FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA. Autoras: Márcia Stochi Veiga

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1 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Autoras: Márcia Stochi Veiga Maria Aparecida dos Santos Maria Angela de Oliveira Regina Célia Ferreira Fedele Suzana Lima de Campos Castro

2 Prezado (a) Aluno(a) Você está recebendo um material de Matemática, destinado aos alunos ingressantes dos cursos de graduação, que dará suporte à revisão de conteúdos e competências relacionados ao raciocínio lógico-matemático O material tem um conjunto de eplicações de conceitos e atividades de aplicação. Temos certeza que o trabalho realizado contribuirá muito com o seu desempenho ao longo do curso. Bom estudo! Equipe Acadêmica ª Edição - 00 Revisão: Julho de 00 por Suzana Castro Copyright Veris Faculdades

3 Sumário Introdução... Módulo I Conjuntos Numéricos Epressões Numéricas em Z Eercícios... Módulo II Números Racionais Frações Epressões Numéricas envolvendo Números Racionais Frações Eercícios... Módulo III Números Reais Eercícios... 9 Módulo IV.... Equação do º Grau.... Sistemas de Equações do º Grau Equações do Grau Eercícios... Módulo V Razão Proporção Eercícios... 5 Módulo VI Polinômios Produtos Notáveis Fatoração de Polinômios Simplificação de Epressões Racionais Eercícios Referências Bibliográficas Dicas de sites, livros, vídeos e links interessantes... 66

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5 Introdução Este teto é um material de apoio para o curso de Fundamentos de Matemática, oferecido pela Metrocamp aos calouros dos seus cursos de graduação: Bacharelado e Tecnologia. A proposta do curso é permitir que o aluno atualize seus conhecimentos de matemática básica, revendo alguns conceitos e reforçando as técnicas de manipulação algébrica. A prática, por meio de eercícios orientados, é o ponto mais relevante neste processo. Sendo assim, não pretendemos cobrir todo o conteúdo da matemática do ensino fundamental e médio, nem mesmo nos aprofundar em demasia nas definições. O material está divido em Módulos, referentes a cada encontro de horas-aula do curso. No Módulo I iniciamos com o conceito de Conjuntos Numéricos, Operações e Propriedades. Tratamos também de Epressões Numéricas com Números Inteiros. No Módulo II, revisamos o conceito de Frações e Números Decimais, além de apresentarmos a resolução de Epressões Numéricas com Números Racionais. No Módulo III, apresentamos epressões envolvendo radicais, além da Notação de Intervalos. Finalmente, no Módulo IV, tratamos da resolução de equações do o e o Graus. Incluímos ainda dois Módulos Complementares: um sobre Razão e Proporção/ Porcentagem e outro sobre Polinômios e Fatorações, para serem tratados de acordo com a necessidade da área de conhecimento específico de cada curso de graduação. Cada módulo inclui um resumo do conteúdo teórico que é desenvolvido durante as aulas, incluindo eemplos, eercícios resolvidos e eercícios propostos. Esperamos assim contribuir para que cada aluno tenha uma visão crítica e prática da aplicação dos conceitos matemáticos básicos necessários nos cursos de graduação. Bom trabalho!

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7 Módulo I O número Na vida primitiva, o homem não precisava controlar quantidades. O senso numérico bastava. Com a criação de animais domésticos, no entanto, surgiu um dos primeiros problemas quantitativos para o qual o senso numérico não tinha resposta. Os pastores perceberam que não bastava saber que no fim do dia deviam voltar muitos animais, já que muitos haviam saído. Se a quantidade não fosse conhecida melhor, várias cabeças se perderiam. Mas como saber se todos os animais que saíram, voltaram? Para resolver esse problema, os pastores criaram um sistema no qual para cada ovelha que saísse, cada pastor separava uma pedrinha; ao voltarem da pastagem eles tinham como conferir se todas as ovelhas haviam retornado. A relação de correspondência biunívoca que os pastores estabeleceram não eiste a não ser na ideia humana. Trata-se, portanto, de um pensamento.. Conjuntos Numéricos Conjunto dos números naturais IN IN { 0,,,,, 5, 6,...} IN* {,,,, 5, 6,...} Conjunto dos números inteiros Z Z {..., 6, 5,,,,, 0,,,,, 5, 6,...} Z + {0,,,,, 5, 6,...} Z {..., 6, 5,,,,, 0} Conjunto dos números racionais Q a Q, b a Z, b Z e b 0 Conjunto dos números reais IR O conjunto dos números reais é composto pelos números racionais e irracionais (dízimas infinitas não periódicas). 5

8 N Z Q R IN Z Q IR Operações básicas sobre conjuntos numéricos Operação Notação Eemplo Adição a+b + 5 Subtração a b 8 Multiplicação ab ou a.b. 6 Divisão a:b ou a/b ou b a sendo b 0 : Potenciação a n Radiciação n a 6 8 Propriedades de uma operação OP sobre um conjunto numérico B Propriedade Definição Eemplo Comutativa Associativa Fechamento Elemento Neutro a OP b b OP a (a OP b) OP c a OP (b OP c). a OP b pertence ao conjunto B, se a e b pertencem a B. Eiste um elemento X em B, que: a OP X X OP a a (+) + +(+) (.)..(.) Na adição vale o fechamento (0 é o elemento neutro da adição).. ( é o elemento neutro da multiplicação) Distributiva a.(b+c) a.b + a.c.(+) + 6 6

9 . Epressões Numéricas em Z Números inteiros O conjunto dos números inteiros é formado pelos números inteiros negativos, o número zero e os números inteiros positivos. O número inteiro negativo é sempre antecedido pelo sinal, que lemos menos. O número inteiro positivo pode ou não ser antecedido pelo sinal +, que lemos mais. Números opostos ou simétricos O oposto de um número a é a. Eemplos: Oposto de é. Oposto de é. Valor absoluto ou módulo a, se a 0 a a, se a < 0 Eemplos: Adição de números inteiros Quando somamos números positivos estamos juntando ganhos, e o resultado é o total de ganhos (positivo). Quando somamos números negativos estamos juntando perdas, e o resultado é o total de perdas (negativo). Eemplo ( + ) + ( + ) + 5 ( ) + ( ) 5 A soma de dois números inteiros de sinais diferentes significa que estamos juntando perdas e ganhos. Se a perda for maior que o ganho, o total será a diferença entre perda e ganho com sinal 7

10 negativo. Mas se o ganho for maior que a perda, o total será a diferença entre o ganho e a perda com sinal positivo. Eemplo ( + ) + ( ) ( ) + ( + ) + + Regra da adição Sinais iguais Adicionam-se os valores absolutos e conserva-se o sinal. Sinais contrários Subtraem-se os valores absolutos e conserva-se o sinal do número de maior valor absoluto. Subtração de números inteiros A subtração de dois números é equivalente à soma do minuendo com o oposto do subtraendo: a b a + ( b) Portanto segue a regra da adição. Eemplos ( + ) ( ) ( + ) + ( + ) + 5 ( ) ( + ) ( ) + ( ) 5 Multiplicação de números inteiros A multiplicação é equivalente a uma soma de parcelas iguais.eemplo ( + ).( + 5).( + 5) ( + 5) + ( + 5) + 0 ( + ).( 5).( 5) ( 5) + ( 5) 0 ( ).( + 5) ( + ).( + 5) (5 + 5) 0 ( ).( 5) ( + ).( 5) ( 5 5) ( 0) 0 Regra da multiplicação Mesmo sinal O resultado da multiplicação é um número positivo. Sinais contrários O resultado da multiplicação é um número negativo. 8

11 Divisão de números inteiros Mesmo sinal O quociente é um número positivo. Sinais contrários O quociente é um número negativo. Eemplos + ( + ).( + ) + + ( ).( ) + + ( + ) : ( ) ( ) : ( + ) + Potenciação de números inteiros A potência de um número inteiro, que tem como epoente um número natural maior que, é um produto de fatores iguais. Eemplo ( + ) ( ) ( + ).( + ).( + ) + 8 ( ).( ).( ) 8 Regra da potenciação Base positiva e epoente natural O resultado é um número positivo. Base negativa e epoente natural par O resultado é um número positivo. Base negativa e epoente natural ímpar O resultado é um número negativo. Algumas propriedades da potenciação de números inteiros Epoente O resultado é a própria base. Eemplos ( + ) ( ) 0 0 9

12 Produto de potências de mesma base O produto de duas ou mais potências de mesma base é igual a uma potência com a mesma base, e o epoente é igual à soma de todos os epoentes das potências fatores. Eemplo ( ).( ) ( ).( ).( ).( ).( ) ( ) + Regra a m. a n a m+ n Quociente de potências de mesma base O quociente de duas potências de mesma base é igual a uma potência cuja base é a mesma das potências envolvidas na divisão, e o epoente é a diferença dos epoentes do dividendo e do divisor. Eemplo ( ) 5 : ( ) 5 ( ) ( ) ( ).( ).( ).( ).( ) ( ).( ).( ) ( ) 5 ( ) Regra a m : a n m a a n a mn Epoente zero e base não nula Qualquer número inteiro diferente de zero elevado ao epoente zero é igual a um, pois equivale a uma divisão onde o dividendo e o divisor são iguais. Eemplo 0 Epoente negativo Qualquer número inteiro diferente de zero elevado ao epoente negativo é igual ao inverso da base elevado ao valor absoluto do epoente. Eemplo 0 0 Regra 0

13 a p, p a a 0 Potência de potência Uma potência elevada a um epoente (potência de potência) é igual à base da potência elevada a um epoente epresso pelo produto dos epoentes dados. Eemplo. 6 ( ).. Regra m n m. n ( a ) a Observação 8 56 Epressões numéricas Nas epressões numéricas, as potências e raízes quadradas são efetuadas antes das multiplicações e divisões. E estas, antes das adições e subtrações. Além disso, devem ser respeitados os parênteses, colchetes e chaves. Eemplo 7.( ) 5.( ) ( 8) Eemplo 0 [ 0 ( ) ( 8: )] 0 [ ( 8) ( )] 0 [ + 8 0] 0 9

14 . Eercícios Nos eercícios de a 9, calcule o valor das epressões numéricas:. ( 7 ).( 9 + ) ( 7 + ) : ( 5 5) + ( 9 + 6). ( 9 ) : ( + 7) [ 0 ( ).( 5 + ) + ( 6) : ( ) ]

15 ( + ) [( ) : ( ) + ( ).( + ) ]. 5 ( 6) : ( ) ( ) + ( ) : ( ) ( ) : ( 5) + [ 0 ( 0 + 6) : ( ) 5 ]

16 6. ( 7 6).( ) ( 5 5) : ( + 50) + ( 9) : ( 5 + ) ( 7) + 0 ( ) : 8 ( ) [ ] ( : ) [( ) : ( ) : ]

17 5 7.( ) 0:( ) + 6.( ) 7 + ( 5) : 9. [ ] 5 0. O número inteiro representa a diferença entre o quadrado do número e o cubo do número. Qual é o número?. Qual é o valor numérico da epressão a a quando 0 a e? 5

18 . Determine o valor numérico da epressão a b ( c) quando a, b + e c + 5. Respostas

19 Módulo II Os números racionais O surgimento da propriedade privada criou a necessidade de se lidar com um novo tipo de movimento quantitativo. Há cerca de.000 anos o faraó egípcio Sesóstris repartiu as terras férteis da margem do rio Nilo em porções iguais e cedeu, para cada família, um lote. Mas eistia um problema. O rio transbordava e acabava com as marcas dos lotes. Como saber a quantidade de terra de cada proprietário? A quantidade de terra não vem organizada em unidades naturais, como no caso dos animais. Não é uma quantidade discreta. É contínua. O problema que os egípcios enfrentaram foi como controlá-la. Para resolver esse problema, inventaram a medição. Ela tem como elemento a criação de unidades artificiais para se contar uma quantidade contínua, já que esta não vem organizada em unidades naturais. A unidade artificial para medir uma quantidade depende de como é essa unidade. No caso da medição de terras, ela é caracterizada pela etensão, área e comprimento. Dessa forma, a unidade artificial a ser criada deverá ser, necessariamente, um comprimento. Criou-se um novo campo numérico, apreendido pela razão de dois números: o total das subunidades e quantas couberam na sobra. Essa característica deu o nome do novo campo numérico: o número racional. Houve uma epansão do campo numérico das quantidades discretas para as contínuas, do número natural para o racional. As contínuas incluem as discretas, pois estas são um caso particular daquelas. Da mesma forma, o número racional contém o número natural, sendo esse um caso particular no qual a medição com a unidade escolhida não apresenta sobra.. Números Racionais Números racionais são os que podem ser descritos como o quociente de dois números inteiros. Representação Fração Decimal,5 0,... 7

20 . Frações Fração Uma fração é representada por: a sendo a o numerador e b 0 o denominador. O denominador b indica o número de partes iguais em que um todo deverá ser dividido. E o numerador indica quantas daquelas partes em que o todo foi dividido estão sendo consideradas no caso. Frações equivalentes Representam a mesma quantidade. Eemplo 6 Simplificação de frações Obter uma fração equivalente mais simples, ou na forma irredutível. Eemplo Fração inversa a O inverso de é b, sendo a 0 e b 0 b a Adição e subtração de frações Para adicionar e subtrair frações é necessário que elas tenham o mesmo denominador. Quando a epressão apresentar frações com diferentes denominadores, devem-se calcular frações equivalentes com denominadores iguais, onde o denominador comum para as frações equivalentes será o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) dos denominadores. Eemplos

21 Multiplicação e potenciação de frações Multiplicar duas frações equivale a obter o produto dos numeradores e dos denominadores. Eemplos Observação Se possível, simplificar antes de realizar o produto Divisão de frações Toda divisão pode ser convertida nesse tipo de multiplicação, sem alterar o seu significado. Eemplo.. Assim, dividir duas frações equivale a multiplicar o dividendo pelo inverso do divisor. Eemplos : : Radiciação de frações Efetuar a radiciação de uma fração equivale a etrair a raiz do numerador e do denominador. Eemplo 9 9

22 0. Epressões Numéricas envolvendo Números Racionais Frações Nas epressões numéricas, as potências e raízes quadradas são efetuadas antes das multiplicações e divisões. E estas, antes das adições e subtrações. Além disso, devem ser respeitados os parênteses, colchetes e chaves. Eemplo : : : 5 : : 5 : : 5. 5 :

23 . Eercícios Nos eercícios de a, calcule o valor das epressões numéricas:

24 . + : :

25 : ) ( :

26 :

27 . Sabendo que a e b, determine o valor numérico de a + ab b. Respostas

28 Módulo III O número irracional Quando criaram o número racional, os matemáticos acharam que tinham domado as quantidades contínuas. Pitágoras (matemático grego do século VI a.c.) e seus discípulos conclamaram: Tudo é número. Tudo pode ser medido! No entanto, a principal produção teórica dessa escola, o Teorema de Pitágoras, demonstrava o erro da segunda afirmação. O Teorema de Pitágoras estabelece que a soma dos quadrados dos catetos é o quadrado de sua hipotenusa. O número é impossível de ser escrito na forma de uma razão; isto é, é impossível tomar a unidade, quebrá-la em subunidades e identificar quantas cabem na hipotenusa. Ou seja, a medição dessa hipotenusa é impossível nos números racionais. Ela eiste. É possível vê-la, mas é impossível representar sua medida com um número racional. Houve uma epansão do campo numérico das quantidades descontínuas para as contínuas, do número racional para o número real. Dessa forma, o campo numérico Real contém os campos numéricos Natural, Inteiro, Racional e Irracional.. Números Reais Conjunto dos números reais IR O conjunto dos números reais é composto pela união do conjunto conjunto dos números irracionais (dízimas infinitas não periódicas). dos números racionais com o Conjunto dos números irracionais Os números irracionais são decimais infinitas não periódicas, ou seja, os números que não podem ser escritos na forma de fração (divisão de dois inteiros) ). Como eemplo de números irracionais, temos a raiz quadrada de e a raiz quadrada de : Eemplos Um número irracional bastante conhecido é o número π que equivalee a, Observação Entre dois números inteiros eistem infinitos números reais. Por eemplo, entre os números e eistem infinitos números reais, como:,0;,00;,000;,;,;,5;,99;,999;,9999;... 6

29 Intervalo Dados dois números reais p e q, chama-se intervalo a todo conjunto de todos os números reais compreendidos entre p e q, podendo inclusive incluí-los. Os números p e q são os limites do intervalo, sendo a diferença p - q chamada de amplitude do intervalo. Se o intervalo incluir p e q, o intervalo é fechado; caso contrário, o intervalo é dito aberto. A tabela abaio define os diversos tipos de intervalos. Tipos de intervalos Representação Observação Fechado [p;q] { R; p q} inclui p e q Aberto (p;q) { R; p < < q} eclui p e q Fechado à esquerda [p;q) { R; p < q} inclui p e eclui q Fechado à direita (p;q] { R; p < q} eclui p e inclui q Semifechado [p ) { R; p} valores maiores ou iguais a p Semifechado (- ; q] { R; q} valores menores ou iguais a q Semiaberto (- ; q) { R; < q} valores menores que q Semiaberto (p; ) { > p } valores maiores que p Adição algébrica entre números reais A adição entre duas parcelas só é possível se os termos forem semelhantes. Eemplos I. A epressão algébrica + y + 7y pode ser reduzida adicionando-se os termos semelhantes: ( ) + (y + 7y) + 9y II. A epressão numérica pode ser reduzida adicionando-se os termos semelhantes: ( ) + ( ) Multiplicação entre números reais O produto de dois ou mais radicais de mesmo índice é um radical com o mesmo índice dos fatores cujo radicando é igual ao produto dos radicandos dos fatores. 7

30 Eemplo Potenciação de números reais A potência é calculada usando a definição, ou seja, ser a multiplicação entre números reais da base. Por eemplo: ( ) Racionalização de números irracionais Racionalizar uma epressão é deiá-la com o denominador inteiro, não importando o tipo de valor que resultará no numerador. A escolha do fator multiplicativo está relacionada com a necessidade de transformar o valor do denominador num número natural, mas sem alterar o valor absoluto da fração inicial. Eemplo 0,

31 . Eercícios. Calcule, utilizando a calculadora, o valor das raízes quadradas, escrevendo o resultado com até duas casas decimais: a. b. c. 5 d. 5 e. 5 f. π. Escreva, na forma mais simples possível, cada uma das epressões: a b c

32 . Calcule as somas algébricas. Sugestão: fatore os radicais, simplifique-os, em seguida efetue as adições entre os termos semelhantes. a b c Efetue as multiplicações: a

33 b. 6 ( 5) 0 c Calcule, utilizando a propriedade distributiva: a. ( + 5) b. ( )(8 + )

34 c Usando a definição de potência, o conceito de multiplicação entre números reais, calcule: a. ( ) 5 b. ( ) c. Respostas... a., b., 7 c. 5, d. 5, e. 5 não eiste raiz real f. π, a b c a. 6 5 b. 8 c a. b. 0 c. 5 5 a. + 5 b c. a. 5 + b. c. 9

35 Módulo IV. Equação do º Grau Um problema A tabela abaio apresenta as notas de avaliações de matemática de determinado aluno durante o semestre letivo, com seus respectivos pesos: Prova P B P B Nota,0 5,0,5 Peso,6,,,6 As notas das avaliações são sempre arredondas de 0,5 em 0,5 ponto, e para o aluno ser aprovado é necessário que a média final ponderada, calculada entre as quatro provas, seja maior ou igual a 5,0. Qual deve ser a nota mínima da prova B para que o aluno seja aprovado? Resolução: Sendo a nota B e M a média, temos: M, 6. +,.5 +,.,5 +,6., 6 +, +, +,6 Para determinar, sendo M5, precisamos resolver uma equação do o grau, ou seja: 9, +, Equação É uma afirmativa de igualdade entre duas epressões. Equação do o grau sobre uma variável É uma equação que pode ser escrita na forma: a + b 0, sendo a e b números reais com a 0. Eemplos 0 é uma equação linear sobre a variável.

36 z + 0 é uma equação linear sobre a variável z. Solução ou raiz Uma solução, ou raiz, de uma equação em é um valor de para o qual a equação é verdadeira. Uma equação do grau em uma variável tem eatamente uma solução. Eemplos é solução de 0, pois. 0 z 9 é solução de z + 0, pois.( 9) Equações equivalentes Duas ou mais equações são equivalentes quando possuem a mesma solução. Eemplos 0, e são todas equivalentes. z + 0, z e z 9 são todas equivalentes. Resolução de uma equação do o grau Resolver uma equação é transformá-la em uma equação equivalente cuja solução é óbvia. Para resolver uma equação do º grau isolamos a incógnita em um dos membros da igualdade, usando as propriedades:. Ao adicionar ou subtrair o mesmo valor aos dois membros de uma igualdade, ela não se altera.. Ao multiplicar ou dividir por uma constante não nula (diferente de zero) os dois membros de uma igualdade, ela não se altera. Eemplos. Resolver a equação s 5 : Para determinar o valor de s, somamos aos dois membros s e obtemos: s 8

37 . Resolver a equação p + 0 : Para determinar o valor de p, primeiro somamos aos dois membros: p + 0 obtendo: p 9 Dividindo os dois membros por, temos: p 9 e portanto p. Sabendo que 7, calcule : Somando aos dois membros, temos: Para obtermos, dividimos os dois membros por : 0 5. Encontre a raiz da equação ( s ) 80 (s + ) : Aplicando inicialmente a propriedade distributiva para simplificar as epressões, obtemos: s 80 6s Somando 6s aos dois membros, temos: s + 6s 80 6s + 6s 9 s 78 Somando aos dois membros, temos: 9 s 90 Para obtermos s, dividimos os dois membros por 9: 9s s 0 5. Resolver a equação + 5 : Multiplicando os dois membros pelo mínimo múltiplo comum entre e 5, m.m.c.(,5)0, temos: + 0. ou seja: 5.( + ) aplicando a propriedade distributiva, temos:

38 Somando 0 aos dois membros, temos: 5 Para obtermos, precisamos dividir os dois membros por 5. Então 5 Observações A equação ab, com a0 não foi definida como equação do grau. Quando a0 e b 0 a equação ab é impossível (ou seja, não possui solução): Por eemplo, a equação (6 ) ( ) não possui solução. Essa equação não é equivalente a uma equação do o grau ab, com a 0, pois aplicando a propriedade distributiva para simplificar e depois somando ( ) aos dois membros, obtemos: 8 8 que é uma equação falsa. Quando ab0, a equação ab é indeterminada (ou seja, não possui infinitas soluções). Por eemplo, a equação (6 ) ( ) possui infinitas soluções. Essa equação não é equivalente a uma equação do o grau ab, com a 0, pois aplicando a propriedade distributiva para simplificar e depois somando ( ) aos dois membros obtemos:

39 . Sistemas de Equações do º Grau Um problema: Um estagiário trabalha 0 horas por semana, no total, em duas empresas: A e B. A empresa A paga R$,00 por hora e a B paga R$ 0,00 por hora. Certa semana ele recebeu R$ 60,00. Quantas horas ele trabalhou em cada empresa? Resolução Considerando que o estagiário trabalhou horas na empresa A e y horas na empresa B, temos que: () + y 0 e () + 0y 60 Essas duas equações determinam um sistema de equações. Sistema de duas equações do primeiro grau com duas incógnitas Um sistema linear sobre as variáveis e y é descrito por: a + by c d + ey f sendo a,b,c,d,e,f constantes. Eemplos y y 6 a + b a 6b é um sistema linear nas variáveis e y. é um sistema linear nas variáveis a e b. Solução de um sistema Uma solução de um sistema de duas equações com duas variáveis é um par ordenado que satisfaz cada uma das equações. Eemplos (,) é solução do sistema y, pois substituindo e y nas equações, obtemos: + y 7

40 .+ e portanto ambas são satisfeitas. (0,) não é solução do sistema y, pois substituindo 0 e y nas equações, obtemos: + y e a segunda equação não é satisfeita. Resolução de um sistema de equações do primeiro grau () Método da substituição Esse método consiste em isolar uma das incógnitas de uma das equações e em seguida substituir a epressão na outra equação. Eemplo Resolver o sistema + y 5 + y 55 Podemos isolar o valor de na primeira equação: 5 y Em seguida, substituímos esta epressão na segunda equação:.(5 y ) + y 55 e resolvemos a equação, obtendo o valor de y: 50 y + y y 55 y 5 Agora, substituímos o valor de em qualquer uma das equações dadas, obtemos o valor de : + y Observação Um procedimento equivalente para resolver esse sistema, por eemplo, isolando y na segunda equação e substituindo a epressão na primeira equação para resolver uma equação em. Todos os procedimentos equivalentes resultam na mesma solução. 8

41 () Método da adição (ou cancelamento) Esse método consiste em somar membro a membro das duas equações, com o objetivo de eliminar uma das incógnitas. Nesse processo, cada uma das equações pode ser multiplicada por uma constante não nula, já que isto não altera sua solução (ver detalhes no estudo de equações do o grau). Eemplo Resolver o sistema + y 5 + y 55 Podemos notar que ao somar membro a membro as equações dadas, nenhuma incógnita é eliminada: +y80 No entanto, podemos multiplicar a primeira equação por : y 50 + y 55 e em seguida somar membro a membro com a segunda equação, eliminando e encontrando o valor de y: + y + y y 5 o valor de é obtido substituindo y em qualquer uma das equações do sistema: + y Observação Um procedimento equivalente pode, por eemplo, consistir em multiplicar a primeira equação por, somar membro a membro com a segunda equação para eliminar a variável y. Nesse caso o valor de será encontrado e substituído em uma das equações para determinar y. Todos os procedimentos equivalentes resultam na mesma solução. Observações Quando as equações do sistema são incompatíveis, o sistema não possui solução. Esse fato será detectado durante a resolução do sistema, por qualquer um dos métodos, por meio da obtenção de uma equação falsa. 9

42 Por eemplo, na resolução do sistema + y 5 pelo método da adição, obtemos: y 55 + y y essa epressão não é verdadeira, quaisquer que sejam e y. Logo o sistema não tem solução. Quando as equações do sistema são redundantes, o sistema possui infinitas soluções. Esse fato será detectado durante a resolução do sistema, por qualquer um dos métodos, pela obtenção de uma equação verdadeira para qualquer incógnita: Por eemplo, na resolução do sistema + y 5 y 5 pelo método da adição, obtemos: + y y essa epressão é verdadeira, quaisquer que sejam e y 5. Logo o sistema possui infinitas soluções da forma: (,5 ).. Equações do Grau Quando a equação tem mais que uma raiz Considere a seguinte pergunta: Qual é o número inteiro cujo quadrado é 8? Provavelmente responderão rapidamente. É nove. Embora 9 seja uma solução, ela não é única. O número -9 elevado ao quadrado também resulta em 8, portanto, a questão admite duas soluções: 9 é uma solução, pois é uma solução, pois (-9). (-9) 8 Então podemos escrever uma equação (igualdade que apresenta letras) associada a esta situação-problema: r 8. Equações desse tipo são chamadas de equações do º grau porque o maior epoente da incógnita r é igual a. 0

43 Equações do º grau completas e incompletas A formulação geral ou padrão de uma equação do segundo grau, na variável, é: a. + b. + c 0 com a, b e c reais e a não nulo. Equações completas e incompletas Quando as equações do º grau na forma a. variável + b. variável + c 0 têm todos os coeficientes diferentes de zero, dizemos que elas são completas; se b ou c, ou os dois, forem iguais a zero, dizemos que elas são equações incompletas. Eemplos z + z + 0, completa com a, b e c -s s 0, incompleta com a -, b - e c 0 g + g -7, completa, com a, b - e c 7 (nesse caso, antes precisamos escrever a equação na forma padrão!) 6n 0, incompleta com a 6, b 0 e c 0. Observação O coeficiente a não poderá ser zero, pois caso seja, deiaremos de ter uma equação do º grau para obtermos uma equação do primeiro grau. Resolução de uma equação do º grau Para calcular o valor da incógnita em uma equação do º grau utilizamos uma fórmula, que é conhecida como fórmula de Bhaskara. Mas, na verdade, não foi ele quem a descobriu. Bhaskara, que viveu na Índia por volta de 50, resolveu vários problemas que envolviam equações do o grau. No entanto, historiadores encontraram indícios de que na civilização da Babilônia, em 700 a.c., já eram resolvidas algumas equações do o grau. A dedução dessa fórmula, para a equação do º grau na forma padrão ou geral: a. + b. + c 0, na variável, está a seguir: º Passo Isolamos o termo c: a. + b. c º Passo Multiplicamos os dois membros por.a:. a. +. a. b.. a. c º Passo Adicionamos b aos dois membros:. a. +. a. b. + b b. a. c º Passo Completamos um quadrado no primeiro membro, então podemos fatorá-lo: (. a. + b) b. a. c

44 5º Passo Etraímos a raiz quadrada dos dois membros:. a. + b ± b. a. c 6º Passo Isolamos : b ± b. a. c. a Nessa fórmula, a epressão b. a. c é representada pela letra grega maiúscula (lê-se delta). Assim teremos: b ±. a Δ Eemplo Resolver a equação z 0z + 0: Nessa equação, observamos que: a, b -0 e c. Daí, temos: (-0) ± 6 6 z ou z Raízes da equação do º grau As raízes de uma equação do o grau podem ser iguais, diferentes ou não pertencer ao conjunto dos reais. O (delta) também chamado de discriminante da equação é quem discrimina as raízes, de acordo com os critérios: Discriminante negativo Nenhuma raiz real. Discriminante zero Duas raízes reais e iguais. Discriminante maior que zero Duas raízes reais e diferentes.

45 . Eercícios Nos eercícios de a 7, resolva as equações: p 5p

46 . ( y ) y f 5 f f + 0 5

47 7. (6n ) (n ) 8. A tabela abaio apresenta as notas de avaliações de matemática de determinado aluno durante o semestre letivo, com seus respectivos pesos: Prova P B P B Nota,0 5,0,5 Peso,6,,,6 As notas das avaliações são sempre arredondas de 0,5 em 0,5 ponto, e para o aluno ser aprovado é necessário que a média final ponderada, calculada entre as quatro provas, seja maior ou igual a 5,0. Qual deve ser a nota mínima da prova B para que o aluno seja aprovado? 5

48 9. Resolva o sistema linear m + n 5 m + 0n Nos eercícios de 0 a, determine as raízes das equações: 0. n + n z z 5 6

49 . 0 p + p f + f + 0 7

50 5. Encontre dois números cuja soma seja 9 e o produto. Respostas.. p y 7 6. f 9. n e m 0. n 5 ou n 7. z 5 ou z 7. p 0 ou p 0. 0,5 ou 0. f 7. Não possui solução 8. 6,0 8

51 Módulo V. Razão A palavra racional vem do latim ratio que significa razão, também entendido em matemática como divisão. Razão é uma relação entre grandezas, onde a grandeza, qualidade ou propriedade de determinado objeto que se pode medir contando (discreta) ou medir medindo (contínua). Eemplo: Um estagiário ganha R$ 0,00 e um profissional da mesma especialidade ganha R$.00,00. Qual a razão entre esses salários? Resolução 0 Nesse caso, é a razão entre esses salários, ou seja, para cada R$,00 que o estagiário recebe, o profissional recebe R$ 5,00. Porcentagem A palavra porcentagem é proveniente do latim per centum e quer dizer por cem. O símbolo % surgiu como abreviatura da palavra cento utilizada nas operações de mercado. Matematicamente, o símbolo p% é utilizado para representar a fração razão centesimal, ou seja: p % p 00 Representação Taa porcentual 8% Fração irredutível Número decimal 0,8 Eemplos. Quando se anuncia que A Aids cresceu 00% entre adolescentes, pode-se entender que o número de casos triplicou na década de 90.. Quando se anuncia que O segmento de carros populares é responsável por 67% das vendas de veículos, o símbolo 67% pode ser interpretado como se a cada 00 veículos vendidos, 67 deles fossem do segmento dos carros chamados populares. 9

52 . Um artigo custa R$ 0,00. Quanto representa em porcentagem, um desconto de R$,00, sobre o preço inicial desse artigo? Resolução: Na verdade, a pergunta desse eercício é a seguinte: Quanto representa de um total de 0? Portanto, basta comparar com 0 e isso se faz por meio da seguinte razão: 0 0 Logo temos: 0, 0 % Razões entre grandezas de mesma espécie É o quociente entre os números que epressam as medidas dessas grandezas em uma mesma unidade. Eemplo Uma das aplicações da razão entre duas grandezas se encontra na escala de redução ou escala de ampliação, conhecidas simplesmente como escala. Chamamos de escala de um desenho a razão entre o comprimento considerado no desenho e o comprimento real correspondente, ambos medidos na mesma unidade. Escala comprimento no desenho/comprimento real Usamos escala quando queremos representar um esboço gráfico de objetos como móveis, plantas de uma casa ou de uma cidade, fachadas de prédios, mapas, maquetes, etc. Razões entre grandezas diferentes É o quociente entre as medidas dessas grandezas. Essa razão deve ser acompanhada da notação que relaciona as grandezas envolvidas. Eemplo A velocidade média, em geral, é uma grandeza obtida pela razão entre uma distância percorrida (epressa em quilômetros ou metros) e um tempo por ele gasto (epresso em horas, minutos ou segundos). v média distância percorrida/tempo gasto 50

53 . Proporção É a igualdade entre duas razões e indicada por: m n p q onde m e p antecedentes e p e q são consequentes; n e p são meios e m e q são etremos. Propriedade Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos etremos, ou seja: m n p m.p p.n q Grandezas diretamente proporcionais Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra também aumenta na mesma proporção, ou, diminuindo uma delas, a outra também diminui na mesma proporção, ou seja, quando a razão entre elas for um número constante. Eemplo Uma torneira foi aberta para encher uma caia com água. A cada quinze minutos é medida a altura da água. O resultado está na tabela: Tempo (min) Altura (cm) A razão entre essas grandezas pode ser epressa por: , Como a razão é constante, podemos dizer que a altura do nível da água é diretamente proporcional ao tempo que a torneira fica aberta. Enquanto o tempo aumenta, a altura também aumenta na mesma proporção. 5

54 Grandezas inversamente proporcionais Duas grandezas são inversamente proporcionais quando aumentando uma delas, a outra diminui na mesma proporção, ou, diminuindo uma delas, a outra aumenta na mesma proporção, ou seja, quando a razão entre os valores de uma das grandezas é igual ao inverso da razão entre os valores correspondentes de outra grandeza. Eemplo Um ciclista faz um treino para a prova de ".000 metros contra o relógio", mantendo em cada volta uma velocidade constante e obtendo, assim, um tempo correspondente, conforme a tabela abaio: Velocidade (m/s) Tempo(s) , A razão entre dois valores de uma grandeza é igual ao inverso da razão entre os dois valores correspondentes da outra grandeza. Quando a velocidade é duplicada, o tempo fica reduzido à metade. 5

55 . Eercícios. Converter as taas abaio da forma porcentual para a unitária: a.,% b.,5% c. 0,75% d.,7% e. 5,%. Transformar as taas abaio da forma unitária para a porcentual: a. 0, b. 0,00 c., d. 0,55 e.,65. Calcular os valores de: a. 0% de 9 +,% de 7 b. 5,% de 8,5,% de,7 5

56 c. 0,% de 5 +,6% de,5. Um comerciante remarcou em 5% o preço de suas mercadorias. Qual é o novo preço de uma mercadoria que era vendida por R$ 7,50? 5. Um vestido estava eposto em uma loja com o preço de etiqueta de R$ 0,00. Um cliente, alegando que faria pagamento a vista, solicitou um desconto de 5% e foi atendido. Quanto pagou pelo vestido? 5

57 6. Um funcionário recebe um salário-base de R$ 850,00. Recebe também um adicional por tempo de serviço de 5% sobre o salário-base. Além disso, está respondendo pela chefia da seção, recebendo por isso 8% sobre o salário-base. O empregador desconta 8,5% sobre seu salário total para a contribuição previdenciária. Quanto recebe esse funcionário? 7. Uma pessoa recebe R$.500,00 de salário da empresa em que trabalha. Recebe também R$ 700,00 do aluguel de um apartamento, além de R$ 800,00 de uma aplicação em CDB. Qual é a participação porcentual de cada fonte em seu salário total? Respostas. a. 0,0 b. 0,5 c. 0,0075 d.,7 e.,5. f. a.,6 b. 0,886 c.,8. a.,0% b. 0,% c. 0,0% d. 5,5% e. 6,5. R$ 78, 5. R$ 78,50 6. R$ 878, %,,% e 6,67% 55

58 Módulo VI. Polinômios Um polinômio na variável é qualquer epressão que pode ser escrita na forma a n n + a n n a + a 0 onde n é um inteiro não negativo e a n 0. Os números a n, K, a, a 0 são números reais chamados de coeficientes. O grau do polinômio é n e o coeficiente principal é a n. Polinômio com um único termo é chamado de monômio; com dois termos, é chamado de binômio, e com três termos, de trinômio. Eemplos Termos semelhantes Termos dos polinômios que têm a mesma variável, elevada à mesma potência, são chamados de termos semelhantes. Eemplo Nos polinômios e +, os termos semelhantes são: e e e Adição e subtração de polinômios Para adicionar os subtrair polinômios, adicionamos ou subtraímos os termos semelhantes. 56

59 57 Eemplos ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) 5 ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 ) ( Multiplicação de polinômios A multiplicação de dois polinômios requer a multiplicação de cada termo de um polinômio por todos os termos do outro, aplicando a propriedade distributiva. Na multiplicação de cada um dos termos, como as variáveis são as mesmas, utiliza-se da propriedade do produto de potências de mesma base. Em seguida, os termos semelhantes resultantes devem ser adicionados. Eemplos ( )( ) )).( ) (. 5)).( ( ). ( Produtos Notáveis Sendo u e v números reais, variáveis ou epressões algébricas, temos os seguintes resultados: Produto de uma soma e uma diferença (u + v).(u v) u v Quadrado da soma (u + v) u + uv + v Quadrado da diferença (u v) u uv + v Cubo da soma (u+ v) u + u v + uv + v Cubo da diferença (u v) u u v + uv v

60 . Fatoração de Polinômios Fatorar um polinômio significa escrevê-lo como um produto de dois ou mais fatores. Um polinômio que não pode ser fatorado está na forma irredutível. Os produtos notáveis podem ajudar na fatoração. Fatores comuns em evidência O primeiro passo na fatoração de um polinômio é remover e colocar em evidência fatores comuns de seus termos usando a propriedade distributiva. Eemplos + 6 ( + ) u v + uv uv u + v Fatoração da diferença de quadrados Ao identificar a diferença de dois quadrados é possível fatorar a epressão por meio do produto de uma soma e uma diferença. Eemplo 5 6 (5) 6 (5 + 6)(5 6) Fatoração de um trinômio Um trinômio a + b + c pode ser fatorado utilizando as raízes da equação do o correspondente, a + b + c 0, e : a + b + c a.( ).( ) grau Eemplo ( ).( ) Fatoração por agrupamento Se um polinômio com quatro termos é o produto de dois binômios, os termos podem ser agrupados para fatorar. Para isso, a fatoração dos termos comuns em evidência é utilizada duas vezes. Eemplo + 6 ( +) ( + ) ( + ).( ) 58

61 . Simplificação de Epressões Racionais Epressões racionais Uma epressão racional é o quociente ou razão de dois polinômios. Eemplos + 6 ( + ), sendo 6, sendo Simplificação de epressões racionais Uma epressão racional uz vz, sendo u, v e z variáveis ou epressões algébricas com z, v 0, pode ser escrita na forma mais simples usando uz vz u v Isso requer a fatoração do numerador e do denominador. Quando os fatores comuns do numerador e do denominador forem removidos, a epressão racional está na forma reduzida. Eemplos + 6 ( + ) 6 ( ) + ( + )( ) ( + ) ( ) ( + )( ) ( + )( ) ( + ) ( ) ( )( ) ( ) 59

62 5. Eercícios. Opere com as epressões algébricas, reduzindo-as à forma mais simples: a. b + 7b + b b + b. ( )( + 5) c. (y + 9y ) (y y ) 60

63 d. (r 0) (r 0) e. (v v + 9) (v ).(v + ) f. (pq ).(p q) 6

64 . Desenvolva os produtos: a. (c + 5)(c 5) b. (m ) c. ( 5p)( + 5p) d. (p + ). Fatore as epressões: a y b. 5c d c y y d. y 6y + 6 e. 9m + 6mn + n 6

65 . Simplifique as epressões: a. 8 5 b. c d. + Respostas... a. 7b + 5b 0 b a. c 5 b. m 6m + 9 a. 6 (5 + y) b. ( 5c + d)(5c d) c. y d. 0 e. v v + 0 c. 5p d. 6 9 p + p + c. ( )(5 + y) d. ( y 8) f. e. p q ( m + n). a. b. 5 6 c. d. ( ( + ) ) 6

66 6

67 Referências Bibliográficas Demana, F. D; Waits, B.K; Foley, G.D. e Kennedy, D. Pré-Cálculo. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 009. IEZZI, G. DOLCE, O. MACHADO, A. Matemática e Realidade: 7º ano 6 ed. São Paulo: atual, 009. NICOLAU, S. Eu aprendo Matemática: 6ª série. São Paulo. Ediouro, 00. BIGODE. A.J.L. Matemática hoje é feita assim. 6ª série. São Paulo. FTD, 000 Ensino Fundamental 8º ano Material Didático UNO Ensino Fundamental 9º ano Material Didático UNO Matemática Ensino Fundamental Universitário Sistema Educacional. BOYER, Carl B. História da Matemática, Editora Edgard Blucher Ltda, a Edição CARNEIRO, Lucinei. História da Matemática, site: GUELLI, Oscar. Contando a História da Matemática, Volumes e, Editora Ática IFRAH, Georges.Os Números, A História de uma Grande Invenção, Editora Globo VITT, Catarina Maria. Matemática com Prazer. Editora Unimep, a edição. BIANCHINI Edwaldo Paccola, Herval. Sistema de Numeração ao Longo da História. Editora Moderna, ª Edição. IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo. Os números na história da civilização. São Paulo: Scipione, 999. IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar. Vol Conjuntos e Funções, 8ª Ed. São Paulo: Atual, 00. Giovanni e Giovani Jr. A conquista da matemática. Volumes ao. Editora FTD, 00. Sites:

68 Dicas de sites, livros, vídeos e links interessantes Stewart, Ian. Almanaque das Curiosidades Matemáticas. Rio de janeiro: Ed. Jorge Zahar, 008. Tahan, Malba. Matemática Divertida e Curiosa. São Paulo: Ed. Record, / (Escolha o Tipo de mídia: Vídeo e a Categoria: TV Escola Matemática)