MÉTODO DAS IMAGENS PARA SIMULAÇÃO ACÚSTICA DE PEQUENOS CÔMODOS

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1 Universidade Federal do Paraná Setor de ecnologia Departamento de Engenharia Elétrica E07 Processamento Digital de Sinais Professor Marcelo de Oliveira Rosa MÉODO DAS IMAGENS PARA SIMULAÇÃO ACÚSICA DE PEQUENOS CÔMODOS Ricardo Rodrigo Wolf Cruz GRR Curitiba 008

2 1 INRODUÇÃO Para a obtenção e estudo dos efeitos da reverberação em cômodos pequenos, normalmente é necessário um ambiente acústico controlado, com capacidade de mudanças no sentido de prover as características desejadas, o que pode tornar o estudo complexo e demorado. Buscando solucionar este problema, foram desenvolvidos métodos computacionais para analisar as propriedades acústicas de tais ambientes, permitindo a obtenção da resposta ao impulso entre dois pontos do ambiente (um receptor e um transmissor de som). O método das imagens, que será mais discutido e compreendido adiante, permite o estudo acústico de cômodos pequenos de maneira simples e rápida, provendo inclusive capacidade para simulação da reverberação no aposento e controle adequado sobre as variáveis pertinentes para obtenção de um resultado plausível. MÉODO DAS IMAGENS O método das imagens abordado leva em consideração cômodos retangulares, já que esta geometria é facilmente realizável em programas de computador, a solução para esta geometria se aproxima da exata para paredes rígidas (quão mais rígidas as paredes forem consideradas, mais exata será a solução) e esta geometria é comum em diversos ambientes, como escritórios e casas. Este método utiliza a imagem do aposento criada nas paredes do mesmo, como se existissem outros aposentos idênticos espelhados nos limites do local estudado. Isto é similar ao método de imagens utilizado em rádio-propagação, o qual permite a análise de problemas considerando o plano de terra e alguns planos metálicos condutores como espelhos, gerando imagens das cargas, antenas e outros fatores em questão. al método é especialmente útil em situações onde há uma origem do som e um receptor, nas quais um modelo no domínio do tempo é necessário para a obtenção da resposta transiente. A solução convencional deste problema exigiria o cálculo de todos os modos de propagação da onda sonora nas freqüências de interesse, além de eventuais correções para a faixa externa a estas freqüências. Deste modo, seria necessária a solução de equações transcendentais para a identificação dos pólos e obtenção dos resíduos dos mesmos visando a obtenção de uma resposta adequada no domínio do tempo. Já no caso do método das imagens, são utilizadas apenas as imagens pertinentes para a resposta ao impulso, as quais estão dentro de um raio delimitado pela velocidade do som multiplicada pelo tempo de reverberação. Desta maneira, ao passo que a solução convencional possui exponenciais decrescentes para cada modo contribuindo para todo o tempo, a solução pelas imagens possui cada imagem contribuindo apenas com um impulso puro de atraso e magnitude conhecidos. Considerando uma origem pontual de som emitindo uma freqüência em uma cavidade retangular, a onda de pressão tem a forma iω( R / c t) e ω, X, X ') = (1) 4πR onde: P = pressão; ω = πf, com f = freqüência;

3 t = tempo; R = X X, com X sendo a posição da fonte (x,y,z) e X do receptor (x,y,z ); c = velocidade do som. Quando uma parede rígida é considerada (velocidade normal igual a zero), as condições de contorno serão satisfeitas com o posicionamento de uma imagem simetricamente no outro lado da parede, resultando em i( ω / c) R+ ] i( ω / c) R ] e e iωt ω, X, X ') = + e () 4πR+ 4πR onde estão definidas distâncias do receptor para a fonte (R - ) e para a imagem (R + ), conforme indicado abaixo para o caso de uma parede em x = 0. R = ( x x') + ( y y') + ( z z') (3) R+ = ( x+ x') + ( y y') + ( z z') Quando são consideradas as 6 paredes de um cômodo retangular, existe uma complicação devido ao espelhamento da imagem, resultando em P 8 i( ω / c) Rp+ R e iωt ( ω, X, X ') e (4) = 4π R + R p= 1r= onde R p são os oito vetores decorrentes da permutação dos sinais mais e menos em R p = ( x± x', y± y', z± z') (5) r representa o vetor (n,l,m) e R é indicado abaixo, onde L x, L y e L z são as dimensões do cômodo. R = ( nl, ll, ml ) (6) x y z A equação [4], que representa a resposta em freqüência assumindo paredes rígidas para a fonte em X = (x,y,z) e o receptor em X = (x,y,z ). Aplicando a transformada inversa de Fourier, pode-se obter a resposta ao impulso para o sistema. 8 δ[ t ( Rp + R / c)] t, X, X ') = (7) 4π R R p= 1 r= p + A Figura 1 apresenta um exemplo da aplicação da equação [7], sendo que quando a fonte (em X) é excitada, cada imagem é simultaneamente excitada, criando ondas circulares. Vale salientar que a equação [7] é a solução exata para o problema considerando paredes rígidas sem perdas. p Figura 1 Exemplo do método de imagens, utilizando-se de um corte de uma sala. Cada x representa a fonte ou uma imagem, o O é o receptor. O problema e a equação levam em conta o espaço tridimensional.

4 Na figura está mostrado um exemplo que permite a melhor compreensão de como funciona o método das imagens. Cada imagem acaba representando determinadas reflexões no ambiente produzindo seu efeito em um tempo determinado, o que, como comentando anteriormente, representa uma vantagem deste método em relação ao convencional. Figura Exemplo de como o método funciona para uma das imagens Quando leva-se em consideração paredes não completamente rígidas (ou seja, paredes com perdas), a utilização de imagens pontuais já não é exata, porém, mesmo considerando um coeficiente de reflexão (β) na parede independente do ângulo de incidência da onda, a aproximação pontual ainda pode ser utilizada com resultados satisfatórios. Considerando ainda que o transmissor e o receptor não estejam muito próximos da parede, e coeficientes de reflexão superior a 0,7 para as freqüências de voz (0,1 4 khz, que é a faixa de maior interesse aqui), pode-se obter um coeficiente de absorção α na forma α = 1 β (8) Deste modo, com os efeitos da absorção na parede e não considerando variações com a freqüência, a resposta ao impulso toma a forma 1 δ[ t ( R + p R / c)] n q n l f l m k m t, X, X ') = β x1 βxβy 1 βxβx 1 βx (9) 4π R + R p= 0r= onde R p está representado em termos do vetor p = (q,j,k), de acordo com R p = ( x x' + qx', y y' + jy', z z' + kz') (10) Para os coeficientes β, o sub-índice 1 se refere as paredes adjacentes a origem de coordenadas e o sub-índice as paredes opostas, de acordo ainda com a figura 1. 3 IMPLEMENAÇÃO DO MODELO Para a implementação do modelo em computadores, com amostragem, é utilizado um filtro passa altas com baixa freqüência de corte para eliminar um efeito na freqüência zero observado que não é coerente fisicamente. É necessária a definição de uma freqüência de amostragem coerente com a aplicação desejada, seguindo o teorema de nyquist, ou seja, a freqüência de amostragem p

5 deve ser no mínimo o dobro da maior componente desejada. Na criação da resposta ao impulso, cada imagem tem seu pulso adicionado no tempo adequado, de acordo com o atraso que depende também da freqüência de amostragem (visto que estes tempos são quantizados). Assim todos os impulsos que estiverem no alcance N. R a (N+1) R, com onde: c = velocidade do som; = 1/freqüência de amostragem; R=c (11) serão somados juntos de acordo com a amplitude da equação [9]. Isto acaba por inserir um erro de quantização equivalente a mover as imagens, sendo este erro inferior a R/. A remoção deste erro é complexa, e não é justificada visto que na maioria dos casos ele é pouco significativo. Com relação aos recursos computacionais exigidos, para uma taxa de amostragem, o número de pontos da equação [9] cresce linearmente com o aumento do tempo calculado da resposta ao impulso, ao passo que o número de imagens cresce aproximadamente com o cubo deste aumento, aumentando significativamente o tempo de processamento e tornando desejável que a duração calculada esteja bem próxima da mínima necessária para a aplicação desejada. Como exemplo de implementação, está indicado na Figura a resposta ao impulso de um ambiente com dimensões aproximadas de 3,05 x 4,57 x 3,81 metros, considerando 8000 Hz de freqüência de amostragem e β = 0,9 para as paredes e 0,7 para o chão e o teto. Em alguns programas, as dimensões são calculadas tendo com referência R, o que requer algumas conversões para determinação das dimensões, porém permite cálculos sem a determinação da taxa de amostragem. No exemplo da figura, a posição da fonte é (30,100,40) e do receptor é (50,10,60), em termos de R, o que equivale a (1,143; 3,81; 1,54) e (1,905; 0,381;,86) em metros na sala em questão. Figura Resposta ao impulso para uma sala com dimensões 3,05 x 4,57 x 3,81 metros, a fonte em (1,143; 3,81; 1,54) e o receptor em (1,905; 0,381;,86) [metros], considerando β = 0,9 para as paredes e 0,7 para o teto e o chão.

6 4 EXEMPLO DE APLICAÇÃO O modelo das imagens pode ser utilizado em conjunto com processamento digital de sinais para se obter a reverberação da voz ou de outros sons em cômodos pertinentes, como pequenas salas de reunião ou, eventualmente, pequenas salas de aula. A convolução de um sinal de voz (sem reverberação) com a resposta ao impulso obtida para o ambiente gera o sinal de voz reverberante, permitindo análise do resultado com eventual desenvolvimento de dispositivos baseados em processamento digital para melhoria das capacidades acústicas do ambiente ou eliminação de ruídos indesejáveis. Ferramentas já muito utilizadas como a FF podem servir de base para obtenção dos resultados desejados, sem exigir poder computacional exorbitante. Um dos métodos para a obtenção do tempo de reverberação é a utilização da fórmula t E ( t) = k p ( τ ) dτ onde o decaimento energético (E) aparece em função de uma constante de proporcionalidade (k) e da equação [9], sendo mostrado um exemplo na Figura 3. A resposta ao impulso não pode ser truncada antes da maior parte do decaimento para uso deste método. (1) Figura 3 decaimento de energia para a resposta ao impulso da Figura utilizando a equação [1]. 5 MEDIÇÃO DA DISÂNCIA CRÍICA A distância crítica, correspondente ao alcance da reverberação, pode ser calculada através da variância da do logaritmo da resposta em freqüência, ou seja, L( ω) = 0 log[ ω) ] (13) σl = [ L( ω) L( ω)] onde ω) é a transformada de Fourier da equação [9]. Está presente na figura 4 um exemplo da verificação da equação acima, utilizando medidas e o cálculo teórico, considerando modos não correlacionados simultaneamente excitados combinados com a energia direta do som. Para salas com dimensões maiores os resultados são similares.

7 Figura 4 Desvio padrão da resposta espectral para uma sala com dimensões 5,18x3,96x3,05 metros. 6 CONSIDERAÇÕES FINAIS O estudo de ambientes pequenos através do método das imagens, em conjunto com a utilização de processamento digital de sinais pode propiciar o desenvolvimento não só de locais mais apropriados para determinados tipos de sons (voz, música, etc), como também pode permitir a criação de filtros digitais visando a eliminação de ruídos indesejados (como trânsito), podendo-se calibrar os filtros para o ambiente específico em que serão utilizados. Já são presentes fones de ouvido capazes de filtrar digitalmente sons, protegendo os ouvidos do usuário mas permitindo a conversação. Mais desenvolvimento na área de acústica de ambientes pode propiciar equipamentos semelhantes instalados nos mais diversos ambientes de trabalho ou domésticos. 7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 1. Image method for efficiently simulating small-room acoustics, Jont Alen e David Berkley, he Journal of the acoustical society of America, vol. 65, No. 4, Abril de 1979, pp ; Processamento Digital de Sinais, Marcelo de Oliveira Rosa, UFPR, versão 1.0.4, 007.