Técnicas Laboratoriais de Física Ano Lectivo 2010/11. DETERMINAÇÃO DA ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE Experiência 1

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1 Técnicas Laboratoriais de Física Ano Lectivo 010/11 TRABALHO PRÁTICO Nº 1 DETERMINAÇÃO DA ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE Experiência 1 Objectivo - Determinação do valor local da aceleração da gravidade utilizando um pêndulo gravítico simples. 1. Introdução Um pêndulo simples é um sistema constituído por um corpo de massa m, suspenso de um ponto fixo por um fio de comprimento l, que se supõe inextensível e de massa desprezável (Figura 1). Quando é afastado da posição de equilíbrio e liberto, o pêndulo fica a oscilar no plano vertical, em torno do ponto O de fixação do fio, apenas por acção da gravidade. Na figura 1 mostra-se que o corpo está sujeito a duas forças aplicadas no seu centro de massa: o peso P e a tensão do fio T. Figura 1 {Reproduzida da pág. 110 da ref. [5]} Diagrama de corpo livre do corpo suspenso. Qualquer posição D pode ser caracterizada pelo ângulo. O corpo suspenso executa um movimento de rotação em torno de O, sendo possível definirmos a aceleração do movimento em termos das suas componentes tangencial e centrípeta. A componente tangencial da aceleração pode relacionar-se com a projecção da resultante das forças aplicadas ( P e T ) na direcção da tangente à trajectória (direcção X na figura 1). Nesse caso, considerando que o arco s e o correspondente ângulo estão relacionados por s = ltem-se: P sin ma t d s m dt d mg sin m dt d g sin 0 dt Para oscilações de pequena amplitude sin e a última equação pode aproximar-se a: d g 0 dt (1) Departamento de Física da FCTUC 1/7

2 Técnicas Laboratoriais de Física Ano Lectivo 010/11 A equação (1) mostra que, para pequenas oscilações, o movimento do pêndulo corresponde a um movimento harmónico simples, cuja equação genérica se escreve A sin t, () onde é a frequência angular do movimento e é a fase no instante inicial. Derivando a eq. () duas vezes em ordem ao tempo, obtém-se: d 0 dt. (3) g Da comparação entre (1) e (3) vem e, tendo em conta a relação entre e o período, obtém-se T T. Esta relação mostra que, medindo o período de oscilação de g um pêndulo que execute pequenas oscilações e tendo em conta o comprimento do pêndulo, é possível determinar o valor da aceleração da gravidade no local da experiência: g T 4. (4). Material necessário Para a realização deste trabalho vai usar um pêndulo simples, um cronómetro, uma fita métrica e uma craveira. O pêndulo é formado por uma massa suspensa de um fio e o comprimento desse fio pode ser ajustado através de um sistema deslocável. 3. Execução experimental Notas importantes (Salientam-se nos parágrafos seguintes, alguns aspectos que foram discutidos nas aulas e estão presentes em documentos de apoio desta disciplina; estas notas aparecerão apenas em alguns dos guiões dos trabalhos práticos que serão executados.) i) Comece por reparar bem no sistema experimental e, em particular, nos instrumentos de medida que tem à sua disposição para a realização deste trabalho: como devem ser manuseados, que escalas apresentam, qual a incerteza que afectará cada medida que realizar com esses instrumentos... Não se esqueça de anotar todas as informações no seu logbook. Em geral, um esquema do sistema experimental e as características dos instrumentos a utilizar são um bom ponto de partida. ii) Se é a primeira vez que utiliza uma craveira ou se não se lembra bem de como funciona, dê particular atenção ao seu manuseamento. Comece por se treinar medindo alguma dimensão de pequenos objectos que tenha ao seu dispor. Não se esqueça da incerteza que lhe pareça razoável associar a cada medida. [Consulte o apêndice, no final deste guião.] Departamento de Física da FCTUC /7

3 Técnicas Laboratoriais de Física Ano Lectivo 010/11 iii) Como vai utilizar um cronómetro, tenha em conta que o tempo que leva a ligar e a desligar o cronómetro está relacionado não só com as características do aparelho mas também com os reflexos do operador. Ligue e desligue o cronómetro várias vezes e faça uma estimativa da incerteza que afecta qualquer medida a) se não tiver em conta e b) se tiver em conta o tempo gasto no acto de ligar e desligar o cronómetro. Esta última incerteza parece-lhe ser de tipo aleatório ou sistemático? iv) Quando começar a recolher os dados experimentais necessários à realização do trabalho, não faça as medidas todas de uma vez e os cálculos apenas no final. Depois da primeira ou segunda medida, faça uns cálculos rápidos e veja se os dados obtidos conduzem a resultados aceitáveis. Se tal não acontecer, algo está errado e é necessário detectar e corrigir o problema antes de continuar. v) À medida que for obtendo os dados experimentais não caia na tentação de os escrever em folhas soltas para depois os passar a limpo para o logbook. Deve utilizar directa e somente o seu logbook. Por vezes dá jeito organizar uma tabela e ir introduzindo os valores experimentais à medida que os vai obtendo, mas tal não é indispensável e fica ao seu critério. O que importa é que fique claro no seu logbook que grandezas físicas estão a ser medidas, quais os valores obtidos, qual a incerteza associada a cada valor e quais as unidades em que essa informação vem expressa. Quer pegue nos dados registados no dia seguinte, quer daí a um mês, deve ser fácil reler o logbook e entender bem o que mediu, em que condições e que resultados obteve. vi) Quando várias medidas feitas nas mesmas condições vêm afectadas pela mesma incerteza experimental, não precisa de escrever a incerteza todas as vezes que regista o valor medido. Basta que fique claro qual o valor da incerteza que afecta igualmente todas as medidas que se seguem (por exemplo, explicitando-o no cimo da coluna, caso esteja a usar uma tabela, ou junto à indicação do nome da grandeza que vai medir). vii) Não se esqueça que as grandezas físicas estão indissociavelmente ligadas às respectivas unidades. Assim, todos os valores medidos ou calculados e suas incertezas devem vir sempre acompanhados pelas correspondentes unidades. O que foi dito no parágrafo anterior relativamente a incertezas repetidas é igualmente válido para unidades repetidas. viii) Por vezes, as dificuldades experimentais na execução de uma medição aconselham a associar ao valor medido uma incerteza superior à que decorre directamente da leitura do instrumento. Quando lhe parecer que tal deve ser feito tenha cuidado para não sobrestimar o erro de tal forma que a medida se torne inútil. ix) Por fim, não se esqueça que sempre que faça cálculos utilizando os valores medidos haverá propagação de erros. Deverá ter em conta essa propagação para determinar a incerteza associada aos valores calculados. *** *** *** *** *** 3.1. Determinação de r massa A aplicação da teoria exposta no 1. considera que o comprimento do pêndulo deve incluir, além do comprimento do fio, a distância ao centro de massa da massa suspensa. É a situação esquematizada na figura. Departamento de Física da FCTUC 3/7

4 Técnicas Laboratoriais de Física Ano Lectivo 010/11 Utilizando a craveira, comece por medir o comprimento que lhe permitirá calcular r massa e anote-o no seu logbook. Pode seguir dois procedimentos: i) fazer várias medidas (não menos de 5) desse comprimento e depois determinar o melhor valor e a incerteza associada (valor médio e desvio padrão da média) ou ii) fazer apenas uma medida e associar-lhe a incerteza que considere mais correcta tendo em conta o instrumento de medida e a maior ou menor dificuldade que tenha encontrado em realizar a medição. (Atenção à nota viii) da página 3). O valor de r massa deve ser calculado a partir do resultado anterior e adicionado a cada comprimento L fio para obtenção do comprimento do pêndulo, l. Não esqueça a nota ix)da página Medição de L fio Utilizando a fita métrica, meça o comprimento livre do fio, L fio, e a respectiva incerteza. Também aqui se aplicam os dois tipos de procedimento referidos em Medição do período Em seguida, desloque a massa suspensa de um pequeno ângulo relativamente à vertical e liberte-a, deixando-a oscilar. Com o cronómetro, registe o tempo, t, que a massa demora a ir 10 vezes de uma dada posição até voltar à mesma posição (10 oscilações completas ou 10 períodos). Figura. O comprimento do pêndulo, l, é aquele que vai desde o ponto de suspensão do fio até à posição do centro de massa do corpo suspenso. Alguns cuidados práticos a ter em conta na medida do tempo: a) A equação que permite determinar a aceleração da gravidade a partir das medidas do período e do comprimento do pêndulo (eq. 4) só é verdadeira dentro da aproximação sin. Determine o intervalo de valores de que verificam esta relação e tenha em conta esta questão quando afastar a massa suspensa para pôr o pêndulo a oscilar. b) Quando executa experimentalmente a medida do tempo das 10 oscilações completas, percebe que há uma outra importante fonte de erro associada a essa medida. Qual é? É de tipo aleatório ou sistemático? Consegue avaliar o valor dessa incerteza? Medir 10 oscilações completas em vez de apenas um período é o procedimento mais adequado? Porquê? c) Dado que não sabemos avaliar previamente o valor total do erro aleatório associado a cada medida do tempo, como se deve proceder para determinarmos o melhor valor para o período do movimento do pêndulo? Departamento de Física da FCTUC 4/7

5 Técnicas Laboratoriais de Física Ano Lectivo 010/ Repetição da medida do período Para o mesmo comprimento do fio, L fio, repita o procedimento do ponto 3.3 mais quatro vezes. Ficará, portanto, com 5 medidas do tempo de oscilação e os correspondentes 5 valores do período do movimento Alteração do comprimento do pêndulo Repita o procedimento dos pontos 3. a 3.4 para mais 4 valores decrescentes do comprimento do fio. (Não se esqueça do cuidado a), referido na página anterior). Use o sistema deslocável sobre o suporte vertical para ajustar cada um desses comprimentos livres do fio. 4. Análise dos dados obtidos e discussão de resultados Para determinar o melhor valor para a aceleração da gravidade a partir dos dados experimentais que recolheu, sugere-se que proceda da seguinte forma: i) para cada valor de L fio, obtenha o valor do comprimento do pêndulo l e respectiva incerteza (obtida por propagação de erros); ii) para cada valor de l, determine o valor médio e respectiva incerteza dos cinco valores do tempo de 10 oscilações obtidos (média e desvio padrão da média); a partir desses valores determine o valor do período médio e respectiva incerteza (propagação de erros); iii) utilize os pares de valores calculados nas alíneas anteriores e a equação 4 para determinar 5 valores da aceleração da gravidade e respectivas incertezas (propagação de erros); iv) finalmente, determine o melhor valor para a aceleração da gravidade (g ± g) através do cálculo da média pesada * dos valores de g obtidos na alínea iii) e compare-o com o valor esperado, nomeadamente através do cálculo da diferença relativa percentual e da discrepância entre os dois valores. Faça uma análise crítica da experiência e suas limitações, procurando identificar causas que justifiquem eventuais diferenças encontradas. Notas finais: 1) Se ainda não tiver os conhecimentos necessários para fazer a análise de dados sugerida, avance até onde for possível. Poderá sempre completar o logbook numa aula posterior. Contudo, não se esqueça de anotar a forma como decorreu a experiência e eventuais * Utiliza-se a média pesada em vez da média simples quando a incerteza associada aos diferentes valores (cuja média vamos calcular) é diferente em cada caso. Em Lisboa obteve-se experimentalmente para a aceleração da gravidade ao nível do mar, o valor de g = (9, ± 0, ) m.s - Departamento de Física da FCTUC 5/7

6 Técnicas Laboratoriais de Física Ano Lectivo 010/11 aspectos da execução experimental que possam ser importantes para a avaliação final dos resultados. ) Deixe a bancada de trabalho limpa e o material arrumado, tal como os encontrou. Como sabe, outro grupo virá executar o mesmo trabalho. Bibliografia [1] Apontamentos para a disciplina de TLF, 010/11, capítulos I e IV. [] M.C. Abreu, L. Matias e L.F. Peralta, Física Experimental - Uma introdução, Lisboa, Editorial Presença (1994). [3] M. Alonso e E. Finn, Física, Addison-Wesley Iberoamericana (1999) [4] Paul Tipler, Física, Editora Guanabara-Koogan, 4ª Edição (000). [5] M.M.R.R. Costa e M.J.B.M. de Almeida, Fundamentos de Física, ª edição, Coimbra, Livraria Almedina (004). Departamento de Física da FCTUC 6/7

7 Técnicas Laboratoriais de Física Ano Lectivo 010/11 Apêndice Quando pretendemos medir dimensões com uma precisão superior a metade da menor divisão da escala usam-se instrumentos nos quais a régua principal tem associada uma segunda régua que desliza sobre si e na qual é possível ler uma fracção da medida da escala principal. Esta segunda escala é designada por nónio. A craveira (Figura A1) é um desses instrumentos, sendo usada na medição de pequenas dimensões como comprimentos, espessuras, diâmetros externos, etc. (entre A e B), diâmetros internos (entre C e D) e profundidades (através do comprimento E). C D E A B Figura A1 Como mostra a figura A, o nónio da craveira que utilizaremos tem 0 divisões. Elas correspondem a 0 divisões da menor divisão da escala principal (neste caso, de 1 mm). Assim, a resolução dessa craveira é de 1/0 = 0.05 mm (valor da menor divisão do nónio). Isto significa que conseguiremos medir valores com uma precisão de 0.05 mm. Figura A Figura A3 Para medir o diâmetro do disco da figura A3 procede-se do seguinte modo: na régua principal, lê-se o valor que fica imediatamente antes do zero da escala do nónio (35 mm na figura A3). Depois, na escala do nónio, procura-se o traço dessa escala que coincide exactamente com um traço da escala principal (0,95 mm no exemplo da figura A). O diâmetro do disco é então de 35,950 ± 0.05 mm. Num instrumento analógico, como é o caso, toma-se como resolução do instrumento a menor divisão da escala em que a leitura é efectuada. Em geral, a incerteza adoptada para o valor lido é de ± metade da resolução. Departamento de Física da FCTUC 7/7