Aplicações de Álgebra Linear e Geometria Analítica
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- Edson Almada Ribas
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1 Aplicações de Álgebra Linear e Geometria Analítica CRIPTOGRAFIA DE MENSAGENS Nathalia Nunes Bassi 01/12/2010
2 História da criptografia, Tipos de criptografia, Cifra de Hill, Codificação de mensagens, Decodificação de mensagens
3 Em grego, cryptos significa secreto, oculto A criptografia estuda os métodos para codificar uma mensagem de modo que só seu destinatário legítimo consiga interpretá-la É a arte dos códigos secretos
4 Na linguagem criptográfica, os códigos são denominados CIFRAS, as mensagens não codificadas são denominadas TEXTOS COMUNS e as mensagens codificadas são denominadas TEXTOS CIFRADOS ou CRIPTOGRAMAS O processo de converter um texto comum em um cifrado é chamado CIFRAR ou CRIPTOGRAFAR, e o processo inverso de converter um texto cifrado em um comum é chamado DECIFRAR
5 Antigamente a cifragem era utilizada na troca de mensagens, principalmente em assuntos ligados a guerra, amor e a diplomaciao primeiro uso documentado da criptografia foi em 1900 ac, no Egito quando um escriba usou hieróglifos fora do padrão em uma inscriçãona idade moderna, por volta de 1918, Arthur Scherbius desenvolveu uma máquina de criptografia chamada ENIGMA, utilizada amplamente pela marina de guerra alemã em 1926, como a principal forma de comunicaçao
6 Antigamente a cifragem era utilizada na troca de mensagens, principalmente em assuntos ligados a guerra, amor e a diplomaciao primeiro uso documentado da criptografia foi em 1900 ac, no Egito quando um escriba usou hieróglifos fora do padrão em uma inscriçãona idade moderna, por volta de 1918, Arthur Scherbius desenvolveu uma máquina de criptografia chamada ENIGMA, utilizada amplamente pela marina de guerra alemã em 1926, como a principal forma de comunicaçao
7 Antigamente a cifragem era utilizada na troca de mensagens, principalmente em assuntos ligados a guerra, amor e a diplomaciao primeiro uso documentado da criptografia foi em 1900 ac, no Egito quando um escriba usou hieróglifos fora do padrão em uma inscriçãona idade moderna, por volta de 1918, Arthur Scherbius desenvolveu uma máquina de criptografia chamada ENIGMA, utilizada amplamente pela marina de guerra alemã em 1926, como a principal forma de comunicaçao
8 Devido aos esforços de guerra, a criptografia passou a ser muito utillizada Durante a Guerra Fria foram criados e utilizados diversos métodos a fim de esconder mensagens a respeito de estratégias e operações, criptografadas com diferentes métodos e chaves Atualmente a criptografia é amplamente utilizada na WEB, em segurança afim de autenticar os usuários para lhes fornecer acesso, na proteção de transações financeiras e em comunicação
9 Devido aos esforços de guerra, a criptografia passou a ser muito utillizada Durante a Guerra Fria foram criados e utilizados diversos métodos a fim de esconder mensagens a respeito de estratégias e operações, criptografadas com diferentes métodos e chaves Atualmente a criptografia é amplamente utilizada na WEB, em segurança afim de autenticar os usuários para lhes fornecer acesso, na proteção de transações financeiras e em comunicação
10 Devido aos esforços de guerra, a criptografia passou a ser muito utillizada Durante a Guerra Fria foram criados e utilizados diversos métodos a fim de esconder mensagens a respeito de estratégias e operações, criptografadas com diferentes métodos e chaves Atualmente a criptografia é amplamente utilizada na WEB, em segurança afim de autenticar os usuários para lhes fornecer acesso, na proteção de transações financeiras e em comunicação
11 CIFRAS DE SUBSTITUIÇÃO: Substituem cada letra do alfabeto por outra letra CRIPTOGRAFIA RSA: O mais conhecido dos métodos de criptografia de chave pública é o RSA As lojas usam a implementação do RSA, na codificação de dados de clientes em compras pela internet
12 CIFRAS DE SUBSTITUIÇÃO: Substituem cada letra do alfabeto por outra letra CRIPTOGRAFIA RSA: O mais conhecido dos métodos de criptografia de chave pública é o RSA As lojas usam a implementação do RSA, na codificação de dados de clientes em compras pela internet
13 CIFRAS DE HILL: Baseadas em transformações matriciais Método que utiliza a álgebra linear para CODIFICAR e DECODIFICAR uma mensagem atravéz da multiplicação de matrizes Uma mensagem codificada com uma matriz é chamada de "n-cifragem de hill", logo uma mensagem codificada com uma matriz 2 2 é chamada "2-cifra de hill"
14 CIFRAS DE HILL: Baseadas em transformações matriciais Método que utiliza a álgebra linear para CODIFICAR e DECODIFICAR uma mensagem atravéz da multiplicação de matrizes Uma mensagem codificada com uma matriz é chamada de "n-cifragem de hill", logo uma mensagem codificada com uma matriz 2 2 é chamada "2-cifra de hill"
15 PROCEDIMENTOS PARA CODIFICAÇÃO Primeiro converte-se as letras em números, depois agrupa-se os números n a n e multiplica-se cada grupo por uma matriz quadrada de ordem inversível (det 0 Os números resultantes são novamente convertidos em letras pela tabela 1, e assim tem-se a mensagem codificada
16 TABELA 1 Título A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
17 Caso algum resultado da multiplicaçao seja um número maior que o número de letras do alfabeto, então deve-se utilizar o resto desse número pelo número de letra do alfabeto, o que será explicado posteriormente Para decodificar a mensagem basta aplicar o mesmo processo, porém utilizando a matriz inversa Por isso que deve-se usar apenas matrizes inversíveis
18 Caso algum resultado da multiplicaçao seja um número maior que o número de letras do alfabeto, então deve-se utilizar o resto desse número pelo número de letra do alfabeto, o que será explicado posteriormente Para decodificar a mensagem basta aplicar o mesmo processo, porém utilizando a matriz inversa Por isso que deve-se usar apenas matrizes inversíveis
19 Supõem-se daqui em diante que cada letra de texto comum e de texto cifrado, excetuando o Z, tem o valor númerico que especifica a sua posição no alfabeto padrão(tabela 1 TABELA 1 A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
20 Supõem-se daqui em diante que cada letra de texto comum e de texto cifrado, excetuando o Z, tem o valor númerico que especifica a sua posição no alfabeto padrão(tabela 1 TABELA 1 A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
21 Nos casos mais simples, transforma-se pares sucessivos de textos cifrados por: Passo 1 Escolhe-se uma matriz 2 2 ( a11 a A 12 a 21 a 22 Com entradas inteiras, para efetuar a codificação
22 Nos casos mais simples, transforma-se pares sucessivos de textos cifrados por: Passo 1 Escolhe-se uma matriz 2 2 ( a11 a A 12 a 21 a 22 Com entradas inteiras, para efetuar a codificação
23 Nos casos mais simples, transforma-se pares sucessivos de textos cifrados por: Passo 1 Escolhe-se uma matriz 2 2 ( a11 a A 12 a 21 a 22 Com entradas inteiras, para efetuar a codificação
24 Passo 2Agrupam-se letras sucessivas do texto comum em pares, adicionando uma letra fictícia para completar o último par, se caso o texto comum tiver um número ímpar de letras Substitui-se cada letra do texto comum pelo seu valor númerico seguindo a tabela 1 Passo 3 Converte-se cada par sucessivo de letras de texto comum em um vetor coluna: p ( p1 p 2
25 Passo 2Agrupam-se letras sucessivas do texto comum em pares, adicionando uma letra fictícia para completar o último par, se caso o texto comum tiver um número ímpar de letras Substitui-se cada letra do texto comum pelo seu valor númerico seguindo a tabela 1 Passo 3 Converte-se cada par sucessivo de letras de texto comum em um vetor coluna: p ( p1 p 2
26 E forma-se o produto Ap Chama-se p de vetor comum e Ap de vetor cifrado Passo 4 Converte-se cada vetor cifrado em seu equivalente alfabético, pela tabela 1
27 E forma-se o produto Ap Chama-se p de vetor comum e Ap de vetor cifrado Passo 4 Converte-se cada vetor cifrado em seu equivalente alfabético, pela tabela 1
28 EXEMPLO: OBTER A CIFRA DE HILL DA MENSAGEM DE TEXTO COMUM: "SE VOCÊ CONSEGUE LER ISSO, AGRADEÇA UM PROFESSOR DE ALGA" Para a matriz codificadora: A (
29 EXEMPLO: OBTER A CIFRA DE HILL DA MENSAGEM DE TEXTO COMUM: "SE VOCÊ CONSEGUE LER ISSO, AGRADEÇA UM PROFESSOR DE ALGA" Para a matriz codificadora: A (
30 SOLUÇÃO: Título Já que a tabela 1 não possui a letra Ç, substituimos por "C" Agrupamos o texto comum em pares de letras para poder efetuar a codificação SE VO CE CO NS EG UE LE RI SS OA GR AD EC AU MP RO FE SS OR DE AL GA
31 Usando a tabela 1, encontramos os seus correspondentes numéricos
32 OBS:Tendo em vista que a tabela 1 só tem 26 números, sendo eles de 0 à 25 Precisamos transformar os números maiores que 25 em números iguais ou menores que este, para isto utilizamos a aritmética modular Definição(aritmética modular: Dado um número inteiro positivo m e dois inteiros a e b quaisquer, dizemos que a é equivalente a b módulo m e escrevemos: a b (mod m Se a b é um múltiplo inteiro de m
33 OBS:Tendo em vista que a tabela 1 só tem 26 números, sendo eles de 0 à 25 Precisamos transformar os números maiores que 25 em números iguais ou menores que este, para isto utilizamos a aritmética modular Definição(aritmética modular: Dado um número inteiro positivo m e dois inteiros a e b quaisquer, dizemos que a é equivalente a b módulo m e escrevemos: a b (mod m Se a b é um múltiplo inteiro de m
34 OBS:Tendo em vista que a tabela 1 só tem 26 números, sendo eles de 0 à 25 Precisamos transformar os números maiores que 25 em números iguais ou menores que este, para isto utilizamos a aritmética modular Definição(aritmética modular: Dado um número inteiro positivo m e dois inteiros a e b quaisquer, dizemos que a é equivalente a b módulo m e escrevemos: a b (mod m Se a b é um múltiplo inteiro de m
35 PARA ENTENDER MELHOR, OBSERVE OS EXEMPLOS ABAIXO Encontrando os resíduos módulo 26 dos seguintes números: (a 35 dividindo por 26 encontramos o valor inteiro 1 e um resto 9 Assim podemos afirmar que 35 9(mod 26
36 PARA ENTENDER MELHOR, OBSERVE OS EXEMPLOS ABAIXO Encontrando os resíduos módulo 26 dos seguintes números: (a 35 dividindo por 26 encontramos o valor inteiro 1 e um resto 9 Assim podemos afirmar que 35 9(mod 26
37 PARA ENTENDER MELHOR, OBSERVE OS EXEMPLOS ABAIXO Encontrando os resíduos módulo 26 dos seguintes números: (a 35 dividindo por 26 encontramos o valor inteiro 1 e um resto 9 Assim podemos afirmar que 35 9(mod 26
38 (b -67 dividindo por 26 encontramos o valor inteiro 2 e um resto 15, ou seja Podemos afirmar que 67 11(mod 26 (c -26 dividindo por 26 encontramos um resto 0 Podemos afirmar assim, que 26 0(mod 26
39 (b -67 dividindo por 26 encontramos o valor inteiro 2 e um resto 15, ou seja Podemos afirmar que 67 11(mod 26 (c -26 dividindo por 26 encontramos um resto 0 Podemos afirmar assim, que 26 0(mod 26
40 Para codificá-los efetuamos Ap 1 par de letras: SE ( ( 19 5 ( ( 13 3 (mod26 M C 91 > 25 então resto 13, isto é 91 13(mod26 29 > 25 então resto 3, isto é 29 3(mod26
41 Para codificá-los efetuamos Ap 1 par de letras: SE ( ( 19 5 ( ( 13 3 (mod26 M C 91 > 25 então resto 13, isto é 91 13(mod26 29 > 25 então resto 3, isto é 29 3(mod26
42 2 par de letras: VO ( ( ( ( 3 0 (mod26 C Z 133 > 25 então resto 3, isto é 133 3(mod26 52 > 25 então resto 0, isto é 52 0(mod26
43 2 par de letras: VO ( ( ( ( 3 0 (mod26 C Z 133 > 25 então resto 3, isto é 133 3(mod26 52 > 25 então resto 0, isto é 52 0(mod26
44 3 par de letras: CE ( ( 3 5 ( ( 1 13 (mod26 A M 27 > 25 então resto 1, isto é 27 1(mod26
45 3 par de letras: CE ( ( 3 5 ( ( 1 13 (mod26 A M 27 > 25 então resto 1, isto é 27 1(mod26
46 4 par de letras: CO ( ( ( 5 7 ( E G 5 par de letras: NS ( ( ( ( 9 0 (mod26 I Z 113 > 25 então resto 9, isto é 133 9(mod26 52 > 25 então resto 0, isto é 52 0(mod26
47 6 par de letras: EG ( ( 5 7 ( ( (mod26 O S 41 > 25 então resto 15, isto é 41 15(mod26 7 par de letras: UE ( ( 21 5 ( ( 21 5 (mod26 U E
48 8 par de letras: LE ( ( 12 5 ( ( (mod26 K V 9 par de letras: RI ( ( 18 9 ( ( (mod26 U J
49 10 par de letras: SS ( ( ( ( 3 5 C E 11 par de letras: OA ( ( 15 1 ( ( (mod26 K Q
50 12 par de letras: GR ( ( 7 18 ( ( 4 17 (mod26 D Q 13 par de letras: AD ( ( ( 16 9 (mod26 P I
51 14 par de letras: EC ( ( 5 3 ( ( 3 11 (mod26 C K 15 par de letras: AU ( ( 1 21 ( ( (mod26 O Q
52 16 par de letras: MP ( ( ( ( V S 17 par de letras: RO ( ( ( ( (mod26 M V
53 18 par de letras: FE ( ( 6 5 ( ( (mod26 M P 19 par de letras: SS ( ( ( ( 3 5 (mod26 C E
54 20 par de letras: OR ( ( par de letras: DE ( ( (mod26 J Y ( ( 4 5 ( ( 5 14 (mod26 E N
55 22 par de letras: AL ( ( ( ( (mod26 N Y 23 par de letras: GA ( ( 7 1 ( 31 9 ( 5 9 (mod26 E I
56 Assim, obtemos a mensagem cifrada completa: MCCZAMEGIZOSUEKVUJCEKQDQPICKOQVSMVMPCEJY ENNYEI Agrupando-as dois a dois, MC CZ AM EG IZ OS UE KV UJ CE KQ DQ PI CK OQ VS MV MP CE JY EN NY EI
57 AGORA, FAREMOS A OPERAÇÃO INVERSA, PARA PODER DECIFRAR O CÓDIGO RECÉM APRESENTADO
58 Cada cifra possui um método para decifrar No caso da Cifra de Hill, usa-se a inversa(mod 26 da matriz codificadora Para ser preciso, dizemos que uma matriz A é inversível módulo m, no caso (mod26 se existir uma matriz B que satisfaça: AB BA I (mod m Sendo I a matriz identidade: (
59 EXEMPLO: DECIFRANDO A CIFRA DE HILL DO EXEMPLO ANTERIOR: Encontrar a inversa da matriz codificadora (mod 26 Matriz codificadora: que é uma matriz: ( (mod26 ( a b c d
60 Após, calculamos o determinate da matriz codificadora: det(a ad bc Depois de encontrarmos o valor do determinante da matriz codificadora, achamos o seu correspondente do recíproco módulo 26 na tabela 2: TABELA 2: (recíprocos módulo 26 a a Correspondente de det(a é igual a 21, pela tabela 2
61 Assim, podemos determinar a matriz inversa de det(a (mod 26 que é dada por: ( A 1 1 d b deta c a (mod26 Onde 1 deta é o recíproco do resíduo de deta(mod 26
62 Então, A 1 21 ( ( ( (mod26 42 > 25, então resto 16, isto é, 42 16(mod > 25, então resto 11, isto é, 63 15(mod 26 21, quando temos um valor negativo menor que 25, subtraimos 26 do módulo deste valor, achando seu recíproco módulo 26, , isto é, 21 5(mod > 25, então resto 6, isto é, 84 6(mod26
63 Então, A 1 21 ( ( ( (mod26 42 > 25, então resto 16, isto é, 42 16(mod > 25, então resto 11, isto é, 63 15(mod 26 21, quando temos um valor negativo menor que 25, subtraimos 26 do módulo deste valor, achando seu recíproco módulo 26, , isto é, 21 5(mod > 25, então resto 6, isto é, 84 6(mod26
64 Então, A 1 21 ( ( ( (mod26 42 > 25, então resto 16, isto é, 42 16(mod > 25, então resto 11, isto é, 63 15(mod 26 21, quando temos um valor negativo menor que 25, subtraimos 26 do módulo deste valor, achando seu recíproco módulo 26, , isto é, 21 5(mod > 25, então resto 6, isto é, 84 6(mod26
65 Então, A 1 21 ( ( ( (mod26 42 > 25, então resto 16, isto é, 42 16(mod > 25, então resto 11, isto é, 63 15(mod 26 21, quando temos um valor negativo menor que 25, subtraimos 26 do módulo deste valor, achando seu recíproco módulo 26, , isto é, 21 5(mod > 25, então resto 6, isto é, 84 6(mod26
66 Então, A 1 21 ( ( ( (mod26 42 > 25, então resto 16, isto é, 42 16(mod > 25, então resto 11, isto é, 63 15(mod 26 21, quando temos um valor negativo menor que 25, subtraimos 26 do módulo deste valor, achando seu recíproco módulo 26, , isto é, 21 5(mod > 25, então resto 6, isto é, 84 6(mod26
67 Conferindo a matriz inversa módulo 26: AA 1 I(mod26 ( ( AA 1 ( ( (mod26 OK!
68 Código da frase mostrada anteriormente: MCCZAMEGIZOSUEKVUJCEKQDQPICKOQVSMVMPCEJY ENNYEI MC CZ AM EG IZ OS UE KV UJ CE KQ DQ PI CK OQ VS MV MP CE JY EN NY EI
69 DECIFRANDO O CÓDIGO: Para decifrarmos o cógido de Hill, multiplicamos o correspondente numérico das letras(tabela 1, pela matriz inversa da matriz codificadora módulo 26, calculada anteriormente: Correspondentes na tabela 1, do código acima:
70 Decifrando os pares de letras: 1 par de letras: MC ( ( 13 3 ( 19 5 S E 2 par de letras: CZ ( ( 3 0 ( V O
71 3 par de letras: AM ( ( 1 13 ( 3 5 C E 4 par de letras: EG ( ( 5 7 ( 3 15 C O
72 5 par de letras: IZ ( ( 9 0 ( N S Até agora não encontramos nenhum valor maior que 25, portanto não precisamos utilizar a aritmética modular nestes A partir de agora, encontraremos valores maiores que 25, e utilizaremos a método anterior do módulo 26
73 6 par de letras: OS ( ( ( ( 5 7 (mod26 E G 525 > 25 então resto 5, isto é 525 5(mod > 25 então resto 7, isto é 189 7(mod26
74 7 par de letras: UE ( ( 21 5 ( ( 21 5 (mod26 U E 411 > 25 então resto 21, isto é (mod > 25 então resto 5, isto é 135 5(mod26
75 8 par de letras: KV ( ( ( ( 12 5 (mod26 L E 506 > 25 então resto 12, isto é (mod > 25 então resto 5, isto é 187 5(mod26
76 9 par de letras: UJ ( ( ( ( 18 9 (mod26 R I 486 > 25 então resto 18, isto é (mod > 25 então resto 9, isto é 165 9(mod26
77 10 par de letras: CE ( ( 3 5 ( ( (mod26 S S 123 > 25 então resto 19, isto é (mod26 45 > 25 então resto 19, isto é 45 19(mod26
78 11 par de letras: KQ ( ( ( ( 15 1 (mod26 O A 431 > 25 então resto 15, isto é (mod > 25 então resto 1, isto é 157 1(mod26
79 12 par de letras: DQ ( ( 4 17 ( ( 7 18 (mod26 G R 13 par de letras: PI ( ( 16 9 ( ( 1 4 (mod26 A D
80 14 par de letras: CK ( ( 3 11 ( ( 5 3 (mod26 E C 15 par de letras: OQ ( ( ( ( 1 21 (mod26 A U
81 16 par de letras: VS ( ( ( ( (mod26 M P 17 par de letras: MV ( ( ( ( (mod26 R O
82 18 par de letras: MP ( ( ( ( 6 5 (mod26 F E 19 par de letras: CE ( ( 3 5 ( ( (mod26 S S
83 20 par de letras: JY ( ( ( ( (mod26 O R 21 par de letras: EN ( ( 5 14 ( ( 4 5 (mod26 D E
84 22 par de letras: NY ( ( ( ( 1 12 (mod26 A L 23 par de letras: EI ( ( 5 9 ( ( 7 1 (mod26 G A
85 Mensagem cifrada: SE VO CE CO NS EG UE LE RI SS OA GR AD EC AU MP RO FE SS OR DE AL GA Trocando o segundo C por Ç: SE VOCÊ CONSEGUE LER ISSO, AGRADEÇA UM PROFESSOR DE ALGA!
86 wwwinf ufscbr/ davigp/ine 5386/Enigma/ informaticahswuolcombr/criptografiahtm ensinounivatesbr/ chaet/algebra L inearhtml wwwinfowestercom/criptografiaphp wwwmagiadamatematicacom/diversos/eventos/20 congruenciapdf Álgebra Linear com Aplicações -ANTON E RORRES
87 Título MUITO OBRIGADA PELA ATENÇÃO!!!!!!!!
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