Power-Rate Allocation in DS-CDMA Systems Based on Discretized Verhulst Equilibrium

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1 Power-Rate Aocation in DS-CDMA Systems Based on Discretized Verhust Equiibrium L. D. H. Sampaio, M. F. Lima, M. L. Proença Jr. and T. Abrão Abstract This paper proposes to extend the discrete Verhust power equiibrium approach, previousy suggested in [1], to the power-rate optima aocation probem. Mutirate users associated to different types of traffic are aggregated to distinct user casses, with the assurance of minimum rate aocation per user and QoS. Herein, Verhust power aocation agorithm of [1] was adapted to the DS-CDMA jointy power-rate contro probem. The anaysis was carried out taking into account static and dynamic channes, as we as the convergence time (number of iterations), quaity of soution, in terms of the normaized mean squared error (NSE), when compared to the anaytica soution based on interference matrix inversion, and the soution given by cassica Foschini agorithm [2] as we, besides the computationa compexity anaysis. Keywords Resource aocation, power-rate contro, SISO mutirate DS-CDMA, discrete Verhust equiibrium equation, QoS. I. INTRODUÇÃO ARA atender a exigência de novos serviços de Pcomunicações que demandam maior argura de banda, disponibiidade e mobiidade, muitos esforços têm sido empregados no sentido de encontrar mehores agoritmos para aocação de recursos, facimente apicáveis a sistemas de comunicação de acesso mútipo por divisão de código com sequência direta (DS/CDMA, direct sequence code division mutipe access). A fim de satisfazer estas necessidades, agoritmos de controe de potência distribuídos (DPCA, distributed power contro agorithm) têm sido propostos nas útimas décadas, como por exempo, o trabaho de Mijanic e Foschini [2], o qua pode ser considerado o fundamento de vários outros DPCAs. Em [1], o modeo matemático de Verhust, concebido com o intuito de descrever o crescimento popuaciona de espécies bioógicas com restrição de aimento e de espaço físico [3], foi adaptado para a criação de um DPCA apicado a sistemas DS/CMDA unitaxa. Esse trabaho foi o primeiro a propor uma adaptação da equação do equiíbrio de Verhust para o probema de aocação de recursos em sistemas DS/CDMA. No cenário atua de teecomunicações, as redes de mútipo acesso são fundamentais para atender novos serviços do tipo L. D. H. Sampaio, Universidade Estadua de Londrina (UEL), Londrina, Paraná, Brasi, ucas.dias.sampaio@gmai.com M. F. Lima, Universidade Estadua de Londrina (UEL), Londrina, Paraná, Brasi, mfima@gmai.com M. L. Proença Jr., Universidade Estadua de Londrina (UEL), Londrina, Paraná, Brasi, proenca@ue.br T. Abrão, Universidade Estadua de Londrina (UEL), Londrina, Paraná, Brasi, taufik@ue.br quadri-pay, composto por voz, vídeo, dados e mobiidade [4]. Neste tipo de rede, a utiização eficiente dos recursos de sistema, principamente espectro e energia (autonomia das baterias nas unidades móveis), é de fundamenta importância, tanto para a receita das empresas de teecomunicações quanto para a satisfação do consumidor de serviços. Desta forma, neste trabaho, o DPCA proposto em [1] foi estendido para o probema de aocação de recursos em sistemas DS/CDMA mutitaxa atendendo os distintos requisitos de quaidade de serviço (QoS, quaity of service), reativos às diferentes casses de usuários, o que aproxima o DPCA proposto das necessidades atuais de mercado das redes DS/CDMA. Este artigo está organizado da seguinte forma: a seção II. fornece uma visão gera da soução cássica para o probema do controe de potência em sistemas de mútipo acesso de taxa única e como ta soução é adaptada ao probema mutitaxa. Na seção III. é sugerido o agoritmo de aocação de taxa e potência baseado na equação discreta de Verhust, originamente proposto para prever o crescimento popuaciona de indivíduos sob restrição de recursos. Resutados numéricos e respectivos parâmetros de simuação são discutidos na seção IV. Finamente, as principais concusões são apresentadas na seção V. II. O PROBLEMA DA ALOCAÇÃO ÓTIMA DE POTÊNCIA E TAXA Em um sistema de mútipo acesso, ta como o DS/CDMA, o probema do controe de potência é de grande importância para que o sistema atinja expressiva capacidade (No contexto exporado neste trabaho, capacidade e throughput são empregados para expressar a quantidade tota de bits ou símboos por segundo que o sistema suporta em equiíbrio.). O probema do controe de potência pode ser resovido por um vetor que contém potências mínimas a serem atribuídas na próxima iteração para cada usuário ativo, a fim de atingir a quaidade de serviço (QoS) mínima, medida pea razão entre a potência da portadora do usuário de interesse pea interferência tota (CIR, carrier to interference ratio). Em sistemas de comunicação sem fio de mútipo acesso, a taxa de erro de bit (BER, bit error rate) é frequentemente utiizada como forma de medir o QoS. Uma vez que a BER está diretamente associada à reação sina-interferência mais ruído (SNIR, signa to noise pus interference ratio), torna-se possíve utiizar o SNIR como parâmetro de avaiação da QoS. Desta forma, associando-se o SNIR, referente ao sot tempora resuta:

2 [] = [] Γ [], = 0,1,, (1) Onde é o SNIR do -ésimo usuário na -ésima iteração, é a taxa de chip, [] é a taxa de dados para o usuário Γ [] é o CIR do usuário na iteração, e é o número máximo de iterações. Observa-se que em sistemas DS/CDMA mutitaxa com mútipos ganhos de processamento (MPG, mutipe processing gain), cada casse de usuários é caracterizada por um ganho de processamento >1 específico, definido em função da taxa de chip: =, = 1,2,, (2) sendo o número tota de casses de usuários no sistema (voz, dados, vídeo, etc). Assim, em sistemas de mútipo acesso do tipo MPG-DS/CDMA, a SNIR para a -ésima casse de usuários e a CIR estão reacionadas peo ganho de processamento reativo àquea casse de serviço, = Γ. Com base em (1), torna-se possíve cacuar a taxa de dados para o usuário na iteração. [] = [] Γ [], =1,2,, (3) A CIR para o -ésimo usuário pode ser cacuada como [1][5]: Γ [] = [] [] [] [] +, = 1,2,, (4) onde [] é a potência designada ao -ésimo usuário no sot tempora, sendo imitada por [ ; ]; o ganho de cana, incuindo perda de percurso, desvanecimento, e sombreamento, entre o usuário e o usuário (ou estação rádio base) é identificado por ; é o número de usuários ativos no sistema, e = = é a potência média do ruído aditivo branco Gaussiano (AWGN, additive white Gaussian noise) à entrada do -ésimo receptor, admitida idêntica para todos usuários. Portanto, em sistemas DS/CDMA mutitaxa, a CIR mínima para se acançar a taxa mínima pode ser cacuada para cada usuário como segue [6]: Γ =, = 1,2,, (5) onde Γ e são a CIR mínima e a taxa mínima do usuário associado à -ésima casse de serviço, respectivamente; é a SNR mínima (ou avo) para que o sistema acance a BER mínima aceitáve 1. Aém disso, a potência aocada para o -ésimo usuário 1 Em probemas de aocação de potência, taxa e medida de quaidade de serviço, a taxa de erro de bit, símboo ou quadro e a QoS são figuras de mérito intercambiáveis. pertencente à -ésima casse na -ésima iteração é expressa por: [], = 1,2,, ; = 1,2,,. (6) Consequentemente, o número tota de usuários ativos no sistema é dado por =. Note que os índices associados aos usuários foram designados pea concatenação das taxas ascendentes das diferentes casses de usuários. Assim, identifica o número de usuários pertencente à casse de serviço (1) caracterizada pea taxa de bits mais reduzida, enquanto identifica o número de usuários da casse de serviço () com taxa de informação mais eevada. A matriz de ganho, de dimensão, considerando perda de percurso, sombreamento e desvanecimento, entre o usuário e o usuário (ou estação rádio base) é dada por: =, a qua pode ser assumida estática ou dinâmica durante a janea de otimização ( sots temporais). A otimização da potência em sistemas CDMA mutitaxa, tendo em vista garantir a taxa mínima para cada usuário pertencente à mesma casse de serviço, encontra conexão direta na equação da capacidade de Shannon, associando-se o CIR mínimo à taxa mínima em cada casse de usuário: Γ =2 1 (7) Considerando a matriz de interferência, dimensão : 0, = =Γ,, sendo Γ, obtido de (5), tendo em conta o requisito de taxa de cada casse, e os seguintes vetores couna 1: (8) = Γ,, (9) pode-se obter anaiticamente o vetor de aocação de potência ótimo simpesmente através da inversão de matriz: = ( ) (10) se e somente se o maior autovaor de for menor que 1 [7]; é a matriz identidade. Satisfeita essa restrição, o probema de controe de potência é reaizáve. Aqui, o probema cássico de controe de potência é estendido para incorporar o critério mutitaxa, no sentido de garantir a taxa mínima de dados a cada uma das casses de

3 serviços (ou de usuários). Matematicamente, deseja-se resover o seguinte probema de otimização: min =,,,, restr.,, e = 1,2,, = (11) III. OTIMIZAÇÃO DE POTÊNCIA-TAXA VIA VERHULST O modeo matemático de Verhust foi primeiramente ideaizado para descrever a dinâmica popuaciona com base na imitação de aimentos e espaço. Em [1] esse modeo foi adaptado ao probema de controe de potência distribuído em sistemas DS/CDMA unitaxa, sendo estendido aqui para incorporar os requisitos de sistemas MPG-CDMA mutitaxas. Neste sentido, obtém-se a seguinte equação discreta iterativa: [+1] = (1+) [] [] [] (12) restr. =,, e = 1,2,, e sendo a potência do usuário pertencente à casse, a potência mínima e máxima, respectivamente, possíveis de serem aocadas aos usuários da casse. [] e [+1] referem-se à -ésima e (+1)-ésima iteração; (0,1], é o fator de convergência de Verhust, [] é a SNIR do -ésimo usuário pertencente à -ésima casse na iteração, é a SNR mínima para o -ésimo usuário (assumida idêntica para todos os usuários pertencentes à -ésima casse de serviço) que garante um QoS mínimo em termos de taxa de erro de bit ou símboo. Tendo em vista não sobrecarregar a notação, sempre que possíve nas discussões que se seguem, será omitido o sobrescrito que identifica a casse de usuários. A recursão (12) pode ser efetivamente impementada na i- ésima unidade móve uma vez que todos os parâmetros necessários (, QoS deteterminado por e a potência transmitida no sot anterior, []), exceto [], podem ser considerados conhecidos na unidade móve. O SINR [] só pode ser obtido na estação base correspondente que demodua o sina do usuário. Desta forma, a estação base estima [], quantiza o correspondete vaor em um número conveniente de bits, e transmite essa informação para o -ésimo usuário através do cana direto. Assim, (12) depende apenas de parâmetros ocais, permitindo que o controe de potência possa ser impementado de forma distribuída, ou seja, em cada um dos enaces reversos (terminais móveis para estação base) o controe de potência é operado separadamente, justificando a designação de agoritmo de controe de potência distribuído, DPCA. A equação (12) fornece uma atuaização de potência recursiva, próxima à soução ótima após iterações. No entanto, originamente em [1], não foram considerados os requisitos de taxa reativos ao ambiente mutitaxa. Para acançar o QoS de cada casse de usuário, (12) foi adaptada para acançar o equiíbrio im, [] = quando a potência aocada para cada usuário satisfaz a restrição de taxa mínima para cada casse de serviço, =. Assim, a equação recursiva foi reescrita considerando o SNIR por casse de usuário, através de (1), a fim de incorporar um cenário mutitaxa. Neste cenário, a CIR mínima por casse de usuário é obtida diretamente por (5). Desta forma, considerando a reação entre o CIR e SNIR em um contexto DS/CDMA mutitaxa, propõese a equação abaixo, a fim de soucionar iterativamente o probema de otimização em (11) ou (12): [] = Γ [] = 1,, = [] [] [] [] +, =1,, (13) sendo o máximo ganho de processamento referente à -ésima casse de usuários: = (14) Note que a CIR do -ésimo usuário na -ésima iteração é ponderada peo fator de espahamento; assim, a SNIR correspondente é inversamente proporciona à taxa de dados associada à -ésima casse de usuários. A. Quaidade da Soução Tempo de Convergência A quaidade da soução acançada pea equação iterativa de Verhust (12) é medida por quão próximo o vetor [] está da soução ótima, e pode ser quantificada por meio do erro quadrático médio normaizado (NSE, normaized squared error), quando o equiíbrio é acançado. A definição do NSE é dada por: [] = [], onde denota a distância Eucidiana quadrática para a origem, e o operador esperança estatística. Por outro ado, a veocidade de convergência da equação de Verhust é ditada peo parâmetro. Assim, para vaores pequenos, ou seja, 0, a convergência é enta, mas o NSE após a iteração é bem menor quando comparado à configuração oposta: a convergência é rápida quando 1, mas o NSE cresce. Tendo em vista aceerar a convergência, propomos dois critérios adaptativos para o fator de convergência (em função da evoução do número de iterações), baseados em a) diferença entre SNIR e SNR avo; b) mapeamento tangente hiperbóica para essa diferença, como segue: a) [] =min ; [ 1] +, (15) b) [] =max ;tanh( [ 1] ), (16) com =0,10 e =0,95.

4 IV. RESULTADOS NUMÉRICOS Tendo em vista comprovar a vaidade do método de otimização proposto, simuações numéricas foram reaizadas utiizando pataforma MatLab ver.7.3. O principais parâmetros de sistema, cana e do agoritmo de controe de potência-taxa proposto estão indicados na Tabea I. Para todos os resutados discutidos nesta seção, assumiu-se geometria muti-céua retanguar, [(0; );(0; )], com um número de estações rádio-base igua a $4$ e terminais móveis uniformemente distribuídos em cada dimensão espacia. Uma configuração espacia típica para os terminais móveis (mt, mobie terminas) e estações-base (BS, base stations) é mostrada na Fig. 1. Adicionamente, foram consideradas três taxas, submútipas da taxa de chip, para a aocação de taxa dos usuários: = ; ; [bps]. Adotou-se um número de terminais móveis na faixa de =5 até 30. Figura 1. =25 Terminais móveis e 4 estações-base ocaizados em uma céua com geometria retanguar de 25. Todos os enaces mt-bs estão sujeitos a desvanecimentos entos, ou seja, a seguinte reação é sempre satisfeita: < (Δ) 1 (17) onde é a duração do sot tempora, e (Δ) é o tempo de coerência do cana 2 e é a máxima freqüência Dopper, diretamente proporciona à veocidade do termina móve. Nesta condição, cada atuaização de potência reaizada peo DPCA ocorre com taxa, assumida aqui igua a = 1500 atuaizações por segundo. iterações são reaizadas peo agoritmo a cada segundos. A recursão em (12) deve convergir para o ponto ótimo antes que cada ganho de cana experimente mudanças significativas. Note que satisfazendo (17) as matrizes de ganho permanecem aproximadamente estáticas durante um intervao do processo de convergência. Em todas as simuações os vaores da SNIR avo foi fixada em =4 ; a potência do ruído no receptor para todos os 2 Corresponde ao intervao de tempo em que as características do cana não sofrem variações expressivas. usuários foi adotada igua a = 63, e a matriz de ganho de cana possui vaores intermediários entre aquees utiizados em [8] e [6]. Os vaores adotados para perda de percurso, sombreamento, desvanecimento Rice e máxima frequência Dopper estão indicados na seção Ganhos de Cana da Tabea I. TABELA I PARÂMETROS ADOTADOS NA ANÁLISE DO ALGORITMO DE CONTROLE DE POTÊNCIA-TAXA Parâmetros Vaores adotados Sistema de aocação de taxa e potência DS/CDMA Potência do ruído = 63[] Taxa de chip =3,84 10 Taxa min. Signa-noise =4 Potência max. por usuário =20 Potência min. por usuário = [] Sot Tempora = 666,7 # terminais móveis [5;30] # estações-base = 4 Geometria da céua retanguar, com = =5 Distribuição dos term. [(0; ); (0, )] móveis Ganho de Cana perda de percurso sombreamento og-norma descorre., =6 desvanecimento Rice: [0,6; 0,4] Freq. Dopper máx. = [11; 90] Estimativas de erro =(1+), onde [±] =0 0,02 0,2 Tipos de usuários # casses de usuários =3 (voz, dados, vídeo) Taxas para casses de us. = ; 1 32 ; 1 16 [] Agoritmo Aocação de Taxa-Potência de Verhust Tipo parciamente distribuído fator convergência, faixa [0,10; 0,95] Janea de otimização [150; 800] iter. (Cana Estático) =10 e =45 iter. (Cana Dinâmico) Simuação Monte-Caro Número de trias, TR 100 reaizações (Fig. 3) Os resutados de simuação discutidos a seguir foram obtidos sob duas condições de cana: a) cana estático, situação em que os coeficientes de cana permanecem constantes durante todo o processo de convergência ( iterações), i.e., por um período igua ou maior que ; b) cana dinâmico: os coeficientes sofrem modificações conforme o tempo de coerência do cana, sendo observada a condição de desvanecimento ento > (Δ) da eq. (17) para as duas mobiidades adotadas, i.e., pedestre e veicuar ( <90). Observe-se que nesta condição procurou-se quantificar o menor número de iterações necessário à convergência em termos de NSE aceitáve. Com isto, pôde-se avaiar a viabiidade de impementação do agoritmo de aocação de potência de Verhust em sistemas mutitaxas sob canais e condições reaistas. Esta condição é anaisada na subseção IV-D. A. Desempenho e Convergência Típicos sob Diferentes 's O comportamento típico de convergência para cana estático, fixo, =7 usuários mutitaxa, com aocação de taxa aeatória e uniformemente distribuída entre três casses,

5 1) Dependência da Quaidade da Soução em Termos de : Uma vez que temos aguma idéia de quão rápido o agoritmo de Verhust atinge o equiíbrio para diferentes vaores de, é importante determinar a quaidade da soução em termos do tempo de convergência. Para a mesma configuração de sistema da Fig. 2, obtemos na Fig. 3 a razão do NSE associado a diferentes fatores de convergência: ( = 0,9) = ( = 0,1) = (. ) (. ) (18) Verifica-se na Fig. 3 que independentemente dos erros nas estimativas do cana, a quaidade da soução para ambos = 0,9 (convergência rápida) e = 0,1 (enta) na região fina das iterações ( >170) mostra eevada simiaridade ( 1), mas com uma igeira vantagem em termos de convergência para = 0,1. Nesta região, para ambos os fatores de convergência, o agoritmo aproxima-se da soução ótima com mesma veocidade; como conseqüência, 1. Inversamente, na região inicia, ou seja entre 23 e 120 iterações, o agoritmo com = 0,9 produz uma soução muito mehor, resutando em ( =0,9) (= 0,1). Devido ao número insuficiente de iterações, o agoritmo não é capaz de acançar a competa convergência para = 0,1 para <150. Figura 2. CIR e convergência de potência para: =7,, = [120, 120, 240, 240, 30, 120, 30][]. = 0,1 0,9. [1/128; 1/32; 1/16] [], é mostrada na Fig. 2, para CIR (dois gráficos superiores) e soução para aocação de potência (dois gráficos inferiores). Patô indica a convergência para o vetor de potência soução, e as inhas pontihadas ( na egenda) indicam a soução anaítica, i.e, o vetor de potência ótimo, dado por (10). Observe a rápida convergência de todos os usuários quando =0,9, ou seja, 45 iterações, contra 150 para =0,1. Evidentemente, a quaidade da soução nas duas situações são distintas, como discutido na próxima subsecção. B. Desempenho sob Erros de Estimativas de Cana Em um cenário rea, as estimativas de SINR na BS não são perfeitas, no sentido de que os vaores estimados apresentam uma característica de erro aeatório. A fim de incorporar esta característica, um erro aeatório é adicionado a cada eemento da matriz de ganho do cana, a cada iteração. A reação entre os vaores estimados e verdadeiros de ganho de cana é dada por: =(1+) sendo considerada uma variáve aeatória com distribuição uniforme no intervao [ ; ]. Nas simuações apresentadas, foram adotados vaores para o erro de estimação na faixa de 0 a 0,2, em passos de 0,02. Figura 3. Taxa de NSE considerando comportamento de convergência de potência rápido ( =0,9) e ento ( =0,1) de =7 terminais móveis, e vaores de erro de estimativa para ganho de cana. Gráfico inferior é uma ampiação em [21; 150].

6 Portanto, a mehor escoha de vaor para depende da imitação do número máximo de iterações. Se o número de iterações é uma preocupação, devido a imitações de processamento, hardware, combinados a um cenário de rapidez do cana, a escoha natura consiste em ajustar o fator de convergência o mais eevado possíve, mesmo sacrificando a precisão da soução. Caso contrário vaores baixos para produzem um NSE igeiramente menor. 2) Quaidade da Soução como Função do Carregamento de Sistema: A Fig. 4 mostra o comportamento do NSE médio após =1000 iterações, quando tanto o erro nas estimativas do ganho de cana quanto o carregamento de sistema crescem; considerou-se =10, 20 e 30 terminais móveis com diferentes reaizações aeatórias para a distribuição em casses (usuários uniformemente distribuídos nas três taxas de dados, 30, 120 e 240 Kbps). O fator de convergência foi assumido como fixo =0,2. Os vaores médios para NSE foram obtidos sobre = 100 reaizações de convergência para cada combinação de, e taxas de usuários. daquee com fixo) somente em termos de tempo de convergência. Uma avaiação preiminar sobre a redução do tempo de convergência com a adoção do fator adaptativo pode ser obtida inspecionando-se a Fig. 5. Ambos gráficos foram obtidos sob as mesmas condições de cana, =30 usuários e estimativas perfeitas para os ganhos de cana. Como esperado, a taxa de convergência, principamente no início, é bastante mehorada. Podemos ver que o procedimento adaptativo tanh- permite que o agoritmo proposto acance a condição de tota convergência 50% mais rápido em reação à abordagem cássica com =0,1 fixo e mesma quaidade de soução em termos de NSE. Figura 5. Comparação da convergência entre adaptativo usando a função tangente hiperbóica (direita) e o método cássico com fixo (esquerda). é obtida via inversão de matriz, eq.(10); é a mínima potência a ocada iniciamente e Pot. Média, é a potência média sobre os =30 usuários aocada peo agoritmo de Verhust. Figura 4. Degradação do NSE como função do aumento no número de terminais móveis e dos erros nas estimativas do ganho de cana. Vaores de NSE após = 1000 iterações; adotou-se =0,2. Observe ainda na Fig. 4 que os vaores NSE são mais eevados para sistemas com baixos carregamentos ( =10), mostrando um aumento na taxa de degradação da soução quando as estimativas dos erros de cana aumentam. Essa tendência encontra expicação por efeito da granuaridade, ou seja, sob eevados carregamentos, a norma da distância entre a soução obtida e a ótima resuta em vaores menores devido à granuaridade, quando comparada aos casos de baixos carregamentos de sistema ( reduzido). Em termos de NSE, os erros nas estimativas de cana têm um efeito progressivo sobre a quaidade da soução. C. Desempenho dos métodos de convergência adaptativos Tendo em vista aceerar a convergência do agoritmo, dois critérios adaptativos baseados na diferença de SNIR's foram sugeridos na seção III-A. Existem dois aspectos de desempenho importantes a serem anaisados, considerando os métodos adaptativos sugeridos em contraponto ao agoritmo de fixo: tempo de convergência e quaidade da soução. Deimitado o menor fator em =0,1, avaia-se a seguir o desempenho para os três métodos (ambos adaptativos, aém Para quantificar o efeito da adaptação do fator de convergência sobre o NSE ao ongo das iterações, a Fig. 6 mostra o NSE e o NSER para cada número de iterações no intervao de [0; 700], e considerando o mesmo cenário da Fig. 5. Note que para quaquer iteração, após as primeiras iterações ( >100), o fator de convergência adaptativo proporciona um mehor desempenho de peo menos uma década e meia, em termos de NSE. Especificamente, para > 200, o ( ) 2 10 (=0,1). Em outras paavras, o método tanh com adaptativo proposto pode acançar a mesma quaidade de soução que =0,1 usando menos iterações, i.e., 140 menos iterações quando >100. Tendo em vista determinar o mehor método adaptativo para o fator de convergência, entre os dois propostos, Eq. (15) e (16), pode-se comparar o NSE para ambos os métodos sob as mesmas condições de cana e sistema. A Fig. 7 mostra os resutados da simuação considerando =30 usuários e = 0. Note que o mapeamento da tangente hiperbóica sempre resuta em vaores mais baixos de NSE, embora esta diferença seja margina. Portanto, para quaquer número de iterações a convergência da soução fornecida peo método da h é mehor do que o mapeamento da diferença entre o SNR e o SNR avo às custas de um maior esforço computaciona consumido na avaiação função h.

7 Verhust, instantâneo e médio (sobre 500 ), resutou menor que o de Foschini. Os vaores de N iterações são os mínimos necessários à obtenção de NSE menores que o de Foschini. Adicionamente, considerou-se que no primeiro ambos agoritmos são executados em uma janea de otimização de 300 iterações tendo em vista garantir uma convergência inicia mínima, e deste ponto em diante apenas acompanhar as mudanças no cana utiizando =10 (pedestre) ou =45 (veicuar) iterações. Figura 6. NSE e NSER para o método adaptativo com função tanh, tendo como referência =0,1 fixo. Figura 7. NSE para ambos métodos com -adaptivo. =30 usuários D. Desempenho e Convergência sob Canais Dinâmicos O comportamento do agoritmo de aocação de potência de Verhust em termos de NSE e capacidade de acompanhar as mudanças do cana é anaisado nesta subseção. Foram avaiados dois perfis de cana com desvanecimento Rayeigh: pedestre, cuja frequência Dopper máxima resutante para uma frequência de portadora de =1,8 GHz é da ordem de 11 Hz e veicuar, tipicamente com uma =90 Hz. Assim, para um = 667s, o cana pode ser considerado ento em termos de atuaização das potências. Tendo em vista otimizar a veocidade de convergência, adotou-se o fator adaptativo baseado na tanh. Para efeito de comparação da quaidade da soução, considerou-se o desempenho do agoritmo cássico de Foschini [2]. Anaisou-se a evoução do vetor de potência aocada para =10 usuários distribuídos uniformente em três diferentes casses (taxas), ao ongo de 500. A Fig. 8 apresenta curvas típicas para ganho de cana, respectiva aocação de potência e o NSE Verhust e Foschini para o primeiro usuário, enquanto que a Fig. 9 apresenta vaores médios para os =10 usuários. Verifica-se a partir da Fig. 8 que a aocação de potência segue o sentido oposto ao desvanecimento instantâneo do cana, na tentativa de compensar tais desvanecimentos. Adicionamente, nas duas condições de cana da Fig. 8, pedestre e veicuar, o NSE de Figura 8. Ganho de cana, respectiva aocação de potência e o NSE Verhust -tanh comparado ao de Foschini para o usuário 1 (de usuários). Conjunto a) =11 Hz e =10 iterações; b) =90 Hz e =45 iterações

8 Na Fig 9 são apresentados resutados para a potência média aocada e o respectivo NSE médio sobre =10 usuários, considerando duas mobiidades: a) pedestre e b) veicuar. Tendo em vista aspectos de impementação e redução de compexidade, obteve-se o número de iterações mínimo por time sot, i.e., =10 para o cenário pedestre e =45 para o veicuar necessário à obtenção de um menor NSE médio sobre =500 para o agoritmo de Verhust quando comparado ao agoritmo cássico de Foschini [2], conforme indicado na Tabea II. Assim, uma vez que é necessário um pequeno número de iterações por sot tempora para se atingir quaidade na soução de aocação de potência com o agoritmo de Verhust mutitaxa, mesmo para canais do tipo veicuar, pode-se facimente estender a impementação do agoritmo para canais com desvanecimento rápido, obtendo-se a mesma quaidade na soução do vetor de potências aocada. Figura 9. Potência aocada e NSE médios para Verhust com -tanh: média sobre os respectivos vaores de =10 usuários, considerando a) =11 Hz e =10 iterações por ; b) =90 Hz e =45 iterações por. TABELA II NSE MÉDIO SOBRE 500 Pedestre Veícuar =11 Hz =90Hz Foschini 4, ,25 10 Verhust 3, ,95 10 º./ A partir da Tabea II e de resutados de simuação compementares (não mostrados aqui) é possíve concuir que para um número de iterações maior que 10 no caso pedestre e maior que 45 no caso veicuar, a diferença entre a quaidade da soução dada peo agoritmo de Verhust e a de Foschini tende a crescer, pois a veocidade com que a soução obtida por Verhust se aproxima da soução ótima anaítica obtida pea inversão da matriz de interferência é maior que a veocidade observada nas souções apresentadas peo agoritmo de Foschini E. Compexidade Computaciona Em um método distribuído, cada enance mt-bs reaiza sua atuaização separadamente, ou seja, o controe de potência é reaizado por processadores em paraeo e cada um reaiza apenas operações escaares. Assim, a anáise pode ser reduzida ao estudo de uma iteração em cada termina móve. Portanto, comparando-se o agoritmo proposto e o cássico de Foschini [2], resutam na mesma compexidade. Adicionamente, tendo em vista estabeecer uma anáise comparada de compexidade computaciona entre agoritmo proposto e a abordagem da matriz anaítica inversa, avaia-se o número de adições e mutipicações em função do número de terminais móveis interferentes ( 1). Avaiou-se o número de operações necessárias à impementação das equações (12), (13) e (16) em cada termina e a cada iteração, utiizando-se o agoritmo proposto com o método -tanh adaptativo. A Tabea III mostra o número de operações de adição e mutipicação executadas por iteração. As avaiações da função tanh por iteração foram admitidas operações de consuta a tabea (ookup tabe). TABELA III OPERAÇÕES POR ITERAÇÃO EXECUTADAS EM CADA TERMINAL MÓVEL PARA O ALGORITMO PROPOSTO. Equação Operação Número de Operações (12) Adições 2 Mutipicações 3 (13) Adições Mutipicações +3 (16) Adições 1 Mutipicações 1 Assim, a compexidade computaciona do agoritmo proposto é de ( + 1), onde é o número de iterações necessárias para a convergência. Comparando com o mehor caso de compexidade da operação de inversão de matriz, dada por [ og()] [9][10], o agoritmo proposto resuta em um redução razoáve de compexidade sob a condição de eevado número de terminais móveis e requisito de NSE não é excessivamente apertado. Aém disso, no método proposto, a compexidade pode ser controada simpesmente especificando o NSE máximo admissíve. F. Anáise de Convergência Em [1] foi mostrado, a partir de 11 proposições, que o agoritmo de Verhust para o probema do controe de potência DS/CDMA de taxa única tem sua convergência garantida. Para a extensão apresentada aqui, i.e., o caso de usuários DS/CDMA mutitaxa, provar que o agoritmo de Verhust converge para todos os casos práticos de interesse é uma simpes, porém tediosa, tarefa de extensão das provas do caso unitaxa. Portanto não será mostrada aqui, bastando o eitor se remeter às respectivas provas das proposições apresentadas em [1]. V. CONCLUSÕES Este artigo propôs um DPCA para sistemas mutitaxas com fator de convergência adaptativo baseado na equação de equiíbrio de Verhust. As simuações demonstraram que o agoritmo possui vantagem sobre a soução anaítica. Adicionamente, com a adoção do fator de convergência

9 adaptativo observou-se uma redução significativa de iterações necessárias à convergência. Resutados numéricos de simuação indicam que o DPCA proposto é factíve para resover probemas práticos de aocação de recursos em sistemas DS/CDMA mutitaxa, pois o mesmo mostrou-se eficiente incusive sob a condição de canais dinâmicos, tendo sido necessárias poucas iterações por para se atingir uma quaidade de soução razoáve. Aém disso, o agoritmo proposto apresenta mehor desempenho que o agoritmo de Foschini para uma ampa faixa de mobiidade. A abordagem do modeo de Verhust utiizada para soução do probema de aocação de recursos em sistemas DS/CDMA possui grande potencia em termos de redução da compexidade computaciona e quaidade da soução. Trabahos futuros incuem a aocação de potência e taxa para sistemas MIMO (mutipe-input-mutipe-output) CDMA, e a adaptação do equiíbrio discreto de Verhust, com o objetivo de otimizar simutaneamente o consumo de potência e throughput do sistema. AGRADECIMENTOS Este trabaho foi parciamente financiado pea CAPES (bosa DS), CNPq (Processo: /2009-8) e FAP- Araucária (Convênio nº: 045/2007). REFERÊNCIAS [1] T. J. Gross, T.Abrão e P. J. E. Jeszensky, Agoritmo de controe de potência distribuído fundamentado no modeo popuaciona de Verhust, em Revista da Sociedade Brasieira de Teecomunicacões, vo. 20, no. 2, 2006, pp [2] G. Foschini e Z. Mijanic, A simpe distributed autonomous power contro agorithm and its convergence, em IEEE Transactions on Vehicuar Technoogy, vo.42, no.4, pp , Nov [3] P. F. Verhust, Notice sur a oi que a popuation pursuit dans son accroissement, Corresp. Math. Phys., vo.10, pp , [4] A. A-Hezmi, O. Friedrich, S. Arbanowski e T. Magedanz, Requirements for an ims-based quadrupe pay service architecture, em IEEE Network, vo. 21, no. 2, pp.28 33, Março/Abri [5] M. Emusrati e H.Koivo, Muti-objective totay distributed power and rate contro for wireess communications, em The 57th IEEE Semiannua Vehicuar Technoogy Conference, VTC 03-Spring, vo.4, no.1, pp , Abri [6] M. Emusrati,H. E-Saabi e H.Koivo, Appications of muti-objective optimization techniques in radio resource scheduing of ceuar communication systems, IEEE Transactions on Wireess Communications, vo. 7, no. 1, pp , Jan [7] E. Seneta, "Non-Negative Matrices and Markov Chains", 2nded. New York: Springer-Verag, [8] Z. Uykan e H. Koivo, Sigmoid-basis non inear power-contro agorithm for mobie radio systems, IEEE Transactions on Vehicuar Technoogy, vo. 53, no. 1, pp , Jan [9] G. H. Goub e C. F. V. Loan, "Matrix Computations". Maryand, USA: Johns Hopkins University Press, [10] A. Tveit, On the compexity of matrix inversion, Mathematica Note, p. 1, November 2003, Trondheim, Norway. Lucas Dias Hiera Sampaio received the B. S. degree and the Masters degree in Computer Science at Londrina State University, Brazi, in 2008 and 2010, respectivey. His research interests ie in the wireess communication networks, incuding resource aocation in DS/CDMA and 4G systems, MIMO systems, heuristic and optimization in CDMA networks. Moisés Fernando Lima received the B.Sc degree and the Masters degree in Computer Science from Londrina State University, Brazi, in 2008 and 2011, respectivey. His research interests incude management and security of networks, anomay detection and 4G systems. Mario Lemes Proença Jr. received the Ph.D. degree in Eectrica Engineering and Teecommunications from State University of Campinas (UNICAMP) in He received the tite of M.Sc degree in Computer Science from the Informatics Institute of Federa University of Rio Grande do Su (UFRGS), in He is currenty an Adjunct Professor and eader of the group of research in computer networks of computer science department at State University of Londrina, Brazi. His research interests incude Computer Network, Network Operations, Management and Security. For detais, see Taufik Abrão received the B. S., M. Sc. and Ph. D., a in Eectrica Engineering from EPUSP - Escoa Poitécnica of University São Pauo, Brazi, in 1992, 1996, and 2001, respectivey. He is currenty an Associate Professor at the Eectrica Engineering Department of UEL - State University of Londrina (Brazi). From 2007 to 2008, he was a visiting professor at TSC/UPC - Department of Signa Theory and Communications, Universitat Poitécnica de Cataunya, Barceona, Spain. His research interests incude muti-user detection, MC-CDMA and MIMO systems, heuristic and optimization aspects of DS-CDMA systems and 4G systems. He is author or co-author of more than 90 research papers pubished in speciaized periodicas and symposiums. and