CPV O Cursinho que Mais Aprova na GV

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1 CPV O Cursinho que Mais Aprova na GV FGV ADM 0/junho/01 matemática aplicada Todos os dados necessários para resolver as dez questões, você encontra neste texto. Um funcionário do setor de planejamento de uma distribuidora de materiais escolares verifica que as lojas dos seus três clientes mais importantes estão localizadas nos pontos A(0,0), B(6,0) e C(,4). 01. Determine a quantos quilômetros da Loja A deverá ser instalado o depósito da distribuidora de materiais escolares. Aproxime a resposta para um número inteiro de quilômetros. y Todas as unidades são dadas em quilômetros. 4 C (; 4) O setor de planejamento decidiu instalar um depósito no ponto P(x, y), de modo que as distâncias entre o depósito e as três lojas sejam iguais: PA = PB = PC. Uma pesquisa feita na Loja A estima que a quantidade de certo tipo de lapiseiras vendidas varia linearmente, de acordo com o preço de cada uma. O mesmo ocorre com o preço unitário de determinado tipo de agenda escolar e a quantidade vendida. Preço de uma lapiseira Quantidade Preço de uma agenda Quantidade R$ 10, R$ 4,00 00 R$ 15,00 0 R$ 1,50 70 R$ 0,00 60 R$ 0, A Loja B monta dois tipos de estojos de madeira fechados. Um tipo, com 4 lápis de cor em cada estojo, é uma caixa que tem a forma de um paralelepípedo retângulo de base quadrada, de 16 cm de lado e volume igual a 576 cm³. O outro tipo, com 1 lápis de cor em cada estojo, tem a forma de um cubo, e o seu custo de fabricação é ¾ do custo de fabricação do primeiro estojo. A O ponto P é o circuncentro do triângulo isósceles ABC. O triângulo APM, temos: (4 b) = b + Þ 16 b + b = b + 9 Þ b = 7 4 b Logo, PA = 4 b = b P b M 5 B 6 Portanto, o depósito deve ser instalado a km da loja A. x Para o lojista, o custo de fabricação de cada estojo, independente de sua forma, é R$ 0,10 o centímetro quadrado. A Loja C, a menor de todas, trabalha somente com três funcionários: Alberto, Beatriz e Carla. A soma dos salários mensais dos três, em dezembro de 011, era de R$ 5 000,00. CPV fgv1junadm 1

2 FGV 0/06/011 CPV o Cursinho que Mais Aprova na GV 0. As rodovias entre o local onde vai ser instalado o depósito e as três cidades e entre as três cidades entre si são razoavelmente planas e estão em boas condições. Todas as rodovias podem ser consideradas como segmentos de retas que unem os pontos A, B e C e o ponto onde deve ser instalado o depósito. a) Semanalmente, um caminhão de entregas deve sair do ponto P o depósito, passar pelas três lojas e retornar ao ponto P. Quantos percursos diferentes o caminhão pode fazer? 0. Sejam a, b e c as medidas dos ângulos internos de vértices A, B e C, respectivamente, do triângulo ABC. a) Calcule o valor de tg (a). b) Qual é o valor da soma cos (a b ) + cos c? C (; 4) b) Pensando em termos de economia de combustível, que percurso (ou percursos) ele deve escolher? a) Considerando que o caminhão deve sair do ponto P e somente retornar a esse ponto no final do percurso, ele pode fazer os seguintes percursos: PABCP, PACBP, PBCAP, PBACP, PCABP e PCBAP. O caminhão pode fazer 6 caminhos diferentes. b) Para economizar combustível, o caminhão deve evitar o lado AB, de medida 6 km. Ele deve, portanto, optar pelos caminhos PACBP ou PBCAP. A (0; 0) a) tg a = 4 a tga Þ tg (a) = = 1 tg a Portanto, tg (a) vale = 4 7 b) Como o DABC, em que a = b, é isósceles, temos: cos (a b) = cos 0 = 1 6 B (6; 0) Assim cos ( a b) + cos c = 1 + cos c = 0 = 1 + cos c sen c = 1 + cos c 1 = cos c 1 - cos c Pela Lei dos Cossenos, temos: 6 = cos c Þ cos c = 7 5 Portanto, a soma cos (a b) + cos c = cos c = CPV fgv1junadm

3 CPV o Cursinho que Mais Aprova na GV FGV 0/06/ A Céus Company é uma escola de paraquedismo que dá aulas práticas nessa região. Os alunos saltam em queda livre e podem cair, ao acaso, em qualquer ponto do interior da circunferência que passa pelos pontos A, B e C. Qual é a probabilidade de um aluno saltar em queda livre e aterrissar no interior do triângulo ABC? Use a aproximação p = e escreva a resposta na forma decimal aproximada, com duas casas decimais. Do enunciado, podemos montar a figura a seguir, em que o raio da circunferência é 5, conforme se calculou na questão 01. (; 4) 05. a) Na semana de volta às aulas, o dono da Loja A pretende maximizar a sua receita com a venda das lapiseiras e agendas escolares. Por qual preço ele deve vender cada lapiseira e cada agenda, de modo a obter, no total, a maior receita possível com a venda dos dois artigos? Lembre-se de que a receita é o produto do preço unitário pela quantidade vendida. b) Qual é o valor da receita máxima com a venda dos dois produtos? a) Como a quantidade vendida varia linearmente de acordo com o preço, podemos montar uma função do 1 o grau y = ax + b e utilizar dois dos três pontos dados. Para as lapiseiras, temos: = 10 + a b a = 4 e b = 140 y = 4x = 15a + b (0; 0) (6; 0) Logo, a receita é: R L (x) = ( 4x + 140). x = 4x + 140x A receita será máxima para: Como os alunos podem cair em qualquer lugar da circunferência, a probabilidade é: x V = - b a Þ x V = Þ x V = 17,5 P = área do triângulo área da circunferência = 6. 4 = 5 π. 56 0,41 Para as agendas escolares, temos: 00 = a b a = e b = 60 y = x = 0a + b Portanto, a probabilidade de um aluno saltar e aterrissar no interior do triângulo é 0,41. Logo, a receita é: R A (x) = 0 x x = - 0 x + 60x A receita será máxima para: x V = - b a Þ - 60 Þ x 40 v = 7 - Portanto, as lapiseiras devem ser vendidas por R$ 17,50 e as agendas, por R$ 7,00. b) Substituindo os valores de x encontrados em a, temos: R L (17,5) = 4. (17,5) (17,5) = 1.5 R A (7) = - 0. (7) = 4.60 Portanto, a receita máxima com a venda dos dois produtos será de R$ 6.05,00 fgv1junadm CPV

4 4 FGV 0/06/011 CPV o Cursinho que Mais Aprova na GV 06. O custo de cada lapiseira para o lojista é de R$ 5,00. a) Faça um esboço do gráfico do lucro y em função da quantidade vendida x. b) Qual é o preço de cada lapiseira que maximiza o lucro do lojista? c) Quantas lapiseiras, no máximo, devem ser vendidas para o lojista obter algum tipo de lucro (positivo)? Da função de demanda da questão anterior: q = x = quantidade dedemanda q = 4p + 140, em que p = preço Obtemos a função de demanda inversa: b) A quantidade x V = 60 maximiza a receita. Na função de demanda inversa: p(q) = q + 5 p(60) = = 0 Portanto, o preço de cada lapiseira que maximiza a receita é R$ 0,00. c) Do gráfico do item A: L(x) q = 4p Þ 4p = q Þ p = q + 5 Para a equação do lucro, precisaremos de: custo total: Cx ( ) = 5. q receita total: R( x) = p q = 1.. q + 5. q Fazendo a diferença: L(q) = 1. q + 5. q 5q L(q) = 1 + = 1. q 0. q ou Lx ( ). x + 0. x a) A função L(x) é uma parábola com concavidade voltada para cima, cujas raízes são: x + 0 = 0 Þ x 1 = 10 L(x) = 0 Þ 1. x + 0. x = 0 x = 0 Þ x = 0 Como x V = 60; y V = L(x) = 750 x 1 = 0 x = 10 x O lucro é positivo para 0 < x < 10. Portanto, a máxima quantidade a ser vendida, para o lojista obter algum tipo de lucro, é 119. Portanto, teremos o seguinte gráfico: L(x) 750 x 1 = 0 x V = 60 x = 10 x CPV fgv1junadm

5 CPV o Cursinho que Mais Aprova na GV FGV 0/06/ Qual é o custo, para a Loja B, da fabricação de cada estojo de madeira com 4 lápis de cor? Sendo h a altura do estojo de madeira, temos: 16. h = 576 Þ h =,5 cm Portanto, o custo de cada estojo é dado por: ( ,5). 0,10 = 65,6 O custo, para a loja B, da fabricação de cada estojo de madeira com 4 lápis de cor é de R$ 65, Qual é o volume de cada estojo com 1 lápis de cor? Aproxime a medida de cada aresta do estojo para o inteiro mais próximo. Se o custo de fabricação do estojo com 4 lápis é R$ 65,60 (valor obtido na questão 7), o custo de fabricação do estojo com 1 lápis é: C =. 65,6 = R$ 49,0. 4 Como o custo por centímetro quadrado é R$ 0,10, temos: 6. l. 0,1 = 49, (l é a aresta do cubo) l = Þ 9 cm 09. Em janeiro de 01, a Loja C deu um aumento de 0% para cada um dos seus três funcionários e contratou um novo funcionário: Deto. Assim, se somarmos os novos salários mensais de Beatriz, Carla e Deto, obteremos R$ 5 700,00; somando os de Alberto, Carla e Deto, R$ 5 100,00, e os de Deto, Alberto e Beatriz, teremos R$ 900,00. Qual era o salário mensal de cada um em janeiro de 01? Com o aumento de 0% dos salários de Alberto, Beatriz e Carla, a soma dos novos salários mensais passou a ser 1, = Montando o sistema proposto no enunciado, temos: A + B + C = B + C + D = A + C + D = A + B + D =.900 Somando as equações, temos: (A + B + C + D) = Þ A + B + C + D = Þ A = 1.00, B = 1.00, C =.000 e D = 900 Portanto, o salário de Alberto era R$ 1.00,00; Beatriz era R$ 1.00,00; Carla era R$.000,00 e Deto era R$ 900,00. Logo, o volume de cada estojo com 1 lápis é dado por: V = l = 9 = 79 cm O volume de cada estojo com 1 lápis de cor é 79 cm. fgv1junadm CPV

6 6 FGV 0/06/011 CPV o Cursinho que Mais Aprova na GV 10. Em fevereiro de 01, o salário de Deto passou a ser de R$ 1 000,00. A partir de março, o seu salário foi reajustado, todos os meses, em 10% sobre o valor do mês anterior. Quanto Deto receberá, no total, de março a dezembro de 01? Se necessário, use os dados desta tabela. log 0,0 log 0,4 log 5 0,70 log 7 0,5 log 11 1, ,1 1,6 10 0, 1,5 10 0,, ,4, ,5, ,6,9 Do enunciado, temos os valores dos salários de cada um dos meses: Março: ,1 Abril: ,1 Maio: ,1. Dezembro: ,1 10 Portanto, o total recebido durante esses meses é a soma dessa PG: ,.( 11, 1) S 10 = 11, 1 Utilizando os valores dados na tabela para calcular 1,1 10, temos: log 11 = 1,04 Þ 10 1,04 = 11 Þ 1,1 = , = = ,04 Assim, 1,1 10 = (10 0,04 ) 10 = 10 0,4 =,51 PG com 10 termos, em que a 1 = ,1 e q = 1, ,.( 51, 1) Logo, S 10 = = , 1 Portanto, Deto receberá, no total, de março a dezembro de 01, R$ Comentário do CPV da Prova de Matemática Aplicada Após nosso contato com essa nova proposta de prova, é natural estabelecermos um paralelo com provas recentes da FGV/Adm. Nossa primeira impressão é de que houve uma acentuada ruptura com o modelo anterior. Na prova FGV/Adm dezembro de 011, por exemplo, uma característica que elogiamos foi a preocupação da Banca em contextualizar as questões para situações típicas de Administração e Economia, antecipando um bem-vindo e adequado contato com tópicos com que o futuro aluno se defrontaria, no início do curso de Graduação. A prova de junho/01 sugere uma mudança de Banca, ou ao menos de filosofia da Banca, na formulação das questões propostas. Em nossa opinião, houve ênfase exagerada quanto à tematização da prova, no sentido de alinhar os contextos em um mesmo enredo. Seria essa mudança realmente necessária? Acreditamos que a proposta anterior já era funcional, ao focar em questões contextualizadas. Nossas ressalvas quanto a esse novo modelo residem nos seguintes aspectos: limitou a possibilidade de cobrir assuntos de forma criativa e privilegia as habilidades meramente operacionais, em detrimento de domínio conceitual; gerou situações forçadamente artificiais, como ocorreu com a elaboração da questão sobre Probabilidades, em prol de uma preocupação questionável com o enredo; gerou insegurança quanto ao critério que será adotado pela Banca na hora da correção, pois algumas questões exigiam, para sua resolução, resultados, dados ou informações obtidos da resolução de questões anteriores; caso o aluno resolva uma questão corretamente do ponto de vista do procedimento, mas chegue a um cálculo errôneo, partirá desse resultado errôneo produzido em uma questão anterior, e obterá novo resultado errado. Ele será duplamente penalizado? Esse alinhamento entre questões diferentes pode criar um perverso efeito dominó; em qualquer situação, esperamos coerência quanto aos critérios acionados pela Banca; quanto às aproximações de resultados de cálculos, autorizadas em alguns enunciados, em algumas situações, não fica claro se essas aproximações deveriam ser importadas para as próximas questões, o que certamente causou confusão, pois um candidato poderia obter resultados substancialmente diferentes caso optasse por esse ou por aquele critério de arredondamento; mais uma vez, esperamos por coerência da Banca na correção. Finalmente, questionamos a opção por exigir algumas contas que consomem tempo do aluno, em prejuízo de outras habilidades cuja prevalência seria útil em futuros alunos de Graduação. CPV fgv1junadm