RAZÃO CRUZADA: ASPECTOS ALGÉBRICOS E TOPOLÓGICOS

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1 RAZÃO CRUZADA: ASPECTOS ALGÉBRICOS E TOPOLÓGICOS Angela Maia SITTA Hemes Antônio PEDROSO Wilson Mauício TADINI RESUMO: Neste tabalho apesentamos alguns esultados sobe a topologia da azão cuzada. Paa um ponto P=( x, x, x, x onde x, x, x e x são dois-a-dois distintos, a azão cuzada pode assumi até seis valoes distintos confome a odem consideada. Exibimos a topologia e a densidade do subconjunto de R cujos pontos assumem os seis valoes dois-a-dois distintos. PALAVRAS-CHAVE: Razão Cuzada, Topologia. Intodução Chamaemos de azão cuzada (ou azão dupla ou ainda, azão anamônica de quato pontos A, B, C, D de uma eta oientada a elação AC AD / CB DB, envolvendo os segmentos oientados AC, CB, AD e DB, sobe, denotada po (AB, CD (Eves, 969. A azão cuzada apaece pela pimeia vez na Coleção Matemática de Papus (século III d.c.. O tatado de Papus é uma fonte pimodial paa o estudo da Geometia da época. Depatamento de Matemática Ibilce Univesidade Estadual Paulista, , São José do Rio Peto SP. Depatamento de Matemática UNIRP Univesidades Riopetenses, , São José do Rio Peto SP. Rev. Mat. Estat., São Paulo, 0: 67-77, 00 67

2 Um conceito de natueza pojetiva podeia te enascido na Fança no século XVII se o tabalho de Géad Desagues (59-66 sobe secções cônicas tivesse sido notado. O modeno desenvolvimento do conceito de azão cuzada se deve, com independência, a Chasles, em seu Apeçu histoique su l oigine et le développement de méthods en geométie, de 89 87; em seu Taité de géométie supeieue, de 85, e, em seu Taité des sections coniques, de 865, e, a Augustus Fedinand Möbius ( , em seu De baycentische Calcul, de 87. Um tatamento isento de consideações méticas foi feito po Cal Geoge Von Staudt, em seu Beitäge Zu Geometie de Lage, de 87. Não podemos esquece que a idéia de segmentos oientados, que possibilita um melho estudo da azão cuzada, foi exploada sistematicamente pela pimeia vez po Lazae Canot em seu Géométie de Position, de 80. Apesa de um conceito antigo, muito utilizado em váios amos da matemática, nos últimos 50 anos, inclusive no campo complexo, ninguém deu a ele um tatamento topológico. Este é o nosso objetivo: com este atigo apesenta algumas elações topológicas e num póximo tabalho, elações difeenciáveis e o compotamento das fibas α - (P como vaiedades difeenciáveis ou como eunião finita de vaiedades difeenciáveis, com um ceto contole topológico. Também, desceve o compotamento dessas fibas nas vizinhanças dos pontos com coodenadas não duas-a-duas distintas. Um teoema de classificação Peliminaes Sejam R o conjunto dos númeos eais e R, o conjunto das - uplas de númeos eais, ambos com a topologia usual. Denomina-se azão cuzada de quato númeos eais x, x, x, ( x x ( x x x,, dois-a-dois distintos, o quociente denotado x x x x po [x, x, x, x ]. ( ( 68 Rev. Mat. Estat., São Paulo, 0: 67-77, 00

3 Exemplos: i. Fazendo x = -, x = 0, x = e x = 5 tem-se: 5 [x, x, x, x ] = ; [x, x, x, x ] = ; 5 [x, x, x, x ] = ; [x, x, x, x ] = -; [x, x, x, x ] = 5 e [x, x, x, x ] = 5 ii. Fazendo x = 0, x =, x = e x = 5, tem-se: 6 5 [x, x, x, x ] = ; [x, x, x, x ] = ; 5 6 [x, x, x, x ] = ; 5 [x, x, x, x ] = -5; [x, x, x, x ] = 6 e [x, x, x, x ] = 6 Atavés dos exemplos dados, constata-se:. A azão cuzada depende essencialmente da odem dos númeos consideados.. Com as seis odens apesentadas pode-se te as azões duasa-duas distintas, ou não. Como a azão cuzada envolve quato elementos, então, as pemutações envolvidas são do gupo S, cuja odem é. No que segue, usaemos S paa epesenta o gupo das pemutações S. Mostaemos adiante que existe uma patição P = S i, i =,,...,6 de S tal que, [x, x, x, x ] é invaiante po S i, i =,,...,6, acaetando que a óbita S.[x, x, x, x ] tem no máximo seis elementos paa cada (x, x, x, x R ( fixado, onde R ( = (x, x, x, x R x i x j paa i j e que, existe um único m tal que, S m tem estutua de subgupo de S. Rev. Mat. Estat., São Paulo, 0: 67-77, 00 69

4 O teoema Dado s em S, denotaemos [x s(, x s(, x s(, x s( ] po s.[x, x, x, x ]. Sejam a, b, c, d dois-a-dois distintos. Po s(a,b,c,d denotaemos a pemutação definida po s(a = b, s(b = c, s(c = d e s(d = a. Analogamente, epesentaemos po s(a,b,c a pemutação s(a = b, s(b = c, s(c = a e s(d = d. Finalmente entendeemos po s(a,b a tansposição s(a = b, s(b = a. Apesentamos a segui, um TEOREMA CLÁSSICO da liteatua sobe azão cuzada. Teoema I - (de Classificação. Seja = [x, x, x, x ]. Então: i s(,. = s(,. = ; ii s(,. = s(,. = ; iii s(,. = s(,. =. - Demonstação: A título de ilustação justificaemos o caso ii: Temos s(,. = s(,. [x, x, x, x ] = [x, x, x, x ] = x x x. Dividindo a igualdade (x x (x x + (x x x x x ( x ( ( x ( (x x + (x x (x x = 0 po (x x (x x, temos: ( x ( x x x + ( x x ( x x = ( x x ( x x ( x x ( x x Analogamente, mosta-se que s(,. =. Cooláio. Seja = [x, x, x, x ]. Então:, ou seja, = s(,.. i (s(, o s(,. = (s(, o s(,. = ii (s(, o s(,. = (s(, o s(,. = - 70 Rev. Mat. Estat., São Paulo, 0: 67-77, 00

5 Poposição. Seja = [x, x, x, x ]. Então S.,, -, máximo, seis elementos., -,, tendo pois, no - Demonstação: (Eves, , Paa cada m,, -,,, consideemos - S(m,m = s S s.m=m. Logo, S(m,m = id, s(, o s(,, s(, o s(,, s(, o s(, tem estutua de subgupo de S, bastando paa isso obseva a tabela abaixo. id µ ϕ θ id id µ ϕ θ µ µ id θ ϕ ϕ ϕ θ id µ θ θ ϕ µ id Onde µ = s(, o s(,, ϕ = s(, o s(, e θ =s(, o s(,. Dados m, n,, -, = s S s. m = n., -,, seja S(m,n = - Paa m n, S(m,n não tem estutua de subgupo de S pois, não contém a pemutação identidade. A título de ilustação temos: S(, = s(,, s(,, s(,,,, s(,,, S(, - = s(,, s(,, s(,,,, s(,,, S(, = s(,,, s(,, s(,,, s(,, Rev. Mat. Estat., São Paulo, 0: 67-77, 00 7

6 - S(, = s(,,, s(,,, s(,,, s(,, S(, = s(,, s(,,,, s(,, s(,,,. - Obsevações: A título de infomação adicional, analisando o compotamento de S. constatamos que é possível toca a ação de S pela ação de S, gupo das pemutações de tês elementos, de uma foma conveniente. Aspectos topológicos da azão cuzada Temos que R ( é abeto e denso em R com elação à topologia usual. Seja α : R ( R definida po α (x, x, x, x = [x, x, x, x ]. Temos que α é contínua pois, tata-se de uma função acional. Dado P = (x, x, x, x R (, existem dois conjuntos de pontos associados a P, denominados espectivamente positivos e negativos, a sabe: ( + P = P = (x P = (x P = (x ( N N N = (x = (x = (x Teoema II. Com elação aos pontos acima consideados temos: i [ α (P i - α (P j ]. [ α (N m - α (N n ] 0, se i j e m n. ii Pode ocoe α (P i = α (N j. Neste caso os valoes possíveis são -, e. 7 Rev. Mat. Estat., São Paulo, 0: 67-77, 00

7 Demonstação: i. Seja α (P =. Pelo Teoema I (de Classificação, segue que ii. α (P = α (N =, α (P = - -α (P j ]. [ α (N m - - iii. Temos: α (P = α (N =, α (N = -, α (N = e. Logo, paa i j e m n, tem-se [ α (P i - α (N n ] = 0 se, e somente se, - + = 0. α (P = α (N = - α (P = α (N = α (P = α (N = α (P = α (N = α (P = α (N = - α (P = α (N = - α (P = α (N = α (P = α (N =. Dado P = (x, x, x, x sejam: [P ] = f ( =, [P ] = f (, [P ] = f (, [N ] = g (, [N ] = g ( e [N ] = g (. Cooláio. Com as notações acima tem-se: i. Dados i, j {,, }, i j, f i ( f j ( = 0 e g i ( g j ( = 0 não têm soluções eais. ii. Dados i, j {,, }, i j, existe {-,, } tal que fi ( - g j ( = 0. Rev. Mat. Estat., São Paulo, 0: 67-77, 00 7

8 Sejam α, α, α, α 5, α 6 : R ( R definidas po: α ( x = α ( x α ( x = α ( x α( x α ( x = α ( x α5( x = α ( x α( x α6 ( x = α ( x Seja α : R ( R 6 definida po α ( x = ( 5 α 6 α (x, α (x, α (x, α (x, α (x, (x. Como α é de classe C, α também é de classe C. Poposição. O conjunto A = x R ( α (x R (6 é abeto em R (. Teoema III. Existe O R abeto e denso tal que: i. α (x R (6 se, e somente se, x O R (, ii. R ( - O é um cone de vétice em 0 em R. Demonstação: Seja x R (. Temos que [ α i (x - α j (x] = 0 paa i j, se e somente se, p (x.p (x.p (x = 0, onde: p (x = x x + x x x x x x x x x x, p (x = x x + x x x x x x e, p (x = -x x x x x x x x + x x x x 7 Rev. Mat. Estat., São Paulo, 0: 67-77, 00

9 Paa tal, basta obsevamos que, paa x R ( tem-se: α (x = α (x α (x = α 6 (x α (x = α 5 (x p (x = 0; α (x = α (x α (x = α 5 (x α (x = α 6 (x p (x = 0; α (x = α (x α (x = α 6 (x α (x = α 5 (x p (x = 0 e, α (x = α 5 (x α (x = α (x α (x = α (x α (x = α (x α (x = α 6 (x p 5 (x = 0, que não admite aiz em R (, onde p 5 (x = (x x (x x...- (x x (x x (x x (x x + (x x (x x. Sejam agoa p = p p p e B = x R p(x = 0. Como p(x é um polinômio homogêneo de gau 6, segue que B é um cone de vétice 0 em R. Segue que O = R B é abeto e denso em R e veifica (i e (ii. Obsevações: Como podemos obseva, emboa o enunciado do Teoema III não deixa clao, a técnica de sua demonstação mosta se ele uma vesão polinomial do Teoema II. Cooláio A. Seja x R (. Então, α (x R (6 se, e somente se, p(x = 0. Cooláio B. Seja x B R (. Então: α (x = (-, -,,,, = Q ou, α (x = (,,, -,, - = Q ou, α (x = (,, -,, -, = Q. Rev. Mat. Estat., São Paulo, 0: 67-77, 00 75

10 Demonstação: Se α (x = - então, α (x = Q. Se α (x = então, α (x = Q. Se α (x = então, α (x = Q. Logo, α - (Q = Obsevações: 0 ( α ( = p ( R, α - ( (Q = α ( = p ( 0 R e α - ( (Q = α ( = p ( R. 0 Os Cooláios A e B são mais conseqüências da técnica de demonstação do Teoema III do que dele popiamente dito. SITTA, A. M., PEDROSO, H. A, TADINI, W. M. Coss-atio: algebaic and topological appoaches. Rev. Mat. Estat. v.0, p.67-77, 00. ABSTRACT: In this wok we descibe the topology of the coss-atio. Given a point P = (x, x, x, x, whee x i x j, i, j, i j, the coss-atio may assume up to six diffeent values accoding to the odeing. We pesent the topology and the density of the subset in R such that thei points satisfy the following popety: they assume six values, distinct two-by-two. KEYWORDS: Coss-atio, topology. Refeências BOYER, C. B. Históia da matemática. Tadução Elza F. Gomide. São Paulo: Edgad Blüche, p. COURANT, R.; ROBBINS, H. Que es la matemática? Tadução Luis B. Gala..ed. Madid: Aguila, 96. 5p. 76 Rev. Mat. Estat., São Paulo, 0: 67-77, 00

11 EVES, H. Estudio de las geometias. Tadução Susana B. de Sipestein. México: Uteha, 969.v.. 88p. EVES, H. Intodução à históia da matemática. Tadução Hygino H. Domingues. Campinas: Editoa da Unicamp, p. KLEIN, F. Elementay Mathematics fom and advanced Standpoint. New Yok: Dove, 99. v.. Recebido em Rev. Mat. Estat., São Paulo, 0: 67-77, 00 77