Projeção Transversa de Mercator ou Projeção de Gauss

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1 Universidade Federal do Paraná Setor de Ciências da Terra Departamento de Geomática Curso de Engenharia Cartográfica Disciplina de Projeções Cartográficas Prof. Henrique Firkowski Subsídio para aulas teóricas e práticas: Projeção Transversa de Mercator ou Projeção de Gauss Especificação: Superfície de Referência -> Elipsóide Superfície de Projeção -> Cilindro Contato -> Tangente por linha Posição -> Transversa Geração -> Analítica Propriedade -> Conforme Para a Projeção Transversa de Mercator (TM) ou Projeção de Gauss tem-se o desenvolvimento de expressões da transformação de (ϕ, λ ) para (X, ) e também de (X, ) para (ϕ, λ ). A primeira é denominada Transformação Direta e a segunda Transformação Inversa. Desta projeção é que se obtém, por especificação, a Projeção UTM (Universal Transverse Mercator), que é adotada como projeção cartográfica do mapeamento oficial do Brasil desde 19. Além disso, outras projeções são derivadas da TM por especificação como é a UTM. O formulário apresentado a seguir é inteiramente baseado na publicação: Conformal Map Projections in Geodesy, E.J. Krakiwsky, Department of Surveying Engeneering - University of New Brunswick, 19. A seguir apresenta-se o formulário para os problemas direto e inverso. PROBLEMA DIRETO 1- Coordenadas na Projeção Transversa de Mercator ou Projeção de Gauss (X, ) = f (ϕ, λ). X Bm N = + sin ϕ + sin ϕ ( t + 9 η + η ) + sin ϕ ( 1 8t + t + η η t + η + η η t + 88η η t 19 η t ) + sin ϕ ( t + t t ).

2 = + ( 1 t + η ) + ( 18t + t + 1 1η 8η t + 1η + η η t η t ) + ( 1 9t + 19 t t ) A quantidade Bm é o comprimento de arco de elipse meridiana contado a partir do equador até o ponto de latitude ϕ, e: η = ( e ' ) ; t = tg ( ϕ ) ; e' é a segunda excentricidade. Estas expressões conduzem a valores de X e com acurácia de 1mm para pontos com afastamento de até do meridiano central, segundo o autor. - Comprimento de arco de elipse meridiana Expressão para o cálculo do comprimento de um arco de elipse meridiana definido pelos limites (ϕ 1 ; ϕ ), em que sempre ϕ 1 =. Bm = a[ Aϕ Asin(ϕ ) + Asin(ϕ ) Asin(ϕ ) + A8 sin(8ϕ )] 1 1 = A e e e e 1 1 = ( + + ) A e e e e 1 = ( + ) 18 8 A e e e 1 = ( ) 8 A e e A 1 8= e Em que a é o semi-eixo maior e e é a primeira excentricidade ao quadrado do elipsóide.

3 - Distorção de escala em função das coordenadas geodésicas m = f (ϕ, λ ). m= 1 + (1 + η ) + ( t + (1 18t + 1t ). + 1η + 1η 8t η + η 8t η t η ) Esta expressão, segundo KRAKIWSK, fornece o valor da distorção de escala para um ponto com erro de uma ou duas unidades no oitavo dígito significativo para pontos com afastamento do meridiano central de até. - Convergência meridiana em função de coordenadas geodésicas γ = f (ϕ, λ). tg γ = sinϕ [1 + (1 + t com : + η + η ) + 8 t η + η t η + 18η t '' " ρ = cos ec 1 η = ( e ' ) t = tg ϕ. (+ t η ) + (1+ t 1 + t Em que e é a segunda excentricidade ao quadrado do elipsóide. ) ] + 1η + η PROBLEMA INVERSO 1- Coordenadas elipsóidicas em função das coordenadas na Projeção Transversa de Mercator ou Projeção de Gauss (ϕ, λ) = f (X, ). ϕ = ϕ η η η 9 M N t M N t t t ( ) M N t 8 ( 1 9t + η + t η t η + 1η η t 9η t + 88η η t + 8η t 19η t ) M N t ( t t 1 t )

4 = ( 1+ t + η + + η + t ) ( 8 N N 1 N η + 8η t + t η + η t + ηt ) ( 1 + t + N 1t + t ). O valor ϕ o é o resultado obtido pelo método iterativo de Newton-Raphson aplicado à expressão do cálculo do comprimento de elipse meridiana, iniciado com ϕ i dado pela aproximação ϕ i = X / a. Todos os elementos com sub-índice zero são calculados em função da latitude ϕ o. As constantes η o e t o tem o mesmo significado daquele mostrado no problema direto. Método de Newton_Raphson ϕ = ϕ n n 1 f ( ϕ n 1) ' f ( ϕ ) n 1 1- ϕ n-1 é igual a ϕ i para a primeira iteração; - f(ϕ n-1 ) é dado por: f ( ϕ n 1) = a [ Aϕ A sin ( ϕ) + A sin ( ϕ ) A sin ( ϕ) + A8 sin ( 8ϕ )] X - f ' (ϕ n-1 ) é dado por: f ''( ϕ n 1) = a [ A A cos( ϕ) + A cos ( ϕ ) A cos ( ϕ) + 8A8 cos ( 8ϕ )] O processo iterativo é terminado quando o módulo da diferença entre os módulos dos valores de latitude entre duas iterações for menor do que ε, que pode ser de.1" dado em radianos. A latitude obtida por este processo iterativo é denominada latitude do pé da normal a X por P, ou foot point latitude. - Distorção de escala em função das coordenadas (X, ). m = 1 + ( 1 + η t t + ) ( η η η η η ). N N N - Convergência meridiana em função das coordenadas (X, ). tg N t N t γ η η N t = + + η + η + η t + η + η t ( 1 ) ( ηt + 11η ηt ) N t 1.

5 Projeção UTM (Universal Transverse Mercator) Esta projeção é derivada da Projeção Transversa de Mercator - TM por especificação. 1- Representação transversa de Mercator com fusos de de amplitude; - Numeração dos fusos em concordância com a Carta Internaciopnal do Mundo ao Milionésimo (primeiro fuso 18-1 Oeste, e último fuso 1 Leste - 18 ); - Meridianos centrais com longitudes múltiplas de iniciando em 1 Oeste; - Distorção de escala igual a,999 no meridiano central do fuso; - Limitação em latitude a 8 Norte e 8 Sul. - Norte Falso para pontos do Hemisfério Sul igual a 1..m; - Este Falso igual a. m; 8- Coordenadas Norte e Este: Norte = N = X TM * m ( para pontos do H.S.) Norte = N = X TM *.999 ( para pontos do H.N.) Este = E = TM * m X TM e TM são coordenadas na projeção TM. A distorção de escala (m) na Projeção UTM é dada por m UTM = m TM *.999 A convergência meridiana (γ) para ambas as projeções cartográficas, TM e UTM, é a mesma visto que ambas as coordenadas (X, ) são multiplicadas pelo mesmo valor.999, o que não altera a forma. Assim γ UTM = γ TM. Outras Projeções Baseadas na Projeção TM 1- LTM Local Transverse Mercator - fusos de 1 de amplitude - meridianos centrais a cada ' - distorção de escala sobre o MC igual a coordenadas N = X TM * m E = TM * m - RTM Regional Transverse Mercator

6 - fusos de de amplitude - meridianos centrais nas longitudes ímpares - distorção de escala sobre o MC igual a coordenadas N = X TM * m E = TM * m - Gauss-Kruger - fusos de de amplitude - meridianos centrais múltiplos de - distorção de escala sobre o MC igual a 1 - coordenadas N = X TM +.. m E = TM +. m - Gauss-Tardi - fusos de de amplitude - meridianos centrais múltiplos de - distorção de escala sobre o MC igual a coordenadas N = X TM * m E = TM * m H.Firkowski Nov/99 Atualizado em jan/