ANÁLISE DO EFEITO DE UMA ZONA PERTURBADA EM REDOR DE FUROS DE PROSPECÇÃO SÍSMICA NO SEU COMPORTAMENTO DINÂMICO

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1 ANÁLISE DO EFEITO DE UMA ZONA ERTURBADA EM REDOR DE FUROS DE ROSECÇÃO SÍSMICA NO SEU COMORTAMENTO DINÂMICO Luís GODINHO Assistente DEC/FCTUC Coimbra António TADEU roessor Catedrático DEC/FCTUC Coimbra SUMÁRIO No presente trabalho analisa-se o comportamento dinâmico de uros de prospecção sísmica, considerando a presença, na vizinhança imediata do uro de prospecção, de uma zona perturbada. São realizadas diversas simulações numéricas, considerando a existência de uma carga dilatacional no interior do uro de prospecção e calculando a resposta em receptores localizados no interior do mesmo uro para dois casos: no primeiro, a zona perturbada e o uro de prospecção são circulares e concêntricos, sendo possível o cálculo analítico da resposta; no segundo, a zona perturbada e o uro de prospecção são também circulares, mas não concêntricos, pelo que se recorre ao Método dos Elementos de Fronteira. Apresentam-se respostas nos domínios da requência e do tempo, por orma a permitir uma melhor compreensão dos enómenos envolvidos. 1. INTRODUÇÃO A interpretação dos enómenos envolvidos na prospecção com recurso a técnicas de acoustic logging, vertical proiling ou de cross-hole surveying tem interessado diversos investigadores. A maior parte dos trabalhos publicados lida com o caso de uros de prospecção pereitamente circulares. No entanto, encontram-se documentados em algumas publicações estudos sobre a propagação de ondas em uros não circulares.

2 36 SÍSMICA 24-6º Congresso Nacional de Sismologia e Engenharia Sísmica Bouchon e Schimtt [1] usaram um modelo baseado na equação integral de ronteira para analisar uros de prospecção circulares com variação de secção ao longo do seu eixo. Randall [2] usou um modelo semelhante para proceder ao cálculo de curvas de dispersão de ondas guiadas que se propagam em uros de prospecção não circulares preenchidos por um luido, apresentando curvas de dispersão calculadas para uros com diversas secções localizados em ormações com dierentes propriedades. Alguns autores estudaram também o caso de uros de prospecção em redor dos quais ocorre a alteração das propriedades da ormação original. Destacam-se os trabalhos publicados por Baker [3] e Baker e Winbow [4], nos quais se usam soluções analíticas que permitem simular situações em que a zona alterada e o uro são circulares e concêntricos, e o de Renlie [5], que estudou o eeito de uma camada ina, onde as ondas se propagam com velocidades reduzidas e que envolve o uro de prospecção, na propagação dos dierentes tipos de ondas no seu interior. Modelos de Elementos de Fronteira, oram usados por Tadeu et al [6] para simular a técnica de cross-hole surveying em presença de uros de prospecção com secções circulares e ovais. Mais tarde, Godinho e Tadeu [7] usaram um modelo similar para analisar o comportamento de uros de prospecção circulares, sujeitos à acção de ontes unipolares e bipolares, considerando uma pequena deormação no seu contorno. Nesses trabalhos, ao problema tridimensional inicial é aplicada uma transormada espacial de Fourier segundo uma direcção, segundo a qual a geometria do sistema não varia (z). Aplicando, então, uma transormada inversa de Fourier, e considerando um conjunto ininito de ontes periodicamente espaçadas segundo o eixo z, a solução tridimensional pode ser expressa por um somatório discreto de soluções bidimensionais mais simples, cada uma delas calculada para um valor distinto do número de onda segundo z. No presente trabalho, esta ormulação é usada em conjunto com soluções analíticas e modelos numéricos ormulados no domínio da requência para analisar o comportamento de uros de prospecção em redor dos quais existe uma zona alterada como consequência da sua execução. São analisados os casos de zonas alteradas circulares concêntricas com o uro, cuja análise se pode azer usando soluções analíticas, e de zonas alteradas circulares não concêntricas, estudando-se essa coniguração através de um modelo de Elementos de Fronteira. O presente artigo encontra-se organizado da seguinte orma: apresenta-se, em primeiro lugar, a ormulação do problema tridimensional; segue-se uma breve descrição das soluções analíticas usadas, e da ormulação do Método dos Elementos de Fronteira; indica-se, depois, o processo de cálculo usado para a obtenção das respostas no domínio do tempo; por im, os modelos deinidos são aplicados para realizar um conjunto de simulações numéricas relativas aos casos anteriormente descritos. 2. FORMULAÇÃO MATEMÁTICA DO ROBLEMA Considere-se um uro de prospecção com geometria constante segundo o seu eixo, localizado numa ormação sólida e preenchido por um luido. O campo incidente gerado por uma onte pontual localizada no luido que o preenche, em ( x, y,), é dado por

3 Luís GODINHO, António TADEU 361 pinc ( ω, x, y, z) ω -i α Ae = r r + z + z, (1) onde A é a amplitude, α é a velocidade de propagação das ondas de pressão, ω é a requência de excitação, r = ( x x) + ( y y) e i= 1. Aplicando a esta equação uma transormada de Fourier segundo a direcção na qual a geometria não varia (z), e deinindo os 2 números de onda eectivos como kα = ω / α kz, onde k z é o número de onda axial segundo z, o campo incidente pode, para cada valor de k z, ser expresso por -ia pˆ inc ( ω, x, y, kz ) = H ( kα r), (2) 2 sendo H (...) a unção de Hankel de ordem e do segundo tipo. Se considerarmos um número ininito de ontes dispostas ao longo da direcção z, igualmente espaçadas de L, permitindo que o número de onda axial seja deinido por kzm = 2 π m/ L, o campo tridimensional de pressões pode agora ser escrito na orma de um somatório de soluções bidimensionais (Bouchon e Aki [8]), 2π p x y z = p x y k. (3) ik (,,, ) ˆ (,,, ) e zm z inc ω inc ω zm L m= Este somatório converge e pode ser aproximado por um número inito de termos ( m= M, M). A mesma metodologia indicada para o tratamento do campo incidente, pode também ser usada para deinir o campo tridimensional total de ondas gerado na presença de uros com dierentes conigurações. ara tal, a resposta do sistema deve ser calculada individualmente para cada valor do parâmetro k zm, obtendo-se, posteriormente, o campo tridimensional através de um somatório discreto, de acordo com o indicado na equação (3). Quando a coniguração analisada apenas apresenta ronteiras circulares e concêntricas, a determinação de cada solução bidimensional pode ser realizada analiticamente, através de um processo de cálculo em tudo idêntico ao usado por Godinho et al [9] na análise do comportamento de aneis circulares submersos num meio luido. Esse processo parte da deinição de um potencial dilatacional e dois potenciais de corte em cada ronteira de um meio elástico, e de um potencial dilatacional em cada ronteira de um meio luido, sendo que todos eles devem ser expressos como somatórios de ondas centradas no centro do uro. ara o caso de um uro de prospecção com uma zona alterada circular e concêntrica com o próprio uro, esses potenciais são: Na ronteira exterior, para a ormação envolvente: φ s1 () 1 sca = n n A H( k r)cos( nθ) α1

4 362 SÍSMICA 24-6º Congresso Nacional de Sismologia e Engenharia Sísmica ψ χ s1 ( 2) sca = n n s1 ( 3) sca n n A H( k r)sin( nθ ) β1 = A H( k r)cos( nθ) ; (4) β1 Na ronteira exterior, para a zona alterada: φ ψ ext ( 4) sca = n n ext ( 5) sca = n n ext ( 6) sca n n χ A J( k r)cos( nθ) α 2 A J( k r)sin( nθ ) β 2 = A J( k r)cos( nθ) ; (5) β 2 Na ronteira interior, para a zona alterada: in ( 7) φsca = An H( n kα r)cos( nθ) ψ χ in ( 8) sca = n n in ( 9) sca n n A H( k r)sin( nθ ) β 2 = A H( k r)cos( nθ) ; (6) β 2 Na ronteira interior, para o luido: 2 α ( 1) φsca = A J( )cos( ) 2 n n kα r nθ ωλ. (7) Nestas equações, k ( ) ( k ) 2 Im =, com ( ) 1 1 z α ω α k α, k ( ) ( k ) 2 Im 1 α 2 = ω α2 z, com ( k α 2 ), ( ) ( ) 2 kβ 1 = ω β1 kz, com Im( k β 1), k ( ) ( ) 2 β 2 ω β2 kz ( k β 2 ) ; α 1 e 2 Im =, com α são as velocidades das ondas na ormação original e na zona alterada, respectivamente, e β 1 e β 2 são as velocidades das ondas S na ormação original e na zona (1...1) alterada, respectivamente; λ é a constante de Lamé do luido; A n são coeicientes de amplitude de cada potencial. Derivando adequadamente estes potenciais, e impondo as condições de ronteira de continuidade de tensões e deslocamentos na ronteira exterior, e de continuidade de tensões e deslocamentos normais e tensões tangenciais nulas na ronteira interior, é possível estabelecer um sistema de 1 equações que permite calcular os coeicientes de amplitude de cada potencial. No caso de as ronteiras consideradas serem irregulares, ou de as circunerências que as deinem não serem concêntricas, a utilização das soluções analíticas descritas deixa de ser possível. ara esse caso, recorre-se ao Método dos Elementos de Fronteira, eectuando a discretização de todas as superícies envolvidas através de elementos rectilíneos. Considerando que a ronteira exterior (sólido/sólido) é discretizada em N1 elementos, e a interior (sólido/luido) em N2 elementos, a ormulação do método pode escrever-se como

5 Luís GODINHO, António TADEU N1 n * t j u ij( x, xn) dsn j= 1 1 Sn = 3 N1 n * u j t ij( x, xn) dsn C u i( x), para i=1,2,3 j= 1 1 Sn = + 3 N1 N1+ N2 n * n * t j u ij( x, xn) dsn t1 u i1( x, xn) dsn j= 1 1 S N1+ 1 n Sn + = 3 N1+ N2 n * u j t ij( x, xn) dsn C u i( x), para i=1,2,3 j= 1 1 Sn = + N1 N2 2 n * 1 x xn dsn inc x x N11 + Sn + ρω u p (, ) + p (, ) = N1+ N2 * p g ( x, xn) dsn C p( x), N11 + Sn = + (8) (9) (1) onde ρ é a densidade do meio luido que preenche o uro, C é uma constante que, tratando-se de uma ronteira suave, assume o valor de ½, e i e j representam uma das direcções normal (1), tangencial (2) ou z (3); t n e u n j j são, respectivamente, a tensão e o deslocamento segundo j registados nos meios sólidos, no ponto nodal do elemento n; p n e u n 1 são, respectivamente, a pressão e o deslocamento normal registados no meio luido, no ponto nodal do elemento n; u( i x ) é o deslocamento segundo i registado no ponto x de aplicação do carregamento virtual; p( x ) é a pressão registada no ponto x do meio luido; t * * ij ( x, x n) e u ij ( x, x n) são, respectivamente, as tensões e os deslocamentos gerados em x n por aplicação da carga virtual * * unitária em x (Tadeu e Kausel [1]); p( x, x n) e g( x, x n) são, respectivamente, a pressão e o gradiente de pressões segundo a normal ao elemento n, gerados em x n por aplicação de uma carga virtual unitária em x. Nestas equações, as integrações necessárias são realizadas analiticamente quando o elemento carregado coincide com o elemento a integrar, ou através da quadratura de Gauss se estes não coincidem. A resolução do sistema de 6N1+4N2 equações, ormado aplicando sucessivamente os carregamentos virtuais em cada nó das ronteiras, conduz à obtenção das tensões e deslocamentos nodais em cada elemento. artindo dos seus valores, torna-se possível o cálculo dessas grandezas em qualquer ponto do meio de propagação. 3. CÁLCULO DE RESOSTAS NO DOMÍNIO DO TEMO Depois de calculadas as respostas no domínio da requência, as pressões no domínio do tempo são calculadas por aplicação de uma transormada inversa de Fourier em ω. ara este eeito, admite-se que a onte de pressão tem uma variação temporal correspondente a um pulso de Ricker.

6 364 SÍSMICA 24-6º Congresso Nacional de Sismologia e Engenharia Sísmica Esta técnica permite a análise de uma janela de tempo deinida por T = 2π ω, onde ω é o incremento de requência. Os pulsos que apresentam tempos de chegada posteriores a T apareceriam de novo no início da janela do tempo, gerando um eeito geralmente designado por aliasing. ara evitar este enómeno, utilizam-se requências complexas com a orma ωc = ω iη (com η =.7 ω ). No domínio do tempo, o uso destas requências deve ser tido em conta multiplicando a resposta por uma unção exponencial e η t (Kausel e Roesset [11]). 4. SIMULAÇÕES NUMÉRICAS Nas simulações apresentadas será considerada uma ormação com uma massa volúmica de 3 ρ = 214kg / m, e permitindo a propagação de ondas e S com velocidades de α = 428m / s e β = 2656m / s, respectivamente (Ellesen [12]). Nesta ormação, considera-se a existência de um uro de prospecção com um raio de.116 m, preenchido com água 3 ( ρ = 1 kg / m e α = 15m / s ). Em redor deste uro, supõe-se a presença de uma zona alterada, delimitada exteriormente por uma circunerência de raio.232 m, onde as velocidades de propagação das ondas e S são ineriores em 25% às consideradas para a ormação original ( α alt = 3156 m/s e β alt = 1992 m/s ). Consideram-se dois casos distintos: no primeiro, a circunerência que deine o limite exterior da zona alterada é concêntrica com a que deine o contorno do uro de prospecção (Figura 1b); no segundo considera-se que os centros de ambas se encontram distanciados de.33 m (Figura 1c). Simula-se também, como reerência para comparação de resultados, o caso em que não existe qualquer alteração de propriedades em redor do uro (Figura 1a). Nos casos em que a coniguração geométrica é deinida através de circunerências concêntricas, as respostas são calculadas recorrendo às soluções analíticas indicadas. Quando tal não acontece, recorre-se ao Método dos Elementos de Fronteira, eectuando a discretização de cada uma das ronteiras que deinem a coniguração do sistema com um mínimo de 8 elementos, e garantindo que a relação entre o comprimento de onda das ondas incidentes e o comprimento de cada elemento é, no mínimo, de 12. Todos os cálculos são realizados no domínio da requência, na gama dos 8 Hz aos 124 Hz, com um incremento de 8 Hz. Calculam-se, depois, respostas no tempo, num grupo de cinco receptores dispostos ao longo do eixo z e igualmente espaçados de 2.5 m, considerando que a onte emite um pulso de Ricker com uma requência central de 3.5 khz. ara o incremento de requência especiicado, o tempo máximo de análise é de T = 18= 12.5ms. O espaçamento entre as ontes virtuais dispostas ao longo de z, reeridas no ponto anterior, é de L= 2Tα = 15.2m. As respostas registadas nos receptores R, no interior de um uro de prospecção sem qualquer zona alterada envolvente, e devido à actuação da onte posicionada em O, apresentam-se na Figura 2. As respostas no domínio da requência vs. velocidade de ase permitem identiicar a contribuição de dierentes modos próprios. Em particular, e de acordo com as curvas de dispersão calculadas por Ellesen [12], observa-se a presença de modos axissimétricos correspondentes às ondas de Stoneley e seudo-rayleigh, bem como de um modo não-axissimétrico, correspondente a ondas Screw. Não é visível a contribuição do modo de lexão, já que o receptor em análise se posiciona sobre a linha nodal desse modo, sobre a qual a

7 Luís GODINHO, António TADEU 365 resposta correspondente é nula. No domínio do tempo, regista-se a chegada do um pulso Stoneley, viajando no sistema com velocidades ineriores a 15 m/s. É ainda visível a presença de ondas Screw, que podem ser identiicadas como uma sequência de pulsos cuja chegada aos receptores se começa a registar logo após a chegada da onda S, e que se prolonga no tempo em resultado das dierentes velocidades de propagação que estas ondas exibem para dierentes requências. a) b) c) Figura 1: Representação esquemática da geometria do problema: a) uro de prospecção circular; b) uro de prospecção circular com zona envolvente alterada concêntrica com o uro; c) uro de prospecção circular com zona envolvente alterada não concêntrica com o uro. Quando em redor do uro de prospecção se considera a presença de uma zona alterada, concêntrica com o próprio uro, as respostas obtidas no domínio requência vs. velocidade de ase sorem alterações bastante marcadas, em particular no que respeita aos modos próprios excitados e às suas curvas de dispersão (Figura 3). Não se dispondo de curvas de dispersão de reerência, que permitam uma clara identiicação dos dierentes modos, procedeu-se ao cálculo das pressões registadas sobre uma grelha de receptores dispostos no interior do uro de prospecção, para valores especíicos da requência e da velocidade de ase. Estas ormas modais representam-se na Figura 4, e permitem identiicar a presença de ondas de Stoneley (modo [(,)]), seudo-rayleigh (modo [(,1)]) e Screw (modo [(2,)]). Adicionalmente, veriica-se, na gama de requências analisada, a contribuição de modos de ordens mais elevadas, nomeadamente os modos [(4,)] e [(2,1)], modos esses que não eram visíveis nas respostas da Figura 2. Veriica-se ainda uma diminuição muito acentuada da contribuição do modo seudo-rayleigh, que apresenta agora amplitudes muito reduzidas. As respostas no tempo não exibem, aparentemente, grandes alterações, registando-se novamente a chegada do pulso Stoneley, e de uma sequência de pulsos de menor amplitude relacionados com as restantes ondas guiadas.

8 366 SÍSMICA 24-6º Congresso Nacional de Sismologia e Engenharia Sísmica S Ondas guiadas Stoneley z=12.5m Amplitude (a) z=1.m z=7.5m z=5.m.25. z=2.5m 5 1 Tempo (ms) a) b) Figura 2: Resultados obtidos no receptor R quando se considera um uro circular e uma ormação não alterada: a) resposta no domínio requência-velocidade de ase; b) resposta no domínio do tempo. z=12.5m S Stoneley Ondas Guiadas Amplitude (a) z=1.m z=7.5m z=5.m.25. z=2.5m 5 1 Tempo (ms) a) b) Figura 3: Resultados obtidos no receptor R quando se considera um uro circular e uma zona alterada concêntrica com o uro: a) resposta no domínio requência-velocidade de ase; b) resposta no domínio do tempo. No caso em que a zona alterada não é concêntrica com o uro de prospecção, as respostas calculadas registam a presença de um número de modos mais elevado (Figura 5). A sua identiicação oi, uma vez mais, possível através do cálculo da pressão sobre uma grelha de receptores disposta no luido que preenche o uro (resultados não ilustrados). assa, neste caso, a registar-se a contribuição de modos adicionais, nomeadamente os modos ([1,]) (modo de lexão), ([1,1]) e ([3,]). Nos casos anteriores, esses modos não eram visíveis, já que o receptor se encontrava sobre as suas linhas nodais. No entanto, pelo acto de as duas circunerências que deinem a geometria do sistema não serem, para a presente situação, concêntricas, estas linhas nodais sorem alterações, não passando agora pela posição do receptor R. Ainda assim, o acto de a amplitude das respostas associadas a estes modos não ser muito elevada, dá a indicação de que o receptor se encontra próximo das novas linhas nodais.

9 Luís GODINHO, António TADEU 367 a) b) c) d) e) Figura 4: Forma modal calculada para os dierentes modos próprios excitados quando se considera uma zona alterada concêntrica com o uro: a) modo [(,)]; b) modo [(,1)]; c) modo [(2,)]; d) modo [(2,1)]; modo [(4,)]. z=12.5m S Stoneley Ondas Guiadas Amplitude (a) z=1.m z=7.5m z=5.m.25. z=2.5m 5 1 Tempo (ms) a) b) Figura 5: Resultados obtidos no receptor R quando se considera um uro circular e uma zona alterada não concêntrica com o uro: a) resposta no domínio requência-velocidade de ase; b) resposta no domínio do tempo. 5. CONCLUSÕES Neste trabalho, analisou-se o comportamento de uros de prospecção sísmica quando, em seu redor, ocorre a perturbação do terreno original. Analisaram-se os casos de zonas alteradas deinidas por duas circunerências concêntricas e por duas circunerências não concêntricas, comparando-os com o caso de um uro de prospecção sem qualquer alteração do terreno

10 368 SÍSMICA 24-6º Congresso Nacional de Sismologia e Engenharia Sísmica envolvente. Os resultados obtidos para os dierentes cenários analisados permitiram identiicar marcadas dierenças de comportamento. ara a actuação de uma onte desviada do centro, oi possível observar, nos vários sistemas analisados, a excitação de modos axissimétricos e não axissimétricos de dierentes ordens. No entanto, veriica-se que, para a mesma gama de requências, o número de modos próprios do sistema excitados é bastante superior quando se considera a presença de uma zona envolvente com velocidades de propagação das ondas e S ineriores às da ormação original. ara o caso em que a zona alterada não era concêntrica com o uro de prospecção, oi ainda possível registar, no mesmo receptor, a contribuição de um número superior de modos próprios. ara essa situação, ocorre uma alteração de coniguração dos dierentes modos, levando a que as suas linhas nodais não se localizem na mesma posição e que, por isso, a sua contribuição passe a ser registada. 6. REFERÊNCIAS [1] Bouchon, M.; Schmitt, D.. Full wave acoustic logging in an irregular borehole, Geophysics, 1989, Vol. 54, p [2] Randall, C. T. Multipole acoustic waveorms in nonaxisymmetric boreholes and ormations, Journal o the Acoustical Society o America, 1991, Vol. 9, p [3] Baker, L. J. The eect o the invaded zone on ull wavetrain acoustic logging. Geophysics, 1984, Vol. 49, p [4] Baker, L. J.; Winbow, G. A. Multipole -wave logging in ormations altered by drilling, Geophysics, 1984, Vol. 53, p [5] Renlie, L. Eect o a sot layer on the normal-modes in a luid-illed borehole. Journal o the Acoustical Society o America, 1993, Vol. 94(5), p [6] Tadeu, A.; Godinho, L.; Santos,. Wave motion between two luid-illed boreholes in an elastic medium, Engineering Analysis with Boundary Elements, 22, Vol. 26, p [7] Godinho, L.; Tadeu, A. The eect o a small wall deormation in the 3D acoustic logging results, Geophysical Journal International, 22, Vol. 151, p [8] Bouchon, M.; Aki, K. Discrete wave-number representation o seismic-source wave ield, Bulletin o the Seismological Society o America, 1977, Vol. 67, p [9] Godinho, L., Tadeu, A., Branco, F. Dynamic analysis o submerged luid-illed pipelines subjected to a point pressure load, aceite para publicação no Journal o Sound and Vibration, 23. [1] Tadeu, A.; Kausel, E. Green s unctions or two-and-a-hal dimensional elastodynamic problems, Journal o Engineering Mechanics - ASCE, 2, Vol. 126(1), p [11] Kausel, E.; Roesset, J. M. Frequency domain analysis o undamped systems, Journal o Engineering Mechanics ASCE, 1992, Vol. 118(4), p [12] Ellesen, K.J. Elastic wave propagation along a borehole in an anisotropic medium, h.d. thesis, MIT, Cambridge, MA, USA, 199.