RENDAS CERTAS E RENDAS SOBRE A VIDA HUMANA ANNUITIES CERTAIN AND LIFE ANNUITIES

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1 C TC RENDAS CERTAS E RENDAS SOBRE A VIDA HUMANA ANNUITIES CERTAIN AND LIFE ANNUITIES Versão Provsór Provsol Verso ONOFRE ALVES SIMÕES DEZEMBRO 26 DECEMBER 26

2 ÍNDICE CONTENTS Irodução: Reds e Reds sobre Vd Hu Iroduco: Aues d Lfe Aues PARTE I RENDAS CERTAS PART I ANNUITIES CERTAIN. Reds eporárs de eros coses, e epo dscreo e e epo coíuo Level ues dscree d couous e 2. Reds perpéus de eros coses, e epo dscreo e e epo coíuo Level perpeues dscree d couous e 3. Reds eporárs de eros vrr e progressão geoérc Aues wh geoerclly cresg/decresg pyes 4. Reds perpéus de eros vrr e progressão geoérc Perpeues wh geoerclly cresg/decresg pyes 5. Reds eporárs de eros vrr e progressão réc Aues wh rheclly cresg/decresg pyes 6. Reds perpéus de eros vrr e progressão réc Perpeues wh rheclly cresg pyes 7. Reds eporárs co eros vrr de ouros odos e epo dscreo e e epo coíuo Oher ues wh vryg pyes dscree d couous e 8. Reds perpéus co eros vrr de ouros odos e epo dscreo e e epo coíuo Oher perpeues wh vryg pyes dscree d couous e 9. Ouros reges de cplzção que ão o Rege de Juro Coposo Accuulo ehods oher h Copoud Ieres

3 PARTE II RENDAS SOBRE A VIDA HUMANA PART II LIFE ANNUITIES. Reds vlícs sobre u vd Whole lfe ues 2. Reds eporárs sobre u vd Ter lfe ues 3. Reds sobre dus vds: grupos exguíves à prer ore Jo lfe ues (wo lves) 4. Reds sobre dus vds: grupos exguíves à úl ore Ls survvor ues (wo lves) 5. Reds de sobrevvêc Reversory ues 6. Algus proxções e ouros resuldos A few pproxos d oher resuls 7. Reds sobre s de dus vds Jo lfe d ls survvor ues (hree or ore lves) Referêcs Refereces

4 Irodução: Reds e Reds sobre Vd Hu Iroduco: Aues d Lfe Aues Os coceos que segur se prese ecor-se e lvros roduóros sobre Meác Fcer e Meác Aurl, coo por exeplo Meus, A (999), Brover SA (2) ou McCucheo & Sco W (986) e Grc JA & Sões OA (2), Bowers e l. (997) ou Dcso DC, Hrdy MR & Wers HR (2). Coo se poderá ver, or pre ds defções plc-se o às reds cers coo às reds sobre vd hu, co s ecessárs dpções. Defções e clssfcção ds reds Def. : Red fcer é u sucessão de pgeos que ocorre e oeos equdses. Cd pgeo é u ero d red e o período (cou) ere dos pgeos cosecuvos é o período d red. Def. 2: U red sobre vd hu (ou sobre u grupo de vds hus) é u sucessão de pgeos que ocorre e oeos equdses, desde que o dvíduo (o grupo) que os fz/recebe esej vvo s ds e que ocorre. O dvíduo (o grupo) é desgdo vd. Se, o íco do coro, vd ver x os de dde, us-se oção (x) pr dcr esse fco; coo é prác corree, x é chd dde url, ou sej, é o ero s próxo d dde d pesso segur, o íco do coro. No cso de se er u grupo (dus ou s vds), oção é dpd.. Def. 3: U red dz-se cer qudo probbldde de cd u dos pgeos se relzr é. Ou sej, o pgeo ão depede de for explíc d relzção de u coeceo leóro. Qudo depede, coo o cso ds reds sobre vd hu, red dz-se cer. The followg coceps y be foud roducory boos o Fcl Mhecs d Acurl Mhecs, such s Meus, A (999), Brover SA (2) or McCucheo & Sco W (986), d Grc JA & Sões OA (2), Bowers e l. (997) or Dcso DC, Hrdy MR & Wers HR (2). Mos of he defos vld o ues cer re lso vld o lfe ues, fer beg slghly dped. Defo of uy d ypes of ues Def. : A uy s regulr seres of pyes ( seres of pyes occurrg equl e ervls). The cos ervl of e seprg wo cosecuve pyes s he uy perod. Def. 2: Lfe uy s seres of pyes o/fro dvdul (or group of dvduls) s log s he dvdul (he group) s lve o he pye des. The pyes re de regulr ervls. The dvdul (he group) s referred o s he lfe. If he ouse of he uy lfe s ged x, he oo (x) s used. For he se of splcy, d ccordg o prcce, x s he eger whch s closes o he ge of he lfe he ouse of he corc. I he cse of group (ore h oe lfe) he oo s djused. Def. 3: A uy cer s uy whch he probbly of ech pye beg de s,.e. pyes do o explcly deped o rdo occurrece ( perso survvl, for sce). Whe hey do, s s he cse for lfe ues, he uy s ucer.

5 Def.4: U red dz-se de eros coses qudo odos os pgeos são de gul vlor, Qudo ão é ss, red dz-se de eros vráves. Def. 5: U red dz-se de eros ors ou posecpdos qudo cd pgeo se fz o f do período que dz respeo. Dz-- se ecpd (ou de eros ecpdos) qudo cd pgeo se fz o íco do período que dz respeo. Def. 6: U red sobre vd hu dz-se de eros ors ou posecpdos qudo cd pgeo se fz o f do período que dz respeo. Dz-se ecpd (ou de eros ecpdos) qudo cd pgeo se fz o íco do período que dz respeo. Def. 7: U red dz-se ed qudo ão há dfereo, ou sej o prero pgeo é feo o prero período. Qudo ão há pgeos dure os preros,, períodos d red (o período de dfereo), red dz-se dferd períodos. Def. 8: U red dz-se er qudo cd pgeo é feo de u úc vez, o período que se refere. Dz-se frcod qudo cd pgeo é feo de for reprd o logo desse período. Def. 9: U red dz-se eporár qudo o úero dos seus eros é fo. Dz-se perpéu o cso coráro. Def. : U red sobre vd hu dz- -se eporár qudo o úero áxo dos seus eros é esbelecdo à prd. Red de vd er é u red que é pg equo vd sobrevver. Vlor Aul e Vlor Acuuldo de u red Def. : Vlor Acuuldo de u red é so dos vlores cplzdos de odos os seus eros, odo coo oeo de Def. 4: A level uy s uy whch he pyes re ll of equl ou. Whe hs does o hppe he uy s vryg uy. Def. 5: A ordry uy or uy pd rrer s uy whose pyes re de he ed of ech e perod. If hey re de he begg of ech e perod, hey re pd dvce d we hve uy-due. Def. 6: Iede lfe uy s lfe uy pd rrer,.e., wh pyes he ed of he e perods. Lfe uy-due s lfe uy wh pyes dvce. Def. 7: A ede uy s uy whose frs pye s de durg he frs perod of e. A deferred uy s uy whe o pyes re de durg he frs,, e perods (he deferrl perod). Def. 8: A uy s sd o be pyble hly f he uy pyes re de es log he uy perod. Def. 9: A perpeuy s uy h s pyble forever (, such s he dvdeds of equy). Def. : Ter or eporry lfe uy s lfe uy h s pd o he dvdul (he u) for specfed xu perod of e. Whole lfe uy s lfe uy h s pd o he u hroughou hs or her lfe. Prese Vlue d Accuuled Vlue of uy referêc pr vlção o f do úlo período d red.

6 Def. : The Accuuled Vlue (or Fuure Vlue) of uy s he su of he ccuuled vlues of he pyes. The Def. 2: Vlor Aul de u red é so dos vlores ulzdos de odos os seus eros, odo coo oeo de referêc o íco do prero período d red. vluo de, or referece e po, s he ed of he ls perod. Def. 2: The Prese Vlue of uy s he su of he prese vlues of he pyes. The vluo de, or referece e po, s he begg of he frs perod (orlly, e ). Def. 3: Red sobre u grupo exguível à prer ore é u red que é pg é à prer ore o grupo. Def. 4: Red sobre u grupo exguível à úl ore é u red que é pg equo houver lgu sobrevvee o grupo. Observção: de u red sobre u vd hu, ou u grupo de vds hus, é u vrável leór (v..), pos é fução d v.. que represe o epo de vd fuur d pesso e cus, ou do grupo e cus. O vlor esperdo des v.. (que é u vlor ul esperdo, ou vlor url) clcul--se plcdo defção de vlor esperdo de u v.. Poro, pr se ober Esperdo de u red sobre vd hu, é ecessáro clculr o produo dos rês fores segues, e odos os oeos e que u pgeo esá prevso: () o oe devdo; () probbldde de o pgeo se relzr; () o for de ulzção dequdo. E segud, dco-se odos os produos ss obdos. Se o pgeo se fzer e epo coíuo, o soóro é subsuído por u egrl. Ad que eos eresse do poo de vs d or pre ds plcções, pode clculr-se o Vlor Acuuldo de u red sobre vd hu, plcdo bé defção de vlor esperdo de u v.. Qudo se r de u grupo, pode coecer que sej cosuído por s de dus vds. Def. 3: A jo lfe uy s uy pyble ul he frs deh og group of lves. Def. 4: A ls survvor uy s uy pyble ul he ls deh og group of lves. No eo, grde or ds vezes, ess uddes são coprds por css. Rer: he Prese Vlue of lfe uy s rdo vrble (r.v.), s depeds o he fuure lfee of he dvdul, or he fuure lfee of he group of lves, uder cosdero, whch s lso rdo vrble. The expeced vlue of hs r.v. ( expeced prese vlue - EPV) s clculed usg he defo of he expeco of rdo vrble. Cosequely, o fd he Expeced Prese Vlue of lfe ues s ecessry o su over ll he pye des (or egre, f pyes re de couous e) he produc of: () he ou of he pye: () he probbly of pye; () he ppropre dscou fcor. Usg he se process, s possble o fd he Accuuled Vlue of lfe uy, lhough hs s less coo clculo. Whe he uy s o group of lves, occsolly, he group could coss of hree or ore lves, bu prcce group lfe ues re os cooly purchsed by couples.

7 PARTE I RENDAS CERTAS PART I ANNUITIES CERTAIN

8 . Reds eporárs de eros coses, e epo dscreo e e epo coíuo Level ues dscree d couous e. Reds eporárs ers eds de eros ors: eros us, de vlor cd, pgos os oeos fs de cd o (e,2,..., ).. Aues ede wh pyes rrers: ul pyes, of ou ech, de he ed of ech yer (,2,..., ). Prese Vlue o Vlor Acuuldo Accuuled Vlue s, v v Observções: () E gerl, se os eros d red e quesão, ebor coses, fore de u qulquer vlor T, bs ulplcr os síbolos e s expressões obds pr eros uáros por T, pr se obere os vlores us e cuuldos desss reds; () Se os eros fore de u perodcdde dferee d ul, que se ssue por defeo, d se ler, bs subsur x efev ul pel x efev correspodee à perodcdde e cus. Rers: () I geerl, f he pyes, lhough cos, re of ou T, o clcule he prese d ccuuled vlues of he uy wll be eough o ulply he prese d ccuuled vlues clculed for pyes of by T; () If he pyes re o de yerly, bu dffere perodcy, he oly requred chge he foruls s o replce he ul effecve eres re wh he effecve eres re for he perod queso..2 Reds eporárs ers eds de eros ecpdos: eros us, de vlor cd, pgos os oeos cs de cd o (e,,..., )..2 Aues ede wh pyes due: ul pyes, of ou ech, de he begg of ech yer (,,..., ). Prese Vlue o Vlor Acuuldo Accuuled Vlue s

9 .3 Reds eporárs ers dferds os, de eros ors: eros us, de vlor cd, pgos os oeos fs de cd o, coeçr o o (e, 2,..., )..3 Deferred ues wh pyes rrers: ul pyes, of ou ech, de he ed of ech yer, fer defere perod of yers s over (, 2,..., ). Prese Vlue v o Vlor Acuuldo Accuuled Vlue s s.4 Reds eporárs ers dferds os, de eros ecpdos: eros us, de vlor cd, pgos os oeos cs de cd o, coeçr o o (e,,..., )..4 Deferred ues wh pyes due: ul pyes, of ou ech, de he begg of ech yer, fer defere perod of yers s over (,,..., ). Prese Vlue v v o Vlor Acuuldo Accuuled Vlue s s.5 Reds eporárs eds de eros ors e frcods: eros us, de vlor cd, pgos por eo de frções de vlor cd, os oeos fs de cd u ds pres gus e que o o fo dvddo, so é, os oeos 2,,...,,..5 Aues ede wh pyes de -hly rrers: ul pyes, of ou ech, re de -hly rrers log he yer,.e., pyes of ou ech re de, 2,,...,,. Prese Vlue,

10 o Vlor Acuuldo Accuuled Vlue s = s Observção: é sepre possível coverer u red frcod u red er co gul dgr croológco. Pr sso, bsrá proceder à udç do período d red e eder às lerções que dí decorre, e eros d x de juro usr, do vlor de cd ero e do úero de eros. Por exeplo, Rer: uy wh -hly de pyes c be covered o uy wh oly oe pye he perod of he eres re. To cheve hs s eough o cosder h he perod of he uy s / h of he yer d o chge everyhg else ccordgly. For sce,..6 Reds eporárs eds de eros ecpdos e frcods: eros us, de vlor cd, pgos por eo de frções de vlor cd, os.6 Aues ede wh pyes due de -hly: ul pyes due, of ou ech, re de -hly log he yer,.e., pyes of ou ech oeos cs de cd u ds pres gus e que o o fo dvddo, so é, os oeos 2,,,...,,. re de, 2,,,...,,. Prese Vlue o Vlor Acuuldo Accuuled Vlue s s s =

11 .7 Reds eporárs de eros ors dferds os e frcods: eros us, de vlor cd, pgos por eo de frções de vlor cd, os oeos fs de cd u ds pres gus e que o o fo dvddo, coeçr o o 2 (e,,..., )..7 Deferred ues wh pyes de -hly rrers: ul pyes rrers of ou ech, re de -hly rrers log he yer,.e., pyes of ou ech re de, fer defere perod of yers s over ( 2,,...,, ). Prese Vlue v o Vlor Acuuldo Accuuled Vlue s = s.8 Reds eporárs de eros ecpdos dferds os e frcods: eros us, de vlor cd, pgos por eo de frções de vlor cd, os oeos cs de cd u ds pres gus e que o o fo dvddo, coeçr o o ( 2,,...,, )..8 Deferred ues wh pyes due de -hly rrers: ul pyes due of ou ech, re de -hly log he yer,.e., pyes due of ou ech re de, fer defere perod of yers s over ( 2,,...,, ). Prese Vlue v o Vlor Acuuldo Accuuled Vlue s s

12 .9 Reds eporárs pgs couee dure os, u x de pgeo cose e gul por o, dure odo o ervlo de epo,..9 Aues couously pyble for yers: he re of pye s per yer durg he perod of e,. o o Vlor Aul Prese Vlue v d = l l, =l Vlor Acuuldo Accuuled Vlue s d = s. Reds eporárs dferds os pgs couee dure os, u x de pgeo cose e gul por o, dure odo o ervlo de epo,.. Deferred ues couously pyble for yers: he re of pye s per yer fer defere perod of yers s over (durg he perod of e, ). o Vlor Aul Prese Vlue v v o Vlor Acuuldo Accuuled Vlue s s.

13 2. Reds perpéus de eros coses, e epo dscreo e e epo coíuo Level perpeues dscree d couous e Se s reds são perpeuddes, os respevos vlores us e cuuldos obê-se odo o le ds expressões c, co. Dí resul que odos os vlores cuuldos. Os vlores us vê dcdos segur. As observções d Subsecção. cou válds. If he ues re perpeues, her prese d ccuuled vlues c be obed fro he prevous equos, g he ls of he expressos, whe. I follows he h ll he ccuuled vlues. The prese vlues re gve below. Rers Subseco. re sll vld. 2. Reds perpéus ers eds de eros ors: eros us, de vlor cd, pgos os oeos fs de cd o (e,2,... ). Prese Vlue 2.2 Reds perpéus ers eds de eros ecpdos: eros us, de vlor cd, pgos os oeos cs de cd o (e,,... ). 2. Perpeues ede wh pyes rrers: ul pyes, of ou ech, de he ed of ech yer (,2,... ). 2.2 Perpeues ede wh pyes due: ul pyes, of ou ech, de he begg of ech yer (,,... ). Prese Vlue 2.3 Reds perpéus ers dferds os, de eros ors: eros us, de vlor cd, pgos os oeos fs de cd o, coeçr o o (e, 2,... ). 2.3 Deferred perpeues wh pyes rrers: ul pyes, of ou ech, de he ed of ech yer, fer defere perod of yers s over (, 2,... ). Prese Vlue v

14 2.4 Reds perpéus ers dferds os, de eros ecpdos: eros us, de vlor cd, pgos os oeos cs de cd o, coeçr o o (,,... ). Prese Vlue 2.4 Deferred perpeues wh pyes due: ul pyes, of ou ech, de he begg of ech yer, fer defere perod of yers s over (,,... ). v 2.5 Reds perpéus frcods eds de eros ors: eros us, de vlor cd, pgos por eo de frções de vlor cd, os oeos fs de cd u ds pres gus e que o o fo dvddo, so é, os oeos 2,,...,,. Prese Vlue 2.5 Perpeues ede wh pyes de -hly rrers: ul pyes, of ou ech, re de -hly rrers log he yer,.e., pyes of ou 2,,...,,. ech re de 2.6 Reds perpéus frcods eds de eros ecpdos: eros us, de vlor cd, pgos por eo de frções de vlor cd, os oeos cs de cd u ds pres gus e que o o fo dvddo, so é, os oeos 2,,,...,,. 2.6 Perpeues ede wh pyes due de -hly: ul pyes due, of ou ech, re de -hly log he yer,.e., pyes of ou ech re de 2,,,...,,. Prese Vlue

15 2.7 Reds perpéus frcods de eros ors dferds os: eros us, de vlor cd, pgos e frções de vlor cd, os oeos fs de cd u ds pres gus e que o o fo dvddo, coeçr o o (e 2,,...,, ). 2.7 Deferred ues wh pyes de -hly rrers: ul pyes rrers of ou ech, re de -hly rrers log he yer,.e., pyes of ou ech re de, fer defere perod of yers s over ( 2,,...,, ). Prese Vlue v 2.8 Reds perpéus frcods de eros ecpdos dferds os: eros us, de vlor cd, pgos e frções de vlor cd, os oeos cs de cd u ds pres gus e que o o fo dvddo, coeçr o o (e 2,,...,, ). 2.8 Deferred ues wh pyes due de -hly rrers: ul pyes due of ou ech, re de -hly log he yer,.e., pyes due of ou ech re de, fer defere perod of 2 yers s over (,,...,, ). Prese Vlue v 2.9 Reds pgs couee dure os, u x de pgeo cose e gul por o, dure odo o ervlo de epo,. 2.9 Aues couously pyble for yers: he re of pye s per yer durg he perod of e,. Prese Vlue l v d = l l l l

16 2. Reds dferds os pgs couee dure os, u x de pgeo cose e gul por o, dure odo o ervlo de epo,. Prese Vlue 2. Deferred ues couously pyble for yers: he re of pye s per yer fer defere perod of yers s over (durg he perod of e, ). v

17 3. Reds eporárs de eros vrr e progressão geoérc Aues wh geoerclly cresg/decresg pyes 3. Reds eporárs ers eds de eros ors vrr e progressão geoérc: eros us, sedo o prero de vlor e vrdo os segues e progressão geoérc de rzão r (ou sej, é pgo e, r é pgo e 2,,, r é pgo r 2 é pgo e 3 e ). Prese Vlue v v v 3. Aues ede wh geoerclly cresg pyes rrers: ul pyes, he frs of ou d he followg forg geoerc progresso wh coo ro r (h s, s pyble, r s pyble 2, r 2 s pyble 3,, r s pyble ). r, *, r r r r r v, r 2 * o Vlor Acuuldo Accuuled Vlue r *, *, r r r, r (As observções d Subsecção. cou válds.) (Rers Subseco. re sll vld.). 3.2 Reds eporárs ers eds de eros ecpdos vrr e progressão geoérc: eros us, sedo o prero de vlor e vrdo os segues e progressão geoérc de rzão r (ou sej, é pgo e, r é pgo e,,, r é pgo r 2 é pgo e 2 e ). Prese Vlue 3.2 Aues ede wh geoerclly cresg pyes due: ul pyes, he frs of ou d he followg forg geoerc progresso wh coo ro r (h s, s pyble, r s pyble, r 2 s pyble 2,, r s pyble ). *, * r, r r r, r

18 o Vlor Acuuldo Accuuled Vlue r *, *, r r r, r 3.3 Reds eporárs ers dferds os, de eros ors vrr e progressão geoérc: eros us, sedo o prero de vlor e vrdo os segues e progressão geoérc de rzão r (ou sej, é pgo e, r é pgo e 2, r 2 é pgo e 3,, r é pgo e ). 3.3 Deferred ues wh geoerclly cresg pyes rrers: ul pyes, he frs of ou d he followg forg geoerc progresso wh coo ro r (h s, s pyble, r s pyble 2, s pyble 3,, r s r 2 pyble. Prese Vlue v *, * r, r r r v, r o Vlor Acuuldo Accuuled Vlue r *, *, r r r, r 3.4 Reds eporárs ers dferds os, de eros ecpdos vrr e progressão geoérc: eros us, sedo o prero de vlor e vrdo os segues e progressão geoérc de rzão r (ou sej, é pgo e, r é pgo e, r 2 é pgo e 2,, r é pgo e ). 3.4 Deferred ues wh geoerclly cresg pyes rrers: ul pyes, he frs of ou d he followg forg geoerc progresso wh coo ro r (h s, s pyble, r s pyble, r 2 s pyble 2,, r s pyble ). Prese Vlue v *, * r, r r r v, r

19 o Vlor Acuuldo Accuuled Vlue r *, *, r r r, r Observções: () Deve or-se que s expressões c cou válds eso qudo r *. Nese cso, e o coráro do que é hbul, os vlores us ds reds são superores, e o s superores quo s r exceder ; () s reds frcods ê reo seelhe o que se vu rás, s é s sples coverê-ls e reds ers, cdo-se os csos precedees, pelo que ão volrão ser rds e seprdo. Rers: () The expressos bove re sll vld whe r *, whch cse prese vlues re greer h, he excess cresg wh he dfferece -r; () f pyes re de -hly he se resog see before ow pples, bu for he se of splcy s preferble o cover he ues o equvle ues where oly oe pye s de ech perod of he eres re..

20 4. Reds perpéus de eros vrr e progressão geoérc Perpeues wh geoerclly cresg:/decresg pyes Se s reds são perpeuddes, os respevos vlores us obê-se odo o le ds expressões preseds Secção 3, co. As observções d Subsecção. cou válds. If he ues re perpeues, her prese vlues c be obed fro he prevous equos Seco 4, g he ls of he expressos, whe. Rers Subseco. re sll vld. 4. Reds perpéus ers eds de eros ors vrr e progressão geoérc: eros us, sedo o prero de vlor e vrdo os segues e progressão geoérc de rzão r (ou sej, é pgo e, r é pgo e 2, r 2 é pgo e 3, ). 4. Perpeues ede wh geoerclly cresg pyes rrers: ul pyes, he frs of ou d he followg forg geoerc progresso wh coo ro r (h s, s pyble, r s pyble 2, r 2 s pyble 3, ). Prese Vlue r, r, : r sére ão covergee/ o coverge seres, ouros / oher, r 4.2 Reds perpéus ers eds de eros ecpdos vrr e progressão geoérc: eros us, sedo o prero de vlor e vrdo os segues e progressão geoérc de rzão r (ou sej, é pgo e, r é pgo e, r 2 é pgo e 2, ). 4.2 Perpeues ede wh geoerclly cresg pyes due: ul pyes, he frs of ou d he followg forg geoerc progresso wh coo ro r (h s, s pyble, r s pyble, r 2 s pyble 2, ). Prese Vlue r, r, : r sére ão covergee/ o coverge seres, ouros/ oher, r

21 4.3 Reds perpéus ers dferds os, de eros ors vrr e progressão geoérc: eros us, sedo o prero de vlor e vrdo os segues e progressão geoérc de rzão r (ou sej, é pgo e, r é pgo e, r 2 2 é pgo e 3, ). 4.3 Deferred perpeues wh geoerclly cresg pyes rrers: ul pyes, he frs of ou d he followg forg geoerc progresso wh coo ro r (h s, s pyble, r s pyble 2, r 2 s pyble 3, ). Prese Vlue v r, r, : r sére ão covergee/ o coverge seres, ouros/ oher, r 4.4 Reds perpéus ers dferds os, de eros ecpdos vrr e progressão geoérc: eros us, sedo o prero de vlor e vrdo os segues e progressão geoérc de rzão r (ou sej, é pgo e, r é pgo e, r 2 é pgo e 2, ). 4.4 Deferred perpeues wh geoerclly cresg pyes due: ul pyes, he frs of ou d he followg forg geoerc progresso wh coo ro r (h s, s pyble, r s pyble pyble 2, )., r 2 s Prese Vlue v r, r, : r sére ão covergee/ o coverge seres, ouros/ oher, r

22 5. Reds eporárs de eros vrr e progressão réc Aues wh rheclly cresg/decresg pyes 5. Reds eporárs ers eds de eros ors vrr e progressão réc 5.. eros us, sedo o prero de vlor e vrdo os segues e progressão réc de rzão (ou sej, o oe é pgo e, o oe 2 é pgo e 2, o oe 3 é pgo e 3,, o oe é pgo e ). 5. Aues ede wh rheclly cresg/decresg pyes rrers 5.. ul pyes, he frs of ou d he followg forg rhec progresso wh coo dfferece (h s, pye of s de, pye of 2 s de 2, pye of 3 s de 3,, pye of s de ). Prese Vlue 2 3 I v 2v 3v v v o Vlor Acuuldo Accuuled Vlue Is I s (As observções d Subsecção. cou válds.) (Rers Subseco. re sll vld.) 5..2 eros us, sedo o prero de vlor C e vrdo os segues e progressão réc de rzão h (ou sej, o oe C é pgo e, o oe C h é pgo e 2, o oe C 2h é pgo e 3,, o oe C h é pgo e ) ul pyes, he frs of ou C d he followg forg rhec progresso wh coo dfferece h (h s, pye of C s de, pye of C hs de 2, pye of C 2h s de 3,, C h s de pye of ). Prese Vlue 2 Cv C hv C hv C h hi o Vlor Acuuldo Accuuled Vlue C hs his

23 5..3 eros us, sedo o prero de vlor e vrdo os segues e progressão réc de rzão (ou sej, o oe é pgo e, o oe é pgo e 2, o oe 2 é pgo e 3,, o oe é pgo e ) ul pyes, he frs of ou d he followg forg rhec progresso wh coo dfferece (h s, pye of s de, pye of s de 2, pye of 2 s de 3,, pye of s de ). Prese Vlue D v v v v I o Vlor Acuuldo Accuuled Vlue s Ds D 5.2 Reds eporárs ers eds de eros ecpdos vrr e progressão réc (cso gerl) eros us, sedo o prero de vlor C e vrdo os segues e progressão réc de rzão h (ou sej, o oe C é pgo e, o oe C h é pgo e, o oe C 2h é pgo e 2,, C h é pgo e ). o oe 5.2 Aues ede wh rheclly cresg/decresg pyes due (geerl cse) ul pyes, he frs of ou C d he followg forg rhec progresso wh coo dfferece h (h s, pye of C s de, pye of C hs de, pye of C 2h s de 2,, pye of C h s de ). Prese Vlue o Vlor Acuuldo Accuuled Vlue C h hi C hs his

24 5.3 Reds eporárs ers dferds os, de eros ors vrr e progressão réc: eros us, sedo o prero de vlor C e vrdo os segues e progressão réc de rzão h (ou sej, o oe C é pgo e, o oe C h é pgo e 2, o oe C 2h é pgo e 3,, o oe C h é pgo e ). 5.3 Deferred ues wh rheclly cresg pyes rrers: ul pyes, he frs of ou d he followg forg rhec progresso wh coo dfferece h (h s, C s pyble, C h s pyble 2, C 2h s pyble 3,, C h s pyble ). Prese Vlue o Vlor Acuuldo Accuuled Vlue v C h h I C hs his 5.4 Reds eporárs ers dferds os, de eros ecpdos vrr e progressão réc: eros us, sedo o prero de vlor C e vrdo os segues e progressão réc de rzão h (ou sej, o oe C é pgo e, o oe C h é pgo e, o oe C 2h é pgo e 2,, o oe C h ). é pgo e 5.4 Deferred ues wh rheclly cresg pyes due: ul pyes, he frs of ou d he followg forg rhec progresso wh coo dfferece h (h s, C s pyble, C h s pyble, C 2h s pyble 2 C h s,, pyble ). Prese Vlue o Vlor Acuuldo Accuuled Vlue v C h hi C hs his

25 6. Reds perpéus de eros vrr e progressão réc Perpeues wh rheclly cresg/decresg pyes Se s reds são perpeuddes, os respevos vlores us obê-se odo o le ds expressões preseds Secção 6, co. As observções d Subsecção. cou válds.. If he ues re perpeues, her prese vlues c be obed fro he prevous equos Seco 6, g he ls of he expressos, whe. Rers Subseco. re sll vld. 6. Reds perpéus ers eds de eros ors vrr e progressão réc: eros us, sedo o prero de vlor C e vrdo os segues e progressão réc de rzão h C (ou sej, o oe C é pgo e, o oe C h é pgo e 2, o oe C 2h é pgo e 3, ). 6. Perpeues ede wh rhecclly cresg pyes rrers: ul pyes, he frs of ou C d he followg forg rhec progresso wh coo dfferece h C (h s, C s pyble, C h s pyble 2, C 2h s pyble 3, ). ( C h Prese Vlue C h 2 3 I v 2v 3v v l I l 2 v ) Reds perpéus ers eds de eros ecpdos vrr e progressão réc: eros us, sedo o prero de vlor C e vrdo os segues e progressão réc de rzão h C (ou sej, o oe C é pgo e, o oe C h é pgo e, o oe C 2h é pgo e 2, ). 6.2 Perpeues ede wh rhecclly cresg pyes rrers: ul pyes, he frs of ou C d he followg forg rhec progresso wh coo dfferece h C (h s, C s pyble, C h s pyble, C 2h s pyble 2, ). o Vlor Aul Prese Vlue C h 2 ) ( C h I 2

26 6.3 Reds perpéus ers dferds os, de eros ors vrr e progressão réc: eros us, sedo o prero de vlor C e vrdo os segues e progressão réc de rzão h C (ou sej, o oe C é pgo e, o oe C h é pgo e 2, o oec 2h é pgo e 3, ). 6.3 Perpeues ede wh rheclly cresg pyes rrers: ul pyes, he frs of ou C d he followg forg rhec progresso wh coo dfferece h C (h s, C s pyble, C h s pyble 2, C 2h s pyble 3, ). Prese Vlue ( C h v C h 2 I ) 2 v 6.4 Reds perpéus ers dferds os, de eros ecpdos vrr e progressão réc: eros us, sedo o prero de vlor C e vrdo os segues e progressão réc de rzão h C (ou sej, o oe C é pgo e, o oe C h é pgo e, o oec 2h é pgo e 2, ). 6.4 Deferred perpeues wh rheclly cresg pyes due: ul pyes, he frs of ou C d he followg forg rhec progresso wh coo dfferece h C (h s, C s pyble, C h s pyble, C 2h s pyble 2, ). Prese Vlue ( C h v C h 2 I 2 ) 2 v

27 7. Reds co eros vrr de ouros odos e epo dscreo e e epo coíuo Oher ues wh vryg pyes dscree d couous e 7. Cso gerl e epo dscreo: o oe L é pgo e, o oe L 2 é pgo e 2,, o oe L é pgo e. 7. Geerl cse dscree e: L s pyble, L 2 s pyble 2, L s pyble. Prese Vlue o Vlor Acuuldo Accuuled Vlue vl L 7.2 Cso gerl e epo coíuo: o ervlo de epo,, há u fluxo coíuo de pgeo à x h,,. 7.2 Geerl cse couous e: couous flow of pyes s de log he perod of e,. The re of pye s h,,. Prese Vlue o Vlor Acuuldo Accuuled Vlue v hd h d 7.3 Csos prculres e epo coíuo 7.3 Prculr cses couous e Eses csos prculres são de lgu odo correspodees os vsos Secção 5. The followg prculr cses rele o he cses suded Seco h Prese Vlue I v d v

28 o Vlor Acuuldo Accuuled Vlue h Is s Prese Vlue o Vlor Acuuldo Accuuled Vlue v D d Ds s h h,,, h 2,,2,..., h,, Prese Vlue o Vlor Acuuldo Accuuled Vlue I v Is d s v h h,,, h,,2,..., h,, Prese Vlue D v d o Vlor Acuuldo Accuuled Vlue Ds s

29 8. Reds perpéus co eros vrr de ouros odos e epo dscreo e e epo coíuo Oher perpeues wh vryg pyes dscree d couous e Se s reds são perpeuddes, os respevos vlores us obê-se odo o le ds expressões preseds Secção 8, co. Dí resul que odos os vlores cuuldos. Os vlores us vê dcdos segur. Os coeáros d Subsecção. cou váldos. 8. Cso gerl e epo dscreo: o oe L é pgo e, o oe L 2 é pgo e 2, If he ues re perpeues, her prese vlues c be obed fro he prevous equos Seco 8, g he ls of he expressos, whe. Rers Subseco. re sll vld.. 8. Geerl cse dscree e: ou L s pyble, ou L 2 s pyble 2, Prese Vlue l vl 8.2 Cso gerl e epo coíuo: o ervlo de epo,, há u fluxo coíuo de pgeo à x h,,. 8.2 Geerl cse couous e: couous flow of pyes s de log,. The re of he perod of e pye s h,,. o Vlor Aul Prese Vlue l v hd 8.3 Csos prculres e epo coíuo. 8.3 Prculr cses couous e h Prese Vlue I l v d 2

30 8.3.2 h h,,, h 2,,2,..., h,, Prese Vlue I l v d

31 9. Ouros reges de cplzção que ão o Rege de Juro Coposo Accuulo reges oher h Copoud Ieres Tods s deduções erores for fes o pressuposo do RJC (ou sej, à forç de juro l, cose o logo do epo). No eo, ão há d que peç ulzção de ouros reges de cplzção, ou sej, de forçs de juro vráves e fução do epo. Por exeplo, o Rege de Juro Sples,,. Qudo ss é, põe-se s ecessárs dpções. Segue-se lgus exeplos. Exeplo : Reds eporárs ers eds de eros ors: eros us, de vlor cd, pgos os oeos fs de cd o (e,2,..., ). All he precedg resuls were derved ssug copoud eres ( cos force l durg he whole of eres perod of pyes by he uy/perpeuy), whch s he sdrd procedure. Ye, oher ccuulo ehods c be used d he ecessry djuses us be cosdered. For sce, Sple Ieres,,. A few exples follow. Exple : Aues ede wh pyes rrers: ul pyes, of ou ech, de he ed of ech yer (,2,..., ). Prese Vlue 2 d d d d e e... e e o Vlor Acuuldo Accuuled Vlue d d d d d d 2 e e e e... e e Exeplo 2: Reds perpéus ers eds de eros ors: eros us, de vlor cd, pgos os oeos fs de cd o (e,2,... ). Exple 2: Perpeues ede wh pyes rrers: ul pyes, of ou ech, de he ed of ech yer (,2,... ). Prese Vlue l d e

32 Exeplo 3: Reds eporárs ers eds de eros ors vrr e progressão geoérc: eros us, sedo o prero de vlor e vrdo os segues e progressão geoérc de rzão r (ou sej, é pgo e, r é pgo e 2,,, r é pgo r 2 é pgo e 3 e ). Exple 3: Aues ede wh geoerclly cresg pyes rrers: ul pyes, he frs of ou d he followg forg geoerc progresso wh coo ro r (h s, s pyble, r s pyble 2, r 2 s pyble 3,, r s pyble ). Prese Vlue 2 d d d d... e r e r e r e o Vlor Acuuldo Accuuled Vlue r e d Exeplo 4: Reds perpéus ers eds de eros ors vrr e progressão geoérc: eros us, sedo o prero de vlor e vrdo os segues e progressão geoérc de rzão r (ou sej, é pgo e, r é pgo e 2 pgo e 3, )., r 2 é Exple 4: Perpeues ede wh geoer- clly cresg pyes rrers: ul pyes, he frs of ou d he followg forg geoerc progresso wh coo ro r (h s, s pyble, r s pyble 2 pyble 3, )., r 2 s Prese Vlue l d r e

33 Exeplo 5: Reds eporárs ers eds de eros ors vrr e progressão réc: eros us, sedo o prero de vlor e vrdo os segues e progressão réc de rzão (ou sej, o oe é pgo e, o oe 2 é pgo e 2, o oe 3 é pgo e 3,, o oe é pgo e ). Exple 5: Aues ede wh rheclly cresg pyes rrers: ul pyes, he frs of ou d he followg forg rhec progresso wh coo dfferece (h s, pye of s de, pye of 2 s de 2, pye of 3 s de 3,, pye of s de ). Prese Vlue 2 d d d d e 2 e... e e o Vlor Acuuldo Accuuled Vlue e d Exeplo 6: Reds perpéus ers eds de eros ors vrr e progressão réc: eros us, sedo o prero de vlor e vrdo os segues e progressão réc de rzão (ou sej, o oe é pgo e, o oe 2 é pgo e 2, o oe 3 é pgo e 3, ). Exple 6: Perpeues ede wh rhec- clly cresg pyes rrers: ul pyes, he frs of ou d he followg forg rhec progresso wh coo dfferece (h s, s pyble, 2 s pyble 2, 3 s pyble 3, ). Prese Vlue l e d Exeplo 7: Cso gerl de u red eporár e epo dscreo: o oe L é pgo e, o oe L 2 é pgo e 2,, o oe L é pgo e. Exple 7: Geerl cse dscree e: L s pyble, 2. L s pyble 2, L s pyble Prese Vlue 2 d d d d 2... L e L e L e L e

34 o Vlor Acuuldo Accuuled Vlue Le d Exeplo 8: Cso gerl de u perpeudde e epo dscreo: o oe L é pgo e, o oe L 2 é pgo e 2, Exple 8: Geerl cse dscree e: L s pyble, L 2 s pyble 2, Prese Vlue l Le d Exeplo 9: Cso gerl de u red eporár e epo coíuo: o ervlo de epo,, há u fluxo coíuo de pgeo à x h,,. Exple 9: Geerl cse couous e: couous flow of pyes s de log he perod of e,. The re of pye s h,,. Prese Vlue o Vlor Acuuldo Accuuled Vlue h e sds d sds he d.

35 Exeplo : Cso gerl de u perpeudde e epo coíuo: o ervlo de epo,, há u fluxo coíuo de pgeo à x h,,. Exple : Geerl cse couous e: couous flow of pyes s de log he perod of e,. The re of pye s h,,. Prese Vlue l h e sds d Observção: é edo que udo se pss de odo álogo o que coece o Rege de Juro Coposo, ode udo fc s sples pelo fco de forç de juro ser u fução cose. E odos os csos vsos, ão se fz s do que ulzção (ou cplzção) de cd ero recorredo à forç de juro. Rer: s que obvous h he procedure s lwys he se, dscree d couous e, wh level d vryg pyes, wh cos d o-cos force of eres. The prese vlue (he ccuuled vlue) of ech of he pyes he uy us be copued usg he force of eres cosdered o be ppropre. Nurlly, whe he force of eres s cos fuco, s eser o coe o closed foruls.

36 PARTE II RENDAS SOBRE A VIDA HUMANA PART II LIFE ANNUITIES

37 . Reds vlícs sobre u vd Whole lfe ues. Reds de vd er eds de eros ecpdos sobre u vd co dde x: u áxo de x eros us, de vlor cd, pgos o íco de cd o (e,,..., x, gul à dde le). O prero pgeo é cero, os segues só serão feos equo x sobrevver. O vlor ul represe-se por, ode K T x x é v.. que represe K x o úero de os copleos que x rá sobrevver. T x é v.. que represe o epo que x rá sobrevver.. Whole lfe ues-due - whole lfe uy-due o lfe ged x provdes he followg pyes: ge x whch s cer o be pd; furher pye of x s sll he ed of ech yer s log s lve (,..., x, represeg he lg ge). The xu uber of pyes s x. The prese vlue s deoed K x, where K x Tx s he r.v. represeg he cure fuure lfee of x. Tx s he r.v. represeg he fuure lfe e of x. o Vlor Aurl Expeced Prese Vlue x x E Kx x v p p x é probbldde do +-éso pgeo ser feo (é probbldde de x sobrevver é à dde x ). p x s he probbly of he +-h pye beg de ( s he probbly of x survvg o ge x )..2 Reds de vd er eds de eros ors sobre u vd co dde x: u áxo de x eros us, de vlor cd, pgos o f de cd o (e,2,..., x x sobrevver. O ), equo vlor ul é represedo por. K x.2 Whole lfe ede ues - whole lfe ede uy o lfe ged x provdes he followg pyes: pye x s of he ed of ech yer s log s lve (,2,..., x). The xu uber of pyes s x. The prese vlue s deoed. K x o Vlor Aurl Expeced Prese Vlue x x E K x x v p

38 .3 Reds de vd er ecpds e frcods sobre u vd co dde x: u áxo de x eros us, de vlor x sobrevver, por cd, pgos equo eo de frções de vlor cd, os oeos cs de cd u ds pres gus e que o o fo dvddo (e,,..., x ). O vlor ul é represedo por K x, T K. x x.3 Whole lfe ues pyble es yer dvce - whole lfe uy pyble es yer dvce o lfe ged x provdes he followg pyes: ul pyes of ou ech re de -hly dvce log he yer,.e., pyes of ou ech re de s log s (x) survves d for xu of x yers ( prese vlue s deoed K x Tx.,,..., x ). The, Kx where o Vlor Aurl Expeced Prese Vlue E v p x x Kx,,..., x.4 Reds de vd er de eros ors e frcods sobre u vd co dde x: u áxo de x eros us, de vlor cd, pgos por eo de frções de vlor cd, os oeos fs de cd u ds pres gus e que o o fo dvddo 2 (e,,..., x), e desde que x esej vv. O vlor ul é represedo por K. x.4 Whole lfe ues pyble es yer rrers - whole lfe uy pyble es yer rrers o lfe ged x provdes he followg pyes: ul pyes rrers of ou ech re de -hly rrers log he yer,.e., pyes of ou ech re de s log s (x) survves d for xu of 2,,..., x). The prese vlue s deoed x yers ( K. x o Vlor Aurl Expeced Prese Vlue E v p x x Kx 2,,..., x

39 .5 Reds coíus de vd er eds sobre u vd co dde x: os pgeos são feos couee u x ul x sobrevver e dure o uár equo áxo x os. O vlor ul é represedo por. T x.5 Whole lfe couous ues - whole lfe couous uy o lfe ged x provdes he followg pyes: s uy pyble couously re of per yer s log s (x) survves d for xu of x yers.the prese vlue s deoed. T x o Vlor Aurl Expeced Prese Vlue x x E T x x e p d.6 Reds de vd er eds de eros ecpdos vrr e progressão geoérc sobre u vd co dde x: equo x sobrevver e dure o áxo x os serão pgos eros us, sedo o prero de vlor e vrdo os segues e progressão geoérc de rzão r (ou sej, é pgo e, r é pgo e x r, r 2 é pgo e 2,, é pgo e x ). Nese cso, coo ouros s à free, ão exse oção específc pr represer v.. Vlor Aul ou o seu Vlor Esperdo..6 Whole lfe ues-due wh geoerclly cresg pyes - whole lfe uy-due o lfe ged x wh geoerclly cresg pyes (he frs of ou d he followg cresg coo ro r ) provdes he followg pyes, s log s x survves:, r, 2 r 2,, x r x. The xu uber of pyes s x. Here, d soe of he cses h follow, here s o specfc oo o deoe he r.v. Prese Vlue d s Expeco. o Vlor Aurl Expeced Prese Vlue x j EPV j v px x, clculdo à x de juro/ clculed re * j.7 Reds de vd er eds de eros ors vrr e progressão geoérc sobre u vd co dde x: equo x sobrevver e dure o áxo x os serão pgos eros us, sedo o prero de vlor e vrdo os segues e progressão geoérc de rzão r (ou sej, é pgo e, r é pgo e 2 x r, r 2 é pgo e 3,, é pgo e x)..7 Whole lfe ede ues wh geoerclly cresg pyes - whole lfe uy o lfe ged x wh geoerclly cresg pyes rrer (he frs of ou d he followg cresg coo ro r ) provdes he followg pyes, s log s x survves:, r 2 x r, r 2 3,, x. The xu uber of pyes s x.

40 o Vlor Aurl Expeced Prese Vlue x j EPV j v px x, clculdo à x de juro/ clculed re * j.8 Reds de vd er eds de eros ecpdos vrr e progressão réc sobre u vd co dde x: equo x sobrevver e dure o áxo x os serão pgos eros us, sedo o prero de vlor e vrdo os segues e progressão réc de rzão (ou sej, é pgo e, 2 é pgo e, 3 é pgo e 2,, x é pgo e x ). Nese cso, ão exse oção específc pr represer v.. Vlor Aul..8 Whole lfe ues-due wh rheclly cresg pyes - whole lfe uy-due o lfe ged x wh rheclly cresg pyes (he frs of ou d he followg cresg coo ro r ) provdes he followg pyes, s log s x survves:, 2, 3 2,, x x. The xu uber of pyes s x. There s o specfc oo o deoe he r.v. Prese Vlue. o Vlor Aurl Expeced Prese Vlue x I v p x x.9 Reds de vd er eds de eros ors vrr e progressão réc sobre u vd co dde x: equo x sobrevver e dure o áxo x os serão pgos eros us, sedo o prero de vlor e vrdo os segues e progressão réc de rzão (ou sej, é pgo e, 2 é pgo e 2, 3 é pgo e 3,, x é pgo e x). Nese cso, ão exse oção específc pr represer v.. Vlor Aul..9 Whole lfe ues ede wh rheclly cresg pyes - whole lfe uy-due o lfe ged x wh rheclly cresg pyes (he frs of ou d he followg cresg coo ro r ) provdes he followg pyes, s log s x survves:, 2 2, 3 3,, x r x. The xu uber of pyes s x. There s o specfc oo o deoe he r.v. Prese Vlue. o Vlor Aurl Expeced Prese Vlue x x I v p x

41 . Reds de vd er co pgeos coíuos crescer e progressão réc red de vd er sobre u vd co dde x e que x de pgeo o o é cose e gul, =, 2,..., ω x. O pgeo é feo desde que (x) esej vv. Nese cso, bé ão exse oção específc pr represer v.. Vlor Aul.. Whole lfe ues wh rheclly cresg couous pyes - er lfe uy o lfe ged x wh rheclly cresg pyes (so h he re of pye he h yer s cos d equl o, for =, 2,..., ω x. Pyes re de s log s (x) survves. There s lso o specfc oo o deoe he r.v. Prese Vlue. o Vlor Aurl Expeced Prese Vlue ω x (I ) x = v p x ( + )e δ u up x+ du =. Reds de vd er co pgeos coíuos crescer couee e progressão réc red de vd er sobre u vd co dde x e que x de pgeo é gul, ω x. O pgeo é feo desde que (x) esej vv. Nese cso, bé ão exse oção específc pr represer v.. Vlor Aul.. Whole lfe ues wh rheclly couously cresg couous pyes - whole lfe uy o lfe ged x wh rheclly couously cresg pyes (so h he re of pye s chgg couously d s equl o, ω x. Pyes re de s log s (x) survves. There s lso o specfc oo o deoe he r.v. Prese Vlue. o Vlor Aurl Expeced Prese Vlue ω x (I ) x = e δ p x d

42 2. Reds eporárs sobre u vd Ter lfe ues 2. Reds eds eporárs de eros ecpdos sobre u vd co dde x: u áxo de eros us, de vlor cd, pgos o íco de cd o (e,,..., ). O prero pgeo é cero, os segues só serão feos equo x sobrevver. O vlor ul represe-se por K x,,..., Kx Kx,, Kx,,..., x ode K é v.. que represe o úero de x os copleos que x rá sobrevver. 2. Ter lfe ues-due - er lfe uy-due pys he sr of ech fuure yer for xu of yers, provded lfe ow ged x s he lve. Thus, pyes re de es,,...,, provded h x hs survved o ge x. The prese vlue s deoed K,,..., x Kx Kx,, Kx,,..., x where K s he r.v. represeg he cure x fuure lfee of x. o Vlor Aurl Expeced Prese Vlue x E v p x : K, x 2.2 Reds eds eporárs de eros ors sobre u vd co dde x: u áxo de eros us, de vlor cd, pgos o f de cd o (e,2,..., ). Os pgeos, cludo o prero, só x sobrevver. O vlor serão feos equo ul represe-se por Kx,,...,, Kx Kx,. Kx, 2, Ter lfe ede ues - er lfe ede uy pys he ed of ech fuure yer for xu of yers, provded lfe ow ged x s he lve. Thus, pyes re de es, 2,...,, provded h x hs survved o ge x. The prese vlue s deoed Kx,,...,, Kx Kx,. Kx, 2,... o Vlor Aurl Expeced Prese Vlue x E v p x : K, x

43 2.3 Reds eporárs ecpds e frcods sobre u vd co dde x: u áxo de eros us, de vlor cd, pgos por eo de frções de vlor cd, os oeos cs de cd u ds pres gus e que o o fo dvddo (e,,..., x ), e desde que (x) esej vv. O vlor ul é represedo por. Kx, 2.3 Ter lfe ues pyble es yer dvce - er lfe uy pyble es yer dvce o lfe ged x provdes he followg pyes: ul pyes of ou ech re de -hly dvce log he yer,.e., pyes of ou ech re de s log s (x) survves d for xu of yers ( vlue s deoed,,..., x Kx,. ). The prese o Vlor Aurl Expeced Prese Vlue E v p x : Kx,,,..., x 2.4 Reds eporárs de eros ors e frcods sobre u vd co dde x: u áxo de eros us, de vlor cd, pgos por eo de frções de vlor cd, os oeos fs de cd u ds pres gus e que o o fo dvddo (e 2,,..., x ), e desde que (x) esej vv. O vlor ul é represedo por K x,. 2.4 Ter lfe ues pyble es yer rrers - er lfe uy pyble es yer rrers o lfe ged x provdes he followg pyes: ul pyes of ou ech re de -hly rrers log he yer,.e., pyes of ou ech re de s log s (x) survves d for xu of 2 yers (,,..., x The prese vlue s deoed. K x, o Vlor Aurl Expeced Prese Vlue E v p x : x, K 2,,..., x

44 2.5 Reds coíus eporárs eds sobre u vd co dde x: os pgeos são feos couee u x ul x sobrevver e dure o uár equo áxo os. O vlor ul é represedo por. Tx, 2.5 Ter lfe couous ues - er lfe couous uy o lfe ged x provdes he followg pyes: s uy pyble couously re of per yer s log s (x) survves d for xu of yers.the prese vlue s deoed. Tx, o Vlor Aurl Expeced Prese Vlue E e p d Tx x :, x 2.6 Reds eporárs eds de eros ecpdos vrr e progressão geoérc sobre u vd co dde x: equo x sobrevver e dure o áxo os serão pgos eros us, sedo o prero de vlor e vrdo os segues e progressão geoérc de rzão r (ou sej, é pgo e, r é pgo e r, r 2 é pgo e 2,, é pgo e ). Nese cso, ão exse oção específc pr represer v.. Vlor Aul ou o seu Vlor Esperdo. 2.6 Ter lfe ues-due wh geoerclly cresg pyes - er lfe uy-due o lfe ged x wh geoerclly cresg pyes (he frs of ou d he followg cresg coo ro r ) provdes he followg pyes, s log s (x) survves:, r, r 2 2,, r. The xu uber of pyes s. There s o specfc oo o deoe he r.v. Prese Vlue d s Expeco. o Vlor Aurl Expeced Prese Vlue j EPV j v p clculed re j x, clculdo à x de juro/ * x : 2.7 Reds eporárs eds de eros ors vrr e progressão geoérc x sobre u vd co dde x: equo sobrevver e dure o áxo os serão pgos eros us, sedo o prero de vlor e vrdo os segues e progressão geoérc de rzão r (ou sej, é pgo e, r é pgo e 2 pgo e 3,, r r é, 2 é pgo e ). 2.7 Ter lfe ede ues wh geoerclly cresg pyes - er lfe uy o lfe ged x wh geoerclly cresg pyes rrer (he frs of ou d he followg cresg coo ro r ) provdes he followg pyes, s log s (x) survves:, r 2, r 2 3,, r. The xu uber of pyes s.

45 o Vlor Aurl Expeced Prese Vlue j EPV j v px, clculdo à x de juro/ clculed re * x : j 2.8 Reds eporárs eds de eros ecpdos vrr e progressão réc x sobre u vd co dde x: equo sobrevver e dure o áxo os serão pgos eros us, sedo o prero de vlor e vrdo os segues e progressão réc de rzão (ou sej, é pgo e, 2 é pgo e, 3 é pgo e 2,, é pgo e ). Nese cso, bé ão exse oção específc pr represer v.. Vlor Aul. 2.8 Ter lfe ues-due wh rheclly cresg pyes - er lfe uy-due o lfe ged x wh rheclly cresg pyes (he frs of ou d he followg cresg coo dfferece ) provdes he followg pyes, s log s (x) survves:, 2, 3 2,,. The xu uber of pyes s. There s lso o specfc oo o deoe he r.v. Prese Vlue. o Vlor Aurl Expeced Prese Vlue x : I v p x 2.9 Reds eporárs eds de eros ors vrr e progressão réc x sobre u vd co dde x: equo sobrevver e dure o áxo os serão pgos eros us, sedo o prero de vlor e vrdo os segues e progressão réc de rzão (ou sej, é pgo e, 2 é pgo e, 3 é pgo e 2,, é pgo e ). Não exse oção específc pr represer v.. Vlor Aul. 2.9 Ter lfe ues ede wh rheclly cresg pyes - er lfe uy-due o lfe ged x wh rheclly cresg pyes (he frs of ou d he followg cresg coo dfferece ) provdes he followg pyes, s log s (x) survves:, 2 2, 3 3,,. The xu uber of pyes s. There s o specfc oo o deoe he r.v. Prese Vlue. o Vlor Aurl Expeced Prese Vlue x : I v p x

46 2. Reds eporárs co pgeos coíuos crescer e progressão réc red eporár sobre u vd co dde x e que x de pgeo o o é cose e gul, =, 2,...,. O pgeo é feo o áxo dure períodos e desde que (x) esej vv. Nese cso, bé ão exse oção específc pr represer v.. Vlor Aul. 2. Ter lfe ues wh rheclly cresg couous pyes - er lfe uy o lfe ged x wh rheclly cresg pyes (so h he re of pye he h yer s cos d equl o, for =, 2,...,. The xu perod of pyes s d pyes re de s log s (x) survves. There s lso o specfc oo o deoe he r.v. Prese Vlue. o Vlor Aurl Expeced Prese Vlue (I ) x: = v = p x ( + )e δ u up x+ du 2. Reds eporárs co pgeos coíuos crescer couee e progressão réc red eporár sobre u vd co dde x e que x de pgeo é gul,. O pgeo é feo o áxo dure períodos e desde que (x) esej vv. Nese cso, bé ão exse oção específc pr represer v.. Vlor Aul. 2. Ter lfe ues wh rheclly couously cresg couous pyes - er lfe uy o lfe ged x wh rheclly couously cresg pyes (so h he re of pye s chgg couously d s equl o,. The xu perod of pyes s d pyes re de s log s (x) survves. There s lso o specfc oo o deoe he r.v. Prese Vlue. o Vlor Aurl Expeced Prese Vlue (I ) x: = e δ p x d

47 Observção: É por vezes ecessáro clculr o Vlor Acuuldo de u red eporár sobre vd hu. Ese cálculo obedece o eso prcípo dodo o cso ds reds cers, co s devds dpções: o-se coo oeo de referêc o f do úlo período d red, =. Esá plíc sobrevvêc d pesso é ese oeo, pr que odos os pgeos poss ser efeudos, lur e que e dde x + ; ss sedo, o pgeo efeudo e = deve ser cuuldo co x de juro (ulplcdo por ( + ) ) e co orldde (ulplcdo por ), ou sej, deve ser ulplcdo por p x+ E x+, ode E x+ = v p x+. O rcocío epregdo é s uvo se se prr d (óbv) guldde x: = E x s x:. E x = p x é o chdo for de ulzção url. Ve v Rer: Soees s ecessry o clcule he Accuuled Vlue of er lfe uy. The process s he se used o clcule he ccuuled vlue of uy cer. The referece po e s ow =, so we ssue h he lfe s lve h e (d ged x + ); h s why pye de e = s boh ccuuled wh eres (ulplyg by ( + ) d orly (ulplyg by p x+ ), h s o sy pye de e = s ulpled by, where E x+ E x+ = v p x+. Sll, he os uve pproch s x: = E x s x: E x = v p x s he curl dscoug fcor. The. x: = E x ( + ) ( + ) s x: s x: = x: = v p x p p x x = ( + ) l x+ ( + ) = = l x+ = p x+ = = ( + ) l x+ l x lx+ v l x =

48 3. Reds dferds sobre u vd Deferred lfe ues U red sobre vd hu dferd u os é u udde e que o prero pgeo só será feo depos de decorrdo u cero úero de períodos d red, desde que pesso segur esej vv ess lur. Usdo oção hbul e cso de dfereo, é bse edo o cálculo do Vlor Aurl ds reds dferds, prr de resuldos presedos eroree. Segue-se lgus lusrções. O operdor que fz lgção co os resuldos já cohecdos é d o for de ulzção url: u E x. A deferred lfe uy s uy uder whch he frs pye occurs soe fuure e u, gve he survvl of he lfe. Usg he se oo s before o defy he crcusce of defere, s possble o dp soe of he prevous resuls o clcule he Expeced Prese Vlue of deferred ues. A few llusros follow. Ag, he operor coecg he EPV of deferred ues o he EPV of o-deferred ues s he curl dscoug fcor: u E x. u x = x x:u = () x u = u E x () x+u u E x x+u x: u = u E x () x: u = u E x x+u: x+u: u x = x x:u = x () u = u E x () x+u u E x x+u x: u = u E x () x: u = u E x x+u: x+u:. u x = x x:u = () x u = u E x () x+u u E x x+u x: u = u E x () x: u = u E x x+u: x+u:

49 4. Reds sobre dus vds: grupos exguíves à prer ore Jo lfe ues (wo lves) As defções e coeáros erores o que se refere às reds sobre vd hu ê qu er vldde, depos de devdee dpdos. O speo essecl er e eção é que o que eroree se eed coo vd é gor u grupo de dus vds e que o grupo, coo l, sobrevve equo s dus vds sobrevvere cojuee. Cosdere-se ss dus vds, que o oeo e que o coro de red é celebrdo ê s ddes urs x e y, respevee. Sej T x e T y s v.. que represe s durções fuurs ds dus vds e cus e sej T xy v.. que represe o epo de vd fuur do grupo. T xy, que ede o período de epo que (x) e (y) sobrevverão cojuee, é gor vrável releve, pos expre durção fuur do grupo. Coo durção coju ds dus vds (x) e (y) er qudo prer dels orrer, é edo que T xy = {T x, T y }. O síbolo (xy) dc que se r de u grupo exguível à prer ore. Tl coo eroree, pr se clculr o Vlor Aul Esperdo ds reds é ecessáro sor o produo dos rês fores segues, e odos os oeos e que u pgeo esá prevso (egrr, se os pgeos são e epo coíuo): () o oe devdo; () probbldde de o pgeo se relzr; () o for de ulzção dequdo. O que exge gor prculr eção é o cálculo ds probblddes e (). Defos d rers o lfe ues prevously cluded he ex re ecessry lso hs seco s hey wll be used wh he ppropre leros. The dfferece s h ow he lfe s group wh wo lves d he group s lve s log s he wo lves re lve. Assue wo lves, who he ouse of he corc re ssued o be ged x d y, respecvely, x d y beg he egers whch re closes o he ges of he wo lves. Le T x d T y be he fuure lfees of he wo lves. The rdo vrble T xy esures he jo lfee of (x) d (y) d s ow he vrble of eres. The jo lfee of (x) d (y) s he e whle boh lves re lve, whch s he e ul he frs deh, h s T xy = {T x, T y }. The sybol (xy) specfes he jo lfe sus. The jo lfe sus xy fls o he frs deh of (x) d (y). The se s before, o fd he Expeced Prese Vlue of ues s ecessry o su over ll he pye des (or egre, f pyes re de couous e) he produc of: () he ou of he pye: () he probbly of pye; () he ppropre dscou fcor. The copuo of he probbles () requres prculr eo. Hpóese: T x e T y são vráves leórs depedees, pelo que p xy = Pr[(x) e (y)sobrevvere os] = p x p y. Assupo: T x d T y re depede rdo vrbles d he p xy = Pr[(x)d (y)re boh lve yers] = p x p y.

50 Usdo oção hbul, é bse edo o cálculo do Vlor Aurl ds reds sobre grupos exguíves à prer ore, prr de resuldos presedos eroree. Segue-se lgus lusrções de reds de vd er e de reds eporárs, be coo de reds dferds. Os csos ão presedos deduze-se se dfculdde por log. Usg he se oo s before, s possble o dp soe of he prevous resuls o clcule he Expeced Prese Vlue of jo lfe ues. A few llusros follow of whole lfe d er ues, cludg uy corcs where he beefs re deferred. The ssg cses re lso que srghforwrd, by logy. 3. Reds de vd er sobre u grupo (xy), eds e de eros ecpdos: o úero áxo de eros us, de vlor cd, é x x, 2 y, sedo e 2 s ddes le de (x) e (y), respevee. Os eros são pgos o íco de cd o (e,,..., x ); o prero pgeo é cero, os segues só serão feos equo o grupo (xy) sobrevver. O vlor ul represe-se por, ode K é v.. que represe o xy K xy úero de os copleos que o grupo rá sobrevver, so é, pode escrever-se Kxy Kx, K y, Kx T x, K. y T y 3. Whole lfe ues-due o group (xy) provde he followg pyes, he xu uber of pyes beg x x, y : =, whch 2 s cer o be pd; furher pye of y he ed of ech yer s log s x d re lve (,,..., x ); s he lg ge for x d 2 s he lg ge for y. The prese vlue s, Kxy Kx, K y, Kx T x, K, y T y beg he r.v. represeg he cure fuure lfee of he jo lfe group (xy). K xy o Vlor Aurl Expeced Prese Vlue x xy Kxy xy E v p. pxy px py é probbldde do +- éso pgeo ser feo (é probbldde x sobrevver é à dde x y de sobrevver é à dde y ). e pxy px py s he probbly of he +-h pye beg de ( s he x survvg o ge x ) d probbly of y survvg o ge y ).

51 3.2 Reds de vd er sobre u grupo (xy), ecpds e frcods: eros us u áxo gul x, de vlor cd, pgos equo (xy) sobrevver, por eo de frções de vlor cd, os oeos cs de cd u ds pres gus e que o o fo dvddo (e,,..., x ). O vlor ul é, T xy K. xy Kxy 3.2 Whole lfe ues o group (xy) pyble es yer dvce provde he followg pyes: ul pyes of ou ech re de -hly dvce log he yer,.e., pyes of ou ech re de s log s (xy) survves d for xu of x yers (,,..., x ). The prese vlue s, T xy K. xy Kxy o Vlor Aurl Expeced Prese Vlue E v p. xy xy Kxy,,..., x ) 3.3 Reds de vd er sobre u grupo (xy), eds e coíus: os pgeos são feos couee u x ul uár equo (xy) sobrevver e dure o áxo x os. O vlor ul é represedo por. T xy 3.3 Whole lfe couous ues o group (xy) re ues pyble couously re of per yer s log s (xy) survves d for xu of x yers.the prese vlue s deoed. T xy o Vlor Aurl Expeced Prese Vlue x xy E T xy xy e p d 3.4 Reds de vd er sobre u grupo (xy), eds e de eros ecpdos vrr e progressão geoérc: equo (xy) sobrevver e dure o áxo x os serão pgos eros us, sedo o prero de vlor e vrdo os segues e progressão geoérc de rzão r (ou sej, é pgo e, r é pgo e, r 2 é pgo e 2 pgo e x ).,, r x é 3.4 Whole lfe ues-due o group (xy) wh geoerclly cresg pyes provde he followg pyes, s log s (xy) survves:, r, r 2 2,, r x x. The xu uber of pyes s x.