vazia. (5) (menor ou igual) é uma relação sobre N. Ela é reflexiva (pois a a para todo a), transitiva (pois se a b e b c então a c), antissimétrica (pois se a b e b a então a = b) e total (pois para todo a, b N ou a b ou b a) mas não é simétrica (pois 1 2 mas 2 1). (6) < (menor estrito: ou seja < é igual a ) é uma relação sobre N. Ela é transitiva (pois se a < b e b < c então a < c) e antissimétrica (pois se a < b e b < a então a = b - implicação com premissa falsa é verdadeira) mas não é simétrica (pois 1 < 2 mas 2 não é menor que 1), não é reflexiva (pois a < a é sempre falso) e não é total (por exemplo 1 não é em relação com si mesmo). (7) Digamos que duas pessoas a, b da turma são em relação (arb) se elas têm o mesmo nome. Essa relação (sobre o conjunto das pessoas da turma) é reflexiva (pois cada pessoa tem o mesmo seu nome), simétrica (pois se a pessoa a tem o mesmo nome da pessoa b então a pessoa b tem o mesmo nome da pessoa a) e transitiva (pois se a, b têm o mesmo nome e b, c têm o mesmo nome então a, c têm o mesmo nome). Se existem duas pessoas na turma com o mesmo nome então R não é antissimétrica. R é total se e somente se todas as pessoas da turma têm o mesmo nome (o que normalmente é muito raro). Definição (Relação de equivalência). Uma relação de equivalência é uma relação R sobre um conjunto A que é reflexiva, simétrica e transitiva. A ideia é a seguinte: uma relação definida por meio de uma qualidade comum (por exemplo: dois objetos são em relação se tiverem a mesma cor, duas pessoas são em relação se tiverem o mesmo nome, ou a mesma idade) é uma relação de equivalência. Isso é formalizado pela proposição seguinte. Proposição. Seja f : X Y uma função. A relação R f definida sobre X por ar f b se e somente se f(a) = f(b) é uma relação de equivalência sobre X. R f é a relação de igualdade se e somente se f é injetiva. Demonstração. R f é reflexiva porque f(a) = f(a) para todo a X, é simétrica porque se f(a) = f(b) então é claro que f(b) = f(a), e é transitiva porque se f(a) = f(b) e f(b) = f(c) então f(a) = f(c). Se R f é a relação de igualdade então f(a) = f(b) se e somente se a = b, logo f é injetiva. Se

16 16 1. CONJUNTOS f é injetiva e ar f b então f(a) = f(b) logo a = b sendo f injetiva, assim R f é a relação de igualdade. Na verdade, todas as relações de equivalência são desse tipo. Para mostrar isso precisamos da noção de conjunto quociente. Definição (Conjunto quociente). Seja R uma relação de equivalência sobre o conjunto A. A classe de equivalência de a A é o conjunto [a] R := {b A : arb}. O conjunto quociente de R é o conjunto A/R := {[a] R : a A}. Por exemplo as classes de equivalência da relação de igualdade (chamamola R) são os conjuntos com um único elemento {a}, ou seja A/R = {{a} : a A}. Mais em geral se f : X Y é uma função, a classe de equivalência de a X via R f é [a] Rf = {b X : f(a) = f(b)} logo X/R f consiste das fibras f 1 (y) com y f(x) = Im(f), por exemplo se f : R R é definida por f(x) = x 2 então [a] Rf = {a, a} e R/R = {{a, a} : a R}. Um exemplo importante: defina a relação R sobre Z como segue: arb se e somente se a + b é par. Se trata de uma relação de equivalência: Reflexiva: se a Z então a + a = 2a é par. Simétrica: se a + b é par então b + a é par pois b + a = a + b. Transitiva: se a+b é par e b+c é par então a+c = (a+b)+(b+c) 2b é par pois é soma (algébrica) de números pares. Todo número inteiro é par ou impar. Se a Z é par então a + 0 é par logo ar0. Se a Z é impar então a + 1 é par logo ar1. Isso implica que existem exatamente duas classes de equivalência, ou seja Z/R = {[0] R, [1] R }. Se f : X Y e g : Y Z são duas funções, com o contradomínio de f igual ao domínio de g, a composição de g com f é a função g f : X Z definida por (g f)(x) := g(f(x)). Seja E uma relação de equivalência sobre o conjunto A. Existe uma função canônica, chamada de projeção canônica, definida por π E : A A/E, π E (a) := [a] E. É claro que E = R πe (pois aeb se e somente se [a] E = [b] E ). A projeção π E é uma função sobrejetiva (pois se [a] E A/E então π E (a) = [a] E ) que na verdade é o arquetipo de todas as funções sobrejetivas. Mais precisamente, Teorema (Teorema de isomorfismo). Se f : X Y é uma função sobrejetiva então a função τ : X/R f Y definida por τ([a] Rf ) := f(a) é bem definida, bijetiva e f = τ π Rf. Demonstração. τ é bem definida pois se [a] Rf = [b] Rf então ar f b ou seja f(a) = f(b), logo τ([a] Rf ) = τ([b] Rf ). É sobrejetiva pois se y Y então dado x X com f(x) = y (que existe pois f é sobrejetiva) temos

17 5. RESOLUÇÃO LISTAS DE EXERCÍCIOS 17 τ([x] Rf ) = f(x) = y, é injetiva pois se τ([a] Rf ) = τ([b] Rf ) então f(a) = f(b) logo [a] Rf = [b] Rf. Isso mostra que τ é bijetiva. Além disso f = τ π Rf pois τ(π Rf (a)) = τ([a] Rf ) = f(a). Exercícios. (1) Seja A = {0, 1, 2, 3, 4} e R = {(0, 1), (1, 2), (1, 4), (2, 2), (3, 4), (1, 1), (2, 1), (4, 0), (3, 3), (4, 2), (4, 4), (4, 3), (0, 4)}; é uma relação sobre A. Diga se é reflexiva, simétrica, transitiva, antissimétrica, total. (2) Seja A = {1, 2, 3, 4} e seja R = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 1)}, relação sobre A. Encontre uma relação transitiva (sobre A) contendo R. (3) Mostre que toda relação total é reflexiva. (4) Encontre uma relação total que não seja transitiva. (5) Considere a relação R sobre Z dada por arb se e somente se a b é um múltiplo de 3. Mostre que R é uma relação de equivalência. Quantas classes de equivalência tem? (6) Seja R a relação R f sobre o conjunto A = { 2, 0, 1, 2, 4} onde f : A R é definida por f(x) = (x + 1) 2. Calcule A/R. (7) Para cada uma das relações seguintes (sobre R) diga se é reflexiva, simétrica, transitiva, antissimétrica, total. (a) xry se e somente se xy 1. (b) xry se e somente se x 2 y 2. (c) xry se e somente se cos(xy) 0. (d) xry se e somente se y 2x. (8) Seja R uma relação de equivalência sobre Y e seja f : X Y uma função. Mostre que a relação sobre X definida por a b se e somente se f(a)rf(b) é uma relação de equivalência sobre X. (9) Seja R uma relação de equivalência sobre o conjunto A. Mostre que A é a união das classes de equivalência (ou seja para todo a A existe uma classe de equivalência que contem a) e que classes de equivalência distintas têm interseção vazia (ou seja se a, b A são tais que [a] R [b] R então [a] R [b] R = ). A gente fala que as classes de equivalência formam uma partição de A. (10) Mostre que toda função é uma composição de uma função sobrejetiva com uma função injetiva (β α onde α é sobrejetiva e β é injetiva). 5. Resolução listas de exercícios 5.1. Seção Lógica. Demonstrar os fatos seguintes para toda proposição P, Q.

18 18 1. CONJUNTOS (1) ( P ) (P Q). P Q P P Q ( P ) (P Q) V V F V V V F F V V F V V V V F F V F V (2) (P Q) (( P ) ( Q)). P Q P Q P Q ( P ) ( Q) (P Q) (( P ) ( Q)) V V F F V F V V F F V V V V F V V F V V V F F V V F V V (3) P P. (4) P (P Q). (5) (( P ) ( Q)) (P Q). P P P P V V V F F V P Q P Q P (P Q) V V V V V F V V F V V V F F F V P Q P Q ( P ) ( Q) P Q (( P ) ( Q)) (P Q) V V F F F V V V F F V F F V F V V F F V V F F V V V V V (6) (P Q) = (( Q) ( P )). P Q P Q P Q ( Q) ( P ) V V V F F V V F F F V F F V V V F V F F V V V V

19 (7) P Q = ( P ) ( Q). 5. RESOLUÇÃO LISTAS DE EXERCÍCIOS 19 P Q P Q P Q ( P ) ( Q) V V V F F V V F F F V F F V F V F F F F V V V V (8) (P Q) ((P Q) (( P ) ( Q))). Seja R essa proposição e seja S a proposição (P Q) (( P ) ( Q)). P Q P Q P Q P Q ( P ) ( Q) S R V V V F F V F V V V F F F V F F F V F V F V F F F F V F F V V V F V V V 5.2. Seção Conjuntos. Mostrar as proposições seguintes envolvendo os conjuntos A, B, C. (1) A A = A. Primeira inclusão: A A A, Se a A A então a A ou a A, logo a A. Segunda inclusão: A A A. Se a A então a A ou a A, logo a A A. (2) A B A B. Seja x A B, precisamos mostrar que x A B. Como x A B, com certeza x A logo x A B. (3) A B se e somente se B c A c. Primeira implicação. Suponha A B, quero mostrar que B c A c. Seja então x B c, assim x B, quero mostrar que x A c, ou seja x A. Por contradição se fosse x A então x B (pois A B por hipótese) e isso contradiz o fato que x B c. Segunda implicação. Suponha B c A c, quero mostrar que A B. Seja então x A, quero mostrar que x B. Por contradição se x B então x B c logo x A c (pois B c A c por hipótese) o que contradiz a hipótese que x A. (4) Defina A B = {a A : a B} (os elementos de A que não pertencem a B). Demonstre a versão de De Morgan em teoria de conjuntos, ou seja A (B C) = (A B) (A C). Primeira inclusão. Mostraremos que se x A (B C) então x (A B) (A C). Suponha então que x A (B C), daí x A e x B C. Para mostrar que x (A B) (A C) precisamos então mostrar que x B ou x C. Se isso for falso então x B e x C, daí x B C o que contradiz a hipótese. Segunda inclusão. Mostraremos que se x (A B) (A C) então x A (B C). Suponha então que x (A B) (A C), daí tem dois casos: x A B ou x A C. Em outras palavras

20 20 1. CONJUNTOS x A e tem dois casos: x B ou x C. Nos dois casos x B C. Logo x A (B C). (5) A A =. A inclusão A A é clara pois é subconjunto de todos os conjuntos. Para mostrar a outra inclusão A A = precisamos mostrar que se x A A então x. Tal implicação é verdadeira pois a premissa é falsa (x A A significa que x A e x A, o que é falso). (6) A (B C) = (A B) (A C). Primeira inclusão. Mostraremos que se x A (B C) então x (A B) (A C). Seja então x A (B C), daí x A ou x B C. No primeiro caso x A logo x A B e x A C assim x (A B) (A C). No segundo caso x B e x C, logo x A B e x A C assim x (A B) (A C). (7) Diga (justificando) se a igualdade seguinte é verdadeira ou falsa (se for falsa encontre um contra-exemplo): A (B C) = A (B C). É falsa, por exemplo sejam A = {1, 2, 3}, B = {1, 2}, C = {2, 3}. Daí B C = {1}, B C = A logo A (B C) = {2, 3} e A (B C) = A A =. (8) Dado um conjunto X seja P (X) = {A : A X} (o conjunto dos subconjuntos de X). Calcule P ( ), P ({ }) e P ({1, 2, 3}). Se X contem exatamente n elementos quantos elementos contem P (X)? O único subconjunto de é, logo P ( ) = { }. Os subconjuntos de { } são e { } logo P ({ }) = {, { }}. P ({1, 2, 3}) é dado por P ({1, 2, 3}) = {, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}. Se X contem exatamente n elementos então para construir um subconjunto de X temos que dizer, para todo x X, se x pertence ou não pertence ao subconjunto. Logo temos duas escolhas para cada elemento assim X tem exatamente 2 n subconjuntos, ou seja P (X) tem exatamente 2 n elementos Seção Funções. (1) Conte as funções {1, 2} {1, 2, 3}. Se f : {1, 2} {1, 2, 3} então para todo a {1, 2} o valor de f(a) pode ser 1, 2 ou 3. Em outras palavras tem 3 possibilidades para cada elemento do domínio, logo tem exatamente 3 3 = 9 funções {1, 2} {1, 2, 3}. (2) Conte as funções injetivas, sobrejetivas e bijetivas de domínio {1, 2, 3} e contradomínio {1, 2, 3, 4}. A imagem de uma qualquer função f : {1, 2, 3} {1, 2, 3, 4} é {f(1), f(2), f(3)} logo a imagem contem no máximo 3 elementos, em particular não pode ser igual ao contradomínio {1, 2, 3, 4}, assim

21 5. RESOLUÇÃO LISTAS DE EXERCÍCIOS 21 f não pode ser sobrejetiva, o que implica que não pode ser bijetiva. Falta contar as funções injetivas f : {1, 2, 3} {1, 2, 3, 4}. Primeiramente observe que se f é injetiva então {f(1), f(2), f(3)} tem exatamente 3 elementos, logo é um subconjunto de {1, 2, 3, 4} com 3 elementos. O conjunto {1, 2, 3, 4} contem exatamente 4 subconjuntos com 3 elementos, eles são {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4} e {2, 3, 4}, logo tem 4 possibilidades para Im(f). Para cada uma dessas possibilidades temos que contar as funções injetivas {1, 2, 3} {a, b, c} onde {a, b, c} é um qualquer subconjunto de {1, 2, 3, 4} com 3 elementos. Temos 3 escolhas para f(1) (ele pode ser a, b ou c), 2 escolhas para f(2) (ele pode ser a, b ou c mas não pode ser igual a f(1) pois f é injetiva) e 1 escolha para f(3) (ele pode ser a, b ou c mas não pode ser igual a f(1) e nem a f(2) pois f é injetiva). Logo temos = 6 possibilidades. Resumindo, temos 4 possibilidades para Im(f) e 6 possibilidades para a função {1, 2, 3} Im(f) induzida pela f, logo existem exatamente 4 6 = 24 funções injetivas {1, 2, 3} {1, 2, 3, 4}. (3) Suponha que X tenha exatamente n elementos e Y tenha exatamente m elementos. Conte as funções X Y, mostre que existe uma função injetiva X Y se e somente se n m, e que existe uma função sobrejetiva X Y se e somente se n m. Para construir uma função f : X Y precisamos escolher f(x) para cada um dos n elementos de X, e tem m escolhas para cada um deles. Logo tem exatamente m n funções X Y. Mostraremos agora que existe uma função injetiva X Y se e somente se n m. Primeira implicação. Se existe uma função injetiva f : X Y então a imagem f(x) é um conjunto com n elementos (se X = {x 1,..., x n } então f(x) = {f(x 1 ),..., f(x n )} tem n elementos pois os f(x i ) são dois a dois distintos, sendo f injetiva), logo como f(x) Y temos que n é no máximo o número de elementos de Y, ou seja m. Isso mostra que n m. Segunda implicação. Se n m então escrevendo X = {x 1,..., x n } e Y = {y 1,..., y m } a função f : X Y definida por f(x i ) := y i é bem definida (pois y 1,..., y n são elementos de Y sendo n m) e injetiva (pois os y i são dois a dois distintos). Mostraremos agora que existe uma função sobrejetiva X Y se e somente se n m Primeira implicação. Se existe uma função sobrejetiva X Y então escrevendo X = {x 1,..., x n } temos que a imagem f(x) = {f(x 1 ),..., f(x n )} tem no máximo n elementos, por outro lado Y = f(x) (pois f é sobrejetiva) e Y tem exatamente m elementos, e isso mostra que m n. Segunda implicação. Se n m então escrevendo X = {x 1,..., x n } e Y = {y 1,..., y m } a função f : X Y definida por f(x i ) := y i

22 22 1. CONJUNTOS para todo i = 1,..., m e f(x i ) := y 1 para todo i = m + 1,..., n é bem definida pois n m e é sobrejetiva pois se y i Y então f(x i ) = y i. (4) Mostre que se f : X Y é uma função e A, B Y então f 1 (A B) = f 1 (A) f 1 (B), f 1 (A B) = f 1 (A) f 1 (B). Mostraremos agora que f 1 (A B) = f 1 (A) f 1 (B). Em vez de mostrar as duas inclusões (o que seria correto) mostraremos que x f 1 (A B) se e somente se x f 1 (A) f 1 (B). Temos que x f 1 (A B) se e somente se f(x) A B se e somente se f(x) A e f(x) B se e somente se x f 1 (A) e x f 1 (B) se e somente se x f 1 (A) f 1 (B). Mostraremos agora que f 1 (A B) = f 1 (A) f 1 (B). Em vez de mostrar as duas inclusões (o que seria correto) mostraremos que x f 1 (A B) se e somente se x f 1 (A) f 1 (B). Temos que x f 1 (A B) se e somente se f(x) A B se e somente se f(x) A ou f(x) B se e somente se x f 1 (A) ou x f 1 (B) se e somente se x f 1 (A) f 1 (B). (5) Faça um exemplo de função f : X Y tal que existem A, B X tais que f(a B) f(a) f(b). Considere a função f : R R dada por f(x) := x 2. Sejam A = [0, + ) = {x R : x 0} e B = (, 0] = {x R : x 0}. Então é claro que f(a) = [0, + ) = f(x) e f(b) = [0, + ) = f(x) logo f(a) = f(b) assim f(a) f(b) =. Por outro lado A B = {0} logo f(a B) = f({0}) = {f(0)} = {0}. (6) Mostre que f : X Y é injetiva se e somente se para todo A, B X temos f(a B) = f(a) f(b). Primeira implicação. Suponha f : X Y injetiva e sejam A, B X. Para mostrar que f(a B) = f(a) f(b) mostraremos as duas inclusões. Primeira inclusão. Mostraremos que se x f(a B) então x f(a) f(b). Suponha então x f(a B), assim existe a A B tal que f(a) = x. Isso mostra que x f(a). Falta mostrar que x f(b). Por contradição se x f(b) então existe b B tal que x = f(b), assim f(a) = x = f(b) implica f(a) = f(b) logo a = b sendo f injetiva. Mas então a = b B o que contradiz a hipótese a A B. Segunda inclusão. Mostraremos que se x f(a) f(b) então x f(a B). Suponha então x f(a) f(b), em particular x f(a) logo existe a A tal que f(a) = x. Para concluir que x f(a B) basta então mostrar que a A B, ou seja que a B. Por contradição, se fosse a B então x = f(a) f(b), o que contradiz a hipótese x f(a) f(b). Segunda implicação. Suponha que f(a B) = f(a) f(b) para todo A, B X. Mostraremos agora que f é injetiva. Sejam então a, b X tais que f(a) = f(b), mostraremos que a = b.

23 5. RESOLUÇÃO LISTAS DE EXERCÍCIOS 23 Por contradição, suponha a b. Considere A = {a} e B = {b}. Por hipótese f(a B) = f(a) f(b) (pois tal hipótese vale para quaisquer A e B subconjuntos de X, em particular vale para A = {a} e B = {b}) mas A B = {a} (sendo a b) e f(a) = {f(a)} = {f(b)} = f(b) logo f(a) f(b) =, assim {f(a)} = f({a}) = f(a B) não é igual a f(a) f(b) =, o que é uma contradição. (7) Mostre que se f : X Y é bijetiva então existe uma função g : Y X com a propriedade que g(f(x)) = x para todo x X e f(g(y)) = y para todo y Y (a mesma função g satisfaz as duas propriedades). Suponha f : X Y bijetiva. Queremos construir uma g : Y X como no enunciado. Se y Y então existe x X tal que f(x) = y (pois f é sobrejetiva) e tal x é único pois se fosse f(x) = y = f(z) então x = z sendo f injetiva. Logo faz sentido definir g(y) := x, ou seja g(y) é o único elemento x X tal que f(x) = y. Assim por construção temos g(f(x)) = x. Por outro lado f(g(y)) = f(x) onde x é o único elemento de X tal que f(x) = y, logo f(g(y)) = f(x) = y Seção Relações. (1) Seja A = {0, 1, 2, 3, 4} e R = {(0, 1), (1, 2), (1, 4), (2, 2), (3, 4), (1, 1), (2, 1), (4, 0), (3, 3), (4, 2), (4, 4), (4, 3), (0, 4)}; é uma relação sobre A. Diga se é reflexiva, simétrica, transitiva, antissimétrica, total. R não é reflexiva pois (0, 0) R, não é simétrica pois (0, 1) R mas (1, 0) R, não é transitiva pois (3, 4) R, (4, 0) R mas (3, 0) R, não é antissimétrica pois (1, 2) R e (2, 1) R, e não é total pois (2, 3) R e (3, 2) R. (2) Seja A = {1, 2, 3, 4} e seja R = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 1)}, relação sobre A. Encontre uma relação transitiva (sobre A) contendo R. Uma resposta fácil (e correta) seria: a relação A A é transitiva e contem R. Mas tentamos encontrar a menor relação transitiva que contem R. Para construir uma relação transitiva S contendo R precisamos adicionar os pares que vêm da transitividade. Por exemplo como (1, 2) R e (2, 3) R temos que ter (1, 3) S. Pela estrutura cíclica de R temos que os pares asa para todo a A, por exemplo 1S1 pois 1R2R3R4R1, 2S2 pois 2R3R4R1R2, etc. Pela mesma razão todos os pares (a, b) pertencem a S, por exemplo 4S2 pois 4R1R2, 4S3 pois 4R1R2R3, etc. Isso mostra que a menor relação transitiva que contem R é A A. (3) Mostre que toda relação total é reflexiva. Uma relação R sobre A é dita total se para todo a, b A temos arb ou bra. Escolhendo a = b obtemos que para todo a A temos ara ou ara, ou seja ara é verdadeiro para todo a A, ou seja R é reflexiva.

24 24 1. CONJUNTOS (4) Encontre uma relação total que não seja transitiva. Sejam A = {1, 2, 3} e R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 3), (3, 1)}. Se trata de uma relação total mas não é transitiva pois 1R2 e 2R3 mas 1 não é em relação com 3. (5) Considere a relação R sobre Z dada por arb se e somente se a b é um múltiplo de 3. Mostre que R é uma relação de equivalência. Quantas classes de equivalência tem? R é reflexiva pois se a Z então a a = 0 é um múltiplo de 3. R é simétrica pois se a b é um múltiplo de 3 então b a = (a b) também é um múltiplo de 3. R é transitiva pois se a b e b c são múltiplos de 3 então existem inteiros r, s com a b = 3r e b c = 3s assim a c = (a b) + (b c) = 3r + 3s = 3(r + s) é um múltiplo de 3. Se a Z então tem três possibilidades: a é um múltiplo de 3, a 1 é um múltiplo de 3 ou a 2 é um múltiplo de 3. Logo ar0, ar1 ou ar2. Isso mostra que Z/R = {[0] R, [1] R, [2] R }. Assim existem exatamente três classes de equivalência. (6) Seja R a relação R f sobre o conjunto A = { 2, 0, 1, 2, 4} onde f : A R é definida por f(x) = (x + 1) 2. Calcule A/R. Temos f( 2) = f(0) = 1, f(1) = 4 e f(2) = f( 4) = 9, logo A/R = {{ 2, 0}, {1}, { 4, 2}} = {[0] R, [1] R, [2] R }. (7) Para cada uma das relações seguintes (sobre R) diga se é reflexiva, simétrica, transitiva, antissimétrica, total. (a) xry se e somente se xy 1. Não é reflexiva pois (1/2)(1/2) 1, é simétrica pois xy 1 se e somente se yx 1 (sendo xy = yx), não é transitiva pois (1/2)R2, 2R(1/2) mas 1/2 não é em relação com 1/2, não é antissimétrica pois (1/2)R2 e 2R(1/2), não é total pois (1/2)(1/2) 1. (b) xry se e somente se x 2 y 2. É reflexiva pois x 2 x 2 para todo x, não é simétrica pois mas , é transitiva pois se x 2 y 2 e y 2 z 2 então x 2 z 2, não é antissimétrica pois 1 2 ( 1) 2, ( 1) mas 1 1, é total pois se x, y R então x 2 y 2 ou y 2 x 2. (c) xry se e somente se cos(xy) 0. Não é reflexiva pois cos( π π) = 1 logo ( π, π) R, é simétrica pois cos(xy) 0 se e somente se cos(yx) 0 (pois xy = yx), não é transitiva pois πr0, 0R π mas π não é em relação com π, não é antissimétrica pois 1R0 e 0R1 (sendo cos(0) = 1 0), não é total porque cos( π π) = 1. (d) xry se e somente se y 2x. Não é reflexiva pois logo 1 não é em relação com 1, não é simétrica pois 1R2 mas 2 não é em relação com 1, não é transitiva pois ( 2)R( 3) e ( 3)R( 5) mas é falso que ( 2)R( 5), não é antissimétrica pois ( 1)R( 2) e ( 2)R( 1), não é total pois 1 não é em relação com 1.

25 6. RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA 25 (8) Seja R uma relação de equivalência sobre Y e seja f : X Y uma função. Mostre que a relação sobre X definida por a b se e somente se f(a)rf(b) é uma relação de equivalência sobre X. Reflexividade. Precisamos mostrar que se a X então a a, ou seja f(a)rf(a). Mas isso é verdade pois R é reflexiva. Simetria. Precisamos mostrar que se a, b X e a b então b a, ou seja se f(a)rf(b) então f(b)rf(a), mas isso é verdade pois R é simétrica. Transitividade. Precisamos mostrar que se a, b, c X e a b e b c então a c, ou seja se f(a)rf(b) e f(b)rf(c) então f(a)rf(c), mas isso é verdade pois R é transitiva. (9) Seja R uma relação de equivalência sobre o conjunto A. Mostre que A é a união das classes de equivalência (ou seja para todo a A existe uma classe de equivalência que contem a) e que classes de equivalência distintas têm interseção vazia (ou seja se a, b A são tais que [a] R [b] R então [a] R [b] R = ). A gente fala que as classes de equivalência formam uma partição de A. Se a A é claro que a [a] R pois ara (sendo R reflexiva), logo A é união das classes de equivalência. Agora sejam [a] R [b] R e vamos mostrar que [a] R [b] R =. Se por contradição existe x [a] R [b] R então arx e brx, daí xrb sendo R simétrica, logo arx e xrb implicam arb ou seja [a] R = [b] R, contradição. Segue uma demonstração do fato que arb se e somente se [a] R = [b] R. Primeira implicação. Se arb então bra sendo R simétrica logo para mostrar [a] R = [b] R basta mostrar a inclusão [a] R [b] R. Seja então x [a] R, daí arx, logo xra sendo R simétrica, agora xra e arb implicam xrb por transitividade logo brx por simetria, daí x [b] R. Segunda implicação. Se [a] R = [b] R então b [a] R logo arb. (10) Mostre que toda função é uma composição de uma função sobrejetiva com uma função injetiva (β α onde α é sobrejetiva e β é injetiva). Seja f : X Y uma função e considere α : X f(x) e β : f(x) Y definidas por α(x) := f(x) e β(y) := y. Daí é claro que α é sobrejetiva, β é injetiva e β(α(x)) = β(f(x)) = f(x) logo β α = f. 6. Relações de equivalência Seja E uma relação sobre o conjunto X. E é dita equivalência (ou relação de equivalência ) se ela é reflexiva, simétrica e transitiva. Nesse caso dois elementos em relação são ditos equivalentes e dado x X a classe de equivalência de x via E é o conjunto [x] E := {a X : xea}. Proposição. Seja E uma equivalência sobre X. Se a, b X então aeb se e somente se [a] E = [b] E. Além disso, as classes de equivalência

26 26 1. CONJUNTOS formam uma partição de X, ou seja x X [x] E = X e se [a] E [b] E então [a] E [b] E =. Demonstração. Sejam a, b X. Mostraremos que se aeb então [a] E = [b] E. Suponha então aeb, e vamos mostrar as duas inclusões. Primeira inclusão. Se x [a] E então aex logo xea sendo E simétrica, por outro lado aeb por hipótese logo xeb sendo E transitiva, daí bex sendo E simétrica logo x [b] E. Segunda inclusão. Se x [b] E então bex então lembrando da hipótese aeb deduzimos aex sendo E transitiva, logo x [a] E. Mostraremos que se [a] E = [b] E então aeb. Suponha então [a] E = [b] E. Como E é reflexiva, beb logo b [b] E, por outro lado [a] E = [b] E, daí b [a] E logo aeb por definição de classe de equivalência. Mostraremos que x X [x] E = X, ou seja que todo elemento pertence a uma das classes de equivalência. Isso é fácil: se x X temos xex pois E é reflexiva logo x [x] E. Mostraremos que se [a] E [b] E então [a] E [b] E =. Suponha então [a] E [b] E e por contradição [a] E [b] E, seja então x [a] E [b] E. Temos aex e bex, logo xeb por simetria, daí aeb por transitividade, logo [a] E = [b] E pelo item acima, o que contradiz a hipótese [a] E [b] E. Lembre-se que se f : X Y é uma qualquer função então a relação R f sobre X definida por ar f b se e somente se f(a) = f(b) é uma relação de equivalência (a relação de equivalência induzida pela f). Seja E uma relação de equivalência sobre o conjunto X. Existe uma função canônica, chamada de projeção canônica, definida por π E : X X/E, π E (x) := [x] E. É claro que E = R πe (pois, como provado acima, aeb se e somente se [a] E = [b] E, ou seja π E (a) = π E (b)). Isso mostra que toda relação de equivalência tem a forma R f para alguma função f (especificamente, toda relação de equivalência é induzida - no sentido acima - pela sua projeção canônica) A projeção π E é uma função sobrejetiva (pois se [a] E X/E então π E (a) = [a] E ) que na verdade é o arquetipo de todas as funções sobrejetivas. Mais precisamente, Teorema (Teorema de isomorfismo: representantes canônicos). Se f : X Y é uma função sobrejetiva então a função τ : X/R f Y definida por τ([a] Rf ) := f(a) é bem definida, bijetiva e f = τ π Rf. Demonstração. τ é bem definida pois se [a] Rf = [b] Rf então ar f b ou seja f(a) = f(b), logo τ([a] Rf ) = τ([b] Rf ). É sobrejetiva pois se y Y então dado x X com f(x) = y (que existe pois f é sobrejetiva) temos τ([x] Rf ) = f(x) = y, é injetiva pois se τ([a] Rf ) = τ([b] Rf ) então f(a) = f(b) logo [a] Rf = [b] Rf. Isso mostra que τ é bijetiva. Além disso f = τ π Rf pois τ(π Rf (a)) = τ([a] Rf ) = f(a).

27 6. RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA 27 Observe que: uma função f : X Y é bem definida se a = b implica f(a) = f(b) (não confunda com função injetiva, que é definida pela implicação contraria). Seja E uma relação de equivalência. Quando escrevemos uma classe como [x] E estamos escolhendo o representante x para escrever a classe. Todos os elementos de [x] E são representantes da classe [x] E (pois se y [x] E então [y] E = [x] E ) mas as vezes é bom escolher representantes especiais para simplificar o entendimento do conjunto quociente. Ou seja, é útil escolher representantes canônicos. Escolhido um conjunto Y de representantes canônicos, a função X Y que associa a cada elemento x o representante canônico da classe [x] E induz uma bijeção X/E Y via o teorema de isomorfismo. Congruências modulares. Agora examinaremos um exemplo muito importante de relação de equivalência. Seja X = Z o conjunto dos números inteiros. Se a, b Z digamos que a divide b se existe c Z tal que ac = b. Assim por exemplo 3 divide 6 (pois 6 = 3 2), 14 divide 42 (pois 42 = ( 14) ( 3)) e 1429 divide 0 (pois 0 = ). Seja n um inteiro positivo. Defina a relação n sobre Z (ou simplesmente se n for subentendido) por a n b se e somente se n divide a b. Se a n b digamos que a e b são congruentes módulo n. Se trata de uma relação de equivalência: (1) Reflexividade. Se a Z então n divide a a = 0 pois 0 = 0 n. (2) Simetria. Se n divide a b então existe d inteiro com a b = nd logo b a = (a b) = nd = n( d) daí n divide b a. (3) Transitividade. Se n divide a b e n divide b c então escrevendo a b = ns e b c = nt com s, t inteiros obtemos a c = (a b) + (b c) = ns + nt = n(s + t). Logo n divide a c. Proposição (Divisão com resto). Sejam m, d inteiros, com d 0. Existem únicos inteiros q, r com 0 r < d tais que m = qd + r. Demonstração. Seja A o conjunto {m qd : q Z}. Seja r o menor inteiro não negativo pertencente a A (tal r existe pois existem inteiros não negativos pertencentes a A, de fato escolhendo q = m d obtemos m + m d 2 0). Escreva r = m qd. Observe que 0 r < d, de fato r 0 por definição e se fosse r d então 0 r d < r e r d A (de fato r d = m qd d = m (q ± 1)d) e isso contradiz a minimalidade de r. Precisamos mostrar a unicidade de q e r. Se r e q são inteiros com 0 r < d e m = q d+r então qd+r = m = q d+r logo d(q q ) = r r, mas d < r r < d (pois 0 r < d e 0 r < d ), por outro lado d divide r r logo r = r. Daí qd + r = q d + r logo qd = q d e dividindo por d obtemos q = q.