CPV 82% de aprovação na ESPM em 2010

Transcrição

1 CPV 8% de aprovação na ESPM em 00 Prova esolvida ESPM Prova E /novembro/0 MATEMÁTICA. etirando-se o maior número do conjunto {; 7; 9; 4; ; }, a média aritmética dos seus elementos diminui unidade. O produto dos valores que pode assumir é igual a:. A figura em destaque representa o gráfico da função y = f (). a) 8 b) 6 c) 67 d) 7 e) 79 Considerando o como o maior número do conjunto, temos: = 6 Assinale a alternativa que melhor se aproima do gráfico da função y = f( ). a) Þ = Podemos, ainda, considerar a situação em que o é o maior número do conjunto, e assim temos: = 6 Þ = 67 b) O produto dos valores que pode assumir é. 67 = 67 Alternativa C c) CPV ESPMNOV0

2 ESPM //0 CPV especializado na ESPM d) 4. Para Î N e >, a epressão equivalente a: ( )!.! ( ) +!.! ( ) é a) b) ( )! c) ( )! d) e) Como n! = n. (n )!, temos: e) ( )!! ( ) +!! ( ) = ( ) ( ) ( ) +.!.!!..! ( ) = ( )( ) = + = + + = O gráfico de y = f ( ) é deslocado em uma unidade para a direita em relação ao gráfico de y = f (). Alternativa B. Adriane e Ariadne são permutações de um mesmo nome. A quantidade de inversões de letras que ocorreram de um nome para o outro é igual a: a) b) c) 4 d) e) 6 Adriane Ardiane ( trocando De) Ardiane ( trocando DeI) Aridane Alternativa E. Considere a operacao ϕ(n) que consiste em tomar um número n que está no visor de uma calculadora, somá-lo com e dividir o resultado por, aparecendo um novo número no visor. Após certo número de vezes que essa operação é repetida, nota-se que o número que aparece no visor não mais se altera, isto é, ϕ(n) = n. Esse número é: a) b) c) d) 7 e) Pelo enunciado, temos: ϕ (n) = n + \ ϕ (n) = n Þ n + = n Þ n = Alternativa A Aridane ( trocando DeA) Ariadne Portanto, são necessárias permutações. Alternativa B CPV ESPMNOV0

3 CPV especializado na ESPM ESPM //0 6. A rotação de um ponto P(,y) do plano cartesiano em torno da origem é um outro ponto P' (',y'), obtido pela equação matricial: ' cos sen y' = α α sen α cosα. y onde α é o angulo de rotação, no sentido anti-horário. Desse modo, se P = ( P' serão:, ) e α = 60 o, as coordenadas de 7. A figura abaio mostra o paralelogramo BMNP inscrito no triângulo retângulo ABC, em que AB = cm e BC = cm. Sabe-se que o paralelogramo tem área máima quando M é ponto médio de BC. Então, a maior área que o paralelogramo pode ter é igual a: a) cm b) 8 cm c) cm d) 7, cm e) 9 cm a) (, ) b) (, ) c) (0, ) d) (0, ) e) (, ) cos sen y = α α sen cos α α y =.cos y. sen α α y =. senα + y.cosα Observe figura abaio: P H M N Sendo M ponto médio de BC e sendo AB // MN, temos: h α P = ( )= ( y ) Para ; ;, temos: α = 60 =. cos 60. sen 60 =. -. = = = 0 y =. sen cos 60 =. +. = Portanto, P = (0; ) = + = Alternativa D Δ ABC ~ Δ NMC Þ Como o Δ ABC é retângulo em A, temos:. =. H Þ H = 60 Assim, h = H e igual a BM. h = BC H H H = = h = MC h h 0 = e a área do paralelogramo BMNP é máima 0. = cm Alternativa C ESPMNOV0 CPV

4 4 ESPM //0 CPV especializado na ESPM 8. A figura mostra um quadrado, dois círculos claros de raios e dois círculos escuros de raios r, tangentes entre si e aos lados do quadrado. A razão entre e r é igual a: a) b) c) d) e) 9. A sequência (, 4, y, z) é uma progressão geométrica e (, y, z ) é uma progressão aritmética, com y < 0. O valor de z é: a) b) c) 6 d) 8 e) 4 Temos : (; 4; y; z) = ( 4 q ; 4; 4q; 4q ) e (; y; z ) = ( 4 q ; 4q; 4q ) Da P.A., temos: 4 q + 4q =. 4q Þ 4q 8q q + 4 = 0 Þ A B C 4 de onde obtemos q = ou q = Þ 4q (q ) (q ) = 0 Þ Þ (q ).. (q ) = 0 ou q =. Como y < 0, a razão é negativa, ou seja, q =. Pela figura, temos que o lado do quadrado é igual a 4. Assim, no ΔABC: ( + r) = + ( r) Þ r = A B + r r C Alternativa C Daí, z = 4q = 4. = Alternativa A CPV ESPMNOV0

5 CPV especializado na ESPM ESPM //0 0. Ligando as cidades A e B eistem somente estradas distintas que não se cruzam e nem se ligam de maneira alguma. Uma dessas estradas atravessa uma ponte de madeira e a outra atravessa pontes sucessivas, também de madeira. Acontece que a região foi acometida por grandes enchentes e a probabilidade de cada uma dessas pontes estar em condições de travessia é de 0%. Se um viajante deseja ir de carro de A até B nessa época de enchentes, a probabilidade de ele conseguir o seu intento é de: a) % b) 4,% c) 7,% d) 60% e) 6,% Considerando que o viajante comece pela primeira estrada: A falha não falha Caso falhe a primeira estrada, ele ainda pode voltar e tentar a segunda estrada:. Apenas 40% dos hóspedes de um hotel de São Paulo são estrangeiros, sendo que 70% deles são ingleses e os demais, franceses. Sabe-se que % dos franceses e 0% dos ingleses falam Português. Escolhendo-se, ao acaso, um dos hóspedes desse hotel, a probabilidade de que ele fale Português é: a) 6% b) 7% c) 68% d) 77% e) 8% O enunciado permite montar o seguinte diagrama: Brasileiros % falam Português 60% Hóspedes 0% Franceses Não falam português 7% 40% Estrangeiros 0% Falam português 70% Ingleses 0% Não falam português O percentual de pessoas que falam Português é dado por: n = 0,6+ 0,4. 0,. 0, + 0,4. 0,7. 0, = 0,77 A probabilidade de se escolher algum hóspede que fale português é de 77%. Alternativa D A falha não falha falha não falha A probabilidade de o viajante chegar em B é: P = +.. = 6, % Alternativa E ESPMNOV0 CPV

6 6 ESPM //0 CPV especializado na ESPM. Seja C a região do plano cartesiano definida pela desigualdade ( ) + (y ) 4 e seja P a região definida por ou y. A área da região intersecção entre C e P é: a) π b) π c) π d) 4π e) π A figura a seguir representa todos os pontos da região C, isto é, os pontos (; y), tais que ( ) + (y ) 4: y. Sendo e y números reais e ( + y) + ( y + 8) = 0, o valor de y é: a) 9 b) 8 c) 8 d) 9 e) 8 Como ( + y) e ( y + 8) são não-negativos, a soma desses dois números só pode dar 0 (zero) se, e somente se: A figura a seguir representa todos os pontos da região P, isto é, os pontos (; y), tais que ou y : y + y= 0 = y + 8= 0 y = Dessa forma, y = = 9. Alternativa A 4. Dois copos cilíndricos têm o mesmo volume. Seus diâmetros internos medem 6cm e 8cm, respectivamente. Se a soma das suas alturas é igual a 4cm, a diferença entre elas é de: a),4 cm b) 8, cm c),78 cm d) 7,66 cm e) 6,7 cm A intersecção das regiões C e P é dada por: y Sejam V, = cm e H o volume, o raio e a altura do primeiro cilindro, respectivamente. De forma análoga, sejam V, = 4 cm e H o volume, o raio e a altura do segundo cilindro. Logo, temos: V = V H H H = 4 π.. π.. = 6, cm H + H = 4 H + H = 4 H = 864, cm A área dessa região é 4. π. = π Alternativa C Assim, H H = 6,7 cm Alternativa E CPV ESPMNOV0

7 CPV especializado na ESPM ESPM //0 7. Carlinhos possui certa quantidade de bolinhas de gude e algumas latinhas onde guardá-las. Ao colocar 4 bolinhas em cada lata, sobraram bolinhas; mas, quando colocou bolinhas em cada lata, a última ficou com apenas bolinhas. Podemos afirmar que todas as latas ficariam com o mesmo número de bolinhas se ele tivesse: a) 6 bolinhas b) 4 bolinhas c) 49 bolinhas d) bolinhas e) 6 bolinhas Sejam n e L as quantidades de bolinhas de gude e de latinhas que Carlinhos possui. 6. A figura abaio mostra o gráfico da função f () =. A área da região sombreada, formada por retângulos, é igual a: a),0 b), c) 4,0 d) 4, e),0 Observe as informações incluídas na figura a seguir: De acordo com o enunciado, temos: n = L + n 4 = n = L L = Assim, podemos afirmar que todas as latas ficariam com o mesmo número de bolinhas se n fosse múltiplo de L =. Dentre as alternativas, o único número múltiplo de é. Alternativa D Note que: A A A 0 as alturas dos retângulos medem, 0 e, respeitando-se a função y = ; as bases do retângulo são unitárias. Assim, A + A + A =. / =, Alternativa B ESPMNOV0 CPV

8 8 ESPM //0 CPV especializado na ESPM 7. O domínio da função real f () = log ( 4 + ) é dado por: a) ], [ È ], + [ b) ], 0[ È ], + [ c) ], [ È ], + [ d) ]0, [ È ], + [ e) ], [ O domínio da função real f () = log ( 4 + ) é dado por: 4 + > 0 < ou > > 0 Þ > 0 Þ 0 < < Þ ou > Assim, D f = ] 0; [ È ], + [ Alternativa D 8. A parábola de equação y = + intercepta a reta de equação y = + 4 nos pontos A e B. O comprimento do segmento AB é igual a: a) 4 b) c) d) 4 e) 9. A figura abaio mostra uma série de painéis formados por uma faia de ladrilhos claros envoltos em uma moldura de ladrilhos escuros. Num desses painéis, o número de ladrilhos escuros ecede o número de ladrilhos claros em 0 unidades. A quantidade total de ladrilhos desse painel é igual a: a) 6 b) 7 c) 6 d) 4 e) 8 Na sequência dada, observamos que a quantidade de ladrilhos brancos é uma P.A. cujo primeiro termo é a = e a razão é r =. A quantidade de ladrilhos escuros é outra P.A. cujo primeiro termo é b = 8 e a razão é r =. Podemos, então, escrever: b n a n = (n ). n = 0 Þ n = 44 A quantidade total de ladrilhos do painel será: b 44 + a 44 = 8 + (44 ) = 8 Alternativa E Para encontrarmos os pontos de intersecção entre a parábola y = + e a reta y = + 4, devemos resolver o sistema: y = + y = + 4 de onde obtemos = e y = 7 ou = e y =. Assim, a distância AB entre os ponto é: AB = ( ( )) + (7 ) = AB = 4 Alternativa A CPV ESPMNOV0

9 CPV especializado na ESPM ESPM // A figura abaio representa um paralelepípedo reto-retângulo de medidas AF = 4, FC = e CE =, sendo B o ponto médio de DE. O perímetro do triângulo ABC é igual a: a) b) 4 c) d) e) COMENTÁIO DO CPV A prova de Matemática do processo seletivo da ESPM novembro de 0 mostra uma evolução constante quanto à sua qualidade. Com questões criativas, bem redigidas, claras e objetivas, procura eplorar a capacidade de interpretação do candidato e abrange o conteúdo adequado para uma boa graduação. Parabenizamos novamente a Banca Eaminadora e torcemos para que o processo de melhorias no vestibular continue por muitos anos. G 4 No ΔAGD: AD = () + ( ) Þ AD = No ΔADB: AB = AD + () Þ AB = No ΔAFC: AC = () + (4) Þ AC = No ΔBCE: BC = () + ( ) Þ BC = 4 Portanto, o perímetro do ΔABC é = 4 Alternativa B ESPMNOV0 CPV