seção transversal Figure 1: Barra Cilíndrica Maciça 1. seção transversal uniforme (a barra é perfeitamente cilíndrica e maciça);

Transcrição

1 1 Condução de Calor 1.1 Introdução Estudaremos agora o prolema de condução de calor unidimensional, onde utilizaremos como modelo uma arra cilíndrica maciça com uma distriuição inicial de temperatura dada por uma função f. Este estudo, iniciado por Fourier, nos leva a uma equação diferencial parcial, que solucionaremos utilizando Séries de Fourier. 1.2 Equação de Condução de Calor Consideremos uma arra cilíndrica reta, de comprimento, com eixo sore o eixo das ascissas e origem em x = 0 (Figura 1), so as seguintes condições: seção transversal eixo - x x = 0 x = Figure 1: Barra Cilíndrica Maciça 1. seção transversal uniforme (a arra é perfeitamente cilíndrica e maciça); 2. laterais perfeitamente isoladas (não existe transferência de calor pelas laterais); 3. material isotrópico (homogêneo: a condutividade térmica k, a densidade ρ e o calor específico s são constantes em toda a arra); 4. a temperatura, denotada por u, é constante em qualquer seção transversal da arra, ou seja, u varia somente com a direção axial x e com o tempo t e não varia na direção radial r. ogo temos que u = u(x, t). So estas hipóteses a variação da temperatura u = u(x, t) da arra é governada pela equação diferencial parcial 1 : α 2 u xx = u t, 0 < x <, t > 0, (1) conhecida como equação de condução de calor. Em (1) o parâmetro α 2 é chamado difusividade térmica e dado por α 2 = k ρs [=]comprimento2, tempo e como k, ρ e s são considerados constantes, a difusividade térmica tamém é constante. A difusividade térmica é uma propriedade do material da arra, associada à sua maior ou menor capacidade de conduzir calor. 1 A dedução deste modelo matemático pode ser encontrada em [?, págs ]. 1

2 Oserve que (1) é uma equação diferencial parcial, pois a função incógnita u, que nos dá a temperatura da arra, é função do tempo t e da posição axial x, ou seja, a função incógnita é uma função de duas variáveis, uma de tempo e uma de dimensão. Uma vez que a derivada com relação ao tempo é de primeira ordem, necessitamos de uma única condição inicial (que nos informa a situação da arra no tempo inicial t = 0). Por outro lado, a derivada com relação à dimensão é de segunda ordem e desta forma necessitamos de duas condições de contorno (que nos informa a condição da arra em seus contornos, ou seja, em suas extremidades x = 0 e x = ). 1.3 Condição Inicial Consideremos que no instante inicial a arra apresenta um perfil de temperaturas dado por f(x). Assim a equação diferencial (1) possui a seguinte condição inicial: 1.4 Condições de Contorno u(x, 0) = f(x), 0 <= x <=. (2) Uma vez que calor não atravessa as extremidade da arra, consideraremos as temperaturas fixas nas extremidades: T 1 em x = 0 e T 2 em x =. Consideraremos estas temperaturas nulas, T 1 = T 2 = 0 (o caso onde não são nulas será visto nos prolemas). Assim a equação diferencial (1) possui as seguintes condições de contorno: u(0, t) = 0, u(, t) = 0, t > 0. (3) Então, nosso prolema é encontrar u = u(x, t) que satisfaz a equação (1), a condição inicial (2) e as condições de contorno (3). 1.5 Separação de Variáveis Para solucionar (1) utilizaremos um método conhecido como método da separação de variáveis, cuja principal característica é a sustituição da equação diferencial parcial original por um sistema de equações diferenciais ordinárias (que podem ser facilmente resolvidas). Especificamente falando, o método supõe que a solução procurada é dada pelo produto de duas funções, uma somente da variável x e outra somente da varivel t. Ou seja, supomos uma solução da forma ou simplesmente u(x, t) = X(x)T (t), (4) u = XT, onde fica implícito que u é uma função de x e t, X é função somente de x e T é função somente de t. Derivando (4) e sustituindo em (1) otemos α 2 X T = XT, (5) onde as linhas representam derivadas ordinárias com relação a x ou t. Reescrevemos (5) como X X = 1 α 2 T T, (6) onde as variáveis estão separadas, uma vez que o memro esquerdo depende somente de x e o memro direito depende somente de t. Como cada memro de (6) depende de uma única variável, temos que amos devem ser iguais a uma mesma constante. Para ver isto, considere x constante e 2

3 faça t variar. O primeiro memro de (6) será constante enquanto o segundo varia, violando assim a igualdade. Chamando esta constante 2 de σ otemos X X = 1 α 2 T T = σ, donde otemos duas equações diferenciais ordinárias, uma para X(x) e outra para T (t) X σx = 0, (7) T α 2 σt = 0. (8) Neste ponto fica clara a utilização do método: a equação diferencial parcial (1) foi sustituída pelas equações diferenciais ordinárias (7) e (8), que podem ser facilmente resolvidas para qualquer valor da constante de separação σ. Assim, por (4) temos que a solução de (1) é simplesmente o produto das soluções de (7) e (8). 1.6 Solução da equação X σx = 0 A princípio a constante de separação σ pode assumir qualquer valor. Mas, uma vez que nossa solução de (1) deve satisfazer tamém as condições de contorno (3), veremos que os valores possíveis para σ são restritos. Para ver isto, oservemos que pela primeira condição de contorno em (3), temos u(0, t) = X(0)T (t) = 0. Aqui se fizermos T (t) 0 para todo t, teríamos uma solução de (1) identicamente nula, u(x, t) 0 3. ogo, temos origatoriamente X(0) = 0. (9) Pela segunda condição de contorno em (3), temos que nos leva, pelo mesmo raciocínio, a u(, t) = X()T (t) = 0 X() = 0. (10) Desta forma, nossa equação ordinária (7) está sujeita as condições de contorno (9) e (10). Para solucionar (7) devemos considerar três casos: 1. Caso σ = 0. A equação (7) torna-se X = 0, cuja solução geral é imediatamente otida (asta integrar duas vezes) e dada por X(x) = c 1 x + c 2. Utilizando a condição de contorno (9) temos que c 2 = 0. Em seguida, utilizando a condição de contorno (10) temos que c 1 = 0 2 tal constante é chamada constante de separação. O motivo ficará claro adiante. 3 Oserve que a equação (1) é homogênea, logo admite a solução identicamente nula u(x, t) 0, chamada solução trivial. Evidentemente tal solução trivial não possui nenhum interesse e estamos exatamente interessados em determinar soluõ es não-triviais (se existirem). 3

4 (verifique estes cálculos). Otemos então X(x) = 0, o que é inaceitável, pois desta forma (4) nos levaria a uma solução identicamente nula u(x, t) 0 de (1). ogo σ não pode ser nulo. 2. Caso σ > 0. Neste caso sustituímos σ por λ 2. A equação (7) torna-se 4 X λ 2 X = 0, (11) que reconhecemos ser uma equação ordinária linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, cuja equação característica é donde otemos as raízes r 2 λ 2 = 0, r 2 = λ 2 r = ±λ. Com estes valores de λ a solução geral de (11) é dada por X(x) = c 1 e λx + c 2 e λx, (12) e aplicando as duas condições de contorno (9) e (10) otemos o sistema linear { c1 + c 2 = 0 c 1 e λ + c 2 e λ = 0 (13) nas variáveis c 1 e c 1. Pela primeira equação de (13) temos que c 2 = c 1 e a segunda torna-se c 1 e λx c 1 e λx = c 1 (e λx e λx ) = 0. (14) Uma vez que λ 0 (hipótese descartada no caso anterior) e 0 (comprimento da arra), temos que e λx e λx 0 e desta forma Consequentemente e por (12) otemos novamente c 1 = 0. c 2 = 0 X(x) = 0, o que é inaceitável, pois desta forma (4) nos levaria novamente a uma solução identicamente nula u(x, t) 0 de (1). ogo σ tamém não pode ser positivo. 3. Caso σ < 0. Neste caso sustituímos σ por λ 2 (aqui o parâmetro λ não é necessariamente real, ou seja, pode ser complexo). A equação (7) torna-se X + λ 2 x = 0, (15) que tamém reconhecemos ser uma equação ordinária linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, cuja equação característica é r 2 + λ 2 = 0, 4 Esta sustituição é feita somente para evitar raízes na resolução da equação característica da equação diferencial (7). Oviamente tal sustituição não afeta nossa solução. 4

5 donde otemos as raízes r 2 = λ 2 r = ±iλ. Como as raízes da equação característica são complexas, temos que a solução geral de (15) é da forma X(x) = Acos(λx) + Bsen(λx), (16) onde A, B R. Utilizando a condição de contorno (9) otemos A = 0. Em seguida, utilizando a condição de contorno (10) otemos Bsen(λ) = 0 (verifique estes cálculos). Neste ponto oservamos que, se B = 0, oteríamos mais uma vez X(x) = 0, o que seria inaceitável, pois desta forma (4) nos levaria uma terceira vez a uma solução identicamente nula de (1). Somos então forçados a fazer sen(λ) = 0. Da trigonometria saemos que para que o seno de um ângulo seja nulo tal ângulo deve ser um múltiplo inteiro de π. ogo devemos ter λ = nπ λ = nπ, onde n Z (n não pode ser nulo, pois isto implicaria o caso 1). Para este valor de λ a solução (16) fica X(x) = Bsen( nπx ). Como n é qualquer valor inteiro, a expressão anterior nos fornece infinitas soluções da equação diferencial (7) (uma para cada valor de n). Oviamente, para cada uma destas infinitas soluções devemos esperar uma constante B diferente. Desta forma reescrevemos a solução anterior na forma X(x) = B n sen( nπx ), = ±1, ±2,... (17) onde fica explícito que teremos uma constante distinta para cada valor de n. Resumindo: até este ponto mostramos que para otermos uma solução não-trivial da equação (7) que satisfaça as condições de contorno (9) e (10) a constante de separação σ deve assumir certos valores reais negativos, dados por σ = λ 2 = n2 π 2 2, (18) onde n é um inteiro não nulo 5. Além disto, mostramos tamém que para tais valores de σ a solução de (7) é dada por X(x) = B n sen( nπx ), = ±1, ±2,..., conforme encontramos em (17). 5 em outras palavras: só podemos solucionar a equação (7) se o valores da constante σ forem dados por (18). Tais valores são chamados autovalores da equação diferencial (7) 5

6 1.7 Solução da equação T α 2 σt = 0 Para solucionar (8) sustituímos o valor de σ dado por (18) em (8). Otemos T + α2 n 2 π 2 2 T = 0, que é uma equação diferencial linear homogênea de primeira ordem com coeficientes constantes. Transpondo o segundo termo, otemos T = α2 n 2 π 2 2 T. Uma vez que T = dt dt, separamos as variáveis para oter e integrando amos os memros dt T = n 2 π 2 α2 2 dt, ln(t ) = α2 n 2 π 2 2 t + c. Tomando a exponencial de amos os memros, a solução é dada por T (t) = Ae α2 n 2 π 2 t 2, onde A = e c é uma constante. Como antes, existem infinitas soluções, uma para cada valor de n. Reescremos a solução anterior como 1.8 Solução da Equação de Condução de Calor T (t) = A n α 2 n 2 π 2 t 2, (19) De acordo com (4) a solução da equação de condução de calor (1) é dada pelo produto de (17) e (19): u n (x, t) = A n e α2 n 2 π 2 t 2 B n sen( nπx ). Agrupando as constantes aritrárias (A n B n = k n ), concluímos que as funções u n (x, t) = k n e α2 n 2 π 2 t 2 sen( nπx ), (20) são soluções de (1) que satisfazem as condições de contorno (3). Tais soluções são denominadas soluções fundamentais do prolema de condução de calor dado por (1) e (3). Uma vez que a equação diferencial parcial (1) e as condições de contorno (3) são lineares e homogêneas, saemos do príncipio da superposição que a solução geral de (1) é dada pela cominação linear das soluções fundamentais. Como existem infinitas soluções fundamentais (para os infinitos valores de n), a solução geral é dada pela série u(x, t) = n Z u n (x, t) = n Z k n e α 2 n 2 π 2 t 2 sen( nπx ). Nesta solução n deve assumir apenas valores positivos, uma vez que valores negativos nos levaria às mesmas soluções uma segunda vez: e n2t = e ( n)2t e k n sen(nx) + k n sen( nx) = K n sen(nx) 6

7 pois o seno é ímpar e simplesmente agrupamos as constantes. ogo reescrevemos a solução geral como u(x, t) = u n (x, t) = k n e α2 n 2 π 2 t 2 sen( nπx ). (21) onde os coeficientes k n ainda são indeterminados. Uma vez que (21) é solução da equação diferencial parcial (1) que satisfaz s condições de contorno (3), devemos determinar os k n de modo a satisfazer a condição inicial (2). A princípio admitimos uma solução em série infinita, pois não saemos o número de soluções fundamentais que devem ser superpostas para satisfazer a condição inicial dada em (2). Os exemplos a seguir ilustram algumas situações. Exemplo 01: encontre a solução do prolema de condução de calor (1), (2) e (3), tal que f(x) = 3sen( 4πx ). Solução: conforme dito anteriormente, a solução (21) é solução de (1) que satisfaz s condições de contorno (3). Devemos agora origar (21) a satisfazer a condição inicial dada acima. ogo u(x, 0) = k n e α2 n 2 π sen( nπx ) = k n sen( nπx ) = 3sen(4πx ), (22) assim, pela última igualdade em (22) oservamos que é necessária apenas uma única solução fundamental, aquela onde n = 4. Assim, tem-se que k 4 = 3 e k n = 0 (para todo n 4), e a solução é u(x, t) = 3e 16α2 π 2 t 2 sen( 4πx ). Exemplo 02: encontre a solução do prolema de condução de calor (1),(2) e (3), tal que f(x) = 5sen( πx ) + 7sen(2πx ) + 9sen(3πx ). Solução: origando (21) a satisfazer a condição inicial dada acima, tem-se u(x, 0) = k n sen( nπx ) = 5sen(πx ) + 7sen(2πx ) + 9sen(3πx ), (23) assim, pela última igualdade em (23) oservamos que são necessárias 3 soluções fundamentais, aquelas para n = 1, 2, 3. tem-se que k 1 = 5, k 2 = 7, k 3 = 9 e k n = 0 (para todo n > 3), e a solução é u(x, t) = 5e α2 π 2 t 2 sen( πx 1.9 Considerações Finais ) + 4α 2 π 2 t 7e 2 sen( 2πx ) + 9α 2 π 2 t 9e 2 sen( 3πx ). Neste ponto fica claro a necessidade de nosso estudo prévio sore séries de Fourier. A menos que a função f(x) da condição inicial (2) seja dada por uma cominação linear de senoidais da forma sen( nπx ), como nos exemplos acima, devemos ser capazes de representá-la através de uma série de senos. Vimos que isto pode ser conseguido para a maioria das funções periódicas, utilizando nosso conhecimento sore séries de Fourier. Neste sentido, oservamos que devemos representar f(x) por uma série de senos no intervalo 0 x, e isto pode ser feito através de um desenvolvimento ímpar em meio período de f(x) sore este intervalo, de modo que para satisfazer a condição inicial (2), tem-se que u(x, 0) = k n sen( nπx ) = f(x), (24) 7

8 ou seja, os coeficientes k n de nossa solução são os próprios coeficientes n do desenvolvimento periódico ímpar de f(x) no intervalo 0 x. Assim a solução do prolema de condução de calor (1), sujeito condição inicial (2) e às condições de contorno (3) é dado por u(x, t) = n e α2 n 2 π 2 t 2 onde os coeficientes n, com T = 2, são dados por 1.10 Prolemas n = 2 0 f(x)sen nπx dx Para resolver os prolemas a seguir utilize os dados da Taela 01: Material α 2 (cm 2 /s) Ag 1.71 Cu 1.14 Al 0.86 Ferro Fundido 0.12 sen( nπx ), (25) Tale 1: Difusividade Térmica de Alguns Materiais Usuais [?, Pág. 421]. 1. Estaeleça (sem resolver) o prolema de valor de contorno que determina a temperatura numa arra de core de 1m de comprimento, supondo que toda a arra está originalmente a 20 o C e uma das extremidades é aquecida suitamente para 60 o C e mantida nesta temperatura enquanto a outra extremidade é mantida a 20 o C. 2. Estaeleça (sem resolver) o prolema de valor de contorno que determina a temperatura num astão de prata de 2m de comprimento se os extremos forem mantidos às temperaturas de 30 o C e 50 o C respectivamente. Suponha que a distriuição inicial seja dada por uma função linear da distância ao longo da arra consistente com as condições de contorno acima. 3. Estaeleça (sem resolver) o prolema de valor de contorno que determina a temperatura numa arra de alumínio de 4m de comprimento se amos extremos forem mantidos à temperatura de 0 o C. Suponha que a distriuição inicial seja dada por uma função quadrática da distância ao longo da arra consistente com as condições de contorno acima, e com a condição que a temperatura no centro do astão seja de 6 o C. 4. Ache a solução do prolema de condução de calor: 100u xx = u t, 0 < x < 1, t > 0 u(0, t) = 0, u(1, t) = 0, t > 0 u(x, 0) = sen(2πx) 2sen(5πx), 0 x 1 5. Ache a solução do prolema de condução de calor: u xx = 4u t, 0 < x < 2, t > 0 u(0, t) = 0, u(2, t) = 0, t > 0 u(x, 0) = 2sen( πx ) sen(πx) + 4sen(3πx 2 2 ), 0 x 2 8

9 6. Utilize (se possível) o método de separação de variáveis para sustituir cada equação diferencial parcial a seguir por um par de equações diferenciais ordinárias. (a) xu xx + u t = 0 () u xx + U xt + u t = 0 (c) xu xx + (x + y)u yy = 0 7. Considere a condução de calor num astão de core de 100cm de comprimento cujos extremos são mantidos a 0 o C para t > 0. Ache uma expressão para a temperatura u(x, t), se a distriuição inicial de temperatura no astão é dada por: (a) { u(x, 0) = x 0 x < x 50 x 100 () 0 0 x < 25 u(x, 0) = x < x Resolver o prolema de valor de contorno modelado no exercício Aqueça uma arra metálica de 20cm de comprimento a uma temperatura uniforme de 100 o C. Suponha que em t = 0 os extremos da arra sejam mergulhados num anho de gelo à 0 o C, mantidos à esta temperatura, mas que não se permita que calor escape pelas superfícies laterais. Encontre uma expressão para a temperatura em qualquer ponto da arra em qualquer tempo posterior. Use 5 termos da expansão em série de Fourier para determinar aproximadamente a temperatura no centro da arra no tempo t = 30 segundos, se a arra for feita de: (a) Prata. () Alumínio. (c) Ferro Fundido. 10. Para a situação do prolema anterior, ache o tempo que decorre antes que o centro da arra se resfrie para 20 o C, se a arra for feita de: (a) Prata. () Alumínio. (c) Ferro Fundido. (os.: utilize apenas um termo da Série) 9

10 2 Virações de uma Corda Elástica 2.1 Introdução Suponha uma corda elástica de comprimento firmemente esticada entre dois suportes nivelados horizontalmente, de modo que o eixo x se situe sore a corda (Figura 2). Suponha agora que x = 0 x = eixo - x Figure 2: Corda Elástica Firmemente Esticada a corda se movimente no plano, de modo que o deslocamento vertical no ponto x e no tempo t seja dado pela função u(x, t) (Figura 3). Desprezando o efeito de amortecimento causado pela u(x,t) u(x,t) x = 0 x = eixo - x u(x,t) Figure 3: Corda Elástica em Movimento (Viração) Vertical resistência do ar, o deslocamento vertical u(x, t) satisfaz a seguinte equação diferencial 6, 7 a 2 u xx = u tt, 0 < x <, t > 0, (26) conhecida como Equação da Onda. O coeficiente a é a velocidade de propagação da onda ao longo da corda e é dado por a 2 = T ρ, onde T é a tensão aplicada na corda, em Kg m s 2 ; e ρ é a densidade linear da corda, em Kg m. Assim as dimensões de a são: a 2 [=]Kg m s 2 m Kg = m2 s 2 a[=] m s. Vemos que as dimensões de a são realmente de velocidade. 6 A dedução deste modelo matemático pode ser encontrada em [?, págs ]. 7 Resultado válido para pequenas amplitudes de deslocamento vertical. 10

11 2.2 Condições de Contorno Uma vez que a equação diferencial parcial (26) é de segunda ordem com relação a dimensão x, necessitamos de duas condições de contorno. Como as extremidades da corda se mantêm fixas (presas), os deslocamentos verticais em x = 0 e em x = são nulos. Assim, as condições de contorno são u(0, t) = 0 e u(0, ) = 0. (27) 2.3 Condições Iniciais Uma vez que a equação diferencial parcial (26) é de segunda ordem com relação ao tempo t, necessitamos de duas condições iniciais. A primeira é a posição inicial da corda, dada por uma função f(x). Assim u(x, 0) = f(x), 0 x. A segunda é um campo de velocidades verticais iniciais, dado por uma função g(x). Assim ogo, as duas condições iniciais são u t (x, 0) = g(x), 0 x. u(x, 0) = f(x) e u t (x, 0) = g(x), 0 x. (28) Oservação: para que as condições de contorno (27) e as condições iniciais (28) sejam consistentes, devemos ter que f(0) = 0, f() = 0, g(0) = 0, g() = Viração ivre Trataremos agora do prolema da corda elástica em viração livre, ou seja, um deslocamento inicial não-nulo e velocidade inicial nula. Um caso típico é supor que inicialmente desloquemos a corda de sua posição de equilírio e então a lieremos com velocidade inicial zero, de modo que ela vire livremente (como a corda de um instrumento musical). Desta forma, o deslocamento vertical u(x, t) deverá satisfazer a equação (26), as condições de contorno (27) e as seguintes condições iniciais u(x, 0) = f(x) e u t (x, 0) = 0, 0 x. (29) onde f(x) é uma função que descreve a posição inicial da corda elástica. 2.5 Separação de Variáveis Fazendo ou simplesmente u = XT, temos que e Sustituindo (31) e (32) em (26), otemos u(x, t) = X(x)T (t), (30) u xx = X T (31) u tt = XT. (32) X T = 1 XT a2 ou X X = 1 a 2 T T. (33) 11

12 Igualando (33) a constante de separação σ, podemos escrever X σx = 0, (34) T a 2 σt = 0. (35) ogo, usando o método de separação de variáveis transformamos a equação diferencial parcial (26) em duas equações ordinárias homogêneas lineares de segunda ordem, uma para X(x), equação (34), e outra para T (t), equação (35). Exatamente como no caso da condução de calor, determinaremos os valores possíveis de σ utilizando as condições de contorno (27). 2.6 Solução da Equação X σx = 0 Sustituindo as condições de contorno (27) em (30), temos que { u(0, t) = X(0)T (t) u(, t) = X()T (t) e uma vez que T (t) não pode ser identicamente nula, (2.6) se reduz a X(0) = 0 e X() = 0. (36) Assim, devemos resolver a equação (34), sujeita as condições de contorno (36). Este prolema é o mesmo que tratamos anteriormente na condução de calor. Utilizando os resultados lá otidos, temos que (34) e (36) possuem soluções não triviais se e somente se σ = λ 2 = n2 π 2 2, n = 1, 2, 3,..., (37) de modo que X(x) = n sen( nπx ), n = 1, 2, 3,.... (38) 2.7 Solução da Equação T a 2 σt = 0 Usando os valores de σ dados por (37), a equação (35) torna-se cuja equação característica é T + a2 n 2 π 2 2 T = 0, r 2 + a2 n 2 π 2 2 = 0, e as raízes são r 1 = ianπ e r 2 = ianπ. ogo, a solução geral de (35) é dada por T (t) = A n cos( anπt ) + B nsen( anπt ). (39) 12

13 2.8 Solução da Equação da Onda Por (30) oservamos que a solução de (26) é dada pelo produto das soluções (38) e (39). Agrupando as constantes adequadamente as soluções fundamentais do prolema da corda elástica são dadas por u n (x, t) = sen( nπx )[α nsen( nπat ) + β ncos( nπat )], onde α n = n B n e β n = n A n. Pelo princípio da superposição, a solução geral é dada por u(x, t) = u n (x, t) = sen( nπx )[α nsen( nπat ) + β ncos( nπat )]. (40) Em (40) as constantes α n e β n devem ser escolhidas de modo a satisfazerem as condições iniciais (29). Utilizando a primeira, u(x, 0) = f(x), otemos u(x, 0) = sen( nπx )(0 + β n) = β n sen( nπx ) = f(x), e consequentemente os β n devem ser os coeficientes de uma série de Fourier de senos de f(x), dados por (T = 2) n = 2 f(x)sen nπx dx. Para utilizar a segunda, diferenciamos (40) termo a termo 8 com relação a t, otendo u t (x, t) = 0 sen( nπx )[α nπa n cos(nπat ) β nπa n sen(nπat )]. Sustituindo a segunda condição inicial, u t (x, 0) = 0 nesta última expressão otemos u t (x, 0) = sen( nπx )[α nπa n 0] = α n nπa sen(nπx ) = 0. nπa Assim, os termos α n devem ser os coeficientes da série de senos de Fourier da função identicamente nula. ogo, como todos os coeficientes desta série devem ser nulos, temos que α n = 0 para todo n. Assim, a solução (40) de (26), (27) e (29), torna-se onde 2.9 Prolemas u(x, t) = n = 2 sen( nπx )[β ncos( nπat )], 0 f(x)sen nπx dx. 1. Utilizando o resultado do texto, encontre o deslocamento u(x, t) de uma corda elástica de comprimento, que é fixada em seus extremos e posta em movimento com velocidade inicial nula a partir de uma posição inicial f(x) dada por: (esoce o gráfico da posição inicial) (a) { x 0 x f(x) = u(x, 0) = 2 x 2 < x 8 Aqui procedemos informalmente e supomos (40) uniformemente convergente 13

14 () x 0 x < 4 f(x) = u(x, 0) = 4 4 x < 3 4 x 3 4 x 2. Resolva novamente o prolema da corda elástica supondo agora um deslocamento inicial nulo, dado por u(x, 0) = 0 (posição inicial de equilírio), e velocidade inicial não nula, dada por u t (x, 0) = g(x), onde g é uma função dada. 3. Utilizando o resultado do exercício anterior, encontre o deslocamento u(x, t) de uma corda elástica de comprimento que é fixada em seus extremos e posta em movimento com posição inicial de equilrio u(x, 0) = 0 e velocidade inicial dada por: (esoce o gráfico da velocidade inicial) (a) { x 0 x f(x) = u(x, 0) = 2 x 2 < x () x 0 x < 4 f(x) = u(x, 0) = 4 4 x < 3 4 x 3 4 x 4. Mostre que a solução u(x, t) do prolema sujeito s condições de contorno e s condições iniciais pode ser escrita na forma a 2 u xx = u tt, 0 < x <, t > 0, u(0, t) = 0 e u(0, ) = 0, u(x, 0) = f(x) e u t (x, 0) = g(x), 0 x. u(x, t) = v(x, t) + w(x, t), onde v(x, t) é a solução do mesmo prolema com g(x) = 0 (conforme o texto) e w(x, t) é a solução do mesmo prolema com f(x) = 0 (conforme exercício 02). Desta forma temos a seguinte interpretação: (i) v(x, t) representa o movimento da corda iniciado a partir do repouso com um deslocamento inicial f(x), (ii) w(x, t) representa o movimento da corda posta em movimento a partir do equilírio com velocidade inicial g(x), e a solução do prolema genérico pode ser otida resolvendo-se os dois prolemas separadamente. 14

15 3 Equação de aplace 3.1 Introdução A Equação de aplace, em duas dimensões ou em três dimensões u xx + u yy = 0, (41) u xx + u yy + u zz = 0, (42) é uma equação diferencial parcial homogênea que ocorre com frequência em prolemas tempoindependentes (tamém chamados estacionários). Por exemplo, o prolema de condução de calor no plano (idimensional) é governado pela equação α 2 (u xx + u yy ) = u t (43) onde α é a difusidade térmica. Mas se por algum motivo a temperatura não depender do tempo, ou seja u = u(x, y), então u t = 0 e (43) é exatamente (41). Porém esta equação ocorre tamém em outras situações físicas importantes: campos eletrostáticos, energia potencial, hidrostática, etc. A Equação de aplace tamém é conhecida como Equação do Potencial, devido ao aparecimento em situações que envolvem energia potencial (gravitacional, elétrica, magnética). Como em (41) não aparece nenhuma derivada com relação ao tempo t, então não há nenhuma condição inicial a ser satisfeita. Porém, como existe uma derivada parcial segunda com relação a x, (41) deve satisfazer duas condições de contorno em x. De modo idêntico, como existe uma derivada parcial segunda com relação a y, (41) deve satisfazer duas condições de contorno em y. Oviamente, no caso tridimensional, (42) deve satisfazer a duas condições de contorno em x, duas em y e duas em z. 3.2 Prolema de Dirichlet O prolema de encontrar a solução da Equação de aplace que emprega como condições de contorno valores da função u(x, y) em cada curva de contorno é conhecida como Prolema de Dirichlet. Um tipo de prolema um pouco diferente, mas de solução análoga, emprega como condições de contorno valores das derivadas de u(x, y) normais a cada curva de contorno, e é chamado Prolema de Neumann. 3.3 Prolema de Dirichlet para um retângulo Consideremos agora o prolema de encontrar a solução u(x, y), com domnio restrito em uma região R = 0 < x < a, 0 < y < retangular do plano-xy (Figura 4). Especificamente falando, consideremos a equação sujeita às condições de contorno: u xx + u yy = 0, 0 < x < a, 0 < y < (44) 15

16 eixo - y y = região de solução y = 0 x = 0 x = a eixo - x Figure 4: Região Retangular - Prolema de Dirichilet em y: em x: u(x, 0) = 0 ; u(x, ) = 0 ; 0 < x < a (45) u(0, y) = 0 ; u(a, y) = f(y) ; 0 y (46) onde f : [0, ] R (Figura 5). eixo - y y = u(x,) = 0 u(0,y) = 0 região de solução u(a,y) = f(y) y = 0 x = 0 u(x,0) = 0 x = a eixo - x Figure 5: Condições de Contorno para o Prolema de Dirichilet Inicialmente construiremos um conjunto fundamental de soluções de (44) que satisfaça as condições de contorno homogêneas (45), com relação à varivel y. A seguir superpomos estas soluções fundamentais (princípio da superposição: cominação linear das soluções fundamentais) de modo a satisfazer às demais condições de contorno em x. Assim, temos ou simplesmente u = XY. ogo e Sustituindo (48) e (49) em (44) otemos u(x, y) = X(x)Y (y) (47) u x = X Y e u xx = X Y (48) u y = XY e yy = XY. (49) X Y + XY = 0, (50) donde X X = Y Y = σ, (51) 16

17 onde σ é a constante de separação. Assim podemos escrever 3.4 Solução da equação Y + σy = 0 Aplicando as condições de contorno (45) em (47), otemos X σx = 0, (52) Y + σy = 0. (53) u(x, 0) = X(x)Y (0) = 0 e u(x, ) = X(x)Y () = 0. (54) ogo, como X(x) não pode ser identicamente nula, devemos escolher Y (0) = 0 e Y () = 0. (55) Vamos agora determinar a solução de (53) sujeita às condições de contorno (55). Este prolema é semelhante àquele que ocorre no prolema de condução de calor. Pode-se mostrar (exercício) que uma solução não-trivial existe se e somente se a constante de separação for σ = n2 π 2 2, (56) e a solução torna-se Y n (y) = K n sen( nπy ), (57) onde K n são constantes dependentes de n. 3.5 Solução da equação X σx = 0 Por (56) a equação (52) fica cuja equação caracterstica é e as raízes são ogo a solução geral de (52) é X n2 π 2 X = 0, (58) 2 r 1 = nπ r 2 n2 π 2 2 = 0 X n (x) = c 1 ne nπx e r 1 = nπ. A condição de contorno homogênea u(0, y) = 0 em (46) nos mostra que u(0, y) = X(0)Y (y) = 0, + c 2 ne nπx. (59) donde devemos ter X(0) = 0. Aplicando esta última na solução (59) otemos c 1 n = c 2 n e reescrevemos a solução (59) como X n (x) = c 1 n(e nπx e nπx ). emrando da definição de seno hiperólico: senh(θ) = 1 2 (eθ e θ ), escrevemos onde c n são constantes dependentes de n. X n (x) = c n senh( nπx ), (60) 17

18 3.6 Solução de u xx + u yy = 0 Por (47) temos que a solução de (44) é dada pelo produto de (57) e (60). Agrupando as constantes K n e c n, podemos escrever as soluções fundamentais u n (x, y) = C n sen( nπy )senh(nπx ), onde C n é uma constante dependente de n. Pelo Princípio da Superposição a solução geral de (44) é u(x, y) = C n sen( nπy )senh(nπx ), (61) que foi otida satisfazendo as duas condições de contorno homogêneas em y dadas por (45) e uma condição de contorno homogênea em x dada por (46). Para determinar o valor das constantes C n a solução (61) deve satisfazer agora a condição de contorno não homogênea em (46), dada por u(a, y) = f(y). Assim temos u(a, y) = C n sen( nπy )senh(nπa ) = f(y), donde oservamos que os coeficientes C n devem ser os coeficientes da série de senos de Fourier de perodo T = 2 para f(y), dados por e então n = C n senh( nπa ) = 2 C n = 1 2 senh( nπa ) 0 0 sen( nπy )dy, sen( nπy )dy. Sustituindo os valores de C n assim encontrados na solução (61) otemos a solução de (45) que satisfaz todas as condições de contorno. 3.7 Prolemas 1. Determine a solução da Equação de aplace no retângulo que satisfaz tamém as seguintes condições de contorno: e onde u(0, y) = 0, u(a, y) = f(y), 0 y u(x, 0) = 0, u(x, ) = 0, 0 < x < a, { y 0 y f(y) = 2 y 2 < y 2. Encontre a fórmula geral da solução da Equação de aplace no retângulo satisfazendo tamém as seguintes condições de contorno: u(0, y) = 0, u(a, y) = 0, 0 < y < e Encontre a solução se u(x, 0) = 0, u(x, ) = g(x), 0 x a. { x 0 x a g(x) = 2 a x a 2 < x a 18

19 3. Encontre a fórmula geral da solução da Equação de aplace no retângulo satisfazendo tamém as seguintes condições de contorno: u(0, y) = 0, u(a, y) = 0, 0 < y < e u(x, 0) = h(x), u(x, ) = 0, 0 x a. 4. Encontre a fórmula geral da solução da Equação de aplace no retângulo satisfazendo tamém as seguintes condições de contorno: u(0, y) = 0, u(a, y) = f(y), 0 < y < e u(x, 0) = h(x), u(x, ) = 0, 0 x a. 5. Encontre a fórmula geral da solução da Equação de aplace no retângulo satisfazendo tamém as seguintes condições de contorno: u(0, y) = e(y), u(a, y) = f(y), 0 < y < e u(x, 0) = h(x), u(x, ) = g(x), 0 x a. 19