ANÁLISE COMBINATÓRIA - ASPECTOS HISTÓRICOS E ATIVIDADES INVESTIGATIVAS

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Alexandra Casqueira Sanches
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Programa de Pós-Graduação no Ensino de Ciências Exatas

1 ANÁLISE COMBINATÓRIA - ASPECTOS HISTÓRICOS E ATIVIDADES INVESTIGATIVAS Aluna: Cristiane Maria Roque Vazquez Programa de Pós-Graduação no Ensino de Ciências Exatas PPGECE UFSCar (2010) Orientador: Prof. Dr. Pedro Malagutti

2 JUSTIFICATIVA ANÁLISE COMBINATÓRIA: assunto considerado polêmico", devido às dificuldades apresentadas pelos alunos na sua aprendizagem; muitas vezes é relegada ao esquecimento ou, então, é trabalhada apenas por meio do uso de fórmulas; mecanicamente tentam descobrir a que tipo de agrupamento arranjo, permutação ou combinação o problema pertence, para depois resolvê-lo utilizando a fórmula adequada.

trabalhada apenas por meio do uso de fórmulas; mecanicamente tentam descobrir a que tipo de

3 As aplicações e a utilização de atividades podem servir para a melhor compreensão da teoria da análise combinatória. A história da matemática pode contribuir com o ensino da análise combinatória, quando inserimos datas, personagens, e situações que levem o aluno a pensar no conteúdo a ser estudado.

A história da matemática pode contribuir com o ensino da análise

4 ASPECTOS HISTÓRICOS Importância de conhecer o conteúdo matemático e sua história; Segundo BARONI(1999) : História do conteúdo não é apenas um elemento motivador para seu ensino,engloba elementos cujas naturezas estão voltadas a uma interligação entre o conteúdo e sua atividade educacional e essa interligação se fortalece quando o professor de matemática tem o domínio da história do conteúdo que ele trabalha em sala de aula ; PCN s(2000): ao mostrar as necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, ao estabelecer comparações entre os conceitos e processos matemáticos do passado e do presente, o professor tem a possibilidade de desenvolver atitudes e valores mais favoráveis do aluno frente ao conhecimento matemático.

história do conteúdo que ele trabalha em sala de aula ; PCN s(2000): ao mostrar as necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, ao estabelecer

5 Desenvolvimento Histórico da Análise Combinatória: Há três passagens importantes que servem para introduzir o campo de problemas combinatórios: Problema 79 do Papiro de Ahmes (ou Rhind) escrito por volta de 1650 a.c.; Problema escrito por Leonardo de Pisa em 1202; Uma poesia infantil que data de mais ou menos 1730.

Problema 79 do Papiro de Ahmes (ou Rhind) escr

6 Problema 79: Casas 7 Gatos 49 Ratos 343 Trigo 2401 Hekat* Poesia Infantil: Quando eu estava indo para Santo Ivo, Eu encontrei um homem com sete mulheres, Cada mulher tem sete sacos, Cada saco tem sete gatos, Cada gato tem sete gatinhos, Gatinhos, gatos, sacos e mulheres, Quantos estavam indo para Santo Ivo?

mulheres, Cada mulher tem sete sacos, Cada saco tem sete gatos, Cada gato tem

7 A primeira ocorrência da Combinatória O sistema I Ching ( a.c.), um dos trabalhos mais antigos dos chineses, é baseado em 2 símbolos: Yang ( ) Yin ( ) combinados da seguinte maneira: Trigramas (conjunto de três símbolos): Hexagramas (conjunto de seis símbolos): Combinações com repetição: 2³ = 8 trigramas e 2 6 = 64 hexagramas.

a da Combinatória O sistema I Ching (1182-1135 a.c.

8 Tratado Médico de Susruta (~ século IV a.c.) Foram encontradas discussões sobre as várias espécies de demonstração que podem ser feitas pela combinação entre: doce, ácido, salino, pungente, amargo e adstringente. 6 tomadas separadamente; 15 de dois em dois; 20 de três em três; 15 de quatro em quatro; 6 de cinco em cinco; 1 tomadas todas juntas. Combinações sem repetição!

9 VARAHAMIHIRA (505, 587) em seu trabalho BRIHATSAMHITA número de perfumes que podem ser feitos escolhendo-se 4 ou 5 dados ingredientes e misturando-os em várias proporções; há uma afirmação clara de que existem 1820 possibilidades de se escolher 4 ingredientes num total de 16; não apresentado a listagem dos casos, o que permite conjecturar que a resposta era obtida pelo uso de uma fórmula.

clara de que existem 1820 possibilidades de se escolher 4 ingredientes num total de 16; não

10 BHASKARA II em seu trabalho LILAVATI (1150) Em um agradável, espaçoso e elegante palácio, com oito portas, construído por um habilidoso arquiteto para o Príncipe do Reino, conte-me as combinações de aberturas tomadas de uma a uma, duas a duas, três a três etc As chances de abertura das portas do palácio chegam a 255. Diga matemático, quantas são as combinações em uma composição, com ingredientes de seis diferentes sabores, doce, amargo, adstringente, ácido, salgado e picante, tomando-os um a um, dois a dois, três a três etc Aí estão os números das várias preparações com os seis ingredientes.

8 28 56 70 56 28 8 1 1 2 3 4 5 6 7 8 As chances de abertura das portas do palácio chegam a 255.

11 ATIVIDADES - OBJETIVOS Utilizar atividades diferenciadas para trabalhar a Análise Combinatória em sala de aula buscando despertar a curiosidade e a investigação matemática numa área que usualmente é pouco explorada; Observar como o aluno desenvolve as atividades propostas a fim de explorar aspectos matemáticos para a construção de conceitos básicos da Análise Combinatória.

numa área que usualmente é pouco explorada; Observar como o aluno desenvolve as atividades

12 Turmas Estudantes de 4 classes do 2º ano do Ensino Médio de uma escola pública de Descalvado. Atividades Serão aplicadas no 3º bimestre momento em que a AC é vista nos caderninhos. Metodologia Filmagem e anotações das atividades propostas que serão analisadas posteriormente.

Atividades Serão aplicadas no 3º bimestre momento em que a AC é

13 ATIVIDADES ATIVIDADE 1 Essa atividade consiste em pensarmos nas diferentes formas de fazermos uma deliciosa salada de frutas utilizando maçãs, peras e laranjas. De quantas maneiras diferentes você pode fazer uma salada de frutas utilizando duas dessas frutas? Mostre as possibilidades! E se fossem três? Ou seja, se você utilizasse todas as frutas disponíveis! De quantas maneiras diferentes você poderia montar essa salada? Um feirante possui, em sua banca, maçãs, peras e laranjas em grande quantidade. Desejando atender melhor a sua clientela, o feirante resolveu empacotar todas as suas frutas, de modo que cada pacote contivesse exatamente 5 frutas. Quantos diferentes tipos de pacotes poderá o feirante oferecer à sua clientela?

Ou seja, se você utilizasse todas as frutas disponíveis! De quantas maneiras diferentes você poderia montar essa salada?

14 ATIVIDADE 2 Essa atividade tem por objetivo construir semáforos que não se preocupam com as facilidades visuais dos motoristas considerando que a ordem em que as cores aparece é importante. Quantos e quais são os diferentes sinais de trânsito que podemos construir com três cores, respeitando a ordem e sem repeti-las? Agora responda, quantos semáforos poderíamos formar se pudéssemos repetir as cores? Você conseguiria construí-los?

Quantos e quais são os diferentes sinais de trânsito que podemos construir com três cores, respeitando a

15 ATIVIDADE 3 A atividade consiste em dobrar a fita nas linhas marcadas, sobrepondo um quadrado sobre o outro com um efeito sanfona e através de dobras e sobreposições formar padrões ordenados pré-definidos com algumas das quatro cores. Quantas são as configurações potencialmente possíveis para a obtenção de padrões na fita, sujeitas às restrições de contagem e simetria - número fixado de quadrados, utilização no máximo de duas vezes das quatro cores e identificação por rotações de 180º?

Quantas são as configurações potencialmente possíveis para a obtenção de padrões na fita, sujeitas às restrições de

16 Referências Bibliográficas BARONI, R. L. S.; NOBRE, S. R. A pesquisa em História da Matemática e suas relações com a Educação Matemática. In: Pesquisa em Educação Matemática: Concepções & Perspectivas. Rio Claro: Ed. UNESP, BIGGS, N. L. The roots of combinatorics. Revista Historia Mathematica, vol. 6, p , BRASIL, Ministério da Educação. Parâmetros Curriculares Nacionais: Ensino Médio. Brasília: Secretaria de Educação Média e Tecnológica, WIELEITNER, H. Historia de la Matematica. Barcelona: Labor, p.134 WILSON, R. J.; LLOYD, E. K. Combinatorics. Geometries and Topology, p , 1990.

Revista Historia Mathematica, vol. 6, p.109-136, 1979. BRASIL, Ministério da Educação. Parâmetros Curriculares Nacionais: Ensino Médio.

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