Método de Imagem para Simulação acustica eficiente em um Pequeno Recinto

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ Departamento de Engenharia Elétrica Curso de Mestrado em Engenharia Elétrica Disciplina: Processamento Digital de Sinais Professor: Dr. Marcelo Rosa Método de Imagem para Simulação acustica eficiente em um Pequeno Recinto Trabalho apresentado a disciplina de Processamento Digital de sinais do curso de Mestrado em Engenharia Elétrica do setor de Tecnologia da Universidade Federal do Paraná. Nome: Fabio Canale Parizoto Curitiba

2 Introdução Métodos de imagem são comumente utilizados para a análise das propriedades acústicas dos recintos. O estudo irá utilizar técnicas de imagem para simulação em computador. A excitação será através de um impulso e será verificada a resposta entre dois pontos de um pequeno recinto retangular. A resposta impulsiva, quando convoluído com algum sinal de entrada, como a fala, simula a reverberação em um recinto do sinal de entrada. Todo o processo é feito em computador, portanto um grande número de parâmetros pode ser estudado para controlar as condições experimentais. A implementação deste modelo será em linguagem de programação Fortran. Em simulações recentes, buscando os efeitos perceptíveis das propriedades de reverberação em um pequeno recinto, com o devido controle, com facilidade de alteração, ambientes acústicos foram introduzidos. Foi decidido utilizar simulação computacional do espaço acústico. O modelo usado é considerado útil em alguns estudos sobre ambientes acústicos. O modelo é elaborado para um recinto retangular, fechado, com uma resposta ao impulso fonte-para-receptor, ou função de transferência, calculada usando método de expansão de imagem no domínio do tempo. Existem inumeras referências para esse tipo de estudo, que descreve certas particularidades, que não é o foco desse trabalho. Iniciaremos com a teoria do método resumidamente. Logo após a parte computacional e concluiremos com alguns exemplos. 2

3 I Modelo de imagem versus modelo normal O modelo de recinto é retangular. A escolha dessa geometria é pelas seguintes razões: 1- A maioria dos lugares em que se aplicam este método é retangular. 2- Esse modelo é mais facil para modelos computacionais 3- A solução de imagem de um recinto retangular fechada se aproxima rapidamente de uma solução exata de equação de onda. O modelo de imagem é escolhido porque estamos interessados na função de transferência ponto-a-ponto do recinto. Para se obter boas respostas transientes, o modelo no domínio do tempo se faz necessário. Um modelo normal de solução para recintos fechados precisa ser calculado com todas as faixas de freqüência de interesse (100Hz 4kHz), acrescidas das correções necessárias para saída nesta faixa. O método de imagem inclui apenas as imagens que contribuem para a resposta ao impulso. (A relação exata entre o modelo normal e o modo de solução pela imagem, para recintos sem perdas, é discutido no apêndice A). Uma informação importante é que no domínio do tempo, cada imagem contribui apenas no impulso com intensidade e atraso conhecidos, enquanto cada situação no modelo normal é um decaimento exponencial que contribui em todo o tempo. Além do mais, enquanto cada imagem tem apenas os parâmetros de atraso e ganho, no modelo normal são necessárias soluções de equações transcendentais para achar a localização do 3

4 pólo mais a resolução de uma função relativamente complexa para achar o ganho. A O modelo de imagem O modelo usado é de um locutor em um recinto como sendo o pontofonte em uma cavidade retangular. Uma única freqüência no ponto da fonte de aceleração no espaço livre emite uma pressão na forma de onda,modelado por: Onde: P = pressão ω = 2πf f = freqüência t = tempo R = X X X = vetor onde se localiza o falante (x, y, z). X = vetor onde se localiza o microfone (x, y, z ). i = -1 c = velocidade do som Quando uma parede rigida esta presente, a parede rigida (vetor normal da velocidade) deve ser satisfeita colocando uma imagem simétrica no lado mais distante da parede. Assim, 4

5 Onde definimos as duas distâncias do microfone para a fonte R-, e para a imagem R+, por: Neste caso a parede foi colocada em x = 0 (note que o sinal nos termos em x de R- e R+). Geralmente para seis paredes a situação torna-se mais complicada, pois cada imagem gera uma imagem de si mesma. A pressão então deve ser escrita como: (5) ± de Onde Rp representa os oito vetores dados pelas oito permutações sobre (6) r é o vetor triplo (n,l,m), e (7) 5

6 Onde (Lx, Ly, Lz) são as dimensões do recinto. A equação (5) é a resposta em freqüência da pressão assumindo paredes rígidas para um ponto-fonte em X = (x, y, z) e um receptor em X = (x, y, z ). Se a equação (5) é a transformada de Fourier, achamos a função resposta impulsiva, (8) A solução é dada pela resposta ao estimulo no ponto-fonte através do impulso, considerando as imagens geradas. Uma interpretação da equação (8) é dada na figura 1, onde mostramos uma parte do espaço de imagem para um trecho bi-dimensional do recinto. Quando a localização da fonte acelerativa (falante) X é excitada, cada ponto de imagem é simultaneamente excitado, criando ondas esféricas de pressão,que se propagam através de cada ponto de imagem. A equação (8) é a solução exata para a equação de onda em um recinto retangular, com paredes rígidas (sem perdas), e deve ser derivada diretamente da solução de modo normal mostrada no apêndice A. 6

7 Figura 1. Uma parte através do espaço de imagem mostra como as imagens da fonte estão espacialmente arranjadas. A caixa em negrito representa o recinto original. O espaço de imagem atual é tri-dimensional. B- Caso de paredes não rígidas Se as paredes do recinto não são rígidas, a solução em termos de pontos de imagem não deve estar longe de estar correta. Um dado precisa dos efeitos de paredes com impedância finita é impossível instantaneamente, desde os efeitos em uma única imagem são um pouco complicados. Contudo vamos continuar assumindo o modelo de ponto de imagem aproximado para paredes não rígidas. Além disso assumimos um ângulo independente de pressão como coeficiente de reflexão da parede, β. Essa presunção é como assumir que a impedância da parede é proporcional a sec (θ), onde θ é o ângulo de incidência da onda plana com respeito à normal da parede. Nós não entendemos a exata interpretação física do que foi assumido. No entanto, nos acreditamos que elas não devem introduzir sérios problemas nos resultados finais sobre condições típicas. Tipicamente, significa que sobre uma faixa de freqüência de 100 Hz a 4 khz, coeficientes de reflexão da parede 7

8 maiores que 0,7, geometrias típicas de escritórios, e onde tanto a fonte quanto o receptor não estão pertos da parede. Muitas, se não todas, as condições acima não são críticas e podem ser aliviadas.nós simplesmente desejamos que os pontos estejam cuidadosamente fora da natureza não exata dos resultados. Os resultados acima assumidos resulta no coeficiente de absorção de energia α para um coeficiente de reflexão uniforme β numa dada parede na forma, (9) O que assumimos é similar para geometrias acústicas e é a mesma coisa que o requerido para o ângulo especular - traçado independente do raio. Nas implementações correntes do modelo não permitimos variações na freqüência nos coeficientes de reflexão. Tanto a dependência do ângulo, quanto a dependência da freqüência podem ser incluídas em nosso programa de computador, mas apenas numa significativa complicação e num processo que deixaria a execução do programa mais lento. Introduzindo os efeitos finitos, ângulo independente da absorção da parede na equação (8) para modificar a resposta ao impulso do recinto, (10) como, Onde Rp é agora expresso em termos da integral de vetor triplo p = (q, j, k) (11) 8

9 Rp como dado pela equação (6) é similar a (11), mas com índices diferentes de (11). Os Beta s são os coeficientes de reflexão de pressão de seis bordas planas, com o subscrito 1 se referindo a paredes adjacentes para coordenar origem (ver figura 1). Subscrito 2 é a parede oposta. A equação 10 foi derivada heuristicamente das considerações geométricas da figura 1. O somatório com o vetor de índice p é usado para indicar três somas, nomeadas cada uma para as três componentes de p = (q,j, k). r = (n,l,m) é uma soma similar. Fisicamente essas somas são sobre uma treliça tridimensional dos pontos. Para p temos oito pontos na treliça e para r, a treliça é infinita. II Implementação do modelo A primeira consideração em uma implementação computacional é que a equação (10) é o método de amostragem espacial. Desse modo, um comportamento aparentemente não físico do modelo na freqüência zero é removido por uma baixa freqüência (0,01 da freqüência de amostragem), filtro passa alta digital. O cálculo da resposta ao impulso é construído sobre um histograma dos pulsos de imagem recebidos em diferentes tempos de retardo. A largura de cada histograma é igual ao período de amostragem T assumido inicialmente, o qual é determinado pela maior freqüência para ser representado. Por exemplo, todas as imagens com largura N R para (N+1) R, onde R=cT (T é o período de amostragem e c a velocidade do som), são somados junto com a amplitude apropriada dada pela equação (10). A escolha da taxa de amostragem é governada pela sua aplicação. Se a fala deve ser estudada em pequenos recintos, uma possível escolha seria T=0,1ms, (freqüência de amostragem de 10 khz; freqüência mais alta de 5 khz). Mas, se o 9

10 tempo de reverberação de ambientes maiores devem ser estudados (e a convolução com a voz não se faz necessária) taxas muito menores podem ser usadas. O tempo de duração para calcular a resposta impulsiva também é considerado. Para uma dada taxa de amostragem, o número de pontos em p(t) cresce linearmente com sua duração, enquanto o tempo computacional (e o número de imagens) cresce aproximadamente com o cubo da duração da resposta. Isso é mostrado na primeira coluna da tabela 1 para nossa implementação em um dado geral, computador Eclipse S/200. (nesta máquina o tempo de computação necessário para cada imagem é em torno de 1,6ms). Os programas atuais em fortran usados são mostrados no apêndice B. Tabela 1 parâmetros computacionais tamanho do recinto (pés) 10 x 15 x 12,5, taxa de amostragem 8 khz. A quantização temporal em uma função impulso computacional causa desconsideração estatística de erros nos tempos de chegada computados para cada pulso de imagem relativo ao tempo de atraso exato dado pela equação (10). Esse erro pode ser pensado como efetivamente movendo cada fonte de imagem por relativo ao receptor. Este efeito pode ser removido, em princípio, pelo uso de pulso limitador de banda da fonte. Dessa maneira, o erro é menor para a maioria (se não todos) dos fins e pode complicar a computação para remover essa aproximação. Devemos estimar que o erro devido para desconsiderar o movimento das imagens pode não ser percebido em uma simulação digital de um experimento de ouvido binaural. 10

11 A sub-rotina SROOM do apêndice B requer como parâmetros o número de pontos desejados da resposta ao impulso (NPTS), a localização da fonte R0, a localização do receptor R, as dimensões do recinto, tudo especificado em termos do comprimento das amostras ( R), e os coeficientes de reflexão de cada uma das seis superfícies das paredes (β). A figura 2 mostra um exemplo da resposta ao impulso obtida para um recinto com dimensões 80 x 120 x 100 com comprimento de amostragem igual ao coeficiente de reflexão da parede de 0,9 (α=0,19) e com coeficientes de reflexão do teto e piso (β c) de 0,7 (α =0,51). X e X' fossem (30, 100, 40) e (50, 10, 60) intervalos de amostragem, respectivamente. Figura 2 típica resposta ao impulso de um recinto de 80 x 120 x 100. O coeficiente de reflexão das paredes é de 0,9, do teto e do piso é de 0,7. X e X foram em (30, 100, 40) e (50, 10, 60) períodos de amostragem. É usualmente conveniente para interpretar os parâmetros do modelo como a verdadeira distância um tanto quanto múltiplos de R. Isto requer uma escolha da taxa de amostragem e conseqüentes conversões que podem ser realizadas na parte 11

12 principal do programa, o qual chama uma sub-rotina do apêndice B. A figura 2 assume uma freqüência de amostragem de 8 khz. Para tal (e assumindo a velocidade o som de 1 ft/ms) as dimensões do recinto são 10' x15' x 12,5'. III Aplicações Nosso modelo de imagem do recinto tem sido aplicado a diversos problemas. Vamos discutir dois exemplos: uma avaliação psicofísica dos efeitos de reverberação do recinto e um estudo das distâncias críticas medidas usando variação da resposta espectral. Também usamos o modelo para testar um processador de sinal destinado a reduzir reverberações percebidas e para estudar problemas associados com inversões matemáticas (filtros inversivos) da função de transferência do recinto. A - Psicofísica da reverberação do recinto Uma vez simulada a resposta ao impulso da do recinto usando o modelo de imagem, os efeitos psicofísicos da reverberação desta simulação na fala podem ser diretamente estudados. Um exemplo reverberante da voz foi produzido por convolução de um exemplo de voz não reverberante com a resposta ao impulso calculada [p(t)]. Isso pode ser feito eficientemente usando o método da transformada direta de Fourier (FFT) para fazer a convolução. A última coluna da tabela 1 mostra a taxa de convolução medida, para vários comprimentos da resposta ao impulso. A taxa de convolução aumenta apenas como (onde N é a duração da resposta do recinto no período de amostragem T) então grandes respostas impulsivas podem ser convoluídas com a voz eficientemente. Por exemplo, para convoluir (filtrar) um segundo de fala, amostrados em 8 khz, com 256ms de duração de resposta ao impulso (2048 pontos) requer 15s de computação. 12

13 A velocidade de processamento torna viáveis os estudos psicofísicos multivariados. Facilidade de modificação e controle perfeito dos parâmetros do recinto evitam problemas os quais dificultaram experimentos no passado. Os experimentos atuais usam 16 tipos diferentes de recintos simulados (respostas ao impulso) convoluídas com 10 diferentes frases faladas por 4 diferentes locutores. Isto foi descoberto para que recintos experimentais fossem perceptivelmente bem caracterizados por suas variações espectrais [equação (14)] e pelo tempo de reverberação. Esta última medida, tempo de reverberação, merece ser discutida. Dadas as respostas impulsivas, o tempo de reverberação deve ser estimado em número de vias. Um método é usar uma modificação da integral do método tone-burst, (12) Onde E(t) é o decrescimo médio da energia, k é uma constante de proporcionalidade, e p(t) é a pressão da resposta ao impulso calculada pela equação (10). Para casos onde a resposta ao impulso foi truncada antes da maioria dos decaimentos serem pegos, podem ocorrer erros. Esses erros geralmente são óbvios quando se plota E(t). Outra aproximação é simplesmente medir o curto tempo de decaimento da energia do impulso de si mesmo (usando simulação de níveis de gravação). Para decaimentos exponenciais ou não exponenciais, ambos os métodos devem dar aproximadamente o mesmo valor para o tempo de reverberação. Exemplos de plotagens de E(t) para ambos os métodos são mostrados nas figuras 3(a) e 3(b) usando a resposta ao impulso da figura 2. Experiências indicam que a equação (12) dá os resultados mais satisfatórios. Empiricamente achamos o cálculo dos tempos de 13

14 reverberação, para um número de ambientes simulados, de acordo com a fórmula de Eyring sobre uma ampla faixa de valores de β. gura 3 (a) Curva de decaimento da energia para a resposta ao impulso da figura 2 usando o método de integração de Schroeder. (b) Impulso da curva de decaimento de energia para simulação de níveis de gravação. Fi Nos experimentos discutidos acima descobrimos a relação monotônica entre / c (figura 4) a distância falante-microfone quando normalizada pela distância crítica do recinto (distância na qual a energia reverberante é igual a energia direta do som), o tempo de reverberação, e as preferências psicofísicas para a fala resultante. 14

15 Figura 4 Comparação do desvio teórico rms da pressão em db para o significado de pressão em db como função direta da taxa de energia reverberante (a) para um recinto de 17 x 13 x 10 pés e (b) 47 x 31 x 15 pés. B Medida de distância crítica Um novo método tem sido proposto para medir a distância crítica (ou raio de reverberação) em recintos. Nesta técnica a medição é feita do logaritmo da variação de resposta em freqüência σl definida como, (13) (14) Dada a função de transferência do recinto P(ω) [transformada de Fourier da equação (10)] para diversos espaços microfone-fonte. Os valores medidos são montados pela curva teórica de σl baseada em suposições simultâneas de excitação, 15

16 não correlata, modo normal, combinada com um cálculo direto da energia do som. O resultado ajustado dá uma precisão no valor da distância crítica do recinto. O novo método foi intensamente estudado usando o método de imagem sendo aplicado com sucesso a recintos reais. Desde que energia direta e reverberante sejam conhecidas no modelo computacional, uma comparação pode ser facilmente feita com a teoria. O resultado do modelo mostra excelente concordância com o cálculo teórico visto nas figuras 4(a) e 4(b). IV Síntese e discussão O método de simulação para pequenos recintos baseado numa expansão aproximada de imagem para ambientes retangulares com paredes não rígidas foi discutido. O método é simples, de fácil implementação e eficiente para simulação em computador. Diversos exemplos de uso foram discutidos. Esse estudo é um pouco antigo, tendo alguns anos. Atualmente existem outros inumeros testes para realizar a mesma analise. Um dos mais conhecidos é o Método Hibrido para Simulação de Acusticas de Salas. Esse método possui algumas semelhanças com o estudo em questão. A diferença é que a fonte é dividida em três componentes. O método também é todo computacional e existe o software RR3 que faz os cálculos simulando o método, sendo necessário somente a entrada da fonte. Apêndice A Queremos derivar a solução direta de imagem de parede não rígida da expansão de modo normal para ambientes retangulares. A função de resposta em 16

17 freqüência (função de Green) para a pressão P(ω) em ambiente é dada pela solução da equação de Helmholtz dirigida por um único ponto de freqüência da fonte. (A1) Onde ω é a freqüência e c é a velocidade do som. A solução para esta equação, assumindo perímetro rígido, e dada por (A2) recinto, Onde k = ω/c, r = (n,l,m) indica uma soma tridimensional, V é o volume do (A3) (A4) Onde os L s são as dimensões do recinto. obtemos Usando a expansão exponencial, multiplicando os termos da equação (A2), (A5) Onde Rp representa os oito vetores [dado pela equação (6)] (A6) 17

18 Usando a propriedade da função delata em kx, ky e kz (A7) Devemos reescrever a equação (A5) na forma integral (A8) Pela análise da série de Fourier (A9) Então [com equações análogas para (A9) para y e z] (A10) Onde RT é o vetor [dado pela equação (7)] (A11) Cada integral tripla é apenas a expansão de onda plana para um ponto fonte em espaço livre desde (A12) Finalmente, usando a equação (A12), a equação (A10) torna-se (A13) 18

19 Pegando a transformada inversa de Fourier da equação (A13), a estrutura do eco torna-se explícita (A14) A qual é a mesma que a equação (8), como desejado. Apêndice B 19

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21 Bibliografia [1]. Image method for efficiently simulating small-room acoustics, Jont Allen e David Berkley, The journal of the acoustical society of America, vol. 64, nº 4, 1979, pp [2]. Apostila da Disciplina: Processamento Digitais de Sinal.-versão Professor D. Marcelo Rosa