Matemática e suas Tecnologias

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1 Matemática e suas Tecnologias

2 Olá, amigos! Já estamos no nosso º fascículo de Matemática e suas Tecnologias. Até aqui, você já deve ter percebido como é possível simplificarmos a maneira de resolução das questões dessa área de conhecimento. O grande segredo para o bom desempenho já está desvendado: leitura minuciosa e interpretação adequada dos enunciados, gráficos, tabelas e figuras. Isso não quer dizer que o conhecimento sobre regras, fórmulas, teoremas deixe de ser fundamental; pelo contrário! A questão é: de que adianta aprender tudo isso e não saber quando e como aplicar? Estamos nos empenhando em não só resolver questões, mas em responder esta pergunta de maneira clara e objetiva. Gostaríamos de ressaltar que a cada vez que vocês receberem estes fascículos, é interessante que antes de ler os comentários, dicas e resolução de cada questão, vocês tentem resolvê-los e posteriormente confiram os procedimentos e resultados. No fascículo de hoje, resolveremos os dois desafios do fascículo anterior, trabalharemos questões associadas a conhecimentos numéricos, geométricos e de estatística, e como sempre, lançaremos mais dois desafios para vocês, cujas respostas estarão no nosso próximo fascículo. Aproveitem bem! O autor. INTRODUÇÃO Na figura anterior, que representa o projeto de uma escada com 5 degraus de mesma altura, o comprimento total do corrimão é igual a A) 1,8 m. B) 1,9 m. C) 2,0 m. D) 2,1 m. E) 2,2 m. Comentário: Sempre lembramos vocês de analisar a questão como um todo. Neste caso, é importante que vocês percebam, dentre outras coisas, a figura geométrica que foi formada e que os dados da mesma foram dados em cm, enquanto nas respostas as opções estão em m. Além disso, é muito importante que vocês façam uma leitura bem detalhada da ilustração e descubram, por exemplo, que o corrimão não é formado apenas pela parte inclinada, mas também por duas partes horizontais de 30 cm cada. Dica: Para resolver essa questão, vocês precisarão utilizar conhecimentos geométricos sobre as relações métricas de um triângulo retângulo e sobre transformação de unidades de medidas. Percebam que na ilustração, a figura formada foi a de um triângulo retângulo. Os elementos de um triângulo retângulo são a hipotenusa (lado oposto ao ângulo reto) e os catetos (lados que formam o ângulo reto) e se relacionam de tal maneira que fizeram surgir o Teorema de Pitágoras: (hip) 2 = (cat) 2 + (cat) 2 RESOLUÇÃO DAS QUESTÕES-DESAFIO DO FASCÍCULO ANTERIOR 01) (ENEM 2006 QUESTÃO 62) cateto ângulo reto hipotenusa 30 cm cateto corrimão 30 cm No tocante às unidades de medidas, é sempre bom lembrar que 100 cm correspondem a 1 m. Resolução: Analisando a figura, verificamos um triângulo retângulo cuja medida de parte do corrimão, corresponde a uma hipotenusa e que os cinco degraus juntos formam um dos catetos. Dessa forma, a figura ficaria assim: 2

3 Matemática e suas Tecnologias Matemática e suas Tecnologias 30 cm O cateto de 120 cm ficaria com essa medida por ser equivalente aos 5 degraus vezes os de cada um. Aplicando o Teorema de Pitágoras, teríamos: x 2 = (90) 2 + (120) 2 x 2 = x 2 = x = x = 150 x 120 cm 30 cm Para sabermos a medida total do corrimão, devemos somar o valor de x que foi encontrado com as outras duas partes de 30 cm. 02) (ENEM 2003 QUESTÃO 15) O tabagismo (vício do fumo) é responsável por uma grande quantidade de doenças e mortes prematuras na atualidade. O Instituto Nacional do Câncer divulgou que 90% dos casos diagnosticados de câncer de pulmão e 80% dos casos diagnosticados de enfisema pulmonar estão associados ao consumo de tabaco. Paralelamente, foram mostrados os resultados de uma pesquisa realizada em um grupo de 2000 pessoas com doenças de pulmão, das quais 1500 são casos diagnosticados de câncer, e 500 são casos diagnosticados de enfisema. Com base nessas informações, pode-se estimar que o número de fumantes desse grupo de 2000 pessoas é, aproximadamente: A) 70 B) 1100 C) 1310 D) 1620 E) 1750 Comentário: Vocês já devem ter percebido, mas é sempre bom reforçar, que as questões do ENEM apresentam na maioria das suas questões problemas reais e atualizados. Por isso, sempre que vocês ouvirem ou lerem dados como estes daqui para frente, é importante que simulem cálculos, que na sua maioria envolvem porcentagem. 30 cm x = 150 cm 30 cm Dica: Nesta questão, deveremos avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas. Para isso, vocês precisarão apenas separar os dados correspondentes a cada doença e realizar cálculos de porcentagem. Nunca é demais lembrar esse tipo de cálculo = x% de Y = Resolução: Inicialmente, separamos os dados que correspondem a cada doença = 210 cm Como a resposta deve ser em metros, devemos dividir esse valor por 100, já que 100 cm= 1 m i) Câncer de pulmão: Porcentagem de casos associados ao tabagismo segundo o Instituto Nacional do Câncer: 90% Número de casos diagnosticados na pesquisa paralela: 1500 Cruzando os dados da pesquisa: 90% de 1500 = Portanto, o item correto é o item D. Ou seja, dos 1500 casos de câncer de pulmão, 1350 estariam associados ao tabagismo. 3

4 ii) Enfisema pulmonar Porcentagem de casos associados ao tabagismo segundo o Instituto Nacional do Câncer: 80% Número de casos diagnosticados na pesquisa paralela: 500 Cruzando os dados da pesquisa: 80% de 500 = Ou seja, dos 500 casos de enfisema pulmonar, 00 estariam associados ao tabagismo. Logo, o número de fumantes desse grupo de 2000 pessoas é = 1750 Portanto, o item correto é o item E. QUESTÕES Texto para as questões 01 e 02 A população mundial está ficando mais velha, os índices de natalidade diminuíram e a expectativa de vida aumentou. No gráfico seguinte, são apresentados dados obtidos por pesquisa realizada pela Organização das Nações Unidas (ONU) a respeito da quantidade de pessoas com 60 anos ou mais em todo o mundo. Os números da coluna da direita representam as faixas percentuais. Por exemplo, em 1950 havia 95 milhões de pessoas com 60 anos ou mais nos países desenvolvidos, número entre 10% e 15% da população total nos países desenvolvidos. 01) (ENEM 2009 QUESTÃO 138) Suponha que o modelo exponencial y = 363e 0,03x, em que x = 0 corresponde ao ano 2000, x = 1 corresponde ao ano 2001, e assim sucessivamente, e que y é a população em milhões de habitantes no ano x, seja usado para estimar essa população com 60 anos ou mais de idade nos países em desenvolvimento entre 2010 e Desse modo, considerando e 0,3 = 1,35, estima-se que a população com 60 anos ou mais estará, em 2030, entre A) 90 e 510 milhões. B) 550 e 620 milhões. C) 780 e 800 milhões. D) 810 e 860 milhões. E) 870 e 910 milhões. Comentário: A questão é muito simples. Foi dada uma fórmula (y = 363e 0,03x ), onde a partir dela é possível estimar uma população. Sabendo-se o valor de x podemos substituílo na fórmula e descobrir o resultado da questão. Dica: Deveremos utilizar conhecimentos numéricos e algébricos, relacionados a propriedades das potências e valor numérico para resolvermos essa situaçãoproblema. É importante que você recorde a seguinte propriedade das potências: (A x ) y = A x.y Além disso, é importante que você utilize a dedução para determinar o valor de x. Se no ano 2000, o x=0 e em 2001, x = 1, teremos que em 2010, por exemplo, x = 10. Logo em 2030, que a questão pede, x = 30. Resolução: Sabendo que x = 30 e e 0,3 = 1,35, devemos substituir esses valores na fórmula. y = 363e 0,03x Podemos afirmar que e 0,03x = (e 0,03 ) x. Desse modo, reorganizaríamos a fórmula da seguinte maneira: y = 363. (e 0,03 ) x y = 363. (e 0,03 ) 30 y = 363. e 0,9 y = 363. (e 0,3 ) 3 y = 363. (1,35) 3 y = ,60375 y = 893, y 893 Disponível em: Acesso em: 9 jul (adaptado). Portanto, o item correto é o E.

5 Matemática e suas Tecnologias Matemática e suas Tecnologias 02) (ENEM 2009 QUESTÃO 139) Em 2050, a probabilidade de se escolher, aleatoriamente, uma pessoa com 60 anos ou mais de idade, na população dos países desenvolvidos, será um número mais próximo de A) B) C) D) E) Comentário: Essa é a típica questão que na própria leitura do texto ou do gráfico, encontramos a resposta. Relendo o texto e o gráfico, devemos atentar para o exemplo que foi dado e para os dados do gráfico. Dica: Para responder essa questão, precisaremos utilizar informações expressas no gráfico. Atente para o fato de que a linha não pontilhada corresponde aos países desenvolvidos e as linhas pontilhadas, aos países em desenvolvimento. Resolução: Analisemos o gráfico, focando a linha não pontilhada e o fato de que os números que estão à direita da tabela correspondem ao percentual. Observe que o ponto está entre 30 e 35. Como a questão trata de aproximação, podemos dizer que ficaria em torno de 32%. Como as opções estão em forma de fração, 32% =. Se simplificarmos essa fração por teremos: Portanto, o item correto é o C. 03) (ENEM 2009 QUESTÃO 179) A cisterna é um recipiente utilizado para armazenar água da chuva. Os principais critérios a serem observados para captação e armazenagem de água da chuva são: a demanda diária de água na propriedade; o índice médio de precipitação (chuva), por região, em cada período do ano; o tempo necessário para armazenagem; e a área de telhado necessária ou disponível para captação. Para fazer o cálculo do volume de uma cisterna, deve-se acrescentar um adicional relativo ao coeficiente de evaporação. Na dificuldade em se estabelecer um coeficiente confiável, a Empresa Brasileira de Pesquisa Agropecuária (EMBRAPA) sugere que sejam adicionados 10% ao volume calculado de água. Desse modo, o volume, em m 3, de uma cisterna é calculado por V c = V d N dia, em que V d = volume de demanda da água diária (m³), N dia = número de dias de armazenagem, e este resultado deve ser acrescido de 10%. Para melhorar a qualidade da água, recomenda-se que a captação seja feita somente nos telhados das edificações. Considerando que a precipitação de chuva de 1 mm sobre uma área de 1 m 2 produz 1 litro de água, pode-se calcular a área de um telhado a fim de atender a necessidade de armazenagem da seguinte maneira: área do telhado (em m 2 ) = volume da cisterna (em litros)/precipitação. Disponível em: Acesso em: 8 jun (adaptado). Para atender a uma demanda diária de litros de água, com período de armazenagem de 15 dias e precipitação média de 110 mm, o telhado, retangular, deverá ter as dimensões mínimas de A) 6 metros por 5 metros, pois assim teria uma área de 30 m 2. B) 15 metros por 20 metros, pois assim teria uma área de 300 m 2. C) 50 metros por 60 metros, pois assim teria uma área de m 2. D) 91 metros por 30 metros, pois assim teria uma área de m 2. E) 110 metros por 30 metros, pois assim teria uma área de m 2. Comentário: Este tipo de questão, por ter um enunciado longo, parece ter uma resolução bastante complexa. Porém, como dizemos insistentemente, na própria questão podemos encontrar a resposta e/ou o caminho para melhor resolvê-la. 5

6 Dica: Para resolver essa questão, devemos utilizar nosso conhecimento geométrico voltado para área e volume de figuras e conhecimentos numéricos associados a cálculos de porcentagem e operações com números naturais. Esmiuçando as diversas informações do enunciado, devemos considerar: i) V c = V d N dia Onde: V d = volume de demanda da água diária (m³) N dia = número de dias de armazenagem ii) Ao volume da cisterna devemos acrescentar 10% do valor encontrado. iii) Área do telhado (em m 2 ) = volume da cisterna (em litros)/ precipitação É válido ainda lembrar que 1m 3 = 1000 litros Resolução: A questão quer saber as dimensões mínimas do telhado retangular, ou seja, quer saber a área do telhado. De acordo com os tópicos acima, para sabermos dessa área precisamos saber V c e a precipitação. Devemos organizar os dados da questão e substituí-los nas fórmulas que foram informadas: Vc =? Vd = 2000 litros = 2m 3 Nd = 15 dias At =? Precipitação = 110 mm 0) (ENEM 2009 QUESTÃO 175) O Indicador do CadÚnico (ICadÚnico), que compõe o cálculo do Índice de Gestão Descentralizada do Programa Bolsa Família (IGD), é obtido por meio da média aritmética entre a taxa de cobertura qualificada de cadastros (TC) e a taxa de atualização de cadastros (TA), em que,,, NV é o número de cadastros domiciliares válidos no perfil do CadÚnico, NF é o número de famílias estimadas como público-alvo do CadÚnico e NA é o número de cadastros domiciliares atualizados no perfil do CadÚnico. Portaria n 18 de 27 de abril de 2006 (adaptado). Suponha que o IcadÚnico de um município específico é 0,6. Porém, dobrando NF o IcadÚnico cairá para 0,5. Se NA + NV = 3.600, então NF é igual a A) B) C) D).500. E) Comentário: Esta questão requer o máximo de concentração, já que nela será necessária, por diversas vezes, a substituição de valores em fórmulas e o domínio de operações com números racionais (frações). Dica: Nesta questão, utilizaremos conhecimento numérico associado a sistema de equações, além do que já foi citado acima, para resolvermos a situação-problema. Se o ICad é a média aritmética entre TC e TA, que por sua vez, são respectivamente, teremos: i) V c = V d N dia Vc = 2 x 15 = 30 m³ Icad = ii) Acrescentando 10%, passaria para 33 m³, já que 10% de 30 é 3. iii) Vc = 33 m³, que corresponde litros Resolução: Com base na fórmula acima, teríamos que: i) Num primeiro momento, a questão diz que o IcadÚnico de um município específico é 0,6. Logo, Portanto, o item correto é o B. 6

7 Matemática e suas Tecnologias Matemática e suas Tecnologias ii) Dobrando NF o IcadÚnico cairá para 0,5. Assim, Então, = 0,8 ou NA = 0,8 NV ou ainda NV = Sendo NV = 0, NF Desta forma, percebam que podemos formar um sistema de equações da seguinte forma: = 0, NF NA = 0,32 NF Se considerarmos que o enunciado diz ainda que NA + NV = 3.600, e conhecemos os valores de NA e NV, fazemos a seguinte substituição: 0,32 NF + 0, NF = ,72 NF = 3600 Resolvendo este sistema pelo método da adição, de modo a multiplicar a segunda equação por (-1), o novo sistema ficaria da seguinte forma: NF = ,72 NF = 5000 Portanto, o item correto é o C. 05) (ENEM 2009 QUESTÃO 151) Um grupo de 50 pessoas fez um orçamento inicial para organizar uma festa, que seria dividido entre elas em cotas iguais. Verificou-se ao final que, para arcar com todas as despesas, faltavam R$ 510,00, e que 5 novas pessoas haviam ingressado no grupo. No acerto foi decidido que a despesa total seria dividida em partes iguais pelas 55 pessoas. Quem não havia ainda contribuído pagaria a sua parte, e cada uma das 50 pessoas do grupo inicial deveria contribuir com mais R$ 7,00. NV = 0, NF ou Se e, então 0, + = 1,2. Assim, = 1,2-0, = 0,8 De acordo com essas informações, qual foi o valor da cota calculada no acerto final para cada uma das 55 pessoas? A) R$ 1,00. B) R$ 17,00. C) R$ 22,00. D) R$ 32,00. E) R$ 57,00. Comentário: A maior dificuldade dessa questão é interpretá-la e representá-la matematicamente. Feito isso, o desenvolvimento e cálculo a serem feitos são bastante simples. Dica: Utilizem raciocínio lógico e conhecimento numérico para resolver essa situação-problema. 7

8 Vejam bem: existem duas situações. Na primeira, eram apenas 50 pessoas que pagariam uma taxa x para cobrir o custo total da festa. Matematicamente seria assim: 50. x = CT Porém, num segundo momento o número de pessoas passou para 55, logo para se chegar a esse valor a equação passa a ser: 55. x = CT Ocorre ainda que quando eram apenas 50 pessoas faltavam R$ 510,00 do custo total e do valor final que os participantes vão pagar, estes 50 primeiros pagariam R$ 7,00 a menos. Desta forma a equação da primeira situação deverá ser refeita ficando assim: 50. (x 7) = CT Resolução: Com base nas deduções acima, temos: 50. (x 7) = CT 510 e 55. x = CT. Se na primeira equação isolarmos CT, poderemos estabelecer uma igualdade com a segunda: 50. (x - 7) = CT 510 CT = 50. (x 7) (x 7) = 55. x 50x = 55 x 50x = 55x 5x = 160 x = = 32 Portanto, o item correto é o D. Os dados na tabela indicam que a taxa média de variação entre a emissão de dióxido de carbono (em ppm) e a produção (em toneladas) é A) inferior a 0,18. B) superior a 0,18 e inferior a 0,50. C) superior a 0,50 e inferior a 1,50. D) superior a 1,50 e inferior a 2,80. E) superior a 2,80. Comentário: O termo média poderia induzir vocês a calcularem a média de cada coluna e, em seguida, formar a razão entre os valores encontrados. No caso dessa questão, o raciocínio é o mesmo, porém devemos fazer cálculos com valores que ainda iremos encontrar: as variações. Dica: Para resolvermos essa questão, usaremos os dados expressos na tabela, o conhecimento numérico e estatístico voltado para cálculo de variação e de média. Como a questão pede a taxa média de variação entre a emissão de dióxido de carbono (em ppm) e a produção (em toneladas), deveremos primeiro achar a variação média da segunda coluna. Na primeira coluna, isso não é preciso porque a variação é constante. Percebam que varia sempre em 0,1, ou seja, na tabela, nesta primeira coluna, de uma linha para outra aumenta sempre 0,1. Para achar a tal taxa média, formamos uma razão seguindo a ordem que vem na pergunta da questão, ou seja: 06) (ENEM 2009 QUESTÃO 18) A tabela mostra alguns dados da emissão de dióxido de carbono de uma fábrica, em função do número de toneladas produzidas. Produção (em toneladas) Emissão de dióxido de carbono (em partes por milhão - ppm) 1,1 2,1 1,2 2,30 1,3 2,6 1, 2,6 1,5 2,83 1,6 3,03 1,7 3,25 1,8 3,8 1,9 3,73 2,0,00 taxa média de variação da emissão de carbono taxa média da produção Resolução: Precisamos calcular a média da variação dos valores de uma linha para outra da segunda coluna. taxa média de variação da emissão de carbono (ppm) taxa média da produção (t) Portanto, o item correto é o D. = 8

9 Matemática e suas Tecnologias Matemática e suas Tecnologias 07) (ENEM 2009 QUESTÃO 161) Suponha que a etapa final de uma gincana escolar consista em um desafio de conhecimentos. Cada equipe escolheria 10 alunos para realizar uma prova objetiva, e a pontuação da equipe seria dada pela mediana das notas obtidas pelos alunos. As provas valiam, no máximo, 10 pontos cada. Ao final, a vencedora foi a equipe Ômega, com 7,8 pontos, seguida pela equipe Delta, com 7,6 pontos. Um dos alunos da equipe Gama, a qual ficou na terceira e última colocação, não pôde comparecer, tendo recebido nota zero na prova. As notas obtidas pelos 10 alunos da equipe Gama foram 10; 6,5; 8; 10; 7; 6,5; 7; 8; 6; 0. Se o aluno da equipe Gama que faltou tivesse comparecido, essa equipe A) teria a pontuação igual a 6,5 se ele obtivesse nota 0. B) seria a vencedora se ele obtivesse nota 10. C) seria a segunda colocada se ele obtivesse nota 8. D) permaneceria na terceira posição, independentemente da nota obtida pelo aluno. E) empataria com a equipe Ômega na primeira colocação se o aluno obtivesse nota 9. Comentário: Para descobrir o item correto dessa questão, deveremos analisar um a um. Se vocês têm domínio sobre o assunto da questão, sabem que o valor informado em cada item influencia muito na resposta correspondente. Ou seja, a questão apesar de simples, requer muita atenção. Dica: Para resolvermos essa questão precisaremos analisar a razoabilidade de um resultado numérico, a partir de nosso conhecimento sobre mediana. Já foi dito em um fascículo anterior, mas convém lembrar, que se ordenarmos de forma crescente os elementos de uma amostra, a mediana será o elemento que dividirá esse rol da seguinte maneira: metade dos elementos será menor que ele e a outra metade será maior que ele. Deste modo, deduz-se que a determinação da mediana se torna muito simples, porém para um número ímpar de elementos. Para um número par, a mediana é determinada pela média dos elementos centrais. A mediana é determinada pela média dos elementos centrais. Exemplos: A série de valores 3, 7, 8, 12, 17 tem como mediana o 8. A série de valores, 5, 6, 8, 11, 15 tem como mediana. Resolução: Inicialmente devemos conhecer a mediana real (pontuação da equipe) da Gama. As notas foram: 10; 6,5; 8; 10; 7; 6,5; 7; 8; 6; 0 Devemos organizar estes dados em ordem crescente: 0 ; 6 ; 6,5 ; 6,5 ; 7 ; 7 ; 8 ; 8 ; 10 ; 10 Para calcular a mediana tiramos a média aritmética dos elementos centrais, no caso 7 e 7. Logo a pontuação obtida pela equipe Gama foi 7,0. Vamos agora analisar cada um dos itens: A) Se o aluno da equipe Gama que faltou tivesse comparecido, essa equipe teria a pontuação igual a 6,5 se ele obtivesse nota 0. A resposta é NÃO, pois como já vimos na introdução dessa resolução, a mediana obtida foi 7,0. B) Se o aluno da equipe Gama que faltou tivesse comparecido, essa equipe seria a vencedora se ele obtivesse nota 10. Substituindo o 0 pelo 10 a ordem das notas agora seria: 6 ; 6,5 ; 6,5 ; 7 ; 7 ; 8 ; 8 ; 10 ; 10; 10 Como os elementos centrais são 7 e 8, a mediana seria 7,5 e essa pontuação não supera o 7,8 da primeira colocada. Logo, essa afirmação é falsa. C) Se o aluno da equipe Gama que faltou tivesse comparecido, essa equipe seria a segunda colocada se ele obtivesse nota 8. Substituindo o 0 pelo 8 a ordem das notas agora seria: 6 ; 6,5 ; 6,5 ; 7 ; 7 ; 8 ; 8 ; 8 ; 10 ; 10 Como os elementos centrais são 7 e 8, a mediana seria 7,5 e essa pontuação não supera o 7,6 da segunda colocada. Logo, essa afirmação é falsa. D) Se o aluno da equipe Gama que faltou tivesse comparecido, essa equipe permaneceria na terceira posição, independentemente da nota obtida pelo aluno. A maior nota que o aluno poderia tirar seria 10. Essa nota, como vimos no item B, gera uma mediana igual a 7,5. Essa pontuação não faz com que a equipe supere a pontuação nem da primeira nem da segunda, permaneceria na terceira colocação. Logo, essa afirmação é verdadeira. E) Se o aluno da equipe Gama que faltou tivesse comparecido, essa equipe empataria com a equipe Ômega na primeira colocação se o aluno obtivesse nota 9. Substituindo o 0 pelo 9 a ordem das notas agora seria: 6 ; 6,5 ; 6,5 ; 7 ; 7 ; 8 ; 8 ; 9 ; 10 ; 10 Como os elementos centrais são 7 e 8, a mediana seria 7,5 e essa pontuação não supera o 7,8 da primeira colocada. Logo, essa afirmação é falsa. Portanto, o item correto é o D. 9

10 08) (ENEM 2009 QUESTÃO 156) Para cada indivíduo, a sua inscrição no Cadastro de Pessoas Físicas (CPF) é composto por um número de 9 algarismos e outro número de 2 algarismos, na forma d 1 d 2, em que os dígitos d 1 e d 2 são denominados dígitos verificadores. Os dígitos verificadores são calculados, a partir da esquerda, da seguinte maneira: os 9 primeiros algarismos são multiplicados pela sequência 10, 9, 8, 7, 6, 5,, 3, 2 (o primeiro por 10, o segundo por 9, e assim sucessivamente); em seguida, calcula-se o resto r da divisão da soma dos resultados das multiplicações por 11, e se esse resto r for 0 ou 1, d 1 é zero, caso contrário d 1 = (11 r). O dígito d 2 é calculado pela mesma regra, na qual os números a serem multiplicados pela sequência dada são contados a partir do segundo algarismo, sendo d 1 o último algarismo, isto é, d 2 é zero se o resto s da divisão por 11 das somas das multiplicações for 0 ou 1, caso contrário, d 2 = (11 s). Suponha que João tenha perdido seus documentos, inclusive o cartão de CPF e, ao dar queixa da perda na delegacia, não conseguisse lembrar quais eram os dígitos verificadores, recordando-se apenas que os nove primeiros algarismos eram Neste caso, os dígitos verificadores d 1 e d 2 esquecidos são, respectivamente, Resolução: Deveremos descobrir separadamente d 1 e d 2, seguindo as instruções acima e considerando que os nove primeiros algarismos do CPF de João são Cálculo do d 1 i) os 9 primeiros algarismos são multiplicados pela sequência 10, 9, 8, 7...(o primeiro por 10, o segundo por 9, e assim sucessivamente) 1 x 10 = 10 2 x 9 = 18 3 x 8 = 2 x 7 = 28 5 x 6 = 30 6 x 5 = 30 7 x = 28 8 x 3 = 2 9 x 2 = 18 ii) Calcula-se o resto r da divisão da soma dos resultados das multiplicações por 11 ( ) : 11 = 210 : 11 = A) 0 e 9 B) 1 e C) 1 e 7 D) 9 e 1 E) 0 e 1 Comentário: O mais difícil desta questão é fazer sua leitura. De cara, ela parece difícil e complicada. Como nosso objetivo é descomplicar, sugerimos que anote no rascunho cada informação que ela for passando. Destrinche seu enunciado. Dica: A questão informa passo a passo o que vocês devem fazer para descobrir d1 e d2. Perceba: i) Os 9 primeiros algarismos são multiplicados pela sequência 10, 9, 8, 7...(o primeiro por 10, o segundo por 9, e assim sucessivamente) no caso de d 1. E no caso de d 2, os números a serem multiplicados pela sequência dada são contados a partir do segundo algarismo, sendo d1 o último algarismo. ii) Calcula-se o resto da divisão da soma dos resultados das multiplicações por 11. Reorganizando: somamos a multiplicação; o resultado, dividimos por 11 e analisamos o valor do resto para ser o usado no passo seguinte. iii) Se esse resto for 0 ou 1, tanto d 1 como d 2 são iguais a zero, caso contrário d = (11 r). iii) Se esse resto r for 0 ou 1, d 1 é zero, caso contrário d 1 = (11 r) Como o resto foi r = 1, d 1 = 0 Cálculo do d 2 i) Os números a serem multiplicados pela sequência dada são contados a partir do segundo algarismo, sendo d 1 o último algarismo 2 x 10 = 20 3 x 9 = 27 x 8 = 32 5 x 7 =35 6 x 6 = 36 7 x 5 = 35 8 x = 32 9 x 3 = 27 0 x 2 = 0 ii) Calcula-se o resto r da divisão da soma dos resultados das multiplicações por 11 10

11 Matemática e suas Tecnologias Matemática e suas Tecnologias ( ) : 11 = 2 : 11 = iii) d 2 é zero se o resto s da divisão for 0 ou 1, caso contrário, d 2 = (11 s) Como o resto s da divisão foi 2, então d 2 = 11-2 = 9 Logo d 1 = 0 e d 2 = 9 Portanto, o item correto é o A. QUESTÕES-DESAFIO 02) (ENEM QUESTÃO 5) Fractal (do latim fractus, fração, quebrado) objeto que pode ser dividido em partes que possuem semelhança com o objeto inicial. A geometria fractal, criada no século XX, estuda as propriedades e o comportamento dos fractais objetos geométricos formados por repetições de padrões similares. O triângulo de Sierpinski, uma das formas elementares da geometria fractal, pode ser obtido por meio dos seguintes passos: 1. Comece com um triângulo equilátero (figura 1); 2. Construa um triângulo em que cada lado tenha a metade do tamanho do lado do triângulo anterior e faça três cópias; 3. Posicione essas cópias de maneira que cada triângulo tenha um vértice comum com um dos vértices de cada um dos outros dois triângulos, conforme ilustra a figura 2;. Repita sucessivamente os passos 2 e 3 para cada cópia dos triângulos obtidos no passo 3 (figura 3). Estas são questões para você tentar resolver. As questões serão respondidas e comentadas nos próximos fascículos. 01) (ENEM 200 QUESTÃO 08) VENDEDORES JOVENS Fábrica de LONAS - Vendas no Atacado 10 Vagas para estudantes, 18 a 20 anos, sem experiência Salário: R$300,00 fixo + comissão de R$0,50 por m 2 vendido. Contato: 0xx ou [email protected] Na seleção para as vagas deste anúncio, feita por telefone ou correio eletrônico, propunha-se aos candidatos uma questão a ser resolvida na hora. Deveriam calcular seu salário no primeiro mês, se vendessem 500 m de tecido com largura de 1,0 m, e no segundo mês, se vendessem o dobro. Foram bem sucedidos os jovens que responderam, respectivamente, (A) R$ 300,00 e R$ 500,00. (B) R$ 550,00 e R$ 850,00. (C) R$ 650,00 e R$ 1000,00. (D) R$ 650,00 e R$ 1300,00. (E) R$ 950,00 e R$ 1900,00. Figura 1 Figura 2 Figura 3 De acordo com o procedimento descrito, a figura da seqüência apresentada acima é A) D) B) E) C) PROJETO DESAFIO ENEM 2010 I Jornal Diário do Nordeste I COORDENAÇÃO PEDAGÓGICA: Prof.Francisco Sidney Nogueira Brito e Prof. Jackson José Nogueira de Brito I PROFESSORES AUTORES: Gustavo Maximino Lima, Luiza Alice Lopes Menezes, Ítalo Felipe Gomes e Patrícia Moreira Sampaio I EDITORA VERDES MARES LTDA (Praça da Imprensa s/n - Fortaleza/CE - CEP: ) I Diretoria Comercial: Antônio Vidal I Gerência Comercial: Alana Aguiar I Planejamento de Vendas: Camila Coutinho. 11

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