INTRODUÇÃO À TÉCNICA DE CAMADA-LIMITE INTRODUCTION TO THE BOUNDARY-LAYER TECHNIQUE

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1 ISSN INTRODUÇÃO À TÉCNICA DE CAMADA-LIMITE Fabio Caros da Rocha Resumo Muitos estudos na área de materiais compósitos são baseados no Método de Homogeneização Assintótica (MHA), o qua consiste na substituição do meio originamente heterogêneo por outro meio homogêneo com propriedades efetivas (ou gobais). Embora a formuação cássica do MHA forneça bons resutados no interior de sóidos compósitos, ea não pode ser apicada na proximidade do contorno destes sóidos. A transmissão do carregamento apicado no contorno para o interior do compósito ocorre por uma redistribuição das tensões entre os componentes constitutivos (incusões e matriz). Esta redistribuição envove singuaridades fortes no campo de tensão oca, as quais podem resutar em fahas microscópicas da estrutura composta. Tendo em vista este tipo de apicação envovendo mudanças bruscas das variáveis dependentes, tais como o campo de tensão, apresenta-se aqui um procedimento de construção de soução assintótica para um probema modeo utiizando corretores obtidos da teoria de camada imite. Paavras-chave: Método de homogeneização assintótica. Camada imite. INTRODUCTION TO THE BOUNDARY-LAYER TECHNIQUE Abstract Many studies in the theory of composite materias are based on the Asymptotic Homogenization Method (AHM), which consists of considering the origina heterogeneous medium as a homogeneous medium with effective (or goba) properties. Athough the cassica AHM formuation yieds good resuts in the interior of composite soids, it cannot be appied near the boundary of these soids. The transmission of boundary oads to the interior of the composite occurs by a redistribution of stresses between the constituent components (incusions and matrix). This redistribution invoves strong singuarities in the oca stress fied, which may resut in microscopic faiures of the composite structure. In view of this kind of appication invoving abrupt changes of dependent variabes, such as the stress fied, a procedure to construct an asymptotic soution for a mode probem by using correctors obtained from the boundary ayer theory is presented here. Keywords: Asymptotic homogenization theory. Boundary ayer. INTRODUÇÃO Inicia-se a apresentação deste trabaho com uma contextuaização da teoria da Camada Limite na história, mostrando o surgimento e a importância que esta teoria proporcionou no avanço da ciência. O surgimento da teoria da camada imite ocorreu durante o terceiro congresso internaciona de matemática reaizado, em 94, na cidade aemã de Heideberg. Neste evento estava presente Ludwig Prandt, de 9 anos, professor da Technische Hochschue em Hanover. Prandt reaizou sua apresentação em apenas minutos, mas foi o tempo suficiente para descrever o conceito de camada Doutorando em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, fabcivi@sc.usp.br Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Caros, v., n. 55, p. 37-5, Edição Especia Método de Homogeneização Assintótica

2 38 Introdução à técnica de camada-imite imite do fuxo de fuido sobre uma superfície. O artigo correspondente à apresentação contém apenas oito páginas e foi pubicado nos anais do congresso com o títuo Uber Fussigkeitsbewegung Bei Sehr Keiner Reibung (O Movimento de Fuidos com Muito Pouco Atrito). Em 5, na ceebração do Ano Mundia da Física que homenageou Abert Einstein, e seu famoso artigo de 95, foi também ceebrado o centenário do artigo de Prandt. Este evento serviu para embrar a importância das idéias de Prandt no mundo moderno da aerodinâmica e dinâmica dos fuídos (ANDERSON, 5). Até a reaização do congresso, os pesquisadores que utiizavam as equações de Navier- Stokes para modear um fuido em movimento não conseguiam cacuar satisfatoriamente forças cisahantes de atrito entre o fuido e superfícies imersas no mesmo. Essa dificudade acentuou-se no início do sécuo XX, com a invenção do avião e com a necessidade subseqüente de cacuar as forças de evantamento e de arraste em aeronaves. Em seu artigo, Prandt assumiu escoamento invíscido em regiões onge da superfície e considerou a existência de uma camada com pequena espessura na proximidade da superfície, chamada de Camada Limite, onde a viscosidade do fuido não pode ser desprezada. Um dos resutados de Prandt foi a ocorrência da mudança brusca de veocidade sobre uma curta distância norma à superfície de um corpo imerso em um fuido em movimento. No caso de fuidos Newtonianos, a tensão cisahante é proporciona ao gradiente de veocidade, o que resuta em uma grande variação da tensão cisahante dentro da camada imite. Assim, o atrito da força de arraste no corpo não pode ser desprezado, contrariando o que aguns pesquisadores do sécuo XIX acreditavam. Apesar da importância do trabaho de Prandt, este não teve disseminação proporciona à grandiosidade do feito que seu conceito proporcionou à dinâmica dos fuidos. Acredita-se que diversos fatores contribuíram para isto; dentre ees, a dificudade de divugação de informação na época quando comparado com os dias atuais. Em 98 um estudante de Prandt, Heinrich Basius, deu continuidade à divugação da teoria de camada imite pubicando, no respeitado jorna Zeitschrift Fur Mathematik Und Physik, o trabaho intituado Camada imite em fuidos com pouco atrito. Neste trabaho, Basius considera o escoamento bidimensiona do fuido sobre uma paca pana, ou, um ciindro circuar e anaisa o comportamento do fuido na região da camada imite (TANI, 997). Basius resoveu as equações de camada imite em ambos os casos. Para o probema de paca pana, ee obteve resutados mais precisos para o atrito de arraste do que os resutados obtidos por Prandt em seu artigo de 94. Para o ciindro circuar, a sua soução forneceu o ponto de separação da camada imite à superfície do sóido. As equações de camada imite, embora mais simpes do que as equações de movimento de Navier-Stokes, ainda contêm equações diferenciais acopadas. Contudo, para certos tipos de gradiente de pressão, estas equações reduzem-se a uma única equação diferencia ordinária. Esta simpificação acontece, por exempo, para uma pressão constante ao ongo da paca pana orientada paraeamente ao fuxo, isto é, para um ânguo zero de ataque. Na verdade, a equação utiizada em pacas panas com ânguo de ataque zero é conhecida hoje como equações de Basius (TANI, 997). Apesar da importância do trabaho de Basius e da pubicação de diversos artigos que se seguiram sobre a teoria de camada imite peo grupo de pesquisa de Prandt, a comunidade aerodinâmica deu pouca importância a esta teoria, especiamente os especiaistas fora da Aemanha. Finamente, em 9, Theodore Von Kármám, um ex-auno de Prandt e professor da Universidade de Aachen, Aemanha, obteve uma equação integra do momentum para a equação de camada imite. Devido à grande apicabiidade desta equação integra em um grande número de probemas práticos da Engenharia, a teoria da camada imite finamente começou a receber a aceitação da comunidade técnica (ANDERSON, 5). Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Caros, v., n. 55, p. 37-5,

3 Fabio Caros da Rocha 39 Após meados de 9, trabahos que objetivavam avançar, ampiar e apicar a teoria de camada imite tiveram um aumento exponencia, comprovado peo grande no número de especiaistas em dinâmica dos fuidos e aerodinâmicos que desenvoveram suas carreiras no estudo da teoria da camada imite (ANDERSON, 998). A primeira apicação industria ocorreu no fina da década de, quando os projetistas começaram a utiizar os resutados da teoria para prever a força de arraste e a força de sustentação na superfície dos dirigíveis e aviões. Até então, os vaores destas grandezas físicas eram obtidas de experimentos reaizados em túneis de vento, os quais eram utiizados para o cácuo da força de sustentação. No entanto, as aquisições dos dados experimentais para o cácuo da força de atrito eram de difíci obtenção. Aém disso, os experimentos em túne de vento eram notoriamente imprecisos e os projetistas estavam reutantes na aceitação dos resutados da teoria. Mas, desde o fina dos anos de 9, os vaores da força de atrito obtidos através da teoria da camada imite, sendo estes mais precisos, tornaram-se mais vaorizados, o que proporcionou a esta teoria ser uma ferramenta padrão para os projetistas de avião. Apesar da teoria da camada imite ter sido apicada iniciamente na aerodinâmica e, posteriormente, na dinâmica dos fuidos, estas não foram as únicas áreas a receberem a sua contribuição. Prandt, pioneiramente, iniciou o tratamento de expansões assintóticas para souções de equações diferenciais que possuem parâmetros pequenos, antecipando em meio sécuo as idéias básicas da teoria de perturbações singuares, a qua tem atuamente um profundo impacto na Engenharia e Matemática. No estudo dos materiais compósitos, os quais são materiais heterogêneos constituídos por dois ou mais materiais homogêneos, tem-se a necessidade de conhecer suas características e determinar suas propriedades efetivas (ou gobais). Evidentemente, materiais compósitos providos de microestruturas compexas ou aeatórias não são simpes de modear. O Método de Homogeneização Assintótica (MHA) (BAKHVALOV; PANASENKO, 989); (BENSOUSSAN et a., 978) e (SANCHEZ- PALENCIA, 98) fornece um modeo simpes do comportamento de materia compósito provido de estrutura periódica em seu interior. O método consiste em utiizar uma expansão assintótica da soução do probema associado ao meio heterogêneo para obter um probema com coeficientes efetivos constantes, chamado de probema de homogeneização, que está associado a um meio homogêneo equivaente. Embora a homogeneização assintótica conduza a probemas mais simpes, a construção de souções na vizinhança do contorno do sóido, originamente composto, permanece aém da capacidade da homogeneização cássica, (KALAMKAROV, 99), (GUZ ; KOKHANENKO, 995), (ADRIANOV et a., ) e (DUMONTET, 986). No trabaho de (SANCHEZ-PALENCIA, 986) foram apresentados resutados, por meio do MHA, de probemas da mecânica dos meios compósitos. Dentre os resutados, tem-se o probema de camada imite que está presente em regiões onde a microestrutura é quase periódica, ou seja, regiões em que a soução em expansão assintótica é quase periódica na variáve microscópica, tendo assim, a necessidade de expressões adicionais à expansão assintótica para que na região próximo as condições de contorno a soução as obedeçam. Em (PETIT, 969) foram reaizadas investigações de materiais compósitos aminados submetidos a carregamentos de tração e o autor mostra a ocorrência de anomaias na borda das âminas. O efeito de borda ivre é expicado por (PETIT, 969), o qua partiu dos pressupostos básicos da teoria de pacas aminadas em que as deformações são constantes, ou, são funções ineares da distância a partir da superfície média do aminado. Este pressuposto faz parte da hipótese de Kirchhoff, o qua assume a compatibiidade entre as deformações das âminas. Como resutado desta hipótese, as âminas submetidas à tensão axia desenvovem tensões de cisahamento nas interfaces entre as mesmas. Estas tensões aternam em sina de uma âmina orientada em para uma âmina orientada Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Caros, v., n. 55, p. 37-5,

4 4 Introdução à técnica de camada-imite em. Assim, a tensão cisahante resutante nas interfaces das âminas anua-se. No entanto, nas extremidades do aminado a tensão cisahante resutante é não nua para quaisquer condições de contorno; ou seja, caso as condições impostas nas extremidades do aminado sejam de tensão cisahante resutante nua, está não será obedecida. Assim, há uma região próxima às extremidades do aminado, denominada aqui de camada imite, em que as hipóteses de Kirchhoff não são váidas. Para contornar este probema (TANG,975) e (TANG; LEVY, 975) usam uma expansão em serie para obter a soução do campo de tensão, fazendo com que esta expansão satisfaça as condições de contorno na camada imite. Esta expansão fornece resutados que satisfazem as equações de equiíbrio e as condições de contorno, assim como as condições de continuidade de desocamento e de tensão norma interaminar. A teoria de camada imite juntamente com o Método de Homogeneização Assintótica são apicados por (KALAMKAROV, 99) para resover probema de fratura em compósitos periódicos, por (ADRIANOV et a., 985) na teoria de cascas e pacas nervuradas e por (KALAMKAROV; GEORGIADE, ) em compósitos periódicos inteigentes, ou seja, compósitos que possuem uma ou mais propriedades que podem ser significativamente ateradas de forma controada por estímuos externos, tais como carregamento mecânico, temperatura, umidade, ph, campos eétricos e magnéticos. Em (BENSOUSSAN et a., 978) é mostrado que a soução em expansão assintótica de probemas associados a estruturas periódicas, na região da camada imite, possui decaimento exponencia. Estudos de camadas imites em probemas de vaor de contorno (PVCs) eípticos com coeficientes periodicamente osciantes definidos em domínios retanguares e de geometria quaquer foram reaizados, utiizando o MHA, por (ALLAIRE; AMAR, 999) e (NEUSS-RADU, ), respectivamente. Estes autores utiizam corretores à soução do PVC para que esta seja váida na vizinhança do contorno. Em (ALLAIRE; AMAR, 999) é proposto para os corretores a característica de decaimento exponencia. Já em (NEUSS-RADU, ), o autor mostra por meio de um exempo que o decaimento exponencia não é suficiente para estudar camadas imites em domínios gerais. Em (PANASENKO, 8) apresenta-se a utiização de corretores à soução em expansão assintótica, os quais garantem que as condições de contorno sejam satisfeitas. Para tanto, o autor utiiza a técnica de camada imite para encontrar as expressões dos corretores com características de decaimento exponencia. Estas expressões contêm, no entanto, erros, possivemente tipográficos. Neste trabaho apresenta-se um estudo detahado do artigo de (PANASENKO, 8). Em particuar, obtém-se a expressão correta da soução anaítica do probema tratado peo autor em regiões próximas do contorno. O artigo é organizado como segue. Apresenta-se na Sec. a técnica de camada imite, mostrando o procedimento utiizado na construção de corretores para as expansões assintóticas. Na Seção. mostra-se um exempo onde se apica a técnica apresentada e iustra-se, através de gráficos, a atuação dos corretores na soução assintótica, fazendo com que esta soução satisfaça as condições de contorno. Na Seção 3 apresentam-se concusões sobre o uso dos corretores obtidos da teoria de camada imite. INTRODUÇÃO À TÉCNICA DE CAMADA LIMITE Antes de apresentar a técnica de camada imite, introduzem-se aguns conceitos da teoria de perturbação. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Caros, v., n. 55, p. 37-5,

5 Fabio Caros da Rocha 4 A teoria de perturbação é uma coeção de métodos iterativos para a obtenção de souções aproximadas de probemas que envovem um parâmetro pequeno,, também chamado de parâmetro de perturbação. De modo gera, a teoria de perturbação reaiza uma decomposição de um probema compexo em um número infinito de probemas possíveis de serem resovidos. As potenciaidades desta teoria residem no fato de que, em gera, os primeiros termos da expansão assintótica, por exempo, a ansatz de (BAKHVALOV; PANASENKO,989), são suficientes para revear características importantes de um probema. Existem dois tipos de perturbações em equações diferenciais com o parâmetro pequeno, que são as perturbações reguares e as singuares. Do ponto de vista matemático, os probemas de perturbação singuar estão associados ao parâmetro de perturbação que mutipica a derivada de ordem mais eevada na equação. Quando a mutipicação do parâmetro pequeno vem nos termos de ordem inferior da equação diferencia, esta perturbação é chamada de perturbação reguar. No caso de perturbação singuar, quando o parâmetro pequeno tende a zero, ocorre a degeneração da equação diferencia. Neste caso, a equação diferencia não pode mais atender as condições de contorno especificadas no probema origina e, portanto, o probema não pode ser resovido. Do ponto de vista físico, o surgimento de perturbações singuares está associado ao surgimento de uma região onde existe mudança brusca no vaor da variáve dependente, caracterizando a existência de uma camada imite. Nesta região é reaizada uma ampiação de escaa das variáveis dependentes para a obtenção de expressões corretivas à expansão assintótica (KEVORKIN; COLE, 98). O método de camada imite consiste em duas etapas. Na primeira etapa é reaizada a construção, em expansão assintótica, de uma soução váida em todo espaço sem considerar as condições de contorno. A segunda etapa consiste na construção de aguns corretores à expansão da soução obtida na primeira etapa. Estes corretores possuem a característica de decaimento exponencia quando se afasta do contorno. Considere o seguinte probema modeo de perturbação singuar: u ( x) u( x) f( x), x (,), () u() g, u() g, () onde ' u du/ dx, é um parâmetro pequeno e f C ([,]). Primeira etapa: Considera-se uma ansatz ( ) ( ) ux u x. (3) Formamente, segue da Eq. (3) que ( ) ( ). u x u x (4) Substituindo as Eqs. (3) e (4) em (), tem-se Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Caros, v., n. 55, p. 37-5,

6 4 Introdução à técnica de camada-imite u ( x) u( x) f( x). (5) Reaizando sucessivas mudanças de índices no primeiro termo da Eq. (5) e definindo u, tem-se L L L u ( x) u( x) f( x), u ( x) u( x) f( x), ( u ( x) u( x)) f( x), (6) A reação (6) 3 gera uma recorrência de equações dada por u ( x) u ( x) f( x),,, (7) Esta recorrência define todos os termos u da ansatz (3), a qua pode ser reescrita como u x f x ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), u x u x f x ( IV ) u ( x) u ( x) f ( x), ( ) u( x) u ( x) f ( x). (8) Assim, a expressão assintótica da Eq. (3) toma a forma ( ) ( ) ( ). ux f x (9) forma Segunda etapa: Nesta segunda etapa são considerados os corretores da camada imite da u x u e u x, u onde os termos u e u estão definidos em im u ( ), im u( ). e, respectivamente, e Substituindo a soma ( ) u uu u () na Eq. () e considerando as condições de contorno da Eq. (), tem-se Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Caros, v., n. 55, p. 37-5,

7 Fabio Caros da Rocha du( ) u ( x) u( x) u ( ) d du( ) u ( ) ( ). f x d Após reaizar manipuações agébricas na Eq. (), chega-se a du ( ) u ( x) u( x) u ( ) d du( ) u ( ) ( ), f x d () () 43 onde x e ( x ). Substituindo a Eq. () juntamente com as expressões de u, contorno da Eq. (), obtém-se u e u na primeira condição de u () () u u g. (3) Reaizando procedimento anáogo com respeito à segunda condição de contorno, tem-se u () u u g. (4) Será visto em seguida que a taxa de decaimento das funções significa que existem constantes positivas C e c tais que u e u são exponenciais. Isto u ( ) C exp( c), u ( ) C exp( c ). (5) u e u Assim, para quaquer K, são vaores de ordem K O. Portanto, esses K termos podem ser desprezados nas Eqs. (3) e (4) com precisão da ordem de O. Desta forma, têm-se duas equações independentes dos probemas de camada imite, dadas por d u u, d, u () g u (),,, (6) e d u u,, d u () g u (),,,. (7) Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Caros, v., n. 55, p. 37-5,

8 44 Introdução à técnica de camada-imite Considere u ( ) C exp( ) d exp( ) Eq. (6), tem-se u () C exp( ) C, u () u() g C, u u () g exp( )., com d quando im. Apicando na u (8) Considerando agora que u( ) C exp( ) d exp( ) tem-se, após substituição na Eq. (7), com C quando im u u g u () exp( ). (9) ( ) Assim, todos os termos da soução estão determinados, isto é, a expansão assintótica u para o probema () e () é dada pea Eq. (), a qua é constituída pea expansão reguar, dada pea Eq. (9), e peas expansões singuares, que são obtidas de (8) e (9) juntamente com x e ( x ), dadas por u ( x) g f ( ) () exp x, () ( ) u x g f x ( ) () exp ( ), () respectivamente. As equações () e () estão erroneamente apresentadas em (PANASENKO, 8), pois nesta referência as expressões dos corretores encontram-se com inversão de sinais. As expressões das camadas imite, Eqs. () e (), fornecem vaores que são exponenciamente pequenos em quaquer distância finita do contorno. Assim, esses corretores infuenciam a soução da Eq. () apenas na região próxima do contorno.,. Exempo Considere o seguinte probema: u u exp( x), (,), x () u(), u(). (3) Observe da Eq. () que f C ([,]). Pea Eq. (8), tem-se Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Caros, v., n. 55, p. 37-5,

9 Fabio Caros da Rocha 45 u x f x x ( ) ( ) exp( ), ( ) ( ) ( ) exp( ), u x u x f x x ( IV ) u ( x) u ( x) f ( x) exp( x), ( ) u( x) u ( x) f ( x) exp( x). (4) Substituindo os resutados da Eq. (4) nas Eqs. (9), () e (), tem-se u exp( x), (5) u ( x) g exp() exp x g exp x, 4 6 u ( x) exp x g exp x g, (6) ( ) exp exp, u x g x x u x g x ( ) exp() exp ( ), g x exp() exp ( ), u x x g ( ) exp ( ) exp(), 4 6 u ( x) exp ( x) g exp() exp() exp() exp(), 4 6 u ( x) exp ( x) g exp(), u ( x) g exp ( x) exp ( x). (7) Substituindo as condições de contorno (3), tem-se u exp( x), (8) ( ) exp, u x x ( ) exp ( ) exp ( ). u x x x (9) (3) Assim, Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Caros, v., n. 55, p. 37-5,

10 46 Introdução à técnica de camada-imite ux ( ) exp( x) exp x exp ( x) exp ( x) (3) é a soução assintótica utiizando os corretores da teoria da camada imite. A soução anaítica do probema, dado pea Eq. () e peas condições (3), é obtida a partir da combinação da soução particuar e da soução homogênea da Eq. (), as quais são dadas por, respectivamente, up exp( x ), (3) exp u h Cexp C, (33) onde C e C são constantes. A soução anaítica é, portanto, dada por u C exp Cexp exp( x). (34) Impondo as condições de (3) na Eq. (34), esta toma a forma exp exp() u exp exp exp x exp exp() exp x exp( x). exp exp (35) Os gráficos da figura mostram a sucessão de resutados obtidos à medida que o parâmetro pequeno,, tende a zero nas souções consideradas: a soução anaítica, a soução assintótica sem corretor e a soução assintótica utiizando os corretores obtidos da teoria da camada imite. Através dos gráficos da figura pode-se ver que a soução assintótica com corretores aproxima-se mais rápida da soução anaítica, quando esta é comparada com a soução assintótica sem a utiização dos corretores Outro fato importante é que a soução assintótica (sem corretores) não satisfaz as condições de contorno para todos os vaores de. Se não é pequeno, observe desta figura que a soução assintótica com corretores também não satisfaz as condições de contorno. No entanto, à medida que, as souções assintóticas utiizando corretores assumem vaores nas extremidades que aproximam bem às condições de contorno sem perturbar as respectivas souções assintóticas no interior do domínio; ou seja, a infuência dos corretores sobre a soução assintótica do probema no interior do intervao (,) é tão menor quanto menor for. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Caros, v., n. 55, p. 37-5,

11 Fabio Caros da Rocha a b u(x) -6-8 u(x) , c (c/ corretor) (anaítica) (s/ corretor),,,4,6,8, X -3-4, d (c/ corretor) (Anaítica) (s/ corretor),,,4,6,8, X u(x) u(x),5, -,5 -, -,5 -, -,5-3,,,5, -,5 -, -,5 -, -,5-3, e (c/ corretor) (anaítica) (s/ corretor),,,4,6,8, (c/ corretor) (anaítica) (s/ corretor) X,,,4,6,8, X u(x) u(x),5, -,5 -, -,5 -, -,5-3,,5,,5, -,5 -, -,5 -, -,5-3,,5, f g (c/ corretor) (anaítica) (s/ corretor),,,4,6,8, (c/ corretor) (anaítica) (s/ corretor),,,4,6,8, X X,5, -,5 u(x) -, -,5 -, -,5-3, (c/ corretor) (anaítica) (s/ corretor),,,4,6,8, X Figura Gráfico da comparação evoutiva, para ε pequeno, da soução anaítica com as souções assintóticas sem e com corretores. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Caros, v., n. 55, p. 37-5,

12 48 Introdução à técnica de camada-imite Tem-se ainda que para vaores cada vez menores de, a equação diferencia () tende a degenerar, isto é, esta tende a mudar a ordem da equação diferencia. Para este exempo, a ordem da equação diferencia tende a aterar de para quando tende a zero. Com esta tendência de ateração na ordem desta equação, a soução anaítica na Eq. (35) não satisfaz todas as condições de contorno. Este fato pode ser percebido nos gráficos f e g da Figura. Observa-se destes gráficos que a soução anaítica e a soução sem corretores não satisfazem as condições de contorno. Percebe-se ainda a região da camada imite nos gráficos f e g onde ocorre uma variação brusca da variáve u e onde a soução anaítica não é váida. 3 CONCLUSÕES O método de homogeneização assintótica é uma ferramenta matemática poderosa para anaisar materiais compósitos e estruturas. A anáise de um materia compósito não homogêneo por um sóido homogêneo equivaente é o principa resutado desta teoria. No entanto, cuidados devem ser tomados em regiões onde a microestrutura é quase periódica. Nessas regiões, há necessidade de adicionar expressões corretoras à expansão assintótica para que a soução do probema de homogeneização satisfaça as condições de contorno. Neste trabaho obtiveram-se expressões corretas dos termos adicionais à expansão assintótica, dadas peas Eqs. () e (). No trabaho de (PANASENKO, 8) estas duas equações encontra-se com erros tipográficos que prejudicam o entendimento e a obtenção correta da soução assintótica utiizando os corretores da teoria da camada imite. 4 AGRADECIMENTOS O autor agradece ao Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, por propiciar as condições de infra-estrutura necessárias, e ao Conseho Naciona de Desenvovimento Científico e Tecnoógico (CNPq), por conceder o suporte financeiro para o desenvovimento deste trabaho. O autor manifesta, também, seus mais sinceros agradecimentos ao Prof. Dr. Juián Bravo-Castiero por proporcionar a fundamentação teórica para o desenvovimento deste trabaho por meio das auas ministradas e vaiosas trocas de idéias. Professor Juián Bravo-Castiero recebeu apoio financeiro da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoa de Níve Superior (CAPES) na modaidade Bosista CAPES/Brasi do Programa Professor Visitante do Exterior PVE, Ofício/CGI/CAPES N o 45- /. O autor agradece ao Prof. Dr. Adair Roberto Aguiar peas contribuições ao desenvovimento deste trabaho. 5 REFERÊNCIAS ALLAIRE, G.; AMAR, M. Boundary Layer Tais in Periodic Homogenization. COCV, n.4, p. 9-43, 999. ANDERSON, D. J. Ludwig Prandt s Boundary ayer, Physics Today, v.58, n., p. 4-48, 5. ANDERSON, D. J. A History of Aerodynamics, Cambridge U. Press, New York, 998. ADRIANOV, I. V.; DANISHEVS KYY, V. V.; WEICHERT, D. Boundary Layer in Fibrous Composite Materias, Acta Mech., 3,. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Caros, v., n. 55, p. 37-5,

13 Fabio Caros da Rocha 49 ADRIANOV, I. V.; LESNICHAYA, V. A.; MANEVITCH, L. I. Homogenization Methods in the Static and Dynamics of Ribbed Shes, Nauka, Moscow, in Russian, 985. BAKHVALOV, N.; PANASENKO, G. Homogenisation: Averaging Processes in Periodic Media Mathematica Probems in the Mechanics of Composite Materias. Kuwer, Dordrecht, 989. BENSOUSSAN, A.; LIONS, J. L.; PAPANICOLAOU, G. Asymptotic Methods in Periodic Structures, North-Hoand, Amsterdam, 978. DUMONTET, H. Study of Boundary Layer Probem in Eastic Composite Materias, Mode. Math. Annua. Numer., n., p , 986. GUZ, A. N.; KOKHANENKO, YU. V. Edge Effects in Composites, Int. App. Mech., v.3, n. 3, p. 65-8, 995. KALAMKAROV, A. L. Composite and Reinforced Eements of Construction, Wiey, Chichester, NY, 99. KALAMKAROV, A. L.; GEORGIADES, A. V. Micromechanica Modeing of Smart Composite Structures, Smart Mater. Struct., v., p ,. KEVORKIAN, J.; COLE, J. D. Perturbation Methods in Appied Mathematics, Springer Verag, 98. PANASENKO, G. P. Homogenization for Periodic Media: from Microscae to Macroscae, Physics of Atomic Nucei, v. 7, n. 4, p , 8. PETIT, P. H. A simpified method of determining the inpane shear stress-strain response of unidirectiona composites, Composite Materai: Testing and Design. ASTM STP, v. 46, p , 969. NEUSS-RADU, M. A Resut on the decay of the Boundary Layers in the Homogenization Theory, Journa of Asymptotic Anaysis, v. 3, n. 3-4, p ,. SANCHEZ-PALENCIA, E. Homogenization in Mechanics: A survey of Soved and open Probems, Rend. Sem. Mat., v. 44, p. -45, 986. SANCHEZ-PALENCIA, E. Non Homogeneous Media and Vibration Theory, Springer, Heideberg, 98. TANG, S. A boundary Layer Theory Part I: Laminated Composites in Pane Stress, Journa of Composite Materias, n. 9, p. 33-4, 975. TANG, S.; Levy, A. A boundary Layer Theory Part II: Extension of Laminated Finit Strip, Journa of Composite Materias, n. 9, p. 4-5, 975. TANI, I. History of Boundary-Layer Theory, Annua Reviews Fuid Mechanic, v. 9, p. 87-, 977. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Caros, v., n. 55, p. 37-5,

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