Centro de Ciências e Tecnlogia Agroalimentar - Campus Pombal Disciplina: Estatística Básica Aula 9 Professor: Carlos Sérgio

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1 Cetro de Ciêcias e Teclogia Agroalimetar - Campus Pombal Disciplia: Estatística Básica Aula 9 Professor: Carlos Sérgio UNIDADE 5 - TEORIA DA AMOSTRAGEM (NOTAS DE AULA) 1 Itrodução Um problema de iferêcia estatística é um problema o qual os dados de uma certa população com uma distribuição de probabilidade descohecida precisa ser aalizado, e algum tipo de iferêcia sobre essa distribuição descohecida precisa ser feito. Essa iferêcia é feita através dos dados de uma amostra. 2 Parâmetros e Estatísticas Parâmetros: são medidas populacioais quado se ivestiga a população em sua totalidade, este caso é impossível fazer iferêcias, pois toda a população foi ivestigada. Estatísticas ou Estimadores: são medidas obtidas da amostra, tora-se possível este caso utilizarmos as teorias iferêcias para que possamos fazer coclusões sobre a população. 1

2 3 Técicas de amostragem O pesquisador procura tirar coclusões a respeito de um grade úmero de sujeitos. Por exemplo, ele poderia desejar estudar: Os de cidadãos que costituem a população brasileira. Os membros de um sidicato. Os estudates de itercâmbio e assim sucessivamete. Se o pesquisador trabalha com todo o grupo que ele teta compreeder, dizemos que está trabalhado com a POPULAÇÃO. 4 Coceitos Iiciais Ates de iiciar o estudo da teoria da amostragem é ecessário cohecer algus coceitos básicos. População: O cojuto da totalidade dos idivíduos sobre o qual se faz uma iferêcia recebe o ome de população ou uiverso. A população cogrega todas as observações que sejam relavates para o estudo de uma ou mais seres aimados ou iaimados. Em liguagem mais formal, a população é o cojuto costituído por todos os idivíduos que apresetem pelo meos uma característica comum, cujo comportameto iteressa aalisar (iferir). Amostra: A amostra pode ser defiida como um subcojuto, uma parte selecioada da totalidade de observações abragidas pela população, através da qual se faz um juízo ou iferêcia sobre as características da população. Ceso: é a coleção de dados relativos a todos elemetos da população. Estatística: é a medida umérica que descreve uma característica da amostra. Parâmetro: é a medida umérica que descreve uma característica da população. Variável: uma característica de uma uidade que será medida a partir daquela uidade da amostra. Uidade: qualquer elemeto idividual da população. 5 Amostragem Esta é a ideia essecial da amostragem: obter iformação sobre o todo, examiado apeas uma parte. Exemplos da utilização da amostragem: Sodages à opiião pública que servem para cohecer a opiião da população sobre variadas questões. As mais populares são as sodages políticas. Ispecção de mercado utilizada com o ituito de descobrir as preferêcias das pessoas em relação a certos produtos. Um dos exemplos mais cohecidos da aplicação desta amostragem é a lista de audiêcias dos programas de televisão. 2

3 Ceso (receseameto da população) que tem como objectivo obter iformação relativa ao úmero de ocupates, idade, sexo, paretesco etre eles, etc. de cada habitação do país (cocelho ou freguesia). Amostragem de aceitação que cosiste a selecção e ispecção cuidada de uma amostra retirada de uma ecomeda eviada pelo forecedor. Baseado o estado da amostra, toma-se a decisão de aceitar ou rejeitar a ecomeda. O pesquisador busca geeralizar coclusões referetes à AMOSTRA, estededo-as para toda a POPULAÇÃO da qual essa amostra foi extraída. As regras de amostragem podem ser classificadas em duas categorias: Probabilística: São amostragem em que a seleção é aleatória de tal forma que cada elemeto tem igual probabilidade de ser sorteado para amostra. Não-probabilística: São amostrages em que há uma escolha deliberada dos elemetos da amostra. 5.1 As Amostras Probabilísticas Os métodos de amostragem probabilística servem para assegurar uma certa precisão a estimação dos parâmetros da população, reduzido o erro amostral. A pricipal característica dos métodos de amostragem probabilística reside o fato de que cada elemeto da população tem uma probabilidade cohecida e diferete de zero, de ser escolhida, aquado da tiragem ao acaso para fazer parte da amostra. O objetivo desta abordagem é obter a melhor represetatividade possível. Os tipos de amostragem probabilísticas são: Amostragem Aleatória Simples, Amostragem Aleatória Estratificada, Amostragem por Coglomerados e Amostragem Sistemática. 5.2 Amostragem Aleatória Simples A Amostragem aleatória simples é uma técica segudo a qual cada um dos elemetos (sujeitos) que compõe a população alvo tem igual probabilidade de ser escolhido para fazer parte de uma amostra. A amostragem aleatória simples cosiste em elaborar uma lista umérica de elemetos de ode se tira, com a ajuda de uma tabela de úmeros aleatórios, uma série de úmeros para costituir a amostra. Exemplo: Vamos retirar uma amostra para uma pesquisa de estatura de quareta aluos de uma sala de aula. a) Numeramos os aluos de 01 a 40. b) Escrevemos os úmeros, de 01 a 40, em pedaços de papel, colocado-os detro de uma ura. Mexemos a ura para misturar bem os papéis, e retiramos, um a um, quatro úmeros que farão parte da amostra. Neste exemplo o tamaho da amostra é igual a 10% da população mas este percetual pode variar depededo do tamaho da população que está sedo estudada. 3

4 5.3 Amostragem Aleatória Estratificada A Amostragem aleatória estratificada é uma variate da amostra aleatória simples. Esta técica cosiste em dividir a população alvo em subgrupos homogéeos chamados "estratos"e a seguir tirar de forma aleatória uma amostra de cada estrato. A Amostragem aleatória estratificada é utilizada quado a população iteira é recohecida por certas características precisas, tais como a idade, o sexo, a icidêcia de uma codição de saúde, tudo isto para assegurar a melhor represetatividade possível. 5.4 Amostragem por Coglomerados Algumas populações ão permitem, ou toram-se extremamete difícel que se idetifiquem seus elemetos, mas podemos idetificar subgrupos da população. Em tais casos, uma amostra aleatória simples desses subgrupos (coglomerados) podem ser escolhida, e uma cotagem completa deve ser feita o coglomerado sorteado. Agregados típicos são: quarteirões, famílias, orgaizações, agêcias, edifícios, etc. 5.5 Amostragem Sistemática Cosiste quado existe uma lista ordeada de elemetos da população. Esta técica cosiste K elemetos dessa lista sedo o primeiro elemeto da amostra retirado ao acaso. O itervalo etre os elemetos correspode à razão etre o tamaho da população e da amostra. Exemplo: Se preteder uma amostra de 100 idivíduos e a população for de 1000 o sistema será r = 1000/100 = 10 (dez em dez é o sistema), isto é, será icluído um elemeto da lista de 10 em 10 idivíduos a partir do primeiro úmero sorteado. 6 Amostragem Não-probabilística A amostragem ão probabilística é a amostragem subjetiva, ou por julgameto, ode a variabilidade amostral ão pode ser estabelecida com precisão, coseqüetemete, ão é possível ehuma estimativa do erro amostral. Se o tamaho da amostra é bem pequeo; digamos, de us 5 ites, a amostragem aleatória pode dar resultados totalmete ão represetativos, ao passo que uma pessoa familiarizada com a população pode especificar quais os ites mais represetativos da população. 7 Erros o processo de amostragem Não há dúvida de que uma amostra ão represeta perfeitamete uma população. Ou seja, a utilização de uma amostra implica a aceitação de uma margem de erro que deomiaremos ERRO AMOSTRAL. Erro Amostral é a difereça etre um resultado amostral e o verdadeiro resultado populacioal; tais erros resultam de flutuações amostrais aleatórias 4

5 Ocorrem erros ão-amostrais quado: Os dados amostrais são coletados, registrados ou aalisados icorretamete. Há uma utilização de um istrumeto defeituoso durate a realização de mesurações. Um questioário ou formulário possui questões formuladas de modo tedecioso. Não podemos evitar a ocorrêcia do ERRO AMOSTRAL, porém podemos limitar seu valor através da escolha de uma amostra de tamaho adequado. Quato maior o tamaho da amostra, meor o erro cometido e vice-versa. 8 Distribuição amostral da média De uma população X, tiramos uma amostra de tamaho costituída pelos elemetos x 1, x 2,..., x obtida de uma distrbuição N(µ, σ 2 ). Etão, o estimador da Média µ populacioal a amostra é: x = 1 i=1 x i N(µ, σ2 ) ou seja, x tem distribuição Normal com E( x) = µ e V ( x) = σ2. Podemos escrever de forma equivalete que, se x N(µ, σ2 ) etão Z = x µ σ N(0, 1) que é a forma mais adequada para aplicações. Há uma observação importate a ser feita: se a população for fiita e de tamaho N cohecido, e se a amostra de tamaho dela retirada for sem reposição, etão: em que N N 1 é o fator de correção. x N (µ, σ2 N ) N 1 Exemplo 1: Se X N(µ, σ 2 ) ode µ = 20 e σ 2 = 16, calcule a probabilidade que: a) x > 21 se x for baseado uma amostra de tamaho 16. b) 19 < x < 23 se x for baseado uma amostra de tamaho 36. Exemplo 2: Sabe-se que a altura média dos aluos de uma faculdade é de 175 cm e o desvio padrão, 5 cm. Retiramos uma amostra sem reposição, de tamaho = 100. Qual a probabilidade amostral da média das alturas estar etre 160 e 180 cm? 5

6 9 Distribuição amostral das proporções Veremos a distribuição amostral da proporção p de sucessos, característica que se estuda a população Seja p cohecida. A população pode ser defiida como uma variável X tal que { X = 1 se o elemeto da população tem a característica X = 0 se o elemeto da população ão tem a característica logo, µ = E(X) = p, σ 2 = V (X) = p(1 p). Retiramos uma grade amostra,, x 1, x 2,..., x, dessa população, com reposição, e defiimos x como o úmero de sucessos a amostra, isto é, o úmero de elemetos da amostra com a característica que se quer estudar. O estimador de p é defiido por ˆp = x : proporção de sucessos a amostra. X B(, p) e E(X) = p e V (X) = pq sedo q = 1 p Calculado esperaça e variâcia de ˆp, temos: ( ) E(ˆp) = E = 1 E(x) = 1 p = p E(ˆp) = p ou µˆp = p x O que garate que, para grades amostras, a proporção amostral se distribui com média igual à proporção populacioal. Vejamos agora: ( V (ˆp) = V x ) = 1 V (x) = 1 pq 2 2 ou V (ˆp) = pq ou σˆp = pq Logo, a variacia da proporção amostral é a variâcia da população dividida pelo úmero de elemetos da amostra. Quado ˆp ( = N p, pq Segue-se que, as mesmas codições, ), ˆp é aproximadamete ormal. Z = ˆp p pq N(0, 1) A precisão da aproximação ormal melhora a medida que o valor do tamaho da amostra,, aumeta e, para p próximo de 1/2. Uma regra geral usada, é que a aproximação ormal é boa quado p e q 5. 6

7 Exemplo 3: Um fabricate afirma que sua vacia cotra gripe imuiza em 80% dos casos. Uma amostra aleatória de 25 idivíduos que tomaram a vacia foi obtida e testes foram feitos para verificar a imuização ou ão desses idivíduos. Se o fabricate estiver correto, qual é a probabilidade da proporção de imuizados a amostra ser iferior a 0,75? E superior a 0,85? Exemplo 4: Um varejista compra copos diretamete da fábrica em grades lotes. Os copos são embrulhados idividualmete. Periodicamete o varejista ispecioa os lotes para determiar a proporção dos quebrados ou lascados. Se um grade lote cotém 10% de quebrados (lascados) qual a probabilidade do varejista obter uma a mostra de 100 copos 17% ou mais defeituosos? EXERCÍCIOS 1. Com o objetivo de verificar que lache deveria ser servido para os adolescetes de um acampameto, selecioou-se amostra composta por 250 adolescetes sorteados etre os presetes um acampameto. Que tipo de amostragem foi utilizada? 2. Em uma cidade de habitates, deseja-se fazer uma pesquisa sobre as preferêcias de lazer etre pessoas da terceira idade, levado em cota o sexo a que pertecem. Supodo que a cidade haja mulheres e homes acima de 65 aos de idade, determie uma amostra estratificada com 200 elemetos. 3. Um repórter da revista Busiess Week obtém uma relação umerada de empresas com maiores cotações de ações a bolsa. Ele etrevistará 100 geretes gerais das empresas correspodetes a esta amostra. Que tipo de amostragem você surgeriria e por que? 4. Um tipo de fio é fabricado com resistêcia média à tesão de 78,3 quilogramas e desvio-padrão de 5,6 quilogramas. Em quato a variâcia da média amostral muda quado o tamaho da amostra é a) Aumetado de 64 para 196? b) Reduzido de 784 para 49? 5. Uma egarrafadora utiliza uma máquia para echer garrafas plásticas com refrigerate, cujo coteúdo segue uma distribuição Normal com µ = 298 ml e σ = 3 ml. Qual é a probabilidade de: a) determiada garrafa coter meos de 295 ml? b) o coteúdo médio das garrafas de um pacote de 6 ser iferior a 295 ml? 6. Seja a variável X = chamadas telefoicas de logas distâcias (em miutos), com X N(µ, σ 2 ) em que µ = 8 e σ 2 = 4. Se amostras aleatórias de 25 chamadas forem selecioadas, 7

8 a) que proporção das médias amostrais estará etre 7,8 e 8,2 mi? b) que proporção das médias amostrais estará etre 7,5 e 8 mi? c) Que proporção das médias amostrais estará etre 7,8 e 8,2 mi para uma amostra aleatória de 100 chamadas? Comparar os resultados a) e c). 7. A reda de um cojuto de pessoas de uma certa região tem média 6 s.m. e desvio padrão de 2 s.m. Se desta população for extraída uma amostra de = 100 pessoas, qual a probabilidade de a média desta amostra acuse um valor superior a 6,3 s.m? 8. Se vamos extrair amostras de = 100 observações de uma população muito grade, em que a proporção populacioal é 0,20, que porcetagem de proporções amostrais poderemos esperar os itervalos: a) 0,16 a 0,24? b) maior que 0,24? 9. Tedo em mete estimar a proporção de aluos de um determiado "Campus"uiversitário que eram favoráveis à reestruturação das cotas acadêmicas, um pesquisador social etrevistou uma amostra aleatória de 590 estudates e costatou que 57% deles era de fato, favoráveis à citada reestruturação. Cosiderado a proporção obtida como sedo o valor "p"populacioal: a) Calcule a probabilidade de uma amostra de 49 aluos, meos de 49% sejam favoráveis à reestruturação das cotas acadêmicas. b) Calcule a probabilidade de uma amostra de 36 aluos, meos de 55% sejam favoráveis à reestruturação das cotas acadêmicas. 10. A proporção de estômatos da epiderme abaxial da folha de macieira da variedade M-9, com tamaho acima de um determiado valor é 0,12. Extraída uma amostra de 35 folhas, qual a probabilidade de que a proporção amostral esteja etre 0,08 e 0,13? 11. Um distribuidor de semetes determia, através de testes, que 5% das semetes ão germiam. Ele vede pacotes de 200 semetes com garatia de 90% de germiação. Qual a probabilidade de um pacote ao satisfazer a garatia? 8