BIOESTATÍSTICA CURITIBA

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1 BIOESTATÍSTICA CURITIBA 2008

2 BIOESTATÍSTICA HISTÓRICO DA ESTATÍSTICA ANTIGUIDADE: os povos já registravam o número de habitantes, nascimentos, óbitos. Faziam "estatísticas". IDADE MÉDIA: as informações eram tabuladas com finalidades tributárias e bélicas. SÉC. XVI : surgem as primeiras análises sistemáticas, as primeiras tabelas e os números relativos. SÉC. XVIII : a estatística com feição científica é batizada por GODOFREDO ACHENWALL. As tabelas ficam mais completas, surgem as primeiras representações gráficas e os cálculos de probabilidades. A estatística deixa de ser uma simples tabulação de dados numéricos para se tornar "O estudo de como se chegar à conclusões sobre uma população, partindo da observação de partes dessa população (amostra)". A ESTATÍSTICA: É uma ciência aplicada que fornece métodos para a coleta, organização, descrição, análise e interpretação de dados e para a utilização dos mesmos na tomada de decisões. A coleta, a organização, a descrição dos dados, o cálculo e a interpretação de coeficientes pertencem à ESTATÍSTICA DESCRITIVA, enquanto a análise e a interpretação dos dados, associado a uma margem de incerteza, ficam a cargo da ESTATÍSTICA INDUTIVA ou INFERENCIAL, também classificada como a medida da incerteza ou métodos que se fundamentam na teoria da probabilidade. MÉTODOS: MÉTODO: é um meio mais eficaz para atingir determinada meta. MÉTODOS CIENTÍFICOS: destaca-se o método experimental e o método estatístico. MÉTODO EXPERIMENTAL: consiste em manter constante todas as causas, menos uma, que sofre variações e das quais são observadas seus efeitos, caso existam. Ex: Estudos aplicados na Química, Física, Biologia etc. MÉTODO ESTATÍSTICO: existe pelo fato de normalmente não haver a possibilidade de manter todas as causas e variáveis constantes. As variações existem e são registradas. Esse método procura então determinar, no resultado final, que influências cada variável causa no objeto de estudo. Ex.: Quais as causas que definem o preço de uma mercadoria quando a sua oferta diminui? Seria impossível, no momento da pesquisa, manter constantes a uniformidade dos salários, o gosto dos consumidores, o nível geral de preços de outros produtos etc. Essas variáveis podem afetar o estudo e por isso são analisadas e interpretadas pelo método estatístico. 1

3 DEFINIÇÃO DE TERMOS - População Real = UNIVERSO analisada com o censo feito pelo IBGE = RECENSEAMENTO. Somente algumas pessoas responderam a um questionário = SONDAGEM. - População Estatística = conjunto de elementos que têm em comum uma determinada característica. Pode ser muito ampla, ou restrita. - Amostra = subconjunto da população, considerando as características essenciais desta. - Estatística descritiva = ou análise exploratória de dados: técnicas básicas e simplificadas para explorar ao máximo um conjunto de dados (tabelas, gráficos, medidas, escalas de mensuração, tipos de variáveis). Há a descrição e dedução de dados, mas não a indução, a extrapolação para dados reais da população. Para isso existe a estatística indutiva. - Estatística indutiva ou inferencial = compreende as técnicas por meio das quais são tomadas decisões sobre uma população estatística, decisões estas baseadas unicamente na observação de amostras ou na elaboração de um juízo. Envolve a estimação de parâmetros e a formulação de testes de hipótese. Mostra a probabilidade de que o fato observado realmente ocorra na população. - Parâmetros = medidas características de uma população - Gráficos = explicar as informações: o que vocês deduzem delas. Pode-se induzir algo?? 2

4 TIPOS DE VARIÁVEIS Variáveis são o agrupamento das medidas repetidas de um dado objeto de estudo, realizadas em diferentes unidades de observação. Ex: As variáveis peso, altura e tempo empregado na realização de uma tarefa, podem ser medidas para cada funcionário (objeto de estudo) de uma empresa. As variáveis podem ser quantitativas ou qualitativas. As técnicas estatísticas apropriadas para analisar um conjunto de variáveis dependem da maneira como essas variáveis foram medidas. Variáveis podem ser classificadas como quantitativas ou qualitativas. 1. Variáveis Quantitativas são aquelas em que as possíveis realizações (resultados) são números resultantes de uma contagem ou mensuração. Por exemplo: número de filhos, salário, estatura, peso, pressão sangüínea etc. 2. Variáveis Qualitativas são aquelas que apresentam como possíveis realizações (resultados) uma qualidade (ou atributo) do(s) indivíduo(s), ou objeto(s) pesquisado(s). Por exemplo: sexo, estado civil, nível de escolaridade, situação com relação a uma doença (possuir ou não) etc. Dentre as variáveis quantitativas, ainda se pode fazer distinção entre dois subtipos: 1. Variável Quantitativa Discreta é aquela que só pode assumir valores inteiros, inclusive o zero, resultante, normalmente, de uma contagem. Seus possíveis valores formam um conjunto finito de números. Ex: número de filhos (0, 1, 2, 3...); número de acidentes de trabalho (20, 30, 50...); número de faltas (0, 4, 8, 15...); número de alunos presentes às aulas de bioestatística no 2º semestre de 2002: ago= 18, set = 30, out = 35, nov = Variável Quantitativa Contínua é aquela que pode assumir infinitos valores entre dois limites quaisquer, resultando, geralmente, de alguma mensuração. Seus possíveis valores formam um intervalo de números reais. Ex: altura (1,54; 1,65; 1,81m...); peso de um indivíduo (42,0; 54,2; 65,8 kg...); temperatura ambiente (5; 12; 14,7; 35,2ºC); tempo empregado na realização de uma tarefa (1 hora; 1 ½ hora; 55,22 minutos...) De modo análogo, as variáveis qualitativas podem sofrer uma classificação dicotômica: 1. Variável Qualitativa Nominal para a qual não existe nenhuma ordenação nas possíveis realizações. Os elementos (resultados) são alocados em categorias que não possuem ordem entre si. Ex.: sexo (masculino, feminino), Estado de origem (PR, SC, RS, SP..), estado civil (solteiro, casado, viúvo...) etc. 2. Variável Qualitativa Ordinal para a qual existe uma certa ordem (ou grau) nos possíveis resultados. Os elementos (resultados) são alocados em categorias (postos) que são ordenadas entre si. Ex.: nível de escolaridade, onde 1 o, 2 o e 3 o graus correspondem a uma ordenação baseada nos anos de escolaridade; resposta do paciente com relação a um tratamento: nenhuma melhora, alguma melhora ou muita melhora; classe social: alta, média, baixa... 3

5 EXERCÍCIOS variáveis Classifique as variáveis abaixo em qualitativas nominais (N), qualitativas ordinais (O), quantitativas contínuas (C), ou quantitativas discretas (D). a) Cor dos olhos dos alunos do 2º período... ( ) b) Volume de vendas nas indústrias alimentícias do Paraná... ( ) c) Classificação no vestibular... ( ) d) Índice de massa corporal... ( ) e) Quantidade de calorias... ( ) f) O ponto obtido em cada jogada de um dado... ( ) g) Grau de escolaridade dos funcionários de uma empresa... ( ) h) Sexo ( ) i) Idade ( ) j) Número de alunos de uma sala de aula ( ) k) Salário (em R$) ( ) l) Concentração de proteínas de bifes de alcatra ( ) m) Temperatura (em ºC) ( ) n) Religião ( ) o) Raça ( ) p) Estatura (em metros) ( ) q) Nível sócio econômico ( ) r) Possuir ou não casa própria ( ) s) Tempo ( ) t) Número de um calçado ( ) u) Tamanho do pé (pequeno, médio ou grande) ( ) 4

6 TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM Definida a população, é preciso definir a técnica de amostragem, isto é, o procedimento que será adotado para escolher os elementos que irão compor a amostra. Conforme a técnica utilizada, tem-se um tipo de amostra. Amostra casual simples ou amostra aleatória É composta por elementos retirados da população ao acaso. Logo, todo elemento da população tem igual probabilidade de ser retirado para compor a amostra. Exemplo: 1) sorteio dos alunos da sala 2) retirar animais de um frasco de vidro com uma pipeta 3) contar aleatoriamente o número de espécies existentes em uma dada área Amostra sistemática Os elementos da amostra são escolhidos por um sistema. Exemplo: 1) chamar para a amostra todos os alunos com números terminado em um determinado dígito (e.g. par ou ímpar) 2) em uma população organizada, obter uma amostra de 2% dos prontuários dos pacientes de uma clínica retirar o último de cada 50 prontuários (melhor do que fazer sorteio até atingir 2%!) Tamanho da população (N) = 1000 = 10 Tamanho da amostra desejada 10 - Escolher um número qualquer entre 1 e 10. (exemplo = 3) - A cada dez números, toma-se um. (exemplo = , 33, 43...) Amostra estratificada A amostra estratificada é composta por elementos provenientes de todos os estratos da população, garantindo assim a representatividade da população. Exemplo: 1) uma população de Mysidacea apresenta diferentes classes etárias (juvenis, machos imaturos, machos maduros, fêmeas imaturas, fêmeas vazias, fêmeas ovígeras). Devemos, então, retirar uma amostra de cada uma das classes e depois reunir todas as amostras e uma só. Esta amostra final é estratificada. 2) Pessoas de uma cidade que moram em diferentes bairros e que apresentam diferentes níveis sociais. Amostra estratificada uniforme = todos os estratos da amostra têm o mesmo número de observações idosos adolescentes crianças adultos Reduz a heterogeneidade idosos adolescentes crianças adultos N = 1000 N = 100 5

7 Amostra estratificada proporcional = garante a mesma proporcionalidade da população idosos adolescentes crianças adultos idosos adolescentes crianças adultos N = 1000 N = 100 Amostra de conveniência A amostra de conveniência é formada por elementos que o pesquisador reuniu simplesmente porque dispunha deles. Os estatístico têm muitas restrições em relação à esta técnica de amostragem, porém, com relativa freqüência este é o único método que pode ser empregado, principalmente em se tratando de pesquisa na área de saúde. Nesta área muitas vezes existem amostras de um determinado caso, ocorrentes em um único hospital, ou clínica, sendo posteriormente extrapolado para toda uma população. Precisa-se ser criterioso como amostras de conveniência, para não ser tendencioso 1) se o professor tomar os alunos de sua classe como amostra de toda a escola, estará usando uma amostra de conveniência. 2) Estimar a probabilidade de morte por desidratação. Não se deve recorrer aos dados de um hospital, pois aí só são internados os casos mais graves, logo, é possível que a mortalidade entre pacientes internado seja muito maior do que em pacientes não-internados. Análise tendenciosa! 6

8 Exercícios Lembrete: Os 4 principais tipos de amostragem são: 1) aleatória; 2) por conveniência; 3) sistematizada e 4) estratificada uniforme e proporcional. 1. Um laboratório possui dez gaiolas, com seis cobaias em cada. Como você selecionaria dez cobaias? Explique sua amostragem. 2. Organize um lista com dez nomes em ordem alfabética e descreva uma forma de obter uma amostra sistemática de cinco nomes. 3. Dada uma população de quatro pessoas: Luis, João, Camila, Joana, quantas amostras aleatórias de tamanho dois (contendo duas pessoas), podem ser obtidas? Exemplifique. 4. Você é incumbido para fazer uma pesquisa de mercado sobre a opinião da população em relação à clonagem de órgãos humanos para possíveis transplantes. Seu chefe sugere que você amostre as pessoas utilizando uma lista telefônica de assinantes, escolhendo o décimo de cada dez assinantes. Critique este procedimento. Elabore uma nova amostragem para alcançar os objetivos da pesquisa e explique a razão de sua escolha. 5. Para levantar o conhecimento de crianças de oito a dez anos sobre a importância de reciclar o lixo, um biólogo elaborou um questionário e o entregou às crianças que conhecia: dois filhos seus, dois amigos deles que freqüentavam a casa, quatro sobrinhos e três filhos de colegas seus, também dentistas. Que tipo de amostragem ele utilizou? Você acha que os dados obtidos podem ter algum tipo de tendência? Como você faria esta amostragem? 6. Descreva diferentes técnicas de amostragem para levantar dados sobre o hábito de fumar e o consumo de álcool entre os alunos de uma grande universidade. 7. Você está trabalhando em uma campanha de controle de natalidade junto à diversas comunidades. Cimo você faria para detectar a diferença de informações sobre tal controle em pessoas com diferentes religiões? Explique e classifique o procedimento de amostragem 7

9 TIPOS DE GRÁFICOS MAIS USADOS Gráficos de diferentes tipos para diferentes dados. 1. Gráfico de colunas São muito usados. Um gráfico de colunas ilustra as comparações entre itens individuais. Normalmente exemplificam dados contáveis, pontos médios, freqüências absolutas ou relativas, sem um acompanhamento temporal das variáveis. 2. Gráfico de barras São os mais usados. Muito semelhante ao de colunas, também ilustrando comparações entre itens individuais, porém permitindo a inclusão de um acompanhamento temporal das variáveis, se desejado. O tempo, neste caso, não recebe uma grande ênfase no gráfico. 8

10 3. Gráfico de linhas Gráficos de linha sólida são similares aos de Barras, porém mostram as tendências dos dados em intervalos iguais, como por exemplo, em meses. É muito utilizado quando se deseja acompanhar alguma variável durante um período de tempo. 4. Histogramas São utilizados para representar um conjunto de freqüências absolutas observadas para um dado fenômeno estudado, dentro de intervalos, ou categorias pré estabelecidas. Podem ser utilizados para representar a freqüência de dados em qualquer tipo de categoria estudada, como intervalos de pressão, idades, níveis de colesterol, classes de tamanho, meses do ano etc. 9

11 5. Dispersão Mostram as relações entre valores numéricos em várias séries de dados. Mostram normalmente o ponto médio dos dados, podendo indicar os valores máximos e mínimos. 6. Gráfico circular ou setorial pizza rosca... Mostra a dimensão proporcional dos itens que compõem uma série de dados relativamente à soma dos itens. Revela-se útil quando se pretende enfatizar um elemento importante, em relação ao todo. Para facilitar a visualização de setores pequenos, deve-se agrupá-los como um item num gráfico circular e, em seguida, deve-se decompor esse item num gráfico menor ao lado do gráfico principal. 10

12 ARREDONDAMENTO Arredondamento de dados = o arredondamentos de um número à unidade mais próxima (décimo, ou outra decimal) reduz seus dígitos significativos ao número de dígitos significativos garantido pelo cálculo realizado Se o número seguinte ao número a ser arredondado for maior ou igual a 5, soma-se uma unidade ao arredondado. Ex.: 2,354 arredondar na decimal 2,4 Se o número seguinte ao número a ser arredondado for menor que 5, o arredondado permanece inalterado. Ex.: 2,324 arredondar na decimal 2,3 Caso após o valor a ser arredondado o número termine em 5, a regra é alterada. Se o número a ser arredondado for par, o valor permanece. Caso seja ímpar, soma-se uma unidade ao arredondado. Ex.: 2,45 arredondar na decimal (4 é par) 2,4 2,55 arredondar na decimal (5 é ímpar) 2,6 EXERCÍCIOS Arredondamento de dados a) 5789 (à centena mais próxima) b) 6501 (ao milhar mais próximo) c) 130,055 (à unidade mais próxima) d) 28,65 (ao decimal mais próximo) e) 19,95 (ao decimal mais próximo) f) 32,505 (ao centesimal mais próximo) g) 57,8755 (para 4 dígitos significativos) h) 24,54 (para 3 dígitos significativos) i) 92,445 (para 4 dígitos significativos) j) 8,875 (para 3 dígitos significativos) k) 15,05 (para a decimal mais próxima) l) 113,355 (para 5 dígitos significativos) 11

13 FREQUÊNCIAS Freqüências simples ou absolutas: são os valores que realmente representam o número de dados de cada classe. A soma das freqüências simples é igual ao número total dos dados da distribuição. Freqüências relativas: são os valores das razões entre as freqüências absolutas de cada classe e a freqüência total da distribuição. A soma das freqüências relativas é igual a 1 (100 %). Freqüências acumuladas: são somadas todas as observações existentes na classe com as demais observações das classes anteriores. Classes Freqüência Absoluta Freqüência Absoluta Acumulada Proporção 0,35 Freqüência Relativa Porcentagem 0,35 x 100 = 35 % Freqüência Relativa Acumulada ,35 0,35 ou 35 % ,15 0,50 ou 50 % ,20 0,70 ou 70 % ,05 0,75 ou 75 % ,25 1,00 ou 100 % Total ,00 1,00 ou 100 % Polígono de Freqüência É um gráfico de linha de uma distribuição de freqüência. Histograma Representa uma distribuição de freqüência em forma de um diagrama de barras 12

14 DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA É um tipo de tabela que condensa uma coleção de dados conforme as freqüências (repetições de seus valores). Tabela primitiva ou de dados brutos: é uma tabela ou relação de elementos que não foram numericamente organizados. É normalmente a primeira tabela a ser feita. É difícil formarmos uma idéia exata do comportamento do grupo como um todo, a partir de dados não ordenados. Ex : 45, 41, 42, 41, 42 43, 44, 41,50, 46, 50, 46, 60, 54, 52, 58, 57, 58, 60, 51 ROL: é a tabela obtida após a ordenação dos dados (crescente ou decrescente). Ex : 41, 41, 41, 42, 42 43, 44, 45,46, 46, 50, 50, 51, 52, 54, 57, 58, 58, 60, 60 Distribuição de freqüência sem intervalos de classe: é a simples condensação dos dados conforme as repetições de seu valores. Para um ROL de tamanho razoável esta distribuição de freqüência é inconveniente, já que exige muito espaço. Veja exemplo abaixo: Dados Freqüência Total 20 Distribuição de freqüência com intervalos de classe: quando o tamanho da amostra é elevado, é mais racional efetuar o agrupamento dos valores em vários intervalos de classe. Classes Freqüências Total 20 13

15 ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA (com intervalos de classe): CLASSE: são os intervalos de variação da variável. São sempre iguais, em todas as classes. Ex: na tabela anterior há 5 classes, onde a 3ª classe é representada pela freqüência de dados encontraos entre 49 e 53 cm ( ) LIMITES DE CLASSE: são os extremos de cada classe. O menor número é o limite inferior de classe e o maior número, o limite superior de classe. Ex: em (classe 3), o limite inferior é 49 e o superior é 53. O símbolo representa um intervalo fechado à esquerda e aberto à direita. O dado 53 do ROL não pertence a classe 3 e sim a classe 4 representada por AMPLITUDE DO INTERVALO DE CLASSE: é obtida através da diferença entre o limite superior e inferior da classe. Ex: na tabela anterior, a amplitude da classe 3 é = = 4. Obs: Na distribuição de freqüência c/ classe, a amplitude de classe será sempre igual, em todas as classes. AMPLITUDE TOTAL DA AMOSTRA (ROL): é a diferença entre o valor máximo e o valor mínimo da amostra (ROL), antes de se transformada em tabela. Em nosso exemplo, a amplitude a amostra é = = 19. A AMPLITUDE TOTAL DA DISTRIBUIÇÃO: é a diferença entre o limite superior da última classe e o limite inferior da primeira classe. Ex: na tabela anterior, a amplitude da distribuição é = 61-41= 20. Obs: a amplitude da distribuição normalmente será maior do que a da amostra PONTO MÉDIO DE CLASSE: é o ponto que divide o intervalo de classe em duas partes iguais...ex: a classe 3 compreende os valores que vão de O ponto médio será, então, (53+49)/2 = 51. MÉTODO PRÁTICO PARA CONSTRUÇÃO DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS COM CLASSE: 1º - Organize os dados brutos (Ex : 45, 41, 42, 41, 42 43, 44, 41,50, 46, 50, 46, 60, 54, 52, 58, 57, 58, 60, 51) em um ROL (Ex : 41, 41, 41, 42, 42 43, 44, 45,46, 46, 50, 50, 51, 52, 54, 57, 58, 58, 60, 60). 2º - Calcule a amplitude amostral Ex: =19 3º - Se você não souber quantas devem ser as classes, calcule o número de classes através da "Regra de Sturges": K = 1 + 3,33 log n, onde K = número de classes e n = número total de dados No nosso exemplo: n = 20 dados, então, de acordo com a regra: K = 1 + 3,33 log n K = 1+3,33 log 20 K = 1 + 3,33(1,30) K = 5,33 5 Assim, a princípio, a regra sugere a adoção de 5 classes. 4º - Decidido o nº de classes, calcule então a amplitude do intervalo de classe. amplitude do intervalo de classe = amplitude amostral número de classes No nosso exemplo: amplitude amostral = 19 e número de classes = 5 14

16 Assim: a amplitude do intervalo de classe é 19/5 = 3,8 4 Deve-se sempre arredondar esse valor para haver folga na última classe. 5º - Temos então o menor nº da amostra (41), o nº de classes (5) e a amplitude do intervalo (4). Podemos montar a tabela, com o cuidado para não aparecer classes com freqüência = 0 (zero). No nosso exemplo: o menor nº da amostra é de 41, e a amplitude do intervalos de cada classe é de 4. assim, a primeira classe compreenderá os valores de ( = 45) As classes seguintes respeitarão o mesmo procedimento. Os primeiros elementos das classes seguintes sempre serão formados pelo último elemento da classe anterior. EXERCÍCIOS CONSTRUÇÃO DE TABELA DE FREQUENCIA ABSOLUTA COM INTERVALOS DE CLASSES 1) Com os dados da planilha abaixo: a)classifique cada variável quanto ao tipo; b)escolha uma variável quantitativa e faça todos os passos para a construção de uma tabela de freqüência absoluta com intervalo de classes. (Dica: seu 1º passo deve ser a construção de um ROL, ou AMOSTRA, sendo que a tabela e dados brutos está representada abaixo. O 2º passo deve ser a construção de uma tabela de distribuição de freqüência sem intervalos de classe. O 3º passo deve ser a construção de uma tabela de distribuição de freqüência com intervalos de classe. Para isso você precisa determinar a quantidade de classes (K) de sua tabela, utilizando a "Regra de Sturges", cuja fórmula é: K = 1 + 3,33 log n, onde K = número de classes e n = número total de dados. Após determinado o número de classes, você deve então descobrir a amplitude de cada intervalo de classe (A), utilizando a fórmula: A = amplitude amostral K. Não se esqueça de arredondar tanto o número de classes quanto a amplitude de intervalo de cada classe para a unidade mais próxima.) Estado civil Grau de instrução Número de irmãos Salários Mínimos Região de procedência Solteiro Fundamental 0 5 Interior Casado Médio 0 26 Capital Casado Fundamental 1 9 Interior Solteiro Médio 0 13 Capital Solteiro Médio 0 6 Capital Casado Médio 2 10 Interior Casado Fundamental 1 8 Capital Casado Superior 2 14 Outro Casado Superior 1 16 Interior Solteiro Pós Graduação 0 25 Capital Solteiro Fundamental 0 12 Outro Solteiro Médio 0 13 Interior Solteiro Superior 0 26 Capital Casado Fundamental 1 17 Outro Casado Médio 3 8 Outro Solteiro Superior 0 12 Interior Solteiro Médio 0 4 Capital Casado Fundamental 1 18 Outro Solteiro Fundamental 0 11 Capital Solteiro Fundamental 0 4 Interior Casado Superior 1 27 Outro Casado Fundamental 2 10 Capital Solteiro Superior 0 9 Interior Casado Fundamental 1 4 Interior 15

17 MÉDIA ARITMÉTICA MÉDIA PONDERADA MODA MEDIANA Em uma amostra, quando se têm os valores de uma certa característica, é fácil constatar que os dados normalmente não se distribuem uniformemente, havendo uma certa concentração. Pode-se, portanto, estudar os valores numéricos que determinam a distribuição dos dados, procurando o ponto onde está a maior concentração de valores individuais. De um modo geral, um conjunto de dados pode ocupar uma posição específica dentro de uma distribuição. Essas medidas que "posicionam" o dado (ou o grupo de dados) dentro de uma distribuição, são chamadas de medidas de tendência central. Essas medidas são: média (aritmética, ponderada etc); mediana e moda. Essas medidas mostram a informação sobre todos os dados e sua distribuição, de maneira resumida. Elas dão o valor do ponto em torno do qual os dados se distribuem! Média Aritmética: M ou É a soma de todos os valores, dividida pelo número total desses valores Em um conjunto com vários dados (x 1, x 2, x 3, x 4...), a = (x 1 + x 2 + x 3 + x ) / n ou x / n Onde n é o número total de dados. Ex.: 10; 2; 9; 6; 8 M = ( = ) /5 = 7. Significado: corresponde a um "ponto de equilíbrio" (valor em torno do qual os dados se distribuem). Só se deve arredondar a média quando ela representar variáveis quantitativas discretas, como por exemplo idade, número de filhos etc., as quais não podem ser expressas com números fracionados. Mediana: Md É o valor que ocupa a posição central dos dados, após estes serem organizados em ordem crescente ou decrescente (ROL). A mediana divide a amostra exatamente no meio, no caso da amostra possuir um número ímpar de dados. Ex: 71; 82; 57; 68; 78; 75; 64; 61; 85 (n = 9) ROL: 57; 61; 64; 68; 71 ; 75; 78; 82; 85. A mediana é 71. Obs.: metade dos dados são menores ou iguais à mediana (71) e a outra metade, maior. Se o número total de dados for ímpar, a mediana será a média aritmética dos pontos centrais, ou seja, pega-se os 2 valores que estão nas posições centrais e divide-os por 2. Pode-se usar a seguinte fórmula para encontrar a posição da mediana: Md = (n+1)/2 Ex: 71; 82; 57; 68; 69; 78; 75; 64; 61; 85 n o de dados: 10 (par). ROL: 57; 61; 64; 68; 69; 71 ; 75; 78; 82; 85 Mediana (n+1)/2 (10+1)/2 = 11/2 5,5 Ou seja, a mediana está entre a posição 5 e 6 Assim, soma-se o número da posição 5, que é 69, com o número da posição 6, que é 71, e divide-se esta soma por 2 ( ) 2 = 70 Mediana = 70 Ex: 71; 82; 57; 68; 86; 69; 78; 75; 64; 61; 85 n o de dados: 11 (ímpar). ROL: 57; 61; 64; 68; 69; 71 ; 75; 78; 82; 85; 86 no de dados: 11 (ímpar) Mediana (n+1)/2 (11+1/2) = 12/2 = 6 Ou seja, a mediana está na posição 6, que é ocupada pelo número 71 Mediana = 71 Moda: Mo É o valor que ocorre com mais freqüência entre todos os dados, após estes serem organizados em ordem crescente ou decrescente (ROL). Ex.: 5; 4; 3; 6; 6; 3; 1; 6; 2 ROL: 1; 2; 3; 3; 4; 5; 6; 6; 6 Moda = 6 Se existir apenas uma moda em uma amostra, significa que há apenas um grupo de indivíduos com aquelas variações, ou seja, a amostra é homogênea. Mas se houver mais modas, há grupos diferentes dentro daquela amostra. Diz-se, então, que a amostra é heterogênea. A moda é a única medida de tendência central que pode ser obtida mesmo se a variável for qualitativa. 16

18 Obs.: em geral a mediana pode dar melhor idéia da tendência central dos dados quando existem valores muito discrepantes. Ex.: 0; 9; 8; 10 Média = 6,75 Mediana = 8,5 Moda= não existe. A mediana, neste caso, representa melhor a amostra. MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL EM TABELAS DE DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA COM INTERVALOS DE CLASSES 1) Média: M ou Para obter a média de dados que estão expressos em freqüência distribuídas em classes, deve-se seguir os seguintes passos: 1º - obter o ponto médio de cada classe (é a média aritmética dos valores mínimo e máximo da cada classe); 2º - multiplicar o ponto médio de cada classe pela respectiva freqüência absoluta; 3º - somar o produto de cada multiplicação; 4º - dividir esse resultado pelo n (número total de dados). Classes Exemplo: Ponto médio Freqüência Absoluta Total 20 M = (43 x 7) + (47 x 3) + (51 x 4) + (55 x 1) + (59 x 5) / 20 M = / 20 M = 49,8 (média) não arredondar a média quando isto não for necessário. Deve-se arredondar quando ela representar variáveis quantitativas discretas, como idade, número de filhos etc., que não podem ser expressas com números fracionados. 2) Mediana: Md Da mesma forma que já foi colocado acima, a mediana é a classe que divide os dados no meio. Assim, em uma tabela de distribuição de freqüências em intervalos de classes, a mediana é encontrada do mesmo modo. Se a tabela tiver um número ímpar de classes, basta olhar a quantidade de classes e determinar aquela que divide a amostra ao meio. Ex: na tabela acima há 5 classes a mediana é a classe que divide as 5 ao meio, ou seja, a 3ª classe Porém, se a tabela tiver um número par de classes, deve-se encontrar a posição da mediana da mesma maneira que se faz em dados que não estão dispostos em classes. 17

19 Classes Ponto médio Freqüência Absoluta Total 26 Ex: Md = (n + 1) / 2 Md = (26 + 1) / 2 27 / 2 Md = 13,5 A classe mediana é aquela onde estão os números que ocupam entre a 13ª e a 14ª posição. Assim, basta observar as freqüências e somá-las até se chegar na posição da mediana, que no caso, estará entre a 13ª e a 14ª posições. Assim, estas estão incluídas na 3ª classe Assim, a classe mediana é a que vai de (ou: de 49 a 52). 3) Moda: Mo É simplesmente a classe onde está concentrada a maior parte dos dados. Basta olhar a freqüência absoluta de cada classe e determinar a classe modal. Ex: a 1ª classe é a que tem a maior freqüência (7), assim, a classe é a classe modal 18

20 EXERCÍCIO SOBRE FREQÜÊNCIAS E MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 1) A tabela abaixo representa o salário (R$) de uma amostra de 25 funcionários selecionados em uma empresa. a) Construa para estes dados a distribuição de freqüências em intervalos de classes, organizando os dados primeiramente em um Rol, já passando para a elaboração da tabela de freqüência com intervalo de classes (por meio da Regra de Sturges). A tabela de freqüência sem intervalos de classes não será feita, pois todos os valores são diferentes entre si. Após encontrar a freqüência absoluta, calcule a freqüência absoluta acumulada, a freqüência relativa e a freqüência relativa acumulada. Faça então, um histograma para representar esses dados, dizendo se eles têm ou não uma distribuição normal. Tabela: salário (R$) de 25 funcionários de uma empresa. 1298, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,85 1º PASSO: ROL 1000, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,85 2º PASSO: REGRA DE STURGES N o de classes (K) K = 1 + 3,33 log n K = Amplitude do intervalo de classes (A) A = amplitude amostral / K A = NUNCA ARREDONDAR A AMPLITUDE DE INTERVALO DE CLASSES QUANDO AVARIÁVEL FOR QUANTITATIVA CONTÍNUA 19

21 3º PASSO: CONSTRUÇÃO DE UMA TABELA DE FREQÜÊNCIA COM INTERVALOS DE CLASSES Classes Salários R$ N o funcionários (Freq. absoluta) Freq. absoluta acumulada Freqüência relativa (%) Freq. relativa Acumulada (%) Total b) Determine e dê o significado: da média dos dados; da classe mediana e da classe modal, dizendo se a amostra é unimodal, ou bimodal e se é homogênea, ou heterogênea. Média 1º - encontrar o ponto médio das classes. Classes Salários R$ Ponto médio N o funcionários (Freq. absoluta) Média: M = (ponto médio x freq. absoluta) / n (número total de dados) M = M = Os salários dos 25 funcionários estão distribuídos em torno do valor de Classe Mediana (Md) Md = (n+1)/2 n = número total de dados Md = A classe mediana é aquela que inclui o número que está na posição dentro da distribuição de freqüências dos dados organizados. A classe mediana, então, é a. Assim, metade dos funcionários recebem igual ou menos do que a faixa de ; e a outra metade, recebe igual, ou mais do que isso. Classe Modal (Mo) Total 25 20

22 EXERCÍCIOS MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 1) A mediana da série de dados { 1, 3, 8, 15, 10, 12, 7 } é : a) igual a 15 b) igual a 10 c) igual a 8 d) igual a 3,5 e) não há mediana, pois não existe repetição de valores. 2) Segundo o site de VEJA na Internet, 28% da população brasileira é de origem africana, 32% de origem portuguesa, 20% de origem italiana e 20% de outras origens. Qual é a moda quanto à origem? a) 32% b) 20% c) 32% da população. d) origem portuguesa. e) não podemos identificar a moda por falta de dados. 3) Na série de dados formada por {-1, -2, 3, 4 }: a) a mediana está entre -2 e 3. b) a mediana é 1 c) a questão a) e b) estão corretas. d) a mediana é 1. e) não existe mediana, pois não há dados repetidos. 4) Na série de dados formada por { 3, 1, 2, 3, 6 }: a) mediana > moda > média. b) moda < média < mediana. c) moda = mediana = média. d) mediana = média e não há moda. e) média > mediana e não há moda 5) Quando desejamos o ponto médio exato de uma distribuição de freqüência, basta calcular: a) o desvio médio. b) a média. c) a moda. d) a mediana. e) qualquer medida de posição 6) Considere uma amostra com 2351 dados (elementos). A posição da mediana é representada pelo: a) 1175º elemento. b) 1176º elemento. c) ponto médio entre o 1175º e o 1176º elemento. d) 1175,5º elemento. e) impossível resolução, pois não há identificação dos elementos. 7) Qual medida de tendência central deve ser usada para representar amostras que possuem dados muito discrepantes (diferentes) entre si? a) moda b) mediana c) média d) amplitude e) nenhuma delas 21

23 MEDIDAS DE VARIABILIDADE E DISPERSÃO 1) Amplitude Total (At ou R) - Intuitivamente, quando queremos saber o grau de variabilidade de um conjunto de números, a primeira coisa a fazer é verificar qual o maior e qual é o menor deles. Se eles forem muito diferentes, então, será maior a dificuldade de uma medida qualquer de tendência central (média, moda ou mediana) representar bem, sozinha, o conjunto. A diferença entre o maior e o menor seria uma medida simples deste grau de dispersão dos dados. A Amplitude Total foi o nome dado a esta diferença e é muitas vezes utilizada como medida de dispersão ou variabilidade. Ex 1 : observe a tabela abaixo: Renda Quantos anos morou com os pais? Com quantos teve o primeiro emprego? Mínimo R$ 180, Máximo R$ 5000, Amplitude Total R$ 4820, Ex 2 : Calcular a amplitude dos dados: {2; 3; 6; 9; 11; 10; 9; 7; 4} At = 11 2 = 9 Período na escola Obs.: Amplitude igual a zero = não houve variabilidade Quanto maior é a amplitude = maior a variabilidade Amplitude não mede bem a variabilidade, pois não informa nada sobre valores intermediários 2) Variância (S 2 ) baseada nas diferenças entre cada valor do conjunto de dados e a média aritmética do grupo. Essas diferenças são elevadas ao quadrado antes de serem somadas, para que as medidas que possuem sinal negativo sejam anuladas. O único problema da variância é que a unidade que ela acaba sendo expressa também fica elevada ao quadrado. Ex: se estamos analisando a estatura de 50 pessoas, em metros, após ser obtida sua variância, a estatura estará sendo representada em m 2, o que dificulta a compreensão do resultado. (Símbolos: σ 2 = população e S 2 = amostra) Significado: normalmente a variância é transformada para desvio padrão para a análise dos dados. Quando o desvio padrão assume um valor alto (em relação aos valores da média e da amplitude da amostra em questão), significa que os dados desta amostra têm uma alta dispersão, ou seja, possuem valores discrepantes uns dos outros. Essa amostra, assim, é formada por dados diversos, não sendo caracterizada como homogênea. Porém, quando o desvio padrão assume um valor baixo (em relação aos valores da e da média e da amplitude da amostra em questão), pode-se dizer que não houve muita variação nos dados desta amostra, possuindo seus dados, valores próximos ao da média da amostra. Exemplo de cálculo de variância: Ex.: determinar o desvio-padrão das seguintes medidas obtidas em laboratório: {5; 8; 10; 12; 15} Média = (x) / n = 10 Amplitude total (At) = 15 5 = 10 22

24 Medidas (x) Média (M) x - M (x M ) = = = = = 5 25 S 2 = (x M) 2 n -1 S 2 = 58 4 S 2 = 14,5 = 58 3) Desvio padrão (S) - é a raiz quadrada da variância. É necessário que se obtenha a raiz quadrada da variância para que sua medida (Ex: m 2 ), volte a ser expressa da mesma forma que aparece nas medidas originais (Ex: m). Seus valores ficam assim expressos nas mesmas unidades dos dados observados. De acordo com o exemplo acima, basta calcular a raiz quadrada da variância pare se obter o desvio padrão : S = (x M) 2 n -1 S = 58 4 = 14,5 S = 3,8 Neste caso, a média dos dados é 10 e possui um desvio padrão igual a 3,8. Ou seja, os dados da amostra variaram aproximadamente 3,8 ao redor da média, o que não é um valor muito alto, tendo-se uma amplitude total igual a 10. Assim, esta amostra possui dados próximos do valor médio da amostra, sem grandes variações. 23

25 EXERCÍCIOS: CÁLCULO DE MÉDIA, AMPLITUDE, VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO 1) Calcule a amplitude total, a média, a variância e o desvio padrão da resposta, em dias, de melhora da infecção pelo parasita Lernaea cyprinacea em 20 peixes que foram tratados com o vermicida Praziquantel e de 20 peixes tratados com a erva medicinal (com ação pesticida) Erva de Santa Maria (princípio ativo: Ascaridol). Explique o significado do resultado do desvio padrão das duas amostras, comparando-as entre si. Tab. I - Resposta, em dias de melhora, do quadro de infecção pelo parasita L. cyprinacea com Praziquantel. Indivíduos Dias de melhora Média (x M) (x M) 2 ( n ) com Praziquantel (x...) ( M ) = Amplitude total At = (At) Média M = (x) / n (M) Variância S 2 = (x M) 2 n -1 (S 2 ) Desvio Padrão (S) S = (x M) 2 n -1 Tab. II - Resposta, em dias de melhora, do quadro de infecção pelo parasita L. cyprinacea com Erva de Santa Maria. Indivíduos ( n ) Dias de melhora com Erva de Média ( M ) (x M) (x M) 2 Santa Maria (x...) Amplitude total At = (At) Média M = (x) / n (M) Variância S 2 = (x M) 2 n -1 (S 2 ) Desvio Padrão (S) S = (x M) 2 n -1 = Resposta: 24

26 DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO Considere a variável que representa o número de meninos em 16 recém-nascidos. Essa variável pode assumir qualquer valor inteiro entre zero e 16, inclusive. A distribuição dessa variável está apresentada na tabela abaixo: Tabela I Distribuição do número de meninos em 16 recém-nascidos Número de meninos Probabilidade (%) Construa um histograma representativo da distribuição do freqüência de meninos em 16 nascituros: Gráfico 1 Distribuição do número de meninos em 16 nascituros 20,00 15,00 10,00 5, Como você pode perceber, a distribuição apresentada por este gráfico tem configuração semelhante à da distribuição. Sendo assim, podemos utilizar a distribuição normal padrão (ou Score Z, ou Distribuição Z) para calcular probabilidades associadas aos valores X. 25

27 Suponha que se deseja obter a probabilidade de serem do sexo masculino mais de 10 dos 16 nascituros desta população. Na tabela anterior estão todas as probabilidades associadas a uma distribuição com n = 16. Logo, basta somar as probabilidades de ocorrerem 11, 12, 13, 14, 15 e 16 meninos: Cálculo Mas, caso você não tivesse tais probabilidades já calculadas, podemos chegar a esta probabilidade utilizando os cálculos da distribuição Z. Para isso devemos seguir uma série de passos: 1º passo: saber os valores da média e desvio-padrão, os quais estão publicados na literatura. Neste caso, é sabido que a média é 8 e o desvio padrão é 2. 2º passo: calcula-se a variável reduzida da Distribuição Z (também chamada de desvio relativo): Cálculo: Z = X - µ σ 3º passo: represente graficamente a variável reduzida, e demonstre a probabilidade a ser calculada 4º passo : encontre a probabilidade da variável reduzida na Tabela da Distribuição Z. 5º passo: calcule a probabilidade, caso necessário. CONCLUSÃO: 26

28 Exercícios: 1. A pontuação média obtida por 52 alunos em uma determinada avaliação foi de 70 pontos, com um desvio padrão igual a 5 pontos. Calcule a probabilidade dos alunos tirarem: a) mais de 80 pontos; 2,28 % b) menos de 80 pontos. 97,72 % 2. Em uma outra prova, os mesmos alunos citados acima obtiveram a mesma pontuação média, porém com um desvio padrão de 20 pontos. Calcule a probabilidade dos alunos tirarem: a) mais de 80 pontos; 30,85 % b) menos de 80 pontos. 69,15 % 3. Suponha que a pressão sanguínea sistólica média de indivíduos com idades entre 15 e 25 anos seja de 120 mmhg, com desvio padrão de 8 mmhg. Nestas condições, calcule a probabilidade de um indivíduo dessa faixa etária apresentar pressão: a) entre 110 e 130 mmhg; 78,88 % b) maior do que 130 mmhg. 10,56 % 4. Suponha que a média da taxa de glicose no sangue humano é de 100 mg, com desvio padrão de 6 mg. Calcule a probabilidade de um indivíduo apresentar taxa: a) superior a 110 mg; 4,75 % b) entre 90 e 100 mg. 45,25 % 5. Suponha que o tempo médio de permanência em um hospital seja de 50 dias, com um desvio padrão igual a 10 dias. Qual a probabilidade de um paciente permanecer no hospital: a) mais de 30 dias; 97,72 % b) menos de 30 dias. 2,28 % 6. Suponha que a estatura média de recém nascidos do sexo masculino seja de 50 cm, com um desvio padrão de 2,50 cm. Calcule a probabilidade de um recém nascido do sexo masculino ter a estatura: a) inferior a 48 cm; 21,19 % b) superior a 56 cm. 0,86 % 7. Uma clínica possui 10 pacientes, com as idades: {35, 39, 35, 45, 47, 54, 57, 42, 61, 35}. Calcule a média e o desvio padrão e encontre a probabilidade de algum paciente ter: a) mais do que 50 anos; 30,15 % b) menos do que 30 anos; 5,94 % c) entre 30 e 65 anos; 92,18 % d) entre 30 e 45 anos; 44,06 % e) entre 45 e 50 anos; 19,85 % f) mais de 65 anos; 1,88 % g) quantos pacientes têm mais de 65 anos; 0,188 ou nenhum pacientes (FAZER POR FÓRMULA) h) quantos pacientes têm entre 45 a 50 anos; 1,98 ou 2 pacientes (FAZER POR FÓRMULA) (desvio padrão = 9,6) 27

29 EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 1) Em uma população de 411 homens adultos com média de peso de 70 kg e desvio padrão de 7,0 kg, calcule a probabilidade de algum homem possuir: (Em todos os exercícios demonstrem a curva normal) a) menos do que 75 kg? 76,11 % b) mais do que 75 kg? 23,89 % c) menos do que 65 kg? 23,89 % d) entre 65 e 75 kg? 52,2 % e) mais do que 77,4 kg? 14,69 % f) quantos homens têm mais de 75 kg? 98,19 ou 98 homens g) quantos homens pesam entre 65 e 75 kg? 214,62 ou 215 homens 2) A altura média de 500 alunos de uma determinada escola foi de 1,50 metros. Calcule a probabilidade de algum alunos ter: a) entre 1,50 e 1,65 m; 34,13 % b) mais de 1,65 m; 15,87 % c) menos de 1,65 m; 84,13 % d) entre 1,65 e 1,80 m; 13,59 % e) quantos alunos medem de 1,50 e 1,65 m; 170,65 ou 171 alunos f) quantos alunos têm mais de 1,65 metros; 79,35 ou 79 alunos g) quantos alunos têm menos de 1,65 metros; 420,65 ou 421 alunos h) quantos alunos medem de 1,65 a 1,80 meros. 67,95 ou 68 alunos 3) O comprimento da carapaça de 9 indivíduos de Ucides cordatus coletados na Baía de Antonina é: { 55, 62, 75, 80, 50, 51, 50, 60, 65 mm}. Encontre o desvio padrão e calcule a probabilidade de um indivíduo de U. cordatus medir: a) mais de 70 mm; 20,05 % b) menos de 55 mm; 29,46 % c) entre 55 e 70 mm; 50,49 % (Desvio padrão = 10,91) 28

30 CONCEITOS BÁSICOS DOS TESTES DE HIPÓTESE Tudo que estudamos até agora é a fundamentação para as inferências estatísticas, o qual é o processo pelo qual tiramos conclusões sobre uma população a partir de resultados observados em uma amostra. A força de uma inferência está relacionada com: a) o tamanho da amostra; b) a variabilidade do fenômeno em estudo; c) a variação amostral do resultado médio (VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO). Para se realizar uma inferência, geralmente, são testadas hipóteses. Considere o seguinte exemplo: A proporção de recém-nascidos com defeito ou doença séria é 3%. Imagine que um médico suspeita que esta proporção aumentou. Para estabelecer se esta suspeita é procedente, é preciso fazer um teste estatístico. Elaboração das hipóteses: H 0 = hipótese de nulidade : H 1 = hipótese alternativa : Mas, a hipótese alternativa pode assumir uma das seguintes formas seguintes: a) H 1 : µ < µ 0 b) H 1 : µ > µ 0 c) H 1 : µ µ 0 A escolha de a ou b define um teste unicaudal, onde interessam apenas os afastamentos em uma dada direção. A escolha de c define um teste bicaudal onde interessam os afastamentos de X em relação a µ 0 em ambas as direções. Representação gráfica: Teste unicaudal 29 Teste bicaudal

31 A estatística envolve métodos para o planejamento e condução de um estudo, descrição de dados coletados e para tomada de decisões, predições ou inferências sobre os fenômenos representados pelos dados. A qualidade dos resultados de um estudo depende basicamente do planejamento e condução do estudo e da análise dos dados. Os métodos estatísticos para análise de dados podem ser classificados como métodos descritivos (Estatística descritiva) e métodos inferenciais (Estatística inferencial ou indutiva). A Estatística descritiva foi vista no primeiro bimestre deste curso, a qual consiste de técnicas numéricas e gráficas para resumir a informação de um conjunto de dados de modo a torná-lo de mais fácil compreensão e interpretação, sem perder muito da informação original dos dados. A Estatística inferencial, objeto de estudo deste segundo bimestre, consiste de procedimentos para fazer generalizações sobre as características de uma população a partir da informação contida na amostra. Antes de realizar qualquer inferência é preciso conhecer bem o conjunto de dados. Portanto, uma análise descritiva deve sempre preceder a uma análise inferencial. A Estatística inferencial consiste de uma série de testes que verificam os padrões de uma certa população, tendo como base uma amostra representativa da mesma. Os testes estatísticos podem ser divididos em dois grandes grupos, conforme fundamentem ou não os seus cálculos na premissa de que a distribuição de freqüências dos erros amostrais é normal, as variâncias são homogêneas, os efeitos dos fatores de variação são aditivos e os erros independentes. Se tudo isso ocorrer, é muito provável que a amostra seja aceitavelmente simétrica, terá com certeza apenas um ponto máximo, centrado no intervalo de classe onde está a média da distribuição, e o seu histograma de freqüências terá um contorno que seguirá aproximadamente o desenho em forma de sino da curva normal. O cumprimento desses requisitos condiciona pois a primeira escolha do pesquisador, uma vez que, se forem preenchidos, ele poderá utilizar a estatística paramétrica, cujos testes são em geral mais poderosos do que os da estatística não-paramétrica, e conseqüentemente devem ter a preferência do investigador, quando o seu emprego for permitido. Os termos paramétrico e não-paramétrico referem-se à média e ao desvio-padrão, que são os parâmetros que definem as populações que apresentam distribuição normal. É importante reafirmar este conceito, porque tem se visto muitas vezes artigos científicos, além de trabalhos e teses acadêmicas, em que se usaram testes não-paramétricos, mas os resultados eram apresentados em termos de média ± desvio-padrão da distribuição, ou então em termos de média ± erro-padrão da média, erro este que é também um valor calculado em função do desvio-padrão da amostra. 30

32 A afirmação anterior é de extrema importância, já que de qualquer conjunto de valores numéricos pode-se calcular a média, porém, desvio-padrão, somente as curvas normais o possuem, uma vez que, por definição, "desvio-padrão é o ponto de inflexão da curva normal" e de mais nenhuma outra. São eles em número de dois e simétricos em relação à média da distribuição. Portanto, curvas assimétricas jamais podem ter desvio-padrão porque, mesmo que tenham pontos de inflexão, como os possuem muitas outras curvas matemáticas, eles dificilmente seriam simétricos em relação à média. Enfim, mesmo que distribuições experimentais possam apresentar alguma assimetria, esta deve manterse dentro de certos limites, aceitáveis em termos estatísticos e aceitáveis porque atribuídos à variação casual determinada pelos erros não-controlados de amostragem, ou seja, à variação do acaso, típica das variáveis e amostras chamadas aleatórias. Qualquer que seja a opção do pesquisador, a essa altura de sua investigação científica ele se acha diante de mais um dilema: qual, dentre os muitos testes estatísticos existentes em ambas as categorias acima citadas, seria o mais apropriado, no caso específico de seu trabalho, ou do modelo matemático de seus ensaios? Que elementos desse modelo matemático condicionariam a opção por um ou outro desses testes? Em geral a resposta está contida no próprio modelo experimental de cada pesquisa. Os detalhes adicionais que devem orientar a escolha do teste são: a) a existência ou não de vinculação entre dois ou mais fatores de variação, ou seja, os dados são dependentes ou não entre si; b) o número de componentes da amostra, que vão ser comparados. De fato, seja qual for o tipo de estatística escolhida, paramétrica ou não-paramétrica, há testes especificamente destinados a amostras em que há independência entre os fatores de variação, e outros para amostras em que existe vinculação ou dependência entre eles (Ex. teste t para amostras independentes e teste t para amostras pareadas). Da mesma forma, o número de comparações a serem realizadas pelo teste é também importante, porque há testes elaborados para comparar apenas duas amostras, e há outros destinados a comparações múltiplas, entendendo-se como múltiplas um número de comparações superior a dois. O diagrama abaixo esquematiza as subdivisões dos testes estatísticos, listando os mais comumente utilizados na prática: 31

33 Alguns desses testes usam números como variável, outros usam sinais + e, outros usam valores fixos, como 1 e 0, e outros ainda utilizam freqüências. Esses testes evidentemente estão todos incluídos no grupo dos testes não-paramétricos, simplesmente porque não usam os parâmetros média e desvio-padrão em seus cálculos. Uma vez realizados os testes adequados, estes dão o seu parecer, sob a forma de um valor numérico, apresentado (conforme o teste) como valor de F (análise de variância), de t (teste t, de Student), U (Mann-Whitney), Q (teste de Cochran), χ² (letra grega qui, testes diversos, que usam o chamado qui-quadrado), z (McNemar e Wilcoxon), H (Kruskal-Wallis), ou ρ (letra grega rho, utilizada nos testes de correlação, que serão focalizados mais adiante, neste texto). Seja como for, o valor numérico calculado pelo teste deve ser confrontado com valores críticos, que constam em tabelas apropriadas a cada teste. Essas tabelas geralmente associam dois parâmetros, que permitem localizar o valor crítico tabelado: nível de probabilidades (usualmente 5 % [α = 0,05], ou 1 % [α = 0,01]), e o número de graus de liberdade das amostras comparadas. Valores menores que o tabelado indicam que ele não pode ser considerado diferente do que se obteria se as amostras comparadas fossem iguais. Enfim, estaria configurado o que se chama de não-significância estatística, ou de aceitação da hipótese zero, ou de nulidade (H 0 ). Porém, se o valor calculado for igual ou maior que o tabelado, aceita-se a chamada hipótese alternativa (H 1 ), ou seja, a hipótese de que as amostras comparadas não podem ser consideradas iguais, pois o valor calculado supera aquele que se deveria esperar, caso fossem iguais. Isso quer dizer que pode eventualmente haver alguma diferença, mas esta não deve ultrapassar determinados limites, dentro dos quais essa diferença decorre apenas da variação natural do acaso, típica da variação entre as repetições do ensaio. 32