Sistemas de projeção derivados da Projeção Transversa de Mercator: conceitos básicos e formulação

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1 UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA Júlio de Mesquita Filho Departamento de Cartografia Sumário Sistemas de projeção derivados da Projeção Transversa de Mercator: conceitos básicos e formulação. Introdução.. Aspectos históricos.. Histórico do uso dos Sistemas de Projeção no Brasil 3.3. Projeções Conformes - características básicas 4.4. A Carta Internacional do Mundo ao Milionésimo e os sistemas 4 parciais.5. Relação entre a longitude, meridiano central e número do fuso 6. O sistema de projeção UTM 9.. Características e propriedades do sistema de projeção UTM.. Comportamento do fator de escala 3. Comprimento de arco de meridiano Cálculo da latitude correspondente a um dado arco de meridiano 8 4. Transformação de Coordenadas Geodésicas em TM 3 5. Transformação de Coordenadas do Sistema TM para Geodésicas 3 6. Transformação de Coordenadas TM em UTM e vice-versa Convergência meridiana Fator de escala para a Projeção Transversa de Mercator Fator de escala para sistemas modificados Fator de escala e erro relativo 4 Notas de aulas do Curso de Graduação em Engenharia Cartográfica, UNESP, Faculdade de Ciências e Tecnologia. Mauricio Galo Departamento de Cartografia 9. Ângulo arco-corda (redução ângular) Influência da altitude e o fator de escala combinado 47. Sistemas modificados: SPC, LTM, RTM e SOM 53.. Sistemas de Coordenadas Planos Estaduais - SPC 53.. Os sistemas LTM e RTM Sistema de projeção SOM 57.4.Resumo das característica básicas de algumas projeções 58 Referências bibliográficas 6 Anexo I - Sistemas de Referência Geodésicos e respectivos elipsoides 6 Anexo II - Resumo de algumas equações relacionadas com a geometria 63 do elipsóide Anexo III Relação entre as latitudes isométrica e geodésica 64 Presidente Prudente 7

2 . Introdução Dentre as diversas projeções cartográficas disponíveis, as projeções que preservam a forma das regiões mapeadas projeções conformes são as mais utilizadas em aplicações cartográficas e geodésicas. Considerando as projeções com esta propriedade, umas das mais empregadas são aquelas obtidas pela projeção dos pontos do modelo geométrico representativo da superfície terrestre (esfera, elipsóide de revolução, etc,) sobre um cilindro, que posteriormente é desenvolvido num plano. Uma das projeções com esta característica é a Transversa de Mercator. A afirmação colocada anteriormente pode ser confirmada pelos resultados da investigação realizada por Brandenberger & Ghosh (985) apud Maling (99), no qual foi feito um levantamento das áreas mapeadas e das projeções utilizadas em todos os continentes. Nesse trabalho constatou-se que, por volta de 98, a projeção Transversa de Mercator e suas derivações eram utilizadas em mais de 8% da área mapeada (MALING, 99, p. 3). Snyder (997) também realça este fato e afirma que mais de 8% da área mapeada do planeta, em escalas topográficas grandes, utilizam a Projeção Transversa de Mercator, o que mostra a importância do estudo e o domínio deste sistema de projeção por parte dos profissionais que produzem e trabalham com cartografia... Aspectos Históricos No século XVIII, em 77, Lambert (Johann Heinrich Lambert, ) apresentou em um único trabalho sete projeções inéditas, sendo algumas delas extensamente utilizadas atualmente (SNYDER, 997, p. 76). Dentre estas projeções tem-se: a Projeção Cônica Conforme de Lambert; a Projeção de Lagrange; a Projeção Transversa de Mercator; a Projeção Cilíndrica Equivalente de Lambert; a Projeção Cilíndrica Equivalente Transversa; a Projeção Equivalente de Lambert; e a Projeção Cônica Equivalente de Lambert. As expressões desenvolvidas por Lambert, para estas projeções, consideravam como modelo para a superfície terrestre a esfera e os nomes apresentados na relação acima não foram sugeridos por Lambert, ou seja, apenas posteriormente foram atribuídos estes nomes. Como pode ser observado nas projeções propostas por Lambert, a terceira foi denominada Projeção Transversa de Mercator. No século XIX, por volta de 85, e no início do século XX, por volta de 9, Gauss (Carl Friedrich Gauss, ) e Krüger (Louis Krüger), respectivamente, desenvolveram expressões para o cálculo da projeção Transversa de Mercator considerando o modelo elipsóidal 3 e não mais esférico. Na primeira metade do século XX a projeção Transversa de Mercator foi adotada por alguns países, predominantemente os de língua Inglesa, como relatado por Snyder (997, p. 59). Com as Guerras Mundiais a demanda por sistemas de projeções, de uso mundial, se fez necessário. Deste modo as necessidades militares fizeram com que alguns critérios fossem especificados, como apresentado por Richard & Adler (97). Os critérios especificados foram os seguintes: O início do desenvolvimento deste sistema tem origem no século XVI com Mercator (Gerardus Mercator, 5-594). Um dos desafios da Cartografia, naquele período, era o desenvolvimento de projeções apropriadas para a navegação, no qual as linhas de rumo (ou loxodrômicas) fossem representadas por linhas retas. Esta característica é extremamente importante em navegação uma vez que facilita a determinação do azimute da trajetória entre a origem e o destino. A partir desta motivação Mercator propôs em 569 uma projeção com esta finalidade. () Conformidade, a fim de minimizar os erros direcionais; () Continuidade sobre grandes áreas com um número mínimo de zonas (fusos); (3) Erros de escala, provocados pela projeção, dentro de certas tolerâncias; (4) Um referenciamento único para os sistemas planos retangulares em todas as zonas (fusos); (5) Fórmulas únicas para a transformação entre zonas, por todo o sistema (assumindo um único elipsóide de referência); e (6) Convergência meridiana menor que 5º. Nas projeções conformes, ou ortomorfas, as formas, e portanto os ângulos na superfície de projeção, são mantidos. Nessas projeções o fator de escala linear em um dado ponto independe da direção considerada. BRANDENBERGER, A. J.; GOSH, S. K.; The world s topographic and cadastral mapping operation. Photogrammetric Eng. and Remote Sensing, 5, , No Anexo I encontram-se os parâmetros semi-eixo maior e achatamento para alguns elipsóides de revolução e no Anexo II são apresentadas algumas expressões de uso freqüente, relacionadas com a geometria do elipsóide. Sistemas de projeção derivados da Projeção TM: conceitos básicos e formulação Sistemas de projeção derivados da Projeção TM: conceitos básicos e formulação

3 A partir destas especificações foi desenvolvido, por volta de 94, ou seja, durante a Segunda Ano Guerra Mundial, o sistema Universal Transverso de Mercator (UTM) pelo U.S. Army Map Service. Este sistema foi definido a partir de modificações aplicadas à projeção Transversa de Mercator, também designada por Projeção de Gauss-Krüger, ou Projeção Conforme de Gauss (BAKKER, 965; CHAGAS, 959)... Histórico do uso dos Sistemas de Projeção no Brasil No início do Século XX os trabalhos cartográficos no Brasil, realizados pela Comissão da Carta Geral do Brasil, utilizavam a Projeção Poliédrica. A idéia deste tipo de projeção é considerar uma série de planos tangentes à superfície terrestre, de modo que os quadriláteros esféricos sejam projetados nestes planos por uma projeção azimutal. O inconveniente deste tipo de representação está na justaposição, numa superfície plana, das cartas contíguas. Como cada uma das faces do poliedro é tangente a um ponto da superfície e cada um dos planos possui uma origem, ao se dispor algumas faces do poliedro, num único plano, não se tem uma continuidade na representação. A partir da primeira guerra mundial o uso de projeções conformes para as atividades de mapeamento se generaliza e em 93, o então Serviço Geográfico do Exército (SGE), adota a Projeção Conforme de Gauss, com fusos de 3 º de amplitude, sendo esta projeção utilizada oficialmente por um período aproximado de anos. A Figura. mostra, em ordem cronológica, e a partir de 9, os sistemas de projeção utilizados oficialmente no Brasil, para a realização do mapeamento sistemático. Os dados usados na geração desta figura são baseados em Bartolamei (98) Sistema de Projeção Poliédrica Utilizado na produção de cartas topográficas na escala :., no formato 3' x 3'. Nesta projeção a superfície terrestre é aproximada por uma série de planos tangentes, que em conjunto formam uma superfície poliédrica. Este sistema foi utilizado nos trabalhos elaborados pela Comissão da Carta Geral do Brasil. Projeção Gauss-3 ou Projeção Conforme de Gauss com fuso de 3 o de amplitude, na qual foram produzidas cartas topográficas na escala :5., no formato 'x'. Nesta projeção o cilindro é tangente ao meridiano central do fuso (m = ) Projeção Gauss-6 ou Projeção Conforme de Gauss com fuso de 6 o de amplitude, na qual foram produzidas cartas topográficas na escala :5., no formato 5'x5'. Esta projeção também é conhecida como Gauss-Tardi. Nesta projeção o cilindro é secante ao meridiano central, sendo o fator de escala no meridiano central igual a m = - /5, Projeção UTM ou Projeção Universal Transversa de Mercator com fuso de 6 o de amplitude. A partir desta data as cartas topográficas do mapeamento sistemático passaram a ser feitas nesta projeção. Nesta projeção o cilindro é secante ao elipsóide e o fator de escala no meridiano central é igual a m = - /5 =,9996. Figura. - O uso dos Sistemas de Projeção no mapeamento sistemático do Brasil, a partir do inicio do século XX (Fonte: BARTOLAMEI (98)). (98). Para mais detalhes sobre os aspectos históricos da cartografia no Brasil sugere-se Bartolamei.3. Projeções Conformes - características básicas Na seqüência são apresentadas, de maneira sucinta, algumas projeções conformes. Sistemas de projeção derivados da Projeção TM: conceitos básicos e formulação 3 Sistemas de projeção derivados da Projeção TM: conceitos básicos e formulação 4

4 Projeção Cilíndrica Equatorial Conforme (Projeção de Mercator) As coordenadas (x,y) na projeção de Mercator, calculadas em função das coordenadas geodésicas (ϕ,λ), podem ser obtidas por: Projeção Cilíndrica no qual o cilindro é tangente à esfera modelo sobre o equador (Figura.), sendo o equador representado em verdadeira grandeza. Eixo de rotação da esfera, coincidente com o eixo do cilindro tangente. x= a.ln tg(45 y= a( λ λ ) o esenϕ +ϕ/ ) + esenϕ e/, (.) P N sendo o fator de escala calculado a partir de a m =. (.) Ncosϕ P S Figura. - Cilindro tangente à esfera modelo, na posição normal. Esta projeção possui a propriedade de que as linhas de rumo, ou loxodrômicas, são representadas por linhas retas. A Figura.3 mostra o reticulado para esta projeção, uma vez que o cilindro é desenvolvido no plano. Nas Equações. e. os parâmetros (a,e) correspondem ao semi-eixo maior e a primeira excentricidade do elipsóide de revolução e N à grande normal (ANEXO II). É relevante destacar que nas Equações., e nas demais equações deste texto, as coordenadas x e y representam respectivamente a ordenada e abscissa, de acordo com as convenções adotadas na referência Richards & Adler (97). Uma análise mais cuidadosa das equações que possibilitam o mapeamento das coordenadas (ϕ,λ) para as coordenadas (x,y) (Equações.), permite notar que para ϕ=9º o termo entre colchetes tende para o infinito, que faz com que a componente x assuma o valor + para o pólo norte. Para o pólo sul a situação é análoga e x assume o valor -. Deste modo, nesta projeção os pólos não podem ser representados, como pode ser notado na Figura.3, onde os limites ao norte e ao sul são, em valor absoluto, menores que 9º. Figura.3 - Aparência do reticulado (de o em o ) para a Projeção de Mercator. Sistemas de projeção derivados da Projeção TM: conceitos básicos e formulação 5 Sistemas de projeção derivados da Projeção TM: conceitos básicos e formulação 6

5 Projeção Cilíndrica Conforme com um Paralelo Padrão PN Nesta projeção o cilindro não é tangente ao equador, mas sim secante à esfera modelo sobre um paralelo de latitude ϕ (Latitude do Paralelo Padrão). A secância, ao invés da tangência, provoca a redução da escala por um fator cos(ϕ ) (Figura.4). PS Eixo de rotação da esfera coincidente com o eixo do cilindro secânte. Figura.5 - Cilindro tangente e transverso à esfera modelo. P N +ϕ Projeção Plana Estereográfica É uma projeção plana conforme no qual o plano de projeção é tangente à esfera modelo ou ao -ϕ elipsóide de revolução, sendo o ponto de vista situado no ponto antípoda ao ponto de tangência. Na PS Figura.6 é mostrado o reticulado para o caso do ponto de tangência no PN (polo norte). Figura.4 - Cilindro secante à esfera modelo nos paralelos de latitude ±ϕ. Projeção Cilíndrica Transversa Conforme (Transversa de Mercator) É uma modalidade da Projeção Cilíndrica Conforme onde a superfície de projeção é tangente à esfera modelo em um meridiano qualquer (Figura.5). Esta projeção recebe também o nome de Projeção Conforme de Lambert, sendo o meridiano central representado em verdadeira grandeza. Figura.6 - Aparência do reticulado para a Projeção Plana Estereográfica, com o ponto de tangência em ϕ=9º N. Admitindo como modelo para a superfície Terrestre uma esfera de raio R e que o ponto de tangência tenha coordenadas (ϕ,λ ), as coordenadas cartesianas (x,y) na projeção plana estereográfica, caso oblíquo, podem ser obtidas por: Sistemas de projeção derivados da Projeção TM: conceitos básicos e formulação 7 Sistemas de projeção derivados da Projeção TM: conceitos básicos e formulação 8

6 cosϕ.senϕ senϕ.cosϕ.cos( λ λ) x= R + senϕ.senϕ+ cosϕ cosϕ.cos( λ λ). (.3) cosϕ.sen( λ λ) y= R + senϕ.senϕ+ cosϕ cosϕ.cos( λ λ ) =ρ ρcosν= N x y=ρsenν cotϕ ρcosν. (.5) Para a obtenção das equações para o caso polar e equatorial (ou transverso) basta fazer ϕ =±9 o e ϕ = o, respectivamente, nas Equações.3. x V ν ρ Projeção Cônica Conforme de Lambert (com ou paralelos padrão) ρ (x,y) Nesta projeção a superfície intermediária de projeção é um cone que pode ser tangente (com paralelo padrão) ou secante (com dois paralelos padrão) ao elipsóide de revolução. Para o caso em o cone seja tangente ao paralelo de latitude igual a ϕ, as coordenadas polares (ρ,ν) e o fator de escala podem ser obtidos por: Paralelo padrão y O(ϕ,λ ) Figura.7 - Relação entre as coordenadas polares e cartesianas para o caso de projeções cônicas. Para o caso em que o cone seja secante ao modelo geométrico nos paralelos de latitudes ϕ e e/ o + esenϕ tan(45 ϕ/ ) esenϕ ρ= N cotϕ o + esenϕ tan(45 ϕ / ) esenϕ ν= senϕ.( λ λ ) senϕ m=ρ Ncosϕ e/ senϕ, (.4) ϕ, e não mais tangente a um único paralelo, as Equações.5 também podem ser utilizadas. Neste caso o valor de ϕ deve ser calculado em função das latitudes ϕ e ϕ, da seguinte maneira: lnn cosϕ lnn cosϕ ϕ = arcsen. (.6) e/ e/ o + esenϕ o + esenϕ ln tan(45 ϕ) ln tan(45 ) ϕ esen esen ϕ ϕ sendo N a grande normal. As coordenadas polares (ρ,ν) obtidas em.4 podem ser relacionadas com as coordenadas cartesianas a partir de expressões obtidas pela análise da Figura.7. O valor de ρ deverá ser obtido por Na Figura.7 o ponto O representa a origem do Sistema Cartesiano Oxy, tendo este ponto as coordenadas geodésicas (ϕ,λ ), onde ϕ é a latitude do paralelo padrão e λ é a longitude do meridiano central. O ponto V é a posição do vértice do cone na projeção. A relação entre as e/ senϕ o + esenϕ ρ = C{,} tan(45 ϕ), (.7) esen ϕ coordenadas polares (ρ,ν) com as cartesianas (x,y) podem ser obtidas diretamente da figura, podendo ser escrita por: com Sistemas de projeção derivados da Projeção TM: conceitos básicos e formulação 9 Sistemas de projeção derivados da Projeção TM: conceitos básicos e formulação

7 C {,} N{,} cosϕ{,} =. (.8) senϕ e/ o esen + ϕ{,} senϕ tan(45 ϕ{,} ) esen {,} ϕ As coordenadas mostradas na Figura.8 são as coordenadas cartesianas (x,y). Com uma certa atenção pode-se notar que na Figura.8a o ponto origem, com coordenadas cartesianas (,), é um ponto localizado sobre o paralelo padrão (ϕ = - º) e de longitude igual a λ =º. Em.8b o ponto origem está localizado na posição (ϕ, λ )= (-5º, -5º). Pode-se notar pela Equação.8 que o valor de C pode ser calculado tanto como função de ϕ quanto de ϕ, por isto o uso do subscrito {,} nas Equações.7 e.8. Para detalhes sobre estas equações sugere-se (RICHARDS & ADLER, 97). Na Figura.8 são mostrados dois exemplos da Projeção Cônica Conforme de Lambert com um paralelo padrão. Um aspecto prático importante no caso do uso da Projeção Cônica Conforme de Lambert com dois paralelos-padrão se refere justamente na escolha dos paralelos de secância. Caso estes paralelos sejam próximos entre si o resultado final pode ser aproximar de uma situação em que se tem apenas um paralelo-padrão. Um das possibilidade de escolha dos paralelos-padrão consiste na seleção da constante de Kavraisky, que se baseia na forma do contorno da região de interesse, como pode-se ver em Maling (99). Considerando que ϕ N e ϕ S sejam as latitudes limites ao norte e sul, respectivamente, da área a ser mapeada, como pode-se ver na Figura.9, as latitudes dos paralelos-padrão (ϕ e ϕ ), respectivamente ao norte e sul, podem ser obtidas por: a) ϕ = ϕ N -, (.9a) ϕ = ϕ S +, (.9b) onde = (ϕ N - ϕ S )/K, (.) e K corresponde à constante de Kavraisk, que depende da forma da região, como pode-se ver na b) Figura.8 - Projeção Cônica Conforme de Lambert com um paralelo padrão. Para a construção destas projeções considerou-se o modelo esférico, com R=5 e os seguintes parâmetros: em (a) ϕ = - º, λ =º, e em (b) ϕ = - 5º, λ = - 5º. Figura.. Sistemas de projeção derivados da Projeção TM: conceitos básicos e formulação Sistemas de projeção derivados da Projeção TM: conceitos básicos e formulação

8 ϕ ϕ ϕ N ϕ ϕ S em fusos de amplitude constante, sendo estabelecido para cada um desses fusos um sistema de coordenadas plano retangular, sendo os eixos coincidentes com o Meridiano central e Equador. As denominações, Projeção Gauss-Krüger, Conforme de Gauss e Transversa de Mercator, também são utilizadas para se referir a esta projeção. Figura.9 Paralelos limites ao norte e sul (ϕ N e ϕ S ), paralelos-padrão (ϕ e ϕ ) e latitude ϕ. O desenvolvimento dessa projeção se deu no período de 8-3 por Gauss e, além de conservar a forma (propriedade de conformidade), ela preserva a escala ao longo do meridiano central, ϕ ϕ N K=7 K=5 ϕ N ϕ sendo utilizada na Triangulação de Hannover (na Alemanha). Esta projeção foi estudada também por outros autores, como Schreiber, em 866; e posteriormente por L. Krüger. Devido ao trabalho de ϕ ϕ ϕ ϕ S ϕ ϕ S Krüger esta projeção passou a ser denominada também por Projeção de Gauss-Krüger. Um ponto relevante na aplicação desta projeção é a amplitude dos fusos utilizados. Por exemplo, na União Soviética e Rússia esta projeção é utilizada tanto considerando fusos de 6º quanto 3º, dependo da ϕ ϕ N K=4 K=3 ϕ N ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ S ϕ S escala do produto. Para mais detalhes sobre o desenvolvimento matemático desta projeção, e também sobre sua utilização sugere-se Bugayevskiy & Snyder (995)..4. A Carta Internacional do Mundo ao Milionésimo e os sistemas parciais Figura. Constante de Kavraisk para diferentes formas. Fonte: Maling (99). A divisão dos fusos normalmente utilizada nas projeções conformes é baseada nas subdivisões da Carta Internacional do Mundo ao Milionésimo (CIM), sendo os fusos de 6º de amplitude Deste modo, a partir da forma da região pode-se escolher a constante de Kavraisky que mais se aproxima dos padrões apresentados na Figura.. A partir desta escolha e das latitudes limites, os paralelos-padrão (ϕ e ϕ ) podem ser estimados e a latitude ϕ, utilizada nas Equações.7 e.8, poderá ser obtida por meio da Equação.6. numerados de a 6. O fuso de número corresponde ao intervalo que vai da longitude 8 o e 74 o W, o fuso ao intervalo 74 o W e 68 o W e assim sucessivamente, até o fuso 6, que corresponde ao intervalo 74 o E e 8 o. A Figura. ilustra o sistema de numeração dos fusos a partir do antimeridiano de Greenwich. Projeção Conforme de Gauss ( Projeção Gauss-Krüger) Nesta projeção o cilindro é também tangente a um meridiano, como na Projeção Transversa de Mercator. Como o modelo utilizado é o de um elipsóide de revolução, o cilindro possui seção elíptica. Em termos práticos, para a aplicação da Projeção Conforme de Gauss a superfície da Terra é dividida Sistemas de projeção derivados da Projeção TM: conceitos básicos e formulação 3 Sistemas de projeção derivados da Projeção TM: conceitos básicos e formulação 4

9 74 o W 68 o W... λ=6 o 8 o 74 o E 68 o E Número dos fusos Considerando a convenção utilizada na numeração dos fusos da CIM, são mostrados na Figura.3 os limites bem como o meridiano central para cada um dos fusos para o Brasil. Como pode ser observado, o Brasil é recoberto por oito (8) fusos: 8, 9,,..., e 5. Polo Norte Longitudes dos -78 o -7 o -66 o -6 o -54 o -48 o -4 o -36 o Limites de fuso o 3 3 W 6 o W λ= o 6 o o E E Figura. - Numeração dos fusos a partir do anti-meridiano de Greenwich. A Figura. mostra o número dos fusos da Carta Internacional do Mundo ao Milionésimo (CIM) para a América do Sul. -4 o -8 o - o -6 o - o -4 o -8 o -3 o Longitudes dos -75 o -69 o -63 o -57 o -5 o -45 o -39 o Meridianos Centrais Figura.3 - Numeração dos fusos para o Brasil. Na parte superior são mostradas as longitudes dos bordos dos fusos, na parte inferior as longitudes dos meridianos centrais e a direita as latitudes dos paralelos limites. o.5. Relação entre a longitude, meridiano central e número do fuso Como a numeração dos fusos da CIM é utilizada nas projeções conformes que consideram o fuso de 6 o de amplitude, é importante expressar a longitude do meridiano central como uma função do número do fuso e vice-versa. O conhecimento destas relações é particularmente necessário na implementação de programas computacionais que envolvem a transformação de coordenadas e mudanças de referenciais, dentre outras aplicações. Neste contexto, as expressões. a.4 são apresentadas. Uma vez conhecido o número do fuso (f), a longitude do meridiano central (λ MC ) correspondente a este fuso pode ser calculada por: Figura. - Numeração dos fusos da Carta Internacional do Mundo ao Milionésimo para a América do Sul (adaptado de λ = 6f 83, (.) MC Sistemas de projeção derivados da Projeção TM: conceitos básicos e formulação 5 Sistemas de projeção derivados da Projeção TM: conceitos básicos e formulação 6

10 sendo f {,, 3,..., 59, 6}. A longitude do meridiano central (λ MC ) resultante é dada em graus decimais e segue a seguinte convenção: longitude positiva para pontos situados a leste de Greenwich e negativa a oeste. No caso inverso, na qual se dispõe da longitude do meridiano central (λ MC ), o número do fuso pode ser calculado pela função inversa à., ou seja: Um cuidado especial ao usar e Equação.4 deve ser tomado quando o ponto fornecido pertencer ao fuso, ou seja, quando a longitude estiver no intervalo [-74 o a -8 o ]. Nesta situação deve-se lembrar que f, além de ser inteiro, deve estar no intervalo dado por f {,, 3,..., 59, 6}. Assim, se o valor de f estiver fora deste intervalo [, 6] deve-se somar ou subtrair 6. As expressões. a.4 podem ser deduzidas a partir da análise da variação do número do fuso (f) com as longitudes dos bordos do fuso, como mostrados nas Figura. ou f λ MC = +. (.) 6 Numa situação mais geral, ou seja, na qual não se conhece a longitude do meridiano central, mas se deseja calcular qual o fuso na qual um dado ponto de longitude conhecida (λ) está localizado, pode-se utilizar a seguinte expressão: λ+ 86 F=. (.3) 6 Dependendo do valor da longitude λ do ponto, a expressão.3 fornecerá (ou não) um valor real. No entanto, o número do fuso deverá ser necessariamente um valor inteiro. Assim, a análise do resto da razão calculada pela Equação.3, representado por r(f), permite detectar se um ponto pertencente ou não ao limite de um fuso. Considerando esta situação mais geral e a Equação anterior, a seguinte análise para a obtenção do fuso (f) pode ser utilizada: se r(f), f = int(f) r (F) = F int(f). (.4) f = int(f) se r(f) =, f = int(f) Pela equação acima pode-se observar que se o resto r(f) for diferente de zero o número do fuso será o valor inteiro de F, ou seja, int(f). Caso contrário o ponto de longitude λ estará exatamente no limite entre os fusos int(f) e int(f)-, podendo ser calculado nos dois fusos. Sistemas de projeção derivados da Projeção TM: conceitos básicos e formulação 7 Sistemas de projeção derivados da Projeção TM: conceitos básicos e formulação 8

11 . O sistema de projeção UTM O Sistema UTM (Universal Transverse Mercator) é um dos sistemas derivados da projeção P N conforme de Gauss, desenvolvido com a finalidade de reduzir as deformações nos extremos do fuso. Deste modo, o cilindro que originalmente é tangente ao meridiano central na projeção conforme de Gauss, passa a ser secante ao elipsóide de revolução. Nesta situação passa-se a ter duas linhas de distorção nula (linhas de distorção zero - ldz), paralelas e eqüidistantes ao meridiano central do fuso. A obtenção da secância se dá pela multiplicação das equações do Sistema TM por um coeficiente de redução de escala, como será visto na seqüência. São vários os sistemas derivados da projeção TM, designados genericamente por "sistemas modificados" (BLACHUT et al, 979). A diferença básica entre estes sistemas de projeção está no coeficiente de redução de escala adotado e na dimensão ( λ) do fuso. Como exemplo tem-se os coeficientes para a projeção UTM e para o Sistema Gauss-Tardi, ou Tardi. Para mais detalhes sobre a) P S PN este sistema, já utilizado no Brasil durante partes das décadas de 4 e 5, sugere-se Carvalho(984) e Chagas(959). Os coeficientes de redução de escala, ou fator de escala, para estes dois sistemas são: PS b) Figura. - Cilindro tangente (a) e secante (b) à superfície do modelo geométrico adotado para a superfície terrestre. Sistema Gauss-Tardi: Sistema UTM: m m =, = =,9996= 5 5 Em (a) o cilindro é tangente ao elipsóide de revolução num dado meridiano e em (b) o cilindro sofre uma redução de escala, passando a ser secante ao modelo geométrico, como ocorre na projeção UTM e Gauss-Tardi, por exemplo... Características e Propriedades do Sistema de Projeção UTM Por estes coeficientes pode-se observar que no sistema Tardi tem-se uma redução de uma unidade em 5 unidades, no meridiano central, e no sistema UTM esta redução é menor, sendo de uma unidade em 5 unidades. Em outras palavras, a deformação provocada pelo sistema de projeção UTM: Na seqüência são apresentadas as principais características e propriedades do sistema de projeção UTM é menor que a provocada pela projeção Tardi. Como mencionado anteriormente, a redução de escala é obtida pela secância do cilindro Projeção originária da Projeção Conforme de Gauss. transverso, sobre o elipsóide de revolução, como mostrado na Figura. Sistemas de projeção derivados da Projeção TM: conceitos básicos e formulação 9 Sistemas de projeção derivados da Projeção TM: conceitos básicos e formulação

12 Coeficiente de redução de escala no meridiano central (MC) igual a,9996, que corresponde a uma redução de uma unidade em 5 unidades. Devido a secância do cilindro sobre o elipsóide, a projeção provoca tanto ampliações quanto reduções. A redução máxima (,9996) ocorre no Meridiano Central e a ampliação máxima nos Origem das coordenadas em cada sistema parcial, no cruzamento do Equador com o bordos dos fusos (Figura.). Meridiano Central, acrescidas das seguintes constantes:..m para as coordenadas (N) no hemisfério Sul e 5.m para as coordenadas (E). Deste modo, as coordenadas (E,N) no sistema UTM podem ser obtidas a partir das coordenadas no sistema Transverso de Mercator (y,x) por: Como em todas as projeções conformes, as distorções são uniformes em torno de um mesmo ponto, ou seja, independe da direção. Isto implica que a indicatriz de Tissot se reduz a uma circunferência. Para o hemisfério norte: O sistema UTM conserva os ângulos e a forma de pequenas áreas. N =,9996.x (.) E = 5.+,9996.y (.) Ampliação Para o hemisfério sul: N =..+,9996.x (.3) Redução x MC E = 5.+,9996.y (.4) Equador y Os fusos são numerados de acordo com a Carta Internacional do Mundo ao Milionésimo (CIM), de a 6, a partir do anti-meridiano de Greenwich para leste. Os fusos são limitados pelos meridianos múltiplos de 6º. Linhas de secância Figura. - Esquema mostrando a origem do sistema parcial (no cruzamento do MC com o equador), bem como a distribuição das distorções para a projeção UTM... Comportamento do fator de escala 3 o Os pontos localizados até 3' além dos bordos são calculados nos dois fusos. O sistema UTM, como visto anteriormente, é derivado do sistema TM. No sistema TM as coordenadas cartesianas são designadas por x e y, tendo o eixo x a direção do meridiano central do A área abrangida pelos fusos é limitada ao norte e sul pelos paralelos 84 N e 8 S, respectivamente, sendo as regiões polares mapeadas na projeção Universal Polar fuso e y a direção do equador, com x negativo no hemisfério sul e y negativo a oeste do meridiano central (Figura.). Na projeção TM o cilindro é tangente ao meridiano central e o coeficiente de Estereográfica (UPS - Universal Polar Stereographic). Sistemas de projeção derivados da Projeção TM: conceitos básicos e formulação Sistemas de projeção derivados da Projeção TM: conceitos básicos e formulação

13 deformação do meridiano de tangência é igual a um (). Para um ponto genérico de coordenada y o fator de escala para a projeção TM pode ser determinado de modo aproximado 4 por: y m TM + (.5) R No caso do sistema UTM, ou outro sistema modificado qualquer, no qual o fator de redução de escala no meridiano central seja m, a Equação.5 se transforma em y m m.mtm m. + (.6) R Figura.3 - Comparação do fator de escala para os sistemas de projeção TM, UTM e Tardi, no equador. onde: y - distância do ponto considerado ao meridiano central; R - raio médio de curvatura; e m - fator de escala para o meridiano central na projeção considerada. O gráfico seguinte (Figura.3) mostra o comportamento do fator de escala nas projeções TM, UTM e Tardi. Pode-se observar que no sistema TM não ocorre redução de escala (m ). Nos sistemas UTM e Tardi as distorções são melhor distribuídas em torno do MC, havendo tanto redução quanto ampliação. Pelo gráfico acima é possível notar também que a distorção no meridiano central para a projeção UTM é mais próxima de do que no sistema Tardi. Na Figura.4 são mostradas as superfícies de distorção para a projeção TM e UTM, juntamente com um plano sem distorção no qual o fator de escala assume o valor. Pode-se ver, no caso da projeção TM, que apenas o meridiano central toca este plano e todos os demais pontos estão acima dele, indicando que não existe redução de escala nesta projeção. No caso da projeção UTM, parte da superfície de distorção encontra-se acima e parte abaixo desse plano sem distorção. A interseção da superfície de distorção da projeção UTM com o plano sem distorção (m=) pode ser obtida, de modo aproximado, fazendo m= na Equação.6, e resolvendo uma equação do segundo grau em y. A solução desta Equação permite obter:.r y ± m.m m (.7) m 4 Esta equação é aproximada pois os termos de ordem superior a foram desprezados, como pode ser visto na seção 8. Sistemas de projeção derivados da Projeção TM: conceitos básicos e formulação 3 Sistemas de projeção derivados da Projeção TM: conceitos básicos e formulação 4

14 Atribuindo os seguintes valores: m =,9996, m= e R=637 km obtém-se y ±8, km, ou seja, as linhas de distorção zero (ldz), ou, de fator de escala unitário, estão a aproximadamente 8 km do meridiano central, como pode ser visto nas Figura(s).3 e.4. Geodésicas) e posteriormente as transformações (UTM TM), além da formulação que permite o cálculo da convergência meridiana, da redução angular e do fator de escala. É importante ressaltar que neste texto não é feito nenhum desenvolvimento matemático para a obtenção da formulação apresentada. Para leitores interessados neste desenvolvimento, as seguintes referências são sugeridas: Bomford (95); Richards & Adler (97); Vanicek & Krakiwsky (986); Maling (99); e Bugayevskiy & Snyder (995). Figura.4 - Superfícies de distorção para as projeções TM e UTM numa faixa aproximada de 6 o em longitude ( 66 km) por km. Na seqüência serão apresentadas as expressões necessárias à transformação de coordenadas (UTM Geodésicas), sendo utilizada como referencia básica Blachut et al. (979). Na realidade, diversas são as derivações disponíveis, como pode ser visto em Maling (99). No entanto, a formulação apresentada tem uma característica interessante. Por exemplo, a transformação de coordendas Geodésicas em TM depende das constantes c, e', de senϕ, além de potências de cosϕ. Portanto, uma vez calculado o seno e o coseno de ϕ, todos os demais termos podem ser calculados, sem a necessidade de cálculos adicionais com funções trigonométricas, o que é interessante do ponto de vista computacional, como discutido brevemente em Galo (988). Na referência básica utilizada (BLACHUT et al, 979) são apresentadas equações para a transformação de coordenadas Geodésicas para TM (e vice-versa), podendo-se posteriormente converter as coordenadas do sistema TM para qualquer outro sistema derivado do TM, como o UTM, Gauss-Tardi, Sistema Local Transverso de Mercator (LTM), Sistema Regional Transverso de Mercator (RTM), etc. Deste modo, nos tópicos seguintes são apresentadas as transformações (TM Sistemas de projeção derivados da Projeção TM: conceitos básicos e formulação 5 Sistemas de projeção derivados da Projeção TM: conceitos básicos e formulação 6

15 3. Comprimento de arco de meridiano Sendo e' a segunda excentricidade, calculada por e' =(a -b )/b para o elipsóide adotado, os coeficientes A, A, A,...e A 8 podem ser obtidos por: O cálculo do comprimento do arco de meridiano (B ϕ ) entre um ponto de latitude ϕ e o equador (Figura 3.) é útil em diversas aplicações na Geodésia e Cartografia. Dentre elas pode-se mencionar a transformação de coordenadas geodésicas em TM e UTM. a Equador PN b λ= o λ PS Figura 3. - Elipsóide de revolução de semi-eixos a e b, um ponto genérico p de coordenadas geodésicas p(ϕ,λ) e arco de meridiano B ϕ. ϕ p(ϕ,λ) B ϕ Normal passante por p(ϕ,λ) 3 = A e' e' e' e' e' (3.) = A e' e' e' e' e' (3.3) = A e' e' e' e' (3.4) = A 4 e' e' e' (3.5) = 6 79 A 6 e' e' (3.6) A 8 = e' (3.7) Cálculo da latitude correspondente a um dado arco de meridiano Deste modo e conforme a formulação apresentada por Blachut et al. (979), dada a latitude ϕ, em radianos, o valor do comprimento do arco de meridiano B ϕ, em metros, pode ser calculado por: 4 8 Bϕ = A.c. ϕ A.c.senϕ.cosϕ.(+ A.sen ϕ+ A4.sen ϕ A8.sen ϕ), (3.) onde: c - raio polar de curvatura (c=a /b); a - semi-eixo maior do elipsóide; e b - semi eixo menor do elipsóide. A Equação 3. é utilizada no cálculo do comprimento do arco de meridiano para uma dada latitude. No entanto, dado o comprimento de um arco de meridiano, o cálculo da latitude correspondente a este arco, de modo direto, não é muito simples, uma vez que no segundo membro da Eq. 3. tem-se um desenvolvimento em série que é função de potencias de senϕ. Deste modo, dado o valor do comprimento de um arco de meridiano (x), a determinação do valor da latitude que corresponde a este arco pode ser feita de modo iterativo, como apresentado por (BLACHUT et al., 979). Com este objetivo, a seguinte seqüência de operações pode ser seguida: Passo. Calculo de ϕ (i), com i=, utilizando o primeiro termo da Equação 3., sendo x fornecido e os valores de c e A calculados em função dos parâmetros do elipsóide adotado. (i ) ϕ = x = A.c Sistemas de projeção derivados da Projeção TM: conceitos básicos e formulação 7 Sistemas de projeção derivados da Projeção TM: conceitos básicos e formulação 8

16 Passo. Com o valor de ϕ (i) calcula-se o valor do arco B correspondente, ou seja: B ϕ(i), usando a Equação Transformação de Coordenadas Geodésicas em TM Passo 3. A próxima aproximação para a latitude pode ser calculada por: ϕ (i+ ) =ϕ (i) x B (i) ϕ + A.c Passo 4. Avaliar se x-b ϕ(i) < ε (ε é uma tolerância pré-estabelecida) Se SIM Vá para o Passo 5 Se NÂO Faça i i+ Retorne para o Passo. Passo 5. ϕ = ϕ (i+) (ϕ é a latitude procurada) O procedimento acima envolve iterações e pode ser implementado com facilidade, sendo importante a adoção de um valor adequado para a tolerância ε. Uma possibilidade para obter o valor de ε é levar em conta a confiabilidade do valor do valor de x fornecido. Para a maioria das aplicações, duas ou três iterações são suficientes. Expressões obtidas pela expansão em série de Taylor, sem que haja a necessidade de iterações, também podem ser utilizadas, como podem ser visto em Blachut et al. (979). Dadas as coordenadas geodésicas (ϕ,λ), de um ponto genérico, situado num fuso cujo meridiano central tenha longitude λ, as seguintes fórmulas podem ser utilizadas para o cálculo das coordenadas (x,y): x= B ϕ + a. λ + a4. λ + a6. λ +... (4.) 3 5 y= a. λ+ a. λ + a. λ onde: B ϕ - arco de meridiano que vai do equador ao ponto de latitude ϕ; λ - longitude do ponto fornecido; λ - longitude do meridiano central do fuso; λ= λ-λ ; e a, a, a 3,..., a 6 - coeficientes calculados em função de ϕ e de parâmetros do elipsóide. Os ângulos utilizados nesta equação devem ser representados em radianos e B ϕ, x e y devem ser expressos em metros. Os coeficientes da Equação 4. podem ser calculados por (BLACHUT et al., 979): / a = c + e' (4.) cos ϕ = a. senϕ (4.3) a 4.( + cos ϕ+ e'. ϕ) a 3= a cos (4.4) ( + 6cos ϕ+ 9e'.cos ϕ+ 4e'. ϕ) a 4 = a cos (4.5) Sistemas de projeção derivados da Projeção TM: conceitos básicos e formulação 9 Sistemas de projeção derivados da Projeção TM: conceitos básicos e formulação 3

17 4 6.( cos ϕ+ (4 58e' ).cos ϕ+ 7e'.cos ϕ...) a5 = a + (4.6) 4.( 6cos ϕ+ cos ϕ...) a6 = a + (4.7) 36 O número de termos utilizado nas Equações 4. permite a obtenção das coordenadas no sistema TM com uma precisão da ordem de quatro casas decimais em segundos de arco, para λ 3 3' (BLACHUT et al., 979). Convém lembrar que um arco de meridiano de um segundo ('') 5. Transformação de coordenadas do Sistema TM para Geodésicas Dadas as coordenadas planas (x,y), referidas ao Sistema TM, e a longitude do meridiano central (λ ), as coordenadas geodésicas podem ser calculadas por (BLACHUT et al., 979): ϕ=ϕ+ by + b4y + b6y +..., (5.) 3 5 λ=λ + b y+ b y + b y corresponde a aproximadamente 3m e que um arco de um segundo de paralelo corresponde a aproximadamente 3cosϕ metros. onde: ϕ - latitude correspondente ao arco de meridiano de comprimento x; λ - longitude do meridiano central; e b, b,..., b 6 - coeficientes calculados em função de ϕ e da segunda excentricidade do elipsóide. Os coeficientes das Equações 5. podem ser calculados por: / ' b = e c + cos (5.) ϕ ( + e'. ϕ ) b = b.senϕ.cosϕ cos (5.3) 4 ( cos ϕ + e'. ϕ ) 3 b3= b cos (5.4) ( 3+ ( 9e' ).cos ϕ + e'.cos ϕ 4e'. ϕ ) b4 = b.b cos (5.5).( 4.cos ϕ ( 8e' ).cos 4 e'.cos ϕ ϕ...) b b 5 5 = + (5.6) 4.( cos ϕ...) 4 = b.b (5.7) 36 b6 + Sistemas de projeção derivados da Projeção TM: conceitos básicos e formulação 3 Sistemas de projeção derivados da Projeção TM: conceitos básicos e formulação 3

18 A latitude ϕ que aparece nas equações anteriores representa a latitude do ponto p'(ϕ, λ ) (Figura 5.), que é a projeção do ponto p(ϕ,λ) sobre o meridiano central. Deste modo, o valor da latitude ϕ corresponde ao ponto de expansão da série, no cálculo da latitude ϕ. Equador Meridiano Central (λ ) x p'(ϕ,λ ) p''(ϕ,λ ) y p(x,y) p(ϕ,λ) Figura 5. - Representação da latitude ϕ correspondente ao arco de meridiano de comprimento x, sendo p(x,y) as coordenadas do ponto p(ϕ,λ) no sistema TM. x y 6. Transformação de Coordenadas TM em UTM e vice-versa Para fazer as transformações entre os sistemas TM e UTM basta considerar o fator de escala no meridiano central e aplicar translações. Uma vez que as coordenadas x no sistema TM são negativas no hemisfério sul e as coordenadas y são negativas a oeste do meridiano central (Figura 6.), algumas translações são aplicadas para que as coordenadas finais fiquem positivas. Equador y< x> y< x< x Meridiano Central (λ ) y> x> (x=,y=) Figura 6. Sistema cartesiano com origem no cruzamento do Equador com o Meridiano Central, usado na projeção TM. y> x< y Designando a translação no sentido norte-sul de N e a translação no sentido leste-oeste de E, elas devem ser aplicadas de modo que a componente N seja positiva para os pontos do hemisfério sul e a componente E seja positiva para os pontos a oeste do Meridiano Central. Assim, as equações para as transformações TM em UTM e de UTM para TM são: Transformação TM para UTM Para estas transformações as Equações. a.4, vistas na seção, devem ser utilizadas, ou seja: Para o hemisfério norte: N =,9996.x (.) Sistemas de projeção derivados da Projeção TM: conceitos básicos e formulação 33 Sistemas de projeção derivados da Projeção TM: conceitos básicos e formulação 34

19 E = 5.+,9996.y (.) e a transformação inversa por: Para o hemisfério sul: N =..+,9996.x (.3) Para o hemisfério norte: E = 5.+,9996.y (.4) x= N/ m (6.9) y= (E E)/ (6.) m Transformação UTM para TM Para o hemisfério sul: Para o hemisfério norte: Para o hemisfério sul: x= N/,9996 (6.) y = (E 5.)/,9996 (6.) x= (N..)/,9996 (6.3) y= (E 5.)/,9996 (6.4) ( N N) / m x= (6.) y= (E E)/ (6.) m Para a transformação do sistema TM para outros sistemas conformes como, por exemplo, os sistemas Gauss-Tardi, RTM e LTM, o procedimento é análogo. As únicas diferenças se referem aos valores das translações e do fator de escala para o meridiano central, como pode ser visto no Quadro.. Usando esta idéia, pode-se escrever a transformação do sistema TM para um sistema modificado genérico por: Para o hemisfério norte: Para o hemisfério sul: = m.x (6.5) N = E+ m y (6.6) E N = N+ m.x (6.7) E = E+ m y (6.8) Sistemas de projeção derivados da Projeção TM: conceitos básicos e formulação 35 Sistemas de projeção derivados da Projeção TM: conceitos básicos e formulação 36

20 7. Convergência Meridiana 5 D E C L IN A Ç Ã O M A G N É T IC A E C O N V E R G Ê N C IA M E R ID IA N A D O C E N T R O D A F O L H A A convergência meridiana (γ) num dado ponto p é o ângulo formado pela tangente ao meridiano passante por p, e o norte de quadrícula, como ilustra a Figura 7.. N M N G N Q x Norte verdadeiro Meridiano de p γ Norte de quadrícula o 3 4 ' o 3 ' 4 '' U s ar e xc lu s iv a m e n te os d a d os n u m é ric os y p(ϕ,λ) ou p(x,y) R IB E IR Ã O D A S P E D R A S (S P ) Figura 7. - Exemplo do rodapé de uma carta na escala :5. mostrando as direções de referência. Adaptado x da folha SF--Y-B-I-3, Ribeirão das Pedras - SP, escala :5., IBGE. Equador Meridiano Central (λ ) y A convergência meridiana pode ser calculada tanto a partir das coordenadas geodésicas, quanto TM (BLACHUT et al., 979): Figura 7. Direção do norte de quadrícula, paralelo e meridiano que passa por p(φ,λ) e convergência meridiana ( γ). A convergência meridiana é utilizada na conversão de azimutes e normalmente ela é indicada 3 5 γ = a7. λ+ a9. λ + a. λ (7.) y+ b9.y b. y γ = b + (7.) no rodapé de algumas cartas, como ilustra a Figura 7., onde são mostradas as seguintes direções de referência: norte de quadrícula (NQ), norte geográfico ou verdadeiro (NG) e norte magnético (NM). onde, λ=λ-λ, e a 7, a 9, a, b 7, b 9 e b são coeficientes calculados por: Na Figura 7. é mostrada a declinação magnética 6 (D=' 34'' W) para o centro da folha, bem como a convergência meridiana (γ= o 3' 4''). Para mais informações sobre estes ângulos consulte (DIRETORIA DO SERVIÇO GEOGRÁFICO, 959). a 7 =senϕ (7.3) 4 4 a9 =.senϕ.cos ϕ.(+ 3e'.cos ϕ+ e'.cos ϕ) (7.4) 3 a =.senϕ.cos ϕ.( + 3.cos ϕ...) (7.5) Utiliza-se o símbolo γ em função dele ser utilizado com freqüência no Brasil, embora a referência básica (BLACHUT et al., 979) considere "C". 6 Declinação magnética: ângulo formado pela direção do norte geográfico (NG) com o norte magnético (NM). / 7 sen. e' = P sen c = ϕ + cos ϕ b ( e'.cos ϕ e'. ϕ ) 3 9 = P.senϕ cos b ϕ (7.6) (7.7) Sistemas de projeção derivados da Projeção TM: conceitos básicos e formulação 37 Sistemas de projeção derivados da Projeção TM: conceitos básicos e formulação 38

21 5.( 3 ϕ ) 5 = P.senϕ cos b (7.8) 8. Fator de Escala para a Projeção Transversa de Mercator O termo ϕ, nas equações anteriores, possui o mesmo significado daquele descrito na seção 5 e os três termos das séries nas Equações 7. e 7. garantem uma precisão menor que,", para λ 3 3' (BLACHUT et al., 979). Para um cálculo aproximado da convergência meridiana pode-se utilizar o primeiro termo da Equação 7., ou seja: O fator de escala 7 (m) pode ser definido como a relação entre um comprimento ds na superfície de projeção e o correspondente, ds, na superfície de referência, i. e., ds m=. (8.) ds γ ( λ λ ). senϕ (7.9) Em termos práticos, o fator de escala pode ser obtido pelas seguintes expressões: Como mostrado na Figura 7., a convergência meridiana é contada a partir da direção do norte geográfico, ou verdadeiro, sendo o sinal positivo associado ao ângulo contado no sentido horário e negativo ao sentido anti-horário. 4 m= + a. λ + a. λ... (8.) m= + b.y + b.y... (8.3) 8 + onde os coeficientes podem ser calculados por: a8 =.cos ϕ.(+ e'.cos ϕ) (8.4) a.cos.( 4 (9 8e' ).cos 4e'.cos 4 = ϕ + ϕ+ ϕ+...) (8.5) 4 b8 =. R (8.6) 4 b =.R.(+ 4e'.cos ϕ ) (8.7) = c/(+ e'.cos ) (8.8) R ϕ Os termos considerados nas séries 8. e 8.3 são suficientes para o cálculo de m com uma precisão da ordem de, ppm (BLACHUT et al., 979). 7 A letra k também é utilizada com freqüência. Neste caso seguiu-se a convenção utilizada por BUGAYEVSKIY & SNYDER (995), BLACHUT et al. (979) e RICHARDS & ADLER (97). Sistemas de projeção derivados da Projeção TM: conceitos básicos e formulação 39 Sistemas de projeção derivados da Projeção TM: conceitos básicos e formulação 4

22 Pela Equação 8.3 pode-se notar que considerando apenas os dois primeiros termos da série, o fator de escala pode ser calculado de modo aproximado por: m b y + (+ e'.cos ϕ 4 ). (8.9) a 8.. Fator de Escala e Erro Relativo O fator de escala pode ser expresso, de modo genérico, pela Equação 8.. Dependendo da razão ds/ds as seguintes situações podem ocorrer: Utilizando a equação acima e considerando o caso esférico, onde e'= e a=b=r, pode-se escrever y m +, R ds> ds m> (ampliação) ds m= ds= ds m= (sem deformação) (8.) ds ds< ds m< (redução) Independente do valor de m pode-se calcular o erro absoluto (ε a ) e o erro relativo (ε r ). O erro absoluto pode ser definido como sendo a diferença entre uma grandeza calculada (ou medida, ou que é exatamente a Expressão.6. observada) e um valor de referencia; e o erro relativo como sendo a razão entre o erro absoluto e o 8.. Fator de escala para sistemas modificados valor de referência. Deste modo, pode-se escrever o erro absoluto como sendo igual a ε = d d. a projetada referência Para os sistemas derivados da projeção Transversa de Mercator o fator de escala num dado ponto é obtido pela multiplicação do fator de escala (Equação 8. e 8.3), pelo fator de escala no meridiano central (m ) do sistema considerado, ou seja: Considerando que o valor de um elemento linear projetado seja ds e que o valor de referência seja ds, e ainda a Equação 8., pode-se escrever: ε = ds ds= mds ds= (m )ds. (8.3) a m= m.( a. a λ + λ +...) (8.) ou maneira: A partir do erro absoluto, dado pela Equação 8.3, pode-se obter o erro relativo da seguinte 4 m= m.(+ b.y + b.y...) (8.) 8 + εa (m )ds ε r = = = m m= +εr. (8.4) ds ds No caso do sistema UTM, a constante m assume o valor,9996 e no caso dos sistemas RTM e LTM o fator de escala no meridiano central assume o valor m =, O desenvolvimento anterior pode ser repetido para o caso do erro relativo em área (ou em superfície). Deste modo, pode-se escrever Sistemas de projeção derivados da Projeção TM: conceitos básicos e formulação 4 Sistemas de projeção derivados da Projeção TM: conceitos básicos e formulação 4

23 m sup msup = m (p/ projeções conformes) = +εr, (8.5) sup m = m.m (caso geral) sup 9 9. Ângulo arco-corda (redução angular) onde: m sup é o fator de escala em área; Nesta seção será apresentada a expressão para o cálculo do ângulo arco-corda ou redução angular, que é o ângulo compreendido entre a corda l ij que liga dois pontos na projeção (p i e p j ), com a tangente à geodésica projetada (S M ) no ponto. Para ilustrar este ângulo é mostrada a Figura 9.. m, m 9 são os fatores de escala ao longo das curvas paramétricas u e v (RICHARDS & ADLER, 97) e ε r sup é o erro relativo em área ou em superfície. As Equações 8.4 e 8.5 são importantes para o planejamento de produtos cartográficos, a x NQ Equador NG p j y partir da adoção de um erro relativo máximo, permitindo calcular o intervalo de variação em latitude e longitude no qual este erro seja atendido. MC(λ ) γ i l ij S M ij ψ ij p i Figura 9. - Ilustração mostrando alguns elementos na superfície de projeção: geodésica projetada (S M ij), corda (l ij ), convergência meridiana (γ i ) e redução angular (ψ ij ) em p i. Os elementos mostrados nas Figuras 9. e 9. são importantes para se fazer as reduções angulares ao plano de projeção. Deste modo, é importante que sejam definidos alguns elementos: t ij T ij Azimute plano da corda l ij, ou azimute plano. Azimute plano da geodésica projetada (S M ij). Az ij Azimute geodésico: ângulo entre o norte geográfico e a geodésica projetada. Sistemas de projeção derivados da Projeção TM: conceitos básicos e formulação 43 Sistemas de projeção derivados da Projeção TM: conceitos básicos e formulação 44

24 γ i Convergência meridiana: ângulo entre o norte geográfico e o norte de quadrícula no ponto. ψ ijj Ângulo arco-corda (redução angular). K'' ( ) e'. cos + ϕ 3,4 = m. (9.) c que podem ser visualizados na Figura 9.. Pode-se observar pela Equação 9. que ψ ij será igual a ψ ji, apenas em algumas situações especiais, e, portanto, em termos gerais ψ ij ψ ji. Considerando as coordenadas expressas no sistema x NQ Equador NG p j y UTM a Equação 9. pode ser escrita por: Ψ ij = tij Tij = K' ' (N j Ni)(Ei + E j 3Y' ), (9.3) m MC(λ ) γ i sendo Y'=5.m. t ij l ij S M ij Az ij ψ ij T ij Para pontos cuja diferença de longitude seja menor que 3 3', o ângulo ψ=t-t pode ser calculado com precisão da ordem de," para linhas até 5 km (BLACHUT et al., 979). Pela Figura 9. pode-se ver que o azimute geodésico (Az ij ) pode ser escrito em função do p i azimute plano t ij, ψ ij e γ i por: Az = +γ + ψ (observe os sinais de γ e ψ pelas Equações 7.9 e 9.). ij t ij i ij Para se ter o azimute contado a partir do sul deve-se somar 8 o o, ou seja ( Aij = tij + 8 +γi + ψij). Figura 9. - Ilustração mostrando alguns elementos na superfície de projeção: geodésica projetada (S M ), corda (l), redução angular (ψ), convergência meridiana (γ), azimute da corda ou azimute plano (t), azimute plano da geodésica projetada (T) e azimute geodésico (Az). A redução angular poder ser calculada pelas coordenadas TM por (BLACHUT et al., 979): Para se fazer o transporte de coordenadas no plano, é necessário calcular o azimute plano, além do comprimento da corda (l ij ). Este comprimento é função do comprimento da geodésica projetada (S M ij), que por sua vez é função da distância elipsoidal (S E ij). A relação entre S E e S M pode ser obtida em função do fator de escala médio. Assim, recorrendo à Equação 8. pode-se escrever: yi + y j Ψ ij = tij Tij = K' '(x j xi). (9.) 3 M ij E ij S = m. S. (9.4) onde Segundo Vanicek & Krakiwsky (986), em termos práticos a diferença de comprimento l ij -S M ij para distâncias curtas e médias pode ser desprezível, podendo-se escrever: Sistemas de projeção derivados da Projeção TM: conceitos básicos e formulação 45 Sistemas de projeção derivados da Projeção TM: conceitos básicos e formulação 46

25 ij M ij E ij l S = m. S. (9.5) superfície física na correspondente em uma dada projeção, a altitude 8 média da região, em relação à superfície de referência, deverá ser levada em conta. Blachut et al. (979) consideram que para bases menores que 5 km esta diferença não precisa ser levada em conta. No caso das projeções conformes o valor de m independe da direção, mas varia ponto a ponto O fator de correção que leva em conta a altitude dos pontos é denominado Fator de Correção do Nível do Mar (Sea-level correction factor). Esta relação pode ser obtida ao relacionar os arcos S E ij e S F ij, como pode ser visto na Figura 9.3. e nas Equações 9.4 e 9.5 o termo m que representa o valor médio do fator de escala para um dado segmento. No cálculo do valor médio de m para uma dada corda pode-se considerar, por exemplo, o valor de m para o ponto médio, ou o valor da média dos valores de m para os extremos desta corda, y S F Sup. Física por exemplo. Uma alternativa é usar uma expressão que considera tanto os valores dos fatores de escala nos extremos (m i e m j ) quanto o fator de escala para o ponto médio da corda (m m ), assim o valor S M S E Sup. de Referência de m pode ser obtido por: R R+h ( m + 4m m ) m = i m + j. (9.6) 6 Sup. de Projeção x Por esta equação pode-se notar que é feita uma ponderação de modo que o fator de escala para o ponto médio da corda tenha uma influência maior. Para detalhes adicionais sugere-se Blachut et al. (979). 9.. Influência da altitude e o fator de escala combinado Figura Distância na Superfície de Projeção (S M ), na Superfície de Referência (S E ), e na Superfície Física (S F ). Considerando h como a altitude geométrica média da região e omitindo os índices ij, a seguinte relação pode ser escrita: As Equações 8. e 8. fornecem o fator de escala para o sistema TM e qualquer outro sistema modificado, desde que seja conhecido o fator de escala no meridiano central (m ). O fator de F S R+ h = E S R E F R S = S. (9.7) R+ h escala é uma relação entre o comprimento na superfície de projeção (ds) e a distância correspondente na superfície de referência (ds), seja esta superfície o elipsóide de revolução ou uma esfera. Utilizando a notação apresentada nesta seção e o fator de escala médio (m), o comprimento da geodésica Relacionando as Equações 9.5 e 9.7, a distância na superfície física pode ser obtida em função da distância projetada por meio da seguinte equação: projetada (S M ij) poderá ser obtido pela Equação 9.5. No entanto, se for necessário obter uma distância na superfície física (S F ij), a partir da medida de uma distância em um produto cartográfico, ou o contrário, transformar uma medida feita na 8 Neste tópico considera-se a denominação elevação para se referir a altitude geométrica (h) ou altura elipsoidal, que é a distância entre o elipsóide de revolução e o ponto na superfície, contado sobre a normal passante pelo ponto. A relação entre a altitude geométrica e a altitude ortométrica (H) pode ser escrita por h H-N, onde N é a ondulação do Geóide. Sistemas de projeção derivados da Projeção TM: conceitos básicos e formulação 47 Sistemas de projeção derivados da Projeção TM: conceitos básicos e formulação 48

26 S R m R+ h F M = S. (9.8) Designando o Fator de Correção do Nível do Mar por m h como sendo a razão R m h =, (9.9) R+ h a Equação 9.8 pode ser escrita por: Figura Fator de correção do nível do mar (neste gráfico adotou-se o modelo esférico, com R=637km). F M S = S, (9.) mhm sendo o produto m m= m o fator de escala combinado, ou seja, que considera tanto a elevação h c quanto o fator de escala da projeção. Deste modo, a distância na projeção pode ser obtida a partir da distância na superfície física e do fator combinado por Pelo gráfico mostrado acima pode-se notar que a medida que h aumenta, o valor de m h reduz. Como neste gráfico não se tem uma noção imediata de grandezas, foi construído o gráfico da Figura 9.5, na qual é dada a correção em cm para cada uma das três distâncias pré-definidas ( km, km e 3 km) e para diferentes altitudes. Pode-se observar que para uma base de m, situada a uma altitude de 45m, o efeito da elevação é de -7 cm. Para uma base de m, na mesma altitude, a correção passa a ser de -4 cm. M F F = mcs mhms. (9.) S = É importante ter em mente a influência de h nas relações acima. Para bases situadas em regiões onde a altitude seja próxima de zero, ou seja, para h, tem-se S F = S M Figura 9.4. m c m, podendo-se escrever m. Para uma análise do fator de escala para diferentes altitudes é mostrado o gráfico da Figura Correção do nível do mar expresso em centímetros, para as distâncias de m, m e 3m. O fator de escala combinado (m c ) é função tanto da altitude quanto do fator de escala linear. Combinando a Equação.6, na qual se pode calcular o fator de escala linear, com a Equação 9.9, pode-se obter uma expressão aproximada para o fator de escala combinado, resultando em: Sistemas de projeção derivados da Projeção TM: conceitos básicos e formulação 49 Sistemas de projeção derivados da Projeção TM: conceitos básicos e formulação 5

27 meridiano central de modo que o cilindro e o elipsóide de revolução estejam bem próximos nesta R y m c(h, y) = m + R+ h. (9.) R região. Deste modo, considerando que no meridiano central se tenha y= pode-se impor a condição de que nesta situação se tenha m c =. A imposição desta condição tem como conseqüência prática que uma distância calculada sobre a projeção, ou seja, sobre um produto cartográfico, seja equivalente ou Utilizando a Equação 9. foi construído o gráfico da Figura 9.6 para o caso da Projeção UTM, na qual é mostrada a superfície e algumas curvas de mesmo fator de escala combinado, bem próxima da correspondente no terreno. Assim, fazendo estas considerações sobre a Equação 9. se obtém mostrando que m c diminui com o aumento da altitude. R+ h h m = = +. (9.4) R R Adotando R=6.37 km pode-se escrever: m = +,57h, (9.5) Figura Comportamento do fator de escala combinado em função de h e y, para a Projeção UTM. (y corresponde à distância do ponto considerado ao MC) A Equação 9. é escrita em função de h e y. No entanto, se o fator de escala linear for escrito sendo h expresso em quilômetros. Para detalhes adicionais quanto ao uso da Equação 9.5 e sobre o estabelecimento de sistemas de coordenadas planos adequados aos levantamentos urbanos sugere-se Blachut et al. (979) e para mais detalhes sobre o uso do fator de escala combinado sugere-se Carvalho (984). a partir da Equação 8., o fator de escala combinado poderá ser obtido por: R R+ h m (h, ϕ, λ) = m + ( λ λ ) cos ϕ, (9.3) c sendo λ =λ λ expresso em radianos. A expressão acima é valida para o caso esférico e também é aproximada uma vez que apenas os dois primeiros termos da Equação 8. foram considerados. Um aspecto interessante ligado às Equações 9. e 9.3 está relacionado com a possibilidade da seleção do fator de escala central para regiões de altas altitudes. No caso de altas altitudes a influência nas distâncias é maior e uma possibilidade é fazer a escolha do fator de escala para o Sistemas de projeção derivados da Projeção TM: conceitos básicos e formulação 5 Sistemas de projeção derivados da Projeção TM: conceitos básicos e formulação 5

28 . Sistemas modificados: SPC, LTM, RTM e SOM mas apenas uma zona. Já no estado do Arizona utiliza-se o sistema Transverso de Mercator com três zonas: leste, central e oeste (EASTMAN, 997). Nas seções anteriores foram abordados alguns aspectos básicos do sistema UTM e do sistema Transverso de Mercator. Nesta seção são apresentados alguns outros sistemas modificados, baseados no sistema TM. Entre eles serão vistos o sistema SPC (State Plane Coordinates), LTM (Local Transverse Mercator), RTM (Regional Transverse Mercator) e SOM (Space Oblique Mercator). O sistema SPC é o sistema utilizado nos EUA e os sistemas LTM e RTM são sistemas destinados à representação de regiões de modo que as distorções sejam minimizadas, sendo destinados principalmente para escalas cadastrais. Esta redução de distorções pode ser conseguida trabalhando-se com fusos de menor dimensão e com a modificação do fator de escala no meridiano central. O sistema SOM é utilizado especificamente para a representação de imagens obtidas por satélites de recursos naturais (LANDSAT)... Sistemas de Coordenadas Planos Estaduais - SPC O sistema de coordenadas denominado SPC (State Plane Coordinates) é o sistema utilizado nos Estados Unidos da América. Este sistema foi desenvolvido na década de 3, sendo projetado de modo a oferecer uma distorção de escala da ordem de /. 9. Neste sistema os estados Americanos são divididos em zonas, sendo utilizadas duas projeções: a Transversa de Mercator e a Projeção Cônica Conforme de Lambert, sendo a seleção da projeção feita em função das dimensões e da forma de cada estado. Dependendo do estado pode-se ter mais de um fuso (ou zona) da projeção TM ou mais de uma zona na Projeção Cônica Conforme de Lambert. Por.. Os sistemas LTM e RTM O sistema LTM (Local Transverse Mercator) é um sistema derivado da projeção Transversa de Mercator, com as seguintes características básicas: Fator de escala no meridiano central: m =,999995; Fusos de o nas longitudes de meio grau (3'); Pode-se observar que o fator de escala escolhido para o meridiano central corresponde a um erro relativo de /. (m =,999995=-/.), ou seja, uma redução de 5mm para km. No sistema RTM (Regional Transverse Mercator) o fator de escala é o mesmo do sistema LTM sendo considerados fusos de o com meridianos centrais nas longitudes de grau impar. Estas são as especificações básicas, no entanto os fatores de escala podem ser modificados de acordo com as características da região considerada. Esta flexibilidade permite a definição de sistemas apropriados para alguns estados, municípios, etc, como podem ser vistos em algumas referências (ROCHA et al., 995; PEDRO et al., 995; BUENO et al., 995). Como mencionado acima, uma diminuição na amplitude λ do fuso faz com que a distorção seja reduzida nos extremos do fuso. A Figura. mostra o comportamento do fator de escala (m), considerando m =,999995, para dois fusos diferentes, um de o e outro de o. exemplo, no estado do Texas utiliza-se a Projeção Cônica Conforme de Lambert com cinco zonas: norte, centro-norte, central, centro-sul e sul. No estado do Tennesse utiliza-se esta mesma projeção, 9 Apenas para efeito de comparação, no sistema UTM a redução de escala é /5, ou seja, quatro vezes maior que no sistema SPC. O termo faixa seria mais apropriado um vez que se considera a Projeção Cônica Conforme de Lambert no caso normal, no entanto EASTMAN(997) utiliza o termo zona indistintamente. Sistemas de projeção derivados da Projeção TM: conceitos básicos e formulação 53 Sistemas de projeção derivados da Projeção TM: conceitos básicos e formulação 54

29 a) Figura. - Comportamento da projeção UTM e RTM para fuso de dois graus. Ao analisar as superfícies de distorção mostradas na Figura. pode-se notar que para fusos de dois graus de amplitude, as distorções provocadas na projeção RTM são menores dos que as produzidas pela projeção UTM. No entanto, como o fuso do sistema UTM tem amplitude de 6 graus e o da RTM tem amplitude de graus, com os meridianos centrais nas longitudes impar, a cada conjunto de 3 fusos RTM tem-se um fuso UTM. Assim, será analisado o comportamento do fator de escala para um fuso de amplitude 6 graus. A Figura.3 mostra esta comparação. b) Figura. - Comportamento do fator de escala para a projeção LTM com fuso de o (a) e para a projeção RTM com fuso de o (b). Apenas para se ter uma idéia do comportamento da projeção UTM, juntamente com a RTM, para fusos de o de amplitude, a Figura. é mostrada. Figura.3 - Comportamento da projeção UTM e RTM para o fuso UTM de seis graus. A partir desta figura pode-se observar que as distorções provocadas pela projeção UTM, nos limites do fuso, são bem maiores que a provocada pela projeção RTM. Para ter estes valores em erros relativos a Figura.4 é apresentada. Sistemas de projeção derivados da Projeção TM: conceitos básicos e formulação 55 Sistemas de projeção derivados da Projeção TM: conceitos básicos e formulação 56

30 A preocupação fundamental para o desenvolvimento desta projeção foi a manutenção da conformidade e também a representação da trajetória (na projeção) sem distorção, ou seja, em verdadeira grandeza. Em 974 uma primeira solução foi dada por Colvocoresses (SNYDER, 978). Alguns anos depois, J. P. Snyder (96-997) propôs uma solução para o caso da terra esférica e órbita circular, sendo posteriormente refinada para o caso do modelo elipsoidal e finalmente para a órbita elíptica. Segundo Snyder (997, p. 88), visualmente a projeção SOM lembra a projeção oblíqua de Mercator. No entanto, as linhas centrais (pontos da trajetória na projeção) possuem a forma Figura.4 - Comportamento do erro relativo para as projeções UTM e RTM. aproximada de senoides. A Figura.5 ilustra o cilindro oblíquo à superfície de referencia e a aparência desta projeção. Para informações complementares sugere-se Maling (99) e Snyder(978). Analisando a Figura.4 pode-se ver que exatamente no meridiano central do fuso UTM o erro relativo provocado pela projeção UTM é de -4/, ou seja, ela provoca uma redução de 4 m em km (/5). Nos limites do fuso este erro é da ordem de 9,7 m em km. Por outro lado, a ampliação provocada pela projeção RTM é da ordem de,5 m em km, o que torna o seu uso interessante para uma série de aplicações. Para mais detalhes sobre os sistemas derivados do sistema TM e suas aplicações, as seguintes referências são sugeridas: Carvalho (984); Rocha et al. (995); Pedro et al. (995); Bueno et al. (995); e Brunetti (993)..3. Sistema de projeção SOM O sistema de projeção SOM (Space Oblique Mercator) é um sistema derivado da projeção TM e foi desenvolvido com a finalidade de representar as imagens de satélites de recursos naturais lançados pela agência espacial Americana (NASA - National Aeronaltics and Space Administration). O primeiro satélite de recursos naturais foi lançado em 97, denominado ERTS- (Earth Resources Technology Satellite) e renomeado para LANDSAT- em 975, dando início a série de satélites LANDSAT (LAND SATellite). Estes satélites possuem órbitas quase circulares, inclinadas de 99 o em relação ao plano do equador, mapeando uma faixa de largura aproximada de 85 km. Figura.5 Princípio da obtenção e aparência da projeção SOM Space Oblique Mercator. (Fonte: IOC/IODE (4)).4. Resumo das características básicas de algumas projeções O Quadro. apresenta um resumo contendo algumas características básicas da projeção Transversa de Mercator (Conforme de Gauss) bem como de algumas derivações: UTM, RTM e LTM. Neste quadro são incluídos os erros relativos nos limites dos bordos, para cada uma destas projeções, para duas latitudes (ϕ= o e ϕ=35 o ). Sistemas de projeção derivados da Projeção TM: conceitos básicos e formulação 57 Sistemas de projeção derivados da Projeção TM: conceitos básicos e formulação 58