MATEMÁTICA QUESTÃO 31

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1 QUESTÃO MATEMÁTICA Analise as alternativas abaio e marque a correta a) Se B { mn m 0}, então o número de elementos do conjunto B é 6 b) Se, então )] [( R Q) ( R Z c) Se c=a+b e b é divisor de a, então c é múltiplo de a, necessariamente d) Se A ], 5[ e B ],[, então BA],[ Analisando cada alternativa: a) Observe que B = {0,,,,,5,6}, ou seja, B possui 7 elementos Assim, a alternativa está incorreta b) Assim, temos que é um número irracional, ou seja, não é racional nem inteiro Assim, (IR Q) (IR Z) c) Se c = a + b e b é divisor de a, segue que a = kb, para algum inteiro k Assim, temos que c = kb + b, ou seja, c = b(k+) Portanto, o número c é múltiplo de b, o que não significa que c seja múltiplo de a Alternativa incorreta d) Seja A = ];5[ e B = ]-;[ Assim, B A = { / está em B e não está em A} = ]-;] ]-;[ Alternativa incorreta OBS: no item (a), admitimos que 0 é um número natural, embora em Análise Matemática tal número seja considerado inteiro, e não natural QUESTÃO Um fabricante de camisetas que pretendia vender seu estoque no prazo de meses, mantendo o preço de cada camiseta, obteve o seguinte resultado: - no primeiro mês, vendeu 0% de seu estoque; - no segundo, 0% do restante das mercadorias; e - no terceiro, 50% do que sobrou Ao ver que sobraram 600 camisetas, no quarto mês, o fabricante reduziu o preço de cada uma em %, conseguindo assim liquidar todo seu estoque e recebendo R$ 600,00 pelas vendas deste mês É correto afirmar que o fabricante a) arrecadaria a mesma importância total, durante os meses, se cada camiseta fosse vendida por reais, [7,8] b) tinha um estoque que superava 8 dúzias de camisetas c) no terceiro mês, vendeu uma quantidade de camisetas 00% a mais que no segundo mês d) no primeiro mês, recebeu mais de R$ 9000,00 Seja o total de camisetas do estoque De acordo com o enunciado, temos que: - No primeiro mês foram vendidos 0% do estoque, restando então 90% - No segundo mês o total de vendas foi de 0% do restante, ou seja, sobra no estoque um total de 80%90% = 7% - Ao final do terceiro mês, ele vende 50% da mercadoria que está no estoque, ou seja, sobra no estoque 50%7% = 6% Portanto, no início do quarto mês o vendedor tem 6% do seu estoque inicial disponível para vendas, num total de 600 camisetas Logo, 6% = 600 = 0000 camisetas Observe que: ) primeiro mês: 000 camisetas vendidas ) segundo mês: 800 camisetas vendidas ) terceiro mês: 600 camisetas vendidas Para o quarto mês, ele fez uma redução de % nos preços das camisetas, ou seja, reduziu / do preço, conseguindo vender todas as que restavam no estoque e arrecadando R$600,00 por elas Seja p o preço unitário por camiseta antes da redução de preços Do enunciado, temos: p p 6 p 9 (9) 5-0 O ELITE RESOLVE O VESTIBULAR DA AFA 008 MATEMÁTICA Assim, a arrecadação mensal é dada por: ) primeiro mês: R$9000,00 ) segundo mês: R$600,00 ) terceiro mês: R$00,00 ) quarto mês: R$600,00 Total: R$7900,00 Dividindo o total por 0000, notamos que, se cada camiseta fosse vendida por R$7,9, o mesmo montante teria sido arrecadado Logo, a alternativa correta é a alternativa A QUESTÃO Considere no Plano de Argand-Gauss os números compleos z = i, z = i, z = + i e z = + i, onde e são números reais quaisquer e i = Sobre o conjunto desses números compleos que atendem simultaneamente às condições I) Re( z z) Im( zz ) II) z z é correto afirmar que a) representa uma região plana cuja área é menor que 6 unidades de área b) possui vários elementos que são números imaginários puros c) possui vários elementos que são números reais d) seu elemento z de menor módulo possível possui afio que pertence à reta (r) + = 0 z i zz ( i) ( i) i z i A condição I então fica: Re( z z ) Im( z z ) A condição II, por sua vez, pode ser escrita como: z z z ( z ) z ( i) Observe que esta condição nos diz que os números z que satisfazem a esta condição são aqueles cuja distância até o número compleo ( z ) = i é menor ou igual a, ou seja, trata-se de um círculo de centro (, ) e raio No plano de Argand-Gauss, temos: A intersecção das condições I e II será então tomar os pontos do círculo sombreado acima que têm parte real menor ou igual a Isso corresponde à metade da esquerda desse círculo: a) Falsa A área desse semicírculo de raio será dada por:

2 (9) 5-0 O ELITE RESOLVE O VESTIBULAR DA AFA 008 MATEMÁTICA S 6,8 6 b) Falsa O número i é o único número compleo imaginário puro nessa região, conforme o gráfico c) Falsa Não há intersecção com o eio (eio real), logo não há nenhum número real nesse semicírculo d) Verdadeira Os elementos do círculo (condição II) que são o de menor e o de maior módulo podem ser obtidos geometricamente traçando a reta que liga o centro (, ) à origem: A O ponto A é o de menor módulo e o ponto B é o de maior módulo A reta AB tem equação: Assim, o elemento z de menor módulo possível, cujo afio corresponde ao ponto A, pertence não só círculo, mas de fato ao semicírculo considerado, e também pertence á reta + = 0 QUESTÃO Um cão e um gato, ambos parados, observam-se a uma distância de 5 m No mesmo instante, em que o cão inicia uma perseguição ao gato, este parte em fuga O cão percorre m no primeiro segundo, m no seguinte, 6 m no terceiro segundo e, assim, sucessivamente O gato, apavorado, percorre m no primeiro segundo, m no seguinte, 5 m no terceiro segundo e, assim, sucessivamente Considerando que os dois animais se deslocam sempre sem interrupção em seu movimento e numa trajetória retilínea de mesmo sentido, assinale a alternativa INCORRETA a) Até o quinto segundo, o cão terá percorrido uma distância igual àquela que o separa do gato naquele instante b) Ao final dos três primeiros segundos, o cão ainda está 5 m distante do gato c) Em dez segundos, o cão alcançará o gato d) No oitavo segundo, o gato percorre metros Note que a distâncias percorridas por segundo do cão e do gato são progressões aritméticas Assim: Cão: (,,6,8,0,) Gato: (,,5,6,7,) Analisando cada uma das alternativas, temos: a) Até o quinto segundo, o cão terá percorrido = 0 m, enquanto o gato terá percorrido = 5 m, ou seja, o cão percorre 5 m a mais do que o gato Como a distância entre cão e gato era, inicialmente, de 5 m, após o quinto segundo essa distância será de 0 m Assim, a alternativa A está correta b) Ao final dos três primeiros segundos, o cão terá percorrido m, enquanto o gato também terá percorrido a mesma distância Logo, a B distância permanece igual a 5 m Assim, a alternativa B também está correta c) A distância total percorrida será a soma dos termos de uma PA, que a ( n ) r pode ser calculada por Sn r Assim, temos que, após 0 segundos, o cão terá percorrido uma distância de ( 9 )0 S0 0 m, enquanto o gato terá percorrido ( 9 )0 uma distância de S0 75 m Assim, após os 0 segundos o cão terá percorrido eatamente 0 m = , ou seja, ele alcançará o gato Assim, a alternativa C também está correta d) No oitavo segundo, levando em consideração que o gato percorre distâncias em PA: an a( n) r a Assim, o gato percorre 0 m, e não Assim, a alternativa D está incorreta QUESTÃO 5 Sejam as seqüências de números reais (-,,, ) que é uma progressão aritmética de razão r, e (,,,) que é uma progressão geométrica de razão q O valor de r q a) 0, pertence ao intervalo: b), c), d), Por hipótese, temos: PA ( -,-+r,-+r,) PG (, q, q,) Assim, temos as seguintes igualdades: = + r; = + r; = q; = q = ( + r)q Assim, =( + r)q () + r = ( + r)q () Logo, r r 9 r 6r 80 (r9) 0r r Substituindo em (), temos: 9 ( ) 6 q q q 9 r Portanto, 9,5 q 8 QUESTÃO 6 Considere =, e i e marque a alternativa correta a) Se S() = (-a) + b c, onde a, b, e c são números reais positivos, admite duas raízes simétricas, então loga log cologb c b) O polinômio P() ao ser dividido por (-) deia resto 6 e ao ser dividido por (+) deia resto - Se P() dividido por Q() = + deia resto R(), então R(0) = P(-) c) Se os números compleos, i e i-5 são raízes do polinômio A() de coeficientes reais e termo independente nulo, então, o grau de A() é, necessariamente, um número par maior do que d) Se no polinômio B() = + a + b + c + 6 os coeficientes a, b e c são números reais, então as possíveis raízes racionais de B() estão entre os divisores de 6, necessariamente Analisando cada alternativa, temos: a) Correta: Seja S() a b c um polinômio que admite duas raízes simétricas A partir das relações de Girard: a r r r a Como a soma de duas raízes simétricas é zero, a terceira raiz é o próprio a Assim:

3 (9) 5-0 O ELITE RESOLVE O VESTIBULAR DA AFA 008 MATEMÁTICA S(a) a aa ba c 0 c ab Aplicando logaritmo em ambos os lados: c ab logc logalogb logalogc logb loga log cologb c b) Incorreta: Seja R() o resto da divisão de P() por = ( )( + ) Assim, eiste um polinômio Q() tal que P() Q()( )( ) R() Como o grau do polinômio divisor é, podemos escrever R() = A + B Pelo teorema do resto, temos: P() R() 6 A B 6 P( ) R( ) A B Resolvendo o sistema, encontramos R() = + Assim, R(0) =, enquanto P(-) = - c) Incorreta: Seja A() um polinômio com coeficientes reais Pelo teorema das raízes compleas, se os números i e i 5 são raízes de A() então os números conjugados -i e i 5 também são raízes Como é raiz e o termo independente sempre é nulo, temos que 0 também é raiz, e o grau de A() é, no mínimo, 6 Entretanto, não podemos afirmar nada com relação às multiplicidades de cada raiz, muito menos que as únicas raízes são essas; logo, não podemos garantir que o grau sempre será par d) Incorreta: Observe que uma condição fundamental para que o teorema das raízes racionais funcione é que TODOS os coeficientes do polinômio sejam inteiros Como sabemos que os coeficientes a, b e c são reais (não necessariamente inteiros), não podemos afirmar que as possíveis raízes racionais de B()= +a +b +c+6 estão entre os divisores de 6 QUESTÃO 7 Sabendo-se que i, e 0 0 i são raízes de 6 5 P ( ) a, onde i é a unidade imaginária e a é número real, marque a alternativa FALSA a) O número a também é raiz de P ( ) b) A soma das raízes reais de P ( ) é um número par c) O produto das raízes imaginárias de P ( ) é diferente de a d) P ( ) é divisível por 6 5 Seja P() a um polinômio tal que 0 = -i é raiz Como a é real, então todos os coeficientes de P() são reais, daí segue que i também é raiz de P 6 5 P(i) i i i i i ai i i ai 0 iai 0 a Alternativa A (correta): Calculando P(), temos: P( ) 0 Assim, a = é raiz real de P() Alternativa B (correta): As raízes reais de P() são e, uma vez que temos 6 raízes, sendo delas compleas ( 0, 0,, ), logo a soma das raízes reais de P é um número par Alternativa C (FALSA): 0 0 Seja i cis cis i Logo, o número i também é raiz de P() Assim, a Alternativa D (correta): Observando que as raízes de + + são dadas por e, temos que P() é divisível por + + QUESTÃO 8 Uma pessoa fará uma viagem e em cada uma de suas malas colocou um cadeado contendo um segredo formado por cinco dígitos Cada dígito é escolhido dentre os algarismos: 0,,,,, 5, 6, 7, 8 e 9 Na primeira mala, o segredo do cadeado começa e termina com dígito par e os demais são dígitos consecutivos em ordem crescente Na segunda mala, o segredo do cadeado termina em dígito ímpar e apenas o º e º dígitos são iguais entre si Dessa maneira, se ela esquecer: a) o segredo do cadeado da primeira mala, deverá fazer no máimo (5 8 ) tentativas para abri-lo b) o segredo do cadeado da segunda mala, o número máimo de tentativas para abri-lo será de 890 c) apenas os três dígitos consecutivos em ordem crescente do cadeado da primeira mala, ela conseguirá abri-lo com, no máimo, 8 tentativas d) apenas os dois primeiros dígitos do cadeado da segunda mala, deverá tentar no máimo 0 vezes para abri-lo Pelo enunciado, temos: ) Primeira mala: primeiro e último algarismos são pares, os outros são dígitos consecutivos em ordem crescentes Nesse caso, note que temos 5 possibilidades para o primeiro algarismo, 5 possibilidades para o último, 8 possibilidades para o segundo (uma vez que o segundo número nunca pode ser 8 ou 9) e apenas possibilidade para o terceiro e quarto números, uma vez que eles devem estar em ordem crescente Assim, o total de possibilidades é dado por 5 8 = 00 Assim, a alternativa (a) está incorreta, uma vez que 00 < 5 8 Além disso, note que eistem apenas 8 seqüências de três números consecutivos montada a partir dos números 0,,,,,5,6,7,8 e 9, de modo que se ela se esquecer dos três dígitos consecutivos então ela precisará apenas de 8 tentativas para abrir a mala ) Segunda mala: último algarismo ímpar, com apenas o primeiro e segundo algarismos iguais entre si Nesse caso, eistem 5 possibilidades para o último número, 9 possibilidades para o primeiro (que não pode ser igual ao último, uma vez que apenas o primeiro e o segundo são iguais), possibilidade para o segundo (ele deve ser igual ao primeiro), 8 possibilidades para o terceiro, que não pode ser igual ao último nem ao primeiro/segundo; e 7 possibilidades para o quarto, que não pode ser igual a nenhum dos anteriores Assim, o total de possibilidades é dado por 5987 = 50 Assim, a alternativa (b) está incorreta, pois 50 > 890 Além disso, note que, caso ela esqueça apenas os dois primeiros dígitos do cadeado da segunda mala, então ela não precisará fazer 0 tentativas para abrir a mala, uma vez que os outros algarismos devem ser diferentes dos dois primeiros Assim, na pior das hipóteses, ela deverá fazer 7 tentativas, o que torna a alternativa (d) incorreta QUESTÃO 9 Uma pessoa deve escolher (não importando a ordem) sete, dentre dez cartões numerados de a 0, cada um deles contendo uma pergunta diferente Se nessa escolha houver, pelo menos três, dos cinco primeiros cartões, ela terá n formas de escolha Sendo assim, pode-se afirmar que n é um número a) quadrado perfeito b) múltiplo de c) ímpar d) primo De acordo com o enunciado, a pessoa deve escolher, ou 5 cartôes dos 5 primeiros (pelo menos três) e o que falta para completar os 7 cartões dos 5 restantes Como a ordem não importa, temos: , possibilidades para escolher os 5 cartões (que é um múltiplo de ) QUESTÃO 0 Analise as proposições seguintes (0) Se (!) (!) (!) nn (!) ( n)!, com n {,,,, }, então, o valor de (!) (!) 0(0!) é igual a 8 8!( 0)

4 (9) 5-0 O ELITE RESOLVE O VESTIBULAR DA AFA 008 MATEMÁTICA p m (0) O valor de é p mm (08) Uma caia (I) contém 6 garrafas com rótulo e duas garrafas sem rótulo; outra caia (II) contém garrafas com rótulo e uma sem rótulo Uma caia é selecionada aleatoriamente e dela uma garrafa é retirada A probabilidade dessa garrafa retirada ser sem rótulo é de,5% (6) Dois dígitos distintos são selecionados aleatoriamente dentre os dígitos de a 9 Se a soma entre eles é par, a probabilidade de ambos serem ímpares é 5 8 A soma das proposições verdadeiras é igual a: a) b) c) 6 d) 0 (0) A proposição é verdadeira, pois por hipótese: ()! ()! 0(0)!!! !( 0) 8!(55) 8!55 55 (0) A proposição é falsa, pois a soma pedida é a soma das diagonais do Triângulo Aritmético de Pascal Como a soma das diagonais é dada p m p por: mm p p ( p ) p Temos portanto que p ; p (08) A proposição é verdadeira, pois o evento desejado ocorre quando escolhendo a caia (I) retiramos uma garrafa sem rótulo ou escolhendo a caia (II) retiramos uma garrafa sem rótulo Podemos calcular a probabilidade deste evento ocorrer de 9 P,5% (6) A proposição é verdadeira, pois se a soma dos dígitos é par, temos as seguintes possibilidades: Par e Par ou Impar e Impar De a 9, temos números pares e 5 ímpares O número de eventos Par e Par é dado por: = e o número de eventos Ímpar e Ímpar é 5 = 0 Assim, o espaço amostral é e o número de eventos de interesse é 0 Logo a probabilidade é Assim, a soma pedida é 6 QUESTÃO Analise cada proposição a seguir classificando-a como VERDADEIRA ou FALSA I) Sejam as matrizes A = (a ij ) n e B = (b jk ) n (n ) então a matriz C = A B é tal que o elemento c = aj bj j II) A e B são matrizes inversíveis de ordem n Se AYB = B t, onde B t é a transposta de B, o determinante da inversa de A é igual a ¼ e o determinante de B é igual a ½, então o determinante da matriz Y é igual a n- 0 III) Seja a matriz A = então A n 0 = *, n N n É correto afirmar que são verdadeiras a) todas as proposições b) apenas II e III c) apenas I e II d) apenas I e III I) A proposição é falsa, pois para obter um elemento c ij do produto de duas matrizes usamos o produto escalar entre os elementos da linha i da primeira matriz e os elementos da coluna j da segunda matriz, já que cada fila forma uma n-upla ordenada com os seus elementos Assim, usando as hipóteses da proposição: C = (AB) tem como elemento : n c = a b +a b +a b +a b ++ a n b n = ajbj j n ajbj= aj bj j j = a b j j j n = e portanto não podemos afirmar que c Obs: O produto escalar entre duas n-uplas é definido por: u=(,,, n ) e v=(,,, n ), uv, = (,,, n),(,,, n ) = + ++ n n II) A proposição é verdadeira, pois usando o fato de que det(a) = det(a t ), det(ab)=detadetb e det(ka)=k n deta, onde n é a ordem da matriz, temos: AYB=B t det(ayb)=det(b t ) detadetydetb= n detb, n Logo, dety det A Como det A temos: det A n n n dety det A III) A proposição é verdadeira: Por indução, temos: n=: A k 0 Assumindo para n=k: A, temos: k k k n=k+: A A A k k QUESTÃO Um suspeito de assaltar dois caias de um supermercado foi intimado a prestar depoimento e fez a seguinte declaração: No primeiro caia foram roubados dois pacotes de notas de 0 reais, cinco pacotes de notas de 50 reais e um pacote de notas de 00 reais, totalizando 00 mil reais No segundo caia, foram roubados um pacote de notas de 0 reais e três pacotes de notas de 00 reais, num total de 50 mil reais Os pacotes de notas de mesmo valor tinham a mesma quantidade de notas Cada pacote de notas de 00 reais tinha igual valor de cada pacote de notas de 50 reais Diante do depoimento do suspeito, pode-se concluir que: a) ele pode ter falado a verdade b) ele falou, necessariamente a verdade c) havia, necessariamente, 90 notas em cada pacote de notas de 0 reais d) ele mentiu, necessariamente De acordo com o enunciado, podemos formar o seguinte sistema: z z onde é o número de pacotes z com notas de 0 reais, é o número de pacotes com notas de 50 reais e z é o número de pacotes com notas de 00 reais Substituindo a terceira equação na primeira, temos: 0600z z Logo, como o sistema é possível (embora indeterminado), o assaltante pode ter falado a verdade QUESTÃO A circunferência () + + k = 0 passa pelo ponto A(0,) Sabendo-se que o ponto P de () mais próimo da origem coincide com o baricentro do triângulo MNQ, onde M(0,k), N(k,0) e Q( Q, Q ) é correto afirmar que a área do triângulo MNQ é um número do intervalo 5 5 a), b), c), d),

5 (9) 5-0 O ELITE RESOLVE O VESTIBULAR DA AFA 008 MATEMÁTICA Considerando que o ponto (0,) está na circunferência, temos k = 0, logo k = Assim, a circunferência em questão é descrita pela equação: ( ) + ( ) = O ponto P da circunferência mais próimo da origem pode ser obtido geometricamente ao construirmos a reta que passa pela origem (0,0) e pelo centro (,) da circunferência M P N A partir do gráfico, temos que a distância da origem ao ponto P é dada por Como este ponto está na reta =, temos que esta distância é a diagonal de um quadrado Assim: Portanto, o ponto P, é o baricentro do triângulo MNQ Podemos obter as coordenadas do ponto Q, a partir das coordenadas do baricentro: Q Q e Assim Q, O triângulo MNQ tem como vértices os pontos M(0,), N(,0) e Q( Q, Q ), cuja área é dada por: 0 A 0 MNQ Q Q Q Q Substituindo as coordenadas de Q temos: 9 A MNQ Aproimando,, temos: A MNQ = 6,,65, que está entre,5 e QUESTÃO Classifique em (V) verdadeira ou (F) falsa cada afirmativa abaio sobre o ponto P(,) no plano cartesiano ( ) Se o ponto P pertence simultaneamente às bissetrizes dos quadrantes ímpares e dos quadrantes pares, então o ponto simétrico de P em relação à reta = k (k*) tem a soma das coordenadas igual a k ( ) Sendo {,}, então eistem apenas dois pontos P(,) que 0 atendem às condições ( ) Os pontos P(,) tais que a sua distância ao eio das abscissas é igual à metade da distância de P ao ponto Q(0,6) formam uma hipérbole de ecentricidade igual a Sobre as afirmativas tem-se a) apenas uma falsa b) apenas duas falsas c) todas falsas d) todas verdadeiras (I) Verdadeira Se P pertence simultaneamente à bissetriz dos quadrantes ímpares (reta = ) e à bissetriz dos quadrantes pares (reta = ), então ele satisfaz o sistema Logo, P = (0,0) Assim, temos o gráfico a seguir: a reta = k é paralela ao eio, passando pelo ponto (0,k) Assim, o ponto S, simétrico do ponto P em relação a esta reta, é o ponto S = (0,k), cuja soma das coordenadas é igual a k k S(0,k) P(0,0) (II) Falsa Se 0 0 Graficamente, a solução desta inequação em é: = k 0 Como é um número inteiro, os únicos valores possíveis nesse intervalo são = ou = Se Nesse caso, 0 0 = ou = Logo, eistem quatro pontos P(,) que atendem às condições: (,), (,), (,) e (,) (III) Verdadeira A distância de um ponto P(,) até o eio das abscissas é, enquanto a distância desse mesmo ponto até o ponto Q(0,6) é dada por ( 0) ( 6) Assim, o lugar geométrico em questão é: 6 ( 6) 6 0 Completando quadrados nessa equação, temos: ( ) 6 8 Esta é a equação de uma hipérbole centrada no ponto (0, ), com as medidas a 6 e b 8 Logo, c a b c 8 c 8 A ecentricidade da elipse é então dada por: e a QUESTÃO 5 Considere as curvas, dadas pelas equações (I) = 0 (II) = 7 - (III) = 0 Analise cada afirmação a seguir, classificando-a em VERDADEIRA ou FALSA (0) O gráfico de (I) é representado por uma elipse, de (II) por duas retas e de (III) por uma parábola (0) O centro de (I) é um ponto de (II) e coincide com o vértice de (III) (0) A soma das coordenadas do foco de (III) é um número menor que - 5

6 (9) 5-0 O ELITE RESOLVE O VESTIBULAR DA AFA 008 MATEMÁTICA (08) A ecentricidade de (I) é igual a cos 6 A soma dos itens verdadeiros é um número do intervalo a)[,] b)[,7] c) [8,] d) [,5] (0) Falso ( ) ( ) (I) A equação pode ser reescrita como, que 6 representa uma elipse com eio maior vertical e centro no ponto C = (-,) (II) Da definição de módulo, temos: 7, se 0, ou seja, tal equação representa duas semiretas no plano cartesiano e não duas retas 7, se 0 (III) Essa última equação pode ser reescrita como (-) = +, que é uma parábola com eio de simetria horizontal e vértice no ponto V = (-,) (0) Verdadeiro Do item anterior, vemos que P=(-,) é o centro da elipse e o vértice da parábola Além disso, P pertence ao gráfico de (II) pois = - = 7- - = (0) Falso ( ) = + p =, onde p é o parâmetro da parábola (distância do foco a reta diretriz) Sendo o vértice da parábola o ponto V = (-,) e dado que seu eio de simetria é horizontal obtemos o foco F por: p F = (,) = 7 (,) Logo f + f = - (08) Verdadeiro ( ) ( ) Na equação da elipse, o primeiro denominado 6 representa o valor de a (onde a é o semi-eio maior da elipse) e o segundo denominador representa o valor de b (onde b é o semi-eio menor da elipse) Assim: a = e b = Da relação fundamental da elipse a b c (onde c é a metade da distância focal), temos: c = b) Se a função s: D é tal que s ( ) f, então s(0) c) O domínio da função r: E tal que r()= f()- é o intervalo real [-6, 6] d) A função r: E tal que r()= f() - NÃO possui raízes em Analisando cada item: a) Correta: O gráfico da função h é o mesmo da função f deslocado / no eio Analisando os pontos de máimos e mínimos de f, podemos observar que no intervalo [-,/] a função é descrita por f() = -, o que implica que seus pontos de máimo e mínimo são respectivamente e -/ Assim, o ponto de máimo da função h é + / = 9/ e o ponto de 9 mínimo é -/ + / = 0 e portanto a imagem de h é dada por 0, b) Correta: s(0) f 0 f c) O domínio de r é o mesmo domínio de f Determinando os valores de a: Temos que o coeficiente angular no intervalo [-a,-] é dado por 0 0 a5 a a Portanto, o domínio de f e de r é dado pelo intervalo real: [-a, a] = [-6, 6] d) Incorreta: a função r: E tal que r()= f() - apresentará raiz real para =- Do enunciado f(-)= r(-) = f(-)-= -=0 Logo - é raiz da função r Logo a ecentricidade, definida como e = c a vale Portanto, soma 0+08=0 = cos 6 QUESTÃO 6 Na figura abaio, está representado o gráfico da função real f:[- a,a], onde f(0)=0 Analise as alternativas abaio e marque a INCORRETA a) O conjunto imagem da função h: AB, definida por h f 9 é Im = 0, QUESTÃO 7 Considere todo que torne possível e verdadeira a igualdade log[ f( )] log, onde f é uma função real de A em B e marque a alternativa correta a) O conjunto imagem de f é Im {} b) f é uma função injetora c) Se B {}, então eiste a inversa de f d) f tem domínio A { / } Observe que ( ), e portanto, log log Pelas condições de eistência do logaritmo, o logaritmando deve ser positivo, portanto devemos ter i) 0 (o que acontece se e somente se ) ii) f( ) 0 Nos pontos onde isso acontece, vale: log[ f( )] log f( ) Assim, temos que fw ( ) w 6

7 (9) 5-0 O ELITE RESOLVE O VESTIBULAR DA AFA 008 MATEMÁTICA Verificando a segunda condição de eistência citada, note que, fw ( ) w, que é sempre não negativa Esta função se anula somente quando w = 0 ou seja f( ) 0 0 Logo o domínio da função f é {, } Assim, o gráfico da função f deve ser: a) Verdadeira: conforme o gráfico, todos os pontos não-negativos do eio, eceto o, foram atingidos, e portanto Im ( f ) {} b) Falsa: por eemplo, temos f( ) f() c) Falsa: se fiarmos o contradomínio da função f como sendo B {}, apenas a tornaremos uma função sobrejetora, mas ela continuará sendo não injetora Se não é uma função injetora, com mais razão não é bijetora e, portanto, não admite inversa d) Falsa: conforme demonstrado no início, o domínio da função é {, } QUESTÃO 8 As funções f: do º grau e g: [b, +[ do º grau estão representadas no gráfico abaio Com base nas informações acima é correto afirmar que: a) o menor valor de b que torna a função g sobrejetora é um número inteiro b) (gogof - ) (5/) > 0 f( ) c) 0 { ou } g ( ) d) f()-g()0 { 0 ou 6} Da observação do gráfico, é possível descobrir que: f() Assim, = -/ será raiz desta função g() 5 Assim, = e = serão raízes da função g, e seu ponto de mínimo 9 será v a 9 a) Incorreta, pois a imagem de g()= R Logo, para que g() seja sobrejetora, o valor mínimo de b é 9/, que é racional b) Correta, pois observando o gráfico, temos que, da função inversa, f()=5/ f (5/) = Ainda observando o gráfico, temos: 7 (gogof - ) (5/) = g(g(f (5/)))=g(g())=g(0)=>0 c) Incorreta: temos: f() Estudando os sinais da epressão g() f( ) 0 g ( ) 0 e g ( ) 0 ou f( ) 0 g ( ) 0 ou A epressão não é definida para = ou = Assim: f( ) 0 g ( ) f( ) 0 e ou g ( ) d) Incorreta: f() g() =, cujas raízes são e 6 e é não positiva para ou 6 QUESTÃO 9 Considere as funções reais * f : R R tal que f ( ) * g: R R tal que g ( ) * h: R R tal que h ( ) log e marque a alternativa correta g ( ) a) O domínio da função k definida por k ( ) é o conjunto dos h ( ) números reais positivos f( ) h ( ) b) A função j definida por j ( ) se anula em dois pontos ( g f)( ) distintos c) A função m definida por m ( ) ( g f)( ) não possui raiz d) Se gha ( ( )) 8 e hg ( ( b)) log 9, então ( a b) é um número primo a) Falsa, pois para, temos h() 0, e portanto a função g ( ) k ( ) não está definida para = O domínio da função k seria h ( ) * R {} b) Falsa Temos hw ( ) log w e chamando hw ( ), temos: h ( ) w Assim, log w log h ( ) log h ( ) h ( ) g( ) Por outro lado, ( g f)( ) g( f( )) f( ) ( ) f( ) h ( ) ( ) Logo, j ( ), de modo que a ( g f)( ) função j se anula apenas num ponto, quando = c) Falsa Pelo item anterior, m ( ) ( g f)( ) Resolvendo a equação m ( ) 0, temos ( g f)( ), e assim, temos

8 (9) 5-0 O ELITE RESOLVE O VESTIBULAR DA AFA 008 MATEMÁTICA 0 Assim, a função m possui uma raiz d) Verdadeira Observe que g h( ) para todo e * R h g( w) w para todo w R, já que as funções g e h são funções inversas uma da outra Logo: 8 gha ( ( )) aa8 log 9 hg ( ( b)) b b Portanto: ab 87, que é um número primo QUESTÃO 50 "A Arrecadação da CPMF, devido à ampliação de sua abrangência, e ao aumento da alíquota, cresceu mais de 0% nos últimos anos (em bilhões de reais por ano)" Revista Veja - /0/007 educação, R$5000,00 com o total pago à Previdência, e R$500,00 por dependente Nessas condições, sabendo-se que o valor do imposto pago por este trabalhador, no ano de 007, foi de R$55,00, o número de dependentes considerado foi: a) b) c) d) 6 Seja o total de dependentes As deduções do imposto de renda desse trabalhador somam um total de: R$900,00 + R$500,00 O valor limite máimo (não incluído) de alguém que paga imposto com uma alíquota de 5% é calculado por: 5% Assim, analisemos o imposto pago, utilizando a alíquota de 7,5%: I=7,5% ( ) -6000= , Logo, o total de dependentes é Supondo que o crescimento da arrecadação representado no gráfico acima é linear do ano 005 ao ano de 007 e que % representa o aumento da arrecadação do ano de 005 ao ano de 006, é correto afirmar que é um número do intervalo: a) [8, 9[ b) [9, 0[ c) [0, [ d) [, [ De acordo com o gráfico, de 005 a 007, a arrecadação da CPMF salta de R$9, bilhões de reais para um valor estimado de R$,8 bilhões Supondo linear o gráfico entre os anos citados, temos que a 9,,8 arrecadação em 006 é dada por = bilhões O aumento de arrecadação, tomando com base o ano de 005, R$bi corresponde a:, 09 Desta forma a arrecadação R$9,bi aumentou cerca de 9% de 005 para 006 Portanto pertence ao intervalo [9, 0[ QUESTÃO 5 Considere a tabela para cálculo do imposto de renda a ser pago à Receita federal no ano de 007 ano base 006 (valores arredondados para facilitar os cálculos) Rendimento para base de cálculo (R$) Alíquota (%) Parcela a deduzir (R$) até 999,99 Isento - De 5000,00 a 0000, ,00 acima de 0000,00 7,5 6000,00 Para se conhecer o rendimento para base de cálculo, deve-se subtrair do rendimento bruto todas as deduções a que se tem direito Esse rendimento para base de cálculo é multiplicado pela alíquota correspondente Em seguida, subtrai-se a parcela a deduzir correspondente, de acordo com a tabela acima, obtendo-se assim o valor do imposto de renda a ser pago Um trabalhador, cujo rendimento bruto foi de R$50000,00 teve direito às seguintes deduções: R$00,00 com o total de gastos em 8 QUESTÃO 5 Sabendo-se que b é um número real tal que b > e que a função real f: B é tal que f() = b, analise as alternativas abaio e marque a FALSA a) A função f admite valor mínimo b) - - b f() < c) A função f é par d) Se B = [0, [ então f é sobrejetora Seja f() b Assim, f( ) b b f(), e a função f é par Logo, a alternativa (c) está correta Como b >, podemos reescrever a função como f() b, onde 0 b b Daqui, segue que f(), de modo que f() admite um mínimo e um máimo Além disso, fica evidente que o conjunto-imagem de f é o intervalo [;], de modo que a alternativa (a) está correta, enquanto a alternativa (d) está incorreta Para verificar a validade da alternativa (b), note que se f() b b b b b Temos também que lim e portanto f() b QUESTÃO 5 Sabendo-se que a função real f: D B definida por f() = é inversível e que D e B são conjuntos os mais amplos possíveis, é FALSO afirmar que a) f é crescente para todo tal que < ou > b) a equação da assíntota horizontal de f é = - c) se g é tal que g() = f - (), então não eiste real tal que g() = d) f - (0) + f - (-½) < 0 a) Correta Tome,, e suponha que f() > f(): ( ) ( ) 0 0 ( )( ) 0 ( )( ) Se, <, temos que (-)(-) > 0 Da mesma forma, se, >, também encontramos (-)(-) > 0 Em ambos os casos temos > 0 e, conseqüentemente, > Assim, pela hipótese de que f() > f(), f é crescente para todo

9 (9) 5-0 O ELITE RESOLVE O VESTIBULAR DA AFA 008 MATEMÁTICA > ou < Observe que esse resultado só é válido nesse caso, quando olhamos o domínio de maneira separada Caso contrário, f não seria crescente Assim, a alternativa (a) está correta b) Correta Reescrevendo f(), percebemos que o gráfico de nossa função corresponde à uma hipérbole de assíntota vertical = Fazendo, notamos que, de modo que = - é a assíntota horizontal de nossa função, o que torna a alternativa (b) correta c) Incorreta Note que se g() f (), eiste algum ponto tal que f (), uma vez que D Assim, eiste tal que g() f (), e a alternativa (c) está incorreta d) Correta Seja a função inversa de f dada por f (), assim, ( ) f () Desse modo, temos que f (0) f 0 <0, e a alternativa (d) está correta QUESTÃO 5 No cubo da figura abaio, considere P o ponto de encontro das diagonais da face ABCD e Q o ponto de encontro das diagonais da face EFGH e é medida do ângulo PÊQ Analise as proposições seguintes (0) é um ângulo maior que 90º (0) é um ângulo do intervalo [5º, 60º] (0) tg = -tg (08) sen = tg (6) cossec tg60º O número que representa a soma das proposições verdadeiras é múltiplo de: a) b) c) 5 d) 7 Do enunciado,podemos formar o triângulo PEQ a seguir: a 6 Por Pitágoras EP 6 Assim cos ; sen e tg Observando tg, como, temos 5 60 ; (0) VERDADEIRA: se o < < 0 o ; (0) VERDADEIRA: tg, e como, então 5 60 ; tg (0) VERDADEIRA: tg( ) tg tg ; 6 tg (08) FALSA: sen( ) sencos (6) FALSA: cossec tg60 sen sen Soma das proposições verdadeiras: = 07 QUESTÃO 55 Considerando as definições e propriedades das funções trigonométricas, marque a alternativa correta a) A função f definida por f( ) sen cos possui período e imagem, respectivamente, iguais a e 0, b) Se f e g são funções tais que f( ) tg e g ( ), sabendo-se que eiste a função j definida por j( ) ( fog)( ), então j é periódica c) No intervalo de, a função h definida por ( ) cos h é decrescente d) O domínio da função g definida por g ( ) arcsen é D, a) Incorreta Vamos transformar a diferença sen cos numa única função trigonométrica: sen cos sen cos ( sen cos ) ( sen cos ) (cos sen sen cos ) sen Logo, f ( ) sen Como sen 0 sen 0 sen 0 f ( ) Im( f ) [0, O gráfico da função f é: ] a Do triângulo PEQ, temos: EQ ; PQ a 9

10 (9) 5-0 O ELITE RESOLVE O VESTIBULAR DA AFA 008 MATEMÁTICA Observe que o período desta função é, e não b) Incorreta O gráfico da função f g( ) tg é: Observe que, embora esta função seja par, ela não é periódica 5 c) Incorreta Tome a e b, e note que como, 6 e, temos que a b, de maneira que tanto a quanto b pertencem ao intervalo considerado, h( a) cos a cos Agora, 5 h( b) cos b cos 6 Logo, temos a b e h( a) h( b), conseqüentemente a função h ( ) cos não é decrescente no intervalo considerado d) Correta Para que pertença ao domínio, devemos ter o valor dentro do radical maior ou igual a zero, e, além disso, por se tratar de um valor de seno deve ser menor ou igual a 0 0 QUESTÃO 56 Considere as situações a seguir: I) Suponha que a passagem de um pingüim, da água para a superfície de uma geleira, possa ser representada como no esquema da Figura II) Suponha também que uma seqüência de saltos uniformes de uma lebre, possa ser representada como no esquema da Figura funções P e L estabelecem os saltos do Pingüim e da Lebre, respectivamente A opção que contém funções que podem representar a situação descrita, sabendo-se que a função P está restrita a um único período, é: a) P() = -tg e L() = sen b) P() = cotg e L() = sen c) P() = tg() e L() = sen d) P() = -tg() e L() = sen Comparando com os movimentos do enunciado, os gráficos de P() tg e L() sen são os que melhor descrevem as trajetórias do pingüim e do coelho, respectivamente A seguir, os gráficos de tais funções: P() tg L() sen QUESTÃO 57 Considere um triângulo MNP, eqüilátero, inscrito numa circunferência de centro O e raio r Seja RS uma corda que intercepta os lados MN e MP do triângulo nos pontos T e V, pontos médios dos respectivos lados Se RT VS cm, então o valor da área do quadrilátero NPVT, em cm, é dado por um número do intervalo (DADOS:,7 e 5,) a) [,[ b) [,5[ c) [5,7[ d) [7,9[ O desenho correspondente ao enunciado é: M Transportando as situações acima para um plano cartesiano, considere: - o eio das abscissas coincidindo com o nível da água gelada para o pingüim; - o eio das abscissas coincidindo com o solo para a lebre; - a altura do salto do pingüim e da lebre indicada no eio das ordenadas R T O V S Tendo por base as situações apresentadas, nas figuras e e ainda a teoria dos gráficos das funções trigonométricas, pode-se relacionar aos saltos um tipo de gráfico dessas funções Assim sendo, as N P 0

11 (9) 5-0 O ELITE RESOLVE O VESTIBULAR DA AFA 008 MATEMÁTICA Seja L a medida do lado do triângulo MNP e r o raio da circunferência Como T e V são os pontos médios dos respectivos lados, o segmento TV é base média do triângulo MNP e, portanto, MTV ~ MNP, com razão de semelhança : Assim, MTV também é um triângulo L eqüilátero, de lado Sendo TV base média, temos ainda que TV // NP, de modo que o quadrilátero NPVT é um trapézio, cuja área vale: L L A AMNP AMTV L 6 Vamos agora determinar L: Como o triângulo MNP está inscrito na circunferência, temos que o seu raio r vale da altura do triângulo, ou seja, L L r A distância do centro O até a corda RS pode ser obtida como a diferença entre o raio e a altura do triângulo eqüilátero MTV Chamemos tal distância de : L L L L r Na figura, considere o triângulo sombreado: M R N T O Ele tem como hipotenusa o raio r, um de seus catetos é e outro cateto é a soma de metade do lado do triângulo MTV com a medida do segmento VS, que de acordo com o enunciado vale cm L Aplicando o teorema de Pitágoras, vem que: L L L r L L L0L 5 Como 5 0, ficamos com L 5 Assim, A L ( 5) ( 5) Utilizando as aproimações do enunciado:,7 A,9 A[,5[ 5, r V P S QUESTÃO 58 Um triângulo ABC é não isósceles Sejam M, N e P, respectivamente, os pontos médios dos lados AB, BC e AC desse triângulo, de forma que AN = cm e BP = 6 cm Se a área do triângulo ABC mede 5 cm, então o comprimento da outra mediana, CM, em cm, é igual a: a) b) c) 6 d) 6 5 Do enunciado, podemos formar a seguinte figura: Da figura e do enunciado, temos: C B AN B B C 6 B (i) C C BP B B 6 B 6 B (ii) C B S 5 (iii) C De (i) e (ii), temos: B C B C 0 C B C 0 C B De (iii) temos que (iv) C B Substituindo (iv) em (i) temos: 6 9 (v) De (iv) e (v) em (iii) temos: B 6 9 B 6 5 B 6B 5 0 B Logo: B 0 6 B, B B 6 0 B C 0 e C 6 B B Finalmente: CM C C 0 6 CM CM 6 6 Como ABC não é isósceles (neste caso teria duas medianas iguais), então CM 6

12 QUESTÃO 59 QUESTÃO 60 Considere um heaedro regular S onde A, B e C são pontos médios de três de suas arestas concorrentes no mesmo vértice Seja um plano que secciona S nos pontos A, B e C separando-o em dois sólidos S e S de volumes V e V, respectivamente, onde V < V Marque (V) verdadeiro ou (F) falso em cada alternativa ( ) S ainda poderia ser dividido em 7 sólidos de volume igual a V ( ) A área total de S é 6( ) da área total de S ( ) Se em cada três arestas concorrentes de S forem retirados os sólidos com volumes iguais ao do sólido S, então, o volume do sólido restante seria aproimadamente igual a 8,% do volume de S Tem-se a seqüência correta em: a) V-F-V b) F-V-F c) F-F-V d) V-V-F Um heaedro regular é um cubo Seja L a aresta desse cubo A divisão proposta é: B C (9) 5-0 O ELITE RESOLVE O VESTIBULAR DA AFA 008 MATEMÁTICA 6 Seja S a região do plano dada por 0 O volume do sólido gerado pela rotação de 60º de S em torno da reta + = 0 é, em unidade de volume, igual a: a) 08 b) 5 c) 5 d) 6 A representação gráfica de S é dada por: A Os dois sólidos que serão obtidos a partir desta secção são: (I) Verdadeiro O sólido da esquerda é uma pirâmide, cuja base é um triângulo retângulo isósceles de catetos L, e altura também L O volume desta pirâmide S é: L LL L V AB h 8 O volume do cubo é S é: (II) Falsa A área total de S é VS AS V L, logo V S 8 7 V VS V VS 7V 8 6 L Assim, o volume do sólido A área total de S é a soma de três triângulos isósceles e retângulos 6 A região comum aos semi-planos é o triângulo ABC da figura, sendo que o volume do sólido gerado pela rotação do mesmo em torno do eio = - é dado pelo Teorema de Pappus- Guldin, V S, sendo: FIG d CM S FIG : área da figura; d CM :distância do centro de massa da figura ao eio de rotação Calculando S e d : FIG CM S FIG = d CM = distância da reta = até o baricentro do triângulo Como o baricentro é:,,, a distância 0 pedida é: Logo, o volume é: V 08 de catetos iguais a L, mais um triângulo eqüilátero de lados iguais a L L L L ( ) ( ) L Logo: A AS 8 8 (III) Verdadeira Cada sólido retirado corresponde a um vértice do cubo sendo retirado Assim, serão retirados no total 8 sólidos de volume V Logo, o volume que restaria é: L 5 8, V V V L L V ' S S