TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS E DATUM COM PROPAGAÇÃO DE COVARIÂNCIAS

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1 Anais do Sipósio Brasileiro de Geoática, Presidente Prudente - SP, 9- de julho de. p.-. RANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS E DAUM COM PROPAGAÇÃO DE COVARIÂNCIAS CLAUDINEI RODRIGUES DE AGUIAR PAULO DE OLIVEIRA CAMARGO MAURICIO GALO Universidade Estadual Paulista - UNESP Faculdade de Ciências e ecnologia - FC Departaento de Cartografia, Presidente Prudente - SP Bolsista IC - CNPq/PIBIC, Curso de Graduação e Eng. Cartográfica {paulo, galo}@prudente.unesp.br RESUMO - Atualente, a aneira ais prática de se obter coordenadas nu sistea global é através do posicionaento utilizando os satélites do sistea GPS (Sistea de Posicionaento Global), obtendo-se as coordenadas geodésicas cartesianas (X,,Z) ou, após ua transforação, as coordenadas geodésicas (ϕ,λ,h) referidas ao datu WGS-8 (Sistea Geodésico Mundial). Alé do WGS-8, há ua série de diferentes referenciais geodésicos que são utilizados. Dentre eles pode-se citar o SAD-9, que oficialente, a Geodésia e a Cartografia nacional utiliza, e o datu Córrego Alegre, referencial precursor do SAD-9. Portanto, independente das coordenadas desejadas e do datu especificado, é freqüente a necessidade de realizar transforações de coordenadas e de datu. Visto que não é cou a disponibilidade de aplicativos que perite deterinar a atriz variância-covariância das coordenadas transforadas, no datu desejado, e que é fundaental o conheciento das covariâncias das coordenadas, be coo a correlação entre elas, este trabalho visa a derivação dos odelos ateáticos que possibilita a propagação de covariâncias na transforação de coordenadas e datu, seja e transforações no qual a solução seja direta ou iterativa. ABSRAC Nowadays, the ost popular syste used to obtain point positions in a global reference syste is GPS (Global Position Syste). he positions obtained in the adjustent of GPS observables are the Cartesian Coordinates (X,,Z). he Geodetic Coordinates (ϕ,λ,h), refereed to the World Reference Syste WGS-8, is obtained by applying appropriated transforation. Besides WGS-8, others reference systes are used in practical applications. In Brazil, one can consider the Córrego Alegre Datu and the South Aerican Datu - SAD-9. he latest one is the official reference syste adopted by IBGE. herefore, independently of the coordinates and the datu considered, it is frequently necessary to ake transforations of coordinates and datu. Since software that perfors the covariance propagation for the coordinates and datu transforations is not frequently available, the ai of this paper is to develop the equations that allow coputing the variance-covariance atrix, after the coordinate and datu transforations is perfored, for both, direct and iterative transforations odels. INRODUÇÃO Co o advento da tecnologia de posicionaento por satélite, os levantaentos geodésicos tornara-se enos onerosos, ais precisos e ais rápidos do que os levantaentos executados co procedientos clássicos da Geodésia. O GPS perite a obtenção das coordenadas geodésicas cartesianas (X,,Z) ou, após ua transforação, as coordenadas geodésicas (ϕ,λ,h) referidas ao datu WGS-8, que utiliza o Sistea de Referência Geodésico GRS-8 coo elipsóide de referência. Alé do WGS-8, há ua série de diferentes referenciais geodésicos utilizados na prática. Dentre eles, pode-se citar o SAD-9, que oficialente, a Geodésia e a Cartografia nacional utiliza, co exceção da arinha e aeronáutica que eprega o WGS-8, por força de acordos internacionais. No entanto, parte da produção cartográfica oficial ainda é apresentada no datu Córrego Alegre, referencial precursor do SAD-9 (Santos, 999). Portanto, independente das coordenadas desejadas e do datu especificado, freqüenteente existe a necessidade de realizar transforações de coordenadas e de datu. Associado à transforação de coordenadas e de datu te-se a questão da propagação de covariância, que perite obter a atriz variância-covariância (MVC) das coordenadas transforadas, no datu desejado. A disponibilidade de aplicativos que perite a transforação de coordenadas e de datu é grande, no entanto de propagação de covariâncias é enor. Dentre os

2 Anais do Sipósio Brasileiro de Geoática, Presidente Prudente - SP, 9- de julho de. sisteas e aplicativos pode-se considerar aqueles coerciais que trata, dentre várias outras opções, da transforação de coordenadas e aqueles não coerciais, e de uso restrito, tais coo: ranscor (Oliveira e Silva, 999) e CD (Galo, 99). Justaente devido ao fato de se ter u núero restrito de aplicativos que perita a deterinação da MVC no processo de transforação de coordenadas e de datu, este trabalho visa apresentar a derivação dos odelos ateáticos que possibilita a propagação de covariâncias neste processo. SISEMAS DE REFERÊNCIA E DAA ADOADOS NO BRASIL Os sisteas de referência são utilizados para descrever de odo unívoco as posições de objetos. E atividades ligadas às Ciências Cartográficas, quando é necessário definir a posição de u deterinado objeto na superfície da erra são utilizados os Sisteas de Referência Geodésicos. Alé dos Sisteas de Referência Geodésicos, as inforações posicionais pode ser apresentadas e u sistea de coordenadas plano, associados a ua deterinada projeção cartográfica. Independente do étodo utilizado para se representar ou projetar ua deterinada superfície no plano, deve-se adotar ua superfície que sirva de referência (elipsóide de revolução, por exeplo). No Brasil, por u certo período, adotou-se o elipsóide de Hayford coo figura geoétrica para os trabalhos geodésicos. Atualente, no entanto, utiliza-se co ais freqüência o elipsóide da União Astronôica Internacional, hoologado e 97 pela Associação Internacional de Geodésia, denoinado GRS-7, cujos parâetros são apresentados na abela. abela Parâetros dos elipsóides atualente utilizados no Brasil (IBGE, ). Elipsóide Sei-eixo aior - a () Achataento - f Hayford.78.8, /97 GRS-7.78., /98,5 GRS , /98,575 O datu Córrego Alegre, utilizado e ua série de produtos por diversas instituições, considera coo figura geoétrica o elipsóide de Hayford e o datu SAD- 9 utiliza o GRS-7. O elipsóide de referência GRS-8, apresentado na abela, é adotado coo superfície de referência para o datu WGS-8.. Sistea Geodésico Brasileiro Define-se por Sistea Geodésico Brasileiro (SGB) o conjunto de pontos geodésicos iplantados na porção da superfície terrestre deliitada pelas fronteiras do país. E outras palavras é o sistea ao qual estão referenciadas todas as inforações espaciais no Brasil (IBGE, ). O Brasil atualente adota o Sistea Geodésico Sul-Aericano SAD-9. O SAD-9 é u sistea geodésico regional de concepção clássica que tinha coo objetivo a unificação do referencial para os trabalhos geodésicos e cartográficos na Aérica do Sul (Costa, ). A sua adoção no Brasil se deu no final da década de 7. A aterialização do SAD-9 foi realizada por técnicas e étodos de posicionaento terrestre, destacando-se a triangulação e poligonação. Coo já encionado, para o datu SAD-9 a iage geoétrica da erra é definida pelo Elipsóide de Referência Internacional de 97, aceito pela Assebléia Geral da Associação Geodésica Internacional. Para o posicionaento espacial do GRS-7 utilizou-se de parâetros topocêntricos obtidos no ponto orige, vértice geodésico Chuá, localizado no estado de Minas Gerais. O referencial altiétrico coincide co a superfície equipotencial que conté o nível édio do ar, definido pelas observações aregráficas toadas na baía de Ibituba, no Estado de Santa Catarina. Na abela são apresentados alguns dos parâetros definidores deste sistea (IBGE, ): abela Parâetros definidores do Sistea Geodésico Brasileiro - SGB. Superfície de Elipsóide Internacional de 97 (GRS-7) referência: Ponto datu Vértice Chuá Latitude = 9º 5,57S geodésicas do ponto datu: Longitude = 8º,9W Aziute (Chuá Uberaba)=7º,5 SWNE Altitude 7,8 etros ortoétrica: Orientação elipsóide-geóide no ponto datu: APLICAIVO CD N= etros (Ondulação Geoidal) ξ=, (coponente eridiana do desvio da vertical) η=-,5 (coponente prieiro vertical do desvio da vertical) O aplicativo CD ransforação de e Datu (Galo, 99), trata-se de u aplicativo não coercial, de uso interno nas atividades de ensino e pesquisas desenvolvidas junto ao Departaento de Cartografia da FC/UNESP. Este aplicativo foi desenvolvido e linguage de prograação FORRAN 77, e realiza as transforações entre os sisteas geodésicos Córrego Alegre, SAD-9 e WGS 8. Alé disto, perite realizar transforações envolvendo as coordenadas geodésicas cartesianas (X,,Z), as coordenadas geodésicas (ϕ,λ,h) e o sistea de coordenadas planas na projeção UM - Universal ransversa de Mercator (E, N). As transforações entre data são efetuadas diretaente no sistea cartesiano tridiensional, utilizando-se os parâetros estabelecidos pelo IBGE (98, 989). Na abela são apresentados os parâetros utilizados pelo CD para efetuar a transforação entre o SAD-9 e os sisteas de referências que são adotados no Brasil, do ponto de vista prático.

3 Anais do Sipósio Brasileiro de Geoática, Presidente Prudente - SP, 9- de julho de. abela Parâetros de translação entre SAD-9 e outros sisteas (IBGE, ). Sisteas Parâetros Córrego Alegre WGS-8 x () 8,7 -,87 y () -,,7 z () -, -8,5 Deve-se salientar que não se dispõe de parâetros de transforação direta entre o sistea Córrego Alegre e o WGS-8, portanto realiza-se ua transforação interediária para SAD-9. Na Figura é apresentado u fluxograa que apresenta as coordenadas de entrada e saída pelo aplicativo, alé de todas as transforações disponíveis. de entrada no datu Cartesianas (X,,Z) Cartesianas (X,,Z) Geodésicas (ϕ,λ,h) (ϕ,λ,h) (X,,Z) ransforação de datu r ( para ) = X r X X (X,,Z) (ϕ,λ,h) Geodésicas (ϕ,λ,h) de saída no datu UMh (E,N,h) UM-M (E,N,h) (x,y,h) M-Geodésicas (x,y,h) (ϕ,λ,h) Geodésicas-M (ϕ,λ,h) (x,y,h) M-UM (x,y,h) (E,N,h) UMh (E,N,h) Figura Fluxograa ostrando as transforações disponíveis no aplicativo CD. Pode-se observar que nesse fluxo não se considera a transforação direta entre as coordenadas geodésicas e coordenadas no sistea UM. Considera-se no entanto ua transforação interediária para o sistea de projeção M - ransverso de Mercado. Esta escolha se deve ao fato de que a partir das coordenadas no sistea M pode-se transforar para ua série de sisteas odificados derivados da projeção M, entre eles o Regional ransverso de Mercator (RM) e o Local ransverso de Mercator (LM), ainda não ipleentados no aplicativo. Para ais detalhes sobre a conversão entre as coordenadas M, e alguns sisteas odificados, sugere-se Blachut et al. (979) e Galo (). PROPAGAÇÃO DE COVARIÂNCIAS Muitas vezes torna-se necessária a disponibilidade de coordenadas transforadas, para o sistea desejado, acopanhadas de suas respectivas variâncias. Para se conhecer a atriz variância-covariância (MVC) das coordenadas transforadas, deve-se dispor da MVC das coordenadas no sistea inicial e realizar a propagação de variância-covariância, ou siplesente a propagação de covariância. Através da propagação de covariâncias pode-se obter as características estocásticas das variáveis funcionalente dependentes, conhecendo as características das variáveis independentes e a relação funcional entre os dois conjuntos de variáveis (Caargo, ). No caso de transforação de coordenadas, a tarefa da propagação consiste e deterinar as propriedades estocásticas das coordenadas transforadas, a partir das propriedades das coordenadas originais. Meso considerando que eventualente as coordenadas originais seja independentes, não correlacionadas, não significa que o eso ocorra co as coordenadas transforadas, já que o próprio odelo ateático que interliga as coordenadas, as correlaciona (Geael, 99). A partir dos odelos ateáticos utilizados, pelo aplicativo CD, fora derivados os odelos que perite a propagação de covariâncias. Os odelos ateáticos utilizados na transforação de coordenadas são descritos principalente e Blachut et al. (979) e Vanícek e Krakiwsky (98). Durante o desenvolviento das derivações de tais odelos pode-se observar alguns aspectos iportantes e que fora definidores nos cainhos adotados para realizar a propagação de covariâncias nas respectivas transforações. ais aspectos se refere aos odelos de solução iterativa utilizados e alguas transforações. As transforações de coordenadas geodésicas e cartesianas e de coordenadas geodésicas e M são realizadas por odelos de solução direta, o que facilita a aplicação da derivação e consequenteente a propagação de covariâncias. Já a transforação de coordenadas cartesianas e geodésicas pode ser realizada por odelos de solução não rigorosa (direta) e de solução iterativa. Devido a coplexidade e obter as derivadas nos casos iterativos, pode-se adotar, a princípio, duas soluções: a partir da derivação dos odelos de solução direta, ou adotar o inverso do odelo de propagação epregado na transforação de coordenadas geodésicas e cartesianas, coo será apresentado nas próxias seções. Finalente, a transforação de coordenadas M e geodésicas é dependente de odelos iterativos, o que

4 Anais do Sipósio Brasileiro de Geoática, Presidente Prudente - SP, 9- de julho de. dificulta a obtenção das derivadas. Logo, ua solução coerente é a aplicação da propagação de covariâncias adotando o inverso do odelo de propagação obtido na transforação de coordenadas geodésicas e M, evitando-se deste odo a derivação de odelos não rigorosos be coo de odelos iterativos.. Lei de Propagação das Covariâncias Nesta seção aborda-se alguns aspectos básicos da lei de propagação de covariância, sendo consideradas as seguintes referências básicas: Caargo (), Geael (99) e Strang & Borre (997). A deonstração da lei de propagação é de grande iportância para este trabalho ua vez que serve para a derivação das operações realizadas nas próxias seções. Considerando os vetores X e, cujos coponentes são variáveis aleatórias, pode-se considerar que eles são relacionados por u odelo linear na fora: = GX C, () : vetor das quantidades calculadas; G: atriz dos coeficientes; X: vetor das observações, co édia U x e MVC X ; C: vetor de constantes. Ao ser aplicando o operador esperança E{.} a abos os ebros da Equação te-se que: U = E{} = E{GX C} = GE{X} C, U = GU C. () X A MVC de, por definição, é dada por: = E{( U )( U ) }. () Substituindo as Equações e e e desenvolvendo a expressão obtida pode-se obter a função que perite fazer a propagação das covariâncias para funções lineares: = G X G, () cuja deonstração pode ser vista e Geael (99). A Equação pode ser generalizada para o caso de equações não lineares. Aditindo que o odelo não linear seja escrito por: = F(X), (5) o desenvolviento de F(X) e série de aylor, desprezando-se os teros de orde superior à prieira, possibilita escrever: F = F(X) F(X ) X (X X ). () X De odo análogo ao utilizado na obtenção da Equação pode-se obter a lei de propagação das covariâncias para funções não lineares. Assi, pode-se escrever: = D X D, (7) onde D representa a atriz Jacobiana forada pelas derivadas parciais, ou seja:... n y y y F... D = X = x x X. (8) n n.. Propagação das covariâncias na transforação de coordenadas geodésicas e cartesianas As Equações utilizadas na conversão de coordenadas geodésicas e cartesianas (X,,Z), são dadas por: X Z = ( N h) ( N h) [N( e cosϕcosλ cosϕsenλ ) h]senϕ, (9) onde N é a grande noral, calculada por (N=a/(- e sen ϕ) / ), sendo e a excentricidade do elipsóide de referência. A propagação de covariância, na conversão de coordenadas geodésicas e cartesianas, pode ser realizada aplicando a seguinte fórula: XZ ϕλ h = D D, () D: é a atriz Jacobiana; ϕλ h geodésicas; XZ cartesianas. Os eleentos da atriz D são obtidos a partir das derivadas parciais da Equação 9 e relação a (ϕ,λ,h), obtendo-se: ϕ λ h ( M h) senϕ cosλ ( N h) cosϕsenλ cosϕ cosλ ( ) ( ) ( ) D = = M h senϕsenλ N h cosϕ cosλ cosϕ senλ ϕ λ h M h cosϕ senϕ z z z ϕ λ h () onde M é o raio de curvatura da seção eridiana, dado por M=a(-e )/(- e sen ϕ) /.. Propagação das covariâncias na transforação de coordenadas cartesianas e geodésicas A fórula que expressa a propagação de covariâncias para este caso pode ser escrita da seguinte fora:

5 Anais do Sipósio Brasileiro de Geoática, Presidente Prudente - SP, 9- de julho de. XZ h ϕλ = D D, () onde D é a atriz Jacobiana, calculada e função de odelos que perite calcular (ϕ,λ,h) a partir de (X,,Z). A propagação de covariâncias para este caso é ais coplexa do que aquela exposta na seção anterior. Esta coplexidade se deve aos odelos ateáticos utilizados na transforação de coordenadas cartesianas e geodésicas, que pode ser realizadas utilizando odelos de solução direta ou iterativa (Vanícek e Krakiwsky, 98; Monico, ). Existe dois cainhos a sere considerados para a propagação de covariância, segundo a Equação. Ua opção consiste e deterinar os eleentos da atriz Jacobiana, a partir dos odelos ateáticos utilizados na solução iterativa. Poré, coo é coplexo o desenvolviento das derivadas parciais para odelos iterativos, ua alternativa é a deterinação dos eleentos da atriz D utilizando-se os odelos ateáticos de solução direta, que não são rigorosos. Contudo, ua terceira alternativa pode ser epregada. Considerando que a transforação de coordenadas cartesianas e geodésicas tenha sido realizada, pode-se calcular todos dos eleentos que copõe a atriz Jacobiana dada e. Logo, pode-se isolar na Equação a MVC das coordenadas geodésicas. Para isolar a MVC das coordenadas geodésicas (ϕ,λ,h) deve-se pré-ultiplicar os dois ebros da Equação por D - e pós-ultiplicar por D, se que a igualdade seja odificada, obtendo-se: e D XZ ϕλ h D = D Dϕλh D D XZ = D D () onde D - é o inverso da atriz Jacobiana (D), obtida pela Equação. A Equação perite portanto a propagação de covariâncias para a transforação de coordenadas cartesianas e geodésicas. Esta solução possibilita o uso da Matriz D, obtida na propagação inversa (geodésicas e cartesianas), se no entanto ter que se utilizar derivações que se baseia e soluções não rigorosas e e odelos iterativos.. Propagação das covariâncias na transforação de coordenadas geodésicas e M As Equações básicas utilizadas na conversão de coordenadas geodésicas (ϕ,λ) e M (x,y), são dadas por (Blachut et al., 979): x = B ϕ a a a... () 5 5 y = a a a... (5) = λ-λ (e radianos), sendo λ a longitude do eridiano central; B ϕ : copriento de arco eridiano calculado e função da latitude do ponto considerado; a, a,..., a : são os coeficientes calculados e função de ϕ e dos parâetros do elipsóide. A propagação de covariâncias pode ser realizada aplicando a seguinte expressão: = D D () ϕλ geodésicas; M. A atriz D da Equação é forada pelas derivadas parciais das Equações e 5, ou seja: = B [ M sen ϕ a cosϕ] ϕ a ϕλ a ( cosϕ sen ϕ 8 cos ϕ sen ϕ) ϕ λ D = (7) ϕ λ ( M sen ϕ a cosϕ)( cos ϕ 9 e cos ϕ e cos ϕ) ( cosϕ sen ϕ e cos ϕ sen ϕ e cos ϕ sen ϕ) ( M sen ϕ a cosϕ)( cos ϕ cos ϕ) 7 5 (8) x = a ( λ λ ) a ( λ λ ) ( λ λ ) 5 (9) λ a M senϕ = M senϕ ( cos ϕ e cos ϕ) ϕ a M senϕ (cosϕsenϕ e cos ϕ senϕ) [ cos ϕ 5 a ( 58e ) cos ϕ 7e cos ϕ] [cosϕ senϕ (9 e )cos ϕ senϕ e cos ϕ senϕ] 5 () y = a a ( λ λ ) 5a5 ( λ λ ). () λ Na Equação 8 pode-se observar que é necessário conhecer B, ou seja, a derivada do copriento do arco

6 Anais do Sipósio Brasileiro de Geoática, Presidente Prudente - SP, 9- de julho de. de eridiano B e relação a ϕ, chegando-se a seguinte expressão: B B = = A c A c(sen ϕ cosϕ) ϕ A A csen ϕ (sen ϕ cosϕ) A A csen ϕ (sen ϕ 5cosϕ), () A A csen ϕ (sen ϕ 7cosϕ) 8 A A csen ϕ (sen ϕ 9cosϕ) 8 A,...,A 8 : coeficientes calculados e função da segunda excentricidade (e) do elipsóide de revolução; c: raio polar de curvatura calculado e função dos seieixos a e b do elipsóide por c=a /b. Logo, considerando-se que a transforação de coordenadas M e geodésicas tenha sido realizada, torna-se possível o cálculo dos eleentos que copõe a atriz 7. Assi, a MVC das coordenadas geodésicas pode ser obtida por: ϕλ = D D, (7) onde D - é o inverso da atriz Jacobiana calculada a partir da Equação 7. A Equação 7 expressa portanto a propagação de covariâncias para a transforação de coordenadas do sistea M e geodésicas.. Propagação das covariâncias na transforação de coordenadas M e UM e vice-versa.5 Propagação das covariâncias na transforação de coordenadas M e geodésicas As equações utilizadas na transforação de coordenadas M e geodésicas, descritas e Blachut et al. (979), pode ser dadas por: ϕ = ϕ b y b y b y... () 5 λ = λ b y b y b y... () 5 onde λ é a longitude do eridiano central e ϕ é a latitude correspondente ao arco de eridiano de copriento x, abos dados e radianos; e b,..., b são os coeficientes calculados e função da latitude ϕ e da segunda excentricidade do elipsóide adotado coo referência. A propagação de covariâncias na transforação de coordenadas M e geodésicas, pode ser obtidas de duas aneiras diferentes. A prieira opção é aplicar a lei de propagação de covariâncias através da equação: onde b,..., b, representa as derivadas parciais dos coeficientes b,..., b, e relação a ϕ. No entanto, deve-se salientar que há ua dificuldade no cálculo da derivada de ϕ e relação a x, pois ϕ é obtido por u processo iterativo, o que dificulta o cálculo da atriz D pela Equação. Ua alternativa é realizar u procediento análogo ao ostrado na seção.. ϕλ = D D. (5) A atriz D na Equação 5 é obtida através das derivadas parciais das Equações e e relação a x e y, podendo ser escrita da seguinte fora: ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ = = x y D λ λ λ ϕ λ () ϕ ϕ 5 b y b y b y b y b y b y = x ϕ 5 b y b y b5 y b b y 5 b5 y Noralente as coordenadas referidas a u deterinado Sistea de Referência Geodésico são representas nua deterinada projeção, sendo a projeção UM ua das ais utilizadas e diversos paises. No Brasil a projeção UM é a ais utilizada pela counidade cartográfica. rata-se de ua projeção derivada do sistea M, cuja principal propriedade é a conforidade. Assi, as coordenadas (E,N) no sistea UM pode ser obtidas a partir das coordenadas (x,y) no sistea M, por: Heisfério Sul: Heisfério Norte: N = N x (8) E = E y (9) N = x () E = E y () onde o valor =,999 corresponde ao fator de redução de escala ao longo do eridiano central (λ ), N=.. e E=5.. Nas Equações 8 a os odelos são lineares, o que siplifica a propagação de covariâncias. Logo, a propagação de covariâncias para as coordenadas UM pode ser obtida por: NE = G G () G: é a atriz dos coeficientes; no sistea M; NE UM. Portanto, a atriz variância-covariância das coordenadas E e N, pode ser obtida por: NE = σ σ x σ σ y ()

7 Anais do Sipósio Brasileiro de Geoática, Presidente Prudente - SP, 9- de julho de. =,999; σ x e σ y : corresponde às variâncias das coordenadas x e y, respectivaente; σ : covariância entre x e y. Deve-se lebrar que se for de interesse a deterinação da MVC para as coordenadas nos sisteas RM, LM, Gauss ardi, etc, basta atribuir os valores do fator de redução de escala ( ) no eridiano central e as constantes E e N, para cada u dos sisteas odificados. A propagação no sentido inverso perite calcular a MVC das coordenadas M por: = G NEG, () onde G - é o inverso da atriz dos coeficientes. Logo, a partir da Expressão pode-se obter: σ σ = N NE. (5) σ σ NE E. Propagação das covariâncias na transforação de Datu De posse das coordenadas cartesianas, a transforação de data pode ser realizada aplicando os parâetros de translação, podendo-se escrever: X Z X x = y, () Z z onde os vetores [X Z ] e [X Z ] representa as coordenadas cartesianas nos data de entrada () e de saída (), respectivaente. Os valores de translação ( X Z) adotados no Brasil estão apresentados na abela. A atriz variância-covariância das coordenadas cartesianas no datu de saída () é dada por: X Z = GX Z X ZG, (7) onde G é a atriz dos coeficientes dada por, Na Equação 7 G =. (8) representa a atriz XZ X Z variância-covariância das coordenadas cartesianas, no datu, e dos parâetros de translação entre os data considerados, X Z X Z = X Z X Z CONSIDERAÇÕES E CONCLUSÕES. (9) Neste trabalho procurou-se apresentar os odelos ateáticos envolvidos nas operações de transforação de coordenadas e de datu, be coo as derivações necessárias para a realização da propagação de covariâncias. U aspecto relevante na derivação das equações envolvidas na propagação se refere à natureza iterativa de alguas transforações ostradas no fluxograa da Figura. Dentre elas te-se: a transforação de coordenadas M para Geodésicas e a transforação de coordenadas Cartesianas para Geodésicas. Coo a idéia é realizar a propagação de covariâncias aliada a transforação de coordenadas optou-se por usar a atriz Jacobiana obtida no processo inverso, e não iterativo, para a obter a propagação no qual são envolvidos odelos iterativos. Desta fora pode-se observar os seguintes aspectos da solução apresentada: - na derivação da propagação de covariâncias para os odelos iterativos evita-se o uso de odelos não rigorosos; - evita-se a deterinação da atriz Jacobiana para odelos de transforação que são iterativos. Finalizando, fora apresentadas as equações que perite a propagação de covariâncias resultantes da derivação dos odelos ateáticos utilizados na transforação de coordenadas e na udança de datu. Coo conseqüência deste desenvolviento estão sendo ipleentadas estas propagações no aplicativo CD, prevendo-se coo continuação a inclusão de ais sisteas de projeção. AGRADECIMENOS Os autores agradece ao CNPq/PIBIC pela concessão da bolsa de Iniciação Científica para o desenvolviento deste trabalho. REFERÊNCIAS BLACHU,. J.; CHRZANOWISKI, A.; SAASAMOINEN, J. H.. Urban Surveying and Mapping. Springer-Verlag, New ork, 979. p. 7. CAMARGO, P. O.. Ajustaento de Observações (versão preliinar). Presidente Prudente,. Notas de aulas do Curso de Graduação e Engenharia Cartográfica - FC/UNESP. COSA, S. M. A.. Solução na copatibilização de diferentes aterializações de Sisteas de Referência. o Seinário sobre Referencial Geocêntrico no Brasil, IBGE, Rio de Janeiro,. Disponível e < Acesso: 8 dezebro GALO, M. Sistea para processaento de dados e geodésia e cartografia. Presidente Prudente, 99. Relatório interno, Departaento de Cartografia, FC/UNESP.

8 Anais do Sipósio Brasileiro de Geoática, Presidente Prudente - SP, 9- de julho de. GALO, M. Sisteas de projeção derivados da projeção ransversa de Mercator: conceitos básicos e forulação (versão preliinar). Presidente Prudente,. Notas de aulas do Curso de Graduação e Engenharia Cartográfica - FC/UNESP. IBGE. Sisteas de Referência, Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística. Disponível e: Acessado e: 8 de dezebro de. IBGE. Resolução PR Nº, de Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística, Rio de Janeiro, 98. IBGE. Resolução e PR nº, de Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística, Rio de Janeiro, 989. GEMAEL, C.. Introdução ao Ajustaento de Observações: Aplicações Geodésicas. Curitiba: Ed. UFPR, 99. 9p. MONICO, J. F. G. M.. Posicionaento pelo NAVSAR-GPS: descrição, fundaentos e aplicações. São Paulo: Editora UNESP,. 87p. OLIVEIRA, J. C.; SILVA, A. S.. ranscor U software para lidar co o sistea UM. In: XIX Congresso Brasileiro de Cartografia (CDROM), Recife/PE, 999. SANOS, M. C.. Precisaos de ais u sistea de coordenadas no Brasil? infogeo Revista de Geoinforação, n., coluna GPS, p., nov/dez 999. SRANG, G.; BORRE, K.. Linear Algebra. Geodesy, and GPS. Wellesley MA: Wellesley-Cabridge Press, 997. p. VANÍCEK, P; KRAKIWSK, E. J.. GEODES: he Concepts. nd edition, Asterda, New ork, Oxford, okio: Elsevier Science Publishers B.V., 98. 7p.