Números primos e Criptografia

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1 1 Universidade de São Paulo/Faculdade de Educação Seminários de Ensino de Matemática (SEMA-FEUSP) Coordenador: Nílson José Machado novembro/2008 Números primos e Criptografia Marisa Ortegoza da Cunha [email protected] A necessidade de buscar sigilo no envio e recebimento de informações é muito antiga, remontando a centenas de anos. A idéia, aqui, é apresentar uma estratégia de codificação de mensagens que se utiliza de números primos MUITO grandes, e que só se tornou exeqüível com o surgimento do processamento eletrônico (durante a segunda guerra mundial, vários artefatos mecânicos foram projetados com a finalidade de codificar as mensagens enviadas). O termo criptografia deriva da fusão das palavras gregas kryptós (oculto) e gráphein (escrever). A chamada criptografia de chave pública tem esse nome porque uma das chaves (há duas chaves: uma pública e outra, privada) do código a ser aplicado à mensagem é acessível a estranhos e, mesmo assim, o sigilo da mensagem é preservado. Tratamos aqui de cifragem por computador. Computadores manipulam apenas números binários, isto é, seqüências de 0 e 1. O primeiro passo, então, é transformar a mensagem em um número desse tipo. O método mais usual é adotar o código ASCII (American Standard Code for Information Interchange Código padrão americano para troca de informações), que representa cada caracter a ser codificado por uma seqüência de 7 bits. Por exemplo, a letra L (maiúscula) é representada pela seqüência Interpretada corretamente, como sendo um número escrito na base 2, podemos traduzi-lo para a base 10, por meio do seguinte cálculo: ( ) 2 = 1x x x x x x2 + 0 = = 72, isto é, a letra L é cifrada como sendo 72. Por transformar um número (o texto original) em outro número (o texto cifrado), podemos pensar que toda codificação realizada por computador é uma função matemática. O problema é que uma mensagem deve ter sua codificação facilitada e sua decodificação muito dificultada!! Assim, a função codificadora deve ser de difícil (se não impossível) inversão. Queremos uma função de mão única. Uma fonte de funções desse tipo é a chamada aritmética modular (ou aritmética do relógio) - Considere os algarismos 0, 1,..., n, dispostos em círculo, como os números no mostrador de um relógio. Por exemplo, a figura abaixo mostra um relógio para aritmética modular para n = 7 (diremos: aritmética módulo 7 e representaremos por (mod 7)):

2 2 Para calcular 3 + 2, começamos no 3 e avançamos duas casas, chegando ao 5, que é a mesma resposta que obteríamos na aritmética normal, Mas se quisermos calcular 5+3, começamos no 5 e avançamos 3 casas, chegando no 1, resultado bem diferente do fornecido pela aritmética normal. Escrevemos: = 5 (mod 7) 5+3 = 1 (mod 7) Na prática, o resultado de uma operação realizada (mod 7) é o RESTO da divisão do resultado obtido na aritmética normal, por 7. Por exemplo, 10 (mod 7 ) = 3. Neste caso, também podemos escrever na forma: 10 3 (mod 7) e ler 10 é congruente a 3 módulo 7. Pensemos, agora, na função x 3 x. Se x = 4, rapidamente calculamos 3 4 = 81. O inverso também é simples: se sabemos que 3 x = 243, podemos, por tentativas, chegar ao resultado correto: x = 4. Vejamos, contudo, como essa função se comporta na aritmética modular: 3 4 (mod 7) = 81 (mod 7) = 4 Até aqui, tudo bem. Só tivemos que dividir 81 por 7 e usar o resto. Mas e se sabemos que 3 x = 1(mod 7), o que fazer? A única saída segura é construir a tabela para todos os valores possíveis de x: x: x : x (mod 7): E vemos, então, que o valor procurado para x é 1. É fácil, agora, imaginar, a dificuldade que teríamos para resolver uma equação como: 453 x (mod ) = O método RSA O nome deste criptossistema é uma homenagem a seus inventores: Ronald Rivest, Adi Shamir e Leonard Adleman, pesquisadores do MIT (Massachusetts Institute of Technology). O método se baseia nas seguintes relações: Função de Eüler: Se n = pq, onde p e q são números primos distintos, então (n) = (p-1)(q-1). A função (n) é o número de inteiros de 1 a n relativamente primos com n.

3 3 Exemplo: se p = 3 e q = 5 então n = pq = 15 e (15) = 2x4 = 8 (De fato, há 8 números inteiros de 1 a 15 relativamente primos com 15: 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14). Teorema de Eüler: Se n e a são inteiros relativamente primos, com n >0, então a (n) 1 (mod n). Exemplo: sejam n = 10 e a = 3. Então podemos escrever 10 = 2 x 5 e (10) = (2-1)(5-1) = 4 e a (n) = 3 4 = 81 e 81 (mod 10) = 1, isto é, 81 1 (mod 10). Problema: Alice quer enviar uma mensagem a Bob, sem que Eva, que pode interceptar a mensagem, consiga compreender seu conteúdo. O método RSA prevê os seguintes passos: 1. Bob escolhe dois números primos muito grandes, p e q. 2. Bob calcula n = pq. 3. Bob calcula (n) = (p-1)(q-1). 4. Bob escolhe um número aleatório m relativamente primo a (n). 5. Bob calcula o número d tal que m. d (mod (n)) = 1. (Para isso, Bob pode usar de tentativas ou usar o algoritmo de Euclides.) 6. Bob transmite os números n e m para Alice, mantendo d em segredo). (Note que para conhecer d, é preciso conhecer (n), o que fica difícil quando não se sabe quais são os primos p e q). 7. Alice converte sua mensagem num número M e calcula N M m (mod n). 8. Alice envia N para Bob. 9. Bob calcula M N d (mod n) = (M m ) d = M md (mod n) e lê a mensagem. Na prática, os números primos escolhidos são muito grandes, pois toda a segurança que a criptografia RSA oferece depende da dificuldade de se fatorar o produto pq!! Apenas como exemplo, vamos escolher números primos pequenos. Exemplo. 1. Bob escolhe p = 17 e q = Bob calcula n = pq = 17x11 = Bob calcula (187) = 16x10 = Bob escolhe um número m, primo com 160; por exemplo, m = Bob tem que encontrar um número d tal que 7d (mod 160) = 1. Por tentativas: d = 1 7 (mod 160) = 7 d = 2 14 (mod 160) = 14 d = 3 21 (mod 160) = 21 d = 4 28 (mod 160) = d = (mod 160) = 1 encontrou! Então d = 23.

4 4 6. Bob manda n = 187 e m = 7 para Alice. (Somente Bob conhece o valor de d.) 7. Alice quer enviar um beijo para Bob, na forma da única letra X. No código ASCII, X é representado por , que equivale a 88, em decimais. Assim, M = 88. Alice calcula N M m (mod n) = 88 7 (mod 187) = = [88 2 (mod 187) x 88 2 (mod 187) x 88 2 (mod 187) x 88(mod 187)] (mod 187) = = [7744(mod 187) x 7744(mod 187) x 7744(mod 187) x 88] (mod 187) = = (77 x 77 x 77 x 88) (mod 187) = = (mod 187) = = 11 8.Alice envia N = 11 para Bob. 9. Bob calcula M N d (mod n) = (mod 187) 11 9 (mod 187) = [11 3 (mod 187) x 11 3 (mod 187) x 11 3 (mod 187)](mod 187) = = (22 x 22 x 22)(mod 187) = (mod 187) = [11 9 (mod 187) x 11 9 (mod 187)](mod 187) = (176 x 176)(mod 187) = (mod 187) = 44 Então M = (121 x 44)(mod 187) = 5324(mod 187) = 88, que, sabemos, é a codificação da letra X e a mensagem chegou ao seu destino. Eva teve acesso às chaves públicas: n e m, assim como à mensagem N, criptografada. Ela também poderia saber o que fazer para quebrar o código e ler a mensagem, mas faltou a chave privada de Bob: o número d. E para conhecer d, Eva teria que conhecer p e q, ou seja, teria que fatorar o número n na dificuldade dessa fatoração é que reside toda a força do método RSA. Observação importante: Nosso exemplo lidou com uma mensagem de comprimento mínimo e números primos pequenos. Mesmo assim os cálculos tomaram uns bons minutos para serem feitos numa calculadora. Na prática, o método RSA é usado para criptografar todos os nossos dados, numa transação via internet (como CPF, número de cartão de crédito etc.), e os números primos escolhidos são da ordem de milhões de algarismos. Cálculos possíveis apenas para computadores. Esses números primos monstruosos são guardados a sete chaves pelas empresas ou órgão oficiais que oferecem segurança de redes de transmissão. E são realizados esforços computacionais em torno do mundo todo em busca de novos números primos, sempre e sempre maiores. Em 1977, o matemático e escritor americano Martin Gardner fez um desafio para a codificação de um texto cifrado por ele e forneceu para a chave o número: n = Para decifrar o texto seria necessário encontrar os fatores primos desse número, o que só foi possível dezessete anos mais tarde, pelo esforço conjunto de 600 pessoas de vários países, utilizando computadores e supercomputadores espalhados pelo mundo.

5 5 Os fatores de n são: p = e q = O texto de Gardner, decifrado: as palavras mágicas são estruturas sensíveis. O maior número primo conhecido até 06 de setembro de 2004 era , com algarismos. ***** ***** Por que o método RSA funciona? O número d (chave privada) é o elemento inverso de m, em Z* (n), conjunto formado pelos números de 0 a (n)-1, que são relativamente primos com (n). (Somente esses números possuem um inverso, no conjunto). Por exemplo, se n = 15 = 3 x 5, então (15) = 2 x 4 = 8.Z (15) = Z 8 = {0,1,2,3,4,5,6,7}. Quais desses elementos são inversíveis nesse conjunto? Observem que somente aqueles que são relativamente primos com 8: 1, 3, 5 e 7 (neste caso, cada um destes é o inverso de si mesmo). Consideremos M relativamente primo com n. Então, pelo teorema de Euler, M (n) = 1 (mod n). Elevando os dois lados dessa igualdade a uma potência positiva k, temos: M k (n) = 1 k (mod n) M k (n) = 1 (mod n). Multiplicando os dois lados por M: M k (n)+1 = M (mod n). Então, se md = k (n) + 1 (mod n), teremos M md = M (mod n), por isso, devemos ter md = 1 (mod (n)). Bibliografia Burnett, Steve & Paine, Stephen. Criptografia e segurança o guia oficial RSA. Rio de Janeiro: Campus, Scheinerman, Edward R., Matemática Discreta uma introdução. São Paulo: Thomson,2000. Singh, Simon. O livro dos códigos. Rio de Janeiro: Record, 1999.