APRIMORAMENTO DE FORMULAÇÃO DE IDENTIFICAÇÃO E SOLUÇÃO DO IMPACTO BIDIMENSIONAL ENTRE ESTRUTURA E ANTEPARO RÍGIDO

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2 Robenson Luiz Minsi RIMORMENTO DE FORMULÇÃO DE IDENTIFICÇÃO E SOLUÇÃO DO IMCTO BIDIMENSIONL ENTRE ESTRUTUR E NTERO RÍGIDO Dissertação apresentada à Escoa de Engenharia de São Caros da Universidade de São auo, como parte dos requisitos para obtenção do Títuo de Mestre em Engenharia de Estruturas. Orientador: rofessor ssociado João Batista de aiva São Caros 8

3 rof. Dr. WLTER LIBIUI &?&94W Lf m ',. -".. - *y- -- I -_ -.-. c_-i ' ?. 3 rof. ssaciado G ~ D ROBERTO O WTIN~ COST

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5 os meus pais Edite e Voadisau E minha esposa Tatiana

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7 GRDECIMENTOS Deus, uma força que garante o equiíbrio sobre tudo que existe no universo. os meus pais, Edite Saete Gehen Minsi e Voadisau Minsi, peo incentivo, compreensão, amor e formação, que me deram e proporcionaram em todos os meus dias. minha querida esposa, Tatiana de Oiveira Borges Minsi, por todo o amor e carinho dado e demonstrado ao ongo dos anos de convivência, pea compreensão e ajuda em todos os momentos difíceis e por sempre me incentivar e acreditar em minha capacidade. os meus sogros, Sérgio e Odete, e minha cunhada Fernanda, peo apoio e consideração. o meu orientador rof. ssociado João Batista de aiva e co-orientador rof. ssociado Humberto Breves Coda, pea exceente orientação, dedicação, comprometimento com este trabaho e pea amizade demonstrada. todos os funcionários do SET. or fim, a todos os bons amigos feitos durante este período.

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9 ix RESUMO MINSKI, R. L. (8). primoramento de formuação de identificação e soução do impacto bidimensiona entre estrutura e anteparo rígido. Dissertação (Mestrado) Escoa de Engenharia de São Caros, Universidade de São auo, São Caros, 8. Esta dissertação tem como objetivo principa o desenvovimento de uma formuação, via Método dos Eementos Finitos (MEF), para a identificação e soução do impacto não inear bidimensiona entre estruturas aneares reticuadas e anteparo rígido fixo. O comportamento dinâmico não inear geométrico é feito por meio de uma formuação posiciona cassificada como Lagrangiana tota com cinemática exata. Utiiza-se o integrador tempora de Newmar modificado para descrever o comportamento dinâmico, de forma a garantir a estabiidade na anáise do impacto. Desenvoveu-se um agoritmo de identificação da ocorrência do impacto, utiizandose segmentos auxiiares que definem uma região formada por pontos passíveis de impacto. soução do impacto é feita com um agoritmo de retorno geométrico segundo superfície curva com aproximação quaquer para o anteparo rígido, considerando situações com e sem atrito. Faz-se uma comparação entre a técnica adotada e a técnica dos mutipicadores de Lagrange e das penaidades, mostrando a equivaência entre as mesmas. or fim, são apresentados exempos numéricos gerais utiizando a técnica desenvovida, onde se fez um estudo de convergência para discretização geométrica e tempora. aavras-chave: Método dos Eementos Finitos, não inearidade geométrica, impacto, controe de posições.

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11 xi BSTRCT MINSKI, R. L. (8). Improvement of formuation of identification and soution of the bidimensiona impact between structure and rigid wa. M. Sc. Dissertation (Mestrado) Escoa de Engenharia de São Caros, Universidade de São auo, São Caros, 8. This wor has as main goa the deveopment of a formuation, based on the Finite Eement Method (FEM), for the identification and soution of the bidimensiona noninear impact between reticuated cycics structures and fixed rigid wa. The dynamic geometricay noninear behavior is treated with a positiona formuation cassified as tota Lagrangean with exact inematics. The time integrator of modified Newmar is used, to describe the dynamic behavior, to assure the stabiity in the anaysis of the impact. n agorithm of identification of the occurrence of the impact was deveoped, using auxiiary segments that define a region formed for feasibe points of impact. The soution of the impact is made with an agorithm of geometric return as curve surface with any approach for the rigid wa, considering situations with and without friction. comparison between the technique adopted and Lagrange mutipiers and penaty is made. Finay, genera numerica exampes are presented, where a study of convergence was made. Key-Words: Finite Eement Method, geometric non inearity, impact, position contro.

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13 xiii LIST DE FIGURS Figura.: Mudança de configuração de um corpo quaquer... Figura.: Mudança de configuração para distorção...6 Figura.3: Configuração inicia e fina do corpo e resutantes de tensão...3 Figura 3.: Eemento de pórtico parametrizado na configuração inicia...43 Figura 3.: Linha média do eemento na configuração inicia...44 Figura 3.3: Eemento de pórtico parametrizado na configuração fina...47 Figura 3.4: Configurações parametrizadas do mesmo espaço adimensiona...48 Figura 3.5: Energia potencia tota para um corpo em duas configurações distintas.5 Figura 4.: Esquema massa suportada por moa com restrição de desocamento...68 Figura 4.: Configuração da estrutura no impacto contra anteparo rígido...73 Figura 4.3: Eemento trianguar com nós...74 Figura 4.4: Modeo de identificação do impacto com três trajetórias distintas...76 Figura 4.5: ossíve probema na identificação do impacto...76 Figura 4.6: Modeo do procedimento aternativo para identificação do impacto...77 Figura 4.7: Dados pertinentes à anáise do ponto de retorno...79 Figura 4.8: Casos especiais de determinação do ponto de retorno...83 Figura 4.9: Regiões de estabiidade para as constantes de integração de Newmar85 Figura 4.: robema unidireciona com restrição...87 Figura 4.: robema unidireciona com restrição- Método posiciona...93 Figura 5.: Dados de entrada do probema...97 Figura 5.: Configurações aneares para certos passos de tempo (sem atrito)...98 Figura 5.3: Configurações aneares para certos passos de tempo (com atrito)...98 Figura 5.4: Respostas de WRIGGERS (99). Sem atrito (a) e com atrito (b)...99 Figura 5.5: Respostas de GRECO (4). Casos: sem atrito (a) e com atrito (b)... Figura 5.6: Convergência por discretização tempora para o caso sem atrito... Figura 5.7: Convergência por discretização tempora para o caso com atrito... Figura 5.8: Convergência por discretização geométrica: caso sem atrito... Figura 5.9: Convergência por discretização geométrica: caso com atrito...3 Figura 5.: Configurações aneares para certos passos de tempo (sem atrito)...3 Figura 5.: Configurações aneares para certos passos de tempo (com atrito)...4

14 xiv Figura 5.: Configurações aneares para certos passos de tempo (com atrito )... 5 Figura 5.3: Dados de entrada do probema... 6 Figura 5.4: Configurações aneares para certos passos de tempo (sem atrito)... 7 Figura 5.5: Configurações aneares para certos passos de tempo (com atrito)... 8 Figura 5.6: Dados de entrada do probema... 8 Figura 5.7: Configurações aneares para o caso de anteparo seccionado... 9 Figura 5.8: Dados de entrada do probema... Figura 5.9: Configurações aneares obtidas no caso de anteparo seccionado em duas partes iguais com eementos curvos em uma e eementos retos em outra... Figura 5.: Dados de entrada do probema... Figura 5.: Configurações aneares obtidas para o caso sem atrito... Figura 5.: Configurações aneares obtidas para o caso com atrito... 3 Figura 5.3: Reação entre a posição e o tempo para o nó... 3 Figura 5.4: Reação entre a posição e o tempo para o nó... 4

15 xv LIST DE SÍMBOLOS Ε B Espaço Eucediano Região do espaço Eucediano Γ, Ψ Configurações inicia e fina B, Configurações de um corpo quaquer na configuração inicia B, Configurações de um corpo quaquer na configuração fina t Δ t tempo Intervao de tempo, x, x ontos de um corpo na configuração inicia, y, y ontos de um corpo na configuração fina f, f t Função mudança de configuração f, f Funções mapeamento I * R Intervao de tempo Espaço dos reais, y Veocidade, y ceeração Grad Gradiente Gradiente da função mudança de configuração, Gradientes das funções mapeamento J C D I E Jacobiano Tensor de Cauchy-Green à direita Tensor de Cauchy-Green à esquerda Matriz identidade u, v Versores Tensor de deformação de Cauchy-Green Tensor de deformação de mansi

16 xvi λ a ' λ a ε ' ε ongamento reativo (descrição Lagrangiana) ongamento reativo (descrição Eueriana) Deformação ongitudina de engenharia (descrição Lagrangiana) Deformação ongitudina de engenharia (descrição Eueriana) γ u u Distorção ε u u Deformação distorciona m ρ ρ Massa Densidade de um corpo na configuração de referência Densidade de um corpo na configuração de atua dv, d Diferenciais de voume e área na configuração referência dv, d Diferenciais de voume e área na configuração atua div L Ω t * s, t s Divergente Quantidade de movimento inear Contorno de um corpo quaquer Energia potencia das forças externas t Forças de superfície * b, b Forças de corpo F ext Resutantes de forças externas (vetor de forças externas) M ext Momento das forças externas M a Momento anguar n, n Versores normais d, d Vetores de forças resutantes T S S G * Tensor de tensão de Cauchy Tensor de tensão de ioa-kirchhoff de ª espécie Tensor de tensão de ioa-kirchhoff de ª espécie Tensor de tensão de Kirchhoff-Treftz ext otência mecânica

17 xvii K Energia cinética ten otência tensiona σ Tensor de tensão d * Taxa de deformação U e Energia de deformação tota u e Energia de deformação específica e F Força externa apicada M Matriz de massa ter otência térmica r Taxa de aquecimento * h Π tr Densidade de fuxo térmico Energia potencia tota Traço h, h tura do eemento θ,θ Incinação do eemento em reação a norma f Funções de forma Energia potencia das forças externas, η Variáveis adimensionais m Vaor da variáve adimensiona para o ponto de impacto (atrito tota) n Vaor da variáve adimensiona para o ponto com atrito nuo f Vaor da variáve adimensiona para o ponto com atrito requerido δ ij Deta de Kroenecer C ij Tensor de constantes eásticas ν Coeficiente de oisson F iner Vetor de forças inerciais F amor Vetor de forças de amortecimento λ m Coeficiente de amortecimento

18 xviii Q a Energia dissipativa de amortecimento C a Matriz de amortecimento F ( int ) Vetor de forças internas Q S, R S Variáveis do tempo passado γ, β arâmetros de integração de Newmar g Vetor de resíduos g Gradiente do vetor de resíduos (matriz Hessiana) Δ Correções κ, μ arâmetros de penaidade H Q Matriz dos gradientes das restrições Função penaidade F Função objetivo c, q Funções restrição * g ceeração da gravidade u d F c λ L a R c R a b Desocamento Força de contato Mutipicador de Lagrange Função Lagrangiana Matriz restrição de contato Coeficiente de retorno Coeficiente anguar Coeficiente inear g m Equação de determinação do ponto de impacto B m, m arâmetros auxiiares para determinação do ponto de impacto C D m, m arâmetros auxiiares para determinação do ponto de impacto m i n i onto de impacto (ponto de retorno com atrito tota) onto de retorno para atrito nuo

19 xix f i r In v e onto de retorno entre atrito nuo e tota Área da seção transversa da estrutura anear Inércia da seção transversa da estrutura anear Veocidade da estrutura anear

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21 xxi SUMÁRIO RESUMO... v BSTRCT... vii LIST DE FIGURS... ix LIST DE SÍMBOLOS... xi. Introdução.... Considerações iniciais.... Organização do trabaho....3 Revisão Bibiográfica...4. Mecânica do contínuo...7. Cinemática Movimento de corpos e mudança de configuração Medidas de deformação.... Leis de baanço Conservação de massa Baanço de quantidade de movimento Baanço de quantidade de movimento inear Baanço de quantidade de movimento anguar Tensores de tensão Baanço de energia Conjugados de tensão e deformação Formuação não inear geométrica do Método dos Eementos Finitos osiciona (MEF - osiciona) Considerações iniciais Não inearidade geométrica Cinemática para um eemento de pórtico pano Método de soução Técnicas de impacto/contato entre estruturas panas contra anteparo rígido Considerações iniciais Método das enaidades Método dos Mutipicadores de Lagrange Controe de posições...7

22 xxii 4.4. Determinação da ocorrência de impacto Determinação da posição de retorno arâmetros de integração do agoritmo tempora de impacto Justificativa Exempos numéricos Considerações iniciais Impacto bidireciona de ane em anteparo rígido em forma de V Impacto bidireciona de ane em anteparo rígido em forma de ampuheta Impacto bidireciona de ane em anteparo rígido curvo... 6 Concusões... 5 Referencia Bibiográfica... 8

23 Introdução Capítuo. Considerações iniciais O grande crescimento no desenvovimento de novos materiais e técnicas de manufatura, juntamente com a evoução generaizada nas apicações da engenharia, se fizeram necessárias para suprir necessidades como, evoução tecnoógica, padronização de novos materiais e custo/tempo na confecção de estruturas, que evam a concepção de materiais e mecanismos cada vez mais eves e versáteis. Logo, o intuito de conhecer as propriedades e o comportamento mecânico dos materiais e das estruturas é essencia para criar critérios de segurança que garantam a integridade das mesmas, aém de garantir a sua quaidade. ortanto, o conhecimento de conceitos que envovam não inearidade geométrica, física, dinâmica, impacto etc., é de grande importância no desenvovimento científico e tecnoógico de ferramentas de cácuo adequadas, tentando simuar o mais próximo possíve o comportamento rea do materia e da estrutura. Seguindo esta inha de raciocínio, este trabaho tem por objetivo a impementação computaciona, com o desenvovimento de uma formuação para probemas dinâmicos de impacto bidireciona entre estrutura e anteparo rígido, tendo

24 este um grau de aproximação geométrica quaquer, feita via Método dos Eementos Finitos (MEF). Foram considerados dois tipos de comportamento não inear, a não inearidade geométrica, que descreve a infuência das mudanças de configuração no comportamento da estrutura com a determinação do equiíbrio da mesma, e a não inearidade de contato, responsáve pea caracterização da configuração deformada do contorno da estrutura após um contato/impacto. O tratamento da não inearidade geométrica da estrutura se dará peo código computaciona do SET, baseado numa formuação posiciona (Método dos Eementos Finitos osiciona MEF osiciona), desenvovido em COD (3) e COD & GRECO (4) para probemas estáticos, enquanto os probemas dinâmicos terão embasamento em um agoritmo baseado numa famíia de integradores temporais de Newmar, apicado em GRECO & COD (6). Finamente, os probemas de impacto serão soucionados utiizando-se o agoritmo de impacto desenvovido, que consiste na interferência direta nas posições de cada nó da estrutura que tenha sido identificado como impactante, onde sua posição fina é definida por um modeo simpificado de atrito de Couomb, sendo estes conceitos integrantes dos objetivos gerais na impementação do código computaciona. or fim todas as impementações computacionais provenientes desta dissertação desenvovidas durante o mestrado foram reaizadas em inguagem de programação FORTRN 6... Organização do trabaho qui se descreve como está organizado o trabaho referente aos conteúdos apresentados nos seis capítuos do mesmo. ém da introdução, que reata a

25 3 importância das formuações numéricas para promover aproximações que descrevam o comportamento mecânico das estruturas utiizando a não inearidade geométrica, o primeiro capítuo ainda apresenta a revisão bibiográfica que aborda diferentes formuações para resoução de probemas não ineares dinâmicos, feitas com descrições referenciais distintas. Este também aborda os métodos de soução mais utiizados na abordagem de probemas de contato/impacto. O segundo capítuo é composto por uma breve revisão dos conceitos da mecânica do contínuo descrevendo as medidas de deformação, função mudança de configuração, eis de baanço e tensores de tensão, sendo este capítuo essencia para formuação do método dos eementos finitos posiciona. formuação posiciona não inear geométrica para probemas estáticos e dinâmicos, e a estratégia numérica adotada são apresentados no capítuo três. Já o quarto capítuo trata de técnicas para soução de probemas de impacto, onde se descreve o método das penaidades e o método dos mutipicadores de Lagrange aém do método adotado neste trabaho, ou seja, controe de posições, descrevendo detahadamente o agoritmo de detecção de impacto e o tratamento dos pontos impactados segundo superfície curva com aproximação geométrica quaquer. Também neste capítuo comenta-se o uso do agoritmo tempora de Newmar em reação à estabiidade do mesmo quanto aos vaores adotados para seus parâmetros de integração. Os exempos numéricos, advindos da formuação adotada, são apresentados no quinto capítuo, onde se fez um estudo de convergência para discretização geométrica e para a discretização tempora. Finamente o útimo capítuo apresenta as concusões e projeções de trabahos futuros.

26 4.3 Revisão Bibiográfica não inearidade é abordada por diversos trabahos comprometidos em estudar o comportamento mecânico de um corpo quaquer submetido a diferentes tipos de soicitações. Esta abordagem se faz necessária em vários campos científicos, principamente na área da Engenharia, por fornecer resutados onde as aproximações ineares não são váidas e resutados que descrevem mehor a reaidade do comportamento do corpo, quando a teoria inear é váida. No entanto, a compexidade apresentada na formuação matemática muitas vezes inviabiiza uma formuação anaítica que descreva o comportamento não inear geométrico de uma estrutura, mostrando-se a necessidade de produzir formuações numéricas baseadas em métodos iterativos. orém, probemas envovendo corpos com geometria simpes podem ser determinados anaiticamente, como visto em BISSHO & DRUCKER (945) que desenvoveram souções para probemas de vigas engastadas e MTTISSON (98) que, para o mesmo probema obteve respostas utiizando integrais eípticas para quadro articuado e rígido. ara descrever mudanças sofridas por um corpo quaquer como, por exempo, desocamentos, deformações, tensões etc., deve-se conhecer as configurações exibidas por esse em determinado intervao de tempo. Consequentemente deve-se adotar uma dada configuração como sendo a referencia e posteriormente mensurar as grandezas inerentes. ortanto, para resoução de probemas envovendo a não inearidade geométrica em estruturas, apresentam-se formuações nas quais existem diferenças na descrição das coordenadas referenciais. Uma destas descrições é a chamada descrição Lagrangiana, onde se adota um referencia fixo no espaço para determinar as mudanças de configurações

27 5 sofridas peo corpo, tornando as operações matemáticas mais evidentes peo fato de ser conhecido o espaço em que estas são apicadas. Diferentemente, a descrição Eueriana determina as mudanças de configuração do corpo com base em um referencia móve, ou seja, as operações matemáticas são referenciadas no espaço que o corpo encontra-se em determinado momento. descrição Lagrangiana pode ser cassificada em três diferentes tipos, que são descritos em WONG & TINLOI (99), e dependem do referencia adotado como sendo o fixo. Se a referência for uma configuração fixa durante todo o tempo, ou seja, a configuração inicia, então a descrição será tota, já se esta for atuaizada no início de cada incremento de carga ou tempo a descrição será denotada por parciamente atuaizada e caso for atuaizada continuamente, ou seja, dentro dos incrementos de carga ou tempo a descrição é dita atuaizada. Vae a pena aqui comentar a contribuição do departamento de estruturas (SET) em reação ao desenvovimento do Método dos Eementos Finitos osiciona (MEF-osiciona), cuja formuação é feita com uma descrição Lagrangiana tota para probemas estáticos e dinâmicos com ou sem contato/impacto. Esta formuação foi adotada neste trabaho, e detahes referentes à mesma podem ser encontrados em COD (4), COD & GRECO (4), GRECO & COD (6). odemos citar outras formuações que utiizam à descrição Lagrangiana tota, como as encontradas nos artigos de MONDKR & OWELL (977), SURN (983) e SCHULZ & FILIOU (99). Já, trabahos como os de ETERSON & ETERSSON (985) e WONG & TINLOI (99) utiizam a descrição Lagrangiana parciamente atuaizada, enquanto que formuações que usam a descrição Lagrangiana atuaizada são vistas em MEEK & TN (984), GDL et a. (984), GHTTSS & BEL (987) e GUZELBE et a. (5), entre outros.

28 6 Em se tratando de formuações desenvovidas por meio da descrição Eueriana podem ser citados os artigos de, ORN & KSSIMLI (976) e IZZUDDIN & ELNSHI (993), aém de ser preferenciamente apicada para aproximações computacionais de dinâmica de fuidos. Trabahando com os dois tipos de descrição (Lagrangiana e Eueriana), SLONE et a. (7) desenvoveram um agoritmo aternativo para coisão com atas veocidades entre estrutura rígida e projéti. Como descrito, existem inúmeras formuações envovendo a não inearidade geométrica, desenvovidas para diferentes tipos de probemas, dentre os quais se podem citar o trabaho de RIKS (979) para probemas de fambagem, que por meio de um processo incrementa buscou identificar os pontos imites (carga e desocamento) e pontos de bifurcação. ara esta identificação, adotou estratégias numéricas desenvovidas em RIKS (97) junto com o cássico método de Newton- Raphson. guns outros trabahos também apresentam inerentes estratégias numéricas, como os apresentados em BTOZ & DHTT (979) e FUJII et a. (99) que utiizaram o método do controe de desocamentos, CRISFIELD (98) e SOUZ NETO & FENG (999) desenvovido peo método do controe do comprimento de arco e NG & McGUIRE (985) formuado por meio do método do controe de trabaho. Utiizando estratégias de Newton-Raphson, método de desocamento e método do comprimento de arco, NG & SHIEF (99) apresentaram uma estratégia unificada para resoução de probemas estruturais com pontos críticos, o que faciitou a incorporação de diversos métodos numéricos conhecidos. Uma outra formuação não inear de destaque é a formuação de cinemática exata que pode ser encontrada em diversas produções, como os artigos de

29 7 REISSNER (973), SIMO et a. (984) e WRIGGERS & SIMO (99), sendo estes baseados na teoria não inear de vigas de Reissner. Deve-se comentar que a formuação aqui utiizada se enquadra nesta categoria. Em se tratando de formuações não ineares para probemas de contato/impacto, tem-se como objetivo determinar a configuração exibida peo corpo ao impactar. Logo, mudanças de configurações no contorno de um corpo materia quaquer ao sofrer contato ou impacto são objetos de estudo na anáise não-inear de contato. Este probema de ato grau de compexidade tem uma vasta gama de métodos numéricos desenvovidos, que na sua grande maioria são baseados no método dos eementos finitos, e dificimente são gerais, ou seja, são apicáveis para probemas específicos. No âmbito do estudo do comportamento, quanto à existência de restrições de contato, de probemas dinâmicos com impacto, denota-se a grande quantidade de métodos que podem ser praticamente engobados em dois grandes grupos principais. O primeiro, é conhecido como o método dos mutipicadores de Lagrange, sendo este utiizado no desenvovimento de um grande marco em termos de métodos numéricos para soução de probemas com contato/impacto, que foi o trabaho de HUGHES et a. (976), tendo uma significativa contribuição na construção de aproximações por meio de eementos finitos nas apicações de impacto entre barras chegando até cascas, considerando probemas eásticos sem atrito. Sendo também um dos pioneiros em probemas de contato dinâmico, CHUDHR & BTHE (985) desenvoveram um método de anáise de probemas estáticos bidimensionais com grandes campos de desocamentos, onde o tamanho do sistema de equações é aumentado com a introdução dos

30 8 mutipicadores de Lagrange. Em seguida desenvoveram um método dos mutipicadores de Lagrange gera para o comportamento de probemas de contato dinâmico ou estático tridimensiona evando em consideração o atrito (CHUDHR & BTHE (986)). ara tanto, utiizaram uma combinação entre os mutipicadores de Lagrange e o agoritmo de integração de Newmar com parâmetros de integração diferentes dos conhecidos, obtidos pea regra trapezoida. No entanto, quando o tamanho do incremento de tempo se torna pequeno, nota-se a instabiidade do método para anaisar probemas de contato dinâmico com forças inerciais reativamente eevadas, embora ainda mehor do que a regra trapezoida extensamente usada. Mais recentemente, esforços eficientes foram feitos para superar esta fraqueza em diferentes aspectos, como CRENTER et a. (99), que combinou o agoritmo de diferença centra com o mutipicador de Lagrange para obter uma mehor precisão na estimativa das forças de contato, modificando a equação de equiíbrio dinâmico, tornando-a singuar, de modo que a soução desta na forma iterativa se dá pea utiização do agoritmo de Gauss-Seide. Já TLOR & DOOULOS (993) apresentaram uma formuação variaciona, expressando os mutipicadores de Lagrange em termos de veocidade e aceeração, combinado com um eficiente agoritmo de contato. pesar de o método ser muito eficiente para a soução de probemas simpes, este apresenta um ato grau de dificudade ao se tratar de probemas mais compexos, como probemas de contato dinâmico tridimensiona entre corpos com superfícies curvas e com atrito. Como nas útimas duas referências, onde procurou-se reverter à dificudade de apicação do método dos mutipicadores de Lagrange no integrador tempora de Newmar padrão, HU (997) propôs uma formuação baseada nos mutipicadores

31 9 de Lagrange, garantindo a condição de penetração nua, combinado com um tipo de agoritmo de Newmar modificado. Nesta evou-se em conta a infuência direta exercida na aceeração, veocidade e desocamento introduzida peos mutipicadores de Lagrange, assumindo-se, para pequenos incrementos de tempo, que a aceeração no passo de tempo futuro pode ser controada pea força de contato (mutipicador de Lagrange) no tempo atua. Ta infuência foi considerada modificando-se a equação de equiíbrio, produzindo um agoritmo incondicionamente estáve que resutou em um método eficiente para a anáise numérica de probemas dinâmicos de contato. or meio deste, pode-se corrigir probemas de instabiidade no integrador tempora para probemas compexos de impacto demonstrados na formuação de CHUDHR & BTHE (986), já que este não era provido de agoritmo de amortecimento. MIZKI & RK (6), apresentaram uma nova formuação do método dos eementos finitos para impacto com atrito de corpos eásticos, baseada na introdução de uma estrutura de contato que contém a superfície de contato, utiizando para isto mutipicadores de Lagrange ocaizados, definidos nos nós em contato, considerando-os variáveis independentes. O segundo grande grupo de métodos é chamado de método das penaidades, onde as condições de contato são satisfeitas com a introdução de parâmetros de penaização. GBRIEL et a. (4) eaborou um agoritmo de contato tridimensiona baseado na pré-discretização do método das penaidades que aumenta a quaidade da discretização de contato por uma superfície de pontos de integração de Gauss. Combinando o método das penaidades com uma formuação fraca para discretizar o contato, WRIGGERS et a. () desenvoveu um pano de

32 discretização de contato para diferentes interpoadores, obtendo assim, campos de panos norma e tangente para contato com atrito de corpos deformáveis. Destas duas vertentes de métodos numéricos de soução de probemas de contato/impacto com ou sem atrito, surgiram novas metodoogias utiizando conceitos determinados no método das penaidades e mutipicadores de Lagrange. Um destes novos métodos seria o augmented-lagrangian, apicado por BUSCGLI et a. (), que assumiu como hipóteses o comportamento eástico inear e deformação infinitesima, definindo por meio destas, uma estimativa de erro a posteriori para probemas de contato com atrito utiizando o método dos eementos finitos para soução aproximada. Combinando o método das penaidades cássico e os mutipicadores de Lagrange, para interpretar a impenetrabiidade entre dois corpos por meio de um parâmetro de controe, WNG et a. (7) criou um agoritmo para computar a força de contato utiizando uma anáise expícita, adotando os eementos finitos para anáise numérica. ara isto, a condição de penetração nua (CN) e a interação entre pontos de contato da vizinhança são consideradas, sendo o agoritmo totamente compatíve com integração tempora expícita. No entanto, não existem apenas métodos de soução que envova parciamente ou inteiramente cada agoritmo ou ambos (mutipicador de Lagrange e penaidade), mas sim outras técnicas que não os aborda. Um destes é o agoritmo de contato desenvovido por FRHNI et a. (), conhecido como united eement method UEM, onde existe uma união entre o nó impactante da estrutura móve e os eementos da estrutura avo. O chamado método dos eementos unidos pode ser utiizado para probemas não ineares estáticos e dinâmicos e é baseado na transformação da rigidez e eiminação dos graus de iberdade da norma a

33 superfície impactada do eemento avo no ponto impactante, assumindo que a força de contato é desenvovida entre os pontos da estrutura móve e da superfície avo que sofreram impacto. O método é considerado de fáci impementação computaciona como mostrado em FRHNI et a. (). Nesta referência são apresentados detahes do método numérico (UEM), destacando que a técnica de soução não inear é o Método de Newton-Raphson. Logo, peo reatado acima se sabe que a primeira dificudade no desenvovimento de agoritmos para probemas de contato/impacto é determinar a ocorrência do mesmo. Trabahos precursores no desenvovimento de agoritmos para a soução de probemas de contato foram os de HLLQUIST et a. (985) e BENSON & HLLQUIST (987). partir destes trabahos, surgiu a técnica chamada de agoritmo de superfície única sideines ou simpesmente de agoritmo de contato de superfície única. Neste a penetração é detectada entre cada nó do eemento móve save-node próximo à superfície do eemento avo, e por todos os mastersegments pertencentes à mesma, associado com um nó vizinho adequadamente próximo. odemos categorizar os agoritmos de busca de contato dentro de três tipos, dos quais, aém da técnica da superfície única ( save-node ) temos a tipo mastersave e a tipo hierarquia. técnica tipo master-save ou mestre escravo, foi utiizada por HLLQUIST (979) para anaisar respostas estáticas e dinâmicas de sóidos bidimensionais, enquanto CRISFIELD () utiizou-a juntamente com o contact patch test. Este utiizou o MEF associado com o contact patch test para propor uma nova formuação de contato, usando a combinação de funções de contorno

34 quadráticas e ineares. Utiizando a mesma técnica, master-save com a aproximação node-to-segmento, CZEKNSKI & MEGUID (6) criaram uma formuação baseada em inequações variáveis para o tratamento dinâmico de probemas de contato eastopástico, onde a representação das condições de contato cinemático é baseada em uma superfície intermediária, entre as superfícies de contato save e master, com norma singuar. ara a soução do agoritmo foram usados programação matemática e mutipicadores de Lagrange para identificar uma candidata à superfície de contato e a tensões de contato. Muitos trabahos fazem à utiização da aproximação conhecida como node-to-segmento entre ees podemos citar ZHONG (988), NILSSON et a. (989), ZHONG (993), STUKIEWICZ () e WNG et a. (). Um dos trabahos recentes envovendo a técnica master-save foi o apresentado por WNG et a. (7), onde o par de contato é definido por um nó save e um eemento master. O ponto de contato é definido em um segmento master mais próximo possíve do nó save e cacuado por meio da minimização de uma função descrita por um vetor posição, referenciado a certo espaço, e um segmento que pode ser descrito por uma representação paramétrica biinear. or útimo temos a técnica denotada por tipo hierarquia, que pode ser caracterizada por conceitos de território de hierarquia ou conceitos de território de contato, vistos em ZHONG & NILSSON (996). Esta apresenta uma expansão do território de hierarquia para reduzir a freqüência de busca goba. Outro conhecido agoritmo desenvovido pea mesma técnica é o tipo pinba apresentado em BELTSCHKO & NEL (99) e BELTSCHKO & EH (993), onde são evadas em conta as áreas de infuência do eemento avo, que são circuares ou esféricas, no entanto estes tipos de agoritmos fornecem resutados nem sempre confiáveis.

35 3 orém combinando as vantagens da técnica hierarquia tipo pinba e a aproximação node-to-segment, DOULOS & TLOR propuseram o agoritmo de cassificação esférica, aumentando o rigor do mesmo. or ser soicitado por ações que variam com o tempo, o comportamento dinâmico das estruturas é de grande importância para descrever a configuração que um determinado corpo apresenta em um determinado passo de tempo. ortanto, a utiização de um agoritmo que faça o engobamento de variáveis referentes a um instante de tempo passado e um instante de tempo atua se faz necessário. Como o equiíbrio dinâmico é formado por diferenciais de posições e tempo há necessidade de utiizar um agoritmo de integração tempora, que pode ser cassificado como expícito ou impícito. Segundo BTHE (996), para um agoritmo expícito as variáveis futuras dependem apenas das do passado, de modo contrário um agoritmo impícito eva em consideração tanto as variáveis do tempo passado quanto as próprias variáveis do tempo atua. Trabahos como os de COOK et a. (989) e KRSL & BELTSCHKO (998), utiizaram agoritmos expícitos, denotado de Método das diferenças centrais. Já para agoritmos impícitos existe uma infinidade de produções que envovem na sua grande maioria a famíia de integração Newmar, tanto para uma aceeração média quanto inear entre intervaos constantes de tempo. O uso de Δt constante gera dificudades de identificação do tempo exato do impacto. Este probema pode ser resovido por uma discretização tempora mais refinada ou utiizando agoritmos de integração tempora descontínuos, como os apresentados em HULBERT (99) e KROGLN & NOOR (997), que utiizaram o método de Gaerin com a apicação da técnica dos mínimos quadrados, e CHO & KIM (999) que apresentaram uma integração tempora utiizando a técnica de penaização.

36 4 Com a utiização necessária de um tipo de agoritmo de integração tempora dentro de agoritmos de impacto, probemas referentes à instabiidade numérica dos mesmos, principamente em casos onde é considerado atrito, são gerados. or isto eis referentes ao atrito devem ser impostas para produção de um agoritmo de retorno, definindo-se o ponto sobre a superfície de contato que o nó impactante deve ser evado. Neste trabaho iremos trabahar com probemas de impacto contra anteparo rígido com e sem atrito, utiizando uma técnica abordada em SIMO et a. (986) e GRECO (4), que se baseia numa interpretação geométrica do modeo de atrito de Couomb cássico. Do mesmo modo, CZEKNSKI & MEGUID () assumiram que os efeitos do atrito são governados por uma reação do modeo de atrito de Couomb, que define as condições do mesmo. No entanto, sua formuação é feita com inequações variacionais para probemas de contato easto-dinâmicos, onde todas as forças envovidas na equação de equiíbrio, incusive a força de atrito, produzem uma taxa de trabaho virtua. Este apresenta dois agoritmos de soução, onde um apresenta um método iterativo utiizando os mutipicadores de Lagrange, e o outro resove o equiíbrio diretamente usando um agoritmo de otimização não diferenciáve. Na formuação desenvovida por MISKI & RK (6) a força de atrito é definida pea componente tangencia da força de contato, onde o momento inear é exatamente conservado enquanto o momento anguar é aproximadamente conservado apresentando um insignificante erro. Outro trabaho, que envove o rincípio dos Trabahos Virtuais (TV), foi o apresentado na formuação feita por CHEN et a. (993), onde utiizaram também uma função de reaxação viscoeástica. Já WRIGGERS et a. () apresentou uma formuação para corpos deformáveis em apicações bidimensionais, onde o modeo de atrito é derivado do eemento de

37 5 contato com atrito de Bézier, que apresenta uma interpoação cúbica (curvas de Bézier). nteriormente WRIGGERS et a. (99) tinha produzido um modeo de atrito compexo, que considerava a não inearidade no comportamento da superfície de contato. Esta técnica era baseada em um modeo de atrito micro-mecânico. Outros trabahos apresentam formuações não ineares para o modeo de atrito, como ODEN & IRES (983) que aém de não ineares são não ocais, ODEN & MRTINS (985) com formuações numéricas e SIMO & LURSEN (99) que se baseiam no método dos mutipicadores de Lagrange. No entanto, vários trabahos desconsideram a existência de atrito na superfície de contato como os apresentados por SOLBERG & DOOULOS (998) e LNDENBERGER & ELZFRN (999), que utiizaram o método dos mutipicadores de Lagrange e o método das penaidades, respectivamente. Também sem considerar o atrito RMERO & ETOCZ (998) utiizaram a técnica da penaização visando acançar a conservação da energia tota do sistema. Do mesmo modo HEISTEIN et a. () consideraram a conservação de energia dos corpos separadamente, considerando uma formuação fraca na região de contato e forte para o restante do sistema. Como citado anteriormente, este trabaho será destinado a anaisar probemas de impacto contra anteparo rígido com e sem atrito, utiizando uma representação geométrica do modeo de atrito de Couomb para tanto, e os parâmetros de integração modificados de HU (997) no integrador tempora de Newmar. superfície avo será curva e modeada por eementos da ordem que se deseje. Destaca-se que, conforme a revisão apresentada, o conhecimento científico nesta área é muito disperso e a escoha de um determinado método para se apicar

38 6 é muito difíci, dando-se, portanto neste trabaho, prioridade ao procedimento iniciado no trabaho de GRECO (4) no SET (Departamento de Estruturas). retende-se mostrar, ainda que de forma simpificada, que o método dos mutipicadores de Lagrange e o das penaidades, podem ser substituídos por método equivaente e mais simpes chamada aqui de controe de posições. Neste, a CN é apicado, ta como no método dos mutipicadores de Lagrange, porém as forças internas desenvovidas no corpo são consideradas (no imite) como as forças de contato entre os corpos impactados.

39 Mecânica do contínuo Capítuo. Cinemática Tratando do movimento em si, ou seja, sem cogitar as causas que o determinam nem a natureza dos objetos animados de movimento, a descrição cinemática terá um caráter universa, não dependendo de forças e nem das substâncias constituintes do materia, utiizando apenas noções primitivas de tempo, ugar e corpo. Segundo RIS (989), os resutados providos do estudo da cinemática são apicados a todos os materiais e servem de base para construção dos resutados da dinâmica. O mapeamento, chamado de configuração nos permitirá representar uma partícua do corpo por um ponto no espaço pontua eucidiano Ε, dando assim um sentido geométrico concreto ao corpo e ao movimento, tendo o tempo como parâmetro. Conceitos da função mudança de configuração serão abordados, já que esta é fundamenta no estudo da mecânica do contínuo em gera... Movimento de corpos e mudança de configuração Composto por um conjunto de partícuas, o corpo B ocupa várias configurações ao ongo do tempo, que podem ser descritas em um espaço

40 8 eucidiano Ε. s partícuas do corpo devem ser coocadas em correspondência bijetiva com os pontos de uma região B Ε, para que se possa determinar a cassicamente chamada deformação do corpo B de uma configuração até outra, chamada aqui de função mudança de configuração, por meio de uma descrição referencia. Esta função descreve o movimento do corpo, tendo como parâmetro o tempo, Ψ : B B, e é chamada de configuração. O mesmo nome é dado ao seu vaor B Ψ ( B ), ou seja, região ocupada peo corpo em Ε. O corpo só está animado de movimento quando a mudança de configuração é reevante, definindo assim uma famíia de configurações que tem como parâmetro o tempo t, num certo intervao. Ou seja, existem várias configurações, como duas configurações quaisquer Ψ e Γ, que o corpo assume ao ongo do tempo, que são expressas peas reações: y Ψ ( ) Ψ ( y) (.) x Γ ( ) Γ ( x) (.) Estas exprimem as posições de x, y Ε ocupadas peo ponto B, nas configurações Ψ e Γ, respectivamente. composição de Ε sobre Ε f Ψ Γ ( B ) Ψ ( B ) Γ (.3) é definida por: y f ( x) (.4) onde Ψ é a configuração atua e Γ é a configuração de referência. Logo, o movimento é descrito num intervao * I R por uma função f t * B I Ψ ( B ), sendo o produto vetoria, onde sua inversa no t mesmo intervao de tempo * I, fica definida a partir da equação (.4), como:

41 9 y f t ( x) f ( x, t ) (.5) x f ( y ) f ( y, t ) (.6) t Sendo f de casse C, para evitar assim descontinuidades nos campos associados, segundo COIMBR (978) e OGDEN (984). De posse das posições ocupadas pea partícua Γ ( B ) no tempo, podese determinar a veocidade e aceeração da mesma, denotando a derivada no tempo por: y d f ( x, t ) f ( t ) t dt, (.7) d y f ( x, t ) f (, t ) (.8) t dt Conseqüente ao movimento há reaização de trabaho, no entanto a mudança de configuração ou mudança de posição não reaiza trabaho por si só, ou seja, em um sistema de forças em equiíbrio, onde as resutantes de forças e momentos são nuas, apicado em um corpo rígido não gera trabaho. Diferentemente, um sistema de forças apicadas a um corpo eástico, há devido a estas, reaização de trabaho que deve ser armazenado no próprio corpo, que por sua vez está associada à deformação do mesmo. ara se quantificar adequadamente a energia armazenada, denominada energia de deformação, é necessário se avaiar a mudança de configuração ponto a ponto do contínuo. ortanto, a função mudança de configuração, y f ( x), reaciona no espaço n R, as configurações inicia ( ) B e atua ( ) B do corpo, conforme Figura..

42 x x yf(x) y y x B y B Figura.: Mudança de configuração de um corpo quaquer x ara um ponto aeatório x, expande-se f em série de Tayor na vizinhança do mesmo, a qua pode ser escrito como: f ( x) f ( x Δx) f ( x ) Gradf Δx O (.9) y x ou simpesmente: y Gradf Δx O (.) y x O gradiente da função no ponto x indicará a mudança de comprimento e direção do vetor infinitesima dx para uma nova posição dy, no ponto y da configuração genérica (atua), obtida apicando-se o imite na equação (.) quando Δx, ta como: dy Gradf dx (.) x equação (.) pode ser expressa na forma matricia, trabahando no espaço R, em função das componentes, como:

43 dy dy f f x x f f x x x dx dx (.) Em notação indicia esta expressão fica: dy i f x dx (.3) i j x j O gradiente da função mudança de configuração, agora será denotado por um tensor, que descreve a mudança de forma do corpo no ponto x, quando ee passa da configuração de referência x para a configuração atua (genérica) y, ficando a equação (.3) expressa coetivamente por: onde: dy x dx (.4) x f x (.5) x i j ode ser observado que toda a formuação está sendo feita sobre uma referência fixa (configuração de referência), portanto a descrição referencia é dita Lagrangiana, consequentemente todas as operações integrais e diferenciais devem ser feitas sobre o voume inicia do corpo... Medidas de deformação Definir medidas de deformação como, aongamento, deformação e extensão de uma fibra, aém da distorção entre duas fibras quaisquer, são imprescindíveis para a compreensão e fundamentação de uma formuação não inear geométrica, como a adotada. ara produzir as expressões de deformação, chamadas de medidas de deformação não inear de engenharia, a qua é encontrada em ivros mais apicados como CRISFIELD (99) e BTHE (98), onde esta é apresentada

44 de maneira simpificada, necessita-se conceituar o aongamento reativo, que também é determinado a partir do gradiente da função mudança de configuração. ntes de apresentar as grandezas de importância, deve-se notar que uma fibra (inha materia) indicada por um vetor infinitesima dx no ponto x, na configuração inicia, não pode ser aniquiado ao mudar de forma para dy em uma nova posição, agora no ponto y da configuração genérica (Figura.). Desta forma, da equação (.4), tem-se: dy dx dx (.6) Desta expressão é fáci concuir que o jacobiano é diferente de zero, ou seja: J det( ) (.7) Sendo o tensor não singuar e de posse das propriedades de tensores de segunda ordem é verificado que: T T T ( ) C (.8) ou seja, C é simétrico. Obedecendo a equação (.6), podemos escrever: dx.( T ) dx ( dx ).( dx ) dy. dy dy > (.9) Deste modo, C T é um tensor simétrico definido positivo, nomeado aongamento de Cauchy-Green (COIMBR (978)) ou tensor de Cauchy-Green à direita, por estar reacionado com a configuração de referência, tendo extrema importância em deduções na anáise não inear geométrica de meios contínuos. Sabe-se que a deformação ongitudina só ocorre se após a mudança de configuração houver ateração no comprimento de uma fibra arbitrária dx. Utiizando a equação (.4) encontra-se o comprimento da fibra na configuração deformada como:

45 3 ( x dx ) y y ( x) dx (.) onde representa a norma. ou seja: or definição, apicando-se o produto interno tem-se: dy. dy dy ( dx ).( dx ) ( dx ). dx (.) dy T dx. dx dx. C dx (.) Logo, uma expressão que mede a mudança de comprimento de uma fibra arbitrária imersa em um contínuo, ou seja, que fornece uma quantificação do seu aongamento é: dy T T dx dx. dx I dx. dx dx.( I) dx dx.( C I) dx (.3) ortanto, a deformação ongitudina só ocorrerá se o aongamento de Cauchy- Green for diferente da identidade, ou seja, uma condição necessária e suficiente de indeformabiidade de um ponto é: C T I (.4) Ou seja, o gradiente de deformação deve ser um tensor ortogona, onde: T T I e det( ) (.5) Concui-se que, um corpo é indeformado pea função mudança de configuração se e somente se esta constituir uma rotação ou transação de corpo rígido, ou mesmo combinação das duas. or este motivo a não vaidade da iguadade na equação (.4) em um determinado ponto, acarreta em uma deformação, cuja intensidade é medida, de certa forma, peo tensor ( T I ), definindo o tensor de deformações de Green, que é uma medida de deformação Lagrangiana.

46 4 E T ( C I ) ( I ) (.6) De maneira simiar pode-se definir a medida de deformação a partir da configuração atua (fina) do corpo. ara isto se escreve a posição de um ponto nesta configuração utiizando uma função inversa do gradiente, fazendo as operações integrais e diferenciais em reação ao voume fina do corpo. ortanto, se dy dx, tem-se: dx dy (.7) sendo: dx dx dx ( dy ). ( dy ) T dy.[( ) dy ] T dy.( ) dy (.8) dx dy. D dy onde, T D é o tensor de Cauchy-Green à esquerda, definindo, por exempo, uma grandeza de deformação Eueriana, chamada de tensor de deformação de mansi. T [ I ( ) ] ( I ) D (.9) Votando a conceituaização do aongamento reativo tem-se, adotando dois versores u e v no sentido de dx e dy respectivamente, então utiizando a equação (.4), se escreve: dy dx dy v dx u dy v T dy v dx u T dx u

47 5 dy v T v u T u dx dy u T T u dx dy dx T T { u.( u )} λ ( u ) (.3) a sendo λ (u ) a o aongamento reativo ou estiramento, dado pea razão entre o comprimento fina de uma fibra na direção de v, na configuração atua, e o comprimento inicia da mesma na direção de u, na configuração de referência. Logo, se o materia constituinte do corpo for indeformáve o seu aongamento reativo de acordo com as equações (.4) e (.6) é λ ( u ). Com o aongamento reativo pode-se determinar a chamada nos textos cássicos de razão de extensão na direção u, e entendida aqui como deformação ongitudina de engenharia em reação à configuração inicia, sendo dada pea seguinte equação: dy dx ε ( u ) λ a ( u ) (.3) dx a or sua vez dy dx é chamada de extensão. odemos também escrever a medida de deformação em função da configuração atua, anaogamente ao processo anterior, de modo que o aongamento reativo fica determinado por: T T { v.( DD v )} ' dx λ a ( v ) (.3) dy λ ( u ) Logo, a deformação ongitudina de engenharia em reação à descrição Eueriana fica determinada como: ' dy dx ' ε ( v) λ a ( v) (.33) dy λ a a ( u )

48 6 ara determinar a expressão da distorção, devemos determinar primeiramente o ânguo de distorção formado após a mudança de configuração. ara isto, tomam-se dois vetores com direções quaisquer (não coincidentes), na configuração de referência, e os mesmos ocupando novas direções na configuração fina, vistos na Figura., ogo: du du u e du u du (.34) dv dv v e dv v dv (.35) x u f v u x B y B v Figura.: Mudança de configuração para distorção x dado por: Como o cosseno de um ânguo ϕ entre dois versores quaisquer u e v é cos( ϕ ) u.v (.36) Tem-se então para configuração inicia e fina o seguinte: cos( α ) u u (configuração inicia) (.37).. cos( ψ ) v v (configuração fina) (.38)

49 7 ea equação (.4), pode-se escrever um vetor na configuração fina em reação ao da configuração inicia como: v u dx dy (.39) Consequentemente a equação (.38) fica definida em função de u e u. dx dx u u cos( ψ ) u. u. (.4) dy dy λ a ( u ) λ a ( u ) concuindo que: T T.( ) cos( ψ ) u u λ ( u ) λ ( u ) (.4) a a diferença ( α ψ ) é o ânguo de distorção, que depende apenas da configuração inicia e do aongamento de Cauchy-Green, denotando a independência em reação ao movimento de corpo rígido. or fim, a partir das equações (.37) e (.4) vem à definição de distorção de engenharia γ u u, sem imitações impostas a estas quando associada a pequenas deformações. artindo da idéia de reproduzir deformações em direções ortogonais, define-se u e u como ortogonais ( α π ), deste modo à distorção é dada por: T T u.( u ) γ arccos uu π ψ π (.4) λ a ( u ) λ a ( u ) sendo a deformação distorciona dada por: ε u u γ u u (.43) Observa-se na equação (.4) que se T I também não há distorção, confirmando as observações feitas após a equação (.3).

50 8. Leis de baanço Tendo uma apicação gera em sóidos e fuidos, os baanços de massa, de quantidade de movimento e de energia, que serão resumidamente apresentados a seguir, resutam em equações de equiíbrio e movimento aém de forças e tensões, que serão escritas em suas representações Euerianas e Lagrangianas. ortanto, estas são essenciais para formuação numérica de anáises dinâmicas, já que a mesma se fundamenta nestas eis, onde a variáve tempo é indispensáve... Conservação de massa Sendo um corpo B (arbitrário), assume-se a existência, sobre este, de uma função escaar m R, chamada de massa. massa de um corpo B é conservada durante um processo físico, consequentemente é independente do tempo, ou seja, independe da configuração que o corpo venha a exibir ao ongo do tempo, isto é: m ( ) t ( ) m (.44) ssume-se também a continuidade do corpo B. Define-se um campo escaar contínuo ρ (densidade), para uma configuração quaquer, chamado densidade mássica, ta que: ( ) m ρ ( y, t ) dv (.45) gora, utiizando o princípio de conservação de massa e fazendo a troca da variáve de integração, a equação integra (equação (.45)) fica expressa por uma integra sobre uma região fixa B. ( ) m ( ) m (.46)

51 9 ou seja: ρ ( x) dv ρ ( f ( x, t ), t ) J dv (.47) onde a densidade ρ se refere a da configuração de referência estática. Utiizando o teorema da ocaização (OGDEN (984)), determina-se que: ρ Jρ (.48) sendo ρ um campo espacia (escaar) suave. Usando o teorema de transporte de Reynods (OGDEN (984)), a equação de baanço na forma integra fica expressa por: m (, div y ) dv ( ) ( y t ) ρ ( y, t ) ρ (.49) odendo ser expressa também na forma oca como: ( y, t ) ρ ( y, t ) div y ρ (.5) Como os campos reacionados na útima equação dependem das coordenadas espaciais e do tempo, está é uma reação Eureiana... Baanço de quantidade de movimento... Baanço de quantidade de movimento inear quantidade de movimento inear L em uma região quaquer de um corpo contínuo é dada pea soma da quantidade de movimento de cada partícua que o constitui. Esta grandeza pode ser escrita na forma Lagrangiana ou Eueriana, conforme a seguinte expressão: L ( ) ( x ) V ( x t ) dv ρ ( y, t ) v ( y, t )dv ρ r, a (.5) onde, V ( x, t ) v ( y, t ) y ( x t ). r a,

52 3 ssumindo-se a existência de dois tipos de forças atuando sobre a descrição do corpo, pode-se distingui-as como forças de corpo, exercidas sobre pontos interiores do corpo, definida pea densidade de força de corpo ( y t ) b, e forças de superfície ( y t ) t s,, exercidas sobre o contorno Ω, definidas por unidade de superfície. ssim, apicando a segunda Lei de Newton estabeece-se o baanço da quantidade de movimento para toda região materia como: F ext ( ) L ( ) (.5) ortanto, a expressão integra do baanço da quantidade de movimento fica definida pea resutante de forças F ext ( ), como: Forma Lagrangiana ρ * * ( x) V ( x, t ) dv ρ ( x) b ( x, t ) dv t ( x, t ) d r s Ω (.53) Forma Eueriana ( y, t ) v ( y, t ) dv ρ ( y, t ) b( y, t ) dv t ( y, t ) d ρ a s (.54) Ω. onde, ( y, t ) y ( x, t ) v a... Baanço de quantidade de movimento anguar picando os princípios da dinâmica em meios contínuos, escreve-se o momento anguar como a soma (integra) das parceas referentes a cada diferencia de voume que o forma. Desta maneira, para quaquer região materia f ( ) tem-se:,

53 3 M a ( ) ( y, t) y va ( y, t) dv ρ ( x) f ( x, t) Vr ( x, t) dv ρ (.55) O momento das forças externas apicadas M ext, também pode ser expresso na forma Eueriana e Lagrangiana. M M ext ext ( ) ( y, t) y b( y, t) dv y t ( y, t) d ρ s (.56) Ω * * ( ) ( x) f ( x, t) b ( x, t) dv f ( x, t) t ( x, t) d ρ s (.57) Ω or outro ado, a ei de baanço da quantidade de movimento estabeece que o momento das forças externas é a taxa de variação do momento anguar a ( ) M ext M, portanto as expressões integrais do baanço do momento anguar Eueriana e Lagrangiana são respectivamente definidas por: ( y, t) y v ( y, t) dv ρ( y, t) y b( y, t) dv y t ( y, t) d ρ a s (.58) Ω ( x) f ( x, t ) V ( x t ) dv ρ r, * * ( x) f ( x, t) b ( x, t) dv f ( x, t) ts ( x, t) d ρ (.59) Ω...3 Tensores de tensão Sendo reacionada à configuração deformada (atua), portanto desconhecida, as equações de equiíbrio da anáise não-inear geométrica podem ter, como neste trabaho, suas integrais reacionadas com medidas da configuração indeformada (inicia). Consequentemente surgem diferentes definições para os tensores de tensão.

54 3 ara definição destes tensores, considera-se uma região do corpo na suas configurações inicia e fina (Figura.3). f x d d n y d d n B B Figura.3: Configuração inicia e fina do corpo e resutantes de tensão Definido a partir da medida Eueriana o tensor de Cauchy T, um tensor de tensão simétrico, é utiizado para determinar o vetor de força resutante d no ponto y do eemento de área d, pea reação: d T n d (.6) onde n é o versor norma à superfície imaginária no ponto considerado. expressão (.6) é usuamente conhecida como postuado fundamenta de Cauchy. ara exprimir a equação (.6) em termos da área eementar indeformada d, cooca-se esta em correspondência com a posição atua por meio do gradiente de deformação, definindo-se um novo tensor de tensão (tensor de tensão de ioa-kirchhoff de ª espécie S ): d S n d (.6)

55 33 T ( n d ) Fazendo a reação de Nanson n d ( det ), pode-se determinar a reação entre os tensores de Cauchy e ioa-kirchhoff de ª espécie (não simétrico), dada por: S T T T ( ) T J T G det (.6) onde G é o tensor de tensão de Kirchhoff-Treftz. Outro tensor de tensão existente é o tensor de tensão de ioa-kirchhoff de ª espécie, * S, também descrito na configuração inicia, porém diferentemente do anterior este é simétrico, entretanto ee não esta associado a uma interpretação física. Utiizando a propriedade do tensor em questão o vetor força resutante fica: d (.63) * S n d picando a reação de Nanson obtem-se: S S (.64) * Consequentemente o tensor tensão de ioa-kirchhoff de ª espécie fornece com referência a configuração inicia o vetor tensão atua pea reação d d. ode-se também definir diferentes expressões para os tensores de tensão em reação ao gradiente de deformação, como: * S S (.65) S T J T S * T (.66) S * J T T S t T (.67) T J * T S (.68)

56 34 Sendo * S fundamenta para faciitar a definição de funcionais de energia usuamente empregados no Método dos Eementos Finitos. Determina-se a Lei de movimento de Cauchy pea substituição da equação (.6) na equação (.54), sabendo-se que d t s ( y, t )d. ( y, t ) v ( y, t ) dv ρ ( y, t ) b( y, t ) dv T ( y, t ). n d a ρ (.69) Ω eo teorema da divergência e ocaização tem-se: T [ ( y, t ) b( y, t ) div ( T ( y, t )) ρ ( y, t ) v ( y, t )] dv ρ a (.7) ssumindo a continuidade do núceo integra chegamos a expressão fina da Lei de movimento de Cauchy, definida pea expressão (.7). T ( y t ) b( y, t ) div T ( y, t ) ( ) ρ ( y, t ) v ( y, ) ρ, t (.7) a Logo, reunindo as equações (.5), (.7) e sabendo que T T T, conhecida como a segunda Lei de movimento de Cauchy, fica definido as equações Euerianas de campo. Já as equações Lagrangianas de campo são definidas a partir da equação (.53), e seus termos são escritos em função da configuração de referência e pea definição do tensor de tensão de ioa-kirchhoff de ª espécie, como segue: ρ * ( x) V r ( x, t ) dv ρ ( x) b ( x, t ) dv S ( x, t). nd Ω (.7) picando novamente o teorema da divergência e da ocaização, chega-se: * T [ ( x) b ( x, t ) div ( S ( x, t) ) ρ ( x) V r ( x, t ) ] dv ρ (.73) naogamente, a equação Lagrangiana de movimento fica definida por: * T ( x) b ( x t ) div ( S ( x, t) ) ρ ( x) V ( x, t ), r ρ (.74)

57 35 Usando agora a quantidade de movimento anguar (equação (.58)), pode-se definir as seguintes reações: S S T T T J J T T T J I T J J T T T J T T S S T (.75) equação de conservação de massa fica dada por: det( ) J ρ (.76) ρ ortanto, as equações Lagrangianas de campo ficam determinadas peas expressões (.74), (.75) e (.76)...3 Baanço de energia No contexto dos meios contínuos, definimos em uma região materia quaquer a potência mecânica ext ( ), produzida peo trabaho reaizado peas forças externas. ext ( ) ( y t ) b( y, t ). v ( y, t ) dv t ( y, t ). v ( y, t ) d ρ (.77), a s Ω a or conseqüência da apicação de trabaho exterior a um corpo contínuo, este se transforma em outras formas de energia. Uma destas é a energia cinética K em uma região materia, obtida a partir da energia de cada uma de suas partes diferenciais, ta que: K a ( ) ( y, t ) v ( y, t ) dv ρ (.78) ode-se referenciar a energia cinética pea descrição Lagrangiana, ficando: K ρ (.79) ( ) ( x ) V r ( x, t ) dv

58 36 Define-se também a potência tensiona ten, pea seguinte expressão: ten * ( ) ( y, t ). d ( y t ) σ, dv (.8) onde σ é o tensor tensão e * d é a taxa de deformação. potência externa fica então expressa por: ( ) K ( ) ( ) (.8) ext ten Do primeiro princípio da Termodinâmica, define-se a existência de uma energia referente ao estado (configuração) do corpo, sendo esta a energia interna U e ( ) obtida a partir da integra sobre o voume, ta que: U onde, ( y t ) ( ) ( y, t ) u ( y t )dv ρ (.8) e e, u e, é a energia interna por unidade de massa. eo mesmo princípio obtemos a potência térmica, dada por: ter * ( ) ( y, t ) r ( y, t ) dv h ( y, t ) d ρ (.83) Ω onde, ( y t ) r, é a taxa de aquecimento por unidade de massa devido à distribuição * de fontes térmicas e h ( y, t ) é a densidade de fuxo térmico, que mede a taxa de transmissão de caor por unidade de área. soma da energia cinética com a energia interna resuta na energia tota Π de uma região materia quaquer, expressa por: ( ) K ( ) U ( ) Π (.84) Com sua variação no tempo definida como: ( ) ( ) ( ) ext e Π (.85) ter

59 37 Substituindo a equação (.8) na (.85), fica determinado que: ( ) K ( ) ( ) ( ) Π (.86) ea equação (.84) define-se: ten ( ) ( ) ( ) ter U (.87) e ten ter ortanto a equação de baanço de energia na substância que atuamente ocupa a região fica expressa pea variação da energia tota, como visto abaixo. ( ) K ( ) U ( ) ( ) ( ) Π (.88) e ext ode-se também determinar a equação do baanço de energia mecânica a partir da equação do movimento (.74), apenas mutipicando-se escaarmente esta pea veocidade, escrevendo o baanço em reação à configuração de referência pea equivaência das equações de campo Eueriana e Lagrangiana, ficando expressa por: * T ( x) b ( x t). y ( x, t) div( S ( x, t) ). y ( x, t) ρ ( x) V ( x, t). y ( x, t), r ρ (.89) ter Utiizando as propriedades vetoriais e tensoriais, e escrevendo o útimo termo da esquerda da equação (.89) de uma outra forma, obtem-se: ρ y. y ( ) ( Sy ) tr S Grad ( y ) * ρ b. y div (.9) t Como o gradiente de veocidade Grad ( y ) Lagrangiano apesar de y ser uma grandeza Eueriana, tem-se: é representado por um referencia Grad y x y x x x ( y ) (.9) tem-se: Utiizando o teorema da divergência e integrando a equação (.9) no voume

60 38 y. y ( S ρ ) dv * ρ b y dv S n y d tr (.9) t Ω.. dv O primeiro termo do ado direto da iguadade, na equação (.9) é a potência tensiona ten, e o segundo termo define a variação tempora da energia cinética K, enquanto os termos da esquerda representam a potência mecânica forças atuantes no corpo, ogo a equação (.8) fica verificada. ext das.3 Conjugados de tensão e deformação ara determinar a reação tensão-deformação, pode-se expressar o equiíbrio com a apicação do rincípio dos Trabahos Virtuais (TV), determinando posteriormente o princípio da estacionariedade que é crucia para o desenvovimento de um código computaciona consistente. Logo, para se obter a expressão do TV basta seguir os mesmos passos seguidos na determinação do baanço de energia mecânica, ponderando a equação de equiíbrio por δ y, ficando esta expressa por: ( Sδ) dv ρ y. δy * ρ b δy dv S n. δy d tr Ω. dv (.93) Os termos da esquerda na expressão (.93) definem o trabaho virtua das forças externas, enquanto o primeiro termo da direita define a energia de deformação virtua, introduzida no materia constituinte, e o útimo termo é o trabaho virtua das forças inerciais. ara definir o funciona de energia potencia tota, deve-se escrever δy infinitesima, para expressar a variação de energia de deformação δ U e, onde o tensor de ioa-kirchhoff de ª espécie ficará definido como a derivada da energia de deformação em reação ao gradiente de deformação.

61 39 U e δ U e tr δ (.94) ortanto a equação (.93) fica agora definida por: * ρ b δy dv S n. δy d δ U edv Ω. ρ dv y. δy (.95) sendo * S n t. Como nos probemas a serem tratados, as forças de superfície e de voume não dependem da função mudança de forma, se escreve diretamente: * ( b y ) * b. δ y δ. (.96) * ( t y) * t s. δ y δ s. (.97) Rearranjando a parcea da aceeração como y. δ y δ y. y, determina- se, substituindo as equações (.96) e (.97) na (.95), a condição de estacionariedade da energia potencia tota (princípio da estacionariedade), pea seguinte expressão: * * δ Π δ... ρ b y dv ts y d U edv ρ y y dv (.98) Ω Consequentemente pode-se quantificar a energia mecânica tota do sistema considerado (sóido eástico) para uma configuração y, da seguinte forma: Π * * ρ b. y dv t s. y d U edv ρ y. y dv (.99) Ω ara obter a expressão da energia, em termos da deformação de Green, pode-se trabahar a variação de energia (equação (.94)), com o tensor de ioa-

62 4 Kirchhoff de ª espécie, bastando substituir a equação (.65) na (.93), ficando esta expressa por: * * ρ b δy dv S n. δy d S : δ dv Ω y. δy (.). ρ dv * onde, S δ tr ( S δ) * :. No entanto, pea simetria do * S demonstra-se que: S S * * : δ : δ j T S * ji δ δ : S i * j δ δ T i S : S * ji δ j i S ji (.) Ou seja, * S é conjugado da deformação de Green na easticidade inear, pois: T T ( δ δ) * * * * S : δ dv : S dv E : S dv S : E dv δ δ (.) Consequentemente pode-se escrever o funciona de energia de deformação, para a deformação de Green, com o conjugado ioa-kirchhoff de ª espécie, cacuando assim as tensões reais utiizando a equação (.68).

63 Formuação não inear geométrica do Método dos Eementos Finitos osiciona (MEF - osiciona) Capítuo 3 3. Considerações iniciais qui será descrito o desenvovimento da formuação não inear geométrica para probemas estáticos e dinâmicos baseado na descrição de posições considerando grandes desocamentos e rotações em estruturas panas. Logo o equacionamento se dará através das posições nodais do corpo e não dos desocamentos. Desenvovida para probemas estáticos em COD (3), nesta formuação utiiza-se a descrição Lagrangiana tota para a determinação das medidas de deformação e tensão. Já a formuação dinâmica origina considera distribuição discreta de massa nas estruturas com amortecimento proporciona à mesma GRECO (4). O equacionamento é feito via minimização posiciona e tempora do funciona de energia potencia tota, resutando na equação de equiíbrio dinâmico. resoução do equacionamento diferencia se faz utiizando o integrador tempora de Newmar, associado ao método iterativo de Newton-Raphson para incrementos de tempo.

64 4 versão apresentada neste trabaho se basea na cinemática de Reissner, ta como mostrado em MCIEL & COD (5). 3. Não inearidade geométrica Formuações desenvovidas utiizando a anáise não-inear geométrica (NLG) têm o seu equiíbrio feito na configuração atua (fina) da estrutura, ou seja, a partir das posições finais do corpo, independentemente da magnitude dos desocamentos desenvovidos. Logo, a descrição da configuração do corpo em vários passos de carga ou passos de tempo eva a definição de uma trajetória de equiíbrio, onde as forças externas ao corpo estão baanceadas com as forças internas do mesmo. No entanto, pontos críticos poderão ser identificados na mesma devido a trechos de equiíbrio estáve e instáve. Estes pontos recebem a denominação de ponto de bifurcação, onde configurações equiibradas deixam de ser únicas (instabiidade de ª espécie), ou ponto imite, onde se encerra uma sucessão de configurações com características de equiíbrio antes do surgimento de bifurcação (instabiidade de ª espécie). Mas deve-se comentar que tanto a instabiidade por aparecimento de ponto imite pode preceder a instabiidade de bifurcação ou de modo contrário, pode ocorrer à instabiidade de bifurcação previamente a instabiidade por ponto imite. Ta estudo não é objeto direto deste trabaho, no entanto, a formuação proposta pode ser estendida para ta. 3.3 Cinemática para um eemento de pórtico pano Seja um eemento de pórtico pano com geometria quaquer representado no espaço bidimensiona, conforme a Figura 3..

65 43 Observando a Figura 3. se escreve: m m u u ou m m u u (3.) x h - 4 u 3 Linha média onto anaisado (,) onto sobre inha média [( ),( )] m m Figura 3.: Eemento de pórtico parametrizado na configuração inicia x Onde u m é a distância entre o ponto sobre a inha média ( ) e o ponto anaisado ( ), segundo direção norma. Define-se pea Figura 3., que: u u dsen d α cos α (3.) sendo: α θ 9 º (3.3)

66 44 e d a fração da semi-espessura, sendo seu sina mehor expicado na equação (3.). x u Tangente Linha média Figura 3.: Linha média do eemento na configuração inicia x or trigonometria, temos: sen α cos θ e cos α sen θ, portanto: u d cos θ u dsen θ (3.4) Logo: m m dsen α d cos α m m d cos θ dsen θ (3.5) eo fato da formuação não inear ser baseada no Método dos Eementos Finitos, as coordenadas dos pontos da inha média e consequentemente a função mudança de configuração necessitam ser parametrizadas por vaores nodais e funções de forma, sendo esta com aproximação quaquer advinda do poinômio de Lagrange, como mostrado na equação (3.6),

67 45 n n... n... (3.6) para n, onde n indica o grau do poinômio e a função de forma referente ao parâmetro noda. variáve adimensiona varia entre - e. Deste modo as coordenadas da inha média ficam determinadas indiciamente por: m i i (3.7) onde os índices i e representam a coordenada e o nó do eemento respectivamente. Substituindo-se a equação (3.7) em (3.5), tem-se: d cos θ dsen θ (3.8) Do mesmo modo a aproximação para θ é feita, ou seja: θ ou m θ θ (3.9) θ onde θ, é a incinação inicia, em reação a norma, para cada nó do eemento. Logo, substituindo-se a equação (3.9) na (3.8), tem-se: [ θ ] [ θ ] ( ) d cos ( ) ( ) dsen ( ) (3.) ( ) Considerando-se uma determinada seção transversa do eemento com atura h e sendo d a distância da coordenada da inha média ao ponto genérico, esta pode ser escrita por: η d (3.) (, η ) h ( )

68 46 sendo η (variando entre - e ), outra variáve adimensiona para parametrizar a função atura da seção transversa em questão, definindo que: se η >, então o ponto genérico encontra-se na fibra superior se η <, então o ponto genérico encontra-se na fibra inferior Considerando-se ( ) h constante, a equação (3.), fica então definida por: ( η ) d h η (3.) or conseqüência um ponto genérico na configuração inicia fica determinado, como: [ θ ] ( ) h cos ( ) [ θ ] ( ) h sen ( ) η η (3.3) rojetando-se a mesma idéia para aproximação da configuração fina do eemento, obtem-se a partir da Figura 3.3, as coordenadas do ponto genérico na configuração atua, por: m m v v (3.4) naogamente a formuação da configuração inicia, tem-se que: η η [ θ ] ( ) h( ) cos ( ) [ θ ] ( ) h( ) sen ( ) (3.5) onde ( ) e θ são as coordenadas e o giro do ponto genérico, enquanto h ( ), é a função atura da seção transversa, todos na configuração atua. Esta variáve poderia ser diferente de h, ou seja, h ( ) h como mostrado na equação (3.7), no entanto se acrescentariam mais incógnitas ao sistema. Sendo assim, uma

69 47 restrição adiciona à cinemática é imposta, ou seja, considera-se que não há variação na atura do eemento na mudança de configuração, portanto ( ) h h cte h. - v 3 Linha média onto anaisado (,) onto sobre inha média [( ),( )] m m 4 h Figura 3.3: Eemento de pórtico parametrizado na configuração atua ssume-se uma Lei constitutiva simpificada, adotando-se ν (coeficiente de oisson), evitando quaquer probema de travamento. Logo, a equação (3.5) torna-se: η η [ θ ] ( ) h cos ( ) [ θ ] ( ) h sen ( ) (3.6)

70 48 Seja um eemento finito com aproximação quaquer, cujo mapeamento do contínuo é feito com as funções de forma a partir das posições (configuração inicia e fina) dos pontos nodais, tendo um espaço adimensiona como base para o mapeamento numérico, como mostra a Figura 3.4. x, f, B B f, (-,) (,) f, (-,-) (,-) Figura 3.4: Configurações parametrizadas do mesmo espaço adimensiona. x, Utiizando-se a equação (.5) pode-se determinar o gradiente de deformação criando dois mapeamentos f (,η ) e f (,η ) do corpo, respectivamente. Desta forma, temos: f f f η η para a configuração inicia e fina η η (3.7) f f f η η (3.8) f f η η

71 49 Substituindo as equações (3.3) e (3.6) na (3.7) e (3.8) respectivamente, obtemos as componentes das matrizes.,, h η sen [ ( ) θ ] ( θ ), η,, h cos h, η cos η [ ( ) θ ] [ ( ) θ ] ( θ ), η, η h sen [ ( ) θ ] (3.9) h η sen [ ( ) θ ] ( θ ),,, η h cos [ ( ) θ ] ( θ ),,, η, η, η η h h cos sen [ ( ) θ ] [ ( ) θ ] ortanto, a função mudança de configuração f e seu gradiente ficam definidos como: f f (, η ) f (, ) (3.) η (, η ) (, ) (3.) η ara exempificar a organização das variáveis nodais, utiiza-se um eemento finito de quatro nós (aproximação cúbica), como visto nas Figuras 3. e 3.3, sendo suas funções de forma parametrizadas obtidas pea equação (3.6).

72 5 3 (-9 9 -) 6 3 ( ) (3.) 6 3 ( ( ) ) 6 Logo, suas primeiras derivadas,, em reação a variáve adimensiona são:, (-7 8 ) 6 (8-8 7), (3.3) 6 3, 4, (-8-8 7) 6 (7 8 ) 6 Consequentemente de posse das funções de forma e suas derivadas e os vaores dos parâmetros nodais da configuração inicia (,, θ,,, θ,,, θ,, θ ) e fina, (,, θ,,, θ,,, θ,, θ ) fica determinado, a partir, das expressões (3.9), as componentes das matrizes dos gradientes de deformação, posteriormente a mesma, sendo que o mapeamento da posição de um ponto quaquer é feito peas equações (3.3) e (3.6), do modo mostrado a seguir:

73 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ m m m m (3.4) 3.4 Método de soução formuação do (MEF-osiciona) para probemas de pórticos panos, utiiza o rincípio da Mínima Energia otencia Tota, e tem como parâmetros nodais, para um eemento com aproximação geométrica quaquer, as posições i e giro θ, para cada nó e direção i. ara um probema estrutura associado com um sistema de referência fixo, mostrado na Figura 3.5, o funciona de energia potencia tota, pode ser escrito como a composição da energia de deformação tota e U, a energia potencia das forças conservativas (externas) apicadas f e a energia cinética K, como segue: K U f e (3.5) energia de deformação tota do corpo é considerada armazenada no voume inicia e assumida como sendo nua na configuração de referência (inicia). forma integra da energia de deformação é escrita como a integra da energia de deformação específica e u em V (voume inicia), expressa por: V e e dv u U (3.6)

74 5 energia de deformação específica Lagrangiana pode ser determinada utiizando quaquer conjugado tensão-deformação. Neste trabaho, utiiza-se a deformação de Green e sua tensão conjugada de ioa-kirchhoff de ª espécie. Ue e F Ue F e y y y Figura 3.5: Energia potencia tota para um corpo em duas configurações distintas Como apresentado na equação (.6) o tensor de deformação de Green é derivado do gradiente de deformação e, conforme OGDEN (984), pode ser escrito como: E ij ( i j δ ij ) ( Cij δ ij ) (3.7) onde as variáveis C ij e δ ij são o aongamento de Cauchy-Green à direita e o deta de Kroenecer, respectivamente. energia de deformação quadrática, por unidade de voume inicia, foi adotada neste trabaho, sendo este expresso por: u e EijCij E (3.8) reação entre a deformação de Green e o tensor de tensão de ioa-

75 53 Kirchhoff de ª espécie, apresentado na equação (.), é usuamente conhecida como ei eástica de Saint-Venant-Kirchhoff, isto é: u * e S ij Eij C ij E (3.9) O tensor eástico Cij é dado por: C ij Gν ν * onde, G E ( ν ) ( δ δ ) G( δ δ δ δ ) ij ( ) i j i j (3.3), é o móduo de cisahamento (móduo de easticidade transversa), definido peo móduo de oung * E (móduo de easticidade ongitudina) e o coeficiente de oisson ν. com ν Consequentemente de uma ei constitutiva eástica inear, equação (3.3), e, a energia de deformação específica fica determinada por: ( E E ) GE GE * E u e (3.3) energia potencia das forças externas é escrita como: F (3.3) f e i i onde i representa o conjunto de parâmetros nodais (posições e giros) que o corpo pode exibir, sendo independentes entre si, posicionados onde atuam as forças e F i, na direção i. Nota-se que esta energia pode ser diferente de zero na configuração inicia. energia cinética é dada por: K ρ i idv (3.33) V onde i é a veocidade e ρ a densidade de massa no voume inicia.

76 54 Substituindo-se as expressões (3.6), (3.3) e (3.33) na (3.5) tem-se: ρ i idv (3.34) e u edv F i i V V Escrevendo a equação da energia (3.34) em termos de aproximação, descrito no item 3.3, tem-se: e u e (, i ) dv F i ρ i (, i ) i (, i ) dv i (3.35) V V Minimizando-se o funciona de energia em reação a uma posição genérica, com indicando a direção e o nó, obtem-se a condição de estacionariedade, isto é: V ue (, ) i dv F e V ρ dv j i j i (3.36) onde i é a aceeração. equação (3.36) pode ser escrita em uma forma simpificada, como: U e g Fext Finer (3.37) de forma que as variáveis U e, ext F e Finer representam o vetor de forças internas, o vetor de forças externas e o vetor inercia, respectivamente. conservação da energia em um sistema mecânico é garantida se o acréscimo e decréscimo de energia forem iguais na equação do baanço. No entanto, pode haver aguma dissipação de energia tota ao ongo do tempo. Um termo de energia dissipativa Q a, que representa perda devido ao amortecimento, é dado na sua forma diferencia, em reação aos parâmetros nodais gobais, por:

77 55 Q a j j λ mρ i dvi (3.38) V expressão (3.38) representa o vetor de forças referentes ao amortecimento F amor, onde λm é o coeficiente de amortecimento. Sendo a matriz de massa para cada eemento definida por: M j ρ i dv (3.39) V Têm-se o vetor de forças inerciais e o vetor de forças referentes ao amortecimento escritos como: F M iner i (3.4) F amort C (3.4) a i onde C a representa a matriz de amortecimento proporciona a massa. Consequentemente, a equação de equiíbrio dinâmico (3.36), ou equação de baanceamento, torna-se: g U e F ext M i C a i (3.4) ara determinar o vetor de forças internas, primeiramente determinam-se as derivadas primeiras da energia de deformação específica, dadas por: E αβ αβ * ( E jc jimeim ) ( E jc jimeim ) Cαβ imeim S αβ E αβ E Logo, o vetor de forças internas fica determinado como sendo: E αβ (3.43) E F (int) C E V dv αβ αβ im im (3.44)

78 56 ortanto, fica definida a equação de equiíbrio dinâmico. Como esta apresenta diferenciação em reação as variáveis, posição e tempo t se faz necessário adotar um agoritmo de integração. dotando-se o agoritmo de Newmar, necessitase, devido à formuação ser referente a um intervao de tempo Δ t, apresentar duas configurações em instantes de tempo diferentes. Logo, a equação (3.4) é escrita, de maneira simpificada, para um instante de tempo atua ( S ), como: g U e e FS M S C as S S (3.45) picando-se a aproximação de Newmar para um instante atua de tempo, na descrição posiciona, tem-se: S Δt S Δt S β S S ( ) S γ t S S Δt Δ S β (3.46) γ (3.47) onde β e γ são parâmetros de integração de Newmar, e definem a variáve aceeração no intervao de tempo Δ t. Expressando-se a aceeração para o passo tempo atua a partir do rearranjo da equação (3.46), chega-se: β Δt β Δt β Δt β S S S S S (3.48) Substituindo as equações (3.47) e (3.48) na (3.45) resuta em: g U M γ C e e a ( ) F MQ C R γδtc Q S S S S a S S a S S S βδt βδt (3.49) com Q S e R S representando as variáveis do passo de tempo passado, mostrando a contribuição destas no equiíbrio dinâmico, dadas por:

79 57 Q S β Δt β Δt β S S S (3.5) R S S ( γ ) S Δt (3.5) ssegurando a iguadade da expressão (3.49), está fica dita em equiíbrio dinâmico, de modo contrário g ( S ) será um vetor de resíduos, sendo g uma função vetoria não-inear. ara soucionar o sistema não-inear o método de Newton-Raphson é utiizado por meio de uma expansão da série de Tayor, trucando a mesma nos termos de ª ordem, ou seja: g ( ) g( ) g( ) Δ (3.5) partir do gradiente do vetor de resíduos g( ) chega-se a matriz Hessiana para probema dinâmico, que está reacionada com o instante de tempo atua, ogo representa a útima configuração de equiíbrio ( S ) determinada com a equação (3.53)., sendo g ( ) U M Δt γ Ca Δt e β β S S Determinam-se com a equação (3.5) as correções das posições (3.53) Δ, de forma a corrigir as posições nodais em cada iteração, com: onde S Δ (3.54) assume os novos vaores para as posições no processo iterativo. Em seguida corrigem-se as aceerações. β Δt S S Q S (3.55)

80 58 osteriormente as veocidades. γ (3.56) S R S ΔtS ara o encerramento dos aços de iterações, ou seja, que os resíduos de posições sejam suficientemente pequenos em reação a uma toerância ( TOL ), fazse o uso de um critério de parada que utiiza o conceito da norma Eucidiana (norma vetoria)., ou seja: g ( ) TOL ou Δ TOL (3.57) Logo, obtendo a convergência peo critério de parada para um determinado passo de tempo passa-se para o passo subseqüente. or fim, o processo de iteração de Newton-Raphson e a esquematização do agoritmo tempora de Newmar são resumidamente apresentados. I. ssume-se a configuração indesocada (inicia) II. dota-se um intervao de tempo ; Δ t e o vetor veocidade ; III. Cacua-se a aceeração M F e C a U e ; IV. Cacua-se o vetor de resíduos g ( S ), fazendo-se o início do processamento; V. Determina-se a matriz Hessiana (gradiente do vetor g ); VI. Resove-se o sistema de equações Δ ( g( ) g( ) as correções; S S para, determinando

81 59 VII. tuaiza-se a posição S Δ β Δt S Q, aceeração S S, e γ ; R ΔtS posteriormente veocidade S S VIII. Verifica-se a convergência g ( ) TOL confirmado vai para I de modo contrário vota para IV; I. tuaizam-se as variáveis do passado; ou Δ TOL, caso S S S S S S. Retorna a IV com um novo passo de tempo. or fim, para concuir a apresentação do método adotado, descrevem-se a obtenção das segundas derivadas da energia de deformação referidas as posições nodais, utiizada no cácuo do gradiente do vetor de resíduos. partir das equações (3.43) e (3.44) escreve-se: U e j V C E αβ E E dv im αβ αβ αβ im im C im Eim dv αβ (3.58) j V j j E E Consequentemente a primeira e segunda derivada da deformação de Cauchy-Green, referidas as posições nodais, devem ser determinadas. ara isto, primeiramente é necessário cacuar a derivada do tensor de Cauchy-Green à direita (equação (.8)). Recacuando o aongamento de Cauchy-Green com omissão, por simpicidade, de índices extras, substituindo a equação (3.) na (3.9), tem-se: C T T [( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) i i (3.59)

82 6 Como é constante, a primeira derivada é dada por: ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( )( ) ( ) C j i i T T i j i T T j (3.6) Utiizando-se as equações (3.8) e (3.9), pode-se determinar as primeiras derivadas do gradiente de deformação, como: ( ),,, η,,, (3.6), η ( ),,, η ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) θ η θ θ η θ θ,,, cos sen h h ( ) [ ] ( ) θ η θ ηθ sen h,

83 6 ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) θ η θ θ η θ θ,,, cos h sen h ( ) [ ] ( ) θ η θ ηθ h cos, segunda derivada do aongamento de Cauchy-Green é então: ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( )( ) ( )( ) ( ) C z i j i T T i z j i T T z j ( ) [ ] ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( )( ) ( ) z j i i T T j i z i T T (3.6) ortanto, é necessário determinar as segundas derivadas do gradiente de deformação. Utiizando as expressões de (3.6) determina-se que: ℵ j ij, com,, j i (3.63) onde ( ) θ,, ℵ. Os termos não nuos são: ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] z z sen h θ θ η θ θ θθ,, ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) θ η θ η,, cos cos z z h h ( ) [ ] ( ) ( ) θ η θ θ ηθθ z z h cos, (3.64) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] z z h θ θ η θ θ θθ,, cos ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) θ η θ η,, z z sen h sen h ( ) [ ] ( ) ( ) θ η θ θ ηθθ z z sen h,

84 6 ode-se então determinar a primeira e segunda derivada da energia interna e consequentemente o vetor de forças internas, sabendo-se que, pea equação (3.7), tem-se: E C j j e E j z C j z (3.65) Finaizando assim a formuação numérica adotada neste trabaho. É de grande importância comentar que a presente técnica pode ser apicada para quaquer medida de deformação baseada no aongamento de Cauchy-Green.

85 Técnicas de impacto/contato entre estruturas panas contra anteparos rígido Capítuo 4 4. Considerações iniciais Devido à grande diversidade de técnicas adotadas para resover probemas dinâmicos de impacto entre estruturas e estrutura/anteparo rígido, este capítuo abordará os mais conhecidos e utiizados métodos de resoução. Será apresentado o método das penaidades e o método dos mutipicadores de Lagrange com suas formuações e imposições feitas para restrições prescritas. pós será apresentado o método desenvovido neste trabaho, ou seja, um agoritmo de retorno do ponto impactante da estrutura, utiizando o controe de posições, para o segmento avo rígido de geometria quaquer. ém disso, desenvoveu-se um agoritmo geométrico de identificação da ocorrência do impacto. O agoritmo de retorno evará em conta a existência de atrito na superfície de contato do anteparo por meio de uma interpretação geométrica do modeo de atrito de Couomb, definindo um coeficiente de retorno no intervao deimitado (atrito nuo e atrito tota) na superfície da estrutura avo. Um exempo unidireciona será resovido anaiticamente para demonstrar a equivaência entre a técnica proposta e a técnica que utiiza o método dos mutipicadores de Lagrange e das penaidades.

86 64 4. Método das enaidades Sendo considerado o precursor de outros métodos, como o método dos mutipicadores de Lagrange, o método das penaidades é constituído pea troca da função objetivo F ( x ) do probema origina por uma nova função onde estão incusos os víncuos (restrições) c i, para quando esta for extremizada de um modo sem víncuos, fornecer a soução para o probema vincuado. Esta nova função é denominada de função penaidade Q (equação (4.)), que tem um termo adiciona, parâmetro de penaidade κ para cada restrição, sendo este positivo quando a restrição é excedida e igua à zero de modo contrário. Q ( x ) ( ) z F κ com R c i z (4.) Ou seja, quando as restrições forem excedidas a nova função objetivo tende a diminuir em virtude das penaidades, evando a busca da soução girar em torno da região admissíve e, consequentemente, aproximando-se dea. s restrições podem ser dadas por equações de víncuo ou por inequações de víncuo representadas por dois conjuntos de índices finitos ι e τ respectivamente, de forma que a equação (4.), para z Q, torna-se: i μ μ ( x μ ) F ( x ) c ( x ) [ c ( x )] i ι, (4.) Sendo agora o parâmetro de penaidade denotado por um escaar positivo μ, e com [ x] referindo-se ao máx (, x ) i τ i. Esta função é chamada de função penaidade exata porque para uma escaa de vaores de parâmetros de penaidade, a soução de probemas de programação não-inear é uma minimização oca de Q, ou seja, para uma escoha certa do parâmetro μ, a soução exata é obtida por meio

87 65 de um campo único de minimização. No entanto, esta não é diferenciáve e sua minimização requer uma seqüência de souções de subprobemas. Vários métodos são propostos para a função penaidade, sendo um destes a função penaidade quadrática (método de penaidade externa). Esta tem os seus termos de penaidade representados peo quadrado dos víncuos e suas restrições são consideradas infactíveis, de modo que o caso gera fica expresso a partir da equação (4.) por:, i μ μ ( ) ( x μ ) F ( x ) c ( x ) [ c ( x )] Q (4.3) i ι ara dirigir μ para zero penaiza-se a vioação da restrição por meio de incrementos. ortanto considera-se uma seqüência de vaores { μ w } com μ quando w cada w. w e minimiza-se a aproximação de Q ( x μ ) i τ i, para w Minimizando a função penaidade quadrática (equação (4.3)) para i ι obtem-se: x i ι ( x ) c i Q ( x, μ w ) F ( x ) c i ( x ) (4.4) μ w tem-se: ssumindo-se H ( x ) como sendo a matriz dos gradientes das restrições, T ( x ) [ ci ( x )] i ι H (4.5) Consequentemente a matriz Hessiana é dada pea equação abaixo. xx Q ( x, μ ) F ( x ) w i ι ci μ ( x ) w c i μ T ( x ) H ( x ) H ( x ) w (4.6)

88 66 or ser um probema irrestrito pode-se apicar o método de Newton-Raphson para resoução numérica, obtendo-se o seguinte sistema: xx ( x, μ ) p Q ( x, μ ) Q (4.7) x No entanto, devido a probemas de mau condicionamento da matriz Hessiana quanto ao seu número de condições, já que este se aproxima do finito quando o parâmetro de penaidade tende ao infinito, pode-se usar uma formuação aternativa sugerida por NOCEDL & WRIGHT (999), introduzindo um vetor dummy ς e usando a equação (4.6) chega-se a uma expressão equivaente a (4.7), vista abaixo. ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) H ( x ) μ p xq ς I ( x, ) i T F c μ i i ι μ w H c w (4.8) onde para Outro método de penaização é chamado de método da penaidade interna, Q i τ, a função penaidade tem a seguinte forma: ( x μ ) F ( x ) μ, (4.9) ( ) i τ c i x Um dos métodos de penaidades interna é conhecido como o método da barreira (obstácuo), introduzido por FRISCH (955) e CRROL (96), onde se evita que os pontos factíveis tornem-se infactíveis por meio de agum tipo de função que penaiza os pontos que se aproximam do imite de factibiidade. mais importante função barreira é a função barreira ogarítmica, que é definida para o grupo de restrições ( ) objetivo e barreira combinada e dada por: Q ( x μ ) F ( x ) μ og c i ( x ) i τ c i x com i τ. Esta tem a função, (4.) onde og () denota o ogaritmo natura e μ é referido ao parâmetro de barreira.

89 67 naogamente ao procedimento feito para a função penaidade quadrática, pode-se minimizar ( x, μ ) Q para se obter a soução aproximada quando μ, utiizando-se o método de Newton-Raphson, sendo o seu gradiente e Hessiana dados por: x xx μ Q ( x, μ ) F ( x ) c i ( x ) (4.) c Q ( x ) F( x) i τ i ( x ) μ μ, ( x) c ( x) c ( x) T (4.) μ ci i τ ci ( x) i τ ci ( x) i i orém devido ao mau condicionamento da Hessiana quando seu parâmetro μ tende a zero tornaram inviáveis as investigações dos métodos de barreira por muitos anos. Considerados os mais antigos métodos de pontos interiores só votaram a ter destaque com o método de KRMRKR (984) para programação inear. Devido ao probema reatado acima outras formuações mehoradas foram propostas. Uma deas é o método da Lagrangiana aumentada desenvovida por HESTENES (969) e OWELL (969), combinando o método da Lagrangiana dua e o método das penaidades externa. Outra formuação conhecida como o método da barreira modificada foi introduzida por OLK (99) onde se inseriu os mutipicadores de Lagrange e uma reaxação nas restrições em reação ao método da barreira cássico, permitindo-se que o método operasse com pontos factíveis. or fim, para exempificar o método apresentado, suponha-se um conjunto formado por um corpo de massa m com uma moa de rigidez sujeito a aceeração da gravidade g *, visto na Figura 4., onde existe uma restrição. energia potencia tota fica então escrita, utiizando-se a função penaidade quadrática como:

90 68 * ( u d ) u d m g u d c ( u d ) (4.3) μ m ud Figura 4.: Esquema massa suportada por moa com restrição de desocamento Como pode ser visto na Figura 4. o inverso do parâmetro de penaidade pode ser interpretado como uma rigidez de moa na interface de contato entre o corpo de massa m e o anteparo rígido. Minimizando a energia potencia tota, se determina a condição de equiíbrio. u d m g * c μ ( u ) d (4.4) u d picando-se a restrição ( ) d δ, obtem-se: c u d δ u na equação (4.4), para quando * m g μ δ u d (4.5) μ Consequentemente o vaor da equação restrição é:

91 69 * ( δ m g ) μ c( u d ) (4.6) μ Logo, se m g * δ o caso é de contato, ou seja, ocorreu a vioação da CN, que é equivaente a uma compressão da moa na Figura 4.. Nota-se que a penetração depende do parâmetro de penaidade. força de contato (reação) é dada por: * ( δ m g ) F c c( u ) (4.7) μ μ onde o sina negativo é adotado por convenção para que a força de contato seja positiva. 4.3 Método dos Mutipicadores de Lagrange Sendo uma função objetivo F ( x x,..., ), x n cujo seus argumentos são definidos por variáveis de controe (controáveis), na qua se tem víncuos (restrições) que no caso de impacto são devido-as eis físicas da natureza. Logo de uma forma mais matemática generaizada tem-se: Função objetivo: F ( x x,..., ), x n Variáveis de controe: x x,...,, xn q x x com j,,..., para < n Restrição: (,..., ) j, x n Devido ao método de Lagrange é possíve obter uma soução expícita em probemas indesvincuáveis, adicionando-se uma incógnita λ (mutipicador de Lagrange) que é introduzida para determinar os vaores ótimos para as variáveis de controe, tratando o probema como se fosse desvincuado, tornando-o:

92 7 L a F ( x x x n ) jq j,..., m, λ (4.8) j onde L a é denominada a Lagrangiana, da qua podemos determinar os seus pontos estacionários para posterior exame dos mesmos no cumprimento da função F, garantindo que q pea escoha adequada de λ e dos pontos estacionários. or definição um ponto estacionário de uma função é determinado quando o seu diferencia tota é nuo. n F df dx i (4.9) x Com os i i dx i independentes entre si, a expressão (4.9) fica: F x i (4.) Diferenciando-se a Lagrangiana em reação aos termos x i, tem-se: L x a i F x i j q j λ j com i,,..., n (4.) x i E com reação à λ j, L a q λ j j com j,,..., (4.) Consequentemente o número de equações agébricas será de ( n ), o mesmo que o número de incógnitas x e λ, que em muitas vezes resuta em um sistema de difíci resoução. Este probema pode ser suprimido por um método quaquer de iteração, onde se faz um ajuste no vaor do mutipicador de Lagrange pré-estabeecido extremizando-se a Lagrangiana, repetindo o processo até que a restrição seja cumprida otimizando assim as variáveis x i.

93 7 ortanto para um probema dinâmico com impacto, temos a função objetivo representada peo funciona de energia potencia tota enquanto os víncuos são denominados peas restrições na posição dos nós na região de contato (estrutura/obstácuo) sendo ambas definidas por variáveis de controe que no caso são as posições dos nós da estrutura. Convenientemente os mutipicadores de Lagrange representariam à força de contato atuante na superfície comum entre corpos. ara uma situação genérica, segundo GRECO (4) os nós submetidos a contato/impacto estão associados a uma matriz de restrição de contato C R para representar a interferência no movimento que o impacto em uma direção pode ocasionar nas outras, consequentemente o equiíbrio dinâmico numa região de contato Ξ, com o vetor posição Ξ s, num certo instante s é dado pea equação (4.8). Π s C s i R λ (4.3) ea substituição da equação (3.53) na (4.3) e utiizando a expansão de Tayor em primeira ordem (método de Newton-Raphson) para um determinado instante s chega-se a seguinte forma matricia do agoritmo iterativo: Δ Δ Δ s C E s a s e s s C C s e a R C M U F R R U t C t M λ β γ β (4.4) Onde E é a posição do eemento avo. or fim as forças de contato são cacuadas com a equação (4.5). s a s s e s CONT s C M U F F (4.5)

94 7 4.4 Controe de posições Como o próprio nome sugere o modeo de identificação e soução de impacto apresentado neste trabaho, se dá pea interferência direta nas posições dos nós da estrutura móve (projéti) referentes ao impacto da mesma contra um anteparo rígido (estrutura avo), sendo ambas anaisadas num pano bidimensiona. Esta técnica teve inspiração na formuação desenvovida por GRECO (4), onde se considerada o equiíbrio dinâmico a uma condição de penetração nua (CN) entre corpos impactados. Naquee trabaho, ampiou-se o sistema de equações introduzindo o cácuo do mutipicador de Lagrange que se iguaaria, no imite, as forças internas desenvovidas no corpo impactante na região do contato (equação (4.4)). qui, como será visto nos desenvovimentos, não se apica o mutipicador de Lagrange, mas se considera a força de contato como aquea cacuada a partir da energia de deformação no corpo. Considerando-se um probema unidireciona de impacto como o apresentado na Figura 4., que mostra uma estrutura unidimensiona com sua configuração num certo tempo t a uma distância horizonta δ do anteparo rígido e, após um intervao de tempo Δt em uma outra configuração ( t Δt ) representando a posição da estrutura vioando a CN. Logo se pode definir que o impacto só irá acontecer δ quando. Consequentemente, a interferência na posição do nó impactante se dará pea imposição nesta, eiminando-se Δ. Isto provocará uma ateração no equiíbrio dinâmico do corpo, já que a mudança de configuração modifica o vetor de forças internas, gerando o desequiíbrio do vetor de resíduos, forçando assim a busca de uma nova configuração equiibrada, com o uso do integrador tempora de Newmar.

95 73 Logo, a anuação de Δ se faz necessária para reconstituir a condição de penetração nua, ou seja, retornar o nó impactante num ponto sobre a superfície da estrutura avo (anteparo rígido), chamado de ponto de retorno, podendo este ser o próprio ponto impactado. t t t Figura 4.: Configuração de estrutura no impacto contra anteparo rígido 4.4. Determinação da ocorrência do impacto Muitas técnicas são propostas para a identificação do impacto, uma deas foi desenvovida em GRECO (4), que se baseou nas equações integrais de um probema potencia reacionado ao contorno da estrutura avo. ara isto, teve-se que identificar o tipo de domínio de integração e após fazer a discretização do corpo avo em eementos finitos ineares. identificação da ocorrência do impacto foi feita por meio do parâmetro ivre, determinado peo potencia e fuxo, variáveis principais envovidas no probema potencia usua. Ta trabaho serviu como uma fonte de pesquisa sobre identificação do impacto. ara desenvover a técnica proposta neste trabaho, aguns estudos para a identificação do impacto foram feitos. Em um destes procedeu-se da determinação

96 74 do jacobiano de um eemento trianguar, como visto na Figura 4.3, sendo este composto por dez nós, simuando-se uma aproximação cúbica para o anteparo rígido (nós, 3, 4 e 5), onde as posições dos nós 6, 7, 8, 9 e são determinadas geometricamente. O jacobiano é obtido peas derivadas primeiras das funções de formas do eemento trianguar em reação as variáveis adimensionais e 3, apicando-as no nó da estrutura (ponto ), ou seja,. Logo, a identificação do impacto se daria quando, o produto dos vaores do jacobiano, cacuados em uma configuração passada e atua, fosse negativo. No entanto, percebeu-se que isto ocorre se somente se, um ponto passa de um semi-pano para outro, determinados pea reta que contém os pontos e 5, da Figura 4.3. Consequentemente, este procedimento fica impraticáve para anteparo rígido curvo, peo fato dá não identificação do impacto em pontos que estejam na região determinada pea curva do anteparo e a reta supracitada eemento do anteparo rígido nó da estrutura nós do anteparo rígido nós à determinar Figura 4.3: Eemento trianguar com nós

97 75 Finamente, após muitas dificudades, neste trabaho foi desenvovido um agoritmo simpes de identificação de impacto, porém eficiente quando apicado aos probemas aqui estudados. Neste utiizam-se segmentos auxiiares ineares, parametrizados pea variáve adimensiona que varia entre - e, para determinar uma região que faciitará a identificação do ponto impactante. Conforme mostra a Figura 4.4 para três possíveis trajetórias de penetração, um ponto dentro desta região será denotado como impactante quando: ( ) ( ) < da (4.6) i dr i identificação do segmento auxiiar a ser usado é um dos probemas da formuação. Este se faz na primeira iteração de tempo, após o primeiro movimento, adotando-se aquee que não seja soução para a inequação (4.6), e dentro os quais, se houver, o que esteja contido no intervao prescrito para do segmento auxiiar. Este procedimento só é adotado para nós cujas trajetórias cruzem com um ponto quaquer do anteparo rígido. Um probema que pode surgir na formuação proposta, ocorre no encontro entre o eemento do anteparo rígido e o segmento auxiiar, como visto na Figura 4.5, onde um nó da estrutura móve cruza tanto o anteparo rígido quanto o segmento auxiiar. No entanto, peo fato de se utiizar o agoritmo de integração tempora de Newmar modificado, este dificimente ocorrerá, devido à adoção de passos de tempo Δ t pequenos. Mas no agoritmo desenvovido, para soucionar o mesmo, guardou-se o vaor cacuado entre as diferenças de posições, do nó da estrutura e o nó do segmento auxiiar, da iteração anterior j para comparar com a atua j, determinando-se que o impacto ocorre quando: j j ( ) ( da ) < da (4.7) i i

98 76 da 3 da t t dr 3 dr t 3 da 3 R R dr R3 i anteparo rígido segmentos auxiiares trajetórias de impacto. Figura 4.4: Modeo de identificação do impacto com três trajetórias distintas da i j t j da i R Figura 4.5: ossíve probema na identificação do impacto

99 77 Devido as atuais dificudades na identificação do segmento auxiiar a ser usado na determinação da ocorrência do impacto, uma proposta simpificada foi desenvovida, onde se denota os segmentos auxiiares como eementos de comparação. Diferentemente do caso anterior não há necessidade de identificar o segmento (auxiiar-comparação), mas este é fornecido peo usuário. Logo, o procedimento se torna mais direto, adotando-se vetores distâncias ( dx ; dx ) e ( ; dy ) dy paraeos aos eixos coordenados, visto na Figura 4.6. y dy Rx dx t dx x dy R Ry anteparo rígido segmentos de comparação trajetória de impacto Figura 4.6: Modeo do procedimento aternativo para identificação do impacto O par de vetor distância a ser utiizado depende do segmento de comparação que é utiizado para cada eemento da estrutura. Sendo assim, o impacto é dito ocorrido quando:

100 78 dx dx (4.8) < ou: dy dy (4.9) < pesar de ter a desvantagem de fornecer todos os segmentos de comparação para cada eemento da estrutura, esta abordagem tem a vantagem de tornar o tempo de processamento menor Determinação da posição de retorno ara se determinar num pano bidimensiona o ponto de retorno do nó considerado impactante, desenvoveu-se um agoritmo de retorno com a possibiidade da existência de atrito entre estrutura e superfície de contato da estrutura avo, baseando-se em uma interpretação geométrica do modeo simpificado de atrito de Couomb. ara isto, se estabeeceu uma proporção geométrica entre forças normais e forças tangenciais que ocorrem na região de contato, sendo as forças tangenciais originadas peo atrito de contato. Logo o ponto supracitado depende para sua determinação de um coeficiente de retorno R, estabeecendo-se assim um intervao de posições possíveis de retorno entre a posição sem atrito e a com atrito tota, sendo este intervao representado pea variação do coeficiente de retorno entre e. ortanto, como exempo iustrativo, um eemento de aproximação cúbica da estrutura avo, embrando que a formuação do método dos eementos finitos posiciona trabaha com uma aproximação quaquer para o eemento, é mostrado na Figura 4.7, onde todos os dados requisitados para o desenvovimento do agoritmo de retorno são fornecidos.

101 v u f i ni mi v u - Figura 4.7: Dados pertinentes à anáise do ponto de retorno Nesta figura os pontos e representam os nós da estrutura móve numa configuração anterior e numa configuração posterior ao impacto, respectivamente. Os pontos,, 3 e 4 são os nós da inha do anteparo rígido, e por fim os pontos m i, n i e f i representam o ponto de impacto, o ponto de retorno para uma superfície considerada sem atrito e o ponto de retorno dado peo vaor do coeficiente de retorno, respectivamente. partir das funções de forma dadas pea equação (3.), que são parametrizadas pea variáve adimensiona, variando entre - e, pode-se determinar o mapeamento dos pontos do anteparo rígido segundo a equação (3.4) por: (4.3) (4.3)

102 8 ém de se conhecer a discretização do eemento avo, a trajetória (aproximada por uma reta) do ponto impactante é também conhecida, já que estas correspondem à posição do nó da estrutura na configuração passada e atua representadas na Figura 4.7 peos pontos e respectivamente. Consequentemente, a determinação do ponto de impacto m i é obtida facimente a partir das equações que regem a trajetória do nó do eemento móve e a superfície do eemento rígido. equação da reta é dada por: y ax b (4.3) Onde, os coeficientes anguar a e inear b da mesma são: a tan( α ) (4.33) b a (4.34) Deve ser observado que os sentidos adotados para os ânguos na Figura 4.7 denotam o sina que estes evam, ou seja, para o sentido horário o sina é negativo, de modo contrário é positivo. Substituindo as equações (4.3) e (4.3) na (4.3), temos: a( ) b (4.35) Trabahando a equação (4.35) chega-se na seguinte equação não inear para se determinar o vaor de que satisfaz o cruzamento da trajetória reta com o anteparo curvo: g m m Bm 3Cm 4Dm b (4.36) onde:

103 a D a C a B a m m m m (4.37) Expandindo-se em a equação (4.36) por uma série de Tayor até primeira ordem e apicando-se o Método de Newton-Raphson, o mesmo procedimento adotado para determinação da configuração de equiíbrio, determina-se a correção para a variáve adimensiona (equação (4.38)) dando por encerrado o processo ao se atingir uma determinada precisão definida pea norma eucidiana desta correção ou resíduo. Desta forma tem-se: ( ) m m m m m m m m m m D C B b D C B g g ' 4 ' 3 ' ' 4 3 Δ (4.38) Consequentemente a determinação de m (referida ao ponto i m ), e com a utiização das equações (4.3) e (4.3) determinam-se as coordenadas da posição do ponto m m m m m (4.39) m m m m m (4.4) De posse do ponto de impacto, podemos determinar as direções dos vetores u e v, tangente e norma à superfície do eemento avo, respectivamente. Logo o coeficiente anguar da reta tangente (direção de u ) ao eemento avo no ponto i m é obtido com a equação (4.4), onde os vaores das primeiras derivadas das funções de forma dadas na equação (3.3) devem ser determinados para m. ( ) tan a m m m RT χ (4.4)

104 8 Como o coeficiente anguar de uma reta ortogona a outra é o inverso do oposto desta, temos o coeficiente anguar da reta norma (direção de v ) a superfície do eemento rígido, ou seja: a RN tan( ϕ) (4.4) Determinado este, pode-se determinar o coeficiente inear da reta n, como: b RN a (4.43) RN pós determinados estes dois coeficientes (inear e anguar) procede-se a determinação das coordenadas do ponto de cruzamento ni entre a reta de retorno sem atrito com a mesma direção do vetor v, e a superfície curva do anteparo rígido. Isto é feito determinando-se o novo vaor da variáve adimensiona processo de iteração de Newton-Raphson. n obtida peo De posse do intervao de posições sobre a superfície do corpo rígido indicando a variação de atrito nuo (ponto n i ) e atrito máximo (ponto m i ) estima-se pea variáve R (coeficiente de retorno) um novo vaor para chamado de f, que apicado nas funções de forma e posteriormente nas equações (4.39) e (4.4) (referidas ao ponto f i ) determina as coordenadas do ponto de retorno f para o vaor requerido de atrito. Deve-se tomar cuidado para situações onde as equações (4.33), (4.4) e, (4.4) não são váidas, sendo estas nos casos em que π χ e

105 83 π ϕ, onde se devem fazer pequenos ajustes nas equações para suprimir estes eventuais casos. Figura 4.8 apresenta estes três casos. v v u mi u mi caso caso v u mi caso 3 Figura 4.8: Casos especiais de determinação do ponto de retorno O primeiro é definido quando a trajetória do eemento móve tem abscissas constantes, neste teremos m e as expressões (4.35) e (4.36) são substituídas por: m (4.44) g m 3 4 m 3 4 (4.45) Definindo m e consequentemente pea equação (4.4) a coordenada m. No caso para π ϕ, teremos apenas a substituição da variáve m por n nas equações (4.44) e (4.45), ou seja, n definindo posteriormente n que

106 84 fornecerá a coordenada n. O terceiro caso dispensa comentários peo motivo que o coeficiente anguar da reta tangente ao ponto m i é dispensáve no cácuo da posição de retorno, sendo a equação (4.4) desconsiderada. 4.5 arâmetros de integração do agoritmo tempora de Newmar apicado ao impacto O integrador tempora de Newmar apresenta uma famíia de souções referentes à suas constantes β e γ, sendo estas definidas peo comportamento adotado para a aceeração no intervao de tempo Δt entre as configurações dadas nos tempos t e adotados. t Δt, e está diretamente igada a estabiidade dos métodos partir da Figura 4.9, que apresenta as regiões de estabiidade para as constantes de integração de Newmar, podem-se observar os diferentes métodos adotados para a soução de probemas de impacto. formuação cássica (regra Trapezoida) encontra-se no imite da região de estabiidade e é denotada pea intersecção da reta γ e a curva β, onde se considera uma aceeração média constante atuante no intervao de tempo Δ t, onde a eficiência da formuação se dá para a soução de probemas dinâmicos de estruturas convencionais. orém em probemas onde haja impacto, principamente com atas freqüências, a técnica apresenta-se ineficiente de acordo com os trabahos de CRENTER et a. (99), TLOR & DOOULOS (993) e SOLBERG & DOOULOS (998).

107 85,5,5,5 incondicionamente estáve (,5 )/4, instáve,75,5 condicionamente estáve,5 instáve,5,5,75,,5,5,75, Figura 4.9: Regiões de estabiidade para as constantes de integração de Newmar ortanto souções aternativas para a resoução de probemas de impacto foram propostas. Uma destas foi apresentada por CHUDHR & BTHE (986) modificando o parâmetro β, 5, mas permanecendo no imite da região de estabiidade sobre a reta ( γ,5) e consequentemente geraram um agoritmo estáve para probemas usuais. No entanto, segundo GRECO (4) a estabiidade de um agoritmo se dá por este apresentar soução para quaquer discretização tempora, ogo só a estabiidade não garante a quaidade da resposta numérica, já que tanto para apicação da forma cássica (,5 ; γ,5) CHUDHR & BTHE (,5; γ,5) β quanto β para pequenos vaores de intervao de tempo Δ t podem produzir respostas osciatórias para o campo de forças de contato.

108 86 Outra aternativa foi proposta por HU (997), sendo esta utiizada neste trabaho, onde os parâmetros de integração (,; γ,5) β encontram-se sobre a região imite de estabiidade sobre a curva β, que segundo RGRIS & MLEJNEK (99) apresenta o máximo amortecimento numérico de freqüências atas de vibração, causando erros numéricos nas respostas em probemas de impacto. Este agoritmo de integração modificado pode ser cassificado como incondicionamente estáve, já que para quaquer discretização tempora existe sempre uma resposta. No entanto quanto menor for o vaor de Δ t aumenta-se a probabiidade de captar as freqüências de vibração mais reevantes do probema obtendo assim uma resposta que converge para soução esperada, pois a formuação gera um pequeno amortecimento numérico que pode resutar em um pequeno erro na fase. Também existem outros vaores conhecidos adotados para os parâmetros de integração de Newmar como os da aceeração inear ( β 6 ; γ,5) Goodwin ( β ; γ,5) e da diferença centra ( β ; γ,5), Fox- onde se pode notar que estes se encontram na região imite de estabiidade sobre a reta γ. Uma expanação mais detahada sobre a estabiidade de agoritmos de integração tempora pode ser encontrada RGRIS & MLEJNEK (99). 4.6 Justificativa ara se fazer um comparativo entre o método de impacto adotado e o dos mutipicadores de Lagrange e o das penaidades resove-se um pequeno exempo iustrativo unidimensiona mostrado na Figura 4., composto por dois corpos. pica-se uma força externa entamente (probema quase estático) em cada corpo. O

109 87 sistema também apresenta uma restrição inear de desocamento, devido a um obstácuo, dada por δ. δ F F Figura 4.: robema unidireciona com restrição ortanto, a equação de equiíbrio do sistema quando δ < é simpesmente dado peas forças produzidas peas moas m F e m F diminuída das forças externas, mostrada abaixo na forma matricia. ( ) F F (4.46) o se apicar a técnica dos mutipicadores de Lagrange quando δ > surge mais uma equação agébrica devido à imposição da restrição δ. O novo sistema fica escrito como: ( ) 3 δ λ F F g g g (4.47) Onde λ é o mutipicador de Lagrange que neste caso irá representar a força de contato necessária para satisfazer a CN e o vetor i g é chamado de força residua. Logo, o gradiente da força residua fica definido por:

110 88 ( ) 3 3 g g g g g g g g g g λ λ λ (4.48) ara produzir um resutado numérico para o exempo definem-se os vaores das constantes de rigidez, ogo o gradiente e a inversa do mesmo ficam dadas por: g g (4.49) ara se definir a posição de equiíbrio do sistema primeiramente se procura uma soução para o caso em que δ <. dotando 5, F, 5, F, δ e considerando que, a equação de equiíbrio fica agora definida como: a) rimeiro passo:,5,5 Isto acarreta em: e 5, Como o resutado mostra que a restrição foi excedida ( ) δ >, ou seja, a condição de penetração nua foi descumprida, deve-se partir para a segunda condição de equiíbrio (equação (4.47)), onde se encontra a nova soução a partir

111 89 daquea do passo (a), ou seja, o passo (a) é a primeira tentativa para o passo (b), ogo: b) Utiizando-se a expansão de Tayor (método de Newton-Raphson) até a primeira ordem sabe-se que: g g g g g i i Δ Δ (4.5) sendo g sempre o vetor de força residua do passo anterior e i indicando o número de iterações. ara a primeira iteração i determina-se a correção Δ, utiizando os mesmos vaores para as variáveis adotadas no passo (a) e sendo λ, tem-se: ( ) ( ) ( ) Δ,5,5 *,5 *,5 *,5 * Δ,5,5,5,5,5,5 ortanto: Δ Δ Δ,5,5,5,5,75,5 λ λ λ Os vaores obtidos da primeira iteração para, e λ devem equiibrar o sistema, ou seja, resutar em g ou num vaor determinado dentro de certo erro, caso contrário cacuamos as correções para a segunda iteração e assim

112 9 sucessivamente. Logo substituindo-se os vaores obtidos para as variáveis na equação (4.47) tem-se: g g g 3 *,75 *,5 *,75 *,5,5 ortanto, como o equiíbrio foi garantido ogo na primeira iteração, os vaores das incógnitas do sistema são dados por: λ,75,,5 ara se comprovar que o resutado satisfaz totamente a estacionariedade do sistema retorna-se a equação (4.46) com estes vaores, embrando que λ está no sentido contrário a F, e se verifica a iguadade.,75,5,5,5 equiíbrio.,5,5,5,5 Logo a iguadade foi confirmada e consequentemente o sistema está em Utiizando o método das penaidades externas, mais especificamente a função penaidade quadrática, tem-se, como no caso dos mutipicadores, o mesmo sistema de equiíbrio (equação (4.46)), quando < δ. Logo a ateração se dará no equiíbrio para quando > δ, utiizando-se para o primeiro passo de iteração os desocamentos determinados no sistema sem vioação da restrição, ou seja,, e, 5.

113 9 picando-se a técnica da função penaidade quadrática impondo a restrição ) ( x c δ, para garantir a CN, esta fica definida por: ( ) ( ) Π ι μ μ i x c x Q, (4.5) onde Π é o potencia de energia tota. Com a minimização da função penaidade determina-se o vetor de força residua, dado abaixo: ( ) ( ) F F g g δ μ (4.5) ercebe-se que, diferentemente do método dos mutipicadores de Lagrange o método das penaidades não gera nenhuma equação agébrica a mais. No entanto, é necessário adotar vaores para o parâmetro de penaidade μ, que dependendo da escoha podem evar a resutados improváveis, mostrando a dificudade em escoher vaores do μ adequado para um probema quaquer. O gradiente da força residua e sua inversa ficam determinados por: ( ) μ g g g g g (4.53) ( ) g μ μ (4.54) Utiizando-se os mesmos vaores, para as variáveis do probema, adotados no método dos mutipicadores de Lagrange, com μ, pea equação (4.5) tem-se:

114 9 Δ * ( ) ( ) **,5,5 * *,5,5 (,5 ) Δ 3,5,666,5 3,3333 ortanto: Δ Δ,666,8333,5,3333,666 Sabendo-se que a resposta converge para a soução quando μ, aceera-se o processo iterativo utiizando-se μ,, obtendo-se: Δ * 5 * 5 ( ) ( ) *,8333 *,666,5,8333, * (,666) Δ 6665,833, , ,666,666 ortanto: Δ Δ,8333,666,833,666,75, Sendo o resutado aproximadamente igua ao obtido no método dos mutipicadores de Lagrange, peo fato de se poder diminuir ainda mais o parâmetro de penaidade fazendo-se c. força de contato é determinada por: F c c μ μ ( x ) ( F )μ (4.55)

115 93 ortanto: F c ( *,75 *,5), 5 Mesmo resutado obtido peo método dos mutipicadores de Lagrange. gora se resove o mesmo exempo peo método do controe de posições, adotada neste trabaho. rimeiramente sabe-se que o método adotado utiiza as posições dos nós como parâmetros nodais, sendo assim estipuam-se um eixo para deimitar a origem do sistema, como visto na Figura 4.. Li Li x x x x F F δ Figura 4.: robema unidireciona com restrição - Método posiciona O equiíbrio do sistema para x < xδ Li δ fica agora determinado pea seguinte forma matricia: ( ) x x L i F Li F (4.56) Consequentemente as equações de baanceamento ficam determinadas por: g g ( )( x Li ) ( x Li ) F ( x L ) ( x L ) F i i (4.57) O gradiente da equação (4.57) fica então igua a: ( ) g (4.58)

116 94 picando-se o método e Newton-Raphson utiizando os mesmos vaores para as variáveis usados anteriormente e com L, obtem-se: i Δx ( * ( ) * ( ),5),5 ( * ( ) * ( ),5),5,5 Logo o resutado obtido era esperado para a primeira correção. tuaizando as posições tem-se: x x x Δx x Δx,5 3,5 Como a restrição foi infringida apica-se o método do controe de posições, retornando a posição do ponto x para a superfície do obstácuo, ou seja, toma-se x x δ, e faz-se o equiíbrio para o ponto x como segue: g g ( )( x Li ) ( x Li ) * ( x ) ( 3 *),5 F ortanto, tem-se: x x,75 3 Expressando o desocamento para comparar os resutados, tem-se: x x,75,75 3 Sendo este resutado igua ao obtido peo método dos mutipicadores de Lagrange e peo método das penaidades. Determinar-se a força de contanto exercida sobre o corpo, fazendo-se o equiíbrio para g, ou seja:

117 95 g g g *,5 ( x Li ) ( x Li ) (,75 ) * ( 3 *) F,5 Consequentemente comprova-se a equivaência em termos de resutado entre os três métodos, sendo a força residua (força de contato) obtida com sina negativo indicando o sentido contrário da força externa F.

118 Exempos numéricos Capítuo 5 5. Considerações iniciais Neste capítuo faz-se a vaidação do método abordado na programação não inear geométrica dinâmica impementada referente ao impacto entre estrutura e anteparo rígido curvo tendo este uma aproximação quaquer, por meio da comparação de exempos numéricos da iteratura científica. É feito também um estudo de convergência para a discretização geométrica da estrutura e para a discretização tempora (passo de tempo), buscando o ponto ótimo para as duas discretizações. 5. Impacto bidireciona de ane em anteparo rígido em forma de V Este exempo servirá como vaidação do agoritmo desenvovido, sendo esta feita por meio de uma comparação com artigos onde o mesmo exempo é encontrado, WRIGGERS et a. (99) e GRECO et a. (4), que adotam devido à simetria do ane e da estrutura rígida como é visto na Figura 5., uma discretização de apenas a metade da estrutura em 3 eementos finitos ineares. Já aqui a estrutura foi discretizada em eementos com aproximação cúbica, enquanto o anteparo rígido tem eementos rígidos e 3 segmentos auxiiares vistos na Figura

119 Como nas referencias, utiizaram-se variáveis adimensionais e veocidade constante. Utiizou-se também uma discretização tempora constante igua de GRECO (4) Δt, 5. Foram adotadas as constantes de integração modificadas de HU ( γ,5; β, ), no integrador tempora de Newmar. ve4 Legenda Estrutura nteparo rígido Segmento auxiiar E* In, r, ρ, 5,48 Figura 5.: Dados de entrada do probema s respostas obtidas pea formuação não inear posiciona para a situação sem atrito e com atrito são mostradas nas Figuras 5. (a) e (b), e Figuras 5.3 (a) e (b), sendo que a útima configuração dada para cada uma destas, esta em negrito.

120 t t (a) (b) Figura 5.: Configurações aneares para certos passos de tempo (sem atrito R) t t (a) (b) Figura 5.3: Configurações aneares para certos passos de tempo (com atrito R,6)

121 99 resposta apresentada em WRIGGES et a., vista na Figura 5.4, mostra apenas as configurações deformadas em aguns instantes sem maiores detahes, diferentemente dos apresentados em GRECO (Figura 5.5). (a) (b) Figura 5.4: Respostas de WRIGGERS (99). Casos: sem atrito (a) e com atrito (b) Como podem ser observados, os gráficos das posições deformadas encontrados, para o caso sem atrito, foram bem semehantes aos obtidos peas referências, no entanto para o caso com atrito os resutados obtidos diferem das mesmas. or este motivo, com intuito de refinar os resutados na busca de uma mehor precisão dos mesmos, optou-se por fazer um estudo de convergência tanto para diferentes vaores da discretização tempora, diminuindo estes e conseqüentemente obtendo uma atuaização das posições que descrevem uma