Tema Tendências em Matemática Aplicada e Computacional, 15, N. 1 (2014), 59-71

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1 Tema Tendências em Matemática Apicada e Computaciona, 5, N. (204, Sociedade Brasieira de Matemática Apicada e Computaciona doi: /tema Estimação dos Parâmetros da Mistura de Duas Componentes GEV via Agoritmo EM* C.E.G. OTINIANO** e E.C.M. TEIXEIRA Recebido em 9 juho, 203 / Aceito em 26 março, 204 RESUMO. Modeos probabiísticos de misturas finitas de densidades cujas componentes são as densidades da distribuição de Vaor Extrema Generaizado tem uma ampa apicabiidade em diversas áreas como finanças e hidroogia. Neste trabaho, os estimadores dos parâmetros da mistura de duas componentes GEV são obtidos via o agoritmo EM. Apresentamos também iustrações numéricas do comportamento dos estimadores obtidos através de simuação, bem como uma apicação a dados reias. Paavras-chave: GEV, mistura finita 2, agoritmo EM 3. INTRODUÇÃO Dadas as funções de densidade de probabiidade (f.d.p. d-dimensionais f,..., f k de uma famíia de densidades F ={f (x; θ, x R d, θ }, onde éoespaço paramétrico dessa famíia. Uma mistura finita de f,..., f k F é uma f.d.p. h = p f + + p k f k, k p j =, (. j= onde os números p,..., p k são chamados de pesos da mistura e f,..., f k chamadas de componentes da mistura. Devido a sua definição, as misturas finitas de distribuições ou de densidades de probabiidade são frequentemente utiizadas para modear dados de popuações heterogêneas. Tais misturas permitem construir modeos probabiísticos de uma ampa variedade de fenômenos, em por exempo, engenharia, economia e hidroogia, entre outros. Teoria e apicações de misturas podem ser encontradas em Titterington et a. (985, McLachan & Basford (998, e McLachan & Pee (2000. *Pesquisa parciamente financiada por CAPES/PROCAD. **Autor correspondente: Cira Etheowada Guevara Otiniano Departamento de Estatística, Universidade de Brasíia, Brasíia, DF, Brasi. E-mai: cira@unb.br

2 60 ESTIMAÇÃO DOS PARÂMETROS DA MISTURA DE DUAS COMPONENTES GEV VIA ALGORITMO EM Neste trabaho abordamos a estimação do modeo (. quando d = ek = 2, onde as componentes da mistura são densidades da distribuição de Vaor Extrema Generaizado univariadas. A distribuição de Vaor Extrema Generaizado do ingês generaized extreme vaue (GEV distribution, G γ,éadistribuição imite de máximos (ou mínimos normaizados de sequências de variáveis aeatórias (v.a. s independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.. Isto é, seja {X n } ta sequência. Se existirem sequências de números reais {c n }, c n > 0e{d n } tais que ( im P max{x, X 2,...,X n } d n x = G γ (x, n então a distribuição GEV introduzida por Jenkinson (955 é definida por { } exp + γ ] G γ (x; σ, μ = σ (x μ γ, γ = 0 ( exp exp x μ ], γ = 0, σ c n onde γ, μ R e σ>0são parâmetros de forma (índice cauda, ocação e escaa, respectivamente. Aqui + γ σ (x μ 0. A correspondente f.d.p. de G γ,édadapor } + γ ] σ (x μ γ exp { + γ ] σ (x μ γ, γ = 0 g(x; γ,σ,μ = σ σ exp ( x μ σ exp exp ( x μ σ ], γ = 0. Estas distribuições são utiizadas em hidroogia para anaisar a frequência de fuídos e em finanças para cacuar o vaor em risco (VaR de retornos, perdas ou ganhos extremos. Escaante-Sandova (2007 utiizou misturas de duas componentes GEV para avaiar dados sobre a frequência de fuídosde riosde uma região do Noroeste do México. Neste caso, os parâmetros foram estimados por máxima verossimihança utiizando vários métodos computacionais intensivos e as estimativas obtidas por esse procedimento, para vários casos, não convergiram. Outro trabaho que envove mistura de distribuições com aguma componente GEV é o de Kou et a. (202, no qua, com o objetivo de descrever características da veocidade de ventos, os autores apresentam modeos de mistura de duas densidades cujas componentes são Weibu e GEV, Weibu e ognorma, e GEV e ognorma. Neste caso, a estimação também foi feita por máxima verossimihança. Em gera, o métodode máxima verossimihança, o agoritmoem, e os métodos bayesianos são os métodos aternativos de estimação dos parâmetros de misturas finitas de distribuições. Com o objetivo de apresentar um método de estimação aternativo ao de Escaante-Sandova (2007, dos parâmetros de misturas de duas componentes GEV, neste trabaho descrevemos as expressões a serem cacuadas utiizando o agoritmo EM e mostramos o resutado das estimativas para aguns experimentos. Uma apicação com dados reais também é adicionada. (.2 (.3 Tend. Mat. Ap. Comput., 5, N. (204

3 OTINIANO e TEIXEIRA 6 Este trabaho esta organizado em cinco seções. Na Seção 2, apresentamos os principaisresutados deste trabaho, expressões que devem ser cacuadas para estimar os parâmetros da mistura de duas componentes GEV via agoritmo EM. Na seção 3, mostramos os resutados das estimações obtidas para agumas simuações. Já na seção 4, uma apicação da estimação de um modeo de mistura para dados reais é apresentada. Por fim, nas Seções 5 e 6 fazemos os agradecimentos e citamos as referência bibiográficas, respectivamente. 2 ESTIMAÇÃO VIA ALGORITMO EM O agoritmo EM do ingês Estimation Maximization é um agoritmo cássico da estatística usado para determinar estimativas de parâmetros em modeos de mistura, em modeos com dados fatantes, e em modeos em que a estimação dos parâmetros por máxima verossimihança apresenta probemas. O ivro McLachan & Pee (2000 é uma boa referência para esse assunto. Nesta seção utiizamosoagoritmoem para obteras estimativas demisturas deduas componentes GEV. Seja X uma v.a. com f.d.p. h(x, mistura de duas componentes, definida em (., e dada por h(x; = p g (x; θ + p 2 g 2 (x; θ 2, p + p 2 =, (2. onde = (p,θ,θ 2 com θ = (γ,σ,μ, =, 2eg (.; θ é uma componente de uma das famíias { G γ + := g(γ,σ,μ= + γ ] { σ σ (x μ γ exp + γ ] } } σ (x μ γ,γ>0, G γ := { g(γ,σ,μ= + γ ] { σ σ (x μ γ exp + γ ] } } σ (x μ γ,γ<0, G 0 := {g(0,σ,μ= σ ( exp x μ σ ( exp exp x μ σ ]}. Nesta seção, usamos o Agoritmo EM para obter estimativas de, baseado nos vaores x, x 2,...,x N de uma amostra aeatoria de tamanho N da v.a. X. Uma breve descrição do agoritmo EM, é a seguinte. Se assumirmos que X é observado e gerado por aguma distribuição paramétrica f (x;, chamamos X ({x,...,x N } de dados incompetos. Estes dados são competados com Y ({y,...,y N }, então Z = (X, Y são os dados competos cuja densidade conjunta é f (z; = f (x, y; = f (y/x, f (x;. Com esta nova densidade, defini-se a função de verossimihança dos dados competos L( /z = L( /x, y = f (X, Y ;. O agoritmo EM aterna o Passo E (da esperança, onde obtem-se Q(, (k = En( f (X, Y/ / X, (k ], Tend. Mat. Ap. Comput., 5, N. (204

4 62 ESTIMAÇÃO DOS PARÂMETROS DA MISTURA DE DUAS COMPONENTES GEV VIA ALGORITMO EM com o Passo M (da maximização, onde se cacua (k+ ao maximizar Q(, (k. No caso de mistura, f (x; = h(x; dada em (2. e Q é dada pea expressão Q(, (k = = i= og(p g (x i ; θ (k g(/x i, (k. Em síntese, na (k + -ésima iteração do passo-e, a atuaização da estimativa de p,é dada por onde, p (k+ = N g(/x i,θ (k = p(k = i= g(/x i,θ (k, (2.2 g (x i ; θ (k g (x i ; θ (k, =, 2, (2.3 ena(k + -ésima iteração do passo-m, a atuaização das estimativas de θ (k+, =, 2são obtidas resovendo as equações g(/x i,θ (k i= θ (k og(g (x i ; θ (k = 0. (2.4 Na estimação de do modeo (2., como cada componente da mistura g (.; θ deve ser de uma das famíias, G γ +, G γ, G 0,há seis possíveis casos para apicar. Os três primeiros casos descritos a seguir correspondem a mistura de componentes da mesma famíia e os outros três casos seguintes correspondem a mistura de componentes das diferentes famíias. Caso. (Mistura de componentes em G 0 As componentes g (.; θ e g 2 (.; θ 2 no modeo (2. são da famíia G 0, onde θ = (σ,μ, =, 2, e = (p,θ,θ 2. No passo-e, as atuaizações de p k+ são obtidas conforme (2.2. As atuaizações de σ (k+, =, 2são obtidas ao resover, utiizando o método de Newton-Raphson, a seguinte equação: i= g(/x i,θ (k { (σ (k + x i μ (k (σ (k x (k i μ 2 (σ (k exp 2 Para as atuaizações de μ (k+, =, 2usamosafórmua fechada μ (k+ = σ (k og i= i= g(/x i,θ (k x i μ (k σ (k g(/x i,θ (k exp( x i /σ (k ]} = 0. (2.5. (2.6 Tend. Mat. Ap. Comput., 5, N. (204

5 OTINIANO e TEIXEIRA 63 Caso 2. (Mistura de componentes em G +. As componentes g (.; θ e g 2 (.; θ 2 no modeo (2. são da famíia G +, onde θ = (γ,σ,μ, =, 2, e = (p,θ,θ 2. Quando μ σ = μ 2 σ 2, no passo-e, as atuaizações de p k+ são obtidas conforme (2.2 e (2.3. Porém, quando μ σ <μ 2 σ 2, as atuaizações de p k+ são obtidas de (2.2, onde (2.3 é substituido por e g(/x i,θ (k = g(2/x i,θ (k = g (x; θ (k g (x; θ (k = =, x i μ 2 σ 2, μ σ x i <μ 2 σ 2 2 g 2(x; θ (k 2, x i μ 2 σ 2 g (x; θ (k 0, μ σ x i <μ 2 σ 2. No passo-m, as atuaizações de γ (k+, σ (k+,eμ (k+, =, 2são obtidas ao resover as equações i= g(/x i,θ (k (γ (k 2 og i= g(/x i,θ (k (x i μ (k + γ (k + γ (k + γ (k σ (k + γ (k σ (k + γ (k σ (k (x i μ (k σ (k (x i μ (k (x i μ (k ] ] (k /γ ] (x i μ (k (2.7 (2.8 = 0, (2.9 ] (k /γ = 0, (2.0 e i= g(/x i,θ (k + γ (k σ (k + γ (k (x i μ (k + γ (k σ (k ] (x i μ (k ] (k /γ = 0, (2. respectivamente. Tend. Mat. Ap. Comput., 5, N. (204

6 64 ESTIMAÇÃO DOS PARÂMETROS DA MISTURA DE DUAS COMPONENTES GEV VIA ALGORITMO EM Caso 3. (Mistura de componentes em G. As componentes g (.; θ e g 2 (.; θ 2 no modeo (2. são da famíia G, onde θ = (γ,σ,μ, =, 2, e = (p,θ,θ 2. Quando μ σ = μ 2 σ 2, no passo-e, as atuaizações de p k+ são obtidas conforme (2.2 e (2.3. Porém, quando μ σ <μ 2 σ 2, em vez de (2.3 utiizamos e g(/x i,θ (k = g(2/x i,θ (k = = g (x; θ (k, x i μ σ g (x; θ (k =, μ σ < x i μ 2 σ 2 2 g 2(x; θ (k 2, x i μ σ g (x; θ (k 0, μ σ < x i μ 2 σ 2. (2.2 (2.3 No passo-m, as atuaizações de γ (k+, σ (k+,eμ (k+, =, 2são obtidas ao resover as equações (2.9, (2.0, e (2., respectivamente. Caso 4. (Mistura de componentes em G + G0. As componentes no modeo (2. são g (x; θ G + e g 2 (x; θ 2 G 0, onde θ = (,σ,μ,eθ = (σ 2,μ 2 =, 2. Então = (p,,σ,μ,σ 2,μ 2. No passo-e, as atuaizações de p k+ são obtidas conforme (2.2, onde e g(/x i,θ (k = g(2/x i,θ (k = g (x; θ (k, x i μ σ g (x; θ (k = = 0, x i <μ σ 2 g 2(x; θ (k 2, x i μ σ g (x; θ (k, x i <μ σ. (2.4 (2.5 No passo-m, as atuaizações de γ (k+, σ (k+,eμ (k+ são obtidas ao resover as equações (2.9, (2.0, e (2., respectivamente. Para as atuaizações de σ (k+ 2 e μ (k+ 2 utiizamos (2.5 e (2.6, respectivamente. Tend. Mat. Ap. Comput., 5, N. (204

7 OTINIANO e TEIXEIRA 65 Caso 5. (Mistura de componentes em G G0. As componentes no modeo (2. são g (x; θ G e g 2 (x; θ 2 G 0, onde θ = (,σ,μ,eθ = (σ 2,μ 2 =, 2. Então = (p,,σ,μ,σ 2,μ 2. No passo-e, as atuaizações de p k+ são obtidas conforme (2.2, onde e g(/x i,θ (k = g(2/x i,θ (k = g (x; θ (k, x i μ σ g (x; θ (k = = 0, x i >μ σ 2 g 2(x; θ (k 2, x i μ σ g (x; θ (k, x i >μ σ. (2.6 (2.7 No passo-m, as atuaizações de γ (k+, σ (k+, μ (k+ σ (k+ 2,eμ (k+ 2 são obtidas como no Caso 4. Caso 6. (Mistura de componentes em G G+. Neste caso, g (x; θ G + e g 2 (x; θ 2 G onde θ = (γ,σ,μ, =, 2and = (p,,σ,μ,,σ 2,μ 2. Consideramos os dois possíveis sub casos: Quando μ σ <μ 2 σ 2 e g(/x i,θ (k = g(2/x i,θ (k = g (x; θ (k, μ σ x i μ 2 σ 2 g (x; θ (k = = 0, x i <μ σ, x i >μ 2 σ 2 2 g 2(x; θ (k 2, μ σ x i μ 2 σ 2 g (x; θ (k, x i <μ σ 0, x i >μ 2 σ 2. (2.8 (2.9 Tend. Mat. Ap. Comput., 5, N. (204

8 66 ESTIMAÇÃO DOS PARÂMETROS DA MISTURA DE DUAS COMPONENTES GEV VIA ALGORITMO EM E quando μ σ μ 2 σ 2 g(/x i,θ (k =, x i >μ σ 0, c.c. (2.20 and g(2/x i,θ (k, x i μ 2 σ 2 = 0, c.c.. (2.2 Neste caso as atuaizações de p k+,são obtidas conforme γ (k+, σ (k+,eμ (k+, =, 2são obtidas ao resover as equações (2.2, (2.9, (2.0, e (2., respectivamente. 3 SIMULAÇÃO Nesta seção, testamos via simuação as estimativas de do modeo (2. para a mistura de componetes de diferentes famíias, o que corresponde trabahar com os casos (4-(6, pois os casos (-(3 tratam de componentes da mesma famíiaquesão mais facimente cacuados. Para isto, seguimos o seguinte procedimento:. Geramos amostras aeatórias de tamanho n = 00 para cada escoha do vetor. 2. A amostra aeatória da variáve aeatória X cuja densidade é a mistura (2.é gerada como segue: (a Gerar duas variáveis uniformes u eu2. (b Se u < p,então usamos u 2 para gerar um vaor x da v.a. X de (2., onde x = G (u 2 e G é a distribuição acumuada g. (c Se u p,então usamos u 2 para gerar um vaor x da v.a. X, onde x = G 2 (u 2 e G 2 é a distribuição acumuada g Cacuamos iterativamente os estimadores de utiizando as expressões de g(/x i,θ (k, =, 2 mostradas nos casos (4-(6. 4. A regra de parada que utiizamos no Agoritmo EM éog(l (k+ ] og(l (k ]< n Obtemos estimativas de utiizando 00 amostras de tamanho 00, então cacuamos a média e o erro quadrático médio de por Monte Caro. Tais resutados são mostrados nas Tabeas 2 e 3. Definimos vários experimentos, vaores de, para testar o comportamento dos estimadores do agoritmo EM. Esses experimentos mostrados na Tabea foram escohidos de ta maneira a contempar os casos (4-(6. Tend. Mat. Ap. Comput., 5, N. (204

9 OTINIANO e TEIXEIRA 67 Os experimentos 4,i, 5,i, 6,ia,e 6,ib, i =, 2, 3, correspondem aos casos (4, (5, e (6, respectivamente. Nas Figuras -4, comparamos a densidades de uma amostra h(x; com a densidade h(x; ˆ, onde os vaores de ˆ são as médias de ˆ, mostradas na Tabea 2. Por essas figuras podemos concuir que o agoritmo EM teve um bom desempenho, pois a densidade h(x; ˆ teve um bom ajuste, em quase todos os experimentos exceto no caso 6,2b. Os resutados do erro quadrático médio das estimativas são mostrados na Tabea 3, os quais confirmam que os resutados da Tabea são bons estimadores dos parâmetros em anáise. Novamente apenas o caso 6,2b não foi muito bom. Tabea : Experimentos. p σ σ 2 μ μ 2 4, , , , , , ,a ,2a ,3a ,b ,2b ,3b Tabea 2: Média de ˆ. ˆ n ˆp ˆ ˆ ˆσ ˆσ 2 ˆμ ˆμ 2 ˆ 4, ˆ 4, ˆ 4, ˆ 5, ˆ 5, ˆ 5, ˆ 6,a ˆ 6,2a ˆ 6,3a ˆ 6,b ˆ 6,2b ˆ 6,3b Tend. Mat. Ap. Comput., 5, N. (204

10 68 ESTIMAÇÃO DOS PARÂMETROS DA MISTURA DE DUAS COMPONENTES GEV VIA ALGORITMO EM Tabea 3: Erro quadrático médio de ˆ. ˆ n ˆp ˆ ˆ ˆσ ˆσ 2 ˆμ ˆμ 2 ˆ 4, ˆ 4, ˆ 4, ˆ 5, ˆ 5, ˆ 5, ˆ 6,a ˆ 6,2a ˆ 6,3a ˆ 6,b ˆ 6,2b ˆ 6,3b Figura : Gráfico das densidades h(x; (curva contínua e h(x; ˆ (curva pontihada para 4,, 4,2 and 4,3, de esquerda para direita Figura 2: Gráfico das densidades h(x; (curva contínua e h(x; ˆ (curva pontihada para 5,, 5,2 e 5,3. Tend. Mat. Ap. Comput., 5, N. (204

11 OTINIANO e TEIXEIRA Figura 3: Gráfico das densidadesh(x; (curva contínua e h(x; ˆ (curva pontihada para 6,a, 6,2a e 6,3a Figura 4: Gráfico das densidadesh(x; (curva contínua e h(x; ˆ (curva pontihada para 6,b, 6,2b e 6,3b. 4 APLICAÇÃO Para demonstrar a apicabiidade da mistura (2., ajustamos o ogaritmo do consumo per capita de petróeo em 35 países no ano de 200. Os dados foram obtidos no endereço data.wordbank.org/indicator/eg.use.pcap.kg.oe. Para esses dados, os vaores dos parâmetros estimados do modeo (2., peo agoritmo EM, foram p = 0.5, σ = , σ 2 = , μ = 6.44, μ 2 = O que indica a mistura de duas componentes da famíia G 0. Na Figura 5 mostra-se a densidade ajustada aos dados. O QQ-Pot da Figura 6, mostra que o ajustamento da mistura de duas distribuições com densidade Gumbe é adequado. 5 CONCLUSÕES Neste artigo, os estimadores dos parâmetros do modeo (2. são dados em seis possíveis casos, usando o AgoritmoEM. O método de estimação é testado com doze experimentos. Apenas para um desses experimentos o erro quadrático médio não foi suficientemente pequeno. Isso pode ter Tend. Mat. Ap. Comput., 5, N. (204

12 70 ESTIMAÇÃO DOS PARÂMETROS DA MISTURA DE DUAS COMPONENTES GEV VIA ALGORITMO EM Figura 5: Histograma e função densidade de probabiidade ajustada aos dados de petróeo para mistura de duas componentes Gumbe com ˆ = (0.506, 0.523, , , Figura 6: QQ-Pot dados de petróeo para mistura de duas componentes Gumbe com com ˆ = (0.506, 0.523, , , ocorrido peo fato dos parâmetros de ocação estarem muito distantes. Finamente, utiizamos dados reais para mostrar uma apicação do agoritmo EM. Não fizemos comparação de nossas estimativas com as de por exempo Atienza-Sandova (2007, pois os agoritmos por ees utiizados demandam um custo computaciona intensivo. O tempo computaciona para o cácuo de nossas estimativas foi inferior a um minuto. AGRADECIMENTOS Agradecemos aos revisores deste artigo por seus vaiosos comentários para mehorar a primeira versão. Agradecemos também as agências de fomento à pesquisa CAPES/PROCAD e DPP/UnB peo financiamento parcia para este trabaho. Tend. Mat. Ap. Comput., 5, N. (204

13 OTINIANO e TEIXEIRA 7 ABSTRACT. Probabiistic modes of finite mixtures with components Generaized Extrema Vaue (GEV distributions are widey appied in diverse areas such as finance and hydroogy. In this work, the estimators of the parameters of the GEV mixture of two components are obtained via the EM agorithm. We aso present numerica exampes of the behavior of the estimates obtained through of simuation, we as an appication to rea data. Keywords: GEV, finite mixture, EM agorithm. REFERÊNCIAS ] C. Escaante-Sandova. A Mixed distribution with EV and GEV components for anayzing heterogeneous sampes.ingeniería Investigación y Tecnoogía 8, 3 (2007, ] R. Kou, S.R. Rayapudi, S. Narasimham & K.M. Pakkurthi. Mixture probabiity distribution functions to mode wind speed distributions. Internationa Journa of Energy and Environmenta Engineering, (202, 0. 3] G.J. McLachan & K.E. Basford. Mixture modes. Marce Dekker, NewYork, (988. 4] G.J. McLachan & D. Pee. Finite mixture modes. Wiey, New York, ( ] D.M. Titterington, A.M.F. Smith & U.E. Makov. Statistica anaysis of finite mixture distributions. Wiey, NewYork, (985. Tend. Mat. Ap. Comput., 5, N. (204