DETERMINAÇÃO DA ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE

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1 TRABALHO PRÁTICO Nº 1 - QUÍMICA E QUÍMICA INDUSTRIAL DETERMINAÇÃO DA ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE Objectivo - Neste trabalho pretende-se determinar o valor local da aceleração da ravidade. Para o efeito realizam-se duas experiências que reproduzem situações estudadas na disciplina de Física Geral. Uma delas baseia-se na utilização de um plano inclinado. Recorre-se a uma mesa de ar que permite trabalhar em condições de atrito desprezável. A outra baseia-se na utilização de um pêndulo ravítico simples. 1. Introdução 1.1. Corpo assente sobre um plano inclinado Se o atrito for desprezável, um corpo colocado (sem velocidade inicial) num plano de inclinação θ iniciará um movimento de descida ao lono do plano, uma vez que existe uma componente da força ravítica (peso, P r ) paralela ao plano F r (ver Fi.1). N r F r r r r P = F + F Fiura 1 Para um corpo num plano inclinado, o vector do peso do corpo P r pode ser representado como soma de duas componentes, F r (paralela à superfície inclinada) e F r (perpendicular a esta). A componente perpendicular provoca a reacção do plano N r no sentido contrário e iual em módulo a F r r r de modo que F + N = 0. A componente paralela causa o movimento do corpo ao lono do F r plano. (Consideramos aqui que o atrito não existe.) θ P r r θ De acordo com a ª lei de Newton, o movimento do corpo efectua-se com uma aceleração constante a r cuja randeza é dada por F P senθ a = = (1) m m sendo θ o ânulo de inclinação do plano e m a massa do corpo em movimento. Ora, como da P definição de peso de um corpo de massa m se tem =, sendo a aceleração da ravidade, então m é possível, medido o valor de a, determinar o valor de. De facto, substituindo na equação (1), tem-se: a = senθ () Se o corpo partir do repouso (velocidade inicial nula) e os tempos forem medidos a partir do instante inicial do movimento (t 0 = 0), a sua velocidade é dada por v ( t) = at e, tomando como oriem do movimento a posição inicial do corpo (x 0 = 0), a lei do movimento é: Departamento de Física da FCTUC 1/7

2 1 Assim, efectuando muitas medidas do tempo t asto pelo corpo para se deslocar entre o mesmo par de pontos da trajectória (à distância x um do outro), poder-se-á calcular a aceleração do corpo 1 e determinar a lei do seu movimento uniformemente acelerado: x ( t) = at. Por outro lado, conhecida a aceleração a, facilmente se calcula a aceleração da ravidade (eq. ). x ( t) = at (3) 1.. Pêndulo simples Conforme a um livro de texto recomendado para as disciplinas de Física Geral, "um pêndulo simples é constituído é constituído por um corpo de massa m, suspenso de um ponto fixo por um fio de comprimento l, que se supõe inextensível e de massa desprezável" [1] (fiura ). Quando é afastado da posição de equilíbrio e liberto, o pêndulo fica a oscilar no plano vertical, em torno do ponto O de fixação do fio, apenas por acção da ravidade. Na fiura mostra-se que o corpo está sujeito a duas forças aplicadas no seu centro de massa: o peso P r e a tensão do fio T r. Fiura {Reproduzida da pá. 110 da ref. [1]} Diarama de corpo livre do corpo suspenso. Qualquer posição D pode ser caracterizada pelo ânulo θ(t). O corpo suspenso executa um movimento de rotação em torno de O, movimento esse cuja aceleração tem as componentes tanencial e centrípeta. A componente tanencial relaciona-se com a projecção, na direcção da tanente à trajectória, da resultante das forças aplicadas. No caso da fiura, tem-se: sin d s d θ d θ P θ = mat = m m sinθ = l + sinθ = 0 dt dt dt l Para oscilações de pequena amplitude tem-se sin θ θ, e a última equação pode aproximar-se a: d θ + θ = 0 (4) dt l A equação (4) mostra que para pequenas oscilações o movimento do pêndulo é harmónico simples. Com base na equação enérica deste tipo de movimento, pode notar-se que: = k = ω, l Departamento de Física da FCTUC /7

3 pelo que ω = é a frequência anular do movimento. A relação entre esta e o período é: ω = π l T pelo que se tem T π =, ou ainda ω T l 4π = π e também T = l (5). A equação (5) mostra que, medindo o período de oscilação de um pêndulo que execute pequenas oscilações, é possível determinar o valor da aceleração da ravidade no local da experiência. Por outro lado, a equação evidencia como o período de oscilação depende do comprimento do fio.. Experiência I - Mesa de ar.1. Material e métodos Nesta parte do trabalho vai usar uma mesa de ar, um cronómetro, uma fita métrica, cunhas de madeira e discos de massa diferente. As medidas de tempo serão efectuadas com um cronómetro manual, baseando-se a precisão das medidas, por um lado, no sentido de visão e nos reflexos do experimentador e, por outro, na precisão do próprio cronómetro. Os objectos que deslizarão pelo plano têm a forma de discos circulares. O atrito entre o disco e o plano inclinado é eliminado pela criação de uma camada de ar entre as duas superfícies. O ar é forçado a sair através de pequenos orifícios existentes no tampo da mesa em intervalos reulares, sendo o peso do disco suportado pela pressão do ar... Execução experimental 1. Dê à mesa uma inclinação da ordem de 6º, a qual deverá confirmar por medições que reistará na folha de dados. Tome nota do valor exacto do ânulo. Meça também a distância entre a primeira marca e o fundo da mesa e reiste-a na folha de dados. Reiste a imprecisão desta última medida. Antes de liar o compressor de ar, comece por verificar que o atrito entre os discos e a superfície da mesa de ar é suficiente para não permitir o movimento de queda sem velocidade inicial. Liue o compressor de ar e verifique que os discos que tinha sobre a mesa se movimentaram, descendo pelo plano inclinado. Seurando um disco em cima da mesa, verifique a existência de uma camada de ar que elimina o atrito anteriormente existente. 3. Escolha o disco mais leve e larue-o da primeira marca da mesa tentando não imprimir qualquer velocidade inicial. Nesse mesmo instante comece a contaem com o cronómetro. Quando o disco chear à última marca pare o cronómetro e reiste a leitura do tempo. 4. Repita a medida descrita no ponto anterior até obter 00 resultados. Reiste cada um dos valores na tabela de reisto de dados. Recomenda-se, para tornar a experiência mais realista, que os dados não sejam seleccionados; rejeite apenas as medidas em que considere ter havido desvio da trajectória pretendida ou erro de funcionamento do cronómetro. Não deverão ser feitas tentativas no sentido de melhorar os resultados, para não viciar o processo. Departamento de Física da FCTUC 3/7

4 .3. Tratamento dos dados 1. O tratamento de dados deve ser feito no ficheiro Excel P1_Historama.xls disponível no Material de Apoio na páina da cadeira. Faça download do ficheiro para o seu computador.. Preencher a coluna B com os seus valores do tempo medido (marcado a amarelo). 3. Calcular a média, <t>, e o desvio padrão da distribuição dos valores medidos, t (células marcadas a amarelo). Para o cálculo da média pode usar a função do Excel AVERAGE(<dados>), e para o desvio padrão a função STDEV(<dados>). Na versão portuuesa, as respectivas funções são MEDIA e DESVPAD. Para inserir uma função numa célula, escreve-se nesta, por exemplo, =MEDIA(B13:B1), ou =DESVPAD(B13:B1), etc. Neste exemplo, B13:B1 indica as células em que se encontram os dados, i.e. todas as células entre B13 e B1. 4. Depois de introduzir os seus dados, vai ser automaticamente construido um historama de frequências que indicará quantas vezes aparecem nos dados os valores compreendidos num dado intervalo do tempo (ver Fi.3). Nos campos marcados a azul pode alterar o início da escala do tempo e a larura dos intervalos do historama. 5. Varie os parâmetros da curva de Gauss (nas cálulas marcadas a verde) para ajustar esta à distribuição dos valores experimentais. Compare estes valores com <t> e t calculados na alínea 3 e comente. 6. Imprima a primeira folha do Excel com os valores de <t>, t, os parâmetros da curva de Gauss e os ráficos e junte ao relatório. 7. Determina a incerteza na média do tempo, lembrando que esta é estimada como = t N, onde N é o número de medidas. Deste modo, a melhor estimativa do tempo de descida obtido na sua experiência é < t > ±. Represente-a no relatório. 8. A incerteza na medição do tempo afecta a precisão com que é calculada a aceleração. Como s a =, e de acordo com a rera de propaação dos erros < > < t > = da a, temos d < t > t 4s a = ou a =. 3 < t > a < t > 9. A incerteza em a propaa-se também para a incerteza em : = a (aqui desprezamos a a incerteza na determinação do ânulo de inclinação). Calcule a aceleração usando a equação () e a incerteza experimental desta ±. 70 Fiura 3. Exemplo da determinação do tempo mais provável de queda < t > e respectivo erro, a partir de um historama. Número de contaens = 0.115s < t >=1.15s Tempo de queda (s) Departamento de Física da FCTUC 4/7

5 3. Experiência - Pêndulo simples 3.1. Material e métodos Nesta parte do trabalho vai usar um pêndulo simples, um cronómetro e uma fita métrica. Note que o pêndulo é formado por uma massa suspensa de um fio, cujo comprimento livre pode ser ajustado através de um sistema deslocável. Para calcular a aceleração da ravidade, vai-se relacionar o comprimento l do pêndulo com o período de oscilação - T. A fim de minimizar os erros experimentais vão efectuar-se várias medidas. 3.. Execução experimental 1. A aplicação da teoria exposta no 1. considera que o comprimento do pêndulo deve incluir, além do comprimento do fio, a distância ao centro de massa da massa suspensa. É a situação esquematizada na fiura 3. Comece por medir a distância r massa e anote-a na folha de reisto de dados. Esse valor tem de ser adicionado a cada comprimento L fio para obtenção do comprimento do pêndulo - l.. A realização da experiência consiste no reisto, com o cronómetro, do período de oscilação do pêndulo, para diferentes comprimentos do fio. Comece por medir o comprimento livre do fio e anote-o na folha de reisto de dados. De seuida desloque a massa suspensa de um pequeno ânulo relativamente à vertical e liberte-a, deixando-a oscilar. Com o cronómetro reiste o tempo de oscilação que a massa demora a ir 10 vezes a uma posição extrema (10 períodos). Reiste os valores na tabela da folha de dados. 3. Repita o procedimento anterior para mais 4 valores decrescentes de comprimento do fio. Use o sistema deslocável sobre o suporte vertical para ajustar cada um desses comprimentos livres do fio Tratamento dos dados 1. Calcule os valores de (<T>) para cada uma das linhas da tabela de reisto de valores e cálculos intermédios. Calcule também os valores de l para a mesma tabela. Fiura 3. O comprimento do pêndulo é a soma do comprimento do fio de suspensão com a posição do centro de massa. 4π. Note que a representação ráfica da equação (5) T = l se deve traduzir por uma recta, cujo declive é proporcional ao inverso da aceleração da ravidade. Use a folha de cálculo Excel para efectuar os cálculos que conduzem ao valor de. Represente em ráfico T como função de l. Inclua este ráfico em anexo ao seu relatório. Departamento de Física da FCTUC 5/7

6 4. Relatório Elabore um relatório do trabalho efectuado, seuindo as directivas que lhe foram propostas. No ponto de análise dos resultados obtidos deve começar por apresentar os valores medidos de em cada uma das experiências. De seuida, compare esses valores com o valor esperado, de = 9,8 m.s *. As possíveis diferenças são devidas a erros experimentais que advêem, para lá do experimentador (!), da dificuldade de se reproduzirem em Laboratório as condições ideais. Procure identificar esses erros em cada uma das duas experiências. Bibliorafia [1] M.M.R.R. Costa e M.J.B.M. de Almeida, Fundamentos de Física, ª edição, Coimbra, Livraria Almedina (004). [] Paul Tipler, Física, Editora Guanabara-Kooan, 4ª Edição (000). [3] M. Alonso e E. Finn, Física, Addison-Wesley Iberoamericana (1999) [4] Introdução à análise de dados nas medidas de randezas físicas, Coimbra, Departamento de Física da Universidade (005/06). [5] M.C. Abreu, L. Matias e L.F. Peralta, Física Experimental - Uma introdução, Lisboa, Editorial Presença (1994). * Em Lisboa obteve-se experimentalmente para a aceleração da ravidade, ao nível do mar, o valor de = (9, ± 0, ) m.s - Departamento de Física da FCTUC 6/7

7 P1 - DETERMINAÇÃO DA ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE REGISTO DE DADOS e aluns CÁLCULOS Visto do Professor 1. Mesa de ar 1. Comprimento da mesa: m e desnível da mesa: m θ = º Distância entre a primeira marca e o fundo da mesa - x(t) = ± m 4. Tempos de queda do disco [s]:. Pêndulo simples 1. Distância ao centro de massa - r massa = m.. Reisto de valores e cálculos intermédios: Tempo de oscilação - t (s) Período <T> = t/10 (s) (<T>) Comprimento do fio - L (m) Comprimento do pêndulo l = L + r massa (m) Departamento de Física da FCTUC 7/7