Objectivo da Estatística: fornecer informação. (conhecimento), utilizando quantidades numéricas.

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1 Objectvo da Estatístca: forecer formação (cohecmeto), utlzado quatdades umércas.. Obteção dos dados Amostragem. Descrção, classfcação e apresetação dos dados Estatístca descrtva 3. Coclusão a trar dos dados Iferêca Estatístca Amostragem Aleatóra : processo que garate que todos os elemetos da população têm as mesmas hpóteses de ser tegrados a amostra. Estatístca Descrtva : sítese e represetação de uma forma compreesível da formação cotda um cojuto de dados costrução de tabelas, gráfcos ou cálculo de meddas cetras e de dspersão. Iferêca Estatístca: a partr de um cojuto lmtado de dados (amostra), pretede-se caracterzar o todo a partr do qual os dados foram obtdos (população). º Semestre Profª Aa Crsta Braga

2 AMOSTRAGEM Cocetos População caracterza-se pelo grupo tero de objectos (udades) dos quas se pretede obter a formação. Udade qualquer membro dvdual da população. Amostra uma parte ou subcojuto da população usada para obter formação acerca do todo. Varável uma característca de uma udade, que será medda a partr da udade da amostra. EEMPLO: Opão das pessoas do dstrto de Braga sobre determado produto Utlzação da Amostragem Sodages de opão Ispecções de mercado Ceso Amostragem de acetação Amostragem subjectva Amostragem por coveêca º Semestre Profª Aa Crsta Braga

3 O processo de amostragem tem de ser objectvo e ão tedecoso pelo que o melhor crtéro é o da amostragem aleatóra. º Semestre Profª Aa Crsta Braga 3

4 OBJECTIVOS GERAIS DE UMA INVESTIGAÇÃO. Descrever o feómeo, objectvo da experêca ou do estudo - Eumerar a ocorrêca de determados factos - Descobrr tedêcas mportates Nível de Compreesão. Explcar a causa de determado feómeo - Determação de factores que susctam o aparecmeto do feómeo que é objecto de estudo - Descobrr modos de trasmssão de determadas patologas 3. Prever o úmero de ocorrêcas e a dstrbução do Nível de Iterveção feómeo que se pretede estudar 4. Cotrolar a dstrbução futura de determado feómeo actuado sobre os mecasmos subjacetes º Semestre Profª Aa Crsta Braga 4

5 Exemplo de íves de uma vestgação epdemológca: Latêca NÍVEL DE COMPREENSÃO Idução Promoção Expressão Icação do processo etológco (aparecmeto da prmera causa) Icação do processo patológco (a doeça tora-se rreversível) Detecção clíca da doeça (aparecmeto de stomas e sas) Evolução da doeça (recuperação, remssão, agravameto ou morte) Preveção Prmára Preveção Secudára Preveção Tercára NÍVEL DE INTERVENÇÃO º Semestre Profª Aa Crsta Braga 5

6 Método cetífco Chave: Cotexto de uma Ivestgação Procedmeto de uma vestgação Teora/ Cohecmetos Trar ferêcas reformular hpóteses coceptuas Stetzar e formular hpóteses Coclusões Iterpretações Hpóteses Coceptuas Trar ferêcas reformular Hpóteses operacoas Plaeameto do estudo Achados Empírcos Hpóteses Operacoas Aálse dos dados Recolha de dados Observações/ Dados º Semestre Profª Aa Crsta Braga 6

7 EPERIMENTAÇÃO Objectvo da Expermetação: descoberta de ovos prcípos cetífcos ou feómeos, estabelecedo relações de causa/efeto; desevolvmeto de métodos e processos mas aperfeçoados. Udades objectos de base sobre os quas se realza a experêca. Varável característca mesurável de uma medda. Varável depedete varável cuja a varação se pretede estudar varável resultado. Varável depedete varável cujo efeto a varável depedete se pretede estudar. Tratameto qualquer codção expermetal especfca aplcada às udades. É, em geral, uma combação de valores específcos, chamados íves, de cada um dos factores expermetas. O plaeameto de uma experêca é uma regra ou esboço para atrbução dos tratametos às udades. Observação Tratameto Observação º Semestre Profª Aa Crsta Braga 7

8 Tpos e objectvos de estudos de vestgação em cêcas bológcas TIPO SUBTIPO OBJECTIVOS Expermetal (mapulação artfcal do factor com aleatorzação) Laboratoral - Testar hpóteses e estmar efetos comportametas e bológcos. Esao Clíco - Testar a efcáca de terveção para modfcar o estado de saúde de populações. Quas-expermetal (mapulação artfcal do factor em estudo sem aleatorzação) De observação (ão há mapulação artfcal do factor em estudo) Iterveção a Comudade Laboratoral/ Esao Clíco Programa/ Polítca Descrtvo Aalítco - Idetfcar os dvíduos em rsco ou em alto rsco ; -Testar a efcáca e efcêca de terveções clícas/socas para modfcar o estado de saúde de uma determada população. (o mesmo dcado acma) -Avalar até que poto se atgram os objectvos propostos; - Determar problemas, cosequêcas ão atecpadas e razões para o sucesso ou sucesso de uma terveção; -Comparar custos/beefícos de uma terveção; - Sugerr mudaças um programa ou polítca de saúde em curso. - Estmar a frequêca de doeças e tedêcas temporas e detfcar os dvíduos doetes; - Gerar hpóteses quato à causa de doeças e sugerr bases para futuros estudos. - Testar hpóteses causas e estmar efetos crócos a saúde das populações; - Gerar ovas hpóteses causas e sugerr mecasmos de causa; - Gerar hpóteses prevetvas e sugerr modos de fazer a preveção de doeças. º Semestre Profª Aa Crsta Braga 8

9 ESTUDO EPERIMENTAL: os vestgadores mapulam artfcalmete o factor em estudo (por exemplo um tratameto). Num estudo deste tpo é feto um arrajo das udades expermetas (amas, pessoas, platas, etc) atrbudo-lhes o tratameto de um modo aleatóro Udades expermetas seleccoadas Grupo Expermetal com o resultado sem o resultado com o resultado Grupo Cotrolo sem o resultado Começo do estudo Iterveção tempo Vatages - Plao de escolha para coclur em termos de casualdade, caso os cotrolos sejam cocorretes aleatóros Lmtações - a população em estudo pode dferr da população alvo, logo o efeto observado a população estudada pode dferr daquele que se verfca a população alvo. - podem ser muto demorados e dspedosos. - podem exstr problemas étcos. º Semestre Profª Aa Crsta Braga 9

10 ESTUDO QUASI- EPERIMENTAL: o factor em estudo é mapulado expermetalmete mas ão exste uma atrbução aleatóra do tratameto. Estes estudos podem evolver comparações um úco grupo, em város grupos ou uma combação de ambas. Exemplo de um esao clíco cruzado: Udades expermetas seleccoadas Grupo I Grupo II Expermetal Expermetal com o resultado sem o resultado com o resultado Grupo II Grupo I sem o resultado Cotrolo Cotrolo Começo do estudo Iterveção Iterveção tempo Exemplo de um esao clíco com grupo de cotrolo hstórco: Grupo Expermetal com o resultado sem o resultado Resultados de um estudo prévo (hstórco) Começo do estudo Iterveção só o GE tempo º Semestre Profª Aa Crsta Braga 0

11 ESTUDO DE OBSERVAÇÃO: Neste tpo de estudo ão há mapulação artfcal do factor em estudo (o mas teressate para os epdemologstas). Estes estudos podem ser de dos tpos: Descrtvos quado se sabe pouco sobre a ocorrêca, hstóra atural, ou os determates da doeça; Aalítco (ou etológco) - procura detfcar os factores de rsco para cotrar a doeça, estmar os seus efetos a doeça e sugerr possíves estratégas de terveção estudo de coorte prospectvo Plaeameto Logtudal usado os estudos estudo caso-cotrolo retrospectvo de observação Trasversal plaeameto ão dreccoal º Semestre Profª Aa Crsta Braga

12 Exemplo de um plao de estudo de coorte cocorrete Expostos com o resultado Idvíduos seleccoados sem o resultado com o resultado Não expostos sem o resultado Começo do estudo drecção da vestgação tempo Perguta: O que va acotecer? Exemplo de um plao de estudo de coorte hstórco Expostos com o resultado Idvíduos seleccoados sem o resultado com o resultado Não expostos sem o resultado drecção da vestgação Começo do estudo tempo Utlzados para descrever a evolução de uma doeça e detfcar factores de progóstco (exemplo, Melbye e tal (986) descrevem um estudo logtudal para determar os efetos a logo prazo da seropostvdade para o vírus da muodefcêca humaa (HIV) em 50 homossexuas calmete saudáves. º Semestre Profª Aa Crsta Braga

13 Exemplo de um plao de estudo Trasversal Idvíduos seleccoados com o resultado sem o resultado começo do estudo tempo Perguta: O que está a acotecer? Os estudos trasversas são partcularmete útes para estudar codções que possam ser meddas quattatvamete, e que varam um período de tempo curto (pressão arteral) ou doeças relatvamete frequetes que têm grades durações (broqute cróca). Exemplo de um plao de estudo caso-cotrolo Expostos Casos Não Expostos Expostos Não Expostos Cotrolos começo do estudo tempo Drecção da vestgação Perguta: O que acoteceu? º Semestre Profª Aa Crsta Braga 3

14 ESTUDO DE OBSERVAÇÃO Vatages Lmtações Estudos de coorte Estudos caso-cotrolo - descrção mas correcta do estado cal (factor de rsco). - adequados para o estudo de exposções raras - adequados para o estudo de resultados raros - mas rápdos - meos dspedosos - período de latêca logo follow-up muto demorado - follow-up cudadoso trabalho excessvo/custo elevado. - avalação da exposção propesa a véses aalítcos º Semestre Profª Aa Crsta Braga 4

15 ORGANIZAÇÃO DOS DADOS Nomal ex: sexo, class. taxoómcas dados qualtatvos Ordal ex: classfcações um teste em mau, medocre, suf., bom e muto bom - dados qualtatvos Escalas Itervalo ex: temperatura em o C (orgem arbtrára) - dados quattatvos Absoluta ex: peso em kg (orgem fxa) - dados quattatvos Dscretos varável aleatóra dscreta Dados Cotíuos varável aleatóra cotíua Dados Qualtatvos Dados quattatvos -Tabelas de frequêcas - Tabelas de frequêcas - Gráfcos de barras - Gráfcos tpo hstograma - Gráfcos crculares - Meddas cetras e de dspersão º Semestre Profª Aa Crsta Braga 5

16 EEMPLOS Gráfco crcular: Dstrbução por SEO Masculo 8,47% Femo 8,53% Gráfco de barras: Value POP Lodres Esse Del Teerão Bagkok B. Ares Moscovo Chaga H. Kog Lma Ro L. Ageles Pequm Osaka Seoul Jakarta Calcuta Karach Tape Toky o Bombam Caro N. York Méxco Mala S.Paulo Chcago Pars Lagos Istambul CIDADE º Semestre Profª Aa Crsta Braga 6

17 Hstograma 8 Razão preço/retoro 6 4 Frequêca 0 7,0,0 5,0 9,0 3,0 Std. Dev = 4,99 Mea = 5,6 N = 5,00 RAZAO Box-plot N = 4 POP 4 população mas cula º Semestre Profª Aa Crsta Braga 7

18 Gráfco de potos ALT URA PESO Tabela de frequêcas Faxa Etára População Pop. Mascula > Total º Semestre Profª Aa Crsta Braga 8

19 ESTATÍSTICA DESCRITIVA Descrção stétca dos dados quattatvos Estatístcas Amostras: são meddas calculadas com base os dados, a partr dos quas é possível descrever globalmete o cojuto de valores que tas dados tomam. Tradução em úmeros do que se apreede de uma tabela de frequêcas ou de um hstograma. Meddas de Localzação Estatístcas Amostras (dados uvarados) Meddas de Dspersão Meddas de Localzação Méda Artmétca ( ) x - valor umérco da méda artmétca º Semestre Profª Aa Crsta Braga 9

20 x =. = x Dados dscretos agrupados x ag = k f. x k = = f k r. = f = x ode f r é a frequêca relatva, expressa como a proporção do úmero total de dados. Dados cotíuos agrupados x ag = k f. M k = = f k r. = f = M ode M represeta o poto médo da classe. Medaa (Med) Colocar os dados por ordem crescete formado o vector ( x, x ) x : :, :,. A medaa amostral é defda os segutes termos: º Semestre Profª Aa Crsta Braga 0

21 . Se for ímpar, a medaa toma o valor do dado que, este vector, ocupa a posção cetral, sto é: Med = x + ( ). Se for par, a medaa toma o valor médo dos dos termos cujas localzações o vector se aproxma mas da posção cetral, sto é: Med = x + x { ( ) ( ) + } Para dados agrupados cotíuos, car-se-à pela detfcação da classe medaa. A classe medaa é aquela ode as frequêcas relatvas acumuladas passam de um valor feror a 0.5 para um valor superor a 0.5. Med = L 0.5 Fr + + F F r r. = L 0.5 Fr + f r. L - lmte feror da classe medaa; + Fr - frequêca relatva acumulada correspodete à classe medaa; Fr - frequêca relatva acumulada correspodete à classe que precede a classe medaa; fr - frequêca relatva (ão acumulada) correspodete à classe medaa; - ampltude da classe medaa. Moda (Mo) Medda que dca o valor ou gama de valores os quas a cocetração dos dados amostras é máxma. Para dados agrupados cotíuos, car-se-á pela detfcação da classe modal. º Semestre Profª Aa Crsta Braga

22 d Mo = L +. d + d L - lmte feror da classe modal; d d = ode fmod f = ode fmod f f é a frequêca absoluta da classe à esquerda da classe modal; f é a frequêca absoluta da classe à dreta da classe modal; - ampltude da classe modal. Comparação etre as meddas de localzação Moda = Medaa = Méda Dstrbução Smétrca Moda < Medaa < Méda Dstrbução Assmétrca à dreta º Semestre Profª Aa Crsta Braga

23 Moda > Medaa > Méda Dstrbução Assmétrca à esquerda Meddas de Dspersão Ampltude da amostra (A) A = máx x m x = x : x : Icoveete: Pode ser afectada por valores atípcos dos extremos! Quarts (Q k ) Posção do º quartl q =. Q = 4 x q q Q = Med Q 3 = xq 3 Percets (P p ) Posção do percetl p p%. P = 50 = Med ; P5 = Q ; P75 Q3 º Semestre Profª Aa Crsta Braga 3

24 º Semestre Profª Aa Crsta Braga 4 Erro Quadrátco Médo (EQM) O erro quadrátco médo é uma medda adequada para descrever a dspersão de uma amostra (ou de uma população) se se dspuser de todos os dados que a compõem. ( ) = = x x EQM. Varâca Amostral (s ) Dados ão agrupados ( ) = = x x s. ( ) = + = = + = = = = = = = = = x x x x x x x x x x x x s Dados dscretos agrupados ( ) = = k ag x x f s... x x f s k ag = =

25 Dados cotíuos agrupados s ag = k. = f ( M x) ode M represeta o poto médo da classe. s =. EQM Desvo padrão amostral (s) s = varâca DISTRIBUIÇÕES BIVARIADAS Meddas de assocação Coefcete de correlação Dadas observações bvaradas a varável e Y,,,, e Y, Y,, Y, o coefcete de correlação r pode ser defdo por r =. = ( x s x )( x. s y y y ) r mede a assocação de duas varáves r > 0 assocação postva º Semestre Profª Aa Crsta Braga 5

26 r < 0 assocação egatva - r Coefcete de determação (r ) r é a proporção da varâca de uma varável que pode ser explcada pela depedêca lear a outra varável. r = 0.5, sgfca que 5% da varâca de y é explcada pela depedêca lear de y em relação a x. Assocação, Predção e Causa A assocação etre duas varáves pode ser devda a 3 factores: Causa A B Razão Comum: quado exste(m) outra(s) varável(es) que orga(m) o aparecmeto das duas º Semestre Profª Aa Crsta Braga 6

27 A B C Mstura: quado varações uma varável são causadas pelas varações de outra varável bem como de uma tercera varável que ão se ecotra em estudo. A B C º Semestre Profª Aa Crsta Braga 7

28 DISTRIBUIÇÃO NORMAL 99,7% 68% 95% Dstrbução smétrca em forma de so, cetrada em µ. 68% das observações pertecem a ] µ σ ; µ + σ [; 95% das observações pertecem a ] µ σ ; µ + σ [; 99,7% das observações pertecem a ] µ 3σ ; µ + 3σ [ º Semestre Profª Aa Crsta Braga 8

29 PROBABILIDADES Defção clássca: se uma experêca aleatóra tver N resultados mutuamete exclusvos e gualmete prováves, e se um acotecmeto A cotver N A desses resultados (N A N), etão a probabldade do acotecmeto A é dada por: P N A ( A ) = N A probabldade de um acotecmeto A é a razão etre o úmero de resultados (ou casos) favoráves (à ocorrêca de A, aturalmete) e o úmero de resultados possíves. Exemplo: Qual a probabldade de trar um ás dum baralho de cartas? N A = 4 N = 5 P(A) = 4/5 Exstem mutas stuações ode as dferetes possbldades ão são gualmete prováves. A probabldade de um acotecmeto (eveto ou resultado) é a proporção de vezes que evetos da mesma espéce ocorrerão a logo prazo. Defção Axomátca: as probabldades são defdas como objectos matemátcos, que se comportam segudo regras bem defdas. º Semestre Profª Aa Crsta Braga 9

30 ESPAÇOS AMOSTRAIS Experêca: qualquer processo de observação ou medda. Resultados: resultados de uma experêca, cotages, respostas sm/ão, valores. Espaço Amostral (S): é o cojuto de todos os resultados possíves de uma experêca. Elemeto ou Poto Amostral: cada resultado do espaço amostral. Exemplo : Laçameto de um dado S = {,, 3, 4, 5, 6} S = { par, ímpar} Exemplo : Espaço amostral costtuído pelo laçameto de dos dados de cores dferetes. S = {(x, y): x =,, 3, 4, 5, 6; y =,, 3, 4, 5, 6} S = {, 3, 4,, } Dscreto Espaço Amostral Cotíuo º Semestre Profª Aa Crsta Braga 30

31 Espaço Amostral Dscreto: cotém um úmero fto de elemetos aos quas é possível fazer correspoder úmeros teros. Espaço Amostral Cotíuo: cotém um úmero fto de elemetos costtudo um espaço cotíuo. Acotecmeto ou Eveto: subcojuto do espaço amostral. Defções: A uão dos evetos A e B, A B, é o eveto em S que cotém todos os elemetos que estão em A, em B ou em ambos. A tersecção dos eveto A e B, A B, é o eveto em S que cotém todos os elemetos que estão em A e B. O complemeto do eveto A, A, é o eveto em S que cotém todos os elemetos de S que ão estão em A. º Semestre Profª Aa Crsta Braga 3

32 POSTULADOS DA ÁLGEBRA DE BOOLE. Para cada par de evetos A e B o espaço amostral S, há um úco eveto A B e um úco eveto A B em S.. A B = B A. A B = B A. 3. (A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C) 4. A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) 5. A S = A, para cada eveto A o espaço amostral S; exste um úco eveto tal que A =A para cada eveto A em S. 6. Para cada eveto A em S exste um úco eveto A em S que A A = e A A = S. º Semestre Profª Aa Crsta Braga 3

33 A B C A (B C) º Semestre Profª Aa Crsta Braga 33

34 A B C (A B) (A C) º Semestre Profª Aa Crsta Braga 34

35 A B C A (B C) º Semestre Profª Aa Crsta Braga 35

36 A B C (A B) (A C) º Semestre Profª Aa Crsta Braga 36

37 PROBABILIDADE DE UM ACONTECIMENTO Axoma Para qualquer acotecmeto A (sto é, qualquer subcojuto de um espaço amostral S), a probabldade desse acotecmeto satsfaz a relação: 0 P(A) Axoma A probabldade assocada ao acotecmeto certo (S) é P(S) = Axoma 3 Se A, A, A 3,, é uma sequêca fta ou fta de acotecmetos mutuamete exclusvos de S, etão: P(A A A 3 ) = P(A ) + P(A ) + P(A 3 ) + A S B A B = A e B são mutuamete exclusvos º Semestre Profª Aa Crsta Braga 37

38 Uma vez que as proporções são sempre postvas ou zero, o prmero axoma está de acordo com a terpretação da probabldade baseada em frequêcas; o segudo axoma afrma que a certeza é detfcada com, sto é, uma das possbldades em S deve ocorrer. Em termos frequecstas o acotecmeto em questão deve ocorrer 00% das vezes. O tercero axoma também é satsfeto em termos de frequêcas, já que para acotecmetos mutuamete exclusvos, correspode à soma das frequêcas. Se A é um acotecmeto um espaço amostral S, etão P(A) guala a soma das probabldades dos acotecmetos dvduas. Exemplo : Se uma moeda equlbrada é laçada duas vezes, qual a probabldade de obter pelo meos uma cara? Resolução: S = {FF, FC, CF, CC} F - cara, C coroa A = {FF, FC, CF} P(A) = P(FF) + P(FC) + P(CF) = ¼ + ¼ + ¼ = ¾ º Semestre Profª Aa Crsta Braga 38

39 Exemplo : Um dado está vcado de forma que úmeros ímpares são duplamete mas prováves que os úmeros pares. Se o acotecmeto E é defdo como um úmero maor que 3 ocorre um smples laçameto, ecotre P(E). Resolução: S = {,,3, 4, 5, 6} w probabldade de um úmero par.w probabldade de um úmero ímpar P(S) =.w + w +.w + w +.w + w = 9.w = w = /9 E = {sar um úmero > 3} = {4, 5, 6} P(E) = /9 + /9 + /9 = 4/9 Se uma experêca pode resultar um de N resultados gualmete prováves, e se desses resultados costtuem o acotecmeto A, etão a probabldade do acotecmeto A é, P ( A) = N (fórmula cocdete com a defção clássca de probabldade) º Semestre Profª Aa Crsta Braga 39

40 Algumas regras de probabldade. Se A e A são acotecmetos complemetares um espaço amostral S, etão: P( A) = P(A). P( ) = 0, para qualquer espaço amostral. 3. Se A e B são acotecmetos um espaço amostral S e A B, etão: P(A) P(B). 4. Para qualquer acotecmeto A: 0 P(A). 5. Se A e B são dos quasquer acotecmetos um espaço amostral S, etão: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) 6. Se A, B e C são três quasquer acotecmetos um espaço amostral S, etão: P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) P(A B) - P(A C) - P(B C) + P(A B C) º Semestre Profª Aa Crsta Braga 40

41 b a c P(A B) = a+ b + c = (a + b) + (c + a) a = P(A) + P(B) P(A B) º Semestre Profª Aa Crsta Braga 4

42 g b e a d c f P(A B C) = a + b + c + d + e + f + g = a + b + d + g + a + b + c + e + a + c + d + f - (a + b) (a + c) (a + d) + a = P(A) + P(B) + P(C) P(A B) - P(A C) - P(B C) + P(A B C) º Semestre Profª Aa Crsta Braga 4

43 PROBABILIDADE CONDICIONAL Podem surgr dfculdades quado as probabldades são referdas sem especfcação do espaço amostral. Uma vez que a escolha do espaço amostral (omeadamete o cojuto de todas as possbldades em aálse) ão é sempre evdete, usa-se P(A S) para referr a probabldade codcoal do acotecmeto A em relação ao espaço amostral S; lê-se a probabldade de A dado S. Se A e B são dos acotecmetos quasquer o espaço amostral S e P(A) 0, a probabldade codcoal de B dado A é: P( B P( A B) A) = P( A) º Semestre Profª Aa Crsta Braga 43

44 Exemplo: Qual é a probabldade de que um úmero de potos do dado vcado seja um quadrado perfeto? E qual a probabldade de ser um quadrado perfeto dado que é maor que 3? Resolução: A = {sar > 3} = {4, 5, 6} B={sar quadrado perfeto} = {, 4} A B = {4} P(A) = /9 + /9 + /9 = 4/9 P(B) = /9 + /9 = 3/9 P(A B) = /9 P ( B A) = P( A B) P( A) = 9 4 = 9 4 Se A e B são dos acotecmetos quasquer o espaço amostral S e P(A) 0, etão: P ( A B) = P( A). P( B A) Exemplo: Três lâmpadas defetuosas foram advertdamete msturadas com ses lâmpadas boas. Escolhdas duas lâmpadas ao acaso, calcule-se a probabldade de serem ambas boas. Resolução: Image-se que as lâmpadas são retradas, uma após a outra, e cosderemse os acotecmetos segutes: A : a prmera lâmpada é boa A : a seguda lâmpada é boa A probabldade de as duas lâmpadas serem boas é dada por: P(A A ) = P(A ).P(A A ) = 6/9. 5/8 = 5/ º Semestre Profª Aa Crsta Braga 44

45 Se A, B e C são três acotecmetos quasquer o espaço amostral S tal que P(A) 0 e P(A B) 0, etão: P(A B C) = P(A). P(B A). P(C A B) Demostração: P(A B C) = P[(A B) C] = P(A B). P(C A B) = P(A). P(B A). P(C A B) Exemplo: Uma caxa cotém 0 fusíves, dos quas 5 são defetuosos. Se três fusíves são seleccoados e removdos sucessvamete sem reposção, qual a probabldade que os três fusíves sejam defetuosos? Resolução: A - º fusível defetuoso B - º fusível defetuoso C - 3º fusível defetuoso P(A) = 5/0 P(B A) = 4/9 P(C A B) = 3/8 P(A B C) = P(A). P(B A). P(C A B) = 5/0. 4/9. 3/8 = 60/6840 = º Semestre Profª Aa Crsta Braga 45

46 ACONTECIMENTOS INDEPENDENTES Dos acotecmetos são depedetes se a ocorrêca ou ão ocorrêca de qualquer um deles ão afecta a probabldade de ocorrêca do outro. Isto é: P(B A) = P(B) P(A B) = P(A) P(A B) = P(A). P(B A) = P(A). P(B) Dos acotecmetos são depedetes se e só se: P(A B) = P(A). P(B) º Semestre Profª Aa Crsta Braga 46

47 Exemplo: Uma moeda é laçada três vezes, e os oto resultados possíves FFF FFC FCF CFF FCC CFC CCF CCC são gualmete prováves. Cosdere os segutes acotecmetos: A Uma cara (F) ocorre em cada um dos dos prmeros laçametos B Uma coroa (C) ocorre o 3º laçameto C Exactamete duas caras ocorrem os três laçametos Mostre que A e B são depedetes, equato que B e C são depedetes. Resolução: A = {FFF, FFC} P(A) = /8 = ¼ B = {FFC, FCC, CFC, CCC} P(B) = 4/8 = ½ C = {FCC, CFC, CCF} P(C) = 3/8 A B = {FFC} P(A B) = /8 = P(A). P(B) B C = {FCC, CFC} P(B C) = /8 P(B). P(C) º Semestre Profª Aa Crsta Braga 47

48 FCF A B CFF FFF C FFC FCC CFC CCF FFF P(A B) = /8 = P(A). P(B) depedêca, P(B A) = P(B) P(B C) = /8 = ¼ P(B). P(C B) = ½. ½ = ¼ º Semestre Profª Aa Crsta Braga 48

49 Se dos acotecmetos A e B são depedetes, etão os dos acotecmetos A e B são também depedetes. A = (A B) (A B) A = A (B B) = A S = A (A B) e (A B) são acotecmetos mutuamete exclusvos P(A) = P[(A B) (A B)] = P(A B) + P(A B) = P(A). P(B) + P(A B) com P(A B) = P(A). P( B) = P(A). [ P(B)] P(A) = P(A). P(B) + P(A). [ P(B)] = P(A). [P(B) + P(B)] P(A) = P(A) c.q.d. Os acotecmetos A, A,, A k são depedetes se e só se a probabldade da tersecção de quasquer, 3.ou k destes acotecmetos gualar o produto das respectvas probabldades P k = A = k = P( A ) º Semestre Profª Aa Crsta Braga 49

50 Se os acotecmetos B, B,, B k costtuem uma partção do espaço amostral S e P(B ) 0 para =,,, k, etão para qualquer acotecmeto A em S P( A) = k = P( B ). P( A B ) B = B B B k Partção do espaço amostral B B j = j A ( B B B k ) = (A B ) (A B ) (A B k ) B B B k = S e A S = A P(A B) = P(A). P(B A) P(A) = P(B ). P(A B ) + P(B ). P(A B ) + + P(B k ). P(A B k ) P( A) = k = P( B ). P( A B ) º Semestre Profª Aa Crsta Braga 50

51 º Semestre Profª Aa Crsta Braga 5 TEOREMA DE BAYES Se os acotecmetos B, B,, B k costtuem uma partção do espaço amostral S e P(B ) 0 para =,,, k, etão para qualquer acotecmeto A em S tal que P(A) 0: ) ( ). ( ) ( ). ( ) ( k r r r B A P B P B A P B P A B P = = para r =,,, k. B P(A B ) P(B ). P(A B ) B P(A B ) P(B ). P(A B ) B r P(A B r ) P(B r ). P(A B r ) B k P(A B k ) P(B k ). P(A B k ) ) ( ). ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) ( k r r r r B A P B P B A P B P A P B A P A B P = = = P(B ) P(B ) P(B r ) P(B k )

52 Exemplo : A ura I cotém 3 fchas vermelhas e fchas azus, e a ura II cotém fchas vermelhas e oto fchas azus. Joga-se uma moeda. Se sar cara (F), extra-se uma fcha da ura I, se sar coroa (C), extra-se uma fcha da ura II. Determe a probabldade de escolha de uma fcha vermelha. Resolução: A escolha de fcha vermelha B ura I P(B) = ½ P(A B) = 3/5 B ura II P( B) = ½ P(A B) = /0 = /5 A = (A B) (A B) A é a uão de dos acotecmetos mutuamete exclusvos P(A) = P[(A B) (A B)] = P(A B) + P(A B) = P(B).P(A B) + P( B).P(A B) P(A) = ½.3/5 + ½. /5 = 4/0 =/5 A B S (A B) (A B) A = (A B) (A B) º Semestre Profª Aa Crsta Braga 5

53 Exemplo (teorema de Bayes): Cosdere-se o exemplo ateror. Supoha-se que ão se sabe o resultado da jogada da moeda, mas que a fcha extraída é vermelha. Qual a probabldade de ter sdo extraída da ura I? Resolução: P ( B A) = P( B). P( A B) P( B). P( A B) + P( B). P( A B) = = 3 4 Vermelhas (0.6) Ura I (0.5) Azus (0.4) P(Vermelha) = 0.5 * * 0. Ura II (0.5) Vermelhas (0.) Azus (0.8) P(Ura I Vermelha) = P(Ura I Vermelha)/P(Vermelha) = 0.5 * 0.6/(0.5 * * 0.) º Semestre Profª Aa Crsta Braga 53

54 Exemplo 3: Admta-se que um determado país, % da população tem tuberculose e, ada, que: - para uma pessoa que teha de facto cotraído a doeça, uma mcroradgrafa tem um resultado postvo (sto é, detecta a tuberculose) em 95% dos casos e - para uma pessoa ão tuberculosa, esta percetagem é apeas de 0.5%. Pretede-se saber qual a probabldade de uma pessoa a quem a mcroradografa teha dado resultado postvo estar tuberculosa. Resolução: Postvo (0.95) P(Tuberculoso Postvo) = 0.0.* 0.95 Tuberculoso (0.0) Negatvo (0.05) P(Postvo) = 0.0 * *0.005 Não tuberculoso (0.99) Postvo (0.005) Negatvo (0.995) P(Tuberculoso Postvo) = P(Tuberculoso Postvo)/P(Postvo) = 0.0 * 0.95/(0.0 * * 0.005) º Semestre Profª Aa Crsta Braga 54

55 DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE Dstrbuções de Probabldade Dscretas - Dstrbução de Beroull - Dstrbução Bomal - Dstrbução de Posso Dstrbuções de Probabldade Cotíuas - Dstrbução Normal (Gaussaa) - Dstrbução Expoecal Parâmetros: Quatdade que são costates para dstrbuções partculares, mas que podem tomar dferetes valores para dferetes membros de famílas de dstrbuções do mesmo tpo. µ σ parametro ˆ que desga a meda parametro ˆ que desga a varaca ˆ º Semestre Profª Aa Crsta Braga 55

56 . Dstrbução de Beroull Uma varável aleatóra tem dstrbução de Beroull, se e só se a sua fução de probabldade é dada por: ( ) x x f( x; θ) = θ θ para x= 0 ou sucesso probabldade gual a θ sucesso probabldade gual a θ º Semestre Profª Aa Crsta Braga 56

57 . Dstrbução Bomal Uma varável aleatóra tem dstrbução Bomal, se e só se a sua fução de probabldade é dada por: ( ) x x f( x;, θ) = C θ θ para x= 0,,, Notação: B(, θ ) x Méda:. = Varâca: σ =. θ( θ) µ θ x sucessos em tetatvas Exemplo: Ecotre a probabldade de obter 5 caras e 7 coroas em laçametos de uma moeda equlbrada. Resolução: = π = "sucesso" = sar cara B, 5 5 Px ( = 5) = C5 0.9 º Semestre Profª Aa Crsta Braga 57

58 3. Dstrbução de Posso Uma varável aleatóra tem dstrbução de Posso, se e só se a sua fução de probabldade é dada por: Notação: Po( λ ) x λ λ. e f( x; λ) = para x= 0,,, x! Méda: µ = λ Varâca: σ = λ APROIMAÇÃO À BINOMIAL: 0 e π e. π < 0 Exemplo : Aproxmação à bomal = 50 π = 0.05 λ = 7.5 x P( = x) Bomal P( = x) Posso Exemplo : Se % dos lvros de uma certa mpressora têm defetos, determe a probabldade de que 5 de etre 400 lvros teham defeto. v. a. que desga º de lvros com defeto x= 5 π=0.0 λ =. π = = e Px ( = 5; λ = 8) = = ! º Semestre Profª Aa Crsta Braga 58

59 A dstrbução de Posso pode servr de modelo para o úmero de sucessos que ocorre durate um dado tervalo de tempo ou uma regão específca, quado: - o úmero de sucessos ocorredo em tervalos ão sobrepostos são depedetes; - a probabldade de um úco sucesso ocorredo um certo tervalo é proporcoal ao comprmeto do tervalo; - a probabldade de mas de um sucesso ocorrer um pequeo tervalo é eglgível. Exemplo : O úmero de pessoas que chegam a um determado Cetro de Saúde uma dada cdade um período de 5 mutos é. Qual a probabldade de um qualquer período de 5 mutos cheguem a este C.S. meos de 9 pessoas? v. a. que desga º de pessoas que chegam ao C.S./5 mutos λ = 8 x= 0 ( λ ) ( ) ( ) ( ) P( x< 9; λ = ) = p x; = = p x= 0 + p x= p x= Exemplo : Ecotre a probabldade de 7 de 0 pessoas recuperarem de uma doeça tropcal, assumdo depedêca, e com probabldade de 0.8 que qualquer um deles recupere da doeça. v. a. que desga º de pessoas que recuperam = 0 π = 0.8 "sucesso" = recuperar da doeça B ( 0,0.8) 0 7 ( ) ( ) Px ( = 7) = C º Semestre Profª Aa Crsta Braga 59

60 4. Dstrbução Expoecal Negatva Uma varável aleatóra segue a dstrbução Expoecal Negatva, se e só se a sua fução desdade de probabldade é dada por: Notação: ( ) x θ e, x> 0 e θ > 0 f( x; θ ) = θ 0 x 0 EN θ Méda: µ = θ Varâca: σ = θ Fução dstrbução acumulada: x θ F( x; θ ) = e, x > 0 e θ > 0 0 x 0 º Semestre Profª Aa Crsta Braga 60

61 5. Dstrbução Normal ou Gaussaa Uma varável aleatóra segue a dstrbução Normal, se e só se a sua fução desdade de probabldade é dada por: x µ - σ f( x; µσ, ) =. e < x<+ com σ> 0 σ. π Notação: N ( µ, σ ) Méda: µ = µ Varâca: σ = σ Gráfco da dstrbução Normal µ x º Semestre Profª Aa Crsta Braga 6

62 A dstrbução Normal em µ = 0 e σ = é desgada por Normal Padrão ou Stadard, e tem como fução desdade de probabldade: f( z) =. e π - z Z N(0,) Se tem uma dstrbução Normal com méda µ e desvo padrão σ, etão: Z µ σ = N(0,) tem uma dstrbução Normal Padrão. º Semestre Profª Aa Crsta Braga 6

63 Aproxmação Normal à dstrbução Bomal A dstrbução Normal forece uma boa aproxmação à dstrbução Bomal quado, úmero de tetatvas é grade, e π, a probabldade de um sucesso uma tetatva é próxma de 0.5. Teorema: Se é uma varável aleatóra segudo uma dstrbução bomal com parâmetros e π, etão: Z =. π. π.( π ) aproxma-se da dstrbução Normal quado. Codções:. π > 5 e.( π ) > 5 º Semestre Profª Aa Crsta Braga 63

64 =, π =0.5 = 5, π =0.5 = 0, π =0.5 = 5, π =0.5 º Semestre Profª Aa Crsta Braga 64

65 Exemplo: Supoha que a quatdade de radação cósmca que uma pessoa é exposta ao vajar de avão é uma varável aleatóra Normal com méda µ = 4.35 mrcm e o desvo padrão é σ = 0.59 mrcm. Qual é a probabldade de que uma pessoa seja exposta a mas de 5.0 mrcm de radação cósmca? N ( 4.35,0.59 ) z = = P ( > 5.0) = PZ>.44 = ( ) = PZ ( <.44) = 0.95 = ,35 5,0 0,95 0,0749 Algumas propredades: P( a Z b) =Φ( b) Φ ( a) Φ ( z) = Φ ( z) a 0 b -z 0 z º Semestre Profª Aa Crsta Braga 65

66 Exemplo: Use a aproxmação Normal à dstrbução bomal para determar a probabldade de obter 6 caras e 0 coroas em 6 laçametos de uma moeda equlbrada. v. a. que desga º de caras = 6 π = 0.5 "sucesso" = sar cara B ( 6,0.5) 6 6 ( ) ( ) Px ( = 6) = C Utlzado a aproxmaçao: µ =. π = 6*0.5 = 8 σ =. π.( π) = Px ( = 6) = P(5.5 < x< 6.5) = P(.5 < z< 0.75) = =Φ(0.75) Φ(.5) = = 0.0 º Semestre Profª Aa Crsta Braga 66

67 Teorema do Lmte Cetral: Se,,..., formam uma sequêca de varáves depedetes, com médas e varâcas respectvamete guas a µ e σ, =,,..., e se costrurmos uma v.a. U, etão a estatístca U = Z U = = = σ µ tem uma dstrbução assmptótca N(0,). Deste teorema resulta que: Se é a méda da amostra aleatóra de tamaho, retrada de uma população Normal com méda µ e varâca σ, etão: Z µ = σ N(0,) º Semestre Profª Aa Crsta Braga 67

68 ESTIMAÇÃO - ESTIMAÇÃO PONTUAL - ESTIMAÇÃO POR INTERVALOS Objectvo da estmação potual Cosste em tetar ecotrar a estatístca, cujo valor umérco, obtdo através dos dados da amostra, esteja próxmo do parâmetro da população, que é costate mas descohecdo. θ ˆ θ parametro ˆ da populaçao estmdor potual para θ Propredades de um estmador Tedêca ula (ão tedecoso, cetrado, ão evesado) Méda Quadrátca do Erro Míma Efcete Cosstete Sufcete Robusto º Semestre Profª Aa Crsta Braga 68

69 DISTRIBUÇÃO DA MÉDIA Uma vez que as estatístcas são v.a., os seus valores vararão de amostra para amostra, e as suas dstrbuções são referdas como dstrbuções amostras.,,, costtuem uma amostra aleatóra de Se uma população fta com méda µ e varâca σ, etão: σ E = µ e var = º Semestre Profª Aa Crsta Braga 69

70 Teorema do Lmte Cetral,,, Se costtuem uma amostra aleatóra duma população fta com méda dstrbução lmte µ e varâca σ, etão a µ Z = N(0,) com σ Se a dstrbução da população amostrada é Normal, etão a dstrbução de é Normal qualquer que seja a dmesão. Exemplo : v.a. U(0,) Z µ = = σ α + β ( ) µ = = σ = β α = 0,5 * f(x) 0 0, 0,4 0,6 0,8 x = = = 4 = 0 º Semestre Profª Aa Crsta Braga 70

71 Exemplo : Supoha que as classfcações de uma grade turma têm méda de 7 e um desvo padrão de 9. a) Ecotre a probabldade de que uma a.a. de 0 estudates teha uma méda acma de 80. b) Se a população é Normal, ecotre a probabldade de que um estudate seleccoado aleatoramete, teha uma classfcação acma de 80. a) b) µ 80 7 P ( > 80) = P > = PZ ( >.8) = σ 9 0 µ 80 7 P ( > 80) = P > = PZ ( > 0.89) = σ 9 Me da Amostral f( ) Populaçao f( x) P( > 80) = P> ( 80) = º Semestre Profª Aa Crsta Braga 7

72 Exemplo 3: Uma máqua de echmeto de bebdas é uma v.a. com méda 00 ml e um desvo de 5 ml. Qual a probabldade que a quatdade méda de echmeto de uma amostra aleatóra de 36 garrafas, seja pelo meos 04 ml? Resolução: 5 µ = 00 ml σ = =.5 36 Z = =.60.5 tab.5 P ( 04) = PZ ( >.60) = PZ ( <.60) = = º Semestre Profª Aa Crsta Braga 7

73 ESTIMAÇÃO POR INTERVALO Uma estmatva tervalar para θ é um tervalo do tpo: ˆ θ < θ < ˆ θ ode ˆ θ e ˆ θ são os valores das varáves aleatóras ˆΘ e ˆΘ tal que ( ) P Θ ˆ < θ <Θ ˆ = α para uma probabldade α especfcada. ˆ θ θ ˆ θ < < correspode a um tervalo de ( α ) 00% de certeza. α = γ grau de cofaça ou de credbldade do tervalo. ˆ θ e ˆ θ lmtes de cofaça. º Semestre Profª Aa Crsta Braga 73

74 . Estmatva para a méda µ Estmar a méda de uma população Normal de varâca cohecda σ, a partr de uma amostra de tamaho. σ N( µ, σ ) N µ, ( z α ) P Z < = α Z = µ σ N ( 0,) α z α α α z α Pode-se etão defr: σ P µ < z α. = α Se, é a méda de uma a.a. de uma população Normal com varâca σ, esta rá ser usada como estmador potual da méda da dstrbução, e a probabldade de que o erro seja feror a σ z α. é α. º Semestre Profª Aa Crsta Braga 74

75 Para costrur um tervalo de cofaça para a méda de uma população Normal com varâca cohecda: σ P µ < z α. = α σ σ P z α. < µ < + z α. α = Assm, se é o valor da méda de uma a.a. de dmesão duma população Normal com varâca cohecda σ, etão: σ σ z α. < µ < + z α. é o tervalo de cofaça ( α ) população µ. 00% para a méda da Exemplo: Cosdere a v.a. eu desga a altura de uma população σ = m. Estudou-se uma a.a. de 5 elemetos cuja méda, com 0. =.70 m. Determe um tervalo de cofaça a 95% para µ. Resolução: σ N( µ, σ ) N µ, σ tab.5 σ = = 0.0 m z z α = = IC 95%.70 ± º Semestre Profª Aa Crsta Braga 75

76 .66 < µ < Cosoate a amostra retrada, a ampltude do I.C. ão vara, o que va varar é a sua localzação. Exemplo: Uma equpe de pertos tecoa usar a méda de uma a.a. de tamaho 50 para estmar a aptdão de uma lha de motagem. Se, baseada a experêca, a equpe assumr σ = 6., que podem coclur acerca do erro máxmo da estmatva, com 99% de probabldade? = 50 α σ = 6. = z0.995 =.575 erro da estmatva σ z α. erro da estmatva erro da estmatva.304 O erro será meor que.304 com 99% de probabldade. º Semestre Profª Aa Crsta Braga 76

77 Exemplo: Se uma a.a. de tamaho = 0 duma população Normal com varâca σ = 5 tem a méda = 64.3, costrua um tervalo de cofaça para a méda da população. = 0 = 64.3 σ = 5 σ = 5 α α = 0.95 = z0.975 = < µ < < µ < 70.9 Sgfca que temos 95% de certeza que o verdadero valor do parâmetro está compreeddo etre 57.7 e º Semestre Profª Aa Crsta Braga 77

78 Exstem outras fórmulas para I.C. que ão a blateral, por exemplo: σ σ zα 3. < µ < + zα 3. ou etão, o tervalo ulateral de ( α ) < + z µ α. 00% de cofaça: Estas fórmulas, por va do Teorema do Lmte Cetral, aplcam-se também a a.a. de populações ão Normas desde que o seja sufcetemete grade ( 30). σ No caso de uma a.a. duma população Normal com < 30 e σ descohecdo, temos que: T µ = s t é uma varável t-studet com - graus de lberdade, dode s P µ < tα. = α s s P tα. < µ. < + tα α = º Semestre Profª Aa Crsta Braga 78

79 Se e s são valores da méda e desvo padrão de uma a.a. de tamaho duma população Normal, etão s tα. < µ. < + tα é um tervalo de cofaça ( α ) população µ. s 00% para a méda da Exemplo: Um produtor de ttas quer determar o tempo médo de secagem duma ova tta de terores. Se para áreas de gual tamaho, o tempo médo de secagem fo de 66.3 m com um desvo padrão de 8.4 m, costrua um tervalo de cofaça a 95% para µ. = = 66.3 s = 8.4 α tab.6 α = 0.95 = 0.05 t0.05, = < µ < < µ < 7.64 º Semestre Profª Aa Crsta Braga 79

80 . Estmatva para a dfereça de médas µ µ Amostras Idepedetes Grades amostras Z ( ) ( µ µ ) = σ N(0,) σ σ σ = + com σ e σ cohecdos s s σ = + com σ e σ descohecdos mas, 30 As duas amostras são seleccoadas de forma depedete das populações em estudo; Os tamahos das amostras e são sufcetemete grades para que o Teorema do Lmte Cetral se aplque ( 30 e 30). ( ) α ( ) z. σ < µ µ < + z. σ α Itervalo de cofaça ( α ) médas µ µ. 00% para a dfereça das º Semestre Profª Aa Crsta Braga 80

81 Exemplo: Pretede-se estmar a dfereça etre os saláros médos dos lcecados em Egehara e dos lcecados em Relações Iteracoas da Uversdade do Mho. Egehara Rel. Iteracoas = 40 = 934,5 s = 30,83 = 30 = 74,7 s = 47,57 s s σ = + com σ e σ descohecdos mas, 30 30,83 47,57 σ = + = 49, erro da estmatva = z. σ = z 49,7 =,96 49,7 = 97,43 α < µ µ < 89.3 º Semestre Profª Aa Crsta Braga 8

82 3. Estmatva para a dfereça de médas µ µ Amostras Idepedetes p ( ) ( µ µ ) T = t( + ), α σ σ = s p + s = ( ) + ( ) s s + Ambas as populações são aproxmadamete Normas; As varâcas σ e σ das duas populações são guas, σ = σ = σ ; As amostras são seleccoadas duma forma depedete. ( ) ( ) α t. σ < µ µ < + t. σ ( + ), ( + ), α Itervalo de cofaça ( α ) médas µ µ. 00% para a dfereça das º Semestre Profª Aa Crsta Braga 8

83 Exemplo: As capacdades calorífcas do carvão de duas mas são (em mlhões de caloras por toelada): Ma A: Ma B: Assumdo que os dados costtuem amostras depedetes de populações ormas com varâcas guas, costrua o tervalo de cofaça de 95% para a dfereça etre as verdaderas médas das capacdades calorífcas do carvão das duas mas. = 5 = 860 s = 5,893 = 5 = 7930 s = 06,59 s t p = s = ,0.05 tab.6 =.306 p 5,97 < µ µ < 665,97 º Semestre Profª Aa Crsta Braga 83

84 4. Estmatva para a dfereça de médas µ µ Duas Amostras Depedetes (emparelhadas) Cosderam-se duas amostras tas que cada elemeto de uma está lgado ou emparelhado em cada elemeto dêtco da outra amostra. Temos etão uma amostra de pares (, ) Refermos etão D ( Y ) Y. = varável que para pequeas amostras terá uma dstrbução t-studet com graus de lberdade. D ( µ µ ) T = t( ), α σ D sd σ D = s ( ) D = D D = D t( ), α. σ < µ µ < D + t( ),. α σ D D Itervalo de cofaça ( α ) 00% para a dfereça das médas µ µ, para amostras depedetes. º Semestre Profª Aa Crsta Braga 84

85 Exemplo: Num hosptal, escolheu-se uma amostra ao acaso de 7 doetes e verfcou-se que dormram por ote , horas Para testar a efcáca de uma droga para dormr admstrou-se a este mesmo grupo e voltou-se a observar pela mesma ordem, as horas de soo, e verfcaram-se os segutes resultados 8,5 8 8, horas Poderemos coclur que o uso desta droga altera o úmero de soo cosderado 99% de cofaça? Resolução: = 7 Id. x y D = x y 7 8,5, D = 3 8 8,5 0,5 sd =.7 4 8,5 8 0, ,5 3,5 t = t0.005,6 = 6 7 6,5 0, ,5 0,5 tab.6 3,7074,7,7 3,7074. < µ µ < + 3, ,39 < µ µ <,39 º Semestre Profª Aa Crsta Braga 85

86 5. Itervalo de Cofaça para a proporção Bomal - π Z π p p( p) = N(0,) σ p = σ p p z. σ < π < p+ z. σ p α α p Itervalo de cofaça ( α ) 00% para a proporção π. Codções: O tamaho da amostra é sufcetemete grade para que a aproxmação seja válda. Como regra cotém o valor 0 ou. p ± ão σ p Exemplo: Numa amostra de 95 falhas de lgas de aço que ocorreram uma refara, 8 foram causadas por corrosão (quebras e fadga). Costrua um tervalo de cofaça de 95% para a verdadera proporção de falhas causadas por corrosão. 8 p= = 0,4 p= 0,6 95 z tab.5 =.96 ( p) p 0, 4 0,6 p± z = 0,4±,96 = 0,4± 0, ,344 < π < 0, 456 º Semestre Profª Aa Crsta Braga 86

87 6. Estmatva para a dfereça de proporções π π Z ( p p ) ( π π ) = σ p p N(0,) ( ) ( ) p p p p σ p p = + p x x = e p = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p p p p p p p p p p z + < π π < p p + z + ( α ) ( α ) Exemplo: Quado um sal de lmte de velocdade de 50km/h fo colocado uma estrada, uma amostra de 00 veículos, 49 volaram o lmte de velocdade. Quado o lmte fo aumetado para 60 km/h, duma amostra de 00 veículos, 9 ultrapassaram o ovo lmte. Ecotre um tervalo de cofaça de 99% para π π e terprete o seu resultado. p 49 9 = =0,49 e p = = 0, σ p p z tab.5 ( ) ( ) 0,49 0,49 0,9 0,9 = + = 0, =,575 0,30 0,64 < π π < 0,30 + 0,64 0,36 < π π < 0,464 º Semestre Profª Aa Crsta Braga 87

88 7. Estmatva para o desvo padrão σ a. Grades amostras 00 Se a varável em estudo apreseta uma dstrbução Normal etão o tervalo de cofaça será: 0,7. s 0,7. s s z α. < σ < s + z α. b. Pequeas amostras < 00 Se a varável em estudo apreseta uma dstrbução Normal etão o tervalo de cofaça será: ( ) ( ) s s χ < σ <, χ, α α Para o desvo padrão poder-se-á escrever: ( ) ( ) s s < σ < χ χ,, α α º Semestre Profª Aa Crsta Braga 88

89 TESTES DE HIPÓTESES ESTATÍSTICAS Objectvo: verfcar se os dados amostras (ou estmatvas obtdas a partr deles) são ou ão compatíves com determadas populações (ou valores prevamete fxados dos parâmetros populacoas). Procedmeto. Defção das hpóteses H 0 hpótese ula H hpótese alteratva. Idetfcação da estatístca de teste (ET) 3. Defção da regra de decsão 4. Cálculo da estatístca de teste e tomada de decsão º Semestre Profª Aa Crsta Braga 89

90 Regão de rejeção: determada pela probabldade α (ível de sgfcâca do teste) Erros um teste de hpóteses Crtéros para um teste de hpóteses Decsão Não rejetar H 0 Rejetar H 0 Hpótese H 0 é verdadera Decsão correcta Erro Tpo I H 0 é falsa Erro Tpo II Decsão correcta α = P(erro tpo I) = P(rej. H 0 H 0 ) β =P(erro tpo II)=P(ão rej H 0 H ) º Semestre Profª Aa Crsta Braga 90

91 Decsão: Se o valor calculado para a ET>ET(α ) etão rejeta-se H 0 (Valor p < α ) Se o valor calculado para a ET<ET(α ) etão ão se rejeta H 0; (Valor p > α ) - resultado coclusvo. Teste de sgfcâca: Se a dfereça etre o que esperamos e o que obtemos é tão grade que ão pode ser atrbuída ao acaso, ós rejetamos a hpótese a qual baseamos as ossas expectatvas. Se a dfereça etre o que esperamos e o que obtemos é tão pequea que pode ser realmete atrbuída ao acaso, ós ão rejetamos a hpótese a qual baseamos as ossas expectatvas, dzemos que o resultado do teste ão é (estatstcamete) sgfcatvo. º Semestre Profª Aa Crsta Braga 9

92 Teste de hpóteses ulateral Testes de hpóteses blateral º Semestre Profª Aa Crsta Braga 9

93 Aalogas a um teste de hpóteses Algumas meddas de um teste de dagóstco por exemplo a sesbldade (capacdade que um teste tem para detfcar os dvíduos que a realdade têm a doeça) e especfcdade (capacdade que um teste tem para exclur os dvíduos que a realdade ão têm a doeça) têm uma perfeta aaloga com um teste de hpóteses. Teste de dagóstco Stuação a doeça Teste egatvo Teste Postvo Não doete Doete VN (especfcdade) FN (erro tpo II) FP (erro tpo I) VP (sesbldade) º Semestre Profª Aa Crsta Braga 93

94 TABELAS x Nas tabelas de cotgêca x segudo o esquema: a b a+b c d c+d a+c b+d = a+b+c+d Q = ( ad bc) ( a+ c)( b+ d)( a+ d)( c+ d) Nota: é acoselhável utlzar valores do qu-quadrado corrgdo, a chamada correcção para a cotudade ou Correcção de Yates. Esta correcção tem em cota o facto de estarmos a usar uma dstrbução cotíua para represetar uma dstrbução dscreta de frequêcas. Q = ( 0.5 ) ad bc ( a+ c)( b+ d)( a+ d)( c+ d) Correcção de Yates Esta correcção só deve ser aplcada quado ad bc > 0.5. º Semestre Profª Aa Crsta Braga 94

95 ANÁLISE EACTA DE UMA TABELA DE x TESTE DE FISHER Assm como a aproxmação Normal à dstrbução bomal só pode ser usada quado. π > 5 e.( π ) > 5, o teste do ququadrado ão deve ser usado as frequêcas esperadas são pequeas. Um procedmeto alteratvo proposto por Fsher, restrge a ateção para as tabelas as quas as frequêcas margas, ( a c),( b d),( a d) e ( c d) são fxas e guas aos valores observados. Atededo a esta restrção, podemos calcular as probabldades exactas assocadas às frequêcas as celas, a, b, c e d com base a dstrbução hpergeométrca. Nota: A dstrbução hpergeométrca refere que: se qusermos seleccoar tes de um cojuto de a tes de um tpo, b tes de outro tpo, etão a probabldade de obter x tes do tpo a e -x tes do tpo b será: º Semestre Profª Aa Crsta Braga 95

96 Para a tabela do tpo: a x x f( x) = para x= 0,,,..., a+ b a b a+b c d c+d a+c b+d = a+b+c+d Atededo aos valores da prmera colua (a seguda fca defda mplctamete atededo a que os totas margas são fxos), devemos calcular a probabldade de um total de tes, trar (a+c) tes em que a são do tpo (a+b) e c são do tpo (c+d), sto é: Pabcd (,,, ) = f( a, b, c, d) = a+ b c+ d a c a+ c ( a+ b) ( c+ d) ( a+ c) ( b+ d)!!!! abcd!!!!! Segudo o teste exacto de Fsher calculamos a probabldade da tabela observada, P obs, e as probabldades de todas as º Semestre Profª Aa Crsta Braga 96

97 tabelas que teham os mesmos totas margas. Destas, teressa cosderar apeas as que têm probabldades meores ou guas a P obs. Num teste blateral a hpótese da depedêca é rejetada, se a soma de todas estas probabldades for meor ou gual ao ível de sgfcâca especfcado (α ); um teste ulateral somamos apeas as probabldades de obter a tabela com as frequêcas observadas e as das tabelas com frequêcas mas extremas a mesma drecção em que a tabela observada é extrema. Exemplo: Pretede-se averguar se uma vaca dada após a crurga, preve ou ão o aparecmeto de fecção. Após a crurga os doetes foram dvddos em dos grupos: um tomou a vaca e outro ão fo sujeto a qualquer tpo de terveção (grupo de cotrolo) Os doetes em ambos os grupos foram observados para detectar a morte por fecção: Morte vaca cotrolo total Sm 9 Não total H 0 : A morte por fecção é depedete da vacação H : O processo de vacação é melhor (evta a morte) que a ão terveção teste ulateral º Semestre Profª Aa Crsta Braga 97

98 A probabldade de obter as frequêcas da tabela por acaso é dada por:!5!6!36! Pabcd (,,, ) = =0.036!9!4!7!6! Segudamete costruímos as tabelas que têm um valor a cela a (porque correspode ao cruzameto dos totas margas mas baxos e 6) mas extremo do que o observado, e calculamos as suas probabldades: 0 T 5 6 P T!5!6!36! = = PT!0!5!6!6! P = = < 0.05 rej. H 0 T 0 6 5!5!6!36! = = !!6!5!6! Decsão: Como se rejeta a hpótese ula para um ível de sgfcâca de 5%, verfcamos que exste uma relação etre a vacação e a ocorrêca de mortes, o setdo de que a vacação é efcaz. Se optássemos por um teste blateral, teríamos ada de calcular as probabldades das tabelas com frequêcas a drecção oposta, equato fossem mas pequeas que as da tabela observada º Semestre Profª Aa Crsta Braga 98

99 0 T P T T 5 P T 3 5!5!6!36! = = PT 4!0!5!36!6! !5!6!36! = = PT 6 9!!7!34!6! T T !5!6!36! = = !!6!35!6! !5!6!36! = = !3!8!33!6! Como a probabldade da T 6 P T 6 > somamos ao valor obtdo o teste ulateral as probabldades das três tabelas dcadas: P = = > 0.05 ao rej. H 0 Decsão: Como se ão se rejeta a hpótese ula para um ível de sgfcâca de 5%, poderá ão exstr uma relação etre a vacação e a ocorrêca de mortes. º Semestre Profª Aa Crsta Braga 99

100 TABELAS x TESTE DE McNemar Quado se utlzam amostras emparelhadas podemos aumetar a precsão de uma comparação. Duas amostras emparelhadas estão obvamete correlacoadas e ão podem cosderar-se depedetes, logo ão poderemos usar a estatístca de teste mecoada aterormete. Neste caso o teste aproprado para comparar proporções em amostras emparelhadas é o teste de McNemar. Stuações em que comparamos dos procedmetos para medr a mesma udade expermetal (medção traduzda uma avalação qualtatva) como por exemplo a comparação da precsão do dagóstco de trombose veosa aguda utlzado termografa e veografa. Como pretedemos saber se exstem dfereças etre os dos métodos, ão estamos teressados as frequêcas (a) e (d), porque se referem a doetes em que os dos métodos tveram gual resultado. A comparação será restrta às celas (b) e (c) em que os resultados foram dferetes. Ho: Os métodos ão dferem e = ( b+ c) º Semestre Profª Aa Crsta Braga 00

101 Se cosderarmos a correcção para a cotudade, a expressão fca: ( ( b c) ) ( b c) ( ( b c) ) ( b c) ( ) b c b c Q = + = b+ c Q = ( b c ) b+ c ~ χ Exemplo: Averguar se a proporção de dagóstcos postvos é gual para dos métodos de magem, termografa e veografa. Veografa postvo egatvo total Termografa postvo 9 (a) 8 (b) 7 egatvo (c) 7 (d) 8 total () π = π H 0 : Os métodos são equvaletes para dagostcar a trombose π π H : Os métodos são dferetes ( 8 ) Q = = χ = 3.84 Decsão: Como 4.00>3.84 rejeta-se a hpótese ula. Cocluímos que exste uma dfereça a proporção de dagóstcos de trombose aguda quado usamos a termografa ou veografa. º Semestre Profª Aa Crsta Braga 0

102 TABELAS DE CONTIGÊNCIA RC Característca B Característca A B B B b. A f f f b A f f f b A a f b f b f bb.j. Teste da Idepedêca H 0 : p j = p. *p j. (as varáves são depedetes) =,,..., a e j =,,...b R.R: Q > c com c = χ( a ).( b ), α Codções: Apeas o é fxo. º Semestre Profª Aa Crsta Braga 0