O GRADIENTE DO POTENCIAL E A ENERGIA NO CAMPO ELETROSTÁTICO

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1 LTROMAGNTISMO I 34 5 O GRADINT DO POTNCIAL A NRGIA NO CAMPO LTROSTÁTICO 5. - O GRADINT DO POTNCIAL Vimos o capítulo 4 que a epessão obtida paa o cálculo da difeeça de potecial ete dois potos, um fial a e outo iicial b é dada po uma itegal de liha do tipo: V ab V a a Vb dl (V) b (5.) Se o camiho icemetal escolhido fo dado pelo veto L em que o campo elético é admitido costate, podemos esceve que ao logo deste camiho etilíeo teemos: Se os vetoes do campo elético e do icemeto geéico θ, etão o poduto escala fica assim epesso: V L (V) (5.) L Lcosθ (V) Desta foma, a difeeça de potecial V é dada po: L do camiho fomam ete si um gulo (5.3) V Lcosθ (V) (5.4) Assim, uma vaiação do potecial em elação ao camiho L pode se escita como V cosθ L (5.5) Passado ao limite do míimo L obtemos a epessão da deivada diecioal dos poteciais ode: cosθ (5.6) dl Uma aálise a epessão acima os mosta que esta deivada diecioal é máima quado o cos θ. Daí dl ma (5.7) Tedo o gulo máimo θ π e lo idicado a equação (5.7), podemos etão coclui que: A magitude do campo elético é dada pela máima taa de vaiação do potecial com a distcia. ste valo máimo é obtido quado a dieção do camiho icemetal fo oposta à dieção dada pelo campo elético. UNSP Naasso Peeia de Alcataa Juio Claudio Vaa de Aquio

2 LTROMAGNTISMO I 35 Pelo ilustado a figua 5., vamos pati do poto P localiado a supefície equipotecial V(,, ) c com destio à supefície equipotecial V(,,) c, maio do que c. A maio taa de vaiação do campo escala V ocoeá etão a dieção cescete dos poteciais, uma dieção oietada da esqueda paa a dieita e debaio paa cima. De acodo com o eposto a equação (5.6), a dieção do veto esqueda e paa baio, oposto assim à maio vaiação do campo potecial V. seá etão paa a P V d V(,,) c >c V(,,) c Figua 5. Gadiete dos poteciais em V (,, ). Defiido um veto uitáio como o veso omal a cada supefície equipotecial e oietado a dieção cescete dos poteciais escalaes, o veto campo elético fica etão defiido: dl ma (5.8) Assim sedo, a deivada diecioal máima pode se escita como: dl Com isto, o veto do campo elético pode etão se descito como: ma (5.9) dn dn (5.) A opeação ( dn ). é cohecida como gadiete dos poteciais V. sta opeação vetoial ão apaece apeas o caso dos poteciais eléticos, mas também a hidáulica, a temodimica, o magetismo, a topogafia, etc. mpegado este ovo coceito, podemos esceve que: gad V (5.) Obsevemos aqui que o gadiete é uma opeação vetoial ealiada sobe um escala cujo esultado é um veto. Você também já deve te otado que o veto itesidade de campo elético está sedo agoa epesso em volts/meto o Sistema Iteacioal de Uidades. UNSP Naasso Peeia de Alcataa Juio Claudio Vaa de Aquio

3 LTROMAGNTISMO I 36 A epessão 5., da foma como está colocada aida os paece sem muita utilidade. Vamos agoa ecota uma maeia de esceve o veto do campo elético em temos de deivadas paciais do potecial elético. m coodeadas catesiaas podemos esceve o difeecial de potecial como sedo:.d+.d+.d (5.) Po outo lado, a equação (5.) passada ao limite foece: dl d d Igualado as equações (5.) e (5.3) vemos que cada compoete do veto d (5.3) seá dada po: (5.4) ode: + + V m (5.5) Relembado a defiição do opeado vetoial (abla) o sistema catesiao: + + e aplicado-o sobe o potecial elético escala V, teemos: V + + (5.6) De acodo com a equação (5.5) e a defiição do opeado abla aplicado aos poteciais escalaes temos que V (V / m um sistema de coodeadas esféicas, o gadiete dos poteciais é dado po: m) (5.7) V. +. θ θ +. seθ φ φ (5.8) De foma aáloga, em coodeadas cilídicas, V. +. φ +. φ (5.9) UNSP Naasso Peeia de Alcataa Juio Claudio Vaa de Aquio

4 LTROMAGNTISMO I 37 Como pode se visto, o gadiete idica a dieção ode uma fução escala possui a maio vaiação possível. A título de eemplo, cosideemos a subida em um moo ode podemos te váias alteativas paa chegamos ao seu cume. Como casos etemos, podemos opta po um camiho totuoso em baia declividade ou pela escalada dieta po um camiho o mais icliado possível. É fácil ve que esta última opção idica a dieção do gadiete dos poteciais gavitacioais, ode suas vaiações são as maioes possíveis de um ível a outo. emplo 5. cota o campo elético devido a uma caga potual, utiliado o potecial eletostático. Solução O campo elético de uma caga potual possui apeas a compoete adial, em coodeadas esféicas. Pela eq. (5.8): V. Sabe-se que o potecial eletostático em um poto distate m da caga potual é: Logo: V 4πε Q. Q. 4πε Q.. 4πε. (V) emplo 5. Dado V 3 ( ).( + ).( ) V a) O campo elético, b) A deivada diecioal dn, c) O veso. ecote a oigem: Solução a) - b) V ( V/ m). ( )(. + ).( ) 3 ) ( ).( + )(. ) a ) ( ).( + ).( ) a 3 ).a (,, ) 6. a$ + 6. a$ 48. a$ ( V/ m ) (,, ) 6($ a a$ + 3a$ ) ( V/ m ) dn é a magitude do campo elético. Potato a oigem: c) - dn , ( V/ m). dn a $ ( V / m ) ( + 3 ) 53,. 6 ) ( a,3( + 3 ) UNSP Naasso Peeia de Alcataa Juio Claudio Vaa de Aquio

5 LTROMAGNTISMO I DNSIDAD D NRGIA NO CAMPO LTROSTÁTICO Supohamos a eistêcia de cagas, Q, Q,..., Q, em picípio positivas e localiadas o ifiito cofome pode se visto a figua 5.. Imagiemos agoa uma egião qualque totalmete despovida de campo elético ( ). Nestas codições, se desejamos tae a caga Q de um poto paa essa egião, o tabalho cota o campo seá ulo, pois. Q ifiito Q Q Q 3 Q 3 Q 3 Q 4 4 Q 4 Q Q Região com Figua 5. Sistema de cagas. m seguida, vamos tae a caga Q do ifiito paa um poto póimo à caga Q. A fote etea deveá etão ealia um tabalho, devido agoa à peseça da caga Q, dado po: V W Q. V, ( J) (5.) A otação paa, epessa o potecial eistete a ova posição da caga Q, devido ao campo ciado pela peseça da caga Q as suas poimidades. Se a caga fo matida essa posição a eegia dispedida, pelo picípio da cosevação de eegia, se tasfoma em eegia potecial. Uma ve etiada a foça que matem a caga essa posição, ela seá aceleada paa loge de sua posição, adquiido eegia ciética, potato ealiado tabalho. Voltado à ossa taefa de move cagas do ifiito à egião em questão, ao tae a caga Q 3 da posição 3, o tabalho ealiado seá agoa cota a ação do campo elético esultate ciado pelas cagas Q e Q, já dispostas a viihaça. Logo: W3 3 3, + 3 3, Q.V Q.V (J) (5.) ode: V 3, potecial em Q 3 devido à caga Q. V 3, potecial em Q 3 devido à caga Q. padido o osso aciocíio, o tabalho paa move as cagas seá etão aquele ealiado cota a peseça das ( ) cagas já pesetes. Daí: W, 3 3, 3 3,,, Q.V + Q.V + Q.V Q.V Q.V (J) (5.) W epeseta a eegia potecial total amaeada o campo elético. Tomemos agoa um temo qualque da equação acima, po eemplo: Q Q Q (5.3) 3 3.V3, Q3. Q. Q. V,3 4πε R3 4πε R 3 Pela otação apesetada, V,3 é etão o potecial a caga Q devido à caga Q 3. UNSP Naasso Peeia de Alcataa Juio Claudio Vaa de Aquio

6 LTROMAGNTISMO I 39 Assim, a equação (5.) pode se eescita ecipocamete como: W Q.V + Q.V Q.V + Q.V + Q.V Q.V Q. V (5.4),,3,,3,4,, Adicioado esta epessão à equação (5.) temos o dobo da eegia amaeada ode: W Q (V, + V, Q V (V,, + V ) + Q, (V V, + V, ), V, ) + (5.5) Cada soma ete paêtesis epeseta o potecial esultate em cada poto, devido a todas as cagas eceto aquela que está o pópio poto. m uma otação mais simplificada, o potecial o local da caga Q seá dado po: ou aida: V + V V V (5.6), 3,, Assim, estededo o aciocíio paa todas as cagas do sistema teemos po (5.5) que: em que cada W ( Q V + Q V Q V )(J) (5.7) W Qi Vi (J) (5.8) i V i V i,j j, j i (V) (5.9) Substituido cada caga potual pela desidade volumética de caga ρ multiplicada pelo volume ifiitesimal ocupado dv, temos que: W ρvdv (J) Aplicado o teoema da divegêcia e substituido ρ po vol D, podemos esceve: (5.3) ( D ) W Vdv (J) (5.3) vol tetato, a seguite idetidade (vetoial) é válida paa qualque fução vetoial D : ( VD) V( D) + D ( V) (5.3) Potato: W [ ( VD) dv D ( V) dv ] (J) v v (5.33) UNSP Naasso Peeia de Alcataa Juio Claudio Vaa de Aquio

7 LTROMAGNTISMO I 4 sta epessão meece algumas cosideações. A pimeia itegal de volume da equação acima pode se substituída pela itegal de uma supefície fechada ecoedo-se ao teoema da divegêcia. Assim, W ( VD) ds D ( V) dv (J) s vol (5.34) A equação (5.33) é uma itegal de volume. A úica estição imposta é que este volume coteha toda a caga cosideada, cofome ossa hipótese iicial. Desta foma, ada os impede de cosidea este volume como sedo aquele peechido po todo o uiveso, ode a soma das cagas esulta obviamete ula. Potato, o potecial V a supefície que evolve este volume seá ulo e a pimeia itegal toa-se igual a eo. Po outo lado, sabemos que V. Potato: W vol ( D ) dv ε dv (J) vol (5.35) Deivado a equação acima em elação ao volume teemos: dw ε D (J / m 3 dv ε ) (5.36) que epeseta a desidade de eegia amaeada o campo elético. emplo 5. 3 Calcula a eegia amaeada em uma seção de um capacito co-aial de L m de compimeto, aio iteo a m e eteo b m. Solução A epessão paa o campo elético o iteio do capacito é: a. ρs ε. L b a. s W d d d (J) π ρ ε φ a ε. W b π L a a. ρ b s W.L π ε a a ρs ε. d π.l.a ε dφd d ρ s b l a (J) UNSP Naasso Peeia de Alcataa Juio Claudio Vaa de Aquio

8 LTROMAGNTISMO I 4 XRCÍCIOS ) O potecial elético em uma egião do espaço é dado po V (,,) A ( 3 + ) volts, ode A é uma costate. Sabe-se que o tabalho ealiado pelo campo elético quado uma caga de,5 µc é deslocada do poto (; ;,5 m) até a oigem é igual a 6, -5 joules. Dedua uma epessão paa o campo elético esta egião. ) Uma descaga atmosféica povoca sobetesões o solo, detemiadas po supefícies equipoteciais decescetes a pati do poto de queda da descaga paa a tea. A aplicação do método das images apeseta estas equipoteciais a foma de elipsóides de evolução, sedo uma delas defiida com 5 V a supefície Detemie o campo elético o poto P (; ; ) metos, dado que sua magitude é de V/m. Até que ível abaio do solo, este potecial de 5 V se fa pesete? 3) A itesecção de uma supefície equipotecial com o plao 3 m foma uma liha que o poto (3,, 3) m tem a dieção do veto ( 4 3 ) m. Se a máima taa de vaiação do potecial é de 5 V/m, com, detemie o veto do campo elético este poto. 4) Calcule a eegia amaeada po cagas potuais idêticas de 4 C situadas os vétices de um cubo com m de aesta imeso o vácuo. 5) Dois semiplaos codutoes, pouco espessos, em φ e φ π/6, acham-se isolados ete si ao logo do eio. A fução potecial elética é V ( 6 φ / π) volts paa φ ete e π/6. Detemie a eegia amaeada ete estes semiplaos delimitado uma egião deto de uma distcia adial ete, m e,6 m, o eio ete e m, o espaço live. 6) Um capacito de placas paalelas com áea A sepaadas po uma distcia d tedo um meio dielético de pemissividade ε, com capacitcia C ε A / d, apeseta uma difeeça de potecial costate V aplicada ete as placas. Pede-se a eegia amaeada o campo elético, despeado o efeito das bodas. 7) Um capacito plao de placas paalelas quadadas com m de lado apeseta uma distcia de cm ete os codutoes e uma difeeça de potecial de V. Calcule a eegia amaeada pelo campo elético estabelecido quado o meio dielético ete as amaduas é o vácuo, isto é, quado ε ε. 8) Detemie a eegia amaeada po um capacito plao com placas quadadas de m de lado. Uma das placas ecota-se o plao hoiotal e está sepaada da outa po uma distcia de cm uma etemidade e, cm a outa, ambas imesas o vácuo, sob uma tesão aplicada de V. Despee o efeito das bodas as lihas do campo elético. 9) Uma casca esféica codutoa, de aio a, com ceto a oigem, apeseta um potecial elético V V Va / a > a com a efeêcia eo o ifiito. Calcule a eegia amaeada que este potecial epeseta. ) A dieção da liha fomada pela itecessão de uma supefície equipotecial e o plao m o poto (, -6,) m é a do veto 6 +. Se a máima taa de vaiação de V é 5 V/m, com e com >, ecote ) Detemie a distibuição volumética de cagas que geam um campo potecial V 5 volts. ) A poção de um potecial bidimesioal ( ) é mostada a figua o fial deste capítulo. O espaçameto ete as lihas (hoiotais e veticais) é de mm. Detemie em coodeadas catesiaas em a e b. 3) Quato cagas idêticas Q 3 C são colocadas o vétice de um quadado de.6 m de lado, uma de cada ve. Calcule a eegia do sistema, logo após cada caga se colocada. UNSP Naasso Peeia de Alcataa Juio Claudio Vaa de Aquio

9 LTROMAGNTISMO I 4 4) Dado o campo elético amaeada o volume descito po a m, 5a m. 5 e a.$a em coodeadas cilídicas, calcule a eegia 5) Dado um potecial defiido po V ( V), calcule a eegia amaeada o volume defiido po um cubo de m de aesta, com um dos vétices a oigem. b 4 V a V 3 V V V Figua paa o poblema UNSP Naasso Peeia de Alcataa Juio Claudio Vaa de Aquio