ANÁLISE NUMÉRICA DA REDUÇÃO SONORA PROPORCIONADA POR UM DISPOSITIVO DE PROTEÇÃO JUNTO DA FACHADA DE UM EDIFÍCIO

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1 Coimbra, Portuga, 2012 ANÁLISE NUMÉRICA DA REDUÇÃO SONORA PROPORCIONADA POR UM DISPOSITIVO DE PROTEÇÃO JUNTO DA FACHADA DE UM EDIFÍCIO E. G. A. Costa 1 *, L. M. C. Godinho 2, A. S. C. Pereira 2, J. A. F. Santiago 1 e P. Amado-Mendes 2 1: Programa de Engenharia Civi, COPPE/UFRJ Universidade Federa do Rio de Janeiro CEP e-mai: {edmundo_costa, santiago}@coc.urj.br web: 2: CICC, Departamento de Engenharia Civi Universidade de Coimbra e-mai: {godinho, apereira, pamendes}@dec.uc.pt web: Paavras-chave: Método dos Eementos de Contorno, Acústica, Método das Imagens Resumo. Neste trabaho, os autores apresentam uma anáise numérica da redução sonora proporcionada por medidas simpes de proteção acústica para atenuar o ruído emitido por um equipamento coocado perto da achada de um ediício. No presente estudo, a onte de ruído está dentro de um compartimento paraeepipédico com uma abertura retanguar. Para reaizar esta anáise numérica, uma ormuação do Método dos Eemento de Contorno 3D é utiizada, azendo uso da decomposição do domínio, juntamente com unções de Green especíicas para reduzir o tamanho das matrizes do sistema de equações e que permitam considerar superícies absorventes. Estas unções de Green são obtidas utiizando a técnica das ontes imagens, que permitem modear a achada do ediício e o terreno como superícies ininitas, considerando ainda um coeiciente de absorção. Os resutados do modeo numérico são comparados com resutados obtidos através de ensaios experimentais para um caso simpes. O modeo impementado é apicado para executar uma simuação numérica, que iustra a dierença entre superícies de proteção rígidas e absorventes na redução sonora.

2 1. INTRODUÇÃO Muitos métodos numéricos são utiizados para modear a propagação de ondas acústicas em ambientes 2D e 3D. Durante as útimas três décadas, o Método dos Eementos de Contorno (BEM) estabeeceu-se como um dos métodos preerenciais a serem utiizados em probemas acústicos. Na verdade, o BEM tem um número de vantagens sobre os outros métodos numéricos que contribuem para o seu sucesso (Brebbia [1]): em primeiro ugar, esse método requer apenas a discretização dos contornos do probema e, portanto, envove uma descrição mais compacta do meio acústico; em segundo ugar, tem uma precisão muito boa, pois é baseado na utiização de unções de Green, que são, ogo à partida, souções da equação governante do probema; inamente, este método é muito adequado para a anáise de domínios ininitos ou semi-ininitos, pois somente os contornos internos são discretizados uma vez que as condições de radiação de Sommered no ininito são automaticamente satiseitas. Agumas destas vantagens são ainda mais pronunciadas quando a anáise 3D em um domínio ininito ou semi-ininito é considerada, para a qua os métodos aternativos requentemente exigem mihões de graus de iberdade, em conjunto com uma truncagem do domínio de propagação e a utiização aproximada de condições de contorno absorvente. Ao ongo dos anos, muitos pesquisadores têm utiizado o método para anáise acústica de dierentes sistemas. Muitas pubicações sobre o BEM podem ser encontradas, como o exceente ivro de Wu [2], que descreve os undamentos dos eementos de contorno para anáise acústica. Desenvovimentos interessantes podem ser iguamente encontrados em muitos artigos cientíicos, como os primeiros trabahos de Lacerda et a. [3], em que uma ormuação BEM Dua é utiizada para anaisar a propagação do som em torno de barreiras acústicas 2D, sobre um pano ininito, considerando tanto o terreno com a barreira como sendo absorventes. Mais tarde, a propagação sonora em probemas 3D em torno de uma barreira absorvente oi estudada peos mesmos autores (Lacerda et a. [4]); a introdução de uma ormuação dos eementos de contorno Dua permite que barreiras inas sejam modeadas. Diversos estudos oram pubicados sobre a convergência e as exigências de discretização do BEM, conorme os trabahos de Tadeu et a. [5] ou Marburg [6]. Uma característica interessante do BEM é que esse método pode ser adaptado para incuir unções de Green mais compexas, representando a presença de características especíicas do meio de propagação. É o caso dos trabahos de Godinho et a. [7] e Tadeu et a. [8], anaisando o caso especíico de conigurações 2D sujeitas ao eeito de uma onte de pressão acústica 3D, usando o BEM para estudar o eeito de barreiras acústicas e de teas inas acopadas a uma achada de ediício para a redução do ruído do tráego. Nesses estudos, tanto o soo rígido como a achada rígida são evados em conta, usando o método das ontes imagens, evitando assim a sua discretização. Aém disso, estes autores sintetizaram o campo sonoro 3D como um somatório de probemas simpes 2D (também conhecido na iteratura como uma ormuação 2.5D), com um custo computaciona muito menor. No presente trabaho, os autores azem uso de um modeo BEM 3D para estudar a propagação do som gerado por um equipamento, que se propaga para o espaço externo através de uma abertura de ventiação. No caso especíico de um espaço paraeepipédico, com uma abertura retanguar, coocado ao ado de uma achada é anaisada. Para a apicação do modeo BEM, os autores azem uso da decomposição do domínio juntamente com unções de Green que permitem considerar absorção das superícies, para reduzir o tamanho das matrizes do sistema em causa. Essas unções são cacuadas com base na técnica das ontes imagens, e evam em conta automaticamente a presença de um piso rígido ou absorvente (tanto no interior como no exterior) e de agumas outras superícies verticais internas e externas (paredes). O modeo numérico é comparado com resutados obtidos experimentamente. Um exempo de apicação é apresentado, iustrando, para várias requências, o campo de pressão gerado ao redor de um compartimento. 2

3 2. FORMULAÇÃO MATEMÁTICA 2.1. Equação governante do probema A propagação do som no interior de um espaço tridimensiona pode ser matematicamente representada, no domínio da requência pea equação dierencia parcia de Hemhotz, onde p é a pressão acústica, k 2 2 n p k p Q ( ξ, ξ ) (1) 1 c é o número de onda, é a reqüência anguar, c é a veocidade de propagação do som no meio acústico, n é o número de ontes no domínio, magnitude das ontes acústicas Q é a ξ ocaizadas em ( x, y, z ), ξ é um ponto do domínio ocaizado em ( x, y, z ) e ( ξ, ξ ) é a unção deta de Dirac generaizada. Considerando-se que um ponto onte é coocado no interior deste domínio de propagação, em x 0, é possíve estabeecer uma soução undamenta de pressão sonora num ponto x, a qua pode ser escrita como ikr e G( ξ, x ), com r ( x x0 ) ( y y0 ) ( z z0 ). (2) 4r 2.2. Deinição das unções de Green usando o método das imagens Nas anáises de probemas acústicos, pode-se considerar a presença de superícies panas pereitamente rígidas através do método das imagens. Para ta, a presença desta superície pana rígida pode ser simuada considerando uma onte virtua adiciona, posicionada simetricamente em reação ao pano de reexão. Então, se ta pano or deinido em z 0m, a unção de Green pode ser escrita como ikr ikr1 e e 1S (, ), com 1 ( 0) ( 0) ( 0 ) 4 r 4 r1 G ξ x r x x y y z z. (3) A expressão acima é váida somente se o pano or pereitamente rígido, com um coeiciente de reexão igua a 1. No entanto, é possíve considerar um pano parciamente reetor, seguindo a estratégia deinida por António et a. [9], mutipicando-se o eeito da onte virtua por um coeiciente de reexão genérico R (deve-se notar que este parâmetro pode estar reacionado com o coeiciente de absorção do som dado por R 1 ). Portanto, para este caso, a equação (3) torna-se G 1S ikr ikr 1 e e ( ξ, x ) R. (4) 4 r 4 r Esta abordagem pode ser ainda mais ampiada incorporando mais superícies. Considerando, por exempo, um quarter-space deinido por dois panos ortogonais, um ocaizado em z 0m e o outro em x 0m, a unção de Green correspondente pode ser escrita como ikr ikr 1 1 ikr2 i 3 e e e e G ( ξ, x ) R R R R (5) 2S r 4 r1 4 r2 4 r3 kr 3

4 com 2 ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) r x x y y z z e r ( x x ) ( y y ) ( z z ). Finamente, considerando um espaço deinido por dois panos verticais ortogonais e um pano horizonta pereitamente rígidos, coocados em x 0m, y 0m e z 0m, respectivamente. A unção de Green correspondente pode ser expressa como com G 3S ikr 4 ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) r x x y y z z, 6 ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) 7 ikr i e e ( ξ, x ) 4 r (6) 4 r i 1 7 ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) r x x y y z z e r x x y y z z Formuação do Método dos Eementos de Contorno i 5 ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) r x x y y z z, De acordo com a Segunda Identidade de Green, a equação (1) pode ser transormada na seguinte equação integra de contorno: G( ξ, x) C( ξ) p( ξ) i G( ξ, x) vn( x) d p( x) d QG( ξ, ξ ) (7) n 1 onde é a superície de contorno e G( ξ, x ) é a soução undamenta; p( x ) e vn( x ) representam a pressão acústica e a componente norma da veocidade da pressão acústica, respectivamente. O coeiciente C( ξ ) depende da geometria onde o ponto onte ξ está apicado. A im de resover a equação (7), o Método dos Eementos de Contorno pode ser utiizado, requerendo a discretização de todas as superícies. Portanto, assumindo NE eementos constantes com geometria inear e apicando o método de coocação na equação integra de contorno, em termos de coordenadas intrínsecas 1 e 2, a seguinte equação pode ser obtida: n C( ξ ) p( ξ ) i G( ξ, x ) v ( x ) J d d p p p q n q q1 11 NE NE G( ξ p, xq ) p( xq ) J d1d 2 QG( ξ, ξq ) n q n (8) onde ξ p reere-se ao nó unciona p, com p variando de 1 a NE, J é o jacobiano, p( x q ) e vn ( x q ) representam a pressão acústica e a componente norma da veocidade no ponto do eemento de contorno x e G( ξ, ξ ) é o campo incidente em reação a pressão acústica gerada pea onte rea q q ocaizada na posição ξ. Resovendo o sistema de equações resutante NE NE torna-se possíve obter a pressão acústica em quaquer ponto do domínio apicando a equação integra de contorno. Se o probema envove mais de um subdomínio, a equação integra de contorno (equação (8)) deve ser escrita para cada subdomínio, e as condições de continuidade devem ser apicadas na interace entre os subdomínios. Estas condições de continuidade podem ser escritas como: p p em S n n c v v em S c (9) 4

5 onde S c é a interace comum aos dois subdomínios, p é a pressão acústica e v n é a veocidade da partícua ao ongo da direção norma apontando para ora de cada subdomínio (isto é, com direções opostas, para os dois subdomínios). Deve ser mencionado que, sob circunstâncias especíicas, pode ser possíve evitar a discretização de todas as superícies do modeo, utiizando unções de Green adequadas no modeo dos eementos de contorno. Para o probema ser resovido no presente trabaho serão usadas unções de Green 3D conorme deinidas na seção anterior, as quais podem incorporar o eeito do soo e de uma ou mais paredes ortogonais e conseqüentemente reduzir o tamanho computaciona do probema. No entanto, considerando que o probema a ser resovido corresponde a um espaço paraeepipédico, contendo uma onte de ruído, coocada ao ado da achada de um ediício e conectada a um domínio exterior através de uma abertura, o sistema é subdividido em dois subdomínios: corresponde ao interior do domínio e corresponde ao espaço exterior semi-ininito. A superície interior do ext domínio é aqui designada como S in, enquanto que a superície exterior é designada como S ext e a interace comum (em que a continuidade da pressão e da veocidade é imposta) é designada como S c. Para esta coniguração, usou-se a unção de Green que incorpora a presença de duas superícies pereitamente rígidas. Assim, para este probema especíico, considerando que o domínio é eito de superícies rígidas, tanto dentro como ora, as condições de contorno a considerar podem ser escritas como: in in ext p p em S in ext n n c v v em S v v in n ext n 0m s em 0m s em c S S in ext (10) Considerando que NE S1 eementos são usados para representar a superície interna, NE S2 eementos são usados para representar a superície exterior, e NE SC eementos são usados para compatibiizar a pressão acústica e a componente norma da veocidade através da abertura entre os dois subdomínios, um sistema de NES1 NES2 2NESC equações por NES1 NES2 2NESC vaores desconhecidos podem então ser escrito. Em contraste com a ormuação BEM Dua, este sistema de equações não é totamente preenchido, sendo basicamente eito de dois bocos, acopados por 2NE SC equações, o que permite agumas vantagens em termos do esorço de cácuo (apenas uma parte dos coeicientes da matriz precisa ser cacuada). Aém disso, a ormuação direta BEM azendo uso de dois subdomínios evita o cácuo de integrais hiper-singuares, que são necessários na ormuação BEM Dua e que se tornam muito compexos para os probemas acústicos 3D. 3. VALIDAÇÃO EXPERIMENTAL Uma vaidação experimenta oi reaizada para assegurar que os resutados numéricos podem ser apicados em uma situação reaista. Com este propósito, um sistema de ensaio aboratoria oi utiizado, azendo uso de uma câmara de concreto, conorme iustrado na Figura 1(a). Esta câmara 3 paraeepipédica é eita de concreto e tem dimensões internas de m. Em uma das suas 2 aces, existe uma abertura com m, permitindo o acesso ao seu interior. Dentro dessa câmara, uma onte sonora omnidireciona (B & K Omni Power 4292) oi ocaizada a 0.40m da parede ronta, e a 0.40m da parede do ado direito. Os níveis sonoros oram registrados com um microone (40AF rom Gras Sound & Vibration) ocaizado numa posição simétrica em reação à onte, a 0.6m acima do soo. Respostas no domínio do tempo oram adquiridas utiizando um sistema dbbati32, da marca 01dB; em seguida, a resposta no tempo oi transormada para o domínio da reqüência por 5

6 meio de uma transormada rápida de Fourier (FFT). a) b) Figura 1. Fotograia da câmara de teste (a) e modeo numérico (b). Este sistema também oi modeado numericamente, azendo uso do modeo BEM conorme descrito 2 na Seção anterior. Com isso, eementos de contorno quadrados, com área de m, oram utiizados ao ongo das superícies discretizadas, em conjunto com a unção de Green que eva em conta o chão, a parede da esquerda e a parede de trás (ver Figura 1(b)). Comparando as curvas apresentadas na Figura 2(a), é evidente que eas seguem tendências muito semehantes, apesar das dierenças visíveis nas ampitudes. É importante notar que o resutado numérico oi cacuado considerando todas as superícies rígidas, enquanto que no modeo experimenta existe uma quantidade pequena de absorção acústica, inuenciando os resutados. É importante observar que as posições dos picos reerentes às duas curvas coincidem, em gera com os modos normais teóricos. No entanto, o pico que ocorre a 220 Hz no resutado experimenta não é bem reproduzido peos resutados numéricos, ocorrendo um igeiro desocamento para o ado direito. É importante notar que a dierença é ainda maior para a soução anaítica (modos normais), indicando que a presença das irreguaridades e da paca usada para echar o compartimento pode introduzir agumas modiicações no comportamento dinâmico do modeo. Numa segunda coniguração, a janea da câmara de concreto oi considerada aberta. Neste caso, o modeo BEM usou ainda a unção de Green que eva em conta a presença de uma possíve absorção no chão e na parede de trás no interior do compartimento, bem como para a superície do chão e a parede vertica da câmara do ado de ora. Duas sub-regiões oram deinidas: uma região para o interior e a outra para o exterior, permitindo que haja o acopamento do espaço interno com o espaço externo. Observando os resutados experimentais da Figura 2(b), é possíve concuir que as curvas apresentam uma tendência semehante àqueas apresentadas na Figura 2(a). No entanto, é importante notar que agumas mudanças que ocorrem nos picos, reveam um comportamento dinâmico aterado. Esta ateração pode ser identiicada, por exempo, no pico que ocorre em torno dos 135 Hz, que se desoca para o ado direito nos gráicos. Na mesma igura, dois resutados numéricos são incuídos: o primeiro correspondendo um modeo competamente rígido e o outro correspondendo um modeo com uma pequena absorção do som na parede de trás e no chão ( 0.04). Em ambos os casos, os modos normais são reproduzidos corretamente e os resutados numéricos seguem a tendência da curva experimenta. É interessante notar que o eeito da absorção nas superícies internas contribui para uma mehor comparação entre os resutados experimentais e numéricos, particuarmente no que diz respeito às ampitudes do campo sonoro nas reqüências dos 6

7 respectivos modos normais. Nivé de pressão sonora (db) a) Níve de pressão sonora (db) Modos normais teóricos Experimenta BEM Freqüência (Hz) Experimenta BEM (rígido) BEM (absorção) b) Figura 2. Níveis de pressão sonora obtidos experimenta e numericamente no interior da câmara de ensaio eita de concreto, quando a janea oi echada (a) ou aberta (b). 4. APLICAÇÕES NUMÉRICAS Freqüência (Hz) A ormuação numérica acima deinida oi utiizada para estudar a propagação do ruído gerado por um equipamento perto da achada de um ediício. Com isso, considerou-se uma onte pontua, simuando um possíve equipamento, ocaizada em (0.9m,1.0m,0.2m), irradiando energia em todas as direções. 3 O meio de propagação oi assumido como sendo de ar, com uma densidade de 1.22kg m e permitindo uma veocidade do som de 340m s. A achada do ediício e o pavimento do espaço externo oram considerados pereitamente rígidos. A coniguração do dispositivo de proteção anaisada consiste num compartimento com uma pequena 2 abertura de m, centrada na parede ronta (Figura 3). Para esta coniguração geométrica, dois casos dierentes oram anaisados: no primeiro, todas as superícies internas oram consideradas como sendo rígidas; no segundo, um coeiciente de reexão de 0.8 (correspondendo a uma absorção de 0.36 ) oi incuída na unção de Green, e atribuída ao soo e à parede do undo do compartimento. Os resutados oram cacuados sobre uma maha de receptores, a 0.5m da achada. 7

8 Figura 3. Geometria do compartimento com uma pequena abertura. =0.0 =0.36 a1) a2) b1) b2) c1) c2) Figura 4. Níve de pressão sonora perto da achada do ediício, na presença de um compartimento com uma pequena abertura, para as reqüências: a) =63 Hz, b)125 Hz e c) 250 Hz. A Figura 4 iustra os resutados cacuados para 63 Hz, 125 Hz e 250 Hz, na presença do sistema acima deinido. A atenuação dos níveis sonoros apresenta reduções em torno dos 15 a 20 db. Para 8

9 as reqüências mais eevadas, a interação entre as dierentes superícies torna-se evidente, com níveis sonoros muito baixos que ocorrem em ocais especíicos. A presença das superícies absorventes interiores do compartimento (resutados da couna do ado direito) também parece inuenciar os níveis sonoros, com vaores igeiramente mais baixos registados para esta situação. 80 Níve de pressão sonora (db) Sem proteção 30 Compartimento rígido com abertura Compartimento absorvente com abertura Freqüência (Hz) Figura 5. SPL registado num ponto 9.0m acima do soo, centraizado entre as barreiras de proteção e a 0.5m de distância da achada do ediício. Para obter uma visão mais gera deste comportamento, os resutados também oram cacuados para uma gama de reqüências entre 100 Hz e 250 Hz, para um recetor ocaizado 9.0m acima do soo e a 0.5m de distância da achada do ediício, centrado em reação ao dispositivo de proteção. Nestes resutados, apresentados na Figura 5, é interessante notar o eeito de introduzir as superícies de absorção no cácuo do níve sonoro, com uma curva mais suave e com uma redução signiicativa do eeito de ampiicação registrado reerente aos modos normais. Na verdade, neste caso, a curva do níve sonoro é sempre abaixo da curva de reerência (sem proteção), e a redução sonora é sempre superior a 10 db. Na ausência de tais superícies absorventes, os picos dos níveis sonoros são observados nas reqüências dos modos normais, que geram ampiicações, azendo com que a pressão acústica utrapasse a curva de reerência (cacuada sem dispositivo de protecção). 5. CONCLUSÕES Neste trabaho, um modeo numérico 3D baseado no Método dos Eementos de Contorno oi apresentado e usado para simuar o campo sonoro produzido por um equipamento (onte de ruído) perto da achada de um ediício. O modeo proposto ez uso de unções de Green deinidas usando o método das imagens e considerando absorção, que permitem reduzir a discretização do probema. Comparação entre os resutados experimentais e numéricos reveou que o comportamento dinâmico do espaço acústico oi corretamente reproduzido peo BEM. Os níveis sonoros oram cacuados para um caso de exempo, em que o dispositivo de proteção é utiizado para atenuar o ruído produzido por uma onte pontua, simuando um equipamento perto de um ediício. Um compartimento com uma pequena abertura que deine um dispositivo de proteção oi anaisado e os resutados revearam que a presença de superícies absorventes dentro desse compartimento pode auxiiar na minimização do ruído que atinge a achada do ediício. AGRADECIMENTOS O primeiro autor gostaria de agradecer ao CNPq peo apoio inanceiro prestado a esta pesquisa. 9

10 REFERÊNCIAS [1] C.A. Brebbia, The Boundary eement method or engineers, Pentech Press, London, [2] T. Wu, Boundary eement acoustics, WIT Press, Southampton, UK, [3] L.A. Lacerda, L.C. Wrobe, W.J. Mansur, A dua boundary eement ormuation or sound propagation around barriers over an ininite pane, Journa o Sound and Vibration, Vo. 202, pp , [4] L.A. Lacerda, L.C. Wrobe, H. Power, W.J. Mansur, A nove boundary integra ormuation or three-dimensiona anaysis o thin acoustic barriers over an impedance pane, Journa o the Acoustica Society o America, Vo. 104, pp , [5] A. Tadeu, L. Godinho, P. Santos, Perormance o the BEM soution in 3D acoustic wave scattering, Advances in Engineering Sotware, Vo. 32, pp , [6] S. Marburg, Six Boundary Eements per Waveength. Is that Enough?, J. Comput. Acoust., Vo. 11, pp , [7] L. Godinho, J. Antonio, A. Tadeu, 3D sound scattering by rigid barriers in the vicinity o ta buidings, Appied Acoustics, Vo. 62, pp , [8] A. Tadeu, J. Antonio, P. Amado Mendes, L. Godinho, Sound pressure eve attenuation provided by thin rigid screens couped to ta buidings, Journa o Sound and Vibration, Vo. 304, pp , [9] J. Antonio, L. Godinho, A. Tadeu, Reverberation times obtained using a numerica mode versus those given by simpiied ormuas and measurements, Journa Acustica Acta Acustica, Vo. 88, pp ,