Palavras-chave: Identificação de parâmetros, Constantes elásticas, Análise Modal

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1 DNTCAÇÃO D CONSTANTS LÁSTCAS ATRAVÉS D ANÁLS MODAL Sergio. Bastos Centro Tecnoógico da ndústria Química e Têxti e Universidade edera do stado do Rio de Janeiro, Departamento de ngenharia Mecânica, CTQT/COPP//URJ Rio de Janeiro, RJ, Brasi Lavínia S. A. Borges ernando A. Rochinha Universidade edera do stado do Rio de Janeiro, Departamento de ngenharia Mecânica, COPP/ Rio de Janeiro, RJ, Brasi Resumo. ste trabaho ida com a identiicação de parâmetros eásticos em pacas retanguares. Um método é descrito para a identiicação dos parâmetros eásticos através da medida das reqüências naturais de uma paca em vibração ivre. O probema de estimação de parâmetros é resovido minimizando-se as direnças entre as reqüências medidas e as reqüências cacuadas, através do método dos mínimos quadrados. O método numérico para o cácuo das reqüências naturais envove a ormuação de Rayeigh-Ritz usando poinômios ortogonais característicos nas séries que representam as unções de desocamento, que são apropriados para representar condições de contorno de bordo ivre. Paavras-chave: dentiicação de parâmetros, Constantes eásticas, Anáise Moda 1. NTRODUÇÃO As constantes eásticas dos materiais de engenharia são parâmetros undamentais para anáise, projeto, construção e controe de sistemas estruturais. Desta orma, o conhecimento destas constantes torna-se imprescindíve em apicações industriais soisticadas, como, por exempo, na área aero-espacia. A obtenção desses parâmetros é ainda mais vita nesse tipo de apicação já que os materiais compósitos, que possuem um maior número de constantes independentes quando comparados com os materiais isotrópicos usuais, são cada vez mais utiizados. Técnicas convencionais de identiicação de constantes eásticas baseadas em ensaios estáticos não se mostram muito convenientes para materiais compósitos, uma vez que estes apresentam campos não uniormes de tensão ou deormação, eitos pronunciados nos contornos e um número eevado de constantes a serem determinadas. Motivado por isso, introduz-se, no presente trabaho, uma nova abordagem para a obtenção de constantes eásticas a partir da reaização de ensaios de vibração associados a técnicas de otimização.

2 niciativas semehantes já oram testadas com sucesso em Ayorinde (1995), Deobad e Gibson (1988), rederiksen (1997), Grediac et a (1996 e 1998) e Marchand et a. (1995). ste artigo representa um primeiro passo no sentido de consoidar a abordagem proposta para materiais compósitos. Aqui são apresentadas as ormuações, agoritmo e ensaios experimentais a serem utiizados. Para veriicar a eicácia e consistência destes, oi desenvovida uma apicação para o caso de uma paca homogênea e isotrópica. Os resutados obtidos mostraram-se satisatórios e denotam que as técnicas aqui propostas poderão ser utiizadas para a identiicação de constantes eásticas em materiais compósitos. A parte experimenta oi desenvovida em uma paca retanguar homogênea de aumínio de ta orma a simuar uma paca vibrando com todos os contornos ivres. As reqüências naturais experimentais de vibração ivre da paca oram mensuradas através de unções de resposta em reqüência e oram utiizadas juntamente com as reqüências naturais anaíticas para a identiicação dos parâmetros eásticos da paca.. ANÁLS TÓRCA Consideremos uma paca retanguar homogênea ina com comprimento a, argura b e espessura h, cujos imites são especiicados em a/ e a/ no eixo x, b/ e b/ no eixo y e h/ e h/ no eixo z. Com isto, os eixos coordenados se encontram no pano médio da paca, com o eixo z norma a este pano, ou seja, a origem dos eixos coordenados está ocaizada no centro geométrico da paca. A ig. 1 apresenta de orma esquemática as considerações descritas anteriormente. z y b x h a igura 1- orma geométrica da paca.1 Método de Rayeigh-Ritz O método consiste em assumir uma série para representar o movimento harmônico de vibração da paca. sta série é representada na q. (1), onde Wbxh, gé a ampitude do desocamento transversa (direção z) dos pontos da superície média, A mn são constantes a determinar, mbxg e nbhg são unções poinomiais ortogonais (rederiksen, 1995, 1997), w é a reqüência de osciação do movimento e t o tempo. b g L N M b g b go Q P iwt W xh, Amnm xn h e (1) m n onde oram introduzidas as variáveis adimensionais x x a e h y b.

3 rederiksen (1995) apresentou a seguinte órmua de recorrência para o desenvovimento da seqüência de poinômios ortogonais adequados para representar condições de contorno de bordo ivre. onde: b g 1 p 0 x, P1 x x- B1 p0 x, Pib xg bx-big pi-1bxg - Ai-1 pi- bxg bi 34,,,... g, pi x z1 i -1 Pi x, () A b g, (3) Ai P x dx z1 Bi xpi- 1 x dx. (4) -1 P i bxg e p i bxg denotam os poinômios de graus i. Devido à adimensionaização adotada os escaares B i são nuos. Utiizando o método de Rayeigh-Ritz obtemos a q. (5) que representa o movimento harmônico ivre para uma paca: i K- d A 0 (5) onde A são parâmetros a serem determinados, 1 K 3p 1-n c h C, (6) d i b g, (7) C + a + na n a ijmn mi nj mi nj mi nj mi nj mi nj a a b, (8) k mi X Z Y - 1 k d m d i d k 1b xg bdhg. (9) Os índices m e n variam de zero até o número de poinômios ortogonais menos 1. As k integrais introduzidas em mi são independentes dos parâmetros materiais, o que auxiiará no desempenho computaciona do agoritmo proposto. Aém disso, ra 4 h, (10) w 4p, (11)

4 é o móduo de easticidade, n o coeiciente de Poisson e r a densidade voumétrica do materia. O agoritmo para o cácuo das unções poinomiais, assim como o método de Rayeigh- Ritz oram impementados no ambiente MATLAB. O número de poinômios escohido para este trabaho oi 15, ou seja, o poinômio de mais ata ordem oi de ordem 14. sto porque, a partir dos testes reaizados preiminarmente, veriicamos que o aumento dessa ordem não signiicava um aumento da precisão dos coeicientes obtidos. A veriicação da impementação computaciona utiizada oi ita com base na comparação dos resutados numéricos das reqüências naturais obtidos via método dos eementos initos usando o ambiente computaciona ANSYS. A Tabea 1 ornece os resutados anaíticos e os compara com os resutados numéricos, dando também a dirença percentua das reqüências naturais em reação ao método numérico para vaores de paca a 0,6m, b 0,4m, r 700kg/m 3, h 0,0063m, n 0,3 e 7, Pa. Tabea 1 Rayeigh-Ritz versus eementos initos reqüência natura em z Rayeigh- Ritz 88,1 93,8 03,1 18,7 5,9 93,8 376,3 433, 56,1 59,1 640,3 648,4 657,9 ementos initos 87,3 94,1 0,7 0,6 53,8 97,3 378,0 434,5 536, 596,0 647,8 650,8 66,6 Dirença percentua 0,9 0,3 0, 0,9 0,3 0,3 0,4 0,3 1,9 0,6 1,1 0,4 0,7 As três primeiras reqüências 1, e 3 não aparecem na Tabea 1, pois são rerentes aos modos rígidos e vaem zero. 3. ANÁLS XPRMNTAL As reqüências naturais de vibração da paca oram obtidas experimentamente através da anáise moda (wins,1985). Uma paca de aumínio medindo 0,6000m x 0,4000m x 0,0063m oi utiizada com todos os bordos ivres. Para reproduzir na prática estas condições, a paca oi suspensa por dois ios de nyon. Três experimentos oram montados com a paca suspensa. O primeiro dees mostrado na ig. oi impementada a técnica do impuso através de um marteo de impacto. Nos outros dois, utiizamos como onte de excitação vibradores eetro-mecânicos, sendo que em um dos casos oi utiizada mono excitação e no outro mútipa excitação através de dois excitadores. m todos os experimentos oi utiizado quatro aceerômetros ixados à paca, dois condicionadores de sina, um anaisador de espectro e um computador PC. igura - squema de montagem do primeiro experimento

5 3.1 xperimentos As respostas dos aceerômetros em unção da entrada via marteo ou vibrador oram processadas em um anaisador de espectro P 3566A e obtidas as unções de resposta em reqüência (R) entre o cana de entrada (marteo ou vibrador) e os canais de saída (aceerômetros). Deobad e Gibson (1988) reaizaram experimentos semehantes e veriicaram que a razão de amortecimento nestes casos era menor do que 0,01. Por isso não consideramos o amortecimento no nosso experimento. No primeiro experimento, reaizamos 100 ensaios, a partir dos quais oi obtida a R. No segundo experimento utiizamos apenas um vibrador com sina randômico como onte externa. stes dois experimentos acusavam duas reqüências muito próximas, por isso, oi reaizado um terceiro experimento com excitação mútipa onde concentramos a R em uma banda estreita que continha as reqüências desejadas. Após este terceiro experimento oi constatado que as reqüências reamente existiam. Nos três experimentos obtivemos um tota de 8 R's. As reqüências naturais medidas das R's de cada experimento não diriram muito uma das outras, a dirença icou em torno de 5%, por isso, como o primeiro experimento apresentou uma R mais isenta de ruídos, optou-se em utiizá-o para a determinação das reqüências naturais experimentais. A igura 3 mostra as R's obtidas peos aceerômetros no primeiro experimento e a Tabea as reqüências naturais experimentais do primeiro experimento. igura 3 (a) 1º aceerômetro igura 3 (b) º aceerômetro igura 3 (c) 3º aceerômetro igura 3 (d) 4º aceerômetro

6 Tabea reqüências naturais experimentais em z reqüência Natura Vaor 84,7 9,8 195,7 15,9 46, 88,5 359,1 415,6 51,5 577,0 63,5 639,6 641,6 3. Comparação de resutados Pode-se observar na comparação das tabeas anteriormente apresentadas que as reqüências naturais experimentais são sempre menores que as reqüências naturais obtidas peos métodos anaíticos e numéricos. Tavez seja devido ao ato do amortecimento ter sido desprezado ou ao acréscimo de massa à paca peos aceerômetros. Os pequenos erros percentuais das reqüências experimentais em reação as reqüências obtidas através do método numérico, apontados na Tabea 3, mostram que as técnicas utiizadas no desenvovimento do experimento, assim como, a orma de tratamento e obtenção das reqüências naturais, são váidas e merecem uma atenção especia por partes dos pesquisadores. Tabea 3 - rros percentuais - experimenta/numérico reqüência natura rro percentua 3,0 1,4 3,4,1 3,0 3,0 5,0 4,3 4,4 3, 3,7 1,7 3, 4. MÉTODO D DNTCAÇÃO DOS PARÂMTROS LÁSTCOS Neste trabaho identiicaram-se apenas as constantes eásticas (móduo de easticidade) e n (coeiciente de Poisson). O método de identiicação que será apresentado é uma adaptação do método proposto por rederiksen (1997). ste método baseia-se na escoha de uma unção objetivo para representar a dirença entre as reqüências obtidas experimentamente e aqueas do modeo numérico, que são unções dos parâmetros a serem identiicados. A unção objetivo a ser minimizada consiste do somatório dos quadrados das direnças reativas entre as reqüências naturais experimentais e e as reqüências anaíticas correspondentes : b L,n g e G KJ - - j 0 e (1) j e j

7 onde: 0 é o móduo de easticidade de rerência escohido para iniciaizar o processo iterativo. As condições de ótimo associadas a unção objetivo proposta, conduzem a seguinte expressão para o cácuo do móduo de easticidade: 0 G G K J K J (13) Para a obtenção do parâmetro n (coeiciente de Poisson) oram utiizadas iterações de Newton sobre as condições de ótimo associadas a este coeiciente. Os gradientes para impementação desse procedimento são dados por: Ñ L - Ñ L - G L NM G n e j KJ n 0 e j KJ e j G n K J O QP (14) (15) onde as derivadas de são dadas por: n 1 K A n A e L M N G 1 K - n M n n Ressata-se que as derivadas da matriz de rigidez são obtidas anaiticamente. K J O P Q A A P (16) 4. Resutados Apesar da pouca sensibiidade ao n (coeiciente de Poisson) das derivadas de, o agoritmo convergiu rapidamente, tanto para o parâmetro como para o parâmetro n. A Tabea 4 mostra aguns resutados obtidos com o agoritmo.

8 Tabea 4 Vaores de e n cacuados peo agoritmo vaor inicia vaor cacuado iterações MPa 68,7517 MPa 1 n0,48 n0, MPa 68,7513 MPa n0,0 n0, MPa 68,755 MPa 3 n0,48 n0, Para obtenção dos resutados acima oram utiizadas as primeiras oito reqüências naturais da estrutura. Não oi ita nenhuma comparação entre os parâmetros cacuados peo agoritmo e os parâmetros reais da paca, pois não oi reaizado nenhum ensaio experimenta estático com a paca objeto deste estudo para a determinação destes parâmetros. Contudo, os resutados cacuados peo agoritmo são compatíveis com os parâmetros eásticos conhecidos do aumínio. ndependente dos dados iniciais ( 0 e n) os resutados obtidos com a técnica apresentada neste trabaho convergiram para o mesmo vaor. 5. COMNTÁROS NAS oi apresentada neste artigo uma nova abordagem para a obtenção de constantes eásticas a partir de ensaios experimentais dinâmicos associados a técnicas numéricas. unções poinomiais ortogonais adequadas para as condições de contorno de bordos ivres, quando apicadas ao método de Rayeigh-Ritz, contribuem para a convergência e precisão do agoritmo proposto. A abordagem proposta mostrou-se adequada para identiicação de parâmetros eásticos, uma vez que conjuga aciidades de obtenção de dados experimentais com técnicas numéricas simpes de serem impementadas em ambientes industriais. Tendo em vista os bons resutados obtidos no contexto de um materia isotrópico, os procedimentos desenvovidos serão, agora, utiizados na identiicação de parâmetros em compósitos, em particuar em pacas sandwich. ste tipo de paca requer a identiicação de três parâmetros independentes, o móduo de easticidade, o coeiciente de Poisson n e o móduo de easticidade transversa G. A apicação destes procedimentos para identiicar as constantes eásticas de "pacas sandwish honeycomb" irá requerer apenas agumas modiicações nos modeos teórico e experimenta, pois este tipo de paca é muito eve, possui um amortecimento signiicante e é atamente resistente. Agradecimentos Os autores agradecem as suas próprias nstituições COPP/URJ e SNA/CTQT, a Agência spacia Brasieira através dos convênios /98-AB do projeto UNSPAÇO e a PUC-Rio, na pessoa do pro. R.Sampaio, peo incentivo e apoio ogístico que permitiram o desenvovimento deste trabaho.

9 RRÊNCAS Deobad, L. R. & Gibson, R.., 1988, Determination o eastic constants o orthotropics pates by a moda anaysis/rayeigh/ritz technique, Journa o Sound and Vibration, vo. 14, n., pp rederiksen, P. S.,1995, Singe-ayer pate theories appied to the xura vibration o competey ree thick aminates, Journa o Sound and Vibration, vo. 186, n. 5, pp rederiksen, P. S.,1997, Numerica studies or the identiication o orthotropic eastic constants o thick pates, uropean Journa o Mechanics, A/Soids, vo. 16, n. 1, pp wins, 1985, Moda Testing: Theory and Practice. Research Studies Press Ltd., Somerset,ngand. Grédiac, M. & Paris, P. A., 1996, Direct dentiication o eastic constants o anisotropic pates by moda anaysis: Theoretica and numerica aspects, Journa o Sound and Vibration, vo. 195, n. 3, pp Grédiac, M. & ournier, N. & Paris, P. A. & Surre, Y., 1998, Direct identiication o eastic constants o anisotropic pates by moda anaysis: experimenta resuts, Journa o Sound and Vibration, vo. 10, n. 5, pp Marchand, V. & Authesserre, J. & Pouyet, J. & Bacon, C., 1996, Determination o the constants o materias, in the orm o pates, by a ree vibration method, Journa o Sound and Vibration, vo. 194, n. 4, pp Ayorinde,. O., 1995, astic constants o thick orthotropic composite pates, Journa o Composite Materia, vo. 9, n. 8, pp Abstract. This paper deas with eastic parameter identiication in rectanguar pates. A method is described or the identiication o eastic parameters rom measured natura requencies o competey ree pate. The parameter estimation probem is soved by minimizing, in a east squares sense, the dirences between measured and cacuated requencies. The numerica method or cacuating the natura requencies comprises a Rayeigh-Ritz ormuation using characteristic orthogona poynomias in the series representing the dispacement unctions, which are appropriated or reproducing the boundary competey ree conditions. Key words: Parameter identiication, astic constants,moda Anaysis