IV - Equações de Saint-Venant

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1 IV - Euações de aint-venant O escoamento da áua sobre o solo é um processo distribuído, porue o caudal, velocidade e altura da lâmina de áua variam no tempo e no espaço. O cálculo destas variáveis pode ser eectuado através das euações de aint-venant. Estas são euações dierenciais às derivadas parciais, ue permitem o cálculo do caudal e da altura da lâmina de áua como unções do tempo e do espaço. dedução das euações de aint-venant baseia-se nos seuintes pressupostos: - O escoamento é unidimensional, a proundidade e a velocidade variam só na direcção lonitudinal do canal. Isto implica ue a velocidade é constante e a superície da áua é horizontal numa secção perpendicular ao eio lonitudinal do canal; - O escoamento varia radualmente ao lono do canal, podendo-se desprezar as acelerações verticais e considerar a distribuição de pressões seundo a vertical hidrostática; - O eio lonitudinal do canal é aproimadamente uma linha recta; - O declive do undo é peueno e o undo não é móvel, ou seja os eeitos do destacamento e deposição não inluenciam o escoamento; - Os coeicientes de ruosidade para o reime permanente e uniorme são aplicáveis, sendo válidas as euações de Mannin ou Chéz para os uantiicar. - O luido é incompressível e com densidade constante. IV.1. Euação da continuidade Considerando um volume de controlo elementar, com um comprimento io d, conorme esuematizado nas iuras IV.1.1, IV.1. e IV.1.3. Universidade de Évora - Mestrado em Enenharia do olo e da Áua 47

2 Linha de eneria Capítulo IV - Euações de aint-venant h z 1 Nível de reerência iura IV Volume de controlo (Peril lonitudinal) iura IV.1. - Volume de controlo (Planta) B dw w h z iura IV Volume de controlo (Peril transversal) 48 Universidade de Évora - Mestrado em Enenharia do olo e da Áua

3 O caudal ue entra no volume de controlo é a soma do caudal ue entra pela secção de montante com o caudal de percurso ue entra lateralmente. O caudal é dado em m 3 /s/m assim o caudal total de percurso é dado por: d então a entrada de massa para o volume de controlo é dada por: entrada V d ( d) (IV.1.1) (IV.1.) O sinal neativo aparece porue os caudais de entrada são considerados neativos no teorema de transporte de Renolds. massa ue sai do volume é dada por: saida V d d (IV.1.3) em ue: (IV.1.4) representa a variação do caudal no volume de controlo ao lono da distância. O volume do elemento é dado por: d (IV.1.5) sendo a área média da secção transversal. ssim a variação da massa armazenada no volume de controlo é dada por: d dt d ( d) t saída de massa do volume de controlo é calculada por: ( d) t ( d) d (IV.1.6) (IV.1.7) Ou seja a soma da massa ue sai com a variação no interior volume de controlo é iual á massa ue entra. dividida por ssumindo ue a densidade do luido é constante, a euação IV.1.7 pode ser d, de onde se obtém a euação da conservação da massa: t (IV.1.8) Universidade de Évora - Mestrado em Enenharia do olo e da Áua 49

4 IV.. Euação da conservação da uantidade de movimento seunda euação de Newton: P (IV..1) t em ue: orça; P uantidade de movimento; t tempo. pode ser escrita na orma do teorema de transporte de Renolds: d V d V V d dt (IV..) euação anterior mostra ue o somatório das orças aplicadas na massa de luido contida no interior do volume de controlo é iual á variação da uantidade de movimento no interior do volume de controlo mais a uantidade de movimento ue sai do reerido volume. s orças ue actuam sobre o luido contido no volume de controlo são: e w p orça ravitica; orça de atrito com o undo e laterais do volume de controlo; orça de contracção ou epansão causada por variações bruscas da eometria do canal; orça do vento na superície do luido; dierença de pressão. componente da orça ravitica ue actua sobre o luido no interior do volume de controlo seundo a direcção do escoamento é determinada como o produto do peso volúmico pelo volume do luido pelo seno do ânulo ue o undo az com a horizontal. Para inclinações peuenas, o seno é aproimadamente iual à tanente: d sinθ d (IV..3) orça de atrito causada pelo esorço transverso ao lono do undo e lados do volume de controlo é dada por: τ P d (IV..4) sendo: 5 Universidade de Évora - Mestrado em Enenharia do olo e da Áua

5 τ P d tensão tanencial ou de arrastamento; perímetro molhado; comprimento do volume de controlo. tensão tanencial ou de arrastamento τ é calculada por: τ γ R (IV..5) sendo: γ peso volúmico do luido; R raio hidráulico; declive da linha de eneria. como o peso volúmico é dado por: γ (IV..6) e o raio hidráulico deine-se como: R P substituindo na euação IV..5, a tensão tanencial deine-se como: τ P assim a orça resultante devido ao atrito é calculada por: (IV..7) (IV..8) d (IV..9) Epansões ou contracções bruscas do canal provocam perdas de eneria devido a remoinhos. Essas perdas são proporcionais à variação da eneria cinética ao lono do comprimento do canal: E c V (IV..1) s orças ue causam essa perda de cara são calculadas por: e d (IV..11) e sendo e a perda de cara devida à epansão ou contracção. e é calculado pela seuinte epressão: Universidade de Évora - Mestrado em Enenharia do olo e da Áua 51

6 e Ke (IV..1) em ue: K e actor de epansão ou contracção, neativo para epansões e positivo para contracções; O eeito do vento é causado pela ricção entre o ar e a superície livre do volume de controlo e é dado por: sendo: w τ B d (IV..13) w τw tensão tanencial entre o ar e a superície livre do volume de controlo; B larura supericial da secção transversal. tensão tanencial numa ronteira de um luido pode ser escrita como: sendo: τ w V r C C Vr V r velocidade relativa entre o luido e o ar; coeiciente da tensão tanencial entre o luido e o ar; Como a velocidade média do escoamento é dada por: U (IV..14) (IV..15) e desinando a velocidade do vento por V w, a velocidade relativa entre o ao e o luido é calculada por: em ue: V r ϖ Vw cos( ϖ) (IV..16) é o ânulo ormado entre a direcção do vento e a direcção do escoamento; 5 Universidade de Évora - Mestrado em Enenharia do olo e da Áua

7 ssim a orça resultante da acção do vento sobre o luido contido no volume de controlo é dada por: w C V r V r B d (IV..17) chamando: resulta: W w C Vr Vr (IV..18) W B d (IV..19) resultante devido à dierença de pressões hidrostáticas entre a secção de montante a e secção de jusante do volume de controlo e à contracção ou epansão do canal, é determinada por: sendo: (IV..) p pm pj pl pm pj pl resultante da pressão hidrostática actuante na secção de montante; resultante da pressão hidrostática actuante na secção de jusante; resultante da pressão hidrostática seundo a direcção do escoamento nas laterais do volume de controlo; De acordo com a iura IV.1.3, um elemento de altura dw a uma altura w medida a partir do undo do canal e a uma proundidade -w, está sujeito a uma pressão hidrostática: ( w) e conseuentemente uma orça hidrostática dada por: (IV..1) ( w) b dw (IV..) dada por: ssim, a orça hidrostática actuante na secção de montante do volume de controlo é pm ( w) b dw (IV..3) Conseuentemente a resultante das pressões hidrostáticas actuantes na secção de jusante do volume de controlo é dada por: pj pm pm d (IV..4) Universidade de Évora - Mestrado em Enenharia do olo e da Áua 53

8 plicando a rera de Leibnitz para a primitivação de um interal, vem: pm pm ( w) b b dw ( w) b dw dw (IV..5) (IV..6) Como a área da secção transversal do escoamento é dada por: b dw (IV..7) orça resultante da pressão hidrostática actuante nas laterais do volume de controlo está relacionada com a variação da larura do canal: b ao lono do comprimento do volume de controlo d, e é dada por: pl b ( w) dw d ubstituindo a euação IV..4 na euação IV.., obtem-se: (IV..8) (IV..9) pm p pm pm d pl (IV..3) pm p d pb (IV..31) ubstituindo IV..6 e IV..9 em IV..31, vem: p d (IV..3) O somatório das orças actuantes no luido contido no volume de controlo, é dada por: W d B d d d e d (IV..33) Os dois termos do lado direito da euação IV..33, ª lei de Newton escrita na orma do teorema de transporte de Renolds, representam a variação e a saída da uantidade de movimento no volume de controlo respectivamente. 54 Universidade de Évora - Mestrado em Enenharia do olo e da Áua

9 entrada de massa no volume de controlo é dada por: ( d) (IV..34) uantidade de movimento associada é: [ ( d) ] V β (..35) sendo β um actor de correcção da uantidade de movimento ou coeiciente de Boussines ue toma em consideração a distribuição de velocidades na secção transversal: 1 β v d (IV..36) V eundo Chow 1959 e Henderson 1966, os valores de β variam entre 1.1 para canais prismáticos e 1.33 para canais naturais com marens de inundação. ssim pode-se escrever: entrada V V d ( β V βv d) E a uantidade de movimento ue sai do volume de controlo é dada por: saida V V d β V ( β V ) d (IV..37) (IV..38) O balanço da uantidade de movimento é: sup. V V d [ β V β v d] βv ( βv ) d (IV..39) simpliicando: V V d βv ( βv ) d (IV..4) Como o volume do elemento é: d então a sua uantidade de movimento é: dv d (IV..41) (IV..4) ssim a variação da uantidade de movimento armazenada no volume de controlo em ordem ao tempo é: Universidade de Évora - Mestrado em Enenharia do olo e da Áua 55

10 Universidade de Évora - Mestrado em Enenharia do olo e da Áua 56 d t d V dt d (IV..43) ubstituindo as orças actuantes no luido contido no volume de controlo e os termos da uantidade de movimento na euação IV.., obtém-se: ( ) dt t d V v d d B W d d d e β β (IV..44) Dividindo toda a euação por: d e substituindo V por: obtém-se a euação da uantidade de movimento na sua orma conservativa: β β β e W v t (..45) dmitindo ue o caudal de percurso entra no canal numa direcção perpendicular à direcção do escoamento: v (..46) desprezando o eeito do vento: W (..47) e dividindo por, obtém-se: ( ) 1 1 t (..48) Resumindo as euações de aint-venant são duas euações dierenciais às derivadas parciais, uma é a euação da continuidade (IV.1.18) e outra a euação da uantidade de movimento (IV..48). Os termos da euação IV..48 têm os seuintes siniicados:

11 1 t 1 representa a aceleração local, ue descreve a variação da uantidade de movimento devida a variação da velocidade em ordem ao tempo; representa a aceleração convectiva e descreve a variação da uantidade de movimento devida a uma mudança de velocidade do escoamento ao lono do canal; representa a dierença das resultantes das pressões hidrostáticas actuantes na ronteira do volume de controlo e é proporcional à variação da proundidade do escoamento ao lono do canal; representa a acção da ravidade e é proporcional ao declive do undo do canal; representa a acção do atrito com o undo e as marens do canal; Os termos da aceleração local e convectiva representam os eeitos da acção de orças inerciais no escoamento. uando o caudal ou a altura da lâmina de áua muda num ponto num escoamento lento, os eeitos dessa perturbação propaam-se para montante. Esses eeitos são considerados no modelo distribuído pelos termos da aceleração local, convectiva ou dierença de pressão. Utilizando um modelo sintético é impossível simular esses eeitos, pois estes modelos não possuem meios de simular este tipo de perturbações. Eistem vários modelos distribuídos ue têm como base as euações de aint-venant, como por eemplo o ull Euations Model, ranz, 1997 ou o LDWV, read, Empreando a euação da continuidade e considerando todos os termos da euação da uantidade de movimento, obtém-se o modelo de OND DINÂMIC. Universidade de Évora - Mestrado em Enenharia do olo e da Áua 57

12 e se desprezar os termos inerciais da euação de uantidade de movimento obtém-se o modelo de INERCI NUL. Não considerando os termos inerciais nem os termos da dierença de pressão na euação da uantidade de movimento obtém-se o modelo de OND CINEMTIC. Este modelo é aplicável uando a lâmina de áua tem espessura reduzida, as orças mais importantes aplicadas ao luido são a ravidade e o atrito e a velocidade do escoamento não varia consideravelmente, sendo a aceleração reduzida. 58 Universidade de Évora - Mestrado em Enenharia do olo e da Áua