ANÁLISE POR ELEMENTOS FINITOS DO ENSAIO DE ARCAN APLICADO À MADEIRA DE PINUS PINASTER AIT.

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1 ANÁLISE POR ELEMENTOS FINITOS DO ENSAIO DE ARCAN APLICADO À MADEIRA DE PINUS PINASTER AIT. Marcelo Oliveira 1, José Xavier, José Morais 3 RESUMO Neste artigo apresenta-se um estudo por elementos finitos da aplicação do ensaio de Arcan à identificação do comportamento ao corte da madeira de Pinus Pinaster Ait. O ensaio foi simulado com o código de elementos finitos ANSYS 7., assumindo que a madeira é um material elástico, ortotrópico e homogéneo. Tendo por base um provete que é uma adaptação do provete proposto por Liu, realizou-se um estudo paramétrico sobre a influência das características geométricas do entalhe (ângulo, altura e raio de concordância da raiz) na heterogeneidade dos campos das tensões e das deformações na região de referência do provete. Como medida da heterogeneidade do campo das tensões e das deformações utilizaram-se dois factores, designados respectivamente por C e S. Os resultados da simulação mostram que o ensaio de Arcan é adequado para a determinação experimental dos módulos de corte da madeira de Pinus Pinaster Ait. (G LR, G LT e G RT ). Os resultados obtidos mostram também que a rotura ocorre no flanco ou na raiz do entalhe, sob um estado complexo de tensão, pelo que as tensões de rotura ao corte (R LR, R LT e R RT ) só podem ser estimadas indirectamente, através dum critério de rotura. 1. INTRODUÇÃO A madeira é desde há muito um importante material de construção. Todavia, a identificação experimental e a modelação das suas leis de comportamento mecânico são questões ainda em aberto, em parte devido à sua variabilidade e anisotropia. Relativamente a este último aspecto, é geralmente aceite que a madeira é um material dotado de simetria ortotrópica cilíndrica, à escala macroscópica [Guitard (197)]. Em cada ponto, as direcções de simetria da sua estrutura celular são a direcção longitudinal (L), correspondente às fibras da madeira, a direcção radial (R), perpendicular aos anéis de crescimento e a direcção tangencial 1 ESTV, Departamento de Madeiras, Viseu, Portugal UTAD, Departamento de Engenharias, Vila Real, Portugal. 3 CETAV/UTAD, Departamento de Engenharias, Vila Real, Portugal.

2 (T), paralela aos anéis de crescimento. Para a completa caracterização do comportamento mecânico da madeira é pois necessário conhecer as relações tensão-deformação no referencial LRT. Porém, esta é uma tarefa complexa, sobretudo no que diz respeito à identificação das relações tensão-deformação de corte em todos os planos de simetria material (LR, LT e RT). As normas actuais para a caracterização mecânica da madeira [BSI (1957), ASTM D (1994), pren 48 ()] são inadequadas para a identificação do comportamento ao corte. Este facto deve-se porventura à escassa investigação sobre o tema, ao contrário do que acontece com os compósitos artificiais. Efectivamente, para estes materiais têm sido exaustivamente estudados diferentes métodos de identificação do comportamento ao corte. Um deles, embora seja o menos estudado, é o ensaio de Arcan, que foi inicialmente concebido para estudar o comportamento ao corte de plásticos [Arcan e Goldenberg, (1957); Goldenberg et al. (1958)] e que posteriormente foi aplicado aos compósitos unidireccionais [Voloshin e Arcan (198), Yen et al. (1988), Hung e Liechti (1999)]. Este ensaio foi pela primeira vez usado para a madeira por Liu (1984), seguindo o procedimento original de Arcan, e mais tarde foi adaptado tendo em vista a redução dos tempos de execução dos ensaios [Liu et al. (199)]. Neste artigo apresenta-se uma simulação do ensaio de Arcan para a madeira da espécie Pinus pinaster, ait., pelo método dos elementos finitos O objectivo desta simulação é definir a melhor geometria do provete e a metodologia de tratamento dos resultados experimentais a adoptar para a correcta determinação das propriedades mecânicas ao corte, para todos os planos de simetria material (LR, LT e RT).. ENSAIO DE ARCAN A versão do ensaio de Arcan considerada neste trabalho foi desenvolvida por Oliveira (3). O provete de base é uma adaptação do provete proposto por Liu (199), tendo a forma e as dimensões indicadas na Figura 1. As amarras que transferem para o provete a força P, aplicada por uma máquina universal de ensaios mecânicos, estão esquematicamente representadas na Figura. Essas amarras transformam a força P, medida pela célula de carga da máquina de ensaios, numa tensão de corte entre os dois entalhes em V, dada por: P =, (1) A onde A é a área da secção do provete entre os entalhes. As deformações de corte são medidas com rosetas biaxiais, fixadas no centro do provete a ± 45º em relação ao eixo longitudinal do provete (Figura 1). A deformação de corte relativa aos eixos principais do material (1,) é dada por: ε, () = ε + 45º ε 45º θ h 1 r +45º -45º 5 7 Fig. 1 Esquema do provete Arcan, θ = 11º, r = mm e h = 1 mm.

3 R8 o (a) (b) Fig. Amarras Arcan: (a) esquema; (b) fotografia. onde ε + 45º é a deformação medida pelo extensómetro a + 45º e ε 45º é a deformação medida pelo extensómetro a 45º. O módulo de corte aparente obtém-se dividindo a tensão de corte pela deformação de corte experimental: G a 1 =. (3) ε Se o campo das tensões na região de referência do provete é homogéneo e de corte puro, o módulo de corte aparente (Equação 3) coincide com o módulo de corte real do material. Além disso, o valor máximo da tensão de corte (Equação 1) coincide com o valor da resistência ao corte. Mas, como foi já demonstrado por outros autores [Hung e Liechti (1999)], o estado de tensão não é homogéneo nem é de corte puro, sobretudo para materiais ortotrópicos. Neste caso, e à semelhança do que foi proposto para o ensaio de Iosipescu [Pierron (1988)] o módulo de corte pode obter-se através da seguinte equação: G = CSG, (4) a 1 1 onde C e S são factores de correcção definidos por C =, (5) e ε S =. () ε O factor de correcção C, que corresponde ao quociente entre a tensão de corte no ponto central do provete ( ) e a tensão de corte, é uma medida da heterogeneidade do campo das tensões na região central do provete. Por sua vez, o factor de correcção S, que é o quociente entre a deformação de corte no ponto central ( ε ) e a deformação de corte na região de colagem da roseta biaxial ( ε ), é uma medida da heterogeneidade do campo das deformações. Os valores aproximados destes factores de correcção (C e S) podem ser obtidos pelo método dos elementos finitos.

4 3. MODELO DE ELEMENTOS FINITOS Foi desenvolvido um modelo bidimensional de elementos finitos do ensaio de Arcan usando o código comercial ANSYS 7.. No modelo foram consideradas as amarras de alumínio e a área de referência do provete (zona livre entre as amarras), tendo-se assumido que a ligação entre o provete e as amarras é rígida e contínua. O alumínio foi modelado como material isotrópico e a madeira como um material elástico, homogéneo e ortotrópico. Na Tabela 1 encontram-se as propriedades dos materiais usadas nas análises. Para a madeira, os módulos de Young e os coeficientes de Poisson foram determinados experimentalmente por Pereira (3) e os módulos de corte por Oliveira (3). Tabela 1 Propriedades dos materiais usados na análise. E L E R E T ν LR ν TL ν RT G LR Alumínio 9.33 G LT G RT Pinus Pinaster ait Para a simulação usou-se o elemento sólido estrutural PLANE8 [ANSYS University High Option ()], com oito nós e 1 graus de liberdade. Na Figura 3(a) pode ver-se a malha usada no modelo numérico, com 541 elementos e 1485 nós, assim como as condições de fronteira usadas. Foram definidos dois pontos auxiliares que representam a ligação entre as amarras e a máquina de ensaios: um ponto inferior fixo (u X = u Y = ) e um ponto superior móvel na direcção de aplicação da força P (u X = e u Y =.1 mm). Na figura 3(b) encontra-se a deformada do modelo (que inclui o provete e amarras) referente ao provete LR, a qual serve para verificar a posteriori as condições de fronteira impostas. Tendo como base o provete representado na Figura 1, foi feita um estudo paramétrico sobre a influência das características geométricas do entalhe (θ, r e h) na heterogeneidade dos campos das tensões e das deformações na região de referência do provete. Nesse estudo consideraram-se os seguintes valores dos parâmetros considerados: 7º, 8º, 9º,1º,11º 1,, 3 h 1,1.5,15,17.5, (mm). θ { }, r { } (mm) e { } (a) (b) Fig. 3 Modelo numérico: (a) malha e condições de fronteira; (b) deformada do modelo LR.

5 4. APRESENTAÇÃO E DISCUSSÃO DOS RESULTADOS 4.1 Análise dos campos das tensões e deformações Os campos das deformações ε x, ε y e γ, normalizadas pela deformação de corte no centro do provete ( γ ), estão representados na figura 4, para o caso do provete LR. Como se pode observar, existe uma região central onde o estado de deformação é praticamente de corte puro. De facto, nessa região a deformação ε x é inferior a 4,7% da deformação γ (Figura 4a) e a deformação ε y é inferior a,9 % de γ (Figura 4b). Além disso, a deformação de corte γ é razoavelmente uniforme, com uma variação inferior a 15% (Figura 4c). É oportuno referir que a variação da deformação de corte na área de fixação dos extensómetros, com 7x4mm, não ultrapassa 5,7%. Na figura 5 pode observar-se a distribuição das tensões normais e de corte, normalizadas em relação à tensão de corte (P/A), ao longo das linhas de eixo horizontal (x = ) e vertical (y = ), para o provete LR. Essa figura complementa a figura 4 e os comentários feitos no parágrafo anterior. A tensão de corte no ponto central é 8,1% inferior a P/A, atingindo ao longo da linha de eixo vertical um valor máximo 35% superior a P/A, a aproximadamente 1mm da raiz do entalhe (Figura 5a). Ao longo da linha de eixo horizontal, a tensão de corte diminui do centro para a extremidade atingindo aí um valor 1,8% inferior a P/A (Figura 5b). Os campos das deformações e das tensões para os provetes LT e RT são qualitativamente idênticos aos do provete LR. Isso mesmo está patente nas figuras e 7, onde se apresenta a distribuição das tensões normais e de corte, normalizadas pela tensão de corte (P/A), ao longo das linhas de eixo horizontal (x = ) e vertical (y = ), para os provetes LT e RT. No caso do provete LT a tensão de corte no ponto central é 9,% inferior a P/A e ao longo da linha de eixo vertical atinge um valor 44,7% superior a P/A, a aproximadamente 1 mm da raiz do entalhe (Figura 9a). Ao longo da linha de eixo horizontal, a tensão de corte diminui do centro para a extremidade atingindo aí um valor 13,8% inferior a P/A (Figura 9b). Em comparação com o provete LR, o campo das tensões de corte no provete LT é mais heterogéneo, dado que o grau de anisotropia deste plano é maior (E L /E T = 15 e E L /E R = 8). (a) (b) (c) Fig. 4 Campos das deformações para o provete LR: (a) ε, (b) ε e (c) x γ y γ γ γ.

6 1. 1. xx SX.8 Y/Ymax.5. SY yy SXY τ..4 SX xx yy SY -.5. τsxy X/Xmax (a) (b) Fig. 5 Perfis das tensões no provete LR: (a) linha de eixo vertical (y = ) e (b) linha de eixo horizontal (x = ) SX xx.8 Y/Ymax.5. SY yy τ SXY..4 xx SX yy SY -.5. τ SXY X/Xmax (a) (b) Fig. Perfis das tensões no provete LT: (a) linha de eixo vertical (y = ) e (b) linha de eixo horizontal (x = ) Y/Ymax. -.5 SX xx yy SY τ SXY..4. SX xx yy SY τsxy X/Xmax (a) (b) Fig. 7 Perfis das tensões no provete RT: (a) linha de eixo vertical (y = ) e (b) linha de eixo horizontal (x = ).

7 No provete RT a distribuição da tensão de corte ao longo da linha de eixo vertical (Figura 7a) é mais uniforme que nos outros dois planos: no ponto central a tensão de corte é,% inferior a P/A e atinge um valor máximo, % superior a P/A, próximo do entalhe (aproximadamente a,3mm). Ao longo da linha de eixo horizontal o perfil das tensões de corte é semelhante ao observado nos provetes LR e LT, embora seja menos uniforme: a tensão de corte decresce do centro para a extremidade, atingindo aí um valor 5,1% inferior a P/A (Figura 7b). 4.. Factores de correcção C e S O factor de correcção C foi determinado para os três provetes estudados (LR, LT e RT), de acordo com a equação 5. A força global P corresponde à reacção vertical nos nós com deslocamento prescrito (Figura 3). O factor de correcção S foi também calculado para esses três provetes, de acordo com a equação. Neste caso, a deformação de corte experimental γ foi tomada com sendo a da deformação de corte para cada nó pertencente à área de fixação dos extensómetros: n i i ( ε + 45º ε 45º ) (7) i= 1 γ =, n sendo n o número total de nós. Na tabela encontram-se os valores obtidos para os factores de correcção C e S, bem como para o factor global CS, referentes a cada um dos planos principais da madeira de Pinus Pinaster ait. Os valores obtidos para o factor de correcção S mostram que o campo das deformações é praticamente uniforme na zona de fixação dos extensómetros. Assim, o factor de correcção global CS reflecte essencialmente a heterogeneidade do campo das tensões de corte ao longo da linha de eixo vertical. Atendendo aos valores do factor de correcção global, é de esperar que as diferenças entre o módulo de corte aparente e corrigido (Equação 4), sejam 8,1%, 9,5% e,9% para os planos LR, LT e RT, respectivamente. Deve-se referir que estes valores são inferiores ao valor típico do coeficiente de variação das propriedades da madeira (cerca de %). A reduzida diferença entre o módulo de corte aparente e o módulo de corte corrigido para o provete RT, devida ao pequeno grau de anisotropia no plano RT (E R /E T = 1.9), justifica a não utilização de qualquer factor de correcção para o cálculo de G LR. Tabela Factores de correcção C e S para os diferentes planos. LR LT RT C S CS Influência dos parâmetros geométricos do entalhe Conforme se demonstrou no ponto anterior, o provete Arcan de base (Figura 1) é adequado para a determinação dos módulos de corte G LR, G LT e G RT, desde que os resultados experimentais sejam corrigidos por um factor CS (Equação 4 e Tabela ), obtido pelo método dos elementos finitos. No caso do provete RT esse factor de correcção pode ser dispensado. No sentido de ver se o mesmo é possível para os planos LR e LT, procedeu-se a um estudo paramétrico para avaliar o efeito das características geométricas do entalhe (θ, r e h) sobre o

8 factor de correcção global. A Figura 8 ilustra a dependência do factor de correcção global (CS) relativamente aos parâmetros θ, r e h, para o caso do provete LR. A partir dela concluise que para qualquer das combinações consideradas desses parâmetros geométricos é necessário utilizar o factor de correcção global, a fim de obter valores mais precisos do módulo de corte G LR. O mesmo é verdade para o caso do provete LT, conforme se procura ilustrar com a Figura 9. Razões de ordem prática, relacionadas com o fabrico e manuseamento dos provetes, e com a resolução da célula de carga usada para medir a força global P, condicionam a escolha dos parâmetros geométricos θ, r e h. (a) (b) (c) Fig. 8 Variação do factor CS para o provete LR, em função de θ e de h: (a) r = 1 mm, (b) r = mm e (c) r = 3 mm. (a) (b) (c) Fig. 9 Variação do factor CS para o provete LT, em função de θ e de h: (a) r = 1 mm, (b) r = mm e (c) r = 3 mm. 4.4 Critério de Rotura Em qualquer dos provetes considerados (LR, LT e RT) o campo das tensões não é uniforme, havendo um efeito de concentração de tensões na vizinhança da raiz do entalhe (Figuras 4 a 7). É pois de esperar que a rotura ocorra nessa região, sob um estado complexo de tensão. Este facto invalida a determinação directa das tensões de rotura ao corte (R LR, R LT e R RT ) através do ensaio de Arcan. Mas se o material tiver um comportamento linear ou quase linear até à rotura, a resistência ao corte pode ser estimada usando um critério de rotura. Apesar de não ser claro qual é o critério de rotura mais adequado para a madeira, usou-se neste trabalho o critério de Tsai-Hill, para determinar o ponto de iniciação da rotura. A expressão do critério de Tsai-Hill é [Jones (1975)]:

9 X xx xx XY yy + Y yy τ R = 1, (8) onde X representa a resistência longitudinal, Y a resistência transversal e R a resistência ao corte (R LR, R LT e R RT ). Usando este critério, a rotura ocorre no ponto onde o primeiro membro da Equação 8 tem o maior valor. Os resultados obtidos (Figura 1) que a rotura se inicia na concordância da raiz com o flanco do entalhe em V. (a) (b) (c) Fig. 1 Campo da tensão equivalente de Tsai-Hill: (a) provete LR, (b) provete LT e (c) provete RT. 5. CONCLUSÕES Foi realizada uma simulação por elementos finitos do ensaio Arcan, com vista à identificação correcta do comportamento ao corte da madeira de pinus pinaster ait. em todos os planos de simetria ortotrópica (LR e LT e RT). O campo das deformações é praticamente de corte puro na zona compreendida entre os entalhes, sendo bastante uniforme na zona de fixação dos extensómetros. A distribuição das tensões de corte na secção central dos provetes é heterogénea, havendo um efeito de concentração de tensões na vizinhança da raiz dos entalhes. Este efeito é menos acentuado para o caso do provete RT, devido ao seu menor grau de anisotropia (E L /E R = 1.9). A heterogeneidade dos campos das tensões e das deformações obriga à correcção dos resultados experimentais com um factor correcção global CS, determinado pelo método dos elementos finitos, a fim de se obter valores correctos para os módulos de corte (G LR, G LT e G RT ). Esse factor de correcção global traduz essencialmente a não uniformidade do campo das tensões de corte, sendo dispensável no caso do provete RT. De facto, a diferença entre o módulo aparente e o módulo corrigido para o provete RT é de.9%; essa diferença é porém de 8.1% para o provete LR e de 9.5% para o provete LT. A resistência ao corte (R LR, R LT e R RT ) só pode ser determinada indirectamente, através dum critério de rotura apropriado. Usando o critério de Tsai-Hill demonstrou-se que a rotura ocorre na concordância entre a raiz e o flanco do entalhe, sob um estado complexo de tensão.

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