Representação Digital de Informação

Transcrição

1 Representação Digital de Informação Bases de Numeração e Representação de Números Operações Aritméticas 2 1

2 Representação de números em sistemas digitais Que significa 435? Isto é 435 é um número com 4 centenas, 3 dezenas e 5 unidades. 3 Se reparamos que pode-se obter algo mais regular: Número Algarismos Base Pesos 4 2

3 Em geral um número x pode ser representado numa base b qualquer como: em que p i são os sucessivos algarismos do número e as potências b i os pesos associados a cada algarismo. x b é a forma de indicar que o número x está representado em base b. 5 Exemplo: Repare-se que: os algarismos de uma base b são 0 a b-1 no exemplo os cálculos foram feitos (sem isso ter sido indicado) em base 10 porque é aquela com que sabemos trabalhar 6 3

4 Mudança de representação em base b para base 10 O exemplo anterior mostra como se procede. Mudança de representação em base 10 para uma base b. Pode actuar-se do mesmo modo fazendo os cálculos na base b. Experimentem após a próxima aula. É mais fácil recorrer a um algoritmo que funcione na nossa velha e boa base 10: Divisão sucessiva do número pela base. 7 Como obter, por exemplo, a representação em base 6 do número 124 em base 10? Dividindo o número por 6 (a base) obtém-se: Resto logo Divisão inteira por 6 8 4

5 Portanto, agora conclui-se que E, portanto, dividindo 20 por 6, o resto dará p 1. Daqui é fácil obter e, portanto: 9 Importância da base 2 A base 2 tem 2 algarismos (ou bits), 0 e

6 Números em base 2 Exemplo: ou b (b de binário) Conversão de um número em base 2 (ou em binário) para base Passagem de base 10 para base 2: Método da divisão sucessiva com recuperação dos restos Exemplo:

7 Números fraccionários Base 10: Mais geralmente em base b: 13 Exemplo: 0, Arredondamento: Como a precisão inicial é de 7 algarismos binários, 1 em 2 7, isto é 1 em 128, a precisão final não pode exceder esta. Por isso usaremos dois algarismos decimais ( 1 em 100) 14 7

8 Exemplo: 0, Pretende-se obter os algarismos Multiplique-se por 2 (a base): Repetindo o processo 15 Decimal x2 Binário 0,627 1, ,254 0, ,508 1, ,016 0, ,032 0, ,064 0, ,128 0, ,256 0, ,512 1, ,024 0, , = 0,

9 A conversão entre bases que são uma potência uma da outra é mais fácil Exemplo: Base 2 e 16. Pense-se, então na base 16. Os 16 algarismos são: 0, 1, 2, 3,, 8, 9, A, B, C, D, E, F Em que A = 10 10, B = 11 10, e F = Exemplo: A25D 16 ou A25Dh. 17 A representação de números em base 2 com muitos algarismos é confusa. Exemplo: b É claro que seria interessante representar o número em base 10 que seria muito mais curta. Só que é difícil e perde-se a estrutura binária do número. Mas a passagem para base 16 é muito fácil e resolve este problema. 18 9

10 Exemplo: b Considere-se a equivalência entre grupos de quatro algarismos em base 2 e um em base 10 O número acima vem então B75h Porque é que isto funciona assim? 19 Partindo do número inicial, vem: Manipulando em grupos de quatro bits: Mas 2 0 = 16 0 ; 2 4 = 16 1 ; 2 8 = 16 2 ; Portanto, Ou 20 10

11 Isto funciona com qualquer base potência de 2 e para números positivos e negativos: Exemplo: ,110101b Base 16: Grupos de 4 bits a partir da vírgula: , B 9, D 4 Base 8: Grupos de 3 bits a partir da vírgula: , , Livro de texto: Secção 1.1 Há imensos livros que abordam estas questões com maior ou menor profundidade. Há muitos pequenos applets para conversão de bases na Internet