Raciocínio Lógico Prof. Bruno Villar

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1 Escrivão e Agente de Polícia Raciocínio Lógico Prof. Bruno Villar

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3 Raciocínio Lógico Professor Bruno Villar

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5 Edital RACIOCÍNIO LÓGICO: Estruturas lógicas. Lógica de argumentação: analogias, inferências, deduções e conclusões. Lógica sentencial (ou proposicional). Proposições simples e compostas. Tabelas Verdade. Equivalências. Leis de Morgan. Diagramas lógicos. Lógica de primeira ordem. BANCA: Cespe CARGO: Escrivão e Agente de Polícia

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7 Raciocínio Lógico RACIOCÍNIO LÓGICO Tema: Proposições Noções preliminares A proposição lógica é alicerce da construção do conhecimento da lógica proposicional. Para entendermos o conceito de proposição lógica, é necessário termos uma noção básica de frases. Vamos relembrar juntos? Definição: Frase é qualquer enunciado (curto ou longo) que estabelece uma comunicação. As frases são divididas em cincos tipos, de acordo com a gramática tradicional. Declarativa: O enunciado é afirmativo ou negativo e termina em ponto (.) ou em reticências (...). Exemplos: A lua é um satélite natural. (Frase declarativa afirmativa) Jorge não é paraibano. (Frase declarativa negativa) Imperativa: O enunciado apresenta um tom de ordem, pedido, súplica, exortação, advertência, etc. Verbos no imperativo (afirmativo ou negativo) marcam tal tipo de frase, a qual termina em ponto (.), ponto de exclamação (!) ou reticências (...). Exemplos: Faça seu trabalho corretamente. Quando for à Salvador, visite o pelourinho. Interrogativa: O enunciado apresenta um questionamento direto ou indireto e termina em ponto de interrogação (?) se a indagação for direta e em ponto (.), se for indireta. Exemplos: Qual o melhor livro de Raciocínio Lógico? Não sei onde ele pode estar. Dica: O exemplo acima é uma interrogativa indireta, pois é possível realizar uma pergunta direta com a frase onde ele pode estar (?). 7

8 Exclamativa: O enunciado exprime um sentimento e uma altissonância (Produz um som alto ou intenso); termina em ponto de exclamação(!) Exemplos: Que alegria! Meus pêsames! Optativa: O enunciado exprime um desejo e termina em ponto (.) ou ponto de exclamação (!). Exemplos: Sucesso, viu! Deus te ouça, meu amor! Proposição lógica Definição: Proposição é toda sentença declarativa (com sujeito e predicado) à qual pode se atribuir, sem ambiguidade, apenas um valor lógico: verdadeiro (V) ou falso (F). Exemplos: O sol é uma estrela. 8 é divisível por 4. João é paulista. As proposições lógicas dividem-se em: proposição fechada (proposição lógica) e proposição aberta ( sentença aberta ). A proposição lógica é chamada de proposição fechada, pois o valor do enunciado está definido. Proposição Aberta ou Sentença aberta Definição: Sentença aberta é uma sentença cujo resultado (falso ou verdadeiro) é desconhecido por conter pelo menos um elemento indefinido. Caso 1: pronome Exemplo: x + 2 = 5 Caso 2: Variável Matemática Exemplo: Ele é alto. 8

9 Polícia Federal - Escrivão e Agente de Polícia Raciocínio Lógico Prof. Bruno Villar Resumo: Proposição fechada = proposição lógica. Obs.: Tem valor lógico. PROPOSIÇÃO Proposição aberta = sentença aberta. Obs.: Não é uma proposição lógica, pois possui valor indefinido Treinamento 1. (CESPE) Na lista de frases apresentadas a seguir, há exatamente três proposições. (I) A frase dentro destas aspas é uma mentira. (II) A expressão X + Y é positiva. (III) O valor de = 7 (IV) Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira. (V) O que é isto? Entende-se por proposição todo conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo, isto é, que afirmam fatos ou exprimem juízos a respeito de determinados entes. Na lógica bivalente, esse juízo, que é conhecido como valor lógico da proposição, pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), sendo objeto de estudo desse ramo da lógica apenas as proposições que atendam ao princípio da não contradição, em que uma proposição não pode ser simultaneamente verdadeira e falsa; e ao princípio do terceiro excluído, em que os únicos valores lógicos possíveis para uma proposição são verdadeiro e falso. Com base nessas informações, julgue o item a seguir. 2. A frase Que dia maravilhoso! consiste em uma proposição objeto de estudo da lógica bivalente. 9

10 3. (CESPE TCE-AC) Na lista de frases a seguir, há exatamente 2 proposições. (I) Esta frase é falsa. (II) O TCE/AC tem como função fiscalizar o orçamento do estado do Acre. (III) Quantos são os conselheiros do TCE/AC? 4. (CESPE MPE-TO) Na lista abaixo, há exatamente três proposições. (1) Faça suas tarefas. (2) Ele é um procurador de justiça muito competente. (3) Celina não terminou seu trabalho. (4) Esta proposição é falsa. (5) O número é uma potência de 2. Texto para as questões 5 a 7 Uma proposição é uma sentença afirmativa ou negativa que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F), mas não como ambas. Nesse sentido, considere o seguinte diálogo: (1) Você sabe dividir? perguntou Ana. (2) Claro que sei! respondeu Mauro. (3) Então, qual é o resto da divisão de onze milhares, onze centenas e onze por três? perguntou Ana. (4) O resto é dois. respondeu Mauro, após fazer a conta. (5) Está errado! Você não sabe dividir. respondeu Ana. A partir das informações e do diálogo acima, julgue os itens que se seguem. 5. A frase indicada por (3) não é uma proposição. 6. A sentença (5) é F. 7. A frase (2) é uma proposição. 10

11 Polícia Federal - Escrivão e Agente de Polícia Raciocínio Lógico Prof. Bruno Villar Tema: Princípios fundamentais da lógica Princípio da Identidade: Todo objeto é idêntico a si mesmo, isto é, uma proposição verdadeira é sempre verdadeira e uma proposição falsa é sempre falsa. Princípio da não contradição: Uma proposição não pode ser simultaneamente verdadeira e falsa. Princípio do Terceiro Excluído: Toda proposição ou é só verdadeira ou é só falsa, nunca ocorrendo um terceiro caso. 8. (CESPE) Segundo os princípios da não contradição e do terceiro excluído, a uma proposição pode ser atribuído um e somente um valor lógico. 9. (CESPE) Toda proposição lógica pode assumir no mínimo dois valores lógicos. Tema: Classificação das proposições As proposições podem ser simples ou compostas. Proposição simples ou atômica: É uma frase declarativa que expressa um pensamento completo acerca de um objeto, isto é, que possui um único objeto de estudo. Indicaremos tais proposições por letras minúsculas do nosso alfabeto. Exemplos: p: O México fica na América do Norte. Proposição composta ou molecular: É formada por duas ou mais proposições relacionadas pelos conectivos lógicos. Serão indicadas por letras maiúsculas do nosso alfabeto. P: João é alto e André e baixo. 11

12 Se liga! A banca de cursos Cespe (UNB), nos concursos do Sebrae e do STF, ano de 2008, considerou proposições simples as frases: Pedro e Paulo são analistas do Sebrae. O orgulho e a vaidade são as portas de entrada da ruína do homem. Fique esperto: a banca Cespe, quando a frase tem dois sujeitos e o mesmo predicado, a considera como sendo uma proposição simples, até a presente data. Comentário: confesso que demorei a compreender o motivo que permitia a estimada examinadora considerar que a proposição Pedro e Paulo são analistas do Sebrae é um exemplo de proposição simples. No livro Órganon, de Aristóteles, temos uma definição de proposição simples da seguinte forma: As proposições simples são as que indicam um fato singular (uno) ou que são singulares (unas) em virtude de uma conjunção. Proposições múltiplas ou compostas são as que indicam não unidade, mas multiplicidade, ou que apresentam suas partes sem conjunção Treinamento 10. (CESPE 2014) Julgue o item que se segue, relacionado à lógica proposicional. A sentença O reitor declarou estar contente com as políticas relacionadas à educação superior adotadas pelo governo de seu país e com os rumos atuais do movimento estudantil é uma proposição lógica simples. 11. (CESPE 2014) Julgue o item que se segue, relacionado à lógica proposicional. A sentença O sistema judiciário igualitário e imparcial promove o amplo direito de defesa do réu ao mesmo tempo que assegura uma atuação investigativa completa por parte da promotoria é uma proposição lógica composta. 12. (CESPE MTE 2013) A sentença O crescimento do mercado informal, com empregados sem carteira assinada, é uma consequência do número excessivo de impostos incidentes sobre a folha de pagamentos pode ser corretamente representada, como uma proposição composta, na forma P Q, em que P e Q sejam proposições simples convenientemente escolhidas. 12

13 Polícia Federal - Escrivão e Agente de Polícia Raciocínio Lógico Prof. Bruno Villar 13. (CESPE 2014) Considerando os conectivos lógicos usuais e que as letras maiúsculas representem proposições lógicas simples, julgue o item seguinte acerca da lógica proposicional. A sentença Os candidatos aprovados e nomeados estarão subordinados ao Regime Jurídico Único dos Servidores Civis da União, das Autarquias e das Fundações Públicas Federais é uma proposição lógica composta. 14. (CESPE 2016) Com relação a lógica proposicional, julgue o item subsequente. Na lógica proposicional, a oração Antônio fuma 10 cigarros por dia, logo a probabilidade de ele sofrer um infarto é três vezes maior que a de Pedro, que é não fumante representa uma proposição composta. 15. (CESPE 2016) Julgue o item a seguir, relativos a raciocínio lógico e operações com conjuntos. A sentença Bruna, acesse a Internet e verifique a data da aposentadoria do Sr. Carlos! é uma proposição composta que pode ser escrita na forma p q. Tema: negação de uma proposição simples Definição: a negação de uma proposição é mudança do valor lógico, sem perder o sentido. A forma simbólica da negação é p ou p (banca Cespe). p V F p F V Caso 01: A frase não possui o advérbio não. p: Salvador tem praia. p : Salvador não tem praia. Outras formas de negar essa mesma proposição são: Não é verdade que Salvador tem praia. É falso que Salvador tem praia. 13

14 Caso 02: A frase possui o advérbio não. Dica: É só retirar o advérbio não. q: O Brasil não é um país do continente americano. q : O Brasil é um país do continente americano. Caso 03: Utilização de antônimos. p : Mário é alto. p : Mário não é alto. p : Mario é baixo. Caso 04: Negação dos símbolos matemáticos. p Exemplos: p = < > > < p : = 5 p: q: Maria tem mais de 20 anos trabalhando no INSS. q : Maria não tem mais de 20 anos trabalhando no INSS. (Forma simples, porém pouco utilizada) q : Maria tem de 20 anos ou menos trabalhando no INSS. (Forma mais cobrada em prova) Caso 5: negação de proposições contendo quantificador ou segunda lei de Morgan. 1ª situação: quantificador universal afirmativo (Todo) Dica: A regra da negação é utilizar o algum (pelo menos um ou existe) mais a negação da frase. p: Todo homem é mortal. p : Algum um homem não é mortal. 14

15 Polícia Federal - Escrivão e Agente de Polícia Raciocínio Lógico Prof. Bruno Villar Outras opções: p : Pelo menos um homem que não é mortal. p : Existe um homem que não é mortal. p : Nem todo homem é mortal 2ª situação: quantificador existencial ( algum = existe = pelo menos um ) Dica: para negar o quantificador existe ( algum ) temos duas opções: 1ª Trocar pelo quantificador todo e escrever a negação da sentença. 2ª Porém, se utilizarmos o quantificador nenhum, a sentença deverá ser mantida. p: Existem homens que são sábios. p : Todos os homens não são sábios. P : Nenhum homem é sábio. 3ª Situação: quantificador universal negativo ( nenhum ) Dica: no caso de negar o quantificador nenhum ou ninguém, o único quantificador utilizado é o existe ( algum ou alguém ). p: Nenhum A é B. p : Algum A é B. 15

16 Treinamento 16. (CESPE 2014) Julgue o item seguinte, acerca da proposição P: Quando acreditar que estou certo, não me importarei com a opinião dos outros. Uma negação correta da proposição Acredito que estou certo seria Acredito que não estou certo. 17. (CESPE PF 2009) Se A for a proposição "Todos os policiais são honestos", então a proposição A estará enunciada corretamente por "Nenhum policial é honesto". 18. (CESPE PC-CE 2012) A negação da proposição Toda pessoa pobre é violenta é equivalente a Existe alguma pessoa pobre que não é violenta. 19. (CESPE PC-CE 2012) Considerando que Jorge não seja pobre, mas pratique atos violentos, é correto afirmar que Jorge é um contraexemplo para a afirmação: Todo indivíduo pobre pratica atos violentos. 20. (CESPE) Os jogadores do Estrela Futebol Clube são craques. Assinale a opção correspondente à negação da frase acima. a) Nenhum jogador do Estrela Futebol Clube é craque. b) Quase todos os jogadores do Estrela Futebol Clube não são craques. c) Existe algum jogador do Estrela Futebol Clube que não é craque. d) Apenas alguns jogadores do Estrela Futebol Clube são craques. 21. (CESPE PF 2014) Ao planejarem uma fiscalização, os auditores internos de determinado órgão decidiram que seria necessário testar a veracidade das seguintes afirmações: P: Os beneficiários receberam do órgão os insumos previstos no plano de trabalho. Q: Há disponibilidade, no estoque do órgão, dos insumos previstos no plano de trabalho. R: A programação de aquisição dos insumos previstos no plano de trabalho é adequada. A respeito dessas afirmações, julgue o item seguinte, à luz da lógica sentencial. A negação da afirmação Q pode ser corretamente expressa por Não há disponibilidade, no estoque do órgão, dos insumos não previstos no plano de trabalho. 16

17 Polícia Federal - Escrivão e Agente de Polícia Raciocínio Lógico Prof. Bruno Villar Tema: Operadores lógicos Disjunção Dadas duas proposições p e q, chama-se disjunção de p e q a proposição p q (lê-se: p ou q). Exemplo: 1. p: O sol é uma estrela. q: O céu é azul. p q: O sol é uma estrela ou céu é azul. Seguem outras formas filosóficas de escrever a forma p q: p q: p ou q P ou q ou ambos P e/ou q (documentos legais) Estudo da tabela da disjunção inclusiva p q p v q V V V V F V F V V F F F Treinamento 22. (CESPE) A proposição Esta prova não está difícil ou eu estudei bastante pode ser corretamente representada por P Q. 23. (CESPE) Considere como verdadeira a seguinte proposição (hipótese): Joana mora em Guarapari ou Joana nasceu em Iconha. Então concluir que a proposição Joana mora em Guarapari é verdadeira constitui um raciocínio lógico correto. 17

18 Disjunção exclusiva Dadas duas proposições p e q, chama-se disjunção de p e q a proposição p v q (lê-se: ou p ou q). Transmite uma ideia de exclusão, isto é, conjuntos disjuntos (sem elementos comuns). Exemplo: Ou Bruno é baiano ou Bruno é paraibano. p q p v q V V F V F V F V V F F F Conjunção Dadas duas proposições p e q, chama-se conjunção de p e q a proposição p q (lê-se: p e q). A conjunção p q será verdadeira quando p e q forem ambas verdadeiras; e será falsa nos outros casos. Exemplo: 1) p: O sol é uma estrela. q: A lua é um satélite. P q: O sol é uma estrela e a lua é um satélite. Fique esperto! A expressão p q também pode ser escrita nas seguintes formas: p e q p, mas q p, porém q Tanto p como q p, apesar de q p,q Em provas de concurso, já foram cobradas as seguintes formas: p e q p, mas q Tanto p como q 18

19 Polícia Federal - Escrivão e Agente de Polícia Raciocínio Lógico Prof. Bruno Villar Estudo da tabela da conjunção p q p q V V V V F F F V F F F F Treinamento 24. (CESPE 2013) Julgue os itens subsequentes, relacionados a lógica proposicional. A sentença Quem é o maior defensor de um Estado não intervencionista, que permite que as leis de mercado sejam as únicas leis reguladoras da economia na sociedade: o presidente do Banco Central ou o ministro da Fazenda? é uma proposição composta que pode ser corretamente representada na forma (P Q) R, em que P, Q e R são proposições simples convenientemente escolhidas. 25. Com relação às proposições lógicas, julgue o próximo item. A frase O perdão e a generosidade são provas de um coração amoroso estará corretamente representada na forma P Q, em que P e Q sejam proposições lógicas convenientemente escolhidas. 26. (CESPE 2014) Considerando que P seja a proposição Não basta à mulher de César ser honesta, ela precisa parecer honesta, julgue os itens seguintes, acerca da lógica sentencial. Se a proposição Basta à mulher de César ser honesta for falsa e a proposição A mulher de César precisa parecer honesta for verdadeira, então a proposição P será verdadeira. 19

20 Condicional Dadas duas proposições p e q, a proposição se p, então q, que será indicada por p q, é chamada de condicional. Exemplo: 1) p: Mário é inocente. q: Jorge é culpado. p q: Se Mário é inocente, então Jorge é culpado. Se Mário é inocente, Jorge é culpado. Fique esperto! As outras formas filosóficas de escrever a condicional são: Se p, então q p implica q p é suficiente para q q é necessário para p p consequentemente q Quando p, q No caso de p, q q, contanto p q, se p q, no caso de p Todo p é q. P, logo q Já foram cobradas as formas: p implica q; p é suficiente para q; q é necessário para p; p consequentemente q; q, se p e todo p é q. Casos especiais de escrita da condicional Caso 1: Condição suficiente Dica 01: A causa é condição suficiente para o efeito (p é suficiente para q). Por isso, podemos escrever a expressão da seguinte forma: Corro é condição suficiente para canso. Lembrem-se: quando utilizar a expressão suficiente está na ordem direta, causa efeito. Cuidado! A forma simbólica p q ( causa efeito) não muda a posição. 20

21 Polícia Federal - Escrivão e Agente de Polícia Raciocínio Lógico Prof. Bruno Villar Caso 2: Condição necessária Dica 02: O efeito é condição necessária para a causa. Logo podemos escrever a expressão da seguinte forma: Canso é condição necessária para corro. Estudo da tabela da condicional p q p q V V V V F F F V V F F V Treinamento 27. (CESPE 2013) A sentença A indicação de juízes para o STF deve ser consequência de um currículo que demonstre excelência e grande experiência na magistratura pode ser corretamente representada na forma P Q, em que P e Q sejam proposições simples convenientemente escolhidas. 28. (CESPE 2014) Considerando que P seja a proposição Se os seres humanos soubessem se comportar, haveria menos conflitos entre os povos, julgue os itens seguintes. Se a proposição Os seres humanos sabem se comportar for falsa, então a proposição P será verdadeira, independentemente do valor lógico da proposição Há menos conflitos entre os povos. 29. (CESPE 2016) Um estudante de direito, com o objetivo de sistematizar o seu estudo, criou sua própria legenda, na qual identificava, por letras, algumas afirmações relevantes quanto à disciplina estudada e as vinculava por meio de sentenças (proposições). No seu vocabulário particular constava, por exemplo: P: Cometeu o crime A. Q: Cometeu o crime B. R: Será punido, obrigatoriamente, com a pena de reclusão no regime fechado. S: Poderá optar pelo pagamento de fiança. Ao revisar seus escritos, o estudante, apesar de não recordar qual era o crime B, lembrou que ele era inafiançável. 21

22 Tendo como referência essa situação hipotética, julgue o item que se segue. A sentença P S é verdadeira. 30. (CESPE 2016) Dadas as proposições simples p: Sou aposentado e q: Nunca faltei ao trabalho, a proposição composta Se sou aposentado e nunca faltei ao trabalho, então não sou aposentado deverá ser escrita na forma (p q) p, usando-se os conectivos lógicos. 31. (CESPE 2016) Julgue o item a seguir, relativos a raciocínio lógico e operações com conjuntos. Caso a proposição simples Aposentados são idosos tenha valor lógico falso, então o valor lógico da proposição Aposentados são idosos, logo eles devem repousar será falso. Bicondicional Dadas duas proposições p e q, a proposição p se, e somente se, q, que será indicada por p q, é chamada de bicondicional. p q (lê-se: p se e somente se q) Exemplo: p: Perereca se transforma em sapo. q: Sapo se transforma em perereca. p q: Perereca se transforma em sapo se e somente se o sapo se transforma em perereca. Outra opção: Perereca se transformar em sapo é condição suficiente e necessária para o sapo se transformar em perereca. Estudo da tabela da bicondicional p q p q V V V V F F F V F F F V 22

23 Polícia Federal - Escrivão e Agente de Polícia Raciocínio Lógico Prof. Bruno Villar Resumo da linguagem Conectivo Símbolo Forma simbólica Sentido Disjunção inclusiva p q Ocorre p ou ocorre q ou ambos Disjunção exclusiva v p v q Ocorre p ou ocorre q mas não ocorre ambos Conjunção p q Ocorre p e q Condicional p q Bicondicional p q Se ocorre p então q também ocorre Ou ocorre p e q, ou não ocorre p e q Resumo da tabela Conectivo Forma simbólica Dica Disjunção inclusiva p q 1 V = V Disjunção exclusiva p v q Símbolos diferentes (VF ou FV) = V Conjunção p q 1 F = F Condicional p q VF = F Bicondicional p q Símbolos iguais (VV ou FF ) = V Treinamento final de operadores (DPF CESPE 2012) Texto para as questões 32 e 33. Um jovem, ao ser flagrado no aeroporto portando certa quantidade de entorpecentes, argumentou com os policiais conforme o esquema a seguir: Premissa 1: Eu não sou traficante, eu sou usuário; Premissa 2: Se eu fosse traficante, estaria levando uma grande quantidade de droga e a teria escondido; Premissa 3: Como sou usuário e não levo uma grande quantidade, não escondi a droga. Conclusão: Se eu estivesse levando uma grande quantidade, não seria usuário. Considerando a situação hipotética apresentada acima, julgue os itens a seguir. 23

24 32. Se a proposição Eu não sou traficante for verdadeira, então a premissa 2 será uma proposição verdadeira, independentemente dos valores lógicos das demais proposições que a compõem. 33. Se P e Q representam, respectivamente, as proposições Eu não sou traficante e Eu sou usuário, então a premissa 1 estará corretamente representada por P Q. 34. (DPF Escrivão 2012) Considere que sejam verdadeiras as proposições Pedro Henrique não foi eliminado na investigação social e Pedro Henrique será nomeado para o cargo. Nesse caso, será também verdadeira a proposição Se Pedro Henrique foi eliminado na investigação social, então ele não será nomeado para o cargo. Tema: Tabela Verdade É uma maneira prática de organizar os valores lógicos de uma proposição simples ou composta. Pergunta 1: Número de linhas O número de linhas de uma tabela verdade é fornecido pela expressão 2 n, onde o n é o número de proposições simples (distintas) componentes e o 2 representa o número de valores lógicos possíveis (V ou F). Dica: A fórmula 2 n será usada para descobrir o total de linhas ou saber a quantidade de valorações de uma proposição lógica. Treinamento 35. (CESPE 2014) Considerando a proposição P: Nos processos seletivos, se o candidato for pós-graduado ou souber falar inglês, mas apresentar deficiências em língua portuguesa, essas deficiências não serão toleradas, julgue os itens seguintes acerca da lógica sentencial. A tabela verdade associada à proposição P possui mais de 20 linhas. 36. (CESPE) Se A, B, C e D forem proposições simples e distintas, então o número de linhas da tabela-verdade da proposição (A B) (C D) será superior a

25 Polícia Federal - Escrivão e Agente de Polícia Raciocínio Lógico Prof. Bruno Villar 37. (CESPE 2009) Considerando que, além de A e B, C, D, E e F também sejam proposições, não necessariamente todas distintas, e que N seja o número de linhas da tabela-verdade da proposição [A (B C)] [(D E) F], então 2 N 64. Pergunta 2: Construção de uma tabela verdade 38. (CESPE) Se a expressão lógica envolvendo R e T for (R T) R, a tabela-verdade correspondente será a seguinte. R T (R T) R V V V V F F F V V F F F 39. (CESPE 2015) P Q R 1 V V V 2 F V V 3 V F V 4 F F V 5 V V F 6 F V F 7 V F F 8 F F F A figura acima apresenta as colunas iniciais de uma tabela-verdade, em que P, Q e R representam proposições lógicas, e V e F correspondem, respectivamente, aos valores lógicos verdadeiro e falso. Com base nessas informações e utilizando os conectivos lógicos usuais, julgue o item subsecutivo. A última coluna da tabela-verdade referente à proposição lógica P (Q R) quando representada na posição horizontal é igual a 25

26 P (Q R) V V V F V F V V 40. (CESPE 2016 adaptada) Julgue o item a seguir, relativos a raciocínio lógico e operações com conjuntos. Para quaisquer proposições p e q, com valores lógicos quaisquer, a condicional p (q p) será, uma proposição sempre verdadeira. Tema: Classificação das tabelas verdades Tautologia Definição: Uma proposição composta representa uma tautologia quando o seu valor lógico é sempre verdade, independente dos valores das proposições componentes da proposição composta. Exemplo: Chove ou não chove (p p) A tabela verdade é: p ~p p p V F V F V V Contradição Definição: Uma proposição composta representa uma contradição quando o seu valor lógico é sempre falso, independente dos valores das proposições componentes da proposição composta. Exemplo: Chove e não chove (p p) 26

27 Polícia Federal - Escrivão e Agente de Polícia Raciocínio Lógico Prof. Bruno Villar A tabela verdade é: p p p p V F F F V F Indeterminação ou contingência Uma proposição (simples ou composta) representa uma indeterminação quando os valores da proposição apresentam dois resultados V e F. Exemplo: Fulano é culpado (V ou F) Maria é alta ou Mário é baixo. (V ou F) Tema: negação de uma proposição composta Negação da disjunção inclusiva. Fórmula: (p q) p q Cuidado: As expressões: (p q) e p q não representam a mesma coisa, a primeira expressão a negação da conjunção e a segunda a negação de p ou q. Dica: Negar a primeira proposição (simples ou composta ) depois colocar o conectivo e e negar a segunda proposição (simples ou composta). Exemplo: P: Salvador tem praia ou Santos não tem praia. ~P ; Salvador não tem praia e Santos tem praia; Negação da conjunção Fórmula: (p q) p q Dica: Negar a primeira proposição (simples ou composta), depois colocar o conectivo ou e negar a segunda proposição (simples ou composta). P: Mário é alto e Jorge é culpado. ~ P: Mário não é alto ou Jorge não é culpado. ~ P: Mário é baixo ou Jorge é inocente. 27

28 Negação da condicional Fórmula: (p q) p q Dica: Conservar a primeira proposição (simples ou composta), colocar o conectivo e e depois negar somente a segunda proposição (simples ou composta) Exemplo: P: Se corro, então canso. ~P: Corro e não canso. Negação da bicondicional Fórmula: (p q) = p q outra opção p q ou p V q Dica: Conservar o conectivo e depois temos a livre escolha de negar apenas uma proposição e conservar a outra. Outra opção: Dica: mantemos as proposições e colocamos o conectivo se e somente se. P: 2 é par se e somente se 3 é ímpar. ~P: 2 não é par se e somente se 3 é ímpar. ~P: 2 é par se e somente se 3 não é ímpar. ~P: ou 2 é par ou 2 é ímpar. Negação da disjunção exclusiva Fórmula: (p V q) = p V q outra opção p V q ou p q. A: ou 2 é par ou 2 é ímpar. ~A: ou 2 é não par ou 2 é ímpar. ~A: ou 2 é par ou 2 não é ímpar. ~A: 2 é par se e somente se 2 é ímpar. 28

29 Polícia Federal - Escrivão e Agente de Polícia Raciocínio Lógico Prof. Bruno Villar Treinamento Texto para a questão 41. P4: Se teve treinamento adequado e se dedicou nos estudos, então o policial tem informações precisas ao tomar decisões. Com base nessas proposições, julgue os itens a seguir. 41. A negação de P4 é logicamente equivalente à proposição O policial teve treinamento adequado e se dedicou nos estudos, mas não tem informações precisas ao tomar decisões. 42. (PC-ES CESPE 2011) A negação da proposição (P Q) R é ( P Q) ( R). 43. (DPF Escrivão 2009) A negação da proposição Se Pedro Henrique não foi eliminado na investigação social, então ele será nomeado para o cargo estará corretamente enunciada da seguinte forma: Se Pedro Henrique foi eliminado na investigação social, então ele não será nomeado para o cargo. 44. (DPF Escrivão 2009) A negação da proposição Pedro Henrique não será eliminado na investigação social e ele atende aos outros requisitos estará corretamente redigida da seguinte forma: Pedro Henrique será eliminado na investigação social e ele não atende a algum dos outros requisitos. 45. (CESPE 2014) Considerando que P seja a proposição Não basta à mulher de César ser honesta, ela precisa parecer honesta, julgue os itens seguintes, acerca da lógica sentencial. A negação da proposição P está corretamente expressa por Basta à mulher de César ser honesta, ela não precisa parecer honesta. 46. (CESPE 2014) Considerando que P seja a proposição Não basta à mulher de César ser honesta, ela precisa parecer honesta, julgue os itens seguintes, acerca da lógica sentencial. A negação da proposição P está corretamente expressa por Basta à mulher de César ser honesta ou ela não precisa parecer honesta 29

30 47. (DPF CESPE 2013) P4: Pedi a ele que pagasse meu curso de preparação, mas ele não pagou. Considerando essa situação hipotética, julgue o item subsecutivo. A negação da proposição P4 é equivalente a Não pedi a ele que pagasse meu curso, mas ele pagou" Tema: Equivalência lógica As proposições P e Q são equivalentes quando apresentam tabelas verdades idênticas. Indicamos que p é equivalente a q do seguinte modo: p q. Referências Dupla Negação P.q.r proposições τ tautologia γ contradição ( p) p Leis Idempotentes Leis Comutativas Leis Associativas Leis Distributivas Leis de Morgan p p p p p p p p q p p p q p p (q r) (p q) r p (q r) (p q) r p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r) (p q) p q (p q) p q Leis de Identidade p γ p p γ γ p τ p p τ τ 30

31 Polícia Federal - Escrivão e Agente de Polícia Raciocínio Lógico Prof. Bruno Villar Leis Complementares p p τ p p γ τ γ γ τ Condicional Bicondicional p q (p q) p q p q q p (p q) p q p q (p q) (q p) (p q) p q p q Treinamento 48. (CESPE 2014) Julgue o item seguinte, acerca da proposição P: Quando acreditar que estou certo, não me importarei com a opinião dos outros. A proposição P é logicamente equivalente a Como não me importo com a opinião dos outros, acredito que esteja certo. 49. (CESPE 2014) Considerando que P seja a proposição Se os seres humanos soubessem se comportar, haveria menos conflitos entre os povos, julgue os itens seguintes. A proposição P é logicamente equivalente à proposição Se houvesse menos conflitos entre os povos, os seres humanos saberiam se comportar. 50. (CESPE 2014) Considerando que P seja a proposição Se os seres humanos soubessem se comportar, haveria menos conflitos entre os povos, julgue os itens seguintes. A proposição P é logicamente equivalente à proposição Os seres humanos não sabem se comportar ou haveria menos conflitos entre os povos. 51. (CESPE 2014) Considerando a proposição P: Nos processos seletivos, se o candidato for pós-graduado ou souber falar inglês, mas apresentar deficiências em língua portuguesa, essas deficiências não serão toleradas, julgue os itens seguintes acerca da lógica sentencial. A proposição O candidato não apresenta deficiências em língua portuguesa ou essas deficiências são toleradas é logicamente equivalente a Se o candidato apresenta deficiências em língua portuguesa, então essas deficiências são toleradas. 31

32 52. (DPF 2013) As proposições A nomeação de Pedro Henrique para o cargo fica condicionada à não eliminação na investigação social e Ou Pedro Henrique é eliminado na investigação social ou é nomeado para o cargo são logicamente equivalentes. Lógica de primeira ou quantificadores I. Quantificador universal: (lê-se qualquer que seja, ou, ainda, para todo ). II. Quantificadores existenciais: (lê-se existe pelo menos um ) e (lê-se existe um"). Relação entre Proposições e Conjuntos Tipos de Proposições Categóricas Chamam-se de proposições categóricas proposições simples e diretas na forma de sujeitopredicado. Elas apresentam de quatro tipos: A: Todo M é N. B: Nenhum M é N. (Todo M não é N.) C: Algum M é N. D: Algum M não é N. Em que: A é uma proposição universal afirmativa. B é uma proposição universal negativa. C é uma proposição particular afirmativa. D é uma proposição particular negativa. 32

33 Polícia Federal - Escrivão e Agente de Polícia Raciocínio Lógico Prof. Bruno Villar Relação entre Conjuntos e Proposições Caso 01: Todo M é N. Essa relação mostra que o conjunto M está dentro do conjunto N. Logo, M é subconjunto de N. Exemplo: Todo homem é sábio. O conjunto homem está dentro do conjunto sábio. Caso 02: Nenhum M é N. O termo nenhum tem a função de exclusão, por isso os conjuntos não possuem elementos comuns. Logo, M e N são conjuntos distintos. Caso 03: Algum M é N. A palavra algum representa elemento comum, isto é, que pertence aos dois conjuntos ao mesmo tempo. Logo M N (intersecção de conjuntos). Caso 04: Algum M não é N. 33

34 Nesse caso, a expressão representa um elemento que pertence ao conjunto M, mas não pertence ao conjunto. Logo M N (diferença de conjuntos). Cuidado! Algum M não é N é equivalente a Algum não N é M. Agora Algum M não é N é diferente de Algum N não é M, conforme vemos no diagrama abaixo: Tema: Argumento O argumento lógico é um conjunto de premissas que resultam em uma conclusão (P1,P2,...Pn C). 1º caso: argumento formado por quantificadores Caso 1: todo e todo 53. (PF CESPE 2004) É válido o seguinte argumento: Todo cachorro é verde, e tudo que é verde é vegetal, logo todo cachorro é vegetal. 34

35 Polícia Federal - Escrivão e Agente de Polícia Raciocínio Lógico Prof. Bruno Villar 54. (CESPE) Considere como premissas as proposições Todos os hobbits são baixinhos e Todos os habitantes da Colina são hobbits, e, como conclusão, a proposição Todos os baixinhos são habitantes da Colina. Nesse caso, essas três proposições constituem um raciocínio válido. Caso 2: Todo e algum 55. (PC-ES CESPE 2011) Nessas condições, é correto concluir que o argumento de premissas P1 e P2 e conclusão P3 é válido. Se as premissas P1 e P2 de um argumento forem dadas, respectivamente, por "Todos os leões são pardos" e "Existem gatos que são pardos", e a sua conclusão P3 for dada por "Existem gatos que são leões", então essa sequência de proposições constituirá um argumento válido. Caso 3: Todo e Nenhum 56. Considere uma argumentação em que duas premissas são da forma Nenhum A é B. Todo C é A. e a conclusão é da forma Nenhum C é B. Essa argumentação não pode ser considerada válida Caso 4: Nenhum e algum 57. Considerando-se como premissas as proposições Nenhum pirata é bondoso e Existem piratas que são velhos, se a conclusão for Existem velhos que não são bondosos, então essas três proposições constituem um raciocínio válido. 58. (PC-ES CESPE 2011) Considere a seguinte sequência de proposições: P1 Existem policiais que são médicos. P2 Nenhum policial é infalível. P3 Nenhum médico é infalível. 35

36 2º caso: argumento sem quantificadores A relação entre premissas e conclusão é uma implicação lógica; por isso, para que o argumento seja validado, é necessário que a relação entre a premissa e a conclusão seja verdadeira. Na tabela a seguir, temos as possíveis situações para o nosso argumento ser válido. PREMISSA (P) CONCLUSÃO (C) P C VERDADEIRA VERDADEIRA VÁLIDO FALSA VERDADEIRA VÁLIDO FALSA FALSA VÁLIDO Treinamento 59. (PF CESPE 2009) A sequência de proposições a seguir constitui uma dedução correta. Se Carlos não estudou, então ele fracassou na prova de Física. Se Carlos jogou futebol, então ele não estudou. Carlos não fracassou na prova de Física. Carlos não jogou futebol. (PF CESPE 2012) Um jovem, ao ser flagrado no aeroporto portando certa quantidade de entorpecentes, argumentou com os policiais conforme o esquema a seguir: Premissa 1: Eu não sou traficante, eu sou usuário; Premissa 2: Se eu fosse traficante, estaria levando uma grande quantidade de droga e a teria escondido; Premissa 3: Como sou usuário e não levo uma grande quantidade, não escondi a droga. Conclusão: Se eu estivesse levando uma grande quantidade, não seria usuário. Considerando a situação hipotética apresentada acima, julgue o item a seguir. 60. Sob o ponto de vista lógico, a argumentação do jovem constitui argumentação válida. Texto para as questões 61 e 62. O sustentáculo da democracia é que todos têm o direito de votar e de apresentar a sua candidatura. Mas, enganoso é o coração do homem. Falhas administrativas e maior tempo no poder andam de mãos dadas. Por isso, todos precisam ser fiscalizados. E a alternância no poder é imprescindível. Considerando o argumento citado, julgue os itens subsequentes. 36

37 Polícia Federal - Escrivão e Agente de Polícia Raciocínio Lógico Prof. Bruno Villar 61. A sentença Falhas administrativas e maior tempo no poder andam de mãos dadas é uma premissa desse argumento. 62. A afirmação E a alternância no poder é imprescindível é uma premissa desse argumento. 63. (CESPE PF 2009) Considere que as proposições da sequência a seguir sejam verdadeiras. Se Fred é policial, então ele tem porte de arma. Fred mora em São Paulo ou ele é engenheiro. Se Fred é engenheiro, então ele faz cálculos estruturais. Fred não tem porte de arma. Se Fred mora em São Paulo, então ele é policial. Nesse caso, é correto inferir que a proposição "Fred não mora em São Paulo" é uma conclusão verdadeira com base nessa sequência. (DPF 2014) Texto para as questões 64 a 66. As seguintes premissas referem-se a uma argumentação hipotética: C Se Paulo é inocente, então João ou Jair é culpado. C Se João é culpado, então Jair é inocente. C Se Jair é culpado, então, no depoimento de José e no de Maria, todas as afirmações de José eram verdadeiras e todas as afirmações de Maria eram falsas. Com referência a essas premissas, julgue os próximos itens. 64. Se Maria, em seu depoimento, disse que Paulo é inocente, e se Paulo for de fato inocente, então é correto afirmar que Jair é culpado. 65. Considerando as proposições P: Paulo é inocente; Q: João é culpado; R: Jair é culpado; S: José falou a verdade no depoimento; e T: Maria falou a verdade no depoimento, é correto concluir que P Q S T. 66. Se Jair é culpado, é correto inferir que João é inocente. 37

38 Tema: Raciocínio analítico (conteúdo implícito) 67. (CESPE 2015) Julgue o item a seguir com base nas características do raciocínio analítico e na estrutura da argumentação. A superstição segundo a qual passar debaixo de escada traz azar ilustra uma relação equivocada entre uma causa e um efeito 68. (DFP 2009) Considere que um delegado, quando foi interrogar Carlos e José, já sabia que, na quadrilha à qual estes pertenciam, os comparsas ou falavam sempre a verdade ou sempre mentiam. Considere, ainda, que, no interrogatório, Carlos disse: José só fala a verdade, e José disse: Carlos e eu somos de tipos opostos. Nesse caso, com base nessas declarações e na regra da contradição, seria correto o delegado concluir que Carlos e José mentiram. 69. (CESPE) No livro Alice no País dos Enigmas, o professor de matemática e lógica Raymond Smullyan apresenta vários desafios ao raciocínio lógico que têm como objetivo distinguir-se entre verdadeiro e falso. Considere o seguinte desafio inspirado nos enigmas de Smullyan. Duas pessoas carregam fichas nas cores branca e preta. Quando a primeira pessoa carrega a ficha branca, ela fala somente a verdade, mas, quando carrega a ficha preta, ela fala somente mentiras. Por outro lado, quando a segunda pessoa carrega a ficha branca, ela fala somente mentira, mas, quando carrega a ficha preta, fala somente verdades. Com base no texto acima, julgue o item a seguir. Se a primeira pessoa diz Nossas fichas não são da mesma cor e a segunda pessoa diz Nossas fichas são da mesma cor, então, pode-se concluir que a segunda pessoa está dizendo a verdade. (DPF 2014) Texto para as questões 70 a 72. Em um restaurante, João, Pedro e Rodrigo pediram pratos de carne, frango e peixe, não necessariamente nessa ordem, mas cada um pediu um único prato. As cores de suas camisas eram azul, branco e verde; Pedro usava camisa azul; a pessoa de camisa verde pediu carne e Rodrigo não pediu frango. Essas informações podem ser visualizadas na tabela abaixo, em que, no cruzamento de uma linha com uma coluna, V corresponde a fato verdadeiro e F, a fato falso. 38

39 Polícia Federal - Escrivão e Agente de Polícia Raciocínio Lógico Prof. Bruno Villar azul branca verde João Pedro Rodrigo carne frango peixe João Pedro Rodrigo V V F Considerando a situação apresentada e, no que couber, o preenchimento da tabela acima, julgue os itens seguintes. 70. Se João pediu peixe, então Rodrigo não usava camisa branca. 71. Das informações apresentadas, é possível inferir que Pedro pediu frango. 72. As informações apresentadas na situação em apreço e o fato de João ter pedido peixe não são suficientes para se identificarem a cor da camisa de cada uma dessas pessoas e o prato que cada uma delas pediu. Gabarito: 1. E 2. E 3. E 4. E 5. C 6. E 7. C 8. C 9. E 10. E 11. E 12. E 13. E 14. C 15. E 16. E 17. E 18. C 19. E 20. C 21. E 22. C 23. E 24. E 25. E 26. C 27. E 28. C 29. E 30. C 31. E 32. C 33. C 34. C 35. E 36. C 37. C 38. E 39. C 40. C 41. C 42. E 43. E 44. E 45. E 46. C 47. E 48. E 49. E 50. C 51. C 52. E 53. C 54. E 55. E 56. E 57. C 58. E 59. C 60. E 61. E 62. E 63. E 64. E 65. C 66. C 67. C 68. C 69. C 70. C 71. E 72. E 39