RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA DO VESTIBULAR 2013 DA FUVEST-FASE 2. POR PROFA. MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA

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Paulo Furtado Fartaria
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1 RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA DO VESTIBULAR 01 DA FUVEST-FASE. POR PROFA. MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA Fase, segundo dia Q 1. O número N de átomos de um isótopo radioativo existente em uma amostra diminui com o tempo t, de acordo com a expressão N(t) N 0 e -λt, sendo No o número de átomos deste isótopo em t 0 e λ a constante de decaimento. Abaixo, está apresentado o gráfico do log N em função de t, obtido em um estudo experimental do radiofármaco Tecnécio 99 metaestável ( 99m Tc), muito utilizado em diagnósticos do coração. A partir do gráfico, determine a) o valor de log N 0 ; b) o número N 0 de átomos radioativos de 99 mtc ; c) a meia-vida (T 1/ ) do 99 mtc. Note e adote: A meia-vida (T 1/ ) de um isótopo radioativo é o intervalo de tempo em que o número de átomos desse isótopo existente em uma amostra cai para a metade. log 0,; log 5 0,7 a) A partir do gráfico, log N 0 6,0 b) Se log N 0 6,0 N 0 6 c) N(t) N 0 / log N(t) log (N 0 /) N(t) log log5 +log 5 0, ,7. Analisando o gráfico vê-se que N(t) 5,7 para t 6 horas. Q 15. Um teleférico transporta turistas entre os picos A e B de dois morros. A altitude do pico A é de 500m, a altitude do pico B é de 800m e a distância entre as retas verticais que passam por A e B é de 900m. Na figura, T representa o teleférico em um momento de sua ascensão e x e y representam, respectivamente, os deslocamentos horizontal e vertical do teleférico, em metros, até este momento.

2 a) Qual é o deslocamento horizontal do teleférico quando o seu deslocamento vertical é igual a 0m? b) Se o teleférico se desloca com velocidade constante de 1,5m/s, quanto tempo o teleférico gasta para ir do pico A ao pico B? a) Os triângulos ATD e ABC são semelhantes, então, x 900 x RESPOSTA: O deslocamento horizontal é de 60m. b) Para determinar aa distância do ponto A ao ponto B, aplica-se o Teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo ABC: d m. O teleférico se deslocando com velocidade constante de 1,5m/s, gasta para ir do pico A ao pico B: 00 m t 00 1,5m/s RESPOSTA: 00 s. s Fase, terceiro dia M.01 Um empreiteiro contratou um serviço com um grupo de trabalhadores pelo valor de R$.800,00 a serem igualmente divididos entre eles. Como três desistiram do trabalho, o valor contratado foi dividido igualmente entre os demais. Assim, o empreiteiro pagou, a cada um dos trabalhadores que realizaram o serviço, R$ 600,00 além do combinado no acordo original. a) Quantos trabalhadores realizaram o serviço? b) Quanto recebeu cada um deles? Considere-se como x o número inicial dos trabalhadores. 800 Cada trabalhador deveria receber reais. x 800 Como três desistiram do trabalho, ficaram x trabalhadores e cada um recebeu reais. x Se o empreiteiro pagou, a cada um dos trabalhadores que realizaram o serviço, R$ 600,00 além do combinado no acordo original, tem-se a equação: x 18x 54 + x x x x x x x x 54 0 x 9 ou x 6 (não convém).

RESPOSTA: a) Realizaram o serviço (9 ) 6 trabalhadores. b) Cada um deles recebeu (800 : 6) 1800 reais. M.0 Percorre-se o paralelogramo ABCD em sentido antihorário.

3 RESPOSTA: a) Realizaram o serviço (9 ) 6 trabalhadores. b) Cada um deles recebeu (800 : 6) 1800 reais. M.0 Percorre-se o paralelogramo ABCD em sentido antihorário. A partir de cada vértice atingido ao longo do percurso, prolonga-se o lado recém-percorrido, construindo-se um segmento de mesmo comprimento que esse lado. As extremidades dos prolongamentos são denotadas por A, B, C e D, de modo que os novos segmentos sejam, então, AA', BB', CC' e DD'. Dado que AB 4 e que a distância de D à reta determinada por A e B é, calcule a área do a) paralelogramo ABCD; b) triângulo BB C ; c) quadrilátero A B C D. a) A área do paralelogramo ABCD é igual a AB DE 4 1u.a. 4 6 b) BB AB 4, C H 6 e S BB'C' 1u.a. c) Sendo A'DD' BB' C' e CC'D' A' AB', a área de A B C D é igual 8 S S + S + S u.a. ABCD BB'C' A'AB' AB' UVEST 01 PROVA M.0 Um guindaste, instalado em um terreno plano, tem dois braços articulados que se movem em um plano vertical, perpendicular ao plano do chão. Na figura, os pontos O, P 1 e P representam, respectivamente, a articulação de um dos braços com a base, a articulação dos dois braços e a extremidade livre do guindaste. O braço OP1 tem comprimento 6 e o braço P 1 P tem comprimento. Num dado momento, a altura de P é, P está a uma altura menor do que P 1 e a distância de O a P é. Sendo Q o pé da perpendicular de P ao plano do chão, determine a) o seno e o cosseno do ângulo P ÔQ entre a reta OP e o plano do chão; b) a medida do ângulo O Pˆ1 P entre os braços do guindaste; c) o seno do ângulo P 1 ÔQ entre o braço OP1 e o plano do chão.

4 a) No triângulo retângulo P OQ, OQ sen(p ÔQ) e cos(pôq) RESPOSTA: sen(p ÔQ) e cos(p ÔQ) b) Com o cálculo da medida do lado OQ conclui-se que os triângulos P OQ e P OP 1 são congruentes, logo o ângulo OP ˆ 1 P mede 90. RESPOSTA: 90 c) O ângulo P 1 ÔQ (P ÔQ), então, sen(p 1 ÔQ) sen(p 1 ÔQ). cos(p 1 ÔQ) sen(p 1 ÔQ). 5 RESPOSTA: sen(p 1 ÔQ). 5 M.04 Sócrates e Xantipa enfrentam-se em um popular jogo de tabuleiro, que envolve a conquista e ocupação de territórios em um mapa. Sócrates ataca jogando três dados e Xantipa se defende com dois. Depois de lançados os dados, que são honestos, Sócrates terá conquistado um território se e somente se as duas condições seguintes forem satisfeitas: 1) o maior valor obtido em seus dados for maior que o maior valor obtido por Xantipa; ) algum outro dado de Sócrates cair com um valor maior que o menor valor obtido por Xantipa. a) No caso em que Xantipa tira 5 e 5, qual é a probabilidade de Sócrates conquistar o território em jogo? b) No caso em que Xantipa tira 5 e 4, qual é a probabilidade de Sócrates conquistar o território em jogo? Como Sócrates está jogando com três dados honestos, o número de eventos possíveis é n(e) a) No caso em que Xantipa tira 5 e 5 as ocorrências prováveis para Sócrates conquistar o território em jogo é: 1) Número de possibilidades: 1. ) 6 6 1,,, 4 ou 5! Número de possibilidades: ! Total de possibilidades prováveis: A probabilidade pedida é: 16 7 RESPOSTA:. 7 b) No caso em que Xantipa tira 5 e 4, qual é a probabilidade de Sócrates conquistar o território em jogo é: 1) Número de possibilidades: 1. ) 6 6 1,,, 4 ou 5! Número de possibilidades: ! ) 6 5 1,, ou 4 Número de possibilidades: ! 4.

5 4) 6 5 5! Número de possibilidades:.! Total de possibilidades prováveis: 4. 4 A probabilidade pedida é: 16 4 RESPOSTA: 16 M.05 No paralelepípedo reto retângulo ABCDEFGH da figura, tem-se AB, AD e AE 4. a) Qual é a área do triângulo ABD? b) Qual é o volume do tetraedro ABDE? c) Qual é a área do triângulo BDE? d) Sendo Q o ponto do triângulo BDE mais próximo do ponto A, quanto vale AQ? AB AD a) A área do triângulo ABD é RESPOSTA: u.a. 1 1 b) O volume do tetraedro ABDE é SABD AE 4 4 RESPOSTA: 4u.v. c) Os triângulos ADE, ABD e ABE são retângulos. D E , BD e BE h BE EI h BE EI No triângulo BDE tem-se: Fazendo EIx: h BD DI h BD h h ( 0 ) x ( 1) ( 5 x) 1 S BDE 5 5 RESPOSTA: u.a. 0 x x x x x, u.a. h h ( ) ED x h 9,76 h BE EI 976 0,4 h 0 h

d) Do item b tem-se que o volume do tetraedro ABDE é 4u.v. Sendo AQ a menor distância do ponto A ao triângulo BDE, então AQ é a altura do tetraedro ABDE em relação à base BDE.

6 d) Do item b tem-se que o volume do tetraedro ABDE é 4u.v. Sendo AQ a menor distância do ponto A ao triângulo BDE, então AQ é a altura do tetraedro ABDE em relação à base BDE. Logo V SBDE AQ AQ 4 AQ. ABDE RESPOSTA: 1 AQ M.06 Considere o polinômio p(x) x a) Ache todas as raízes complexas de p(x). b) Escreva p(x) como produto de dois polinômios de segundo grau, com coeficientes reais. a) Raízes de p(x): x x 4-1 x 4 cos(π+kπ) + isen(π+kπ) As raízes quartas de x 4 são do tipo x π + kπ π + kπ cos + isen, com k [0,1,,, 4} 4 4 π π x 0 cos + isen + i, 4 4 x 5π 5π cos + isen i e 4 4 π π x 1 cos + isen + i, 4 4 x cos 7π 4 + isen 7π 4 i RESPOSTA: x 0 + i, x 1 + i, x i e x i. b) Fazendo a composição de dois trinômios do segundo grau que tenham como raízes duas das raízes de p(x): x + i + i e x0 x + i i + 1 x0 x i i e x i 1 1 x + i + x1 Logo p(x) x ( x x + 1)( x + x + 1). RESPOSTA: p(x) ( x x + 1)( x + x + 1).

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