PRÁTICAS DE CARTOGRAFIA

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1 PRÁTICAS DE DEGGE LICENCIATURA EM ENGENHARIA GEOESPACIAL 017/018

2 ALGUNS CONCEITOS SISTEMAS DE REFERÊNCIA ADOTADOS EM PORTUGAL Direção-Geral do Território (DGT Portugal Continental ED50 - European Datum 1950 (Obsoleto - Substituído pelo sistema PT-TM06-ETRS89 Bessel Datum Lisboa (Obsoleto - Substituído pelo sistema PT-TM06-ETRS89 Datum Lisboa (Obsoleto - Substituído pelo sistema PT- TM06-ETRS89 Datum 73 (Obsoleto - Substituído pelo sistema PT- TM06-ETRS89 PT-TM06/ETRS89 - European Terrestrial Reference System 1989 Arquipélago dos Açores Arquipélago da Madeira Regiões Autónomas Datum S. Braz - S. Miguel (Grupo Oriental do Arquipélago dos Açores Datum Base SW - Graciosa (Grupo Central do Arquipélago dos Açores Datum Base SE - Porto Santo (Arquipélago da Madeira PTRA08-UTM/ITRF93 - realização do International Terrestrial Reference Frame 1993 Datum Observatório - Flores (Grupo Ocidental do Arquipélago dos Açores 1

3 Centro de Informação Geoespacial do Exército (CIGeoE Portugal Continental Datum Lisboa militares (Obsoleto - Substituído pelo sistema TM/WGS84 WGS84 / TM (Gauss-Kruger Regiões Autónomas WGS 84 / UTM TIPOS DE COORDENADAS Coordenadas Cartesianas (X, Y, Z Geodésicas ou geográficas (φ, λ, h Retangulares (M, P V.G. Aboboreira (Beja PT-TM06-ETRS89 X= m Y= m Z= m φ= ,7635 N λ= ,999 W Gr h= 57,85 m M= 36448,61 m P= ,96 m

4 TRANSFORMAÇÃO ENTRE COORDENADAS TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS NUM MESMO DATUM COORDENADAS TRIDIMENSIONAIS CARTESIANAS (X, Y, Z COORDENADAS GEODÉSICAS (φ, λ, h COORDENADAS RETANGULARES (M, P, H TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS ENTRE DIFERENTES DATA COORDENADAS TRIDIMENSIONAIS CARTESIANAS (X i, Y i, Z i DATUM ORIGEM Transformação de Helmert Fórmulas de Bursa-Wolf COORDENADAS TRIDIMENSIONAIS CARTESIANAS (X f, Y f, Z f DATUM DESTINO COORDENADAS GEODÉSICAS (φi, λi, h i DATUM ORIGEM Fórmulas de Molodensky COORDENADAS GEODÉSICAS (φf, λf, h f DATUM DESTINO COORDENADAS RETANGULARES (M i, P i DATUM ORIGEM Transformação Polinomial COORDENADAS RETANGULARES (M f, P f DATUM DESTINO 3

5 EXERCÍCIO 1 Executar um programa, numa linguagem escolhida pelos alunos, que realize a transformação direta das coordenadas geodésicas (φ, λ dos seguintes vértices geodésicos nas correspondentes coordenadas retangulares (M, P. V.G. Aboboreira (Beja V. G. Cabeço da Ponta (Porto Santo - Madeira PT-TM06/ETRS89 Datum Lisboa Datum 73 PTRA08-UTM/ITRF93 φ= ,7635 N φ= ,17608 N φ= ,01135 N φ= ,697 N λ= ,999 WGr λ= ,09455 WGr λ= ,5907 WGr λ= ,8679 WGr h= 57,85 m h= 08,7901 m h= 04,8015 m h= 3,7 m M= ,61 m M= ,0117 m M= ,0373 m M= ,519 m P= ,96 m P= ,9317 m P= ,3140 m P= ,308 m A transformação direta das coordenadas geodésicas (φ, λ de um ponto nas correspondentes coordenadas planas (x, y através da projeção de Gauss (também conhecida por Transversa de Mercator é definida por via analítica através das fórmulas obtidas por desenvolvimento em série: y = k.( λ λ λ + N sin.cos + N sin.cos.k + N sin.cos 4 70.k 8 λ 7 + N sin φ.cos φ.k λ 3 λ 5 λ 7 x = k 0.( λ.n.cosφ + Ncos φ.k1 + Ncos φ.k3 + Ncos φ.k σ φ φ φ φ φ φ 4 sendo k0 o fator de escala, σ o comprimento do arco de meridiano desde o paralelo origem até ao paralelo do ponto, λ a diferença de longitude entre o ponto e o meridiano central da projecção (λ-λ 0, φ a latitude geográfica do ponto, N a grande normal à latitude φ: N = a ( 1 1 e.sin φ 4

6 (a, e os parâmetros característicos do elipsóide de referência e ρ o raio de curvatura do meridiano à latitude φ: ρ = a. ( 1 e ( 1 e.sin φ 3 e = f f ( onde e é a excentricidade do elipsóide e f é o achatamento do elipsóide; e ainda N k1 = tg φ ρ k N N = + 4 tg φ ρ ρ 3 N N N 4 k3 = 4 (1 6 tg φ + (1 + 8 tg φ tg φ + tg φ 3 ρ ρ ρ 4 3 N N N N 4 k4 = 8 (11 4 tg φ 8 (1 6 tg φ + (1 3 tg φ tg φ + tg φ 4 3 ρ ρ ρ ρ 4 6 k = tg φ tg φ tg φ 5 k 6 = tg φ tg φ + tg φ Na projeção de Gauss, aplicada à cartografia portuguesa, usa-se um factor de escala k 0= 1, dada a pequena largura da nossa faixa continental. A projecção UTM é a projeção de Gauss aplicada a cada um dos 60 fusos, de 6 cada, em que podemos dividir o globo terrestre, tomando-se k0= 0,9996 (valor escolhido de modo a tornar iguais as deformações da carta no meridiano médio e nos meridianos limítrofes do fuso. O comprimento aproximado do arco de meridiano σ entre quaisquer duas latitudes φ 0 e φ é determinado através de: com B C σ = a ( 1 e A ( φ φ0 ( sinφ sinφ0 + ( sin4φ sin4φ0 4 D E F ( sin6φ sin6φ ( sin8φ sin8φ ( sin10φ sin10φ

7 A 1 e e e e e = B e e e e e = C e e e e = D e e e = E = e + e F = e + Elipsoide de referência: PT-TM06/ETRS89 Datum Lisboa Datum 73 GRS80 a = m f = 1 / 98, Hayford (ou Internacional 194 a = m f = 1/97 Hayford (ou Internacional 194 a = m f = 1/97 PTRA08- UTM/ITRF93 GRS80 a = m f = 1 / 98, Projeção cartográfica: Transversa de Mercator Transversa de Mercator Transversa de Mercator Transversa de Mercator Latitude da origem das coordenadas retangulares: Longitude da origem das coordenadas retangulares: Falsa origem das coordenadas retangulares: Coeficiente de redução de escala no meridiano central: 39 40' 05'',73 N 39 40' 00'' N 39 40' 00'' N ' 59'',19 W 08 07' 54'',86 W 08 07' 54'',86 W Em M: 0 m Em P: 0 m Em M: 0 m Em P: 0 m Em M: +180,598 m Em P: -86,990 m 1,0 1,0 1,0 0, W (fuso 5 7 W (fuso 6 15 W (fuso 8 Em M: m Em P: 0 m 6

8 EXERCÍCIO Executar um programa, numa linguagem escolhida pelos alunos, que realize a transformação inversa das coordenadas retangulares (M, P dos vértices geodésicos utilizados no exercício 1 nas correspondentes coordenadas geodésicas (φ, λ. Para efectuar a transformação inversa das coordenadas planas Gauss (ou UTM nas correspondentes coordenadas geodésicas basta utilizar um processo iterativo: 1 Toma-se como ponto de partida um valor aproximado para φ (φ ap, saído de um cálculo anterior ou considerando um valor aproximado para o arco de meridiano σ: P σ ap = k 0 sendo P a distância à perpendicular; donde a primeira aproximação para φ é dada por: σ φ = φ + A a ap 0 ( 1 e Com base neste valor aproximado da latitude recalcula-se o comprimento de arco de meridiano σ usando a expressão: B C σ = a ( 1 e A ( φ φ0 ( sinφ sinφ0 + ( sin4φ sin4φ0 4 D E F ( sin6φ sin6φ ( sin8φ sin8φ ( sin10φ sin10φ Com este novo valor para σ podemos determinar a correcção a aplicar a φ através de: onde φ = ρ = ( σap σ ρ a. ( 1 e ( 1 e.sin φ 3 7

9 sendo o novo valor da latitude igual a: φ = φ + φ 4 Entra-se de seguida num processo iterativo, recalculando σ, ρ e φ e o novo valor da φ até que φ seja inferior à precisão desejada (10-10 ; 5 Com o valor da latitude φ resultante do processo iterativo, calcula-se a latitude e longitude do ponto, através das seguintes expressões: ( t t t ( ( 4 9 ( 1 t 1t t M t M φ = φ + ψ ψ k0 ρ k0 N k0 ρ 4 k0 N 6 t M ψ ( 11 4t 1ψ ( 1 71t + 15ψ ( 15 98t + 15t + k0 ρ 70 k0 N + 180ψ k k N 8 t M t t t 0 ρ ( M M = + + k N 6 k N 3 ( λ λ0 cosφ 3 3 ( ψ t ( 4ψ ( 1 6t ψ ( 9 68t 7ψ t 4t 5 M k0 N 7 M k0 N 4 6 ( 61 66t 130t 70t N sendo M a distância à meridiana, ψ =, calculado com o valor da latitude φ, e t = tgφ. ρ 8

10 EXERCÍCIO 3 Executar um programa, numa linguagem escolhida pelos alunos, que realize a transformação direta entre coordenadas geodésicas (φ, λ, h dos seguintes vértices geodésicos nas correspondentes coordenadas cartesianas tridimensionais (X, Y, Z. V.G. Aboboreira (Beja PT-TM06/ETRS89 φ= ,7635 N λ= ,999 WGr h= 57,85 m X= ,5571 m Y= ,4038 m Z= ,7516 m V. G. Cabeço da Ponta (Porto Santo - Madeira PTRA08-UTM/ITRF93 φ= ,697 N λ= ,8679 WGr h= 3,7 m X= ,8889 m Y= ,9053 m Z= ,4300 m Considerando um triedro cartesiano OXYZ centrado com o elipsóide de referência, com o eixo dos ZZ coincidente com o seu eixo de revolução, com o eixo dos XX assente no semi-plano origem das longitudes geodésicas e o eixo dos YY escolhido de modo a tornar o triedro directo, as coordenadas geodésicas (φ, λ, h de um ponto genérico relacionam-se com as suas coordenadas cartesianas tridimensionais (X, Y, Z por meio das seguintes expressões: X = ( N + h cosφ cosλ Y = ( N + h cosφ sinλ ( Z = e N h 1 + sinφ sendo N a grande normal ao elipsóide de referência à latitude φ, h a altitude elipsoidal do ponto e (a, e os seus parâmetros de forma. Estas expressões correspondem à transformação directa das coordenadas geodésicas (φ, λ, h de um ponto nas correspondentes coordenadas cartesianas tridimensionais (X, Y, Z. 9

11 EXERCÍCIO 4 Executar um programa, numa linguagem escolhida pelos alunos, que realize a transformação inversa entre coordenadas cartesianas tridimensionais (X, Y, Z dos vértices geodésicos utilizados no exercício 3 nas correspondentes coordenadas geodésicas (φ, λ, h. A transformação inversa das coordenadas cartesianas tridimensionais (X, Y, Z de um ponto nas correspondentes coordenadas geodésicas (φ, λ, h é executada recorrendo a um processo iterativo: 1 A longitude λ pode ser facilmente calculada a partir das coordenadas cartesianas tridimensionais utilizando a seguinte expressão: Y λ = arctg X A latitude é obtida por um processo iterativo dado que as quantidades φ e h são dependentes uma da outra, pelo que se utiliza um valor aproximado para a latitude o qual é calculado por: φap = arctg P Z ( 1 e com P igual a: ( 1/ P = X + Y 3 Com base neste valor aproximado da latitude calcula-se o valor de N, e em seguida o valor para a altitude elipsoidal h usando a expressão: P h = N cosφ 4 O processo iterativo continua recalculando o valor de φ, com N e h calculados no passo anterior, utilizando a expressão: Z + e N sinφ φ = arctg P 10

12 5 Com este novo valor da latitude φ, recalcula-se o valor de N, da altitude elipsoidal h e em seguida um novo valor para a latitude φ e assim sucessivamente até alcançar a precisão desejada para a transformação (φi-φ i-1 =

13 EXERCÍCIO 5 Executar um programa, numa linguagem escolhida pelos alunos, que realize a transformação entre as coordenadas cartesianas tridimensionais (X, Y, Z - Transformação de Helmert/Fórmulas de Bursa-Wolf - de dois data distintos. Ponto Datum 73 X= m Y= m Z= m PT-TM06/ETRS89 X= ,1368 m Y= ,009 m Z= 41978,0548 m A transformação de sete parâmetros de Helmert, expressa em formato matricial, é designada por fórmula de Bursa-Wolf e tem a seguinte forma: Xn X 1 RZ RY X Y n Y ( 1 α RZ 1 R X Y = + + Z n Z RY RX 1 Z onde (X, Y, Z são as coordenadas de um dado ponto no sistema de referência geocêntrico origem, (X n, Y n, Z n são as coordenadas desse mesmo ponto no sistema de referência geocêntrico destino, ( X, Y, Z são as componentes do vetor que une os centros dos dois elipsóides, (RX, RY, RZ são os ângulos de rotação em torno dos eixos de referencial de origem e α é o factor de escala (expresso em partes por milhão - ppm. Nota: A fórmula apresentada encontra-se em conformidade com a norma ISO 19111:007. No entanto, é de ter em conta outras versões utilizadas em alguns programas que se reflectem nos sinais e/ou no sentido das rotações. De seguida apresentam-se os parâmetros da transformação de Bursa-Wolf do datum Lisboa e datum 73 para PT-TM06-ETRS89 retirados do sítio da Direção-Geral do Território ( ros_de_transformacao_de_coordenadas/portugal_continental/bursa_wolf_do_datum_lisboa_e_datum_ 73_para_pt_tm06_etrs89/ em fevereiro de

14 Parâmetros de Transformação de Bursa-Wolf do Datum Lisboa e Datum 73 para PT-TM06-ETRS89 Datum Lisboa para PT-TM06/ETRS89 Datum 73 para PT-TM06/ETRS89 X (m -83,088-30,994 Y (m -70, ,591 Z (m +117,445 +5,199 R X (" -1,157 +0,633 R Y (" +0,059-0,39 R Z (" -0,65 +0,900 α (ppm -4,058 +1,950 13

15 EXERCÍCIO 6 Executar um programa, numa linguagem escolhida pelos alunos, que realize a transformação entre as coordenadas geodésicas (φ, λ, h - Fórmulas de Molodensky - de dois data distintos. Ponto Datum 73 φ= N λ= WGr h= 86 m PT-TM06/ETRS89 φ= ,9913 N λ= ,4858 WGr h= 884,078 m A transformação de Molodensky tem cinco parâmetros tendo a seguinte forma: e Nsinφcosφ a b Xsinφcos λ Ysinφsinλ + Zcosφ + a + fsinφcosφ ρ + N a b a φn = φ + ρ + h Xsinλ + Ycos λ λn = λ + cosφ ( N + h a b hn = h + Xcosφcos λ + Ycosφsinλ + Zsinφ a + f Nsin φ N a onde φ n, λ n, h n são a latitude, longitude (em radianos e a altitude elipsoidal (em metros a obter, φ, λ, h são a latitude, longitude (em radianos e a altitude elipsoidal (em metros originais, X, Y, Z as componentes do vetor que une os centros dos dois elipsóides, a, b os semi-eixos maior e menor do elipsóide origem, e, f a primeira excentricidade e o achatamento do elipsóide origem, a, f a diferença entre os semi-eixos maiores e os achatamentos dos dois elipsóides, N o raio de curvatura do primeiro vertical (Grande Normal e ρ o raio de curvatura do meridiano. 14

16 b = a (1 f De seguida apresentam-se os parâmetros da transformação de Molodensky do datum Lisboa e datum 73 para PT-TM06-ETRS89 retirados do sítio da Direção-Geral do Território ( ros_de_transformacao_de_coordenadas/portugal_continental/molodensky_do_datum_lisboa_e_datum _73_para_pt_tm06_etrs89/ em fevereiro de 017. Parâmetros de Transformação de Molodensky do Datum Lisboa e Datum 73 para PT-TM06-ETRS89 Datum Lisboa para PT-TM06/ETRS89 Datum 73 para PT-TM06/ETRS89 X (m Y (m Z (m a (m f (m x x

17 EXERCÍCIO 7 Executar um programa, numa linguagem escolhida pelos alunos, que realize a transformação entre as coordenadas retangulares (M, P - Transformação Polinomial - de dois data distintos. Ponto Datum 73 M= 0000 m P= 0000 m h= 100 m PT-TM06/ETRS89 M= 19999,7773 m P= 0000,1413 m h= 155,6977 m A transformação polinomial de grau permite transformar coordenadas retangulares num determinado datum nas coordenadas retangulares num outro datum: M = a + a u + a v + a u + a uv + a v n n P = b + b u + b v + b u + b uv + b v onde M n, P n são as coordenadas rectangulares a obter, X, Y as coordenadas rectangulares originais, a i, b i os coeficientes de transformação, X 0, Y 0, h, k os parâmetros de normalização e u e v têm a seguinte forma: X X Y Y u = v = h k 0 0 De seguida apresentam-se os parâmetros da transformação polinomial do datum Lisboa e datum 73 para PT-TM06-ETRS89 retirados do sítio da Direção-Geral do Território ( ros_de_transformacao_de_coordenadas/portugal_continental/polinomios_de_grau do_datum_lisbo a_e_datum_73_para_pt_tm06_etrs89/ em fevereiro de

18 Coeficientes de Transformação Polinomial de Grau do Datum Lisboa e Datum 73 para PT-TM06-ETRS89 Datum Lisboa para PT-TM06/ETRS89 Datum 73 para PT-TM06/ETRS89 a 0 +1, ,8961 a , ,16977 a -1, ,6888 a3-0,576 +0,357 a4 -,9606-0,87853 a5 -, ,37 b0 +0, ,08867 b1 +1, ,39595 b , ,91435 b3 +0, ,15146 b4 +, ,11109 b5-3, ,06143 X Y h k

19 EXERCÍCIO 8 Considerando as coordenadas geodésicas e as correspondentes coordenadas retangulares dos vértices geodésicos ABOBOREIRA (Beja, Baixo Alentejo e CABEÇUDO (Mogadouro, Trás-os-Montes, calcule a: Coordenadas PT-TM06-ETRS89 Geodésicas ou geográficas (φ, λ Retangulares (M, P V.G. Aboboreira φ= ,7635 N λ= ,999 W Gr M= 36448,61 m P= ,96 m V.G. Cabeçudo φ= ,6809 N λ= ,698 W Gr M= 1443,53 m P= 18600,69 m a deformação linear k em cada um dos vértices; b convergência de meridianos γ em cada um dos vértices; c correção tangente à corda β para a distância entre os vértices; d correção de redução dos comprimentos finitos s1 s para a distância entre os vértices (1. k x 1 ρ N = + ( 0 0 γ = λ λ0 sinφ 1 β = + 6 ρ N sin1 0 0 ( x x ( y y A B B A = s + + ( B B A A 1 s1 s x x x x 6 ρ0 N0 (1 Para calcular o valor de s 1, ou seja a geodésica entre os vértices geodésicos, aceda ao seguinte link: 18

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21 EXERCÍCIO 9 Sabendo que os coeficientes da expressão do módulo da deformação linear na projeção de Bonne são respetivamente e = 1 + λ (sin φ r/ R, f = λ(sin φ r / R, g = 1, calcule os: a elementos da elipse de Tissot (semieixo maior e menor e respetivas direções; b módulos da deformação angular máxima e os respetivos azimutes dessas deformações; para um ponto com as seguintes coordenadas φ= 50 N, λ= 10 EGr, sobre o elipsóide de Hayford (a= m; f = 1/97. Considere o seguinte valor para a latitude da origem da projeção φ 0= 45 N. R = R σ 0 R = N cotφ r = N cosφ 1 k1 = ( e + g + ( e g + 4 f 1 k = ( e + g ( e g + 4 f f tgα = ( e g tgδ m 1 k = ± k k k 1 1 tgα = ± m k k 1 nestas equações e, f e g são os valores das equações que se encontram em cima no enunciado do exercício, enquanto que nas expressões seguintes a, e e f, referem-se, respetivamente, ao semieixo maior, à excentricidade e achatamento do elipsóide. e = f f ( N = a ( 1 1 e.sin φ 0

22 B C σ = a ( 1 e A ( φ φ0 ( sinφ sinφ0 + ( sin4φ sin4φ0 4 D E F ( sin6φ sin6φ ( sin8φ sin8φ ( sin10φ sin10φ