SÓLIDOS DE PLATÃO E KEPLER: OCTAEDRO E PEQUENO DODECAEDRO ESTRELADO

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1 SÓLIDOS DE PLATÃO E KEPLER: OCTAEDRO E PEQUENO DODECAEDRO ESTRELADO Milena Dutra Sanábria (IFMT - Campus Juína) milena.dutra1998@hotmail.com Maurilio Trindade Júnior (IFMT - Campus Juína) maurilio.trindade@hotmail.com Resumo: Atualmente os poliedros são apresentados de forma geral no ensino fundamental e ensino médio com ênfase nos Sólidos de Platão, sendo eles o cubo, o octaedro, dodecaedro, icosaedro e o tetraedro.o presente artigo tem por objetivo apresentar informações acerca do octaedro e do pequeno dodecaedro estrelado, além de propiciar um recurso didático que pode ser utilizado pelo professor de matemática para despertar no aluno um maior interesse nas aulas de geometria, como uma forma de aprendizagem mais dinâmica. O método para o desenvolvimento deste trabalho foi baseado em revisão bibliográfica de estudos desenvolvidos anteriormente sobre o tema, apresetando uma breve biografia sobre Platão e Kepler, e tem por objetivo fornecer uma forma complementar de estudo sobre esses sólidos. Desenvolveu-se um tutorial explicando a construção dos dois poliedros (octaedro e pequeno dodecaedro estrelado), o octaedro a partir de sua planificação em papel e o pequeno dodecaedro estrelado por meio de origami. Palavras-chave: Poliedros. Octaedro. Pequeno Dodecaedro Estrelado. 1 Introdução Os poliedros estão presentes nas nossas vidas a todo momento, desde o formato de uma geladeira em nossa cozinha ou no formato de um armário em nosso local de trabalho. Percebe-se os poliedros inclusive em grandes obras arquitetônicas atuais e do passado, como as pirâmides do antigo Egito, o que de certa forma nos leva a ter a certeza de que os mesmos sempre estiveram presentes na vida de nossos antepassados. Pode-se dizer, ao olhar-se para o passado, que os poliedros eram admirados por vários filósofos e artistas. Platão, por exemplo, passou parte de sua vida estudando sobre poliedros, associando-os aos quatro elementos básicos (fogo, terra, ar, água). Um outro exemplo é a representação do poliedro conhecido atualmente como pequeno dodecaedro estrelado, feita pelo pintor italiano Paollo Eccello em um mosaico da Catedral de São Marcos, em Veneza, no ano de No ensino médio e no ensino fundamental é dada maior atenção aos sólidos de Platão, no entanto, não de forma aprofundada e os sólidos de Kepler nem são citados. Não podemos ignorar a existência dos vários poliedros, como os de Euclides, Arquimedes, etc. No entanto, ao longo deste artigo, serão focados apenas os poliedros de Platão e Kepler-Poinsot, com ênfase no octaedro e no pequeno dodecaedro estrelado.

2 O presente trabalho, feito a partir de revisão bibliográfica, é composto pela descrição histórica sobre Platão e Kepler, pelas definições e conceitos essenciais para o estudo dos poliedros e a descrição dos dois sólidos em foco. Também será apresentado um tutorial ensinando como montar os sólidos, um por meio de sua planificação e o outro por origami. Para facilitar a compreensão do texto, será abordado de forma breve alguns conceitos geométricos essenciais a compreensão do texto. 2 Desenvolvimento 2.1 Conceitos geométricos essenciais A palavra poliedro é originária do grego e significa muitos lados (poli = muitos; edro = lados). Para a compreensão dos poliedros, é preciso primeiramente saber o que são polígonos convexos e regulares. Segundo Dolce e Pompeo (1993), polígono pode ser definido da seguinte forma: Dada uma sequência de pontos de uma plano (...) com n 3, todos distintos, onde três pontos consecutivos não são colineares, considerando-se consecutivos (...) assim como, chama-se polígono à reunião dos segmentos. (DOLCE; POMPEO, 1993, p.132). Em outras palavras, um polígono é uma figura plana formada por determinado número de pontos, sendo esse número maior ou igual a 3, de modo que não sejam colineares, pertencentes a uma mesma linha e todos coplanares, pertencentes ao mesmo plano. Outra definição importante está relacionada aos polígonos convexo e não-convexo, juntamente com as definições de poliedros convexos e não convexo. É um polígono convexo se, e somente se, a reta determinada por dois vértices consecutivos quaisquer deixa todos os demais (n-2) vértices num mesmo semiplano dos dois que ela determina. (DOLCE; POMPEO), 1993, p.134). Um polígono não convexo é todo aquele que não respeita essa implicação. Conforme Dolce e Pompeo (2005, p. 128), poliedro é a reunião de um número finito de polígonos planos convexos, sendo que dois polígonos não estão num mesmo plano e cada lado de polígono não está em mais que dois polígonos. E para que o poliedro seja convexo, o plano de cada polígono deixa os demais polígonos num mesmo semi-espaço.

3 Um poliedro é dito regular quando suas faces são polígonos regulares e congruentes e seus ângulos poliédricos são congruentes. De acordo com Eves (2011, p.114) um poliedro é regular se suas faces são polígonos regulares congruentes e, em cada vértice, o mesmo número de face se encontrem. 2.2 A vida de Platão Aristócles, apelidado de Platão devido aos seus ombros largos, nasceu em 427 a.c. na cidade de Atenas, na Grécia, ou nas suas proximidades. Filho de uma nobre família de Atenas Platão desde criança recebeu educação especial, tornando-se desde cedo, discípulo de Sócrates ao qual passou a admirar profundamente. Inicialmente, como filho de aristocrata e parente próximo de autoridades politicas, Platão se voltou a área da política, tanto que muitos de seus trabalho foram voltados a esta área, como A República. Apesar disso, ao ver seu mestre Sócrates ser acusado de corromper a juventude e condenado a morte injustamente em 399 a.c., Platão acaba se desiludindo da política e se volta inteiramente a filosofia. Prosseguindo com seus estudos, Platão viajou pelo mediterrâneo. O filósofo estudou Geometria com Euclides em Megara, (cidade antiga da Grécia e hoje destruída), astronomia no Egito antigo, aperfeiçoou-se em matemática na cidade de Cyrene (norte da África). Platão manteve contato com matemáticos da escola de Pitágoras e dentre os diversos pensadores desta escola. Platão manteve fortes laços com Arquitas ( a.c.), um grande matemático, filósofo e um dos últimos Pitagóricos de seu tempo, que passou a Platão uma visão matemática. Ao voltar a Atenas, Platão fundou a Academia, uma instituição de investigação cientifica e filosófica, que reuniu grandes nomes da geometria. Platão dirigiu a Academia até a sua morte, no ano de 347 a.c., por volta de seus oitenta anos Contribuições matemáticas As contribuições de Platão para a área da matemática não foram significativas, tanto é que ele nem era considerado matemático. No entanto, a relevância deste filosofo consta no amor que o mesmo possuía pela disciplina. De acordo com Eves (2011, p ) Platão tinha a convicção de que a matemática refinava o espírito e, portanto, todo filósofo deveria dedicar-se a seu estudo.

4 Uma de suas contribuições para o desenvolvimento da matemática foi na área da geometria. Além da criação de sua Academia, é atribuída a Platão a descoberta dos cinco poliedros convexos regulares, que atualmente são chamados de Sólidos Platônicos ou Poliedros de Platão. São eles: Tetraedro, Cubo, Octaedro, Dodecaedro e Icosaedro. Os elementos que compõem os Sólidos de Platão podem ser observados na tabela abaixo. Tabela 1 - Sólidos platônicos Poliedros Nº de faces Nº de arestas Nºde vértices Tetraedro Cubo Octaedro Dodecaedro Icosaedro Fonte: Arquivo pessoal. Segundo Dolce e Pompeu (2005, p.130), os poliedros de Platão são apenas aqueles que possuem todas as faces com o mesmo número de arestas, todos os ângulos poliédricos com o mesmo número de arestas e vale a relação de Euler 1. Apesar de serem conhecidos atualmente como Poliedros de Platão, o octaedro, dodecaedro, cubo, icosaedro e tetraedro já eram conhecidos dos pitagóricos: O primeiro escólio desse livro observa que se irá tratar dos sólidos de Platão, assim chamados erradamente, porque três deles, o tetraedro, o cubo e o dodecaedro se devem aos pitagóricos, ao passo que o octaedro e o icosaedro se devem a Teeteto. (EUCLIDES, apud EVES, 2011, p. 114). Platão se encantou tanto pelos cinco poliedros que dedicou um estudo profundo a ambos, relacionando a eles os elementos básicos: água, fogo, ar e terra. Os sólidos Platônicos têm um lugar proeminente na filosofia de Platão, que associava os poliedros regulares aos elementos clássicos (terra, ar, água e fogo) e, portanto à própria constituição do universo (MOL, 2013, p.52) Octaedro 1 Relação de Euler: Lei estabelecida por pelo matemático e físico suíço Leonhard Euler que firma a relação entre o número de vértices (V), arestas (A) e faces (F) de um poliedro convexo (V A + F = 2).

5 O octaedro (octa = oito; edro = lados) é um poliedro regular composto por oito faces sendo cada face um triângulo equilátero, possuindo seis vértices e doze arestas. O sólido obedece a relação de Euler. Para o filosofo Platão, o octaedro representava o elemento ar pois, de acordo com a sua teoria, os átomos de ar tinham a estrutura de um octaedro regular. Cada vértice deste poliedro é formado por quatro faces Dualidade do Octaedro Certos poliedros, principalmente os de Platão e os de Kepler possuem o seu dual. O dual de um poliedro para pode ser definido da seguinte forma: [...]dois poliedros são chamados de duais quando um está dentro do outro, de tal forma que os vértices do poliedro que está no interior tocam as faces do poliedro exterior somente no ponto central de cada face. E para se obter o ponto central de uma face é necessário que se determine o ponto de encontro das bissetrizes dos ângulos da face do poliedro. (KALEFF, 2003, apud MOHR; PACHECO, 2014, p. 5). octaedro. A partir da definição de dualidade, o dual de um octaedro é o cubo e o dual do cubo é o Figura 1: Dual de um octaedro Fonte: Edumatec Processo de montagem o octaedro A confecção de um octaedro, de modo bastante simples, pode ser feita a partir da planificação do sólido. O processo de montagem do sólido está descrito na tabela abaixo. 2 Disponível em: < acesso em março de 2017.

6 Tabela 2 - Montagem do Octaedro 1. Desenho do octaedro com a utilização de caneta, régua e compasso. 2. A partir do processo de dobra e colagem da figura ao lado, monta-se o octaedro. Fonte: Arquivo pessoal. 2.3 Johannes Kepler Johannes Kepler nasceu em 27 de dezembro de 1571 na cidade de Weil Der Stadt, na Alemanha. Desde pequeno Kepler teve contato com a astronomia o que levaria o mesmo a trilhar os caminhos da matemática e ao estudo da geometria espacial. A família de Kepler, formada por um pai mercenário, mãe e avó feiticeiras, irmãos que como Kepler padeciam constantemente de doenças levariam o mesmo a seguir o caminho do protestantismo. [...]o início das relações problemáticas com a família, as quais sempre lhe incutiram um misto de desespero e angústia perante o mundo. De fato, a família Kepler pode muito bem lembrar as famílias descritas nos romances de Dostoiévsky: brigas intermináveis entre avós, pai, mãe, tios, irmãos faziam parte do cotidiano. (MOURÃO, apud TOSSATO, 2003, p. 2). No entanto, ao conhecer Michael Mastlin ( ), Kepler se voltou para a área da matemática e astronomia. Foi Michael, que se tornou seu mentor, o responsável por apresentar a Kepler as duas teorias do sistema solar, a heliocêntrico e a geocêntrica, e o convívio entre os dois levou a nascer dentro de Kepler o gosto pela astronomia. Kepler trabalhou com Tycho Brahe, importante astrônomo da época, no ano de 1600 e, em 1601, ocupou o cargo de Matemático Imperial na côrte de Rodolfo II ( ) permanecendo no cargo até o ano de Em seguida, ocupou o cargo de matemático na Província de Lins onde veio a falecer em Durante esse tempo, Kepler desenvolveria as três leis da gravitação universal e os sólidos de Kepler, também conhecidos como Poliedros de Kepler-Poinsot. Os elementos básicos desses sólidos estão apresentados abaixo na Tabela 3.

7 Tabela 3 - Sólidos de Kepler-Poinsot Poliedros Nº de faces Nº de arestas Nºde vértices Pequeno dodecaedro estrelado Grande dodecaedro estrelado Grande dodecaedro Icosaedro estrelado Fonte: Arquivo pessoal Pequeno dodecaedro estrelado Figura 2: Pequeno Dodecaedro Estrelado Fonte: Los Matemáticos 3. O pequeno dodecaedro estrelado surge a partir da construção de uma pirâmide pentagonal em cada uma das 12 (doze) faces do dodecaedro de Platão. Desse modo, cada uma das doze faces do dodecaedro se tornam pentagramas. São esses pentagramas que são as faces do poliedro. Figura 3: Surgimento da face do Pequeno Dodecaedro Estrelado Fonte: Arquivo Pessoal 3 Disponível em < Acesso em Março de 2017.

8 Desse modo, o pequeno dodecaedro estrelado possui doze faces que são pentagramas congruentes, assim podendo ser considerado um poliedro regular, porém não-convexo. Esse sólido possui doze faces, trinta arestas e doze vértices Processo de montagem do pequeno dodecaedro estrelado A confecção do pequeno dodecaedro estrelado pode ser realizada a partir da técnica de origami 4. Para a construção, utiliza-se papel específico para origami ou mesmo papel-cartão. É necessário 30 (trinta) folhas do papel escolhido com as dimensões de um quadrado (quanto maior o quadrado, melhor para fazer as dobraduras e os encaixes necessários). Está descrito na tabela abaixo, o processo de preparação do molde que será utilizado para a montagem do sólido. Tabela 4 - Confecção dos moldes para a monagem do pequeno dodecaedro estrelado 1. Pegar um dos 30 quadrados. 2. Dobrar o papel ao meio.. 3. Com a dobra na vertical, dobrar para o meio em ambos os lados de acordo com a imagem abaixo. 4. Vire o papel e, com o lado oposto ao das últimas dobras, junte novamente com a dobra central vertical. 5. O passo anterior deixará o molde dessa maneira na frente. 6. Nesse momento, a parte de trás do molde estará assim. 4 Origami: arte ou técnica de representar seres ou objetos a partir apenas do processo de dobrar papel.

9 4. Vire o papel e, com o lado oposto ao das últimas dobras, junte novamente com a dobra central vertical. 5. O passo anterior deixará o molde dessa maneira na frente. 6. Nesse momento, a parte de trás do molde estará assim. 7. Com a parte da frente pra cima, faça uma dobra horizontal de acordo a figura 8. Com o molde dessa maneira, faça uma dobra seguindo o tracejado dos dois lados. 9. Abra os moldes pela ponta dos triângulos. Dobre de acordo com a figura. 10. Abra o molde e está finalizado. Fonte: Arquivo pessoal. Com os moldes já prontos, seguir o processo de montagem de acordo com as imagens da tabela abaixo até formar todo o poliedro. Tabela 5 - Processo de encaixe dos moldes

10 Fonte: Arquivo pessoal. 3 Considerações finais Como se percebe, as informações referentes aos poliedros de Platão e Kepler-Poinsot, mais especificadamente do Octaedro e do pequeno dodecaedro estrelado são extensos, o que de certa forma vira um fator desmotivacional ao professor que pretende apresentar em sala ou a um leigo que pretende estudar sobre os mesmos, Para facilitar o entendimento e o esclarecimento apresentou-se uma introdução a alguns conceitos de Geometria Plana e Geometria Espacial, como polígonos e poliedros planos e convexos, facilitando o entendimento do artigo. Com os processos de montagem ensinado neste trabalho, é possível qualquer leigo montar o pequeno dodecaedro estrelado e o octaedro, não desconsiderando no entanto a complexidade estrutural do poliedro estrelado, o que poderia gerar certa dificuldade e frustração a princípio.

11 O estudo desses sólidos de maneira mais aprofundada demonstra o quão complexa é o conhecimento já estabelecido em relação a eles e que a dificuldade em apresentar eles em sala reside em parte neste ponto. Referências DOLCE, Osvaldo; POMPEU, José Nicolau. Fundamentos da matemática elementar 10: geometria espacial, posição e métrica. 6. ed. São Paulo: Atual, DOLCE, Osvaldo; POMPEU, José Nicolau. Fundamentos da matemática elementar 9: geometria plana. 7. ed. São Paulo: Atual, EVES, Howard. Introdução à história da matemática / Howard Eves; tradução Hygino H. Domingues. 5a ed. Campinas, SP: Editora da Unicamp, FRANCISCO. Patrick. Johannes Kepler-Biografia-Vida e Obra. 26 de Outubro de Disponível em< Acesso em: Abril de MOL, Rogério Santos. Introdução à história da matemática. Belo Horizonte: CAED- UFMG, TOSSATO. Claudemir Roque. Copernicanismo e realismo: rumo à unificação entre astronomia e cosmologia. Disponível em< Acesso em: Abril de MOHR, Ana Regina da Rocha; PACHECO, Leila Leatrice Saldanha. Poliedros duais e a geometria sendo ensinada de forma construtiva. Disponível em < Acesso em: Abril de 2017.