POTENCIAÇÃO EXERCÍCIOS DO ENEM

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1 POTENCIAÇÃO EXERCÍCIOS DO ENEM E1166 (ENEM 2015 QUESTÃO 155) O fisiologista francês Jean Poiseuille estabeleceu, na primeira metade do século XIX, que o fluxo de sangue por meio de um vaso sanguíneo em uma pessoa é diretamente proporcional à quarta potência da medida do raio desse vaso. Suponha que um médico, efetuando uma angioplastia, aumentou em 10% o raio de um vaso sanguíneo de seu paciente. O aumento percentual entre o fluxo por esse vaso está entre A) 7% e 8% B) 9% e 11% C) 20% e 22% D) 39% e 41% E) 46% e 47% RESOLUÇÃO Quarta potência da medida do raio pode ser expressa como r 4 Ao aumentar o raio em 10%. 10% de 1 raio é 0,1 raio. Assim, termos 1,1 raio (1 + 0,1). Lembre-se que 10% pode ser representado por 10/100, que é o mesmo que 0,1. 1,1 raio elevado à quarta potência pode ser expressado como (1,1r) 4 Resolvendo, temos (1,1r) 4 = 1,1r x 1,1r x 1,1r x 1,1r = 1,4641r 4 Se era 1 e passou a ser 1,4641, temos um aumento de 46,41.

2 De cabeça conseguimos chegar aos 46,41% de aumento. Todavia, os cálculos são: Aumento de 0, = 100% 0,4641 = x x = 46,41% Opção E ÁREA DO CÍRCULO E PERÍMETRO DA CIRCUNFERÊNCIA EXERCÍCIOS DO ENEM E1167 (ENEM 2015 QUESTÃO 151) A figura é uma representação simplificada do carrossel de um parque de diversões, visto de cima. Nessa representação, os cavalos estão identificados pelos pontos escuros, e ocupam circunferências de raios 3 m e 4 m, respectivamente, ambas centradas no ponto O. Em cada sessão de funcionamento, o carrossel efetua 10 voltas. Quantos metros uma criança sentada no cavalo C1 percorrerá a mais do que uma criança no cavalo C2, em uma sessão? Use 3,0 como aproximação para S. A) 55,5 B) 60,0 C) 175,5

3 D) 235,5 E) 240,0 RESOLUÇÃO São 2 circunferências: 1 com 3 cm de raio e a outra com 4 cm. Percorrer a linha da circunferência é o mesmo que perímetro. Assim, iremos calcular o perímetro das duas circunferências. Circunferência de raio 3: Considere π = 3, conforme o enunciado. 2p = 2. π. r 2p = p = 18 Circunferência de raio 4: 2p = 2. π. r 2p = p = 24 Temos 18 metros por volta da menor circunferência e 24 metros por volta da maior. Como são 10 voltas, teremos 180 m e 240 m. Assim, uma criança percorrerá 60 metros a mais do que a outra. Opção B

4 FUNÇÃO DO 1º GRAU EXERCÍCIOS DO ENEM FUNÇÃO DO 1º GRAU EXERCÍCIOS DO ENEM E1168 (ENEM 2015 QUESTÃO 150) No comércio é comumente utilizado o salário mensal comissionado. Além de um valor fixo, o vendedor tem um incentivo, geralmente um percentual sobre as vendas. Considere um vendedor que tenha salário comissionado, sendo sua comissão dada pelo percentual do total de vendas que realizar no período. O gráfico expressa o valor total de seu salário, em reais, em função do total de vendas realizadas, também em reais. Qual o valor percentual da sua comissão? A) 2,0% B) 5,0% C) 16,7% D) 27,7% E) 50,0%

5 RESOLUÇÃO Perceba que, no gráfico, para x zero (valor da venda), o y vale 800. Isso significa que, mesmo não vendendo nada, ele recebe 800 reais. Logo, este é o salário dele. Em x = (quando vende ), o valor de y é Se ele recebe 1200 reais, tirando os 800 reais do salário dele, sobra 400 reais de comissão. Assim, podemos entender que a cada reais de venda, ele recebe uma comissão de 400 reais. O enunciado pede o percentual desta comissão = 100% 400 = x x = x = / x = 2 Logo, a comissão dele é 2%. Para verificar, observe no gráfico que, quando x = (de venda), ele recebe reais.tirando os 800 reais do salário, sobra reais de comissão. de fato, 2% de é Opção x = A

6 ENSINO SUPERIOR GEOMETRIA ANALÍTICA PROVA DO ENEM 2015 (AMARELA) 137 (E1164) Em uma pesquisa sobre prática de atividade física, foi perguntado aos entrevistados sobre o hábito de andar de bicicleta ao longo da semana e com que frequência o faziam. Entre eles, 75% afirmaram ter esse hábito, e a frequência semanal com que o faziam é a apresentada no gráfico: Que porcentagem do total de entrevistados representa aqueles que afirmaram andar de bicicleta pelo menos três vezes por semana? A) 70,0% B) 52,5% C) 22,5% D) 19,5%

7 E) 5,0% RESOLUÇÃO Dentre os 100% entrevistados, 75% andam de bicicleta. Dentre esses 75%, nos interessa os que andam pelo menos 3 vezes. Observe no gráfico que a coluna 1 e 2 vezes não nos interessam. 3 vezes = 26% 4 vezes = 12% 5 vezes = 10% 6 vezes = 7% todos os dias (7 vezes) = 15% Somando: 26% + 12% + 10% + 7% + 15% = 70%. Mas, atenção: são 70% dos 75% que andam de bicicleta. 70% de 75% = 52,5%. Opção B 147 (E1165) Um protocolo tem como objetivo firmar acordos e discussões internacionais para conjuntamente estabelecer metas de redução de emissão de gases de efeito estufa na atmosfera. O quadro mostra alguns dos países que assinaram o protocolo, organizados de acordo com o continente ao qual pertencem.

8 Em um dos acordos firmados, ao final do ano, dois dos países relacionados serão escolhidos aleatoriamente, para verificar se as metas de redução do protocolo estão sendo praticadas. A probabilidade de o primeiro país escolhido pertencer à América do Norte e o segundo pertencer ao continente asiático é A) 1/9 B) 1/4 C) 3/10 D) 2/3 E) 1 RESOLUÇÃO A probabilidade de ser um país da América do Norte é 3/6 (são 3 países em 6). Perceba que após sair um país da América do Norte, restarão 5 países (2 da América do Norte e 3 da Ásia). A probabilidade de que o segundo seja da Ásia será 3/5 (são 3 países da Ásia e 5 ao todo). A probabilidade dos dois é dada pela multiplicação (probabilidade do E, multiplica). temos 3/6 x 3/5 = 9/30

9 Simplificando, temos 3/10. Opção C 150 (E1168) No comércio é comumente utilizado o salário mensal comissionado. Além de um valor fixo, o vendedor tem um incentivo, geralmente um percentual sobre as vendas. Considere um vendedor que tenha salário comissionado, sendo sua comissão dada pelo percentual do total de vendas que realizar no período. O gráfico expressa o valor total de seu salário, em reais, em função do total de vendas realizadas, também em reais. Qual o valor percentual da sua comissão? A) 2,0% B) 5,0% C) 16,7% D) 27,7% E) 50,0% RESOLUÇÃO

10 Perceba que, no gráfico, para x zero (valor da venda), o y vale 800. Isso significa que, mesmo não vendendo nada, ele recebe 800 reais. Logo, este é o salário dele. Em x = (quando vende ), o valor de y é Se ele recebe 1200 reais, tirando os 800 reais do salário dele, sobra 400 reais de comissão. Assim, podemos entender que a cada reais de venda, ele recebe uma comissão de 400 reais. O enunciado pede o percentual desta comissão = 100% 400 = x x = x = / x = 2 Logo, a comissão dele é 2%. Para verificar, observe no gráfico que, quando x = (de venda), ele recebe reais.tirando os 800 reais do salário, sobra reais de comissão. de fato, 2% de é Opção x = A

11 151 (E1167) A figura é uma representação simplificada do carrossel de um parque de diversões, visto de cima. Nessa representação, os cavalos estão identificados pelos pontos escuros, e ocupam circunferências de raios 3 m e 4 m, respectivamente, ambas centradas no ponto O. Em cada sessão de funcionamento, o carrossel efetua 10 voltas. Quantos metros uma criança sentada no cavalo C1 percorrerá a mais do que uma criança no cavalo C2, em uma sessão? Use 3,0 como aproximação para S. A) 55,5 B) 60,0 C) 175,5 D) 235,5 E) 240,0 RESOLUÇÃO São 2 circunferências: 1 com 3 cm de raio e a outra com 4 cm. Percorrer a linha da circunferência é o mesmo que perímetro. Assim, iremos calcular o perímetro das duas circunferências. Circunferência de raio 3: Considere π = 3, conforme o enunciado.

12 2p = 2. π. r 2p = p = 18 Circunferência de raio 4: 2p = 2. π. r 2p = p = 24 Temos 18 metros por volta da menor circunferência e 24 metros por volta da maior. Como são 10 voltas, teremos 180 m e 240 m. Assim, uma criança percorrerá 60 metros a mais do que a outra. Opção B 155 (E1166) O fisiologista francês Jean Poiseuille estabeleceu, na primeira metade do século XIX, que o fluxo de sangue por meio de um vaso sanguíneo em uma pessoa é diretamente proporcional à quarta potência da medida do raio desse vaso. Suponha que um médico, efetuando uma angioplastia, aumentou em 10% o raio de um vaso sanguíneo de seu paciente. O aumento percentual entre o fluxo por esse vaso está entre A) 7% e 8% B) 9% e 11% C) 20% e 22% D) 39% e 41% E) 46% e 47%

13 RESOLUÇÃO Quarta potência da medida do raio pode ser expressa como r 4 Ao aumentar o raio em 10%. 10% de 1 raio é 0,1 raio. Assim, termos 1,1 raio (1 + 0,1). Lembre-se que 10% pode ser representado por 10/100, que é o mesmo que 0,1. 1,1 raio elevado à quarta potência pode ser expressado como (1,1r) 4 Resolvendo, temos (1,1r) 4 = 1,1r x 1,1r x 1,1r x 1,1r = 1,4641r 4 Se era 1 e passou a ser 1,4641, temos um aumento de 46,41. De cabeça conseguimos chegar aos 46,41% de aumento. Todavia, os cálculos são: Aumento de 0, = 100% 0,4641 = x x = 46,41% Opção E 172 (E1169) Um meio de transporte coletivo que vem ganhando espaço no Brasil é a van, pois realiza, com relativo conforto e preço acessível, quase todos os tipos de transportes: escolar e urbano, intermunicipal e excursões em geral. O dono de uma van, cuja capacidade máxima é de 15 passageiros, cobra para uma excursão até a capital de seu estado R$ 60,00 de cada passageiro. Se não atingir a capacidade máxima da van, cada passageiro pagará mais R$ 2,00 por lugar vago. Sendo x o número de lugares vagos, a expressão que representa o valor

14 arrecadado V(x), em reais, pelo dono da van, para uma viagem até a capital é A) V(x) = 902x B) V(x) = 930x C) V(x) = x D) V(x) = 60x + 2x² E) V(x) = x 2x² RESOLUÇÃO Uma solução: (i) Se tiver 15 pessoas, todas pagarão apenas R$ 60,00, ou seja, R$ 900,00 (ii) Se tiver 14 pessoas, todas pagarão R$ 60,00 + 2,00, porque há 1 lugar vago, ou seja, 868,00 (iii) Se tiver 13 pessoas, todas pagarão R$ 60,00 + 4,00, porque há 2 lugares vagos, ou seja, R$ 832,00 Vamos resolver por tentativa. Opção A A opção A diz que a expressão é V(x) = 902x Testaremos. V(x) = 902.x, sendo x a quantidade de lugares vagos. Em (i), não há lugar vago. Logo, x = 0. Substituindo: V(x) = V(x) = 0 Neste caso, o valor arrecadado é zero. O que não confere, pois em (i), o valor arrecadado foi R$ 900,00. Esta opção está descartada.

15 Opção B V(x) = 930x Substituindo x por zero, temos V(x) = 0, ou seja, nada arrecadado. Está descartada esta opção. Opção C V(x) = x Substituindo x por zero, temos V(x) = V(x) = V(x) = 900 Confere. Vamos tentar para 1 lugar vago, ou seja, x = 1. V(x) = alor V(x) = V(x) = 903. Para 1 lugar vago, o valor arrecadado será 903 reais. Não confere, pois de acordo com (ii), o valor arrecadado é R$ 868,00. Logo, a opção está descartada. Opção D V(x) = 60x + 2x² Tentando para x = 0, ou seja, nenhum lugar vago. V(x) = ² V(x) = V(x) = V(x) = 0.

16 O valor arrecadado para esta expressão seria nada. Logo, está descartado, pois vimos em (i) que foi 900 reais. Opção E Por exlusão das demais, esta é a opção correta. Porém, vamos conferir. V(x) = x 2x² Testaremos para x = 0 V(x) = ² V(x) = V(x) = V(x) = 900 Confere. Testando para x = 1. V(x) = ² V(x) = V(x) = V(x) = 868 Observe que confere com (ii). Já poderíamos finalizar, mas vamos conferir para x = 2, que tem que dar valor arrecadado 832 reais. V(x) = ² V(x) = V(x) = V(x) = 832

17 Confere. Opção E FUNÇÃO DO 2º GRAU EXERCÍCIOS DO ENEM FUNÇÃO DO 2º GRAU EXERCÍCIOS DO ENEM E1169 (ENEM 2015 QUESTÃO 172) Um meio de transporte coletivo que vem ganhando espaço no Brasil é a van, pois realiza, com relativo conforto e preço acessível, quase todos os tipos de transportes: escolar e urbano, intermunicipal e excursões em geral. O dono de uma van, cuja capacidade máxima é de 15 passageiros, cobra para uma excursão até a capital de seu estado R$ 60,00 de cada passageiro. Se não atingir a capacidade máxima da van, cada passageiro pagará mais R$ 2,00 por lugar vago. Sendo x o número de lugares vagos, a expressão que representa o valor arrecadado V(x), em reais, pelo dono da van, para uma viagem até a capital é A) V(x) = 902x B) V(x) = 930x C) V(x) = x

18 D) V(x) = 60x + 2x² E) V(x) = x 2x² RESOLUÇÃO Uma solução: (i) Se tiver 15 pessoas, todas pagarão apenas R$ 60,00, ou seja, R$ 900,00 (ii) Se tiver 14 pessoas, todas pagarão R$ 60,00 + 2,00, porque há 1 lugar vago, ou seja, 868,00 (iii) Se tiver 13 pessoas, todas pagarão R$ 60,00 + 4,00, porque há 2 lugares vagos, ou seja, R$ 832,00 Vamos resolver por tentativa. Opção A A opção A diz que a expressão é V(x) = 902x Testaremos. V(x) = 902.x, sendo x a quantidade de lugares vagos. Em (i), não há lugar vago. Logo, x = 0. Substituindo: V(x) = V(x) = 0 Neste caso, o valor arrecadado é zero. O que não confere, pois em (i), o valor arrecadado foi R$ 900,00. Esta opção está descartada. Opção B V(x) = 930x

19 Substituindo x por zero, temos V(x) = 0, ou seja, nada arrecadado. Está descartada esta opção. Opção C V(x) = x Substituindo x por zero, temos V(x) = V(x) = V(x) = 900 Confere. Vamos tentar para 1 lugar vago, ou seja, x = 1. V(x) = alor V(x) = V(x) = 903. Para 1 lugar vago, o valor arrecadado será 903 reais. Não confere, pois de acordo com (ii), o valor arrecadado é R$ 868,00. Logo, a opção está descartada. Opção D V(x) = 60x + 2x² Tentando para x = 0, ou seja, nenhum lugar vago. V(x) = ² V(x) = V(x) = V(x) = 0. O valor arrecadado para esta expressão seria nada. Logo, está descartado, pois vimos em (i) que foi 900 reais.

20 Opção E Por exlusão das demais, esta é a opção correta. Porém, vamos conferir. V(x) = x 2x² Testaremos para x = 0 V(x) = ² V(x) = V(x) = V(x) = 900 Confere. Testando para x = 1. V(x) = ² V(x) = V(x) = V(x) = 868 Observe que confere com (ii). Já poderíamos finalizar, mas vamos conferir para x = 2, que tem que dar valor arrecadado 832 reais. V(x) = ² V(x) = V(x) = V(x) = 832 Confere.

21 Opção E PROGRESSÃO GEOMÉTRICA EXERCÍCIOS DE CONCURSOS PROGRESSÃO GEOMÉTRICA EXERCÍCIOS DE CONCURSOS E1171 (FUVEST) Numa progressão geométrica de quatro termos positivos, a soma dos dois primeiros vale 1 e a soma dos dois últimos vale 9. Calcule a razão da progressão. a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) 11 RESOLUÇÃO Para lembrar, para achar um termo, basta multiplicar o termo anterior com a razão. a 2 = a 1. q a 3 = a 1. q² a 4 = a 1. q³ Observe os dados do enunciado:

22 4 termos: a 1 a 2 a 3 a 4 A soma dos dois primeiros é 1 a 1 + a 2 = 1 A soma dos dois últimos é 9 a 3 + a 4 = 9 Posso substituir a 2 por a 1. q, conforme vimos no início. Assim, temos: a 1 + a 2 = 1 a 1 + a 1. q = 1, que é o mesmo que a 1 + a 1 q = 1 Você não pode somar os dois a 1, porque são monômios diferentes. Mas, você pode colocar em evidência: a 1 + a 1. q = 1 a 1 (1 + q) = 1 (chamaremos de equação I) Vamos para a próxima: a 3 + a 4 = 9 Podemos substituir a 3 por a 1. q² e a 4 por a 1. q³ Assim, temos a 3 + a 4 = 9 (a 1. q²) + (a 1. q³) = 9

23 Também vamos colocar em evidência: a 1 (q² + q³) = 9 (chamaremos de equação II) Vamos juntar as duas equações ( I e II) a 1 (1 + q) = 1 a 1 (q² + q³) = 9 Podemos dividir a equação I pela equação II: Podemos cortar os a 1 Multiplicar cruzado ficando

24 Arrumando a equação, deixando todos os termos no 1º membro: Ao resolver essa equação do 3º grau, encontraremos as raízes: q = 3 q = -3 q = -1 No entanto, o enunciado diz que os termos são positivos. Logo, só nos interessa a raiz q = 3. A razão q é 3.