Programa e Metas Curriculares Matemática. Ensino Básico

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1 Programa Mtas Curriculars Matmática Ensino Básico

2 Programa d Matmática para o Ensino Básico Coordnação pdagógica Hlna Damião Faculdad d Psicologia Ciências da Educação da Univrsidad d Coimbra Isabl Fstas Faculdad d Psicologia Ciências da Educação da Univrsidad d Coimbra Coordnação cintífica António Bivar Univrsidad Lusíada d Lisboa; aposntado da Fac. d Ciências da Univrsidad d Lisboa Carlos Grosso Escola Scundária d Pdro Nuns Filip Olivira Faculdad d Ciências Tcnologia da Univrsidad Nova d Lisboa Maria Clmntina Timóto Agrupamnto d Escolas d Quluz-Blas, Unidad Padr Albrto Nto Mtas Curriculars d Matmática - Ensino Básico Autors António Bivar Univrsidad Lusíada d Lisboa; aposntado da Fac. d Ciências da Univrsidad d Lisboa Carlos Grosso Escola Scundária d Pdro Nuns Filip Olivira Faculdad d Ciências Tcnologia da Univrsidad Nova d Lisboa Maria Clmntina Timóto Agrupamnto d Escolas d Quluz-Blas, Unidad Padr Albrto Nto Consultors António St. Aubyn Univrsidad Lusíada d Lisboa Armando Machado Faculdad d Ciências da Univrsidad d Lisboa Carlos Andrad Escola Scundária d Mm Martins Eduardo Marqus d Sá Faculdad d Ciências Tcnologia da Univrsidad d Coimbra João Carriço Agrupamnto d Escolas D. Filipa d Lncastr Jorg Buscu Faculdad d Ciências da Univrsidad d Lisboa Luís Sanchz Faculdad d Ciências da Univrsidad d Lisboa Migul Ramos Faculdad d Ciências da Univrsidad d Lisboa Ficha técnica Página 1

3 Programa d Matmática Ensino Básico (colocado à discussão pública a 23 d abril d 2013)

4 PROGRAMA DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO BÁSICO 1. INTRODUÇÃO A última Rvisão da Estrutura Curricular, lgitimada no Dcrto-li n.º 139/2012 d 5 d julho, bm como no Dspacho n.º 5306/2012 d 18 d Abril, visa mlhorar a qualidad do nsino da aprndizagm, através d uma cultura d rigor d xclência dsd o Ensino Básico. D modo cornt com as dirtrizs xprssas nsss diplomas, a organização curricular da disciplina d Matmática nsts nívis d scolaridad é guiada plo princípio d qu dv ficar claramnt stablcido quais os conhcimntos as capacidads fundamntais qu os alunos dvm adquirir dsnvolvr. Com bas m invstigação rcnt sobr o nsino da Matmática, adota-s uma strutura curricular squncial, qu s justifica atndndo a qu a aquisição d crtos conhcimntos o dsnvolvimnto d crtas capacidads dpnd d outros a adquirir a dsnvolvr prviamnt. Promov-s dsta forma uma aprndizagm progrssiva, na qual s caminha tapa a tapa, rspitando a strutura própria d uma disciplina cumulativa como a Matmática. Not-s também qu a abstração dsmpnha um papl fundamntal na atividad Matmática, prmitindo agrgar unificar objtos, concitos linhas d raciocínio, adaptar métodos rsultados conhcidos a novos contxtos. É no ntanto rconhcido qu a aprndizagm da Matmática, nos anos iniciais, dv partir do concrto, plo qu é fundamntal qu a passagm do concrto ao abstrato, um dos propósitos do nsino da Matmática, s faça d forma gradual, rspitando os tmpos próprios dos alunos promovndo assim o gosto por sta ciência plo rigor qu lh é caractrístico. No sntido d concrtizar stas intnçõs, laboraram-s as Mtas Curriculars d Matmática, homologadas a 3 d Agosto d Encontram-s lncados, nas Mtas Curriculars, objtivos grais qu são spcificados por dscritors, rdigidos d forma concisa qu apontam para dsmpnhos prcisos avaliávis. O documnto foi construído com bas nos contúdos tmáticos xprssos no Programa d Matmática do Ensino Básico d A organização dsss contúdos numa hirarquia d nsino cornt consistnt originou alguns dsfasamntos pontuais ntr ss Programa as Mtas Curriculars. Com o prsnt documnto ficam intiramnt harmonizados os contúdos programáticos com as Mtas Curriculars. Est Programa as Mtas Curriculars constitum, pois, o normativo lgal para a disciplina d Matmática no Ensino Básico, sndo, m conformidad, d utilização obrigatória plas scolas profssors. Em ambos stá subjacnt a procupação d potnciar aprofundar a comprnsão, qu s ntnd sr um objtivo cntral do nsino. Eftivamnt, o dsnvolvimnto da comprnsão - qu rsulta da ampliação contínua gradual d uma complxa rd d rgras, procdimntos, factos, concitos rlaçõs qu podm sr mobilizados, d forma flxívl, m divrsos contxtos - dv ocupar o cntro das procupaçõs das scolas dos profssors, com vista a mlhorar a qualidad da aprndizagm da Matmática no nosso país. Programa d Matmática para o Ensino Básico Página 1

5 2. FINALIDADES DO ENSINO DA MATEMÁTICA Dstacam-s três grands finalidads para o Ensino da Matmática: a struturação do pnsamnto, a anális do mundo natural a intrprtação da socidad. 1. A struturação do pnsamnto A aprnsão hirarquização d concitos matmáticos, o studo sistmático das suas propridads a argumntação clara prcisa, própria dsta disciplina, têm um papl primordial na organização do pnsamnto, constituindo-s como uma gramática basilar do raciocínio hipotético-ddutivo. O trabalho dsta gramática contribui para alicrçar a capacidad d laborar análiss objtivas, cornts comunicávis. Contribui ainda para mlhorar a capacidad d argumntar, d justificar adquadamnt uma dada posição d dttar falácias raciocínios falsos m gral. 2. A anális do mundo natural A Matmática é indispnsávl a uma comprnsão adquada d grand part dos fnómnos do mundo qu nos rodia, isto é, a uma modlação dos sistmas naturais qu prmita prvr o su comportamnto volução. Em particular, o domínio d crtos instrumntos matmáticos rvla-s ssncial ao studo d fnómnos qu constitum objto d atnção m outras disciplinas do currículo do Ensino Básico (Física, Química, Ciências da Trra da Vida, Ciências Naturais, Gografia ). 3. A intrprtação da socidad Ainda qu a aplicabilidad da Matmática ao quotidiano dos alunos s concntr, m larga mdida, m utilizaçõs simpls das quatro opraçõs, da proporcionalidad, sporadicamnt, no cálculo d algumas mdidas d grandzas (comprimnto, ára, volum, capacidad, ) associadas m gral a figuras gométricas lmntars, o método matmático constitui-s como um instrumnto d lição para a anális comprnsão do funcionamnto da socidad. É indispnsávl ao studo d divrsas áras da atividad humana, como sjam os mcanismos da conomia global ou da volução dmográfica, os sistmas litorais qu prsidm à Dmocracia, ou msmo campanhas d vnda promoção d produtos d consumo. O Ensino da Matmática contribui assim para o xrcício d uma cidadania plna, informada rsponsávl. Estas finalidads só podm sr atingidas s os alunos form aprndndo adquadamnt os métodos próprios da Matmática. Em particular, dvm sr lvados, passo a passo, a comprndr qu uma visão vaga mramnt intuitiva dos concitos matmáticos tm um intrss muito limitado é pouco rlvant, qur para o aprofundamnto do studo da Matmática m si, qur para as aplicaçõs qu dla s possam fazr. Não é possívl, por xmplo, dtrminar as propridads d um objto qu não s ncontra adquadamnt dfinido. Nss sntido, as Mtas Curriculars, articuladas com o prsnt Programa, apontam para uma construção consistnt cornt do conhcimnto. O gosto pla Matmática pla rdscobrta das rlaçõs dos factos matmáticos qu muitas vzs é aprsntada como uma finalidad isolada constitui um propósito qu pod dv sr alcançado através do progrsso da comprnsão matmática da rsolução d problmas. Nst sntido, é dcisivo para a ducação futura dos alunos qu s cultiv d forma progrssiva, dsd o 1.º ciclo, algumas caractrísticas próprias da Matmática, como o rigor das dfiniçõs do raciocínio, a aplicabilidad dos concitos abstratos ou a prcisão dos rsultados. Programa d Matmática para o Ensino Básico Página 2

6 3. OBJETIVOS Para alcançar os propósitos antriormnt nunciados, stablcram-s os objtivos qu traduzm os dsmpnhos fundamntais qu os alunos dvrão vidnciar m cada um dos três ciclos d scolaridad básica. Esss dsmpnhos são xplicitados por vrbos a qu s atribum significados spcíficos m cada ciclo qu srvm d bas à litura dos dscritors lncados nas Mtas Curriculars. Com fito, cada dscritor inicia-s por um vrbo, na quas totalidad dos casos constant das listas abaixo. 1.º Ciclo Nst ciclo rqurm-s os quatros dsmpnhos sguints, com o sntido qu s spcifica: (1) Idntificar/dsignar: O aluno dv utilizar corrtamnt a dsignação rfrida, não s xigindo qu nunci formalmnt as dfiniçõs indicadas (salvo nas situaçõs mais simpls), mas ants qu rconhça os difrnts objtos concitos m xmplos concrtos, dsnhos, tc. (2) Estndr: O aluno dv utilizar corrtamnt a dsignação rfrida, rconhcndo qu s trata d uma gnralização. (3) Rconhcr: O aluno dv rconhcr intuitivamnt a vracidad do nunciado m causa m xmplos concrtos. Em casos muito simpls, podrá aprsntar argumntos qu nvolvam outros rsultados já studados qu xpliqum a validad do nunciado. (4) Sabr: O aluno dv conhcr o rsultado, mas sm qu lh sja xigida qualqur justificação ou vrificação concrta. 2.º Ciclo Nst ciclo rqurm-s os quatros dsmpnhos sguints, com o sntido qu s spcifica: (1) Idntificar/dsignar: O aluno dv utilizar corrtamnt a dsignação rfrida, sabndo dfinir o concito aprsntado como s indica ou d manira quivalnt, ainda qu informal. (2) Estndr: O aluno dv dfinir o concito como s indica ou d forma quivalnt, ainda qu informal, rconhcndo qu s trata d uma gnralização. (3) Rconhcr: O aluno dv conhcr o rsultado sabr justificá-lo, vntualmnt d modo informal ou rcorrndo a casos particulars. No caso das propridads mais complxas, dv apnas sabr justificar isoladamnt os divrsos passos utilizados plo profssor para as dduzir, bm como sabr ilustrá-las utilizando xmplos concrtos. No caso das propridads mais simpls, podrá sr chamado a aprsntar d forma autónoma uma justificação gral um pouco mais prcisa. (4) Sabr: O aluno dv conhcr o rsultado, mas sm qu lh sja xigida qualqur justificação ou vrificação concrta. 3.º Ciclo Nst ciclo rqurm-s os st dsmpnhos sguints, com o sntido qu s spcifica: (1) Idntificar/dsignar: O aluno dv utilizar corrtamnt a dsignação rfrida, sabndo dfinir o concito aprsntado como s indica ou d forma quivalnt. (2) Rconhcr: O aluno dv aprsntar uma argumntação cornt ainda qu vntualmnt mais informal do qu a xplicação forncida plo profssor. Dv, no ntanto, sabr justificar isoladamnt os divrsos passos utilizados nssa xplicação. (3) Rconhcr, dado : O aluno dv justificar o nunciado m casos concrtos, sm qu s xija qu o prov com toda a gnralidad. Programa d Matmática para o Ensino Básico Página 3

7 (4) Sabr: O aluno dv conhcr o rsultado, mas sm qu lh sja xigida qualqur justificação ou vrificação concrta. (5) Provar/Dmonstrar: O aluno dv aprsntar uma dmonstração matmática tão rigorosa quanto possívl. (6) Estndr: Est vrbo é utilizado m duas situaçõs distintas: (a) Para stndr a um conjunto mais vasto uma dfinição já conhcida. O aluno dv dfinir o concito como s indica, ou d forma quivalnt, rconhcndo qu s trata d uma gnralização. (b) Para stndr uma propridad a um univrso mais alargado. O aluno dv rconhcr a propridad, podndo por vzs ss rconhcimnto sr rstrito a casos concrtos. (7) Justificar: O aluno dv justificar d forma simpls o nunciado, vocando uma propridad já conhcida. No su conjunto, d modo intgrado, sts dsmpnhos dvm concorrr, a partir do nívl mais lmntar d scolaridad, para a aquisição d conhcimntos d factos d procdimntos, para a construção o dsnvolvimnto do raciocínio matmático, para uma comunicação (oral scrita) adquada à Matmática, para a rsolução d problmas m divrsos contxtos para uma visão da Matmática como um todo articulado cornt. Conhcimnto d factos d procdimntos O domínio d procdimntos padronizados, como por xmplo algoritmos rgras d cálculo, dvrá sr objto d particular atnção no nsino dsta disciplina. As rotinas automatismos são ssnciais ao trabalho matmático, uma vz qu prmitm librtar a mmória d trabalho, por forma a qu sta s possa ddicar, com maior xclusividad, a tarfas qu xigm funçõs cognitivas supriors. Por outro lado prmitm dtrminar, a priori, qu outra informação s podria obtr sm sforço a partir dos dados d um problma, abrindo assim novas portas stratégias à sua rsolução. A mmorização d alguns factos tm igualmnt um papl fundamntal na aprndizagm da Matmática, sndo incorrto opô-la à comprnsão. Mmorização comprnsão, sndo complmntars, rforçam-s mutuamnt. Conhcr as tabuadas básicas, outros factos lmntars, d mmória, prmit também poupar rcursos cognitivos qu podrão sr dircionados para a xcução d tarfas mais complxas. Raciocínio matmático O raciocínio matmático é por xclência o raciocínio hipotético-ddutivo, mbora o raciocínio indutivo dsmpnh também um papl fundamntal, uma vz qu prsid, m Matmática, à formulação d conjturas. Os alunos dvm sr capazs d stablcr conjturas, m alguns casos, após a anális d um conjunto d situaçõs particulars. Dvrão sabr, no ntanto, qu o raciocínio indutivo não é apropriado para justificar propridads,, contrariamnt ao raciocínio ddutivo, pod lvar a conclusõs rradas a partir d hipótss vrdadiras, razão pla qual as conjturas formuladas mas não dmonstradas têm um intrss limitado, dvndo os alunos sr alrtados para st facto incntivados a justificá-las a postriori. Os dsmpnhos rquridos para o cumprimnto dos dscritors nos vários ciclos apontam para uma progrssiva proficiência na utilização do raciocínio hipotético-ddutivo da argumntação matmática. Espra-s pois qu no 3.º ciclo, os alunos sjam capazs d laborar, com algum rigor, pqunas dmonstraçõs. Comunicação matmática Oralmnt, dv-s trabalhar, com os alunos, a capacidad d comprndr os nunciados dos problmas matmáticos, idntificando as qustõs qu lvantam, xplicando-as d modo claro, conciso cornt, discutindo, do msmo modo, stratégias qu conduzam Programa d Matmática para o Ensino Básico Página 4

8 à sua rsolução. Sndo também a rdação scrita part intgrant da atividad matmática, os alunos dvm sr incntivados a rdigir convnintmnt as suas rspostas, scrvndo m português corrto vitando a utilização d símbolos matmáticos como abrviaturas stnográficas. Rsolução d problmas A rsolução d problmas nvolv, da part dos alunos, a litura intrprtação d nunciados, a mobilização d conhcimntos d factos, concitos rlaçõs, a slção aplicação adquada d rgras procdimntos, prviamnt studados trinados, a rvisão, smpr qu ncssária, da stratégia prconizada a intrprtação dos rsultados finais. Assim, a rsolução d problmas não dv confundir-s com atividads vagas d xploração d dscobrta qu, podndo constituir stratégias d motivação, não s rvlam adquadas à concrtização ftiva d uma finalidad tão xignt. Em particular, no 1.º ciclo, solicita-s xplicitamnt qu o númro d passos ncssários à rsolução dos problmas vá aumntando d ano para ano. É fundamntal qu os alunos não trminm st ciclo d nsino consguindo apnas rsolvr problmas d rsposta imdiata (isto é, d um passo). Estudos nacionais intrnacionais rcnts, como o Trnds in Intrnational Mathmatics and Scinc Study (TIMSS), mostram qu, m 2011, 60% dos alunos portuguss do 4.º ano não consgum ultrapassar ss patamar. A Matmática como um todo cornt Vários objtivos grais rsptivos dscritors das Mtas Curriculars foram concbidos d forma a stablcr ligaçõs ntr contúdos sm rlação vidnt ntr si. É o caso, por xmplo, da rlação ntr a irracionalidad da raiz quadrada dos númros naturais (qu não sjam quadrados prfitos) o Torma Fundamntal da Aritmética ou ntr a smlhança d triângulos o Torma d Pitágoras. Para além das situaçõs qu s ncontram xplicitamnt ilustradas nas Mtas Curriculars, outras podm sr trabalhadas no âmbito d xrcícios problmas. Estas atividads são propícias ao ntndimnto d qu a Matmática é constituída por uma complxa rd d rlaçõs qu lh confr uma unidad muito particular. 4. CONTEÚDOS Os contúdos ncontram-s organizados, m cada ciclo, por domínios. A articulação dsjávl ntr os domínios d contúdos os objtivos ants nunciados ncontra-s matrializada no documnto das Mtas Curriculars. Nos 2.º 3.º ciclos indica-s, a título não prscritivo, o númro d tmpos, d quarnta cinco minutos, qu podrá sr ddicado a cada domínio. 1.º CICLO No 1.º ciclo, os domínios d contúdos são três: Númros Opraçõs (NO) Gomtria Mdida (GM) Organização Tratamnto d Dados (OTD) Programa d Matmática para o Ensino Básico Página 5

9 Nst ciclo, os tmas m studo são introduzidos d forma progrssiva, comçando-s por um tratamnto xprimntal concrto, caminhando-s fasadamnt para uma concção mais abstrata. No domínio Númros Opraçõs são aprsntadas as quatro opraçõs sobr os númros naturais, cuja xtnsão aos númros racionais não ngativos s inicia a partir do 3.º ano. É fundamntal qu os alunos adquiram durant sts anos fluência d cálculo dstrza na aplicação dos quatro algoritmos, próprios do sistma dcimal, associados a stas opraçõs. Not-s qu sta fluência não pod sr consguida sm uma sólida proficiência no cálculo mntal. Os profssors são pois fortmnt ncorajados a trabalhar com os sus alunos ssa capacidad, propondo as atividads qu considrarm convnints apropriadas a ss fito. Na scolha dos problmas dv atndr-s ao númro d passos ncssários às rsoluçõs, aumntando-s a rsptiva complxidad ao longo do ciclo. As fraçõs são introduzidas gomtricamnt a partir da dcomposição d um sgmnto d rta m sgmntos d igual comprimnto dsd logo utilizadas para xprimir mdidas d difrnts grandzas, fixadas unidads. O subsqunt tratamnto das fraçõs, assim como a construção dos númros racionais positivos qu las rprsntam, dvm sr ftuados com o possívl rigor d forma cuidadosa, garantindo-s, por xmplo, qu os alunos intrprtm corrtamnt as dízimas finitas como uma mra rprsntação d um tipo muito particular d fraçõs, dvndo vitar o rcurso sistmático às dízimas smpr qu prtndrm ftuar cálculos. Nomadamnt, a introdução no final do ciclo dos algoritmos grais da multiplicação divisão d númros rprsntados na forma d dízima finita não dv alinar o significado das difrnts opraçõs do ponto d vista das fraçõs, as quais constitum o modo básico adotado para dfinir rprsntar númros racionais positivos nquanto mdidas d grandzas. A iniciação ao studo das fraçõs constitui um tma chav do prsnt ciclo, dvndo procurar-s qu os alunos assimilm os difrnts asptos rlacionados com sta tmática. São aprsntadas as noçõs básicas da Gomtria, comçando-s plo rconhcimnto visual d objtos concitos lmntars como pontos, colinaridad d pontos, dirçõs, rtas, smirrtas sgmntos d rta, parallismo prpndicularidad, a partir dos quais s constrom objtos mais complxos como polígonos, circunfrências, sólidos ou ângulos. Por outro lado, a igualdad d distâncias ntr pars d pontos, obtida primitivamnt por dslocamntos d objtos rígidos com dois pontos nls fixados, prsid aos princípios gnéricos qu assistm às opraçõs d mdição d comprimntos conduzindo ao concito d fração postriormnt à mdição d outras grandzas. A igualdad d ângulos é aprsntada, inicialmnt, por dslocamntos rígidos d três pontos lvando à noção d igualdad d amplitud, associando-s a st princípio um important critério gométrico prático d congruência d ângulos, basado m igualdad ntr sgmntos d rta, qu srvirá d fundamnto ao studo da mdida d amplitud d ângulos nos ciclos postriors. No domínio Organização Tratamnto d Dados é dada ênfas a divrsos procssos qu prmitm rprtoriar intrprtar informação rcolhida m contxtos variados, aprovitando-s para forncr algum vocabulário básico da Toria dos Conjuntos, ncssário à comprnsão dos procdimntos ftuados. No 3.º ano é aprsntada a noção d frquência absoluta, no 4.º ano, a d frquência rlativa bm como a rprsntação d númros racionais sob forma d prcntagm. Programa d Matmática para o Ensino Básico Página 6

10 1.º ano Domínio NO1 Contúdos Númros naturais - Corrspondências um a um comparação do númro d lmntos d dois conjuntos; - Contagns d até vint objtos; - O conjunto vazio o zro; - Númros naturais até cm; contagns progrssivas rgrssivas. Sistma d numração dcimal - Ordns dcimais: unidads dznas; - Valor posicional dos algarismos; - Ordm natural; os símbolos «<» «>». Adição - Adiçõs cuja soma sja infrior a por cálculo mntal, métodos informais tirando partido do sistma dcimal d posição; - Os símbolos «+» «=»; - Dcomposição d númros até cm m somas; - Problmas d um passo nvolvndo situaçõs d juntar acrscntar. Subtração - Subtraçõs nvolvndo númros naturais até por métodos informais; - Rlação ntr a subtração a adição; - Subtraçõs d númros até utilizando contagns progrssivas rgrssivas d no máximo nov unidads ou tirando partido do sistma d numração dcimal d posição; - O símbolo os trmos «aditivo», «subtrativo» «difrnça»; - Problmas d um passo nvolvndo situaçõs d rtirar, comparar ou compltar. GM1 Localização orintação no spaço - Rlaçõs d posição alinhamntos d objtos pontos; - Comparação d distâncias ntr pars d objtos pontos; - Figuras gomtricamnt iguais. Figuras gométricas - Parts rtilínas d objtos dsnhos; parts planas d objtos; - Sgmntos d rta xtrmos d um sgmnto d rta; - Comparação d comprimntos igualdad gométrica d sgmntos d rta; - Figuras planas: rtângulo, quadrado, triângulo, circunfrência, círculo; lados vértics; - Sólidos: cubo, parallpípdo rtângulo, cilindro sfra. Mdida Distâncias comprimntos - Unidad d comprimnto mdidas d comprimntos xprssas como númros naturais. Áras - Figuras quidcomponívis quivalnts. Tmpo - Utilização d fnómnos cíclicos naturais para contar o tmpo: dias, smanas mss anos; - Dsignação dos dias da smana dos mss do ano. Programa d Matmática para o Ensino Básico Página 7

11 Dinhiro - Modas notas da ára do Euro; - Contagns d dinhiro nvolvndo númros até cm, apnas m uros ou apnas m cêntimos. OTD1 Rprsntação d conjuntos - Conjunto, lmnto prtncnt a um conjunto, cardinal d um conjunto; - Diagramas d Vnn com conjuntos disjuntos. Rprsntação d dados - Pictograma gráfico d pontos m qu cada figura rprsnta uma unidad. 2.º ano Domínio NO2 Contúdos Númros naturais - Numrais ordinais até vigésimo; - Númros naturais até mil; - Contagns d m, d m, d m d m ; - Númros pars númro ímpars; idntificação através do algarismo das unidads. Sistma d numração dcimal - Ordns dcimais: unidads, dznas cntnas; - Valor posicional dos algarismos; - Comparação d númros até mil. Adição Subtração - Cálculo mntal: somas d númros d um algarismo, difrnças d númros até, adiçõs subtraçõs d a númros d três algarismos; - Adiçõs cuja soma sja infrior a ; - Subtraçõs d númros até ; - Problmas d um ou dois passos nvolvndo situaçõs d juntar, acrscntar, rtirar, comparar ou compltar. Multiplicação - Sntido aditivo combinatório; - O símbolo ; - Produto por por ; - Tabuadas do,,,, ; - Os trmos «dobro», «triplo», «quádruplo» «quíntuplo»; - Problmas d um ou dois passos nvolvndo situaçõs multiplicativas nos sntidos aditivo combinatório. Divisão intira - Divisão xata por métodos informais; - Rlação ntr a divisão xata a multiplicação: dividndo, divisor quocint; - O símbolo «:»; - Os trmos «mtad», «trça part», «quarta part» «quinta part»; - Problmas d um passo nvolvndo situaçõs d partilha quitativa d agrupamnto. Programa d Matmática para o Ensino Básico Página 8

12 Númros racionais não ngativos - Fraçõs,,,,, como mdidas d comprimntos d outras grandzas; - Rprsntação dos númros naturais das fraçõs,,, numa rta numérica. Squências rgularidads - Problmas nvolvndo a dtrminação d trmos d uma squência dada a li d formação a dtrminação d uma li d formação compatívl com uma squência parcialmnt conhcida. GM2 Localização orintação no spaço - Dirçõs no spaço rlativamnt a um obsrvador; - Voltas intiras, mias voltas, quartos d volta, viragns à dirita à squrda; - Itinrários m grlhas quadriculadas. Figuras gométricas - Rtas smirrtas; - Polígonos linhas poligonais; - Part intrna xtrna d linhas planas fchadas; - Triângulos isóscls quilátros; - Quadrilátros (rtângulo, quadrado losango); - Pntágonos hxágonos; - Sólidos gométricos polidros não polidros; pirâmids cons; vértic, arsta fac; - Atributos gométricos não gométricos d um objto; - Construção d figuras com ixo d simtria. Mdida Distância Comprimnto - Comparação d mdidas d comprimnto m dada unidad; - Subunidads d comprimnto: um mio, um trço, um quarto, um quinto, um décimo, um cntésimo um milésimo da unidad; - Unidads do sistma métrico; - Prímtro d um polígono. Ára - Mdidas d ára m unidads não convncionais. Volum capacidad - Sólidos quidcomponívis m cubos d arstas iguais; - Mdidas d volum m unidads não convncionais; - Ordnação d capacidads d rcipints; - Mdidas d capacidads m unidads não convncionais; - O litro como unidad d mdida d capacidad; - Comparação d volums d objtos por imrsão m líquido contido num rcipint. Massa - Comparação d massas m balanças d dois pratos; - Psagns m unidads não convncionais; - O quilograma como unidad d mdida d massa. Tmpo - Instrumntos d mdida do tmpo; - A hora; - Rlógios d pontiros a mdida do tmpo m horas mias horas quartos d hora; - Calndários horários. Programa d Matmática para o Ensino Básico Página 9

13 Dinhiro - Contagns d dinhiro m uros cêntimos nvolvndo númros até. Problmas - Problmas d um ou dois passos nvolvndo mdidas d difrnts grandzas. OTD2 Rprsntação d conjuntos - Runião intrsção d conjuntos; - Diagramas d Vm Carroll. Rprsntação d dados - Tablas d frquências absolutas, gráficos d pontos, d barras pictogramas m difrnts scalas; - Esqumas d contagm (tally charts). 3.º ano Domínio NO3 Contúdos Númros naturais - Numrais ordinais até cntésimo; - Númros naturais até um milhão; - Contagns progrssivas rgrssivas com saltos fixos; - Numração romana. Rprsntação dcimal d númros naturais - Litura por classs por ordns dcomposição dcimal d númros até um milhão; - Comparação d númros até um milhão; - Arrdondamntos. Adição subtração d númros naturais - Algoritmos da adição da subtração nvolvndo númros até um milhão; - Problmas d até três passos nvolvndo situaçõs d juntar, acrscntar, rtirar, comparar ou compltar. Multiplicação d númros naturais - Tabuadas do, ; - Múltiplo d um númro; - Cálculo mntal: produto por,,, tc.; produto d um númro d um algarismo por um númro d dois algarismos; - Algoritmo da multiplicação nvolvndo númros até um milhão; - Critério d rconhcimnto dos múltiplos d, ; - Problmas d até três passos nvolvndo situaçõs multiplicativas nos sntidos aditivo combinatório. Divisão intira - Divisão intira por métodos informais; - Rlação ntr dividndo, divisor, quocint rsto; - Cálculo mntal: divisõs intiras com divisors quocints infriors a Programa d Matmática para o Ensino Básico ; Página 10

14 - Divisor d um númro, númro divisívl por outro; rlação ntr múltiplo divisor; - Problmas d até três passos nvolvndo situaçõs d partilha quitativa d agrupamnto. Númros racionais não ngativos - Fração como rprsntação d mdida d comprimnto d outras grandzas; numrais fracionários; - Rprsntação d fraçõs na rta numérica; - Fraçõs quivalnts noção d númro racional; - Ordnação d númros racionais rprsntados por fraçõs com o msmo numrador ou o msmo dnominador, ou utilizando a rta numérica ou a mdição d outras grandzas; - Fraçõs próprias. Adição subtração d númros racionais não ngativos rprsntados por fraçõs - Adição subtração na rta numérica por justaposição rtilinta d sgmntos d rta; - Produto d um númro natural por um númro racional rprsntado por uma fração unitária; - Adição subtração d númros racionais rprsntados por fraçõs com o msmo dnominador; - Dcomposição d um númro racional na soma d um númro natural com um númro racional rprsntávl por uma fração própria. Rprsntação dcimal d númros racionais não ngativos - Fraçõs dcimais; rprsntação na forma d dízimas; - Rdução d fraçõs dcimais ao msmo dnominador; adição d númros racionais rprsntados por fraçõs dcimais com dnominadors até mil; - Algoritmos para a adição para a subtração d númros racionais rprsntados por dízimas; - Dcomposição dcimal d um númro racional rprsntado na forma d uma dízima. GM3 Localização orintação no spaço - Sgmntos d rta parallos prpndiculars m grlhas quadriculadas; - Dirçõs prpndiculars quartos d volta; - Dirçõs horizontais vrticais; - Coordnadas m grlhas quadriculadas. Figuras gométricas - Circunfrência, círculo, suprfíci sférica sfra; cntro, raio diâmtro; - Idntificação d ixos d simtria m figuras planas. Mdida Comprimnto - Unidads d mdida d comprimnto do sistma métrico; convrsõs. Ára - Mdiçõs d áras m unidads quadradas; - Fórmula para a ára do rtângulo d lados d mdida intira. Massa - Unidads d massa do sistma métrico; convrsõs; - Psagns m unidads do sistma métrico; - Rlação ntr litro quilograma. Programa d Matmática para o Ensino Básico Página 11

15 Capacidad - Unidads d capacidad do sistma métrico; convrsõs; - Mdiçõs d capacidads m unidads do sistma métrico. Tmpo - Minutos sgundos; - Convrsõs d mdidas d tmpo; - Adição subtração d mdidas d tmpo. Dinhiro - Adição subtração d quantias d dinhiro. Problmas - Problmas d até três passos nvolvndo mdidas d difrnts grandzas. OTD3 Rprsntação tratamnto d dados - Diagramas d caul--folhas; - Frquência absoluta; - Moda; - Mínimo, máximo amplitud; - Problmas nvolvndo anális organização d dados, frquência absoluta, moda amplitud. 4.º ano Domínio NO4 Contúdos Númros naturais - Extnsão das rgras d construção dos numrais dcimais para classs d grandza indfinida; - Difrnts significados do trmo «bilião». Divisão intira - Algoritmo da divisão intira; - Dtrminação dos divisors d um númro natural até ; - Problmas d vários passos nvolvndo as quatro opraçõs. Númros racionais não ngativos - Construção d fraçõs quivalnts por multiplicação dos trmos por um msmo fator; - Simplificação d fraçõs d trmos prtncnts à tabuada do do ou ambos múltiplos d. Multiplicação divisão d númros racionais não ngativos - Multiplicação divisão d númros racionais por naturais por racionais na forma d fração unitária; - Produto quocint d um númro rprsntado por uma dízima por ; - Utilização do algoritmo da divisão intira para obtr aproximaçõs na forma d dízima d númros racionais; - Multiplicação d númros racionais rprsntados por dízimas finitas, utilizando os algoritmos. - Utilização do algoritmo da divisão intira para obtr aproximaçõs na forma d dízima d quocints d númros racionais; Programa d Matmática para o Ensino Básico Página 12

16 GM4 Localização orintação no spaço - Ângulo formado por duas dirçõs; vértic d um ângulo; - Ângulos com a msma amplitud; - A mia volta o quarto d volta como ângulos. Figuras gométricas Ângulos - Ângulos convxos ângulos côncavos; - Ângulos vrticalmnt opostos; - Ângulos nulos, rasos giros; - Critério d igualdad d ângulos; - Ângulos adjacnts; - Comparação das amplituds d ângulos; - Ângulos rtos, agudos obtusos. Propridads gométricas - Rtas concorrnts, prpndiculars, parallas coincidnts; - Rtângulos como quadrilátros d ângulos rtos; - Polígonos rgulars; - Polígonos gomtricamnt iguais; - Planos parallos; - Parallpípdos rtângulos; dimnsõs; - Prismas rtos; - Planificaçõs; - Pavimntaçõs do plano. Mdida Ára - Unidads d ára do sistma métrico; - Mdiçõs d áras m unidads do sistma métrico; convrsõs; - Unidads d mdida agrárias; convrsõs. - Dtrminação, numa dada unidad do sistma métrico, d áras d rtângulos com lados d mdidas xprimívis m númros intiros, numa subunidad. Volum - Mdiçõs d volums m unidads cúbicas; - Fórmula para o volum do parallpípdo rtângulo d arstas d mdida intira; - Unidads d volum do sistma métrico; convrsõs; - Rlação ntr o dcímtro cúbico o litro. Problmas - Problmas d vários passos rlacionando mdidas d difrnts grandzas. OTD4 Tratamnto d dados - Frquência rlativa; - Noção d prcntagm; - Problmas nvolvndo o cálculo a comparação d frquências rlativas. Programa d Matmática para o Ensino Básico Página 13

17 2.º CICLO No 2.º ciclo, os domínios d contúdos são quatro: Númros Opraçõs (NO) Gomtria Mdida (GM) Álgbra (ALG) Organização Tratamnto d Dados (OTD) Rlativamnt aos tmas Númros Opraçõs Álgbra, conclui-s nst ciclo o studo das opraçõs lmntars sobr fraçõs complta-s a construção dos númros racionais, introduzindo os ngativos. Os alunos dvrão, à ntrada do 3.º ciclo, mostrar fluência dsmbaraço na utilização d númros racionais m contxtos variados, rlacionar d forma ficaz as suas divrsas rprsntaçõs (fraçõs, dízimas, numrais mistos, prcntagns) tratar situaçõs qu nvolvam proporcionalidad dirta ntr grandzas. São igualmnt studadas potências d bas racional positiva xpont natural, sndo outros xponts mais grais introduzidos no 3.º ciclo no Scundário. A abordagm dsts contúdos prtnd ofrcr aos alunos um primiro contacto com os métodos simbólicos próprios da Álgbra, qu prmitm dduzir organizar um crto númro d conhcimntos d forma sistmática. Finalmnt, são aprsntadas noçõs básicas d divisibilidad, xplorando-s o Algoritmo d Euclids no 5.º ano o Torma Fundamntal da Aritmética, qu dl pod sr dduzido, no 6.º ano. Em Gomtria, são introduzidos alguns concitos propridads tão lmntars quanto fundamntais nvolvndo parallismo ângulos, com aplicaçõs simpls aos polígonos. Em particular, é forncida uma dfinição gométrica d soma d ângulos, por justaposição, análoga à justaposição d sgmntos d rta abordada no 1.º ciclo. Tratando-s d uma tapa indispnsávl ao studo sério rigoroso da Gomtria nos ciclos d nsino postriors, os alunos dvrão sabr rlacionar as difrnts propridads studadas com aqulas qu já conhcm qu são prtinnts m cada situação. É também pdida aos alunos a ralização d divrsas tarfas qu nvolvm a utilização d instrumntos d dsnho d mdida (régua, squadro, compasso transfridor, programas d gomtria dinâmica), sndo dsjávl qu adquiram dstrza na xcução d construçõs rigorosas rconhçam alguns dos rsultados matmáticos por dtrás dos difrnts procdimntos. O tópico da Mdida, nst ciclo, é ddicado a áras d figuras planas, a volums d sólidos a amplituds d ângulos. À imagm do concito d mdida d comprimnto qu dcorr, na abordagm prconizada no 1.º ciclo, da justaposição rtilína d sgmntos d rta, as mdidas d amplitud d ângulo alicrçam-s na noção d soma gométrica d ângulos. No domínio da Organização Tratamnto d Dados, rtomam-s várias rprsntaçõs d conjuntos d dados noçõs statísticas lmntars como a média, a moda a amplitud. É o momnto idal para s introduzir a noção d gráfico cartsiano d uma corrspondência, qu srá naturalmnt rvisitada com mais profundidad no 3.º ciclo no contxto das funçõs. Programa d Matmática para o Ensino Básico Página 14

18 5.º ano Domínio NO5 54 tmpos Contúdos Númros racionais não ngativos - Simplificação d fraçõs; - Fraçõs irrdutívis; - Rdução d duas fraçõs ao msmo dnominador; - Ordnação d númros racionais rprsntados por fraçõs; - Adição, subtração, multiplicação divisão d númros racionais não ngativos rprsntados na forma d fração; - Rprsntação d númros racionais na forma d numrais mistos; adição subtração d númros racionais rprsntados por numrais mistos; - Aproximaçõs arrdondamntos d númros racionais; - Problmas d vários passos nvolvndo númros racionais rprsntados na forma d fraçõs, dízimas, prcntagns numrais mistos. Númros naturais - Critérios d divisibilidad por, ; - Dtrminação do máximo divisor comum d dois númros naturais por inspção dos divisors d cada um dls; - Algoritmo d Euclids; - Númros primos ntr si; númros obtidos por divisão d dois dados númros plo rsptivo máximo divisor comum; irrdutibilidad das fraçõs d trmos primos ntr si; - Rlação ntr o mínimo múltiplo comum o máximo divisor comum d dois númros; - Problmas nvolvndo o cálculo do mínimo múltiplo comum do máximo divisor comum d dois númros. GM5 88 tmpos Propridads gométricas Ângulos, parallismo prpndicularidad - Ângulo igual à soma d outros dois; dfinição construção com régua compasso; - Bisstriz d um ângulo; - Ângulos complmntars suplmntars; - Igualdad d ângulos vrticalmnt opostos; - Smirrtas dirtamnt invrsamnt parallas; - Ângulos corrspondnts parallismo; - Ângulos intrnos, xtrnos pars d ângulos altrnos intrnos altrnos xtrnos dtrminados por uma scant num par d rtas concorrnts; rlação como o parallismo; - Ângulos d lados dirtamnt invrsamnt parallos; pars d ângulos d lados prpndiculars. Triângulos quadrilátros - Ângulos intrnos, xtrnos adjacnts a um lado d um polígono; - Ângulos d um triângulo: soma dos ângulos intrnos, rlação d um ângulo xtrno com os intrnos não adjacnts soma d três ângulos xtrnos com vértics distintos; - Triângulos acutângulos, obtusângulos rtângulos; hipotnusa cattos d um triângulo rtângulo; - Ângulos intrnos d triângulos obtusângulos rtângulos; - Parallogramos; ângulos opostos adjacnts d um parallogramo; - Critérios d igualdad d triângulos: critérios LLL, LAL ALA; construção d triângulos dados os comprimntos d lados /ou as amplituds d ângulos intrnos; - Rlaçõs ntr lados ângulos num triângulo ou m triângulos iguais; - Igualdad dos lados opostos d um parallogramo; - Dsigualdad triangular; - Pé da prpndicular traçada d um ponto para uma rta prpndicular a uma rta num ponto; - Distância d um ponto a uma rta ntr rtas parallas; altura d um triângulo d um parallogramo. Programa d Matmática para o Ensino Básico Página 15

19 Problmas - Problmas nvolvndo as noçõs d parallismo, prpndicularidad, ângulos triângulos. Mdida Ára - Ára d rtângulos d lados d mdida racional; - Fórmulas para a ára d parallogramos triângulos; - Problmas nvolvndo o cálculo d áras d figuras planas. Amplitud d ângulos - Mdidas d amplituds d ângulos; - O grau como unidad d mdida d amplitud; minutos sgundos d grau; - Utilização do transfridor para mdir amplituds d ângulos para construir ângulos d uma dada mdida d amplitud; - Problmas nvolvndo adiçõs, subtraçõs convrsõs d mdidas d amplitud xprssas m forma complxa incomplxa. ALG5 16 tmpos OTD5 22 tmpos Exprssõs algébricas propridads das opraçõs - Prioridads convncionadas das opraçõs d adição, subtração, multiplicação divisão; utilização d parêntsis; - Propridads associativa comutativa da adição multiplicação propridads distributivas da multiplicação m rlação à adição subtração; - Elmntos nutros da adição da multiplicação lmnto absorvnt da multiplicação d númros racionais não ngativos; - Utilização do traço d fração com o significado d quocint d númros racionais; - Invrsos dos númros racionais positivos; - Produto quocint d quocints d númros racionais; invrso d um quocint d númros racionais; - Cálculo d xprssõs numéricas nvolvndo as quatro opraçõs aritméticas a utilização d parêntsis; - Linguagm natural linguagm simbólica. Gráficos cartsianos - Rfrnciais cartsianos, ortogonais monométricos; - Abcissas, ordnadas coordnadas; - Gráficos cartsianos. Rprsntação tratamnto d dados - Tablas d frquências absolutas rlativas; - Gráficos d barras d linhas; - Média aritmética; - Problmas nvolvndo a média a moda; - Problmas nvolvndo dados m tablas, diagramas gráficos. Programa d Matmática para o Ensino Básico Página 16

20 6.º ano Domínio NO6 Númros naturais Contúdos 40 tmpos - Númros primos; - Crivo d Eratóstns; - Torma fundamntal da aritmética aplicaçõs. Númros racionais Númros racionais positivos ngativos - Númros racionais ngativos; - Númros simétricos valor absoluto d um númro; - Smirrta d sntido positivo associada a um númro; ordnação d númros racionais; - Conjunto dos númros intiros rlativos conjunto dos númros racionais. Adição subtração - Sgmntos d rta orintados; orintação positiva ngativa d sgmntos orintados da rta numérica; - Adição d númros racionais; dfinição propridads; - Subtração soma algébrica d númros racionais; dfinição propridads; - Módulo da difrnça d dois númros nquanto mdida da distância ntr os pontos qu rprsntam na rta numérica. GM6 60 tmpos Figuras gométricas planas - Ângulo ao cntro stor circular; - Polígonos inscritos numa circunfrência; - Rtas sgmntos d rta tangnts a uma circunfrência; - Polígonos circunscritos a uma circunfrência; - Apótma d um polígono. Sólidos gométricos propridads - Prismas rtos, oblíquos rgulars; - Pirâmids; - Bass, facs latrais vértics d prismas pirâmids; - Pirâmids rgulars; - Cilindros; bass, ixo, gratrizs suprfíci latral d um cilindro; - Cons; bas, vértic, ixo, gratrizs suprfíci latral d um con; - Cilindros cons rtos; - Rlação ntr o númro d arstas d vértics d prismas pirâmids; - Polidros convxos; - Rlação d Eulr; - Planificaçõs d sólidos; - Problmas nvolvndo sólidos gométricos rsptivas planificaçõs. Mdida Ára - Fórmula para o prímtro do círculo; aproximação por prímtros d polígonos rgulars inscritos circunscritos; - Fórmula para a ára d polígonos rgulars; - Fórmula para a ára do círculo; aproximação por áras d polígonos rgulars inscritos; - Problmas nvolvndo o cálculo d prímtros áras d polígonos círculos. Programa d Matmática para o Ensino Básico Página 17

21 Volum - Fórmula para o volum do parallpípdo rtângulo com dimnsõs d mdida racional; - Fórmulas para o volum do prisma rto do cilindro rto; - Problmas nvolvndo o cálculo d volums d sólidos. Isomtrias do plano - Rflxão cntral como isomtria; invariância da amplitud d ângulo; - Mdiatriz d um sgmnto d rta; construção da mdiatriz utilizando régua compasso; - Rflxão axial como isomtria; invariância da amplitud d ângulo; ixos d simtria; a bisstriz d um ângulo como ixo d simtria; - Rotação d sntido positivo ou ngativo como isomtria; invariância da amplitud d ângulo; - Imagm d um sgmnto d rta por uma isomtria; - Construção d imagns d figuras planas por rflxõs cntrais axiais por rotaçõs; - Simtrias d rotação d rflxão; - Problmas nvolvndo as propridads das isomtrias utilizando raciocínio ddutivo; - Problmas nvolvndo figuras com simtrias d rotação d rflxão axial. ALG6 54 tmpos Potências d xpont natural - Potência d bas racional não ngativa; - Rgras opratórias das potências d bas racional não ngativa; - Prioridad das opraçõs; - Linguagm simbólica linguagm natural m nunciados nvolvndo potências. Squências rgularidads - Dtrminação d trmos d uma squência dfinida por uma li d formação rcorrnt ou por uma xprssão gradora; - Dtrminação d xprssõs gradoras d squências dfinidas por uma li d formação rcorrnt; - Problmas nvolvndo a dtrminação d uma li d formação compatívl com uma squência parcialmnt conhcida. Proporcionalidad dirta - Noção d grandzas dirtamnt proporcionais d constant d proporcionalidad dirta; - Proporçõs; xtrmos, mios trmos d uma proporção; propridads rgra d três simpls; - Escalas m mapas; - Problmas nvolvndo a noção d proporcionalidad dirta ntr grandzas mutuamnt dpndnts. OTD6 14 tmpos Rprsntação tratamnto d dados - População unidad statística; - Variávis quantitativas qualitativas; - Gráficos circulars; - Anális d conjuntos d dados a partir da média, moda amplitud; - Problmas nvolvndo dados rprsntados d difrnts formas. Programa d Matmática para o Ensino Básico Página 18

22 3.º CICLO No 3.º ciclo, os domínios d contúdos são cinco: Númros Opraçõs (NO) Gomtria Mdida (GM) Funçõs, Squências Sucssõs (FSS) Álgbra (ALG) Organização Tratamnto d Dados (OTD) Est ciclo constitui uma important tapa na formação matmática dos alunos, sndo simultanamnt um príodo d consolidação dos conhcimntos capacidads a dsnvolvr durant o Ensino Básico d prparação para o Ensino Scundário. Em particular, é fundamntal qu comcm a sr utilizados corrtamnt os trmos (dfinição, propridad, torma, tc.) os procdimntos dmonstrativos próprios da Matmática. Nos domínios Númros Opraçõs Álgbra, trmina-s o studo das opraçõs sobr o corpo ordnado dos númros racionais, introduzm-s as raízs quadradas cúbicas, studam-s quaçõs do primiro do sgundo grau, sistmas d duas quaçõs linars com duas incógnitas, inquaçõs do primiro grau abordam-s procdimntos próprios da Álgbra no quadro das propridads dos monómios polinómios. Todas stas noçõs são postriormnt stndidas ao corpo dos númros rais. A ncssidad da introdução dst conjunto mais gral d númros é studada no domínio Gomtria Mdida rsulta da xistência d sgmntos d rta incomnsurávis. Nst msmo domínio são aprsntados alguns tormas fundamntais, como o torma d Tals ou d Pitágoras, qu é visto, nsta abordagm, como uma consquência do primiro. O torma d Tals prmit ainda tratar com rigor os critérios d smlhança d triângulos, qu stão na bas d numrosas dmonstraçõs gométricas propostas. Um objtivo gral ddicado à axiomática da gomtria prmit nquadrar historicamnt toda sta progrssão constitui um trrno propício ao dsnvolvimnto do raciocínio hipotético-ddutivo dos alunos. Com o objtivo xplícito d abordar convnintmnt as isomtrias sm pontos fixos, é fito, no 8.º ano, um studo lmntar dos vtors. O 9.º ano é ddicado ao studo d ângulos circunfrências, razõs trigonométricas, rtas planos no spaço volums d alguns sólidos. No domínio Funçõs, Squências Sucssõs é fita uma introdução ao concito d função d sucssão d algumas opraçõs ntr las. São considradas funçõs d proporcionalidad dirta, invrsa, funçõs afins quadráticas. Finalmnt, no domínio Organização Tratamnto d Dados, são introduzidas algumas mdidas d localização disprsão d um conjunto d dados é fita uma iniciação às probabilidads aos fnómnos alatórios. Programa d Matmática para o Ensino Básico Página 19

23 7.º ano Domínio NO7 18 tmpos GM7 66 tmpos Contúdos Númros racionais - Simétrico da soma da difrnça d racionais; - Extnsão da multiplicação a todos os racionais; - Extnsão da divisão ao caso m qu o dividndo é um racional qualqur o divisor um racional não nulo. Alfabto grgo - As ltras do alfabto grgo. Figuras Gométricas Linhas poligonais polígonos - Linhas poligonais; vértics, lados, xtrmidads, linhas poligonais fchadas simpls; part intrna xtrna d linhas poligonais fchadas simpls; - Polígonos simpls; vértics, lados, intrior, xtrior, frontira, vértics lados conscutivos; - Ângulos intrnos d polígonos; - Polígonos convxos côncavos; caractrização dos polígonos convxos através dos ângulos intrnos; - Ângulos xtrnos d polígonos convxos; - Soma dos ângulos intrnos d um polígono; - Soma d ângulos xtrnos d um polígono convxo; - Diagonais d um polígono. Quadrilátros - Diagonais d um quadrilátro; - Parallogramos: caractrização através das diagonais caractrização dos rtângulos losangos através das diagonais; - Papagaios: propridad das diagonais; o losango como papagaio; - Trapézios: bass; trapézios isóscls, scalnos rtângulos; caractrização dos parallogramos; - Problmas nvolvndo triângulos quadrilátros. Parallismo, congruência smlhança - Isomtrias smlhanças; - Critério d smlhança d polígonos nvolvndo os rsptivos lados diagonais; - Torma d Tals; - Critérios d smlhança d triângulos (LLL, LAL AA); igualdad dos ângulos corrspondnts m triângulos smlhants; - Smlhança dos círculos; - Critério d smlhança d polígonos nvolvndo os rsptivos lados ângulos intrnos; - Divisão d um sgmnto num númro arbitrário d parts iguais utilizando régua compasso, com ou sm squadro; - Homottia dirta invrsa; - Construção d figuras homotéticas; - Problmas nvolvndo smlhanças d triângulos homottias. Mdida Mudanças d unidad d comprimnto incomnsurabilidad - Convrsõs d mdidas d comprimnto por mudança d unidad; - Invariância do quocint d mdidas; - Sgmntos d rta comnsurávis incomnsurávis; - Incomnsurabilidad da hipotnusa com os cattos d um triângulo rtângulo isóscls. Programa d Matmática para o Ensino Básico Página 20

24 Áras d quadrilátros - Ára do papagaio do losango; - Ára do trapézio. Prímtros áras d figuras smlhants - Razão ntr prímtros d figuras smlhants; - Razão ntr áras d figuras smlhants; - Problmas nvolvndo prímtros áras d figuras smlhants. FSS7 25 tmpos Funçõs Dfinição d função - Função ou aplicação d m ; domínio contradomínio; igualdad d funçõs; - Pars ordnados; gráfico d uma função; variávl indpndnt variávl dpndnt; - Funçõs numéricas; - Gráficos cartsianos d funçõs numéricas d variávl numérica; quação d um gráfico cartsiano. Opraçõs com funçõs numéricas - Adição, subtração multiplicação d funçõs numéricas com o msmo domínio; xponnciação d xpont natural d funçõs numéricas; - Opraçõs com funçõs numéricas d domínio finito dadas por tablas, diagramas d stas ou gráficos cartsianos; - Funçõs constants, linars afins; formas canónicas, coficints trmos indpndnts; propridads algébricas rdução à forma canónica; - Funçõs d proporcionalidad dirta; - Problmas nvolvndo funçõs d proporcionalidad dirta. Squências sucssõs - Squências sucssõs como funçõs; - Gráficos cartsianos d squências numéricas; - Problmas nvolvndo squências sucssõs. ALG7 28 tmpos Exprssõs algébricas - Extnsão a das propridads associativa comutativa da adição da multiplicação; - Extnsão a da propridad distributiva da multiplicação m rlação à adição à subtração; - Extnsão a das rgras d cálculo do invrso d produtos quocints do produto do quocint d quocints; - Extnsão a da dfinição propridads das potências d xpont natural; potência do simétrico d um númro; - Simplificação cálculo do valor d xprssõs numéricas nvolvndo as quatro opraçõs aritméticas, a potnciação a utilização d parêntsis. Raízs quadradas cúbicas - Monotonia do quadrado do cubo; - Quadrado prfito cubo prfito; - Raiz quadrada d quadrado prfito raiz cúbica d cubo prfito; - Produto quocint d raízs quadradas cúbicas; - Rprsntaçõs dcimais d raízs quadradas cúbicas. Equaçõs algébricas - Equação dfinida por um par d funçõs; primiro sgundo mmbro, soluçõs conjuntosolução; - Equaçõs possívis impossívis; - Equaçõs quivalnts; Programa d Matmática para o Ensino Básico Página 21

25 - Equaçõs numéricas; princípios d quivalência; - Equação linar com uma incógnita; simplificação caractrização do conjunto-solução; quaçõs linars impossívis, possívis, dtrminadas indtrminadas; quação algébrica d 1.º grau; - Soluçõs xatas aproximadas d quaçõs algébricas d 1.º grau; - Problmas nvolvndo quaçõs linars. OTD7 10 Tmpos Mdidas d localização - Squência ordnada dos dados; - Mdiana d um conjunto d dados; dfinição propridads; - Problmas nvolvndo tablas, gráficos mdidas d localização. 8.º ano Domínio NO8 20 Tmpos Contúdos Dízimas finitas infinitas priódicas - Caractrização das fraçõs irrdutívis quivalnts a fraçõs dcimais; - Rprsntação d númros racionais através d dízimas finitas ou infinitas priódicas utilizando o algoritmo da divisão; príodo comprimnto do príodo d uma dízima; - Convrsão m fração d uma dízima infinita priódica; - Dcomposição dcimal d númros racionais rprsntados por dízimas finitas, utilizando potências d bas xpont intiro; - Notação cintífica; aproximação, ordnação opraçõs m notação cintífica; - Dfinição d dízima infinita não priódica; - Rprsntação na rta numérica d númros racionais dados na forma d dízima. Dízimas infinitas não priódicas númros rais - Pontos irracionais da rta numérica; xmplo; - Númros irracionais dízimas infinitas não priódicas; - Númros rais; xtnsão a das opraçõs conhcidas sobr rsptivas propridads; xtnsão a mdidas rais das propridads nvolvndo proporçõs ntr comprimntos d sgmntos; - Irracionalidad d para natural distinto d um quadrado prfito; - Construção da rprsntação d raízs quadradas d númros naturais na rta numérica, utilizando o Torma d Pitágoras; - Extnsão a da ordm m ; propridads transitiva tricotómica da rlação d ordm; ordnação d númros rais rprsntados na forma d dízima. GM8 40 Tmpos Torma d Pitágoras - Torma d Pitágoras o rsptivo rcíproco; - Problmas nvolvndo os tormas d Pitágoras d Tals nvolvndo a dtrminação d distâncias dsconhcidas por utilização dsts tormas. Vtors, translaçõs isomtrias - Sgmntos orintados com a msma dirção sntido com a msma dirção sntidos opostos; comprimnto d um sgmnto orintado; sgmnto orintado rduzido a um ponto; - Sgmntos orintados quipolnts vtors; - Vtors colinars simétricos; - Soma d um ponto com um vtor translação dtrminada por um vtor; - Composta d translaçõs soma d vtors; rgras do triângulo do parallogramo; Programa d Matmática para o Ensino Básico Página 22

26 propridads algébricas da adição algébrica d vtors; - Translaçõs como isomtrias; caractrização pla prsrvação da dirção sntido dos sgmntos orintados smirrtas; - Rflxõs dslizants como isomtrias; - Ação das isomtrias sobr as rtas, as smirrtas os ângulos rsptivas amplituds; - Classificação das isomtrias do plano; - Problmas nvolvndo as propridads das isomtrias do plano; - Problmas nvolvndo figuras com simtrias d translação, rotação, rflxão axial rflxão dslizant. FSS8 15 Tmpos ALG8 62 Tmpos Gráficos d funçõs afins - Equação d rta não vrtical gráfico d função linar ou afim; - Dcliv ordnada na origm d uma rta não vrtical; - Rlação ntr dcliv parallismo; - Dtrminação do dcliv d uma rta dtrminada por dois pontos com abcissas distintas; - Equação d rta vrtical; - Problmas nvolvndo quaçõs d rtas. Potências d xpont intiro - Potência d xpont nulo; - Potência d xpont ngativo; - Extnsão a potências d xpont intiro das propridads conhcidas das potências d xpont natural. Monómios Polinómios - Monómios; fators numéricos, constants varávis ou indtrminadas; part numérica ou coficint; monómio nulo monómio constant; part litral; - Monómios smlhants; forma canónica d um monómio; igualdad d monómios; - Grau d um monómio; - Soma algébrica produto d monómios; - Polinómios; trmos; variávis ou indtrminadas, coficints; forma rduzida; igualdad d polinómios; trmo indpndnt; polinómio nulo; - Grau d um polinómio; - Soma algébrica produto d polinómios; - Casos notávis da multiplicação como igualdads ntr polinómios; - Problmas associando polinómios a mdidas d áras volums, intrprtando gomtricamnt igualdads qu os nvolvam; - Problmas nvolvndo polinómios, casos notávis da multiplicação d polinómios fatorização. Equaçõs incompltas d 2.º grau - Equação do 2.º grau; quação incomplta; - Li do anulamnto do produto; - Rsolução d quaçõs incompltas d 2.º grau - Rsolução d quaçõs d 2.º grau tirando partido da li do anulamnto do produto; - Problmas nvolvndo quaçõs d 2.º grau. Equaçõs litrais - Equaçõs litrais; - Rsolução m ordm a uma dada incógnita d quaçõs litrais do 1.º 2.º grau. Sistmas d duas quaçõs do 1.º grau com duas incógnitas - Sistmas d duas quaçõs do 1.º grau com duas incógnitas; forma canónica; soluçõs; sistmas quivalnts; Programa d Matmática para o Ensino Básico Página 23

27 - Intrprtação gométrica d sistmas d duas quaçõs do 1.º grau com duas incógnitas; - Rsolução d sistmas d duas quaçõs d 1.º grau plo método d substituição. - Problmas nvolvndo sistmas d quaçõs do 1.º grau com duas incógnitas. OTD8 10 Tmpos Diagramas d xtrmos quartis - Noção d quartil; - Diagramas d xtrmos quartis; - Amplitud intrquartil; - Problmas nvolvndo gráficos divrsos diagramas d xtrmos quartis. 9.º ano Domínio NO9 15 Tmpos Contúdos Rlação d ordm m Propridads da rlação d ordm - Monotonia da adição; - Monotonia parcial da multiplicação; - Adição produto d inquaçõs mmbro a mmbro; - Monotonia do quadrado do cubo; - Inquaçõs passagm ao invrso; - Simplificação ordnação d xprssõs numéricas rais nvolvndo fraçõs, dízimas ou radicais, utilizando as propridads da rlação d ordm m. Intrvalos - Intrvalos d númros rais; - Rprsntação d intrvalos d númros rais na rta numérica; - Intrsção runião d intrvalos. Valors aproximados d rsultados d opraçõs - Aproximaçõs da soma do produto d númros rais; - Aproximaçõs d raízs quadradas cúbicas; - Problmas nvolvndo aproximaçõs d mdidas d grandzas. GM9 65 Tmpos Axiomatização das torias Matmáticas Vocabulário do método axiomático - Torias; objtos rlaçõs primitivas; axiomas; - Axiomática d uma toria; dfiniçõs, tormas dmonstraçõs - Torias axiomatizadas como modlos da ralidad; - Condiçõs ncssárias suficints; hipóts ts d um torma; o símbolo ; - Lmas corolários. Axiomatização da Gomtria - Rfrência às axiomáticas para a Gomtria Euclidiana; axiomáticas quivalnts; xmplos d objtos rlaçõs primitivas; - Axiomática d Euclids; rfrência aos «Elmntos» aos axiomas postulados d Euclids; confronto com a noção atual d axioma; - Lugars gométricos. Programa d Matmática para o Ensino Básico Página 24

28 Parallismo prpndicularidad d rtas planos A Gomtria uclidiana o axioma das parallas - 5.º Postulado d Euclids axioma uclidiano d parallismo; - Rfrência às Gomtrias não-uclidianas; Gomtria hiprbólica ou d Lobachwski; - Dmonstraçõs d propridads simpls d posiçõs rlativas d rtas num plano, nvolvndo o axioma uclidiano d parallismo. Parallismo d rtas planos no spaço uclidiano - Planos concorrnts; propridads; - Rtas parallas scants a planos; propridads; - Parallismo d rtas no spaço; transitividad; - Parallismo d planos: caractrização do parallismo d planos através do parallismo d rtas; transitividad; xistência unicidad do plano parallo a um dado plano contndo um ponto xtrior a ss plano. Prpndicularidad d rtas planos no spaço uclidiano - Ângulo d dois smiplanos com frontira comum; - Smiplanos planos prpndiculars; - Rtas prpndiculars a planos; rsultados d xistência unicidad; projção ortogonal d um ponto num plano; rta normal a um plano pé da prpndicular; plano normal a uma rta; - Parallismo d planos prpndicularidad ntr rta plano; - Critério d prpndicularidad d planos; - Plano mdiador d um sgmnto d rta. Problmas - Problmas nvolvndo posiçõs rlativas d rtas planos. Mdida Distâncias a um plano d pontos, rtas parallas planos parallos - Distância d um ponto a um plano; - Projção ortogonal num plano d uma rta paralla ao plano distância ntr a rta o plano; - Distância ntr planos parallos. - Altura da pirâmid, do con do prisma. Volums áras d suprfícis d sólidos - Volum da pirâmid, con sfra; - Ára da suprfíci d polidros, da suprfíci latral d cons rtos da suprfíci sférica; - Problmas nvolvndo o cálculo d áras volums d sólidos. Trigonomtria - Sno, cossno tangnt d um ângulo agudo; - Fórmula fundamntal da Trigonomtria; - Rlação ntr a tangnt d um ângulo agudo o sno cossno do msmo ângulo; - Rlação ntr o sno o cossno d ângulos complmntars; - Ddução dos valors das razõs trigonométricas dos ângulos d, ; - Utilização d tablas d uma calculadora para a dtrminação d valors aproximados da amplitud d um ângulo conhcida uma razão trigonométrica dss ângulo; - Problmas nvolvndo distâncias razõs trigonométricas. Lugars Gométricos nvolvndo pontos notávis d triângulos - A bisstriz d um ângulo como lugar gométrico; - Circuncntro, incntro, ortocntro baricntro d um triângulo; propridads construção; - Problmas nvolvndo lugars gométricos no plano. Programa d Matmática para o Ensino Básico Página 25

29 Propridads d ângulos, cordas arcos dfinidos numa circunfrência - Arcos d circunfrência; xtrmos d um arco; arco mnor maior; - Cordas; arcos subtnsos por uma corda; arco corrspondnt a uma corda; propridads; - Amplitud d um arco; - Ângulo inscrito num arco; arco capaz; arco comprndido ntr os lados d um ângulo inscrito; propridads; - Sgmnto d círculo maior mnor; - Ângulo do sgmnto; ângulo x-inscrito; propridads; - Ângulos d vértic no xtrior ou no intrior d um círculo lados intrstando a rsptiva circunfrência; propridads; - Dmonstração das fórmulas para a soma dos ângulos intrnos d ângulos xtrnos com vértics distintos d um polígono convxo; aplicaçõs: dmonstração da fórmula para a soma dos ângulos opostos d um quadrilátro inscrito numa circunfrência; construção aproximada d um polígono rgular d lados inscrito numa circunfrência utilizando transfridor; - Problmas nvolvndo ângulos arcos dfinidos numa circunfrência ângulos intrnos xtrnos d polígonos rgulars. FSS9 11 Tmpos ALG9 29 Tmpos Funçõs algébricas - Funçõs d proporcionalidad invrsa; rfrência à hipérbol; - Problmas nvolvndo funçõs d proporcionalidad invrsa; - Funçõs da família com ; - Conjunto-solução da quação d sgundo grau d quação com a rta d quação. como intrsção da parábola Inquaçõs - Inquação dfinida por um par d funçõs; primiro sgundo mmbro, soluçõs conjuntosolução; - Inquaçõs possívis impossívis; - Inquaçõs quivalnts; - Princípios d quivalência; - Inquaçõs d 1.º grau com uma incógnita; - Simplificação d inquaçõs d 1.º grau; dtrminação do conjunto-solução na forma d um intrvalo; - Dtrminação dos conjuntos-solução d conjunçõs disjunçõs d inquaçõs do 1.º grau como intrvalos ou runião d intrvalos disjuntos; - Problmas nvolvndo inquaçõs d 1.º grau. Equaçõs do 2.º grau - Equaçõs d 2.º grau compltas; compltamnto do quadrado; - Fórmula rsolvnt; - Problmas gométricos algébricos nvolvndo quaçõs d 2.º grau. Proporcionalidad Invrsa - Grandzas invrsamnt proporcionais; critério d proporcionalidad invrsa; - Constant d proporcionalidad invrsa; - Problmas nvolvndo grandzas invrsamnt dirtamnt proporcionais. OTD9 22 Tmpos Histogramas - Variávis statísticas discrtas contínuas; classs dtrminadas por intrvalos numéricos; agrupamnto d dados m classs da msma amplitud; - Histogramas; propridads; - Problmas nvolvndo a rprsntação d dados m tablas d frquência histogramas. Programa d Matmática para o Ensino Básico Página 26

30 Probabilidad - Expriências dtrministas alatórias; univrso dos rsultados ou spaço amostral; casos possívis; - Acontcimntos: casos favorávis, acontcimnto lmntar, composto, crto, impossívl; - Acontcimntos disjuntos ou incompatívis complmntars; - Expriências alatórias com acontcimntos lmntars quiprovávis; - Dfinição d Laplac d probabilidad; propridads xmplos; - Problmas nvolvndo a noção d probabilidad a comparação d probabilidads d difrnts acontcimntos compostos, utilizando tablas d dupla ntrada diagramas m árvor; - Comparação d probabilidads com frquências rlativas m xpriências alatórias m qu s prsum quiprobabilidad dos casos possívis. 5. NÍVEIS DE DESEMPENHO Tal como indicado na Introdução dos Cadrnos d Apoio às Mtas Curriculars, para vários dscritors considraram-s difrnts nívis d dsmpnho, matrializados, nsss Cadrnos, m xrcícios ou problmas qu podm sr propostos aos alunos. Aquls qu aí foram assinalados com um ou dois astriscos stão associados a nívis d dsmpnho progrssivamnt mais avançados. Tais dsmpnhos mais avançados não são vidntmnt xigívis a todos os alunos, tndo portanto, carátr opcional. No caso d outros dscritors, mbora não s tnham aprsntado xmplos qu prmitissm distinguir nívis d dsmpnho, considra-s qu o su total cumprimnto xig, só por si, um nívl d dsmpnho avançado. No quadro abaixo indicam-s todos os dscritors atrás rfridos, qu s nquadram m três tipos distintos: Uns dscritors mncionam propridads qu dvm sr rconhcidas. Ainda qu ss rconhcimnto com nívis d dsmpnho qu ultrapassm o considrado rgular sja, tal como foi xplicado acima, opcional, os alunos dvrão, m todos os casos, conhcr plo mnos o nunciado dstas propridads, podndo utilizá-las quando ncssário, por xmplo na rsolução d problmas. Outros dscritors nvolvm procdimntos. Todos dvm sr trabalhados ao nívl mais lmntar, ficando ao critério do profssor o grau d dsnvolvimnto com qu aborda situaçõs mais complxas, corrspondnts a nívis d dsmpnho supriors. Os rstants dscritors rfrm-s a propridads qu dvm sr provadas ou dmonstradas; o facto d s incluírm alguns dscritors dst tipo na lista dos qu podm nvolvr nívis d dsmpnho avançados significa qu as dmonstraçõs a qu s rfrm, mbora dvam sr rquridas para s atingirm sss nívis d dsmpnho, não são xigívis à gnralidad dos alunos, dvndo todos ls, m qualqur caso, conhcr o nunciado das propridads star aptos a utilizá-las quando ncssário. Em todos os casos, as condiçõs m qu são abordados os nívis d dsmpnho mais avançados ficam ao critério do profssor, m função das circunstâncias (tmpo, caractrísticas dos alunos ou outros fators) m qu dcorr a sua prática ltiva. Programa d Matmática para o Ensino Básico Página 27

31 Ano d scolaridad Dscritors 1.º ano NO1 3.9 NO2 4.2,5.5, 7.3, 9.5, º ano GM2 1.4 OTD2 1.1, 1.2,2.1 NO3 2.2, 4.4, 7.8, 9.4, 11.2,11.7,11.9,12.2, 12.3, 12.4, 12.5, 13.3, º ano GM3 1.1 OTD º ano NO4 2.2, 2.4, 2.5, 4.2, 5.4, 5.5,5.6,5.7, 6.5, 6.7 NO5 3.5, º ano GM5 1.7, 1.14, 1.15, 1.16, 2.2, 2.5, 2.6, 2.9, 2.10, 2.11, 2.12, 2.16,2.20, 2.22, 4.2, 4.5 ALG51.5, 1.6, 1.7, 1.8, 1.9 NO6 2.9, 3.3, 3.4, 3.5, 3.6, 4.1, 4.2, º ano GM6 1.4, 1.7,3.2, 3.4, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5, 9.5, 9.13 ALG6 1.3, 1.4, 1.6, 1.7, 1.8 NO7 1.1, 1.2, 1.3, 1.4 GM7 2.13, 2.16, 2.17, 2.18, 2.20, 2.24, 4.6, 4.7, 4.8, 4.9, 4.10, 4.11, 4.12, 4.13, 7.1, 7.2, 7.4, 7.5, 7.6, 8.1, 8.3, 9.1, º ano FSS7 2.2, 2.6, 2.7, 3.1 ALG7 1.5, 2.4 OTD71.4 NO8 1.1, 1.2, 2.2, 2.4, 2.5, 2.8, 2.9, 3.1, 3.2 GM8 1.1, 1.2, º ano FSS8 1.1, 1.2, 1.4, 1.5, 1.6 ALG8 1.1, 1.2, 7.2 OTD8 1.4 NO9 1.1, 1.2, 1.3, 3.3 GM9 6.1, 6.8, 6.9, 8.1, 8.2, 11.13, 13.1, 13.2, 13.3, 13.5, 13.6, 15.15, 15.16, ºano FSS91.1, 3.2 ALG9 3.1, 3.2, 3.3, METODOLOGIAS Tndo m considração, tal como para os nívis d dsmpnho, as circunstâncias d nsino (d modo muito particular, as caractrísticas das turmas dos alunos), as scolas os profssors dvm dcidir quais as mtodologias os rcursos mais adquados para auxiliar os sus alunos a alcançar os dsmpnhos dfinidos nas Mtas Curriculars. A xpriência acumulada dos profssors das scolas é um lmnto fundamntal no sucsso d qualqur projto ducativo, não s prtndndo, por isso, spartilhar diminuir a sua librdad pdagógica nm condicionar a sua prática ltiva. Plo contrário, o prsnt Programa rconhc valoriza a autonomia dos profssors das scolas, não impondo portanto mtodologias spcíficas. Sm constituir ingrência no trabalho das scolas dos profssors, nota-s qu a aprndizagm matmática é struturada m patamars d crscnt complxidad, plo qu na prática ltiva dvrá tr-s m atnção a progrssão dos alunos, sndo muito important procdr-s a rvisõs frqunts d passos antriors com vista à sua consolidação. O uso da calculadora tm vindo a gnralizar-s, m atividads ltivas, nos divrsos nívis d nsino, por vzs d forma pouco critriosa. Em fass prcocs, há qu acautlar dvidamnt qu ss uso não Programa d Matmática para o Ensino Básico Página 28

32 compromta a aquisição d procdimntos o trino do cálculo mntal, consquntmnt, a ficácia do próprio procsso d aprndizagm. Por st motivo, o uso da calculadora no Ensino Básico apnas é xprssamnt rcomndado m anos scolars mais avançados sobrtudo m situaçõs pontuais d rsolução d problmas qu nvolvam, por xmplo, um lvado númro d cálculos, a utilização d valors aproximados, opraçõs d radiciação ou a dtrminação d razõs trigonométricas ou d amplituds d ângulos dada uma razão trigonométrica, quando não haja intnção manifsta d, por alguma razão justificada, dispnsar ss uso. 7. AVALIAÇÃO O Dcrto-Li n.º 139/2012, d 5 d julho, stablc os princípios orintadors da organização, da gstão do dsnvolvimnto dos currículos dos nsinos básico scundário, bm como da avaliação dos conhcimntos adquiridos das capacidads dsnvolvidas plos alunos do Ensino Básico ministradas m stablcimntos scolars públicos, particulars cooprativos. O Dspacho Normativo n.º 24-A/2012 d 6 d dzmbro d 2012, dfin as rgras d avaliação do dsmpnho dos alunos nos três ciclos do Ensino Básico. Em particular, xplicita-s nss normativo qu o sistma ducativo dv adotar como rfrncial d avaliação as Mtas Curriculars. É st documnto qu prmitirá cumprir a função d rgulação orintação do prcurso d aprndizagm qu a avaliação do dsmpnho dos alunos dvrá assumir. Os rsultados dos procssos avaliativos (d carátr nacional, d scola, d turma d aluno) dvm contribuir para a orintação do nsino, d modo a qu s possam suprar, m tmpo útil d modo apropriado, dificuldads d aprndizagm idntificadas, simultanamnt, rforçar os progrssos vrificados. Todos sts propósitos dvm sr concrtizados rcorrndo a uma avaliação divrsificada frqunt, contribuindo, assim, para qu os alunos adquiram uma maior consciência do su nívl d aprndizagm. Nsta conformidad, qualqur tipo d avaliação dv sr concrtizado por rfrência às Mtas Curriculars dv prmitir ftuar um diagnóstico da situação da aprndizagm d cada aluno d cada turma. A classificação rsultant da avaliação intrna no final d cada príodo traduzirá o nívl d dsmpnho do aluno no qu s rfr ao cumprimnto das Mtas Curriculars. 8. BIBLIOGRAFIA 1. Aharoni, R., Aritmética para pais, Lisboa: SPM/Gradiva (trad. d Arithmtic for Parnts: A Book for Grownups about Childrns Mathmatics, El Crrito, CA, Sumizdat, 2007). 2. Andrson, J.R. & Schunn, C., Implications of th ACT-R larning thory: No magic bullts, Advancs in instructional psychology, Educational dsign and cognitiv scinc (pp. 1-33), Mahwah: Lawrnc Erlbaum, Bivar, A., Grosso, C., Olivira, F. & Timóto, M.C., Mtas Curriculars do Ensino Básico Matmática, Cadrno d Apoio - 1.º Ciclo, Ministério da Educação Ciência: Dirção Gral da Educação, Bivar, A., Grosso, C., Olivira, F. & Timóto, M.C., Mtas Curriculars do Ensino Básico Matmática, Cadrno d Apoio - 2.º Ciclo, Ministério da Educação Ciência: Dirção Gral da Educação, Programa d Matmática para o Ensino Básico Página 29

33 5. Bivar, A., Grosso, C., Olivira, F. & Timóto, M.C., Mtas Curriculars do Ensino Básico Matmática, Cadrno d Apoio - 3.º Ciclo, Ministério da Educação Ciência: Dirção Gral da Educação, Common Cor Stat Standards for Mathmatics, Common Cor Stat Standards Initiativ, Prparing Amrica s studnts for collg & Carr, Elmntary Mathmatics Syllabus, Singapor Ministry of Education, Gary, D., Brch, D.B., Ooykin, W., Embrtson, S., Ryna, V., & Siglr, R., Larning mathmatics: Findings from Th National (Unitd Stats) Mathmatics Advisory Panl, in N. Crato (Org.), Ensino da matmática: Qustõs soluçõs, (pp ), Lisboa, Fundação Caloust Gulbnkian, Gary, D.C., Dvlopmnt of mathmatical undrstanding, in D. Kuhl & R.S. Siglr (Vol. Eds.), Cognition, prcption, and languag, Vol. 2., W. Damon (Gn. Ed.), Handbook of child psychology, 6 th d., (pp ), Nw York: John Wily & Sons, Kaminsky, J., Sloutsky, V. & Hcklr, A., Th advantag of abstract xampls in larning math, Education Forum, 320 (pp ), Karpick, J.D. & Rodigr, H.L., Th critical importanc of rtrival for larning, Scinc, 319, (pp ), Kirschnr, P., Swllr, J., & Clark, R., Why minimal guidanc during instruction dos not work: An analysis of th failur of constructivist, discovry, problm-basd, xprintial, and inquiry-basd taching, Educational Psychologist, 41 (2), (pp ), Mathmatics Th National Curriculum for England, Dpartmnt for Education and Employmnt, London, Mullis, I.V.S., Martin, M.O., Foy, P., & Arora, A., Trnds in Intrnational Mathmatics and Scinc Study, TIMMS-2011 Intrnational Rsults in Mathmatics, Chstnut Hill, MA: TIMSS & PIRLS Intrnational Study Cntr, Boston Collg, NMAP National Mathmatics Advisory Panl, Foundations for succss: Final Rport, U.S. Dpartmnt of Education, Paas, F., Rnkl, A., & Swllr, J., Cognitiv load thory: Instructional implications of th intraction btwn information structurs and cognitiv architctur, Instructional Scinc, 32, 1-8, Pont, J.P., Srrazina, L., Guimarãs, H.M., Brda, A., Guimarãs, F., Sousa, H., Mnzs, L., Martins, M.E. & Olivira, P.A., Programa Nacional do Ensino Básico, Ministério da Educação: Dirção Gral da Inovação Dsnvolvimnto Curricular, Rittl-Johnson, B., Siglr, R.S. & Alibali, M.W., Dvloping concptual undrstanding and procdural skill in mathmatics: An itrativ procss, Journal of Educational Psychology, 93, (pp ), Rodigr, H.L., Karpick, J.D., Tst-nhancd larning: Taking mmory tsts improvs long-trm rtntion, Psychological Scinc, 17, (pp ), Rodigr, H.L., Karpick, J.D., Th powr of tsting mmory: Basic rsarch and implications for ducational practic, Prspctivs on Psychological Scinc, 1, (pp ), Rohdr, D. & Taylor, K., Th ffcts of ovrlarning and distributd practic on th rtntion of mathmatics knowldg, Applid Cognitiv Psychology, 20, Programa d Matmática para o Ensino Básico Página 30

34 22. Swllr, J., Clark, R. & Kirschnr, P., Taching gnral problm-solving skills is not a substitut for, or a viabl addition to, taching mathmatics (pp ), Docamus 57(10), Wu, H., Fractions, dcimals and rational numbrs, ( Wu, H., On th larning of Algbra, ( Programa d Matmática para o Ensino Básico Página 31

35 Mtas Curriculars Ensino Básico Matmática (homologadas a 3 d agosto d 2012) António Bivar, Carlos Grosso, Filip Olivira, Maria Clmntina Timóto

36 Autors António Bivar Univrsidad Lusíada d Lisboa; aposntado da Fac. d Ciências da Univrsidad d Lisboa Carlos Grosso Escola Scundária d Pdro Nuns Filip Olivira Faculdad d Ciências Tcnologia da Univrsidad Nova d Lisboa Maria Clmntina Timóto Agrupamnto d Escolas d Quluz-Blas, Unidad Padr Albrto Nto Consultors António St. Aubyn Univrsidad Lusíada d Lisboa Armando Machado Faculdad d Ciências da Univrsidad d Lisboa Carlos Andrad Escola Scundária d Mm Martins Eduardo Marqus d Sá Faculdad d Ciências Tcnologia da Univrsidad d Coimbra João Carriço Agrupamnto d Escolas D. Filipa d Lncastr Jorg Buscu Faculdad d Ciências da Univrsidad d Lisboa Luís Sanchz Faculdad d Ciências da Univrsidad d Lisboa Migul Ramos Faculdad d Ciências da Univrsidad d Lisboa Página 1

37 METAS CURRICULARES DO ENSINO BÁSICO - MATEMÁTICA O prsnt documnto dscrv o conjunto das mtas curriculars da disciplina d Matmática qu os alunos dvm atingir durant o Ensino Básico, tndo-s privilgiado os lmntos ssnciais qu constam do Programa d Os objtivos grais, compltados por dscritors mais prcisos, ncontram-s organizados m cada ano d scolaridad, por domínios subdomínios, sgundo a sguint strutura: Domínio Subdomínio 1. Objtivo gral 1. Dscritor 2. Dscritor.. Os difrnts dscritors stão rdigidos d forma objtiva, numa linguagm rigorosa dstinada ao profssor, dvndo st slcionar uma stratégia d nsino adquada à rsptiva concrtização, incluindo uma adaptação da linguagm aos difrnts nívis d scolaridad. O significado prciso d crtos vrbos com qu s iniciam alguns dscritors («sabr», «rconhcr», «idntificar», «dsignar», «provar», «dmonstrar») dpnd do ciclo a qu s rfrm, ncontrando-s uma dscrição do qu é prtndido xplicitada nos parágrafos intitulados «Litura das mtas curriculars». Em particular, as técnicas d argumntação d dmonstração, qu constitum a própria naturza da Matmática, vão sndo, d forma progrssiva, rquridas a todos os alunos. A prática ltiva obriga, naturalmnt a frqunts rvisõs d objtivos grais dscritors corrspondnts a anos d scolaridad antriors. Ests pré-rquisitos não s ncontram xplicitados no txto, dvndo o profssor idntificá-los consoant a ncssidad, a prtinência as caractrísticas próprias d cada grupo d alunos. Os tmas transvrsais rfridos no Programa d 2007, como a Comunicação ou o Raciocínio matmático, rfrm-s a capacidads struturais indispnsávis ao cumprimnto dos objtivos lncados, stando contmplados nst documnto d forma xplícita ou implícita m todos os dscritors. Optou-s por formar uma squência d objtivos grais d dscritors, dntro d cada subdomínio, qu corrspond a uma progrssão d nsino adquada, podndo no ntanto optar-s por altrnativas cornts qu cumpram os msmos objtivos rsptivos dscritors. Existm m particular algumas circunstâncias m qu s torna ncssário cumprir altrnadamnt dscritors qu prtncm a subdomínios ou msmo a domínios distintos; com fito, a arrumação dos tópicos por domínios tmáticos, simultanamnt rspitando dntro d cada domínio uma dtrminada progrssão a isso pod lvar, dada a própria naturza intrligação dos contúdos capacidads matmáticas. São também disponibilizados aos profssors cadrnos d apoio às prsnts mtas curriculars (um por ciclo) contndo suports tóricos aos objtivos dscritors, bm como xmplos d concrtização d alguns dls. Nsss documntos, os nívis d dsmpnho sprados foram, smpr qu possívl, objto d spcificação. Introdução Página 2

38 1.º ciclo Litura das Mtas Curriculars do 1.º ciclo «Idntificar», «dsignar»: O aluno dv utilizar corrtamnt a dsignação rfrida, não s xigindo, nst ciclo, qu nunci formalmnt as dfiniçõs indicadas (salvo nas situaçõs mais simpls), mas ants qu rconhça os difrnts objtos concitos m xmplos concrtos, dsnhos, tc. «Estndr»: O aluno dv utilizar corrtamnt a dsignação rfrida, rconhcndo qu s trata d uma gnralização. «Rconhcr»: Nst ciclo prtnd-s qu o aluno rconhça intuitivamnt a vracidad do nunciado m causa m xmplos concrtos. Em casos muito simpls, podrá aprsntar argumntos qu nvolvam outros rsultados já studados qu xpliqum a validad do nunciado. «Sabr»: Prtnd-s qu o aluno conhça o rsultado, mas sm qu lh sja xigida qualqur justificação ou vrificação concrta. 1.º ciclo Página 3

39 1.º ANO Númros Opraçõs NO1 Númros naturais 1. Contar até cm 1. Vrificar qu dois conjuntos têm o msmo númro d lmntos ou dtrminar qual dos dois é mais numroso utilizando corrspondências um a um. 2. Sabr d mmória a squência dos noms dos númros naturais até vint utilizar corrtamnt os numrais do sistma dcimal para os rprsntar. 3. Contar até vint objtos rconhcr qu o rsultado final não dpnd da ordm d contagm scolhida. 4. Associar pla contagm difrnts conjuntos ao msmo númro natural, o conjunto vazio ao númro zro rconhcr qu um conjunto tm mnor númro d lmntos qu outro s o rsultado da contagm do primiro for antrior, na ordm natural, ao rsultado da contagm do sgundo. 5. Eftuar contagns progrssivas rgrssivas nvolvndo númros até cm. Sistma d numração dcimal 2. Dscodificar o sistma d numração dcimal 1. Dsignar dz unidads por uma dzna rconhcr qu na rprsntação o algarismo s ncontra numa nova posição marcada pla colocação do. 2. Sabr qu os númros naturais ntr são compostos por uma dzna uma, duas, três, quatro, cinco, sis, st, oito ou nov unidads. 3. Lr rprsntar qualqur númro natural até, idntificando o valor posicional dos algarismos qu o compõm. 4. Comparar númros naturais até tirando partido do valor posicional dos algarismos utilizar corrtamnt os símbolos «<» «>». Adição 3. Adicionar númros naturais 1. Sabr qu o sucssor d um númro na ordm natural é igual a ss númro mais. 2. Eftuar adiçõs nvolvndo númros naturais até, por manipulação d objtos ou rcorrndo a dsnhos squmas. 3. Utilizar corrtamnt os símbolos «+» «=» os trmos «parcla» «soma». 4. Rconhcr qu a soma d qualqur númro com zro é igual a ss númro. 5. Adicionar fluntmnt dois númros d um algarismo. 6. Dcompor um númro natural infrior a na soma das dznas com as unidads. 7. Dcompor um númro natural até m somas d dois ou mais númros d um algarismo. 8. Adicionar mntalmnt um númro d dois algarismos com um númro d um algarismo um númro d dois algarismos com um númro d dois algarismos trminado m, nos casos m qu a soma é infrior a. NO1 Página 4

40 9. Adicionar dois quaisqur númros naturais cuja soma sja infrior a, adicionando dznas com dznas, unidads com unidads com composição d dz unidads m uma dzna quando ncssário, privilgiando a rprsntação vrtical do cálculo. 4. Rsolvr problmas 1. Rsolvr problmas d um passo nvolvndo situaçõs d juntar ou acrscntar. Subtração 5. Subtrair númros naturais 1. Eftuar subtraçõs nvolvndo númros naturais até a dsnhos squmas. por manipulação d objtos ou rcorrndo 2. Utilizar corrtamnt o símbolo os trmos «aditivo», «subtrativo» «difrnça». 3. Rlacionar a subtração com a adição, idntificando a difrnça ntr dois númros como o númro qu s dv adicionar ao subtrativo para obtr o aditivo. 4. Eftuar a subtração d dois númros por contagns progrssivas ou rgrssivas d, no máximo, nov unidads. 5. Subtrair d um númro natural até um dado númro d dznas. 6. Eftuar a subtração d dois númros naturais até, dcompondo o subtrativo m dznas unidads. 6. Rsolvr problmas 1. Rsolvr problmas d um passo nvolvndo situaçõs d rtirar, comparar ou compltar. NO1 Página 5

41 Gomtria Mdida GM1 Localização orintação no spaço 1. Situar-s situar objtos no spaço 1. Utilizar corrtamnt o vocabulário próprio das rlaçõs d posição d dois objtos. 2. Rconhcr qu um objto stá situado à frnt d outro quando o oculta total ou parcialmnt da vista d qum obsrva utilizar corrtamnt as xprssõs «à frnt d» «por dtrás d». 3. Rconhcr qu s um objto stivr à frnt d outro ntão o primiro stá mais prto do obsrvador utilizar corrtamnt as xprssõs «mais prto» «mais long». 4. Idntificar alinhamntos d três ou mais objtos (incluindo ou não o obsrvador) utilizar adquadamnt nst contxto as xprssõs «situado ntr», «mais distant d», «mais próximo d» outras quivalnts. 5. Utilizar o trmo «ponto» para idntificar a posição d um objto d dimnsõs dsprzávis ftuar rconhcr rprsntaçõs d pontos alinhados não alinhados. 6. Comparar distâncias ntr pars d objtos d pontos utilizando dslocamntos d objtos rígidos utilizar adquadamnt nst contxto as xprssõs «à msma distância», «igualmnt próximo», «mais distants», «mais próximos» outras quivalnts. 7. Idntificar figuras gométricas como «gomtricamnt iguais», ou simplsmnt «iguais», quando podm sr lvadas a ocupar a msma rgião do spaço por dslocamntos rígidos. Figuras gométricas 2. Rconhcr rprsntar formas gométricas 1. Idntificar parts rtilínas d objtos dsnhos, rprsntar sgmntos d rta sabndo qu são constituídos por pontos alinhados utilizar corrtamnt os trmos «sgmnto d rta», «xtrmos (ou xtrmidads) do sgmnto d rta» «pontos do sgmnto d rta». 2. Idntificar pars d sgmntos d rta com o msmo comprimnto como aquls cujos xtrmos stão à msma distância sabr qu são gomtricamnt iguais. 3. Idntificar parts planas d objtos vrificando qu d crta prsptiva podm sr vistas como rtilínas. 4. Rconhcr parts planas d objtos m posiçõs variadas. 5. Idntificar, m objtos, rtângulos quadrados com dois lados m posição vrtical os outros dois m posição horizontal rconhcr o quadrado como caso particular do rtângulo. 6. Idntificar, m objtos dsnhos, triângulos, rtângulos, quadrados, circunfrências círculos m posiçõs variadas utilizar corrtamnt os trmos «lado» «vértic». 7. Rprsntar triângulos, m grlha quadriculada, rtângulos quadrados. 8. Idntificar cubos, parallpípdos rtângulos, cilindros sfras. GM1 Página 6

42 Mdida 3. Mdir distâncias comprimntos 1. Utilizar um objto rígido com dois pontos nl fixados para mdir distâncias comprimntos qu possam sr xprssos como númros naturais utilizar corrtamnt nst contxto a xprssão «unidad d comprimnto». 2. Rconhcr qu a mdida da distância ntr dois pontos portanto a mdida do comprimnto do sgmnto d rta por ls dtrminado dpnd da unidad d comprimnto. 3. Eftuar mdiçõs rfrindo a unidad d comprimnto utilizada. 4. Comparar distâncias comprimntos utilizando as rsptivas mdidas, fixada uma msma unidad d comprimnto. 4. Mdir áras 1. Rconhcr, num quadriculado, figuras quidcomponívis. 2. Sabr qu duas figuras quidcomponívis têm a msma ára dsigná-las por figuras «quivalnts». 3. Comparar áras d figuras por sobrposição, dcompondo-as prviamnt s ncssário. 5. Mdir o tmpo Utilizar corrtamnt o vocabulário próprio das rlaçõs tmporais. Rconhcr o carátr cíclico d dtrminados fnómnos naturais utilizá-los para contar o tmpo. Utilizar rlacionar corrtamnt os trmos «dia», «smana», «mês» «ano». Conhcr o nom dos dias da smana dos mss do ano. 6. Contar dinhiro Rconhcr as difrnts modas notas do sistma montário da Ára do Euro. Sabr qu uro é composto por cêntimos. Lr quantias d dinhiro dcompostas m uros cêntimos nvolvndo númros até. Eftuar contagns d quantias d dinhiro nvolvndo númros até, utilizando apnas uros ou apnas cêntimos. 5. Ordnar modas d cêntimos d uro sgundo o rsptivo valor. GM1 Página 7

43 Organização Tratamnto d Dados OTD1 Rprsntação d conjuntos 1. Rprsntar conjuntos lmntos 1. Utilizar corrtamnt os trmos «conjunto», «lmnto» as xprssõs «prtnc ao conjunto», «não prtnc ao conjunto» «cardinal do conjunto». 2. Rprsntar graficamnt conjuntos disjuntos os rsptivos lmntos m diagramas d Vnn. Rprsntação d dados 2. Rcolhr rprsntar conjuntos d dados 1. Lr gráficos d pontos pictogramas m qu cada figura rprsnta uma unidad. 2. Rcolhr rgistar dados utilizando gráficos d pontos pictogramas m qu cada figura rprsnta uma unidad. OTD1 Página 8

44 2.º ANO Númros Opraçõs NO2 Númros naturais 1. Conhcr os numrais ordinais 1. Utilizar corrtamnt os numrais ordinais até «vigésimo». 2. Contar até mil 1. Estndr as rgras d construção dos numrais cardinais até mil. 2. Eftuar contagns d m, d m, d m d m. 3. Rconhcr a paridad 1. Distinguir os númros pars dos númros ímpars utilizando objtos ou dsnhos ftuando mparlhamntos. 2. Idntificar um númro par como uma soma d parclas iguais a. 3. Rconhcr a paridad d um númro através do algarismo das unidads. Sistma d numração dcimal 4. Dscodificar o sistma d numração dcimal 1. Dsignar cm unidads por uma cntna rconhcr qu uma cntna é igual a dz dznas. 2. Lr rprsntar qualqur númro natural até, idntificando o valor posicional dos algarismos qu o compõm. 3. Comparar númros naturais até utilizando os símbolos «<» «>». Adição Subtração 5. Adicionar subtrair númros naturais Sabr d mmória a soma d dois quaisqur númros d um algarismo. Subtrair fluntmnt númros naturais até. Adicionar ou subtrair mntalmnt d um númro com três algarismos. Adicionar dois ou mais númros naturais cuja soma sja infrior a, privilgiando a rprsntação vrtical do cálculo. 5. Subtrair dois númros naturais até, privilgiando a rprsntação vrtical do cálculo. 6. Rsolvr problmas 1. Rsolvr problmas d um ou dois passos nvolvndo situaçõs d juntar, acrscntar, rtirar, comparar compltar. NO2 Página 9

45 Multiplicação 7. Multiplicar númros naturais 1. Eftuar multiplicaçõs adicionando parclas iguais, nvolvndo númros naturais até, por manipulação d objtos ou rcorrndo a dsnhos squmas. 2. Utilizar corrtamnt o símbolo os trmos «fator» «produto». 3. Eftuar uma dada multiplicação fixando dois conjuntos disjuntos contando o númro d pars qu s podm formar com um lmnto d cada, por manipulação d objtos ou rcorrndo a dsnhos squmas. 4. Rconhcr qu o produto d qualqur númro por é igual a ss númro qu o produto d qualqur númro por é igual a. 5. Contar o númro d objtos colocados numa malha rtangular vrificando qu é igual ao produto, por qualqur ordm, do númro d linhas plo númro d colunas. 6. Calcular o produto d quaisqur dois númros d um algarismo. 7. Construir sabr d mmória as tabuadas do, do, do, do, do do. 8. Utilizar adquadamnt os trmos «dobro», «triplo», «quádruplo» «quíntuplo». 8. Rsolvr problmas 1. Rsolvr problmas d um ou dois passos nvolvndo situaçõs multiplicativas nos sntidos aditivo combinatório. Divisão intira 9. Eftuar divisõs xatas d númros naturais 1. Eftuar divisõs xatas nvolvndo divisors até dividndos até por manipulação d objtos ou rcorrndo a dsnhos squmas. 2. Utilizar corrtamnt o símbolo «:» os trmos «dividndo», «divisor» «quocint». 3. Rlacionar a divisão com a multiplicação, sabndo qu o quocint é o númro qu s dv multiplicar plo divisor para obtr o dividndo. 4. Eftuar divisõs xatas utilizando as tabuadas d multiplicação já conhcidas. 5. Utilizar adquadamnt os trmos «mtad», «trça part», «quarta part» «quinta part», rlacionando-os rsptivamnt com o dobro, o triplo, o quádruplo o quíntuplo. 10. Rsolvr problmas 1. Rsolvr problmas d um passo nvolvndo situaçõs d partilha quitativa d agrupamnto. Númros racionais não ngativos 11. Dividir a unidad 1. Fixar um sgmnto d rta como unidad idntificar,,,,, como númros, iguais à mdida do comprimnto d cada um dos sgmntos d rta rsultants da dcomposição da unidad m rsptivamnt dois, três, quatro, cinco, dz, cm mil sgmntos d rta d igual comprimnto. 2. Fixar um sgmnto d rta como unidad rprsntar númros naturais as fraçõs NO2,,, por pontos d uma smirrta dada, rprsntando o zro pla origm d tal modo qu o Página 10

46 ponto qu rprsnta dtrminado númro s ncontra a uma distância da origm igual a ss númro d unidads. 3. Utilizar as fraçõs,,,,, para rfrir cada uma das parts d um todo dividido rsptivamnt m duas, três, quatro, cinco, dz, cm mil parts quivalnts. Squências rgularidads 12. Rsolvr problmas 1. Rsolvr problmas nvolvndo a dtrminação d trmos d uma squência, dada a li d formação. 2. Rsolvr problmas nvolvndo a dtrminação d uma li d formação compatívl com uma squência parcialmnt conhcida. NO2 Página 11

47 Gomtria Mdida GM2 Localização orintação no spaço 1. Situar-s situar objtos no spaço 1. Idntificar a «dirção» d um objto ou d um ponto (rlativamnt a qum obsrva) como o conjunto das posiçõs situadas à frnt por dtrás dss objto ou dss ponto. 2. Utilizar corrtamnt os trmos «volta intira», «mia volta», «quarto d volta», «virar à dirita» «virar à squrda» do ponto d vista d um obsrvador rlacioná-los com pars d dirçõs. 3. Idntificar numa grlha quadriculada pontos quidistants d um dado ponto. 4. Rprsntar numa grlha quadriculada itinrários incluindo mudanças d dirção idntificando os quartos d volta para a dirita para a squrda. Figuras gométricas 2. Rconhcr rprsntar formas gométricas 1. Idntificar a smirrta com origm m qu passa no ponto como a figura gométrica constituída plos pontos qu stão na dirção d rlativamnt a. 2. Idntificar a rta dtrminada por dois pontos como o conjunto dos pontos com ls alinhados utilizar corrtamnt as xprssõs «smirrtas opostas» «rta suport d uma smirrta». 3. Distinguir linhas poligonais d linhas não poligonais polígonos d figuras planas não poligonais. 4. Idntificar m dsnhos as parts intrna xtrna d linhas planas fchadas utilizar o trmo «frontira» para dsignar as linhas. 5. Idntificar rprsntar triângulos isóscls quilátros, rconhcndo os sgundos como casos particulars dos primiros. 6. Idntificar rprsntar losangos rconhcr o quadrado como caso particular do losango. 7. Idntificar rprsntar quadrilátros rconhcr os losangos rtângulos como casos particulars d quadrilátros. 8. Idntificar rprsntar pntágonos hxágonos. 9. Idntificar pirâmids cons, distinguir polidros d outros sólidos utilizar corrtamnt os trmos «vértic», «arsta» «fac». 10. Idntificar figuras gométricas numa composição ftuar composiçõs d figuras gométricas. 11. Distinguir atributos não gométricos d atributos gométricos d um dado objto. 12. Compltar figuras planas d modo qu fiqum simétricas rlativamnt a um ixo prviamnt fixado, utilizando dobragns, papl vgtal, tc. Mdida 3. Mdir distâncias comprimntos 1. Rconhcr qu fixada uma unidad d comprimnto nm smpr é possívl mdir uma dada distância xatamnt como um númro natural utilizar corrtamnt as xprssõs «md mais/mnos do qu» um crto númro d unidads. 2. Dsignar subunidads d comprimnto rsultants da divisão d uma dada unidad d comprimnto m duas, três, quatro, cinco, dz, cm ou mil parts iguais rsptivamnt por «um GM2 Página 12

48 mio», «um trço», «um quarto», «um quinto», «um décimo», «um cntésimo» ou «um milésimo» da unidad. 3. Idntificar o mtro como unidad d comprimnto padrão, o dcímtro, o cntímtro o milímtro rsptivamnt como a décima, a cntésima a milésima part do mtro ftuar mdiçõs utilizando stas unidads. 4. Idntificar o prímtro d um polígono como a soma das mdidas dos comprimntos dos lados, fixada uma unidad. 4. Mdir áras 1. Mdir áras d figuras ftuando dcomposiçõs m parts gomtricamnt iguais tomadas como unidad d ára. 2. Comparar áras d figuras utilizando as rsptivas mdidas, fixada uma msma unidad d ára. 5. Mdir volums capacidads 1. Rconhcr figuras quidcomponívis m construçõs com cubos d arstas iguais. 2. Rconhcr qu dois objtos quidcomponívis têm o msmo volum. 3. Mdir volums d construçõs ftuando dcomposiçõs m parts gomtricamnt iguais tomadas como unidad d volum. 4. Utilizar a transfrência d líquidos para ordnar a capacidad d dois rcipints. 5. Mdir capacidads, fixado um rcipint como unidad d volum. 6. Utilizar o litro para ralizar mdiçõs d capacidad. 7. Comparar volums d objtos imrgindo-os m líquido contido num rcipint, por comparação dos nívis atingidos plo líquido. 6. Mdir massas 1. Comparar massas numa balança d dois pratos. 2. Utilizar unidads d massa não convncionais para ralizar psagns. 3. Utilizar o quilograma para ralizar psagns. 7. Mdir o tmpo 1. Eftuar mdiçõs do tmpo utilizando instrumntos apropriados. 2. Rconhcr a hora como unidad d mdida d tmpo rlacioná-la com o dia. 3. Lr scrvr a mdida d tmpo aprsntada num rlógio d pontiros, m horas, mias horas quartos d hora. 4. Lr intrprtar calndários horários. 8. Contar dinhiro 1. Lr scrvr quantias d dinhiro dcompostas m uros cêntimos nvolvndo númros até. 2. Eftuar contagns d quantias d dinhiro nvolvndo númros até. 9. Rsolvr problmas 1. Rsolvr problmas d um ou dois passos nvolvndo mdidas d difrnts grandzas. GM2 Página 13

49 Organização Tratamnto d Dados OTD2 Rprsntação d conjuntos 1. Oprar com conjuntos 1. Dtrminar a runião a intrsção d dois conjuntos. 2. Construir intrprtar diagramas d Vnn d Carroll. 3. Classificar objtos d acordo com um ou dois critérios. Rprsntação d dados 2. Rcolhr rprsntar conjuntos d dados 1. Lr tablas d frquências absolutas, gráficos d pontos pictogramas m difrnts scalas. 2. Rcolhr dados utilizando squmas d contagm (tally charts) rprsntá-los m tablas d frquências absolutas. 3. Rprsntar dados através d gráficos d pontos d pictogramas. 3. Intrprtar rprsntaçõs d conjuntos d dados 1. Rtirar informação d squmas d contagm, gráficos d pontos pictogramas idntificando a caractrística m studo comparando as frquências absolutas das várias catgorias (no caso das variávis qualitativas) ou classs (no caso das variávis quantitativas discrtas) obsrvadas. 2. Organizar conjuntos d dados m diagramas d Vnn d Carroll. 3. Construir intrprtar gráficos d barras. OTD2 Página 14

50 3.º ANO Númros Opraçõs NO3 Númros naturais 1. Conhcr os numrais ordinais 1. Utilizar corrtamnt os numrais ordinais até «cntésimo». 2. Contar até um milhão 1. Estndr as rgras d construção dos numrais cardinais até um milhão. 2. Eftuar contagns progrssivas rgrssivas, com saltos fixos, qu possam tirar partido das rgras d construção dos numrais cardinais até um milhão. 3. Conhcr a numração romana 1. Conhcr utilizar corrtamnt os numrais romanos. Sistma d numração dcimal 4. Dscodificar o sistma d numração dcimal 1. Dsignar mil unidads por um milhar rconhcr qu um milhar é igual a dz cntnas a cm dznas. 2. Rprsntar qualqur númro natural até, idntificando o valor posicional dos algarismos qu o compõm ftuar a litura por classs por ordns. 3. Comparar númros naturais até utilizando os símbolos «<» «>». 4. Eftuar a dcomposição dcimal d qualqur númro natural até um milhão. 5. Arrdondar um númro natural à dzna, à cntna, ao milhar, à dzna d milhar ou à cntna d milhar mais próxima, utilizando o valor posicional dos algarismos. Adição subtração 5. Adicionar subtrair númros naturais 1. Adicionar dois númros naturais cuja soma sja infrior a, utilizando o algoritmo da adição. 2. Subtrair dois númros naturais até, utilizando o algoritmo da subtração. 6. Rsolvr problmas 1. Rsolvr problmas d até três passos nvolvndo situaçõs d juntar, acrscntar, rtirar, compltar comparar. NO3 Página 15

51 Multiplicação 7. Multiplicar númros naturais 1. Sabr d mmória as tabuadas do, do do. 2. Utilizar corrtamnt a xprssão «múltiplo d». 3. Rconhcr qu o produto d um númro por,,, tc. s obtém acrscntando à rprsntação dcimal dss númro o corrspondnt númro d zros. 4. Eftuar mntalmnt multiplicaçõs d númros com um algarismo por múltiplos d dz infriors a cm, tirando partido das tabuadas. 5. Eftuar a multiplicação d um númro d um algarismo por um númro d dois algarismos, dcompondo o sgundo m dznas unidads utilizando a propridad distributiva. 6. Multiplicar fluntmnt um númro d um algarismo por um númro d dois algarismos, comçando por calcular o produto plas unidads rtndo o númro d dznas obtidas para o adicionar ao produto plas dznas. 7. Multiplicar dois númros d dois algarismos, dcompondo um dls m dznas unidads, utilizando a propridad distributiva compltando o cálculo com rcurso à disposição usual do algoritmo. 8. Multiplicar quaisqur dois númros cujo produto sja infrior a um milhão, utilizando o algoritmo da multiplicação. 9. Rconhcr os múltiplos d, por inspção do algarismo das unidads. 8. Rsolvr problmas 1. Rsolvr problmas d até três passos nvolvndo situaçõs multiplicativas nos sntidos aditivo combinatório. Divisão 9. Eftuar divisõs intiras 1. Eftuar divisõs intiras idntificando o quocint o rsto quando o divisor o quocint são númros naturais infriors a, por manipulação d objtos ou rcorrndo a dsnhos squmas. 2. Rconhcr qu o dividndo é igual à soma do rsto com o produto do quocint plo divisor qu o rsto é infrior ao divisor. 3. Eftuar divisõs intiras com divisor quocint infriors a utilizando a tabuada do divisor aprsntar o rsultado com a disposição usual do algoritmo. 4. Utilizar corrtamnt as xprssõs «divisor d» «divisívl por» rconhcr qu um númro natural é divisor d outro s o sgundo for múltiplo do primiro ( vic-vrsa). 5. Rconhcr qu um númro natural é divisor d outro s o rsto da divisão do sgundo plo primiro for igual a zro. 10. Rsolvr problmas 1. Rsolvr problmas d até três passos nvolvndo situaçõs d partilha quitativa d agrupamnto. NO3 Página 16

52 Númros racionais não ngativos 11. Mdir com fraçõs 1. Fixar um sgmnto d rta como unidad idntificar uma fração unitária (sndo um númro natural) como um númro igual à mdida do comprimnto d cada um dos sgmntos d rta rsultants da dcomposição da unidad m sgmntos d rta d comprimntos iguais. 2. Fixar um sgmnto d rta como unidad idntificar uma fração (sndo númros naturais) como um númro, igual à mdida do comprimnto d um sgmnto d rta obtido por justaposição rtilína, xtrmo a xtrmo, d sgmntos d rta com comprimntos iguais mdindo. 3. Utilizar corrtamnt os trmos «numrador» «dnominador». 4. Utilizar corrtamnt os numrais fracionários. 5. Utilizar as fraçõs para dsignar grandzas formadas por crto númro d parts quivalnts a uma qu rsult d divisão quitativa d um todo. 6. Rconhcr qu o númro natural, nquanto mdida d uma grandza, é quivalnt à fração idntificar, para todo o númro natural, a fração como o númro. 7. Fixar um sgmnto d rta como unidad d comprimnto rprsntar númros naturais fraçõs por pontos d uma smirrta dada, rprsntando o zro pla origm d tal modo qu o ponto qu rprsnta dtrminado númro s ncontra a uma distância da origm igual a ss númro d unidads. 8. Idntificar «rta numérica» como a rta suport d uma smirrta utilizada para rprsntar númros não ngativos, fixada uma unidad d comprimnto. 9. Rconhcr qu fraçõs com difrnts numradors dnominadors podm rprsntar o msmo ponto da rta numérica, associar a cada um dsss pontos rprsntados por fraçõs um «númro racional» utilizar corrtamnt nst contxto a xprssão «fraçõs quivalnts». 10. Idntificar fraçõs quivalnts utilizando mdiçõs d difrnts grandzas. 11. Rconhcr qu uma fração cujo numrador é divisívl plo dnominador rprsnta o númro natural quocint daquls dois. 12. Ordnar númros racionais positivos utilizando a rta numérica ou a mdição d outras grandzas. 13. Ordnar fraçõs com o msmo dnominador. 14. Ordnar fraçõs com o msmo numrador. 15. Rconhcr qu uma fração d dnominador igual ou suprior ao numrador rprsnta um númro racional rsptivamnt igual ou infrior a utilizar corrtamnt o trmo «fração própria». 12. Adicionar subtrair númros racionais 1. Rconhcr qu a soma a difrnça d númros naturais podm sr dtrminadas na rta numérica por justaposição rtilína xtrmo a xtrmo d sgmntos d rta. 2. Idntificar somas d númros racionais positivos como númros corrspondnts a pontos da rta numérica, utilizando justaposiçõs rtilínas xtrmo a xtrmo d sgmntos d rta, a soma d qualqur númro com zro como sndo igual ao próprio númro. NO3 Página 17

53 3. Idntificar a difrnça d dois númros racionais não ngativos, m qu o aditivo é suprior ou igual ao subtrativo, como o númro racional qu s dv adicionar ao subtrativo para obtr o aditivo idntificar o ponto da rta numérica qu corrspond à difrnça d dois númros positivos utilizando justaposiçõs rtilínas xtrmo a xtrmo d sgmntos d rta. 4. Rconhcr qu é igual a 1 a soma d 5. Rconhcr qu a soma d parclas iguais a (sndo parclas iguais a idntificar sta fração como os produtos (sndo númro natural). númros naturais) é igual a. 6. Rconhcr qu a soma a difrnça d fraçõs d iguais dnominadors podm sr obtidas adicionando subtraindo os numradors. 7. Dcompor uma fração suprior a na soma d um númro natural d uma fração própria utilizando a divisão intira do numrador plo dnominador. Sistma d numração dcimal 13. Rprsntar númros racionais por dízimas 1. Idntificar as fraçõs dcimais como as fraçõs com dnominadors iguais a,,, tc. 2. Rduzir ao msmo dnominador fraçõs dcimais utilizando xmplos do sistma métrico. 3. Adicionar fraçõs dcimais com dnominadors até 1000, rduzindo ao maior dnominador. 4. Rprsntar por, os númros racionais,, rsptivamnt. 5. Rprsntar as fraçõs dcimais como dízimas rprsntá-las na rta numérica. 6. Adicionar subtrair númros rprsntados na forma d dízima utilizando os algoritmos. 7. Eftuar a dcomposição dcimal d um númro racional rprsntado como dízima. NO3 Página 18

54 Gomtria Mdida GM3 Localização orintação no spaço 1. Situar-s situar objtos no spaço 1. Idntificar dois sgmntos d rta numa grlha quadriculada como parallos s for possívl dscrvr um itinrário qu comça por prcorrr um dos sgmntos, acaba prcorrndo o outro contém um númro par d quartos d volta. 2. Idntificar duas dirçõs rlativamnt a um obsrvador como prpndiculars quando pudrm sr ligadas por um quarto d volta. 3. Rconhcr rprsntar sgmntos d rta prpndiculars parallos m situaçõs variadas. 4. Rconhcr a prpndicularidad ntr duas dirçõs quando uma é vrtical outra horizontal. 5. Rconhcr, numa grlha quadriculada na qual cada linha horizontal cada coluna vrtical stá idntificada por um símbolo, qu qualqur quadrícula pod sr localizada através d um par d coordnadas. 6. Idntificar quadrículas d uma grlha quadriculada através das rsptivas coordnadas. Figuras gométricas 2. Rconhcr propridads gométricas 1. Idntificar uma «circunfrência» m dtrminado plano como o conjunto d pontos dss plano a uma distância dada d um ponto nl fixado rprsntar circunfrências utilizando um compasso. 2. Idntificar uma «suprfíci sférica» como o conjunto d pontos do spaço a uma distância dada d um ponto. 3. Utilizar corrtamnt os trmos «cntro», «raio» «diâmtro». 4. Idntificar a «part intrna d uma circunfrência» como o conjunto dos pontos do plano cuja distância ao cntro é infrior ao raio. 5. Idntificar um «círculo» como a runião d uma circunfrência com a rsptiva part intrna. 6. Idntificar a «part intrna d uma suprfíci sférica» como o conjunto dos pontos do spaço cuja distância ao cntro é infrior ao raio. 7. Idntificar uma «sfra» como a runião d uma suprfíci sférica com a rsptiva part intrna. 8. Idntificar ixos d simtria m figuras planas utilizando dobragns, papl vgtal, tc. Mdida 3. Mdir comprimntos áras 1. Rlacionar as difrnts unidads d mdida d comprimnto do sistma métrico. 2. Mdir distâncias comprimntos utilizando as unidads do sistma métrico ftuar convrsõs. 3. Construir numa grlha quadriculada figuras não gomtricamnt iguais com o msmo prímtro. GM3 Página 19

55 4. Rconhcr qu figuras com a msma ára podm tr prímtros difrnts. 5. Fixar uma unidad d comprimnto idntificar a ára d um quadrado d lado d mdida 1 como uma «unidad quadrada». 6. Mdir a ára d figuras dcomponívis m unidads quadradas. 7. Enquadrar a ára d uma figura utilizando figuras dcomponívis m unidads quadradas. 8. Rconhcr, fixada uma unidad d comprimnto, qu a mdida, m unidads quadradas, da ára d um rtângulo d lados d mdidas intiras é dada plo produto das mdidas d dois lados concorrnts. 9. Rconhcr o mtro quadrado como a ára d um quadrado com um mtro d lado. 4. Mdir massas 1. Rlacionar as difrnts unidads d massa do sistma métrico. 2. Ralizar psagns utilizando as unidads do sistma métrico ftuar convrsõs. 3. Sabr qu um litro d água psa um quilograma. 5. Mdir capacidads 1. Rlacionar as difrnts unidads d capacidad do sistma métrico. 2. Mdir capacidads utilizando as unidads do sistma métrico ftuar convrsõs. 6. Mdir o tmpo 1. Sabr qu o minuto é a sxagésima part da hora qu o sgundo é a sxagésima part do minuto. 2. Lr scrvr a mdida do tmpo aprsntada num rlógio d pontiros m horas minutos. 3. Eftuar convrsõs d mdidas d tmpo xprssas m horas, minutos sgundos. 4. Adicionar subtrair mdidas d tmpo xprssas m horas, minutos sgundos. 7. Contar dinhiro 1. Adicionar subtrair quantias d dinhiro. 8. Rsolvr problmas 1. Rsolvr problmas d até três passos nvolvndo mdidas d difrnts grandzas. GM3 Página 20

56 Organização Tratamnto d Dados OTD3 Rprsntação tratamnto d dados 1. Rprsntar conjuntos d dados 1. Rprsntar conjuntos d dados xprssos na forma d númros intiros não ngativos m diagramas d caul--folhas. 2. Tratar conjuntos d dados 1. Idntificar a «frquência absoluta» d uma catgoria/class d dtrminado conjunto d dados como o númro d dados qu prtncm a ssa catgoria/class. 2. Idntificar a «moda» d um conjunto d dados qualitativos/quantitativos discrtos como a catgoria/class com maior frquência absoluta. 3. Sabr qu no caso d conjuntos d dados quantitativos discrtos também s utiliza a dsignação «moda» para dsignar qualqur class com maior frquência absoluta do qu as classs vizinhas, ou sja, corrspondnts aos valors imdiatamnt suprior infrior. 4. Idntificar o «máximo» o «mínimo» d um conjunto d dados numéricos rsptivamnt como o maior o mnor valor dsss dados a «amplitud» como a difrnça ntr o máximo o mínimo. 3. Rsolvr problmas 1. Rsolvr problmas nvolvndo a anális d dados rprsntados m tablas, diagramas ou gráficos a dtrminação d frquências absolutas, moda, xtrmos amplitud. 2. Rsolvr problmas nvolvndo a organização d dados por catgorias/classs a rsptiva rprsntação d uma forma adquada. OTD3 Página 21

57 4.º ANO Númros Opraçõs NO4 Númros naturais 1. Contar 1. Rconhcr qu s podria prossguir a contagm indfinidamnt introduzindo rgras d construção análogas às utilizadas para a contagm até um milhão. 2. Sabr qu o trmo «bilião» trmos idênticos noutras línguas têm significados distintos m difrnts paíss, dsignando um milhão d milhõs m Portugal noutros paíss uropus um milhar d milhõs no Brasil (bilhão) nos EUA (billion), por xmplo. 2. Eftuar divisõs intiras 1. Eftuar divisõs intiras com dividndos d três algarismos divisors d dois algarismos, nos casos m qu o dividndo é mnor qu vzs o divisor, comçando por construir uma tabuada do divisor constituída plos produtos com os númros d a aprsntar o rsultado com a disposição usual do algoritmo. 2. Eftuar divisõs intiras com dividndos d três algarismos divisors d dois algarismos, nos casos m qu o dividndo é mnor qu vzs o divisor, utilizando o algoritmo, ou sja, dtrminando os algarismos do rsto sm calcular prviamnt o produto do quocint plo divisor. 3. Eftuar divisõs intiras com dividndos d dois algarismos divisors d um algarismo, nos casos m qu o númro d dznas do dividndo é suprior ou igual ao divisor, utilizando o algoritmo. 4. Eftuar divisõs intiras utilizando o algoritmo. 5. Idntificar os divisors d um númro natural até. 3. Rsolvr problmas 1. Rsolvr problmas d vários passos nvolvndo as quatro opraçõs. Númros racionais não ngativos 4. Simplificar fraçõs 1. Rconhcr qu multiplicando o numrador o dnominador d uma dada fração plo msmo númro natural s obtém uma fração quivalnt. 2. Simplificar fraçõs nos casos m qu o numrador o dnominador prtnçam simultanamnt à tabuada do ou do ou sjam ambos múltiplos d. 5. Multiplicar dividir númros racionais não ngativos 1. Estndr dos naturais a todos os racionais não ngativos a idntificação do produto d um númro por um númro natural como a soma d parclas iguais a, s, como o próprio, s, rprsntá-lo por. 2. Rconhcr qu NO4 qu, m particular, (sndo, númros naturais). Página 22

58 3. Estndr dos naturais a todos os racionais não ngativos a idntificação do quocint d um númro por outro como o númro cujo produto plo divisor é igual ao dividndo utilizar o símbolo «:» na rprsntação dss rsultado. 4. Rconhcr qu 5. Rconhcr qu (sndo (sndo númros naturais). númros naturais). 6. Estndr dos naturais a todos os racionais não ngativos a idntificação do produto d um númro por (sndo um númro natural) como o quocint d por, rprsntá-lo por rconhcr qu o quocint d um númro racional não ngativo por é igual ao produto dss númro por. 7. Distinguir o quocint rsultant d uma divisão intira do quocint racional d dois númros naturais. 6. Rprsntar númros racionais por dízimas 1. Rconhcr qu o rsultado da multiplicação ou divisão d uma dízima por,,, tc. pod sr obtido dslocando a vírgula uma, duas, três, tc. casas dcimais rsptivamnt para a dirita ou squrda. 2. Rconhcr qu o rsultado da multiplicação ou divisão d uma dízima por,,, tc. pod sr obtido dslocando a vírgula uma, duas, três, tc. casas dcimais rsptivamnt para a squrda ou dirita. 3. Dtrminar uma fração dcimal quivalnt a uma dada fração d dnominador,,,, ou, multiplicando o numrador o dnominador plo msmo númro natural rprsntá-la na forma d dízima. 4. Rprsntar por dízimas númros racionais dados por fraçõs quivalnts a fraçõs dcimais com dnominador até, rcorrndo ao algoritmo da divisão intira posicionando corrtamnt a vírgula dcimal no rsultado. 5. Calcular aproximaçõs, na forma d dízima, d númros racionais rprsntados por fraçõs, rcorrndo ao algoritmo da divisão intira posicionando corrtamnt a vírgula dcimal no rsultado, utilizar adquadamnt as xprssõs «aproximação à décima», «aproximação à cntésima» «aproximação à milésima». 6. Multiplicar númros rprsntados por dízimas finitas utilizando o algoritmo. 7. Dividir númros rprsntados por dízimas finitas utilizando o algoritmo da divisão posicionando corrtamnt a vírgula dcimal no quocint no rsto. NO4 Página 23

59 Gomtria Mdida GM4 Localização orintação no spaço 1. Situar-s situar objtos no spaço 1. Associar o trmo «ângulo» a um par d dirçõs rlativas a um msmo obsrvador, utilizar o trmo «vértic do ângulo» para idntificar a posição do ponto d ond é fita a obsrvação utilizar corrtamnt a xprssão «ângulo formado por duas dirçõs» outras quivalnts. 2. Idntificar ângulos m difrnts objtos dsnhos. 3. Idntificar «ângulos com a msma amplitud» utilizando dslocamntos d objtos rígidos com três pontos fixados. 4. Rconhcr como ângulos os pars d dirçõs associados rsptivamnt à mia volta ao quarto d volta. Figuras gométricas 2. Idntificar comparar ângulos 1. Idntificar as smirrtas situadas ntr duas smirrtas como as d origm qu intrstam o sgmnto d rta [ ]. não colinars 2. Idntificar um ângulo convxo d vértic (, pontos não colinars) como o conjunto d pontos prtncnts às smirrtas situadas ntr. 3. Idntificar dois ângulos convxos como vrticalmnt opostos quando as smirrtas são rsptivamnt opostas a ou a. 4. Idntificar um smiplano como cada uma das parts m qu fica dividido um plano por uma rta nl fixada. 5. Idntificar um ângulo côncavo d vértic (, pontos não colinars) como o conjunto complmntar, no plano, do rsptivo ângulo convxo unido com as smirrtas. 6. Idntificar, dados três pontos, não colinars, «ângulo» como uma dsignação do ângulo convxo, salvo indicação m contrário. 7. Dsignar uma smirrta qu passa por um ponto por «ângulo d vértic» rfri-la como «ângulo nulo». 8. Associar um ângulo raso a um smiplano a um par d smirrtas opostas qu o dlimitam dsignar por vértic dst ângulo a origm comum das smirrtas. 9. Associar um ângulo giro a um plano a uma smirrta nl fixada dsignar por vértic dst ângulo a origm da smirrta. 10. Utilizar corrtamnt o trmo «lado d um ângulo». GM4 Página 24

60 11. Rconhcr dois ângulos, ambos convxos ou ambos côncavos, como tndo a msma amplitud marcando pontos quidistants dos vértics nos lados corrspondnts d cada um dos ângulos vrificando qu são iguais os sgmntos d rta dtrminados por cada par d pontos assim fixado m cada ângulo, sabr qu ângulos com a msma amplitud são gomtricamnt iguais. 12. Idntificar dois ângulos situados no msmo plano como «adjacnts» quando partilham um lado nnhum dos ângulos stá contido no outro. 13. Idntificar um ângulo como tndo maior amplitud do qu outro quando for gomtricamnt igual à união dst com um ângulo adjacnt. 14. Idntificar um ângulo como «rto» s, unido com um adjacnt d msma amplitud, formar um smiplano. 15. Idntificar um ângulo como «agudo» s tivr amplitud mnor do qu a d um ângulo rto. 16. Idntificar um ângulo convxo como «obtuso» s tivr amplitud maior do qu a d um ângulo rto. 17. Rconhcr ângulos rtos, agudos, obtusos, convxos côncavos m dsnhos objtos sabr rprsntá-los. 3. Rconhcr propridads gométricas 1. Rconhcr qu duas rtas são prpndiculars quando formam um ângulo rto sabr qu nsta situação os rstants três ângulos formados são igualmnt rtos. 2. Dsignar por «rtas parallas» rtas m dtrminado plano qu não s intrstam como «rtas concorrnts» duas rtas qu s intrstam xatamnt num ponto. 3. Sabr qu rtas com dois pontos m comum são coincidnts. 4. Eftuar rprsntaçõs d rtas parallas concorrnts, idntificar rtas não parallas qu não s intrstam. 5. Idntificar os rtângulos como os quadrilátros cujos ângulos são rtos. 6. Dsignar por «polígono rgular» um polígono d lados ângulos iguais. 7. Sabr qu dois polígonos são gomtricamnt iguais quando tivrm os lados os ângulos corrspondnts gomtricamnt iguais. 8. Idntificar os parallpípdos rtângulos como os polidros d sis facs rtangulars dsignar por «dimnsõs» os comprimntos d três arstas concorrnts num vértic. 9. Dsignar por «planos parallos» dois planos qu não s intrstam. 10. Idntificar prismas triangulars rtos como polidros com cinco facs, das quais duas são triangulars as rstants três rtangulars, sabndo qu as facs triangulars são parallas. GM4 Página 25

61 11. Dcompor o cubo o parallpípdo rtângulo m dois prismas triangulars rtos. 12. Idntificar prismas rtos como polidros com duas facs gomtricamnt iguais situadas rsptivamnt m dois planos parallos as rstants rtangulars rconhcr os cubos os dmais parallpípdos rtângulos como prismas rtos. 13. Rlacionar cubos, parallpípdos rtângulos prismas rtos com as rsptivas planificaçõs. 14. Rconhcr pavimntaçõs do plano por triângulos, rtângulos hxágonos, idntificar as qu utilizam apnas polígonos rgulars rconhcr qu o plano pod sr pavimntado d outros modos. 15. Construir pavimntaçõs triangulars a partir d pavimntaçõs hxagonais ( vic-vrsa) pavimntaçõs triangulars a partir d pavimntaçõs rtangulars. Mdida 4. Mdir comprimntos áras 1. Rconhcr qu a ára d um quadrado com um dcímtro d lado (dcímtro quadrado) é igual à cntésima part do mtro quadrado rlacionar as difrnts unidads d ára do sistma métrico. 2. Rconhcr as corrspondências ntr as unidads d mdida d ára do sistma métrico as unidads d mdida agrárias. 3. Mdir áras utilizando as unidads do sistma métrico ftuar convrsõs. 4. Calcular numa dada unidad do sistma métrico a ára d um rtângulo cuja mdida dos lados possa sr xprssa, numa subunidad, por númros naturais. 5. Mdir volums capacidads 1. Fixar uma unidad d comprimnto idntificar o volum d um cubo d arsta um como «uma unidad cúbica». 2. Mdir o volum d figuras dcomponívis m unidads cúbicas. 3. Rconhcr, fixada uma unidad d comprimnto, qu a mdida, m unidads cúbicas, do volum d um parallpípdo rtângulo d arstas d mdida intira é dada plo produto das mdidas das três dimnsõs. 4. Rconhcr o mtro cúbico como o volum d um cubo com um mtro d arsta. 5. Rconhcr qu o volum d um cubo com um dcímtro d arsta (dcímtro cúbico) é igual à milésima part do mtro cúbico rlacionar as difrnts unidads d mdida d volum do sistma métrico. 6. Rconhcr a corrspondência ntr o dcímtro cúbico o litro rlacionar as unidads d mdida d capacidad com as unidads d mdida d volum. 6. Rsolvr problmas 1. Rsolvr problmas d vários passos rlacionando mdidas d difrnts grandzas. GM4 Página 26

62 Organização Tratamnto d Dados OTD4 Tratamnto d dados 1. Utilizar frquências rlativas prcntagns 1. Idntificar a «frquência rlativa» d uma catgoria/class d dtrminado conjunto d dados como o quocint ntr a frquência absoluta dssa catgoria/class o númro total d dados. 2. Exprimir qualqur fração própria m prcntagm arrdondada às décimas. 2. Rsolvr problmas 1. Rsolvr problmas nvolvndo o cálculo a comparação d frquências rlativas. OTD4 Página 27

63 2.º ciclo Litura das Mtas Curriculars do 2.º ciclo «Idntificar», «dsignar»: o aluno dv utilizar corrtamnt a dsignação rfrida, sabndo dfinir o concito aprsntado como s indica ou d manira quivalnt, ainda qu informal. «Estndr»: O aluno dv sabr dfinir o concito como s indica ou d forma quivalnt, ainda qu informal, rconhcndo qu s trata d uma gnralização. «Rconhcr»: O aluno dv conhcr o rsultado sabr justificá-lo, vntualmnt d modo informal ou rcorrndo a casos particulars. No caso das propridads mais complxas, os alunos dvm apnas sabr justificar isoladamnt os divrsos passos utilizados plo profssor para as dduzir, bm como sabr ilustrá-las utilizando xmplos concrtos. No caso das propridads mais simpls, os alunos podrão sr chamados a aprsntar d forma autónoma uma justificação gral um pouco mais prcisa. «Sabr»: Prtnd-s qu o aluno conhça o rsultado, mas sm qu lh sja xigida qualqur justificação ou vrificação concrta. 2.º ciclo Página 28

64 5.º ANO Númros Opraçõs NO5 Númros racionais não ngativos 1. Eftuar opraçõs com númros racionais não ngativos 1. Simplificar fraçõs dividindo ambos os trmos por um divisor comum suprior à unidad. 2. Rconhcr, dadas duas fraçõs, qu multiplicando ambos os trmos d cada uma plo dnominador da outra obtêm-s duas fraçõs com o msmo dnominador qu lhs são rsptivamnt quivalnts. 3. Ordnar duas quaisqur fraçõs. 4. Rconhcr qu (sndo,, númros naturais). 5. Rconhcr qu (sndo,, númros naturais, 6. Idntificar o produto d um númro racional positivo o produto por do produto d (sndo 7. Rconhcr qu por ). por (sndo, rprsntá-lo por númros naturais) como rconhcr qu númros naturais). (sndo,, númros naturais). 8. Dsignar por «fração irrdutívl» uma fração com mnors trmos do qu qualqur outra qu lh sja quivalnt. 9. Rprsntar númros racionais não ngativos como numrais mistos. 10. Adicionar subtrair dois númros racionais não ngativos xprssos como numrais mistos, comçando rsptivamnt por adicionar ou subtrair as parts intiras as fraçõs próprias associadas, com vntual transport d uma unidad. 11. Dtrminar aproximaçõs d númros racionais positivos por xcsso ou por dfito, ou por arrdondamnto, com uma dada prcisão. 2. Rsolvr problmas 1. Rsolvr problmas d vários passos nvolvndo opraçõs com númros racionais rprsntados por fraçõs, dízimas, prcntagns numrais mistos. Númros naturais 3. Conhcr aplicar propridads dos divisors 1. Sabr os critérios d divisibilidad por, por por. 2. Idntificar o máximo divisor comum d dois númros naturais por inspção dos divisors d cada um dls. 3. Rconhcr qu num produto d númros naturais, um divisor d um dos fators é divisor do produto. 4. Rconhcr qu s um dado númro natural divid outros dois, divid também as rsptivas soma difrnça. 5. Rconhcr, dada uma divisão intira, qu s um númro divid o divisor ( ) o rsto ( ) ntão divid o dividndo ( ). NO5 Página 29

65 6. Rconhcr, dada uma divisão intira ), qu s um númro divid o dividndo ( ) o divisor ( ) ntão divid o rsto ( ). 7. Utilizar o algoritmo d Euclids para dtrminar os divisors comuns d dois númros naturais, m particular, idntificar o rsptivo máximo divisor comum. 8. Dsignar por «primos ntr si» dois númros cujo máximo divisor comum é. 9. Rconhcr qu dividindo dois númros plo máximo divisor comum s obtêm dois númros primos ntr si. 10. Sabr qu uma fração é irrdutívl s o numrador o dnominador são primos ntr si. 11. Idntificar o mínimo múltiplo comum d dois númros naturais por inspção dos múltiplos d cada um dls. 12. Sabr qu o produto d dois númros naturais é igual ao produto do máximo divisor comum plo mínimo múltiplo comum utilizar sta rlação para dtrminar o sgundo quando é conhcido o primiro, ou vic-vrsa. 4. Rsolvr problmas 1. Rsolvr problmas nvolvndo o cálculo do máximo divisor comum do mínimo múltiplo comum d dois ou mais númros naturais. NO5 Página 30

66 Gomtria Mdida GM5 Propridads gométricas 1. Rconhcr propridads nvolvndo ângulos, parallismo prpndicularidad 1. Idntificar um ângulo não giro como soma d dois ângulos s for igual à união d dois ângulos adjacnts rsptivamnt iguais a a. 2. Idntificar um ângulo giro como igual à soma d outros dois s sts form iguais rsptivamnt a dois ângulos não coincidnts com os msmos lados. 3. Construir um ângulo igual à soma d outros dois utilizando régua compasso. 4. Dsignar por «bisstriz» d um dado ângulo a smirrta nl contida, d origm no vértic qu forma com cada um dos lados ângulos iguais, construi-la utilizando régua compasso. 5. Idntificar dois ângulos como «suplmntars» quando a rsptiva soma for igual a um ângulo raso. 6. Idntificar dois ângulos como «complmntars» quando a rsptiva soma for igual a um ângulo rto. 7. Rconhcr qu ângulos vrticalmnt opostos são iguais. 8. Idntificar duas smirrtas com a msma rta suport como tndo «o msmo sntido» s uma contém a outra. 9. Idntificar duas smirrtas com rtas suport distintas como tndo «o msmo sntido» s form parallas stivrm contidas num msmo smiplano dtrminado plas rsptivas origns. 10. Utilizar corrtamnt as xprssõs «smirrtas dirtamnt parallas» «smirrtas invrsamnt parallas». 11. Idntificar, dadas duas smirrtas contidas na msma rta com o msmo sntido dois pontos prtncnts a um msmo smiplano dfinido pla rta, os ângulos como «corrspondnts» sabr qu são iguais quando ( apnas quando) as rtas são parallas. 12. Construir sgmntos d rta parallos rcorrndo a régua squadro utilizando qualqur par d lados do squadro. GM5 Página 31

67 13. Idntificar, dadas duas rtas intrstadas por uma scant, «ângulos intrnos» «ângulos xtrnos» pars d ângulos «altrnos intrnos» «altrnos xtrnos» rconhcr qu os ângulos d cada um dsts pars são iguais quando ( apnas quando) são parallas. 14. Rconhcr qu são iguais dois ângulos convxos complanars d lados dois a dois dirtamnt parallos ou d lados dois a dois invrsamnt parallos. 15. Rconhcr qu são suplmntars dois ângulos convxos complanars qu tnham dois dos lados dirtamnt parallos os outros dois invrsamnt parallos. 16. Sabr qu dois ângulos convxos complanars d lados prpndiculars dois a dois são iguais s form «da msma spéci» (ambos agudos ou ambos obtusos) são suplmntars s form «d spécis difrnts». 2. Rconhcr propridads d triângulos parallogramos 1. Utilizar corrtamnt os trmos «ângulo intrno», «ângulo xtrno» «ângulos adjacnts a um lado» d um polígono. 2. Rconhcr qu a soma dos ângulos intrnos d um triângulo é igual a um ângulo raso. 3. Rconhcr qu num triângulo rtângulo ou obtusângulo dois dos ângulos intrnos são agudos. 4. Dsignar por «hipotnusa» d um triângulo rtângulo o lado oposto ao ângulo rto por «cattos» os lados a l adjacnts. 5. Rconhcr qu um ângulo xtrno d um triângulo é igual à soma dos ângulos intrnos não adjacnts. 6. Rconhcr qu num triângulo a soma d três ângulos xtrnos com vértics distintos é igual a um ângulo giro. 7. Idntificar parallogramos como quadrilátros d lados parallos dois a dois rconhcr qu dois ângulos opostos são iguais dois ângulos adjacnts ao msmo lado são suplmntars. 8. Utilizar corrtamnt os trmos «triângulo rtângulo», «triângulo acutângulo» «triângulo obtusângulo». 9. Construir triângulos dados os comprimntos dos lados, rconhcr qu as divrsas construçõs possívis conduzm a triângulos iguais utilizar corrtamnt, nst contxto, a xprssão «critério LLL d igualdad d triângulos». 10. Construir triângulos dados os comprimntos d dois lados a amplitud do ângulo por ls formado rconhcr qu as divrsas construçõs possívis conduzm a triângulos iguais utilizar corrtamnt, nst contxto, a xprssão «critério LAL d igualdad d triângulos». 11. Construir triângulos dado o comprimnto d um lado as amplituds dos ângulos adjacnts a ss lado rconhcr qu as divrsas construçõs possívis conduzm a triângulos iguais utilizar corrtamnt, nst contxto, a xprssão «critério ALA d igualdad d triângulos». GM5 Página 32

68 12. Rconhcr qu num triângulo a lados iguais opõm-s ângulos iguais rciprocamnt. 13. Rconhcr qu m triângulos iguais a lados iguais opõm-s ângulos iguais rciprocamnt. 14. Classificar os triângulos quanto aos lados utilizando as amplituds dos rsptivos ângulos intrnos. 15. Sabr qu num triângulo ao maior lado opõ-s o maior ângulo ao mnor lado opõ-s o mnor ângulo, vic-vrsa. 16. Rconhcr qu num parallogramo lados opostos são iguais. 17. Sabr qu num triângulo a mdida do comprimnto d qualqur lado é mnor do qu a soma das mdidas dos comprimntos dos outros dois maior do qu a rsptiva difrnça dsignar a primira dstas propridads por «dsigualdad triangular». 18. Sabr, dada uma rta um ponto não prtncnt a, qu xist uma rta prpndicular a passando por, rconhcr qu é única construir a intrsção dsta rta com (ponto dsignado por «pé da prpndicular») utilizando régua squadro. 19. Sabr, dada uma rta um ponto a la prtncnt, qu xist m cada plano contndo, uma rta prpndicular a passando por, rconhcr qu é única construí-la utilizando régua squadro, dsignando o ponto por «pé da prpndicular». 20. Idntificar a distância d um ponto a uma rta como a distância d ao pé da prpndicular traçada d para rconhcr qu é infrior à distância d a qualqur outro ponto d. 21. Idntificar, dado um triângulo um dos rsptivos lados, a «altura» do triângulo rlativamnt a ss lado (dsignado por «bas»), como o sgmnto d rta unindo o vértic oposto à bas com o pé da prpndicular traçada dss vértic para a rta qu contém a bas. 22. Rconhcr qu são iguais os sgmntos d rta qu unm duas rtas parallas lhs são prpndiculars dsignar o comprimnto dsss sgmntos por «distância ntr as rtas parallas». 23. Idntificar, dado um parallogramo, uma «altura» rlativamnt a um lado (dsignado por «bas») como um sgmnto d rta qu un um ponto do lado oposto à rta qu contém a bas lh é prpndicular. 24. Utilizar raciocínio ddutivo para rconhcr propridads gométricas. 3. Rsolvr problmas 1. Rsolvr problmas nvolvndo as noçõs d parallismo, prpndicularidad, ângulos triângulos. Mdida 4. Mdir áras d figuras planas 1. Construir, fixada uma unidad d comprimnto dados dois númros naturais unitário dcomposto m qu a ára d cada um é igual a GM5 rtângulos d lados conscutivos d mdidas, um quadrado rconhcr unidads quadradas. Página 33

69 2. Rconhcr, fixada uma unidad d comprimnto dados dois númros racionais positivos, qu a ára d um rtângulo d lados conscutivos d mdida é igual a unidads quadradas. 3. Exprimir m linguagm simbólica a rgra para o cálculo da mdida da ára d um rtângulo m unidads quadradas, dadas as mdidas d comprimnto d dois lados conscutivos m dtrminada unidad, no caso m qu são ambas racionais. 4. Exprimir m linguagm simbólica a rgra para o cálculo da mdida da ára d um quadrado m unidads quadradas, dada a mdida d comprimnto dos rsptivos lados m dtrminada unidad (supondo racional), dsignando ssa mdida por «ao quadrado» rprsntando-a por. 5. Rconhcr, fixada uma unidad d comprimnto dado um parallogramo com uma bas uma altura a la rlativa com comprimntos d mdidas rsptivamnt iguais a a (sndo númros racionais positivos), qu a mdida da ára do parallogramo m unidads quadradas é igual a, vrificando qu o parallogramo é quivalnt a um rtângulo com ssa ára. 6. Rconhcr, fixada uma unidad d comprimnto dado um triângulo com uma bas uma altura a la rlativa com comprimntos d mdidas rsptivamnt iguais a (sndo númros racionais positivos), qu a mdida da ára do triângulo m unidads quadradas é igual a mtad d, vrificando qu s pod construir um parallogramo dcomponívl m dois triângulos iguais ao triângulo dado, com a msma bas qu st. 7. Exprimir m linguagm simbólica as rgras para o cálculo das mdidas das áras d parallogramos triângulos m unidads quadradas, dadas as mdidas d comprimnto d uma bas corrspondnt altura m dtrminada unidad, no caso m qu são ambas racionais. 5. Rsolvr problmas 1. Rsolvr problmas nvolvndo o cálculo d áras d figuras planas. 6. Mdir amplituds d ângulos 1. Idntificar, fixado um ângulo (não nulo) como unidad, a mdida da amplitud d um dado ângulo como (sndo númro natural) quando o ângulo unidad for igual à soma d ângulos iguais àqul. 2. Idntificar, fixado um ângulo (não nulo) como unidad, a mdida da amplitud d um dado ângulo como (sndo númros naturais) quando for igual à soma d ângulos d amplitud unidads rprsntar a amplitud d por «3. Idntificar o «grau» como a unidad d mdida d amplitud d ângulo tal qu o ângulo giro tm amplitud igual a graus utilizar corrtamnt o símbolo. 4. Sabr qu um grau s divid m minutos (d grau) um minuto m sgundos (d grau) utilizar corrtamnt os símbolos. 5. Utilizar o transfridor para mdir amplituds d ângulos construir ângulos d dtrminada amplitud xprssa m graus. 7. Rsolvr problmas 1. Rsolvr problmas nvolvndo adiçõs, subtraçõs convrsõs d mdidas d amplitud xprssas m forma complxa incomplxa. GM5 Página 34

70 Álgbra ALG5 Exprssõs algébricas 1. Conhcr aplicar as propridads das opraçõs 1. Conhcr as prioridads convncionadas das opraçõs d adição, subtração, multiplicação divisão utilizar corrtamnt os parêntss. 2. Rconhcr as propridads associativa comutativa da adição da multiplicação as propridads distributivas da multiplicação rlativamnt à adição à subtração rprsntá-las algbricamnt. 3. Idntificar o o como os lmntos nutros rsptivamnt da adição da multiplicação d númros racionais não ngativos o como lmnto absorvnt da multiplicação. 4. Utilizar o traço d fração para rprsntar o quocint d dois númros racionais dsigná-lo por «razão» dos dois númros. 5. Idntificar dois númros racionais positivos como «invrsos» um do outro quando o rsptivo produto for igual a rconhcr qu o invrso d um dado númro racional positivo 6. Rconhcr qu o invrso d é (sndo é igual a. númros naturais) rconhcr qu dividir por um númro racional positivo é o msmo do qu multiplicar plo rsptivo invrso. 7. Rconhcr qu o invrso do produto (rsptivamnt quocint) d dois númros racionais positivos é igual ao produto (rsptivamnt quocint) dos invrsos. 8. Rconhcr, dados númros racionais positivos,,, qu concluir qu o invrso d é igual a. 9. Rconhcr, dados númros racionais positivos,,, qu. 10. Simplificar calcular o valor d xprssõs numéricas nvolvndo as quatro opraçõs aritméticas a utilização d parêntss. 11. Traduzir m linguagm simbólica nunciados matmáticos xprssos m linguagm natural vicvrsa, sabndo qu o sinal d multiplicação pod sr omitido ntr númros ltras ntr ltras, qu pod também utilizar-s, m todos os casos, um ponto no lugar dst sinal. ALG5 Página 35

71 Organização Tratamnto d Dados OTD5 Gráficos cartsianos 1. Construir gráficos cartsianos 1. Idntificar um «rfrncial cartsiano» como um par d rtas numéricas não coincidnts qu s intrstam nas rsptivas origns, das quais uma é fixada como «ixo das abcissas» a outra como «ixo das ordnadas» (os «ixos coordnados»), dsignar o rfrncial cartsiano como «ortogonal» quando os ixos são prpndiculars por «monométrico» quando a unidad d comprimnto é a msma para ambos os ixos. 2. Idntificar, dado um plano munido d um rfrncial cartsiano, a «abcissa» (rsptivamnt «ordnada») d um ponto do plano como o númro rprsntado pla intrsção com o ixo das abcissas (rsptivamnt ordnadas) da rta paralla ao ixo das ordnadas (rsptivamnt abcissas) qu passa por dsignar a abcissa a ordnada por «coordnadas» d. 3. Construir, num plano munido d um rfrncial cartsiano ortogonal, o «gráfico cartsiano» rfrnt a dois conjuntos d númros tais qu a todo o lmnto do primiro stá associado um único lmnto do sgundo, rprsntando nss plano os pontos cujas abcissas são iguais aos valors do primiro conjunto as ordnadas rsptivamnt iguais aos valors associados às abcissas no sgundo conjunto. Rprsntação tratamnto d dados 2. Organizar rprsntar dados 1. Construir tablas d frquências absolutas rlativas rconhcndo qu a soma das frquências absolutas é igual ao númro d dados a soma das frquências rlativas é igual a. 2. Rprsntar um conjunto d dados m gráfico d barras. 3. Idntificar um «gráfico d linha» como o qu rsulta d s unirm, por sgmntos d rta, os pontos d abcissas conscutivas d um gráfico cartsiano constituído por um númro finito d pontos, m qu o ixo das abcissas rprsnta o tmpo. 3. Tratar conjuntos d dados 1. Idntificar a «média» d um conjunto d dados numéricos como o quocint ntr a soma dos rsptivos valors o númro d dados, rprsntá-la por. 4. Rsolvr problmas 1. Rsolvr problmas nvolvndo a média a moda d um conjunto d dados, intrprtando o rsptivo significado no contxto d cada situação. 2. Rsolvr problmas nvolvndo a anális d dados rprsntados m tablas d frquência, diagramas d caul--folhas, gráficos d barras d linhas. OTD5 Página 36

72 6.º ANO Númros Opraçõs NO6 Númros naturais 1. Conhcr aplicar propridads dos númros primos 1. Idntificar um númro primo como um númro natural suprior a qu tm xatamnt dois divisors: l próprio. 2. Utilizar o crivo d Eratóstns para dtrminar os númros primos infriors a um dado númro natural. 3. Sabr, dado um númro natural suprior a, qu xist uma única squência crscnt m sntido lato d númros primos cujo produto é igual a ss númro, dsignar sta propridad por «torma fundamntal da aritmética» dcompor númros naturais m produto d fators primos. 4. Utilizar a dcomposição m fators primos para simplificar fraçõs, dtrminar os divisors d um númro natural o máximo divisor comum o mínimo múltiplo comum d dois númros naturais. Númros racionais 2. Rprsntar comparar númros positivos ngativos 1. Rconhcr, dado um númro racional positivo, qu xistm na rta numérica xatamnt dois pontos cuja distância à origm é igual a unidads: um prtncnt à smirrta dos racionais positivos (o ponto qu rprsnta ) o outro à smirrta oposta, associar ao sgundo o númro NO6 dsignado por «númro racional ngativo». Idntificar, dado um númro racional positivo, os númros como «simétricos» um do outro como simétrico d si próprio. Idntificar, dado um númro racional positivo, como o próprio númro utilizar corrtamnt os trmos «sinal d um númro», «sinal positivo» «sinal ngativo». Idntificar grandzas utilizadas no dia a dia cuja mdida s xprim m númros positivos ngativos, conhcndo o significado do zro m cada um dos contxtos. Idntificar a «smirrta d sntido positivo» associada a um dado ponto da rta numérica como a smirrta d origm nss ponto com o msmo sntido da smirrta dos númros positivos. Idntificar um númro racional como maior do qu outro s o ponto a l associado prtncr à smirrta d sntido positivo associada ao sgundo. Rconhcr qu é maior do qu qualqur númro ngativo mnor do qu qualqur númro positivo. Idntificar o «valor absoluto» (ou «módulo») d um númro como a mdida da distância à origm do ponto qu o rprsnta na rta numérica utilizar corrtamnt a xprssão. Rconhcr, dados dois númros positivos, qu é maior o d maior valor absoluto, dados dois númros ngativos, qu é maior o d mnor valor absoluto. Rconhcr qu dois númros racionais não nulos são simétricos quando tivrm o msmo valor absoluto sinais contrários. Página 37

73 11. Idntificar o conjunto dos «númros intiros rlativos» (ou simplsmnt «númros intiros») como o conjunto formado plo, os númros naturais os rsptivos simétricos, rprsntá-lo por o conjunto dos númros naturais por. 12. Idntificar o conjunto dos «númros racionais» como o conjunto formado plo, os númros racionais positivos os rsptivos simétricos rprsntá-lo por. 3. Adicionar númros racionais 1. Idntificar um sgmnto orintado como um sgmnto d rta no qual s scolh uma origm d ] o sgmnto orintado [ ] d origm, ntr os dois xtrmos rprsntar por [ dsignando o ponto B por xtrmidad dst sgmnto orintado. 2. Rfrir, dados dois númros racionais rprsntados rsptivamnt plos pontos da rta numérica, o sgmnto orintado [ ] como «orintado positivamnt» quando é mnor do qu como «orintado ngativamnt» quando é maior do qu. 3. Idntificar, dados dois númros racionais rprsntados rsptivamnt plos pontos da rta numérica, a soma como a abcissa da outra xtrmidad do sgmnto orintado d origm d comprimnto orintação d [ ] ou plo ponto s for nulo, rconhcndo qu assim s stnd a todos os númros racionais a dfinição d adição d númros racionais não ngativos. 4. Rconhcr, dados númros racionais com o msmo sinal, qu a rsptiva soma é igual ao númro racional com o msmo sinal d valor absoluto igual à soma dos valors absolutos das parclas. 5. Rconhcr, dados dois númros racionais d sinal contrário não simétricos, qu a rsptiva soma é igual ao númro racional d sinal igual ao da parcla com maior valor absoluto d valor absoluto igual à difrnça ntr o maior o mnor dos valors absolutos das parclas. 6. Rconhcr qu a soma d qualqur númro com é o próprio númro qu a soma d dois númros simétricos é nula. 4. Subtrair númros racionais 1. Estndr dos racionais não ngativos a todos os racionais a idntificação da difrnça ntr dois númros como o númro cuja soma com é igual a. 2. Rconhcr, dados dois númros racionais, qu é igual à soma d com o simétrico d dsignar, d forma gnérica, a soma a difrnça d dois númros racionais por «soma algébrica». 3. Rconhcr, dado um númro racional, qu é igual ao simétrico d q rprsntá-lo por. 4. Rconhcr, dado um númro racional, qu 5. Rconhcr qu o módulo d um númro racional é igual a s for positivo a ngativo. 6. Rconhcr qu a mdida da distância ntr dois pontos d abcissas é igual a. NO6 s for a Página 38

74 Gomtria Mdida GM6 Figuras gométricas planas 1. Rlacionar circunfrências com ângulos, rtas polígonos 1. Dsignar, dada uma circunfrência, por «ângulo ao cntro» um ângulo d vértic no cntro. 2. Dsignar, dada uma circunfrência, por «stor circular» a intrsção d um ângulo ao cntro com o círculo. 3. Idntificar um polígono como «inscrito» numa dada circunfrência quando os rsptivos vértics são pontos da circunfrência. 4. Rconhcr qu uma rta qu passa por um ponto d uma circunfrência d cntro é prpndicular ao raio [ ] intrsta a circunfrência apnas m dsigná-la por «rta tangnt à circunfrência». 5. Idntificar um sgmnto d rta como tangnt a uma dada circunfrência s a intrstar a rsptiva rta suport for tangnt à circunfrência. 6. Idntificar um polígono como «circunscrito» a uma dada circunfrência quando os rsptivos lados form tangnts à circunfrência. 7. Rconhcr, dado um polígono rgular inscrito numa circunfrência, qu os sgmntos qu unm o cntro da circunfrência aos pés das prpndiculars tiradas do cntro para os lados do polígono são todos iguais dsigná-los por «apótmas». Sólidos gométricos 2. Idntificar sólidos gométricos 1. Idntificar prisma como um polidro com duas facs gomtricamnt iguais («bass do prisma») situadas rsptivamnt m dois planos parallos d modo qu as rstants sjam parallogramos, dsignar os prismas qu não são rtos por «prismas oblíquos», os prismas rtos d bass rgulars por «prismas rgulars», utilizar corrtamnt a xprssão «facs latrais do prisma». 2. Idntificar pirâmid como um polidro dtrminado por um polígono («bas da pirâmid») qu constitui uma das suas facs um ponto («vértic da pirâmid»), xtrior ao plano qu contém a bas d tal modo qu as rstants facs são os triângulos dtrminados plo vértic da pirâmid plos lados da bas utilizar corrtamnt a xprssão «facs latrais da pirâmid». GM6 Página 39

75 3. Dsignar por «pirâmid rgular» uma pirâmid cuja bas é um polígono rgular as arstas latrais são iguais. 4. Idntificar, dados dois círculos com o msmo raio, (d cntro ) (d cntro ), situados rsptivamnt m planos parallos, o «cilindro» d «bass» como o sólido dlimitado plas bass pla suprfíci formada plos sgmntos d rta qu unm as circunfrências dos dois círculos são parallos ao sgmnto d rta [ ] dsignado por «ixo do cilindro» utilizar corrtamnt as xprssõs «gratrizs do cilindro» «suprfíci latral do cilindro». 5. Dsignar por cilindro rto um cilindro cujo ixo é prpndicular aos raios d qualqur das bass. 6. Idntificar, dado um círculo um ponto xtrior ao plano qu o contém, o «con» d «bas» «vértic» como o sólido dlimitado por pla suprfíci formada plos sgmntos d rta qu unm aos pontos da circunfrência do círculo utilizar corrtamnt as xprssõs «gratrizs do con», «ixo do con» «suprfíci latral do con». 7. Dsignar por con rto um con cujo ixo é prpndicular aos raios da bas. 3. Rconhcr propridads dos sólidos gométricos 1. Rconhcr qu o númro d arstas d um prisma é o triplo do númro d arstas da bas qu o númro d arstas d uma pirâmid é o dobro do númro d arstas da bas. 2. Rconhcr qu o númro d vértics d um prisma é o dobro do númro d vértics da bas qu o númro d vértics d uma pirâmid é igual ao númro d vértics da bas adicionado d uma unidad. 3. Dsignar um polidro por «convxo» quando qualqur sgmnto d rta qu un dois pontos do polidro stá nl contido. 4. Rconhcr qu a rlação d Eulr val m qualqur prisma qualqur pirâmid vrificar a sua validad m outros polidros convxos. 5. Idntificar sólidos através d rprsntaçõs m prsptiva num plano. 4. Rsolvr problmas 1. Rsolvr problmas nvolvndo sólidos gométricos as rsptivas planificaçõs. Mdida 5. Mdir o prímtro a ára d polígonos rgulars d círculos 1. Sabr qu o prímtro a ára d um dado círculo podm sr aproximados rsptivamnt plos prímtros áras d polígonos rgulars nl inscritos a ls circunscritos. 2. Sabr qu os prímtros os diâmtros dos círculos são grandzas dirtamnt proporcionais, ralizando xpriências qu o sugiram, dsignar por a rsptiva constant d proporcionalidad, sabndo qu o valor d arrdondado às décimas milésimas é igual a. 3. Rconhcr, fixada uma unidad d comprimnto, qu o prímtro d um círculo é igual ao produto d plo diâmtro ao produto do dobro d plo raio xprimir simbolicamnt stas rlaçõs. 4. Dcompor um polígono rgular inscrito numa circunfrência m triângulos isóscls com vértic no cntro, formar um parallogramo com sss triângulos, acrscntando um triângulo igual no caso m qu são m númro ímpar, utilizar sta construção para rconhcr qu a mdida da ára do polígono, m unidads quadradas, é igual ao produto do smiprímtro pla mdida do comprimnto do apótma. GM6 Página 40

76 5. Rconhcr, fixada uma unidad d comprimnto, qu a ára d um círculo é igual (m unidads quadradas) ao produto d plo quadrado do raio, aproximando o círculo por polígonos rgulars inscritos o raio plos rsptivos apótmas. 6. Rsolvr problmas 1. Rsolvr problmas nvolvndo o cálculo d prímtros áras d polígonos d círculos. 7. Mdir volums d sólidos 1. Considrar, fixada uma unidad d comprimnto dados três númros naturais, unitário dcomposto m, um cubo parallpípdos rtângulos com dimnsõs d mdidas rconhcr qu o volum d cada um é igual a, unidads cúbicas. 2. Rconhcr, fixada uma unidad d comprimnto dados três númros racionais positivos, qu o volum d um parallpípdo rtângulo com dimnsõs d mdidas, é igual a unidads cúbicas. 3. Rconhcr qu o volum d um prisma triangular rto é igual a mtad do volum d um parallpípdo rtângulo com a msma altura d bas quivalnt a um parallogramo dcomponívl m dois triângulos iguais às bass do prisma. 4. Rconhcr, fixada uma unidad d comprimnto, qu a mdida do volum d um prisma triangular rto (m unidads cúbicas) é igual ao produto da mdida da ára da bas (m unidads quadradas) pla mdida da altura. 5. Rconhcr, fixada uma unidad d comprimnto, qu a mdida do volum d um prisma rto (m unidads cúbicas) é igual ao produto da mdida da ára da bas (m unidads quadradas) pla mdida da altura, considrando uma dcomposição m prismas triangulars. 6. Rconhcr, fixada uma unidad d comprimnto, qu a mdida do volum d um cilindro rto (m unidads cúbicas) é igual ao produto da mdida da ára da bas (m unidads quadradas) pla mdida da altura, aproximando-o por prismas rgulars. 8. Rsolvr problmas 1. Rsolvr problmas nvolvndo o cálculo d volums d sólidos. Isomtrias do plano 9. Construir rconhcr propridads d isomtrias do plano 1. Dsignar, dados dois pontos, o ponto por «imagm do ponto pla rflxão cntral d cntro» quando for o ponto médio do sgmnto [ ] idntificar a imagm d pla rflxão cntral d cntro como o próprio ponto. 2. Rconhcr, dado um ponto as imagns d dois pontos pla rflxão cntral d cntro, qu são iguais os comprimntos dos sgmntos [ ] [ ] dsignar, nst contxto, a rflxão cntral como uma «isomtria». 3. Rconhcr, dado um ponto as imagns, d três pontos, pla rflxão cntral d cntro, qu são iguais os ângulos. 4. Dsignar por «mdiatriz» d um dado sgmnto d rta num dado plano a rta prpndicular a ss sgmnto no ponto médio. GM6 Página 41

77 5. Rconhcr qu os pontos da mdiatriz d um sgmnto d rta são quidistants das rsptivas xtrmidads. 6. Sabr qu um ponto quidistant das xtrmidads d um sgmnto d rta prtnc à rsptiva mdiatriz. 7. Construir a mdiatriz ( o ponto médio) d um sgmnto utilizando régua compasso. 8. Idntificar, dada uma rta um ponto não prtncnt a, a «imagm d pla rflxão axial d ixo» como o ponto tal qu é mdiatriz do sgmnto [ ] idntificar a imagm d um ponto d pla rflxão axial d ixo como o próprio ponto. 9. Dsignar, quando sta simplificação d linguagm não for ambígua, «rflxão axial» por «rflxão». 10. Sabr, dada uma rta, dois pontos as rsptivas imagns pla rflxão d ixo, qu são iguais os comprimntos dos sgmntos [ ] [ ] dsignar, nst contxto, a rflxão como uma «isomtria». 11. Rconhcr, dada uma rta, três pontos, as rsptivas imagns, pla rflxão d ixo, qu são iguais os ângulos. 12. Idntificar uma rta como «ixo d simtria» d uma dada figura plana quando as imagns dos pontos da figura pla rflxão d ixo formam a msma figura. 13. Sabr qu a rta suport da bisstriz d um dado ângulo convxo é ixo d simtria do ângulo ( do ângulo concavo associado), rconhcndo qu os pontos a igual distância do vértic nos dois lados do ângulo são imagm um do outro pla rflxão d ixo qu contém a bisstriz. 14. Dsignar, dados dois pontos um ângulo, um ponto por «imagm do ponto por uma rotação d cntro ângulo» quando os sgmntos [ ] [ ] têm o msmo comprimnto os ângulos a msma amplitud. 15. Rconhcr, dados dois pontos um ângulo (não nulo, não raso não giro), qu xistm xatamnt duas imagns do ponto por rotaçõs d cntro ângulo distingui-las xprimntalmnt por rfrência ao sntido do movimnto dos pontiros do rlógio, dsignando uma das rotaçõs por «rotação d sntido positivo» (ou «contrário ao dos pontiros do rlógio») a outra por «rotação d sntido ngativo» (ou «no sntido dos pontiros do rlógio»). 16. Rconhcr, dados dois pontos, qu xist uma única imagm do ponto por rotação d cntro ângulo raso, qu coincid com a imagm d pla rflxão cntral d cntro dsigná-la por imagm d por «mia volta m torno d». 17. Rconhcr qu a (única) imagm d um ponto por uma rotação d ângulo nulo ou giro é o próprio ponto. 18. Sabr, dado um ponto, um ângulo as imagns d dois pontos por uma rotação d cntro ângulo d dtrminado sntido, qu são iguais os comprimntos dos sgmntos [ ] [ ] dsignar, nst contxto, a rotação como uma «isomtria». 19. Rconhcr, dado um ponto, um ângulo as imagns, d três pontos, por uma rotação d cntro ângulo d dtrminado sntido, qu são iguais os ângulos. 20. Idntificar uma figura como tndo «simtria d rotação» quando xist uma rotação d ângulo não nulo não giro tal qu as imagns dos pontos da figura por ssa rotação formam a msma figura. 21. Sabr qu a imagm d um sgmnto d rta por uma isomtria é o sgmnto d rta cujas xtrmidads são as imagns das xtrmidads do sgmnto d rta inicial. 22. Construir imagns d figuras gométricas planas por rflxão cntral, rflxão axial rotação utilizando régua compasso. 23. Construir imagns d figuras gométricas planas por rotação utilizando régua transfridor. 24. Idntificar simtrias d rotação d rflxão m figuras dadas. GM6 Página 42

78 10. Rsolvr problmas 1. Rsolvr problmas nvolvndo as propridads das isomtrias utilizando raciocínio ddutivo. 2. Rsolvr problmas nvolvndo figuras com simtrias d rotação d rflxão axial. GM6 Página 43

79 Álgbra ALG6 Potências d xpont natural 1. Eftuar opraçõs com potências 1. Idntificar (sndo númro natural maior do qu númro racional não ngativo) como o produto d fators iguais a utilizar corrtamnt os trmos «potência», «bas» «xpont». 2. Idntificar (sndo númro racional não ngativo) como o próprio númro. 3. Rconhcr qu o produto d duas potências com a msma bas é igual a uma potência com a msma bas cujo xpont é igual à soma dos xponts dos fators. 4. Rprsntar uma potência d bas xpont lvada a um xpont por rconhcr qu é igual a uma potência d bas xpont igual ao produto dos xponts utilizar corrtamnt a xprssão «potência d potência». 5. Rprsntar um númro racional lvado a uma potência (sndo númros naturais) por rconhcr qu, m gral,. Rconhcr qu o produto d duas potências com o msmo xpont é igual a uma potência com o msmo xpont cuja bas é igual ao produto das bass. Rconhcr qu o quocint d duas potências com a msma bas não nula xponts difrnts (sndo o xpont do dividndo suprior ao do divisor) é igual a uma potência com a msma bas cujo xpont é a difrnça dos xponts. Rconhcr qu o quocint d duas potências com o msmo xpont (sndo a bas do divisor não nula) é igual a uma potência com o msmo xpont cuja bas é igual ao quocint das bass. Conhcr a prioridad da potnciação rlativamnt às rstants opraçõs aritméticas simplificar calcular o valor d xprssõs numéricas nvolvndo as quatro opraçõs aritméticas potências bm como a utilização d parêntss. 2. Rsolvr problmas 1. Traduzir m linguagm simbólica nunciados xprssos m linguagm natural vic-vrsa. Squências rgularidads 3. Rsolvr problmas 1. Rsolvr problmas nvolvndo a dtrminação d trmos d uma squência dfinida por uma xprssão gradora ou dada por uma li d formação qu prmita obtr cada trmo a partir dos antriors, conhcidos os primiros trmos. 2. Dtrminar xprssõs gradoras d squências dfinidas por uma li d formação qu na dtrminação d um dado lmnto rcorra aos lmntos antriors. 3. Rsolvr problmas nvolvndo a dtrminação d uma li d formação compatívl com uma squência parcialmnt conhcida formulá-la m linguagm natural simbólica. ALG6 Página 44

80 Proporcionalidad dirta 4. Rlacionar grandzas dirtamnt proporcionais 1. Idntificar uma grandza como «dirtamnt proporcional» a outra quando dla dpnd d tal forma qu, fixadas unidads, ao multiplicar a mdida da sgunda por um dado númro positivo, a mdida da primira fica também multiplicada por ss númro. 2. Rconhcr qu uma grandza é dirtamnt proporcional a outra da qual dpnd quando, fixadas unidads, o quocint ntr a mdida da primira a mdida da sgunda é constant utilizar corrtamnt o trmo «constant d proporcionalidad». 3. Rconhcr qu s uma grandza é dirtamnt proporcional a outra ntão a sgunda é dirtamnt proporcional à primira as constants d proporcionalidad são invrsas uma da outra. 4. Idntificar uma proporção como uma igualdad ntr duas razõs não nulas utilizar corrtamnt os trmos «xtrmos», «mios» «trmos» d uma proporção. 5. Rconhcr qu numa proporção o produto dos mios é igual ao produto dos xtrmos. 6. Dtrminar o trmo m falta numa dada proporção utilizando a rgra d três simpls ou outro procsso d cálculo. 7. Sabr qu xist proporcionalidad dirta ntr distâncias rais distâncias m mapas utilizar corrtamnt o trmo «scala». 5. Rsolvr problmas 1. Idntificar pars d grandzas mutuamnt dpndnts distinguindo aqulas qu são dirtamnt proporcionais. 2. Rsolvr problmas nvolvndo a noção d proporcionalidad dirta. ALG6 Página 45

81 Organização Tratamnto d Dados OTD6 Rprsntação tratamnto d dados 1. Organizar rprsntar dados 1. Idntificar «população statística» ou simplsmnt «população» como um conjunto d lmntos, dsignados por «unidads statísticas», sobr os quais podm sr fitas obsrvaçõs rcolhidos dados rlativos a uma caractrística comum. 2. Idntificar «variávl statística» como uma caractrística qu admit difrnts valors (um númro ou uma modalidad), um por cada unidad statística. 3. Dsignar uma variávl statística por «quantitativa» ou «numérica» quando stá associada a uma caractrística susctívl d sr mdida ou contada por «qualitativa» no caso contrário. 4. Dsignar por «amostra» o subconjunto d uma população formado plos lmntos rlativamnt aos quais são rcolhidos dados, dsignados por «unidads statísticas», por «dimnsão da amostra» o númro d unidads statísticas prtncnts à amostra. 5. Rprsntar um conjunto d dados num «gráfico circular» dividindo um círculo m stors circulars sucssivamnt adjacnts, associados rsptivamnt às difrnts catgorias/classs d dados, d modo qu as amplituds dos stors sjam dirtamnt proporcionais às frquências rlativas das catgorias/classs corrspondnts. 6. Rprsntar um msmo conjunto d dados utilizando várias rprsntaçõs gráficas, slcionando a mais lucidativa d acordo com a informação qu s prtnd transmitir. 2. Rsolvr problmas 1. Rsolvr problmas nvolvndo a anális d dados rprsntados d difrnts formas. 2. Rsolvr problmas nvolvndo a anális d um conjunto d dados a partir da rsptiva média, moda amplitud. OTD6 Página 46

82 3.º ciclo Litura das Mtas Curriculars do 3.º ciclo «Idntificar», «dsignar»: O aluno dv utilizar corrtamnt a dsignação rfrida, sabndo dfinir o concito aprsntado como s indica ou d forma quivalnt. «Rconhcr»: Prtnd-s qu o aluno consiga aprsntar uma argumntação cornt ainda qu vntualmnt mais informal do qu a xplicação forncida plo profssor. Dv no ntanto sabr justificar isoladamnt os divrsos passos utilizados nssa xplicação. «Rconhcr, dado,»: Prtnd-s qu o aluno justifiqu o nunciado m casos concrtos, sm qu s xija qu o prov com toda a gnralidad. «Sabr»: Prtnd-s qu o aluno conhça o rsultado, mas sm qu lh sja xigida qualqur justificação ou vrificação concrta. «Provar», «Dmonstrar»: Prtnd-s qu o aluno aprsnt uma dmonstração matmática tão rigorosa quanto possívl. «Estndr»: Est vrbo é utilizado m duas situaçõs distintas. Em alguns casos, para stndr a um conjunto mais vasto uma dfinição já conhcida; nss caso o aluno dv sabr dfinir o concito como s indica, ou d forma quivalnt, rconhcndo qu s trata d uma gnralização. Noutros casos, trata-s da xtnsão d uma propridad a um univrso mais alargado; do ponto d vista do dsmpnho do aluno pod ntndr-s como o vrbo «rconhcr» com um dos dois significados acima dscritos. «Justificar»: O aluno dv sabr justificar d forma simpls o nunciado, vocando uma propridad já conhcida. 3.º ciclo Página 47

83 7.º ANO Númros Opraçõs NO7 Númros racionais 1. Multiplicar dividir númros racionais rlativos 1. Provar, a partir da caratrização algébrica (a soma dos simétricos é nula), qu o simétrico da soma d dois númros racionais é igual à soma dos simétricos qu o simétrico da difrnça é igual à soma do simétrico do aditivo com o subtrativo:. 2. Estndr dos racionais não ngativos a todos os racionais a idntificação do produto d um númro natural por um númro como a soma d parclas iguais a, rprsntá-lo por por, rconhcr qu. 3. Estndr dos racionais não ngativos a todos os racionais a idntificação do quocint ntr um númro um númro natural como o númro racional cujo produto por é igual a rprsntá-lo por por rconhcr qu. 4. Estndr dos racionais não ngativos a todos os racionais a idntificação do produto d um númro por (ond são númros naturais) como o quocint por do produto d por, rprsntá-lo por rconhcr qu. Estndr dos racionais não ngativos a todos os racionais a idntificação do produto d por um númro como o rsptivo simétrico rprsntá-lo por por. Idntificar, dados dois númros racionais positivos, o produto como, comçando por obsrvar qu. Sabr qu o produto d dois quaisqur númros racionais é o númro racional cujo valor absoluto é igual ao produto dos valors absolutos dos fators, sndo o sinal positivo s os fators tivrm o msmo sinal ngativo no caso contrário, vrificando sta propridad m xmplos concrtos. Estndr dos racionais não ngativos a todos os racionais a idntificação do quocint ntr um númro (o dividndo) um númro não nulo (o divisor) como o númro racional cujo produto plo divisor é igual ao dividndo rconhcr qu. 9. Sabr qu o quocint ntr um númro racional um númro racional não nulo é o númro racional cujo valor absoluto é igual ao quocint dos valors absolutos, sndo o sinal positivo s sts númros tivrm o msmo sinal ngativo no caso contrário, vrificando sta propridad m xmplos concrtos. NO7 Página 48

84 Gomtria Mdida GM7 Alfabto grgo 1. Conhcr o alfabto grgo 1. Sabr nomar rprsntar as ltras grgas minúsculas. Figuras Gométricas 2. Classificar construir quadrilátros 1. Idntificar uma «linha poligonal» como uma squência d sgmntos d rta num dado plano, dsignados por «lados», tal qu pars d lados conscutivos partilham um xtrmo, lados qu s intrstam não são colinars não há mais do qu dois lados partilhando um xtrmo, dsignar por «vértics» os xtrmos comuns a dois lados utilizar corrtamnt o trmo «xtrmidads da linha poligonal». 2. Idntificar uma linha poligonal como «fchada» quando as xtrmidads coincidm. 3. Idntificar uma linha poligonal como «simpls» quando os únicos pontos comuns a dois lados são vértics. 4. Rconhcr informalmnt qu uma linha poligonal fchada simpls dlimita no plano duas rgiõs disjuntas, sndo uma dlas limitada dsignada por «part intrna» a outra ilimitada dsignada por «part xtrna» da linha. 5. Idntificar um «polígono simpls», ou apnas «polígono», como a união dos lados d uma linha poligonal fchada simpls com a rsptiva part intrna, dsignar por «vértics» «lados» do polígono rsptivamnt os vértics os lados da linha poligonal, por «intrior» do polígono a part intrna da linha poligonal, por «xtrior» do polígono a part xtrna da linha poligonal por «frontira» do polígono a união dos rsptivos lados, utilizar corrtamnt as xprssõs «vértics conscutivos» «lados conscutivos». ], [ ],,[ ]. 6. Dsignar por [ ] o polígono d lados [ 7. Idntificar um «quadrilátro simpls» como um polígono simpls com quatro lados, dsignando-o também por «quadrilátro» quando sta simplificação d linguagm não for ambígua, utilizar corrtamnt, nst contxto, o trmo «lados opostos». 8. Idntificar um «ângulo intrno» d um polígono como um ângulo d vértic coincidnt com um vértic do polígono, d lados contndo os lados do polígono qu s ncontram nss vértic, tal qu um stor circular dtrminado por ss ângulo stá contido no polígono utilizar corrtamnt, nst contxto, os trmos «ângulos adjacnts» a um lado. 9. Dsignar um polígono por «convxo» quando qualqur sgmnto d rta qu un dois pontos do polígono stá nl contido por «côncavo» no caso contrário. GM7 Página 49

85 10. Sabr qu um polígono é convxo quando ( apnas quando) os ângulos intrnos são todos convxos qu, nst caso, o polígono é igual à intrsção dos rsptivos ângulos intrnos. 11. Idntificar um «ângulo xtrno» d um polígono convxo como um ângulo suplmntar adjacnt a um ângulo intrno do polígono. 12. Dmonstrar qu a soma dos ângulos intrnos d um quadrilátro é igual a um ângulo giro. 13. Rconhcr, dado um polígono, qu a soma das mdidas das amplituds, m graus, dos rsptivos ângulos intrnos é igual ao produto d plo númro d lados diminuído d duas unidads, s o polígono for convxo, qu, associando a cada ângulo intrno um xtrno adjacnt, a soma dsts é igual a um ângulo giro. 14. Dsignar por «diagonal» d um dado polígono qualqur sgmnto d rta qu un dois vértics não conscutivos. 15. Rconhcr qu um quadrilátro tm xatamnt duas diagonais sabr qu as diagonais d um quadrilátro convxo s intrstam num ponto qu é intrior ao quadrilátro. 16. Rconhcr qu um quadrilátro é um parallogramo quando ( apnas quando) as diagonais s bisstam. 17. Rconhcr qu um parallogramo é um rtângulo quando ( apnas quando) as diagonais são iguais. 18. Rconhcr qu um parallogramo é um losango quando ( apnas quando) as diagonais são prpndiculars. 19. Idntificar um «papagaio» como um quadrilátro qu tm dois pars d lados conscutivos iguais rconhcr qu um losango é um papagaio. 20. Rconhcr qu as diagonais d um papagaio são prpndiculars. 21. Idntificar «trapézio» como um quadrilátro simpls com dois lados parallos (dsignados por «bass») justificar qu um parallogramo é um trapézio. 22. Dsignar um trapézio com dois lados opostos não parallos por «trapézio isóscls» quando sss lados são iguais por «trapézio scalno» no caso contrário. 23. Dsignar um trapézio por «trapézio rtângulo» quando tm um lado prpndicular às bass. 24. Dmonstrar qu todo o trapézio com bass iguais é um parallogramo. GM7 Página 50

86 3. Rsolvr problmas 1. Rsolvr problmas nvolvndo congruências d triângulos propridads dos quadrilátros, podndo incluir dmonstraçõs gométricas. Parallismo, congruência smlhança 4. Idntificar construir figuras congrunts smlhants 1. Idntificar duas figuras gométricas como «isométricas» ou «congrunts» quando é possívl stablcr ntr os rsptivos pontos uma corrspondência um a um d tal modo qu pars d pontos corrspondnts são quidistants dsignar uma corrspondência com sta propridad por «isomtria». 2. Idntificar duas figuras gométricas como «smlhants» quando é possívl stablcr ntr os rsptivos pontos uma corrspondência um a um d tal modo qu as distâncias ntr pars d pontos corrspondnts são dirtamnt proporcionais, dsignar a rsptiva constant d proporcionalidad por «razão d smlhança», uma corrspondência com sta propridad por «smlhança» justificar qu as isomtrias são as smlhanças d razão. 3. Sabr qu toda a figura smlhant a um polígono é um polígono com o msmo númro d vértics qu toda a smlhança associada faz corrspondr aos vértics aos lados d um rsptivamnt os vértics os lados do outro. 4. Sabr qu dois polígonos convxos são smlhants quando ( apnas quando) s pod stablcr uma corrspondência ntr os vértics d um do outro d tal modo qu os comprimntos dos lados das diagonais do sgundo s obtêm multiplicando os comprimntos dos corrspondnts lados das diagonais do primiro por um msmo númro. 5. Dcompor um dado triângulo m dois triângulos um parallogramo traçando as duas rtas qu passam plo ponto médio d um dos lados são rsptivamnt parallas a cada um dos dois outros, justificar qu os dois triângulos da dcomposição são iguais concluir qu todos os lados do triângulo inicial ficam assim bisstados. ], qu s uma rta intrstar o 6. Rconhcr, dado um triângulo [ sgmnto [ ] no ponto médio o sgmnto [ ] no ponto, qu quando ( apnas quando) é paralla a qu, nss caso,. 7. Enunciar o Torma d Tals dmonstrar as condiçõs d proporcionalidad nl nvolvidas por argumntos gométricos m xmplos com constants d proporcionalidad racionais. 8. Rconhcr qu dois triângulos são smlhants quando os comprimntos dos lados d um são dirtamnt proporcionais aos comprimntos dos lados corrspondnts do outro dsignar sta propridad por «critério LLL d smlhança d triângulos». 9. Rconhcr, utilizando o torma d Tals, qu dois triângulos são smlhants quando os comprimntos d dois lados d um são dirtamnt proporcionais aos comprimntos d dois dos lados do outro os ângulos por ls formados m cada triângulo são iguais dsignar sta propridad por «critério LAL d smlhança d triângulos». 10. Rconhcr, utilizando o torma d Tals, qu dois triângulos são smlhants quando dois GM7 Página 51

87 ângulos intrnos d um são iguais a dois dos ângulos intrnos do outro dsignar sta propridad por «critério AA d smlhança d triângulos». Rconhcr, utilizando o torma d Tals, qu dois triângulos smlhants têm os ângulos corrspondnts iguais. Rconhcr qu dois quaisqur círculos são smlhants, com razão d smlhança igual ao quocint dos rsptivos raios. Sabr qu dois polígonos são smlhants quando ( apnas quando) têm o msmo númro d lados xist uma corrspondência ntr ls tal qu os comprimntos dos lados do sgundo são dirtamnt proporcionais aos comprimntos dos lados do primiro os ângulos intrnos formados por lados corrspondnts são iguais rconhcr sta propridad m casos concrtos por triangulaçõs. Dividir, dado um númro natural, um sgmnto d rta m sgmntos d igual comprimnto utilizando régua compasso, com ou sm squadro. 5. Construir rconhcr propridads d homottias 1. Idntificar, dado um ponto um númro racional positivo, a «homottia d cntro razão» como a corrspondência qu a um ponto associa o ponto da smirrta tal qu. 2. Idntificar, dado um ponto um númro racional ngativo, a «homottia d cntro razão» como a corrspondência qu a um ponto associa o ponto da smirrta oposta a tal qu. 3. Utilizar corrtamnt os trmos «homottia dirta», «homottia invrsa», «ampliação», «rdução» «figuras homotéticas». 4. Rconhcr qu duas figuras homotéticas são smlhants, sndo a razão d smlhança igual ao módulo da razão da homottia. 5. Construir figuras homotéticas utilizando quadrículas ou utilizando régua compasso. 6. Rsolvr problmas 1. Rsolvr problmas nvolvndo smlhanças d triângulos homottias, podndo incluir dmonstraçõs gométricas. Mdida 7. Mdir comprimntos d sgmntos d rta com difrnts unidads 1. Rconhcr, fixada uma unidad d comprimnto, um sgmnto d rta [ ] d mdida um sgmnto d rta [ ] d mdida, qu a mdida d [ ] tomando o comprimnto d [ ] para unidad d mdida é igual a. 2. Rconhcr qu o quocint ntr as mdidas d comprimnto d dois sgmntos d rta s mantém quando s altra a unidad d mdida considrada. 3. Dsignar dois sgmntos d rta por «comnsurávis» quando xist uma unidad d comprimnto tal qu a mdida d ambos é xprssa por númros intiros. 4. Rconhcr qu s xistir uma unidad d comprimnto tal qu a hipotnusa os cattos d um triângulo rtângulo isóscls têm mdidas naturais rsptivamnt iguais a a ntão GM7 Página 52

88 , dcompondo o triângulo m dois triângulos a l smlhants pla altura rlativa à hipotnusa, utilizar o Torma fundamntal da aritmética para mostrar qu não xistm númros naturais nssas condiçõs, mostrando qu o xpont d na dcomposição m númros primos do númro natural tria d sr simultanamnt par ímpar. 5. Justificar qu a hipotnusa um catto d um triângulo rtângulo isóscls não são comnsurávis dsignar sgmntos d rta com sta propridad por «incomnsurávis». 6. Rconhcr qu dois sgmntos d rta são comnsurávis quando ( apnas quando), tomando um dls para unidad d comprimnto, xist um númro racional positivo tal qu a mdida do outro é igual a. 8. Calcular mdidas d áras d quadrilátros 1. Provar, fixada uma unidad d comprimnto, qu a ára d um papagaio (, m particular, d um losango), com diagonais d comprimntos unidads, é igual a unidads quadradas. 2. Idntificar a «altura» d um trapézio como a distância ntr as rtas suport das bass. 3. Rconhcr, fixada uma unidad d comprimnto, qu a ára d um trapézio d bass d comprimntos unidads altura unidads é igual a unidads quadradas. 9. Rlacionar prímtros áras d figuras smlhants 1. Provar, dados dois polígonos smlhants ou dois círculos qu o prímtro do sgundo é igual ao prímtro do primiro multiplicado pla razão da smlhança qu transforma o primiro no sgundo. 2. Provar qu dois quadrados são smlhants qu a mdida da ára do sgundo é igual à mdida da ára do primiro multiplicada plo quadrado da razão da smlhança qu transforma o primiro no sgundo. 3. Sabr, dadas duas figuras planas smlhants, qu a mdida da ára da sgunda é igual à mdida da ára da primira multiplicada plo quadrado da razão da smlhança qu transforma a primira na sgunda. 10. Rsolvr problmas 1. Rsolvr problmas nvolvndo o cálculo d prímtros áras d figuras smlhants. GM7 Página 53

89 Funçõs, Squências Sucssõs FSS7 Funçõs 1. Dfinir funçõs 1. Sabr, dados conjuntos, qu fica dfinida uma «função (ou aplicação) d m», quando a cada lmnto d s associa um lmnto único d rprsntado por utilizar corrtamnt os trmos «objto», «imagm», «domínio», «conjunto d chgada» «variávl». 2. Dsignar uma função d m por ou por quando sta notação simplificada não for ambígua. 3. Sabr qu duas funçõs são iguais ( quando ( apnas quando) têm o msmo domínio o msmo conjunto d chgada cada lmnto do domínio tm a msma imagm por. 4. Dsignar, dada uma função, por «contradomínio d» o conjunto das imagns por dos lmntos d rprsntá-lo por, ou. 5. Rprsntar por o «par ordnado» d «primiro lmnto» «sgundo lmnto». 6. Sabr qu pars ordnados são iguais quando ( apnas quando). 7. Idntificar o gráfico d uma função como o conjunto dos pars ordnados com dsignar nst contxto por «variávl indpndnt» por «variávl dpndnt». 8. Dsignar uma dada função por «função numérica» (rsptivamnt «função d variávl numérica») quando (rsptivamnt ) é um conjunto d númros. 9. Idntificar, fixado um rfrncial cartsiano num plano, o «gráfico cartsiano» d uma dada função numérica d variávl numérica como o conjunto 𝐺 constituído plos pontos do plano cuja ordnada é a imagm por da abcissa dsignar o gráfico cartsiano por «gráfico d» quando sta idntificação não for ambígua a xprssão por «quação d 𝐺». 10. Idntificar rprsntar funçõs com domínios conjuntos d chgada finitos m diagramas d stas, tablas gráficos cartsianos m contxtos variados. 2. Oprar com funçõs 1. Idntificar a soma d funçõs numéricas com um dado domínio conjunto d chgada como a função d msmo domínio conjunto d chgada tal qu a imagm d cada é a soma das imagns procdr d forma análoga para subtrair, multiplicar lvar funçõs a um xpont natural. 2. Eftuar opraçõs com funçõs d domínio finito dfinidas por tablas, diagramas d stas ou gráficos cartsianos. 3. Dsignar, dado um númro racional, por «função constant igual a» a função tal qu para cada dsignar as funçõs com sta propridad por «funçõs constants» ou apnas «constants» quando sta dsignação não for ambígua. 4. Dsignar por «função linar» uma função para a qual xist um númro racional tal qu, para todo o, dsignando sta xprssão por «forma canónica» da função linar por «coficint d». 5. Idntificar uma função afim como a soma d uma função linar com uma constant dsignar por «forma canónica» da função afim a xprssão, ond é o coficint da função linar o valor da constant, dsignar por «coficint d» por «trmo indpndnt». FSS7 Página 54

90 6. Provar qu o produto por constant, a soma a difrnça d funçõs linars são funçõs linars d coficints rsptivamnt iguais ao produto pla constant, à soma à difrnça dos coficints das funçõs dadas. 7. Dmonstrar qu o produto por constant, a soma a difrnça d funçõs afins são funçõs afins d coficints da variávl trmos indpndnts rsptivamnt iguais ao produto pla constant, à soma à difrnça dos coficints dos trmos indpndnts das funçõs dadas. 8. Idntificar funçõs linars afins rduzindo as xprssõs dadas para ssas funçõs à forma canónica. 3. Dfinir funçõs d proporcionalidad dirta 1. Rconhcr, dada uma grandza dirtamnt proporcional a outra, qu, fixadas unidads, a «função d proporcionalidad dirta» qu associa à mdida da sgunda a corrspondnt mdida da primira satisfaz, para todo o númro positivo, (ao multiplicar a mdida da sgunda por um dado númro positivo, a mdida da primira fica também multiplicada por ss númro), considrando, qu é igual, no su domínio, a uma função linar d coficint. 2. Rconhcr, dada uma grandza dirtamnt proporcional a outra, qu a constant d proporcionalidad é igual ao coficint da rsptiva função d proporcionalidad dirta. 3. Rconhcr qu uma função numérica positiva dfinida para valors positivos é d proporcionalidad dirta quando ( apnas quando) é constant o quocint ntr, para qualqur prtncnt ao domínio d. 4. Rsolvr problmas 1. Rsolvr problmas nvolvndo funçõs d proporcionalidad dirta m divrsos contxtos. 5. Dfinir squências sucssõs 1. Idntificar, dado um númro natural, uma «squência d lmntos» como uma função d domínio utilizar corrtamnt a xprssão «trmo d ordm da squência» «trmo gral da squência». 2. Idntificar uma «sucssão» como uma função d domínio, dsignando por a imagm do númro natural por utilizar corrtamnt a xprssão «trmo d ordm da sucssão» «trmo gral da sucssão». 3. Rprsntar, num plano munido d um rfrncial cartsiano, gráficos d squências. 6. Rsolvr problmas 1. Rsolvr problmas nvolvndo squências sucssõs os rsptivos trmos grais. FSS7 Página 55

91 Álgbra ALG7 Exprssõs algébricas 1. Estndr a potnciação conhcr as propridads das opraçõs 1. Estndr dos racionais não ngativos a todos os racionais as propridads associativa comutativa da adição da multiplicação as propridads distributivas da multiplicação rlativamnt à adição à subtração. 2. Estndr dos racionais não ngativos a todos os racionais, a idntificação do do como os lmntos nutros rsptivamnt da adição da multiplicação d númros, do como lmnto absorvnt da multiplicação d dois númros como «invrsos» um do outro quando o rsptivo produto for igual a. 3. Estndr dos racionais não ngativos a todos os racionais o rconhcimnto d qu o invrso d um dado númro não nulo é igual a, o invrso do produto é igual ao produto dos invrsos, o invrso do quocint é igual ao quocint dos invrsos d qu, dados númros,, ( não nulos), (, não nulos). 4. Estndr dos racionais não ngativos a todos os racionais a dfinição as propridads prviamnt studadas das potências d xpont natural d um númro. 5. Rconhcr, dado um númro racional um númro natural, qu s for par s for ímpar. 6. Rconhcr, dado um númro racional não nulo um númro natural, qu a potência é positiva quando é par tm o sinal d quando é ímpar. 7. Simplificar calcular o valor d xprssõs numéricas nvolvndo as quatro opraçõs aritméticas, a potnciação a utilização d parêntss. Raízs quadradas cúbicas 2. Oprar com raízs quadradas cúbicas racionais 1. Sabr, dados dois númros racionais positivos com, qu, vrificando sta propridad m xmplos concrtos, considrando dois quadrados d lados com mdida d comprimnto rsptivamnt iguais a m dtrminada unidad, o sgundo obtido do primiro por prolongamnto dos rsptivos lados. 2. Sabr, dados dois númros racionais positivos com, qu, vrificando sta propridad m xmplos concrtos, considrando dois cubos d arstas com mdida d comprimnto rsptivamnt iguais m dtrminada unidad, o sgundo obtido do primiro por prolongamnto das rsptivas arstas. 3. Dsignar por «quadrados prfitos» (rsptivamnt «cubos prfitos») os quadrados (rsptivamnt cubos) dos númros intiros não ngativos construir tablas d quadrados cubos prfitos. 4. Rconhcr, dado um quadrado prfito não nulo ou, mais gralmnt, um númro racional igual ao quocint d dois quadrados prfitos não nulos, qu xistm xatamnt dois númros racionais, simétricos um do outro, cujo quadrado é igual a, dsignar o qu é positivo por «raiz quadrada d» rprsntá-lo por. ALG7 Página 56

92 5. Rconhcr qu é o único númro racional cujo quadrado é igual a, dsigná-lo por «raiz quadrada d» rprsntá-lo por. 6. Provar, utilizando a dfinição d raiz quadrada, qu para quaisqur quocints d quadrados prfitos, qu também o são (para ) rsptivamnt iguais a (para ), qu. 7. Rconhcr, dado um cubo prfito ou, mais gralmnt, um númro racional igual ao quocint d dois cubos prfitos ou ao rsptivo simétrico, qu xist um único númro racional cujo cubo é igual a, dsigná-lo por «raiz cúbica d» rprsntá-lo por. 8. Provar, utilizando a dfinição d raiz cúbica, qu para quaisqur rsptivamnt iguais a quocints ou a simétricos d quocints d cubos prfitos não nulos, qu também o são (para ), qu, (para ). 9. Dtrminar, na forma fracionária ou como dízimas, raízs quadradas (rsptivamnt cúbicas) d númros racionais qu possam sr rprsntados como quocints d quadrados prfitos (rsptivamnt quocints ou simétrico d quocints d cubos prfitos) por inspção d tablas d quadrados (rsptivamnt cubos) prfitos. 10. Rconhcr, dado um númro racional rprsntado como dízima tal qu dslocando a vírgula duas (rsptivamnt três) casas dcimais para a dirita obtmos um quadrado (rsptivamnt cubo) prfito, qu é possívl rprsntá-lo como fração dcimal cujos trmos são quadrados (rsptivamnt cubos) prfitos dtrminar a rprsntação dcimal da rsptiva raiz quadrada (rsptivamnt cúbica). 11. Dtrminar as rprsntaçõs dcimais d raízs quadradas (rsptivamnt cúbicas) d númros racionais rprsntados na forma d dízimas, obtidas por dslocamnto da vírgula para a squrda um númro par d casas dcimais (rsptivamnt um númro d casas dcimais qu sja múltiplo d três) m rprsntaçõs dcimais d númros rtirados da coluna d rsultados d tablas d quadrados (rsptivamnt cubos) prfitos. Equaçõs algébricas 3. Rsolvr quaçõs do 1.º grau 1. Idntificar, dadas duas funçõs, uma «quação» com uma «incógnita» como uma xprssão da forma, dsignar, nst contxto, por «primiro mmbro da quação», por «sgundo mmbro da quação», qualqur tal qu por «solução» da quação o conjunto das soluçõs por «conjunto-solução». 2. Dsignar uma quação por «impossívl» quando o conjunto-solução é vazio por «possívl» no caso contrário. 3. Idntificar duas quaçõs como «quivalnts» quando tivrm o msmo conjunto-solução utilizar corrtamnt o símbolo. 4. Idntificar uma quação como «numérica» quando são funçõs numéricas, rconhcr qu s obtém uma quação quivalnt adicionando ou subtraindo um msmo númro a ambos os mmbros, ou multiplicando-os ou dividindo-os por um msmo númro não nulo dsignar stas propridads por «princípios d quivalência». 5. Dsignar por «quação linar com uma incógnita» ou simplsmnt «quação linar» qualqur quação» tal qu são funçõs afins. ALG7 Página 57

93 6. Simplificar ambos os mmbros da quação aplicar os princípios d quivalência para mostrar qu uma dada quação linar é quivalnt a uma quação m qu o primiro mmbro é dado por uma função linar o sgundo mmbro é constant ). 7. Provar, dados númros racionais, qu a quação é impossívl s, qu qualqur númro é solução s (quação linar possívl indtrminada), qu s a única solução é o númro racional (quação linar possívl dtrminada) dsignar uma quação linar dtrminada por «quação algébrica d 1.º grau». 8. Rsolvr quaçõs linars distinguindo as qu são impossívis das qu são possívis ntr stas as qu são dtrminadas ou indtrminadas, aprsntar a solução d uma quação algébrica d 1.º grau na forma d fração irrdutívl ou numral misto ou na forma d dízima com uma aproximação solicitada. 4. Rsolvr problmas 1. Rsolvr problmas nvolvndo quaçõs linars. ALG7 Página 58

94 Organização Tratamnto d Dados OTD7 Mdidas d localização 1. Rprsntar, tratar analisar conjuntos d dados 1. Construir, considrado um conjunto d dados numéricos, uma squência crscnt m sntido lato rptindo cada valor um númro d vzs igual à rsptiva frquência absoluta, dsignando-a por «squência ordnada dos dados» ou simplsmnt por «dados ordnados». 2. Idntificar, dado um conjunto d dados numéricos, a «mdiana» como o valor cntral no caso d sr ímpar (valor do lmnto d ordm da squência ordnada dos dados), ou como a média aritmética dos dois valors cntrais (valors dos lmntos d ordns da squência ordnada dos dados) no caso d sr par rprsntar a mdiana por ou «. 3. Dtrminar a mdiana d um conjunto d dados numéricos. 4. Rconhcr, considrado um conjunto d dados numéricos, qu plo mnos mtad dos dados têm valors não supriors à mdiana. 5. Dsignar por «mdidas d localização» a média, a moda a mdiana d um conjunto d dados. 2. Rsolvr problmas 1. Rsolvr problmas nvolvndo a anális d dados rprsntados m tablas d frquência, diagramas d caul--folhas, gráficos d barras gráficos circulars. OTD7 Página 59

95 8.º ANO Númros Opraçõs NO8 Dízimas finitas infinitas priódicas 1. Rlacionar númros racionais dízimas 1. Rconhcr, dada uma fração irrdutívl, qu sta é quivalnt a uma fração dcimal quando ( apnas quando) não tm fators primos difrnts d d, nss caso, obtr a rsptiva rprsntação como dízima por dois procssos: dtrminando uma fração dcimal quivalnt, multiplicando numrador dnominador por potências d d adquadas, utilizando o algoritmo da divisão. 2. Rconhcr, dada uma fração própria irrdutívl difrnt d NO8 tm plo mnos um fator primo d, qu a aplicação do algoritmo da divisão à dtrminação sucssiva dos algarismos da aproximação d 3. tal qu como dízima com rro progrssivamnt mnor conduz, a partir d crta ordm, à rptição indfinida d uma squência d algarismos com mnos d trmos, a partir do algarismo corrspondnt ao primiro rsto parcial rptido. Utilizar corrtamnt os trmos «dízima finita», «dízima infinita priódica» (rprsntando númros racionais nssas formas), «príodo d uma dízima» «comprimnto do príodo» (dtrminando-os m casos concrtos). Sabr qu o algoritmo da divisão nunca conduz a dízimas infinitas priódicas d príodo igual a. Rprsntar uma dízima infinita priódica como fração, rconhcndo qu é uma dízima finita a difrnça dss númro para o rsptivo produto por uma potência d bas d xpont igual ao comprimnto do príodo da dízima utilizar st procsso para mostrar qu. Sabr qu s pod stablcr uma corrspondência um a um ntr o conjunto das dízimas finitas infinitas priódicas com príodo difrnt d o conjunto dos númros racionais. Eftuar a dcomposição dcimal d uma dízima finita utilizando potências d bas 10 xpont intiro. Rprsntar númros racionais m notação cintífica com uma dada aproximação. Ordnar númros racionais rprsntados por dízimas finitas ou infinitas priódicas ou m notação cintífica. Dtrminar a soma, difrnça, produto quocint d númros racionais rprsntados m notação cintífica. Idntificar uma dízima infinita não priódica como a rprsntação dcimal d um númro intiro sguido d uma vírgula d uma sucssão d algarismos qu não corrspond a uma dízima infinita priódica. Rprsntar na rta numérica númros racionais rprsntados na forma d dízima convrtndo-a m fração utilizando uma construção gométrica para dcompor um sgmnto d rta m parts iguais. Página 60

96 Dízimas infinitas não priódicas númros rais 2. Compltar a rta numérica 1. Rconhcr qu um ponto da rta numérica à distância da origm igual ao comprimnto da diagonal d um quadrado d lado 1 não pod corrspondr a um númro racional dsignar os pontos com sta propridad por «pontos irracionais». 2. Rconhcr, dado um ponto da smirrta numérica positiva qu não corrsponda a uma dízima finita, qu xistm pontos d abcissa dada por uma dízima finita tão próximos d quanto s prtnda, justapondo sgmntos d rta d mdida a partir da origm tal qu stja situado ntr os pontos d abcissa, justapondo m sguida, a partir do ponto d abcissa, sgmntos d mdida tal qu stja situado ntr os pontos d abcissa continuando st procsso com sgmntos d mdida,,... associar a a dízima. Sabr, dado um ponto da smirrta numérica positiva, qu a dízima associada a é, no caso d não sr um ponto irracional, a rprsntação na forma d dízima da abcissa d. Rconhcr qu cada ponto irracional da smirrta numérica positiva stá associado a uma dízima infinita não priódica intrprtá-la como rprsntação d um númro, dito «númro irracional», mdida da distância ntr o ponto a origm. Rconhcr qu o simétrico rlativamnt à origm d um ponto irracional da smirrta numérica positiva, d abcissa é um ponto irracional rprsntá-lo plo «númro irracional ngativo». Dsignar por «conjunto dos númros rais» a união do conjunto dos númros racionais com o conjunto dos númros irracionais dsigná-lo por. Sabr qu as quatro opraçõs dfinidas sobr os númros racionais, a potnciação d xpont intiro a raiz cúbica s podm stndr aos rais, assim como a raiz quadrada a todos os rais não ngativos, prsrvando as rsptivas propridads algébricas, assim como as propridads nvolvndo proporçõs ntr mdidas d sgmntos. 8. Rconhcr qu é um númro irracional sabr qu (sndo um númro natural) é um númro irracional s não for um quadrado prfito. 9. Utilizar o Torma d Pitágoras para construir gomtricamnt radicais d númros naturais rprsntá-los na rta numérica. 10. Sabr qu é um númro irracional. 3. Ordnar númros rais 1. Estndr aos númros rais a ordm stablcida para os númros racionais utilizando a rprsntação na rta numérica, rconhcndo as propridads «transitiva» «tricotómica» da rlação d ordm. 2. Ordnar dois númros rais rprsntados na forma d dízima comparando squncialmnt os algarismos da maior para a mnor ordm. NO8 Página 61

97 Gomtria Mdida GM8 Torma d Pitágoras 1. Rlacionar o torma d Pitágoras com a smlhança d triângulos 1. Dmonstrar, dado um triângulo [ ] rtângulo m, qu a altura [ dois triângulos a l smlhants, tndo-s ] divid o triângulo m. ] rtângulo m d altura [ ], 2. Rconhcr, dado um triângulo [,,,, qu os comprimntos satisfazm as igualdads concluir qu a soma dos quadrados das mdidas dos cattos é igual ao quadrado da mdida da hipotnusa dsignar sta proposição por «Torma d Pitágoras». 3. Rconhcr qu um triângulo d mdida d lados, tais qu é rtângulo no vértic oposto ao lado d mdida dsignar sta propridad por «rcíproco do Torma d Pitágoras». 2. Rsolvr problmas 1. Rsolvr problmas gométricos nvolvndo a utilização dos tormas d Pitágoras d Tals. 2. Rsolvr problmas nvolvndo a dtrminação d distâncias dsconhcidas por utilização dos tormas d Pitágoras d Tals. Vtors, translaçõs isomtrias 3. Construir rconhcr propridads das translaçõs do plano 1. Idntificar sgmntos orintados como tndo «a msma dirção» quando as rsptivas rtas suports form parallas ou coincidnts. ] [ ] como tndo «a 2. Idntificar sgmntos orintados [ msma dirção sntido» ou simplsmnt «o msmo sntido» quando as smirrtas tivrm o msmo sntido como tndo «sntidos opostos» quando tivrm a msma dirção mas não o msmo sntido. ] d 3. Idntificar, dado um ponto, o sgmnto d rta [ ] o sgmnto orintado [ xtrmos ambos iguais a como o próprio ponto idntificar, dada uma qualqur unidad d comprimnto, o comprimnto d [ ] a distância d a l próprio como unidads, ] tm dirção sntido indfinidos. considrar qu o sgmnto orintado [ ] o comprimnto do sgmnto d rta 4. Dsignar por comprimnto do sgmnto orintado [ [ ], ou sja, a distância ntr as rsptivas origm xtrmidad. 5. Idntificar sgmntos orintados como «quipolnts» quando tivrm a msma ] dirção, sntido comprimnto rconhcr qu os sgmntos orintados [ ] d rtas suports distintas são quipolnts quando ( apnas quando) [ [ ] é um parallogramo. GM8 Página 62

98 6. Sabr qu um «vtor» fica dtrminado por um sgmnto orintado d tal modo qu sgmntos orintados quipolnts dtrminam o msmo vtor sgmntos orintados não quipolnts dtrminam vtors distintos, dsignar sss sgmntos orintados por «rprsntants» do vtor utilizar corrtamnt os trmos «dirção», «sntido» «comprimnto» d um vtor. ] por. 7. Rprsntar o vtor dtrminado plo sgmnto orintado [ 8. Dsignar por «vtor nulo» o vtor dtrminado plos sgmntos orintados d xtrmos iguais rprsntá-lo por. 9. Idntificar dois vtors não nulos como «colinars» quando têm a msma dirção como «simétricos» quando têm o msmo comprimnto, a msma dirção sntidos opostos, convncionar qu o vtor nulo é colinar a qualqur outro vtor simétrico dl próprio rprsntar por o simétrico d um vtor. 10. Rconhcr, dado um ponto um vtor, qu xist um único ponto tal qu dsigná-lo por. 11. Idntificar a «translação d vtor» como a aplicação qu a um ponto associa o ponto dsignar a translação a imagm d rsptivamnt por por 12. Idntificar, dados vtors, a «composta da translação com a translação» como a aplicação qu consist m aplicar a um ponto a translação, d sguida, a translação ao ponto obtido. 13. Rprsntar por a composta da translação com a translação rconhcr, dado um ponto, qu. 14. Rconhcr qu é uma translação d vtor tal qu s dsignando por a xtrmidad do rprsntant d ), ntão d origm ( («rgra do triângulo»). dsignar por 15. Rconhcr qu s podm adicionar dois vtors através da «rgra do parallogramo». 16. Justificar, dado um ponto vtors, qu. 17. Rconhcr, dados vtors,, qu,, dsignar stas propridads rsptivamnt por comutatividad, xistência d lmnto nutro (vtor nulo), xistência d simétrico para cada vtor associatividad da adição d vtors. 18. Dmonstrar qu as translaçõs são isomtrias qu prsrvam também a dirção o sntido dos sgmntos orintados. 19. Sabr qu as translaçõs são as únicas isomtrias qu mantêm a dirção o sntido d qualqur sgmnto orintado ou smirrta. 20. Idntificar, dada uma rflxão d ixo um vtor com a dirção da rta, a «composta da translação com a rflxão» como a aplicação qu consist m aplicar a um ponto a rflxão, m sguida, a translação ao ponto assim obtido dsignar sta aplicação por «rflxão dslizant d ixo vtor». GM8 Página 63

99 21. Sabr qu as imagns d rtas, smirrtas ângulos por uma isomtria são rsptivamnt rtas, smirrtas ângulos, transformando origns m origns, vértics m vértics lados m lados. 22. Dmonstrar qu as isomtrias prsrvam a amplitud dos ângulos sabr qu as únicas isomtrias do plano são as translaçõs, rotaçõs, rflxõs axiais rflxõs dslizants. 4. Rsolvr problmas 1. Rsolvr problmas nvolvndo as propridads das isomtrias utilizando raciocínio ddutivo. 2. Rsolvr problmas nvolvndo figuras com simtrias d translação, rotação, rflxão axial rflxão dslizant. GM8 Página 64

100 Funçõs, Squências Sucssõs FSS8 Gráficos d funçõs afins 1. Idntificar as quaçõs das rtas do plano 1. Dmonstrar, utilizando o torma d Tals, qu as rtas não vrticais num dado plano qu passam pla origm d um rfrncial cartsiano nl fixado são os gráficos das funçõs linars justificar qu o coficint d uma função linar é igual à ordnada do ponto do gráfico com abcissa igual a à constant d proporcionalidad ntr as ordnadas as abcissas dos pontos da rta, dsignando-o por «dcliv da rta» no caso m qu o rfrncial é ortogonal monométrico. 2. Rconhcr, dada uma função, ) qu o gráfico da função dfinida pla xprssão (sndo um númro ral) s obtém do gráfico da função por translação d vtor dfinido plo sgmnto orintado d origm no ponto d coordnadas xtrmidad d coordnadas. 3. Rconhcr qu as rtas não vrticais são os gráficos das funçõs afins, dada uma rta d quação, dsignar por «dcliv» da rta por «ordnada na origm». 4. Rconhcr qu duas rtas não vrticais são parallas quando ( apnas quando) têm o msmo dcliv. 5. Rconhcr, dada uma rta dtrminada por dois pontos d coordnadas ) d coordnadas ), qu a rta não é vrtical quando ( apnas quando) qu, nss caso, o dcliv d é igual a. 6. Rconhcr qu os pontos do plano d abcissa igual a (sndo pontos da rta vrtical qu passa plo ponto d coordnadas rta a quação. um dado númro ral) são os dsignar por quação dssa 2. Rsolvr problmas 1. Dtrminar a xprssão algébrica d uma função afim dados dois pontos do rsptivo gráfico. 2. Dtrminar a quação d uma rta paralla a outra dada qu passa num dtrminado ponto. 3. Rsolvr problmas nvolvndo quaçõs d rtas m contxtos divrsos. FSS8 Página 65

101 Álgbra ALG8 Potências d xpont intiro 1. Estndr o concito d potência a xponts intiros 1. Idntificar, dado um númro não nulo, a potência como o númro, rconhcndo qu sta dfinição é a única possívl por forma a stndr a propridad a xponts positivos ou nulos. 2. Idntificar, dado um númro não nulo um númro natural, a potência como o númro, rconhcndo qu sta dfinição é a única possívl por forma a stndr a propridad a xponts intiros. 3. Estndr as propridads prviamnt studadas das potências d xpont natural às potências d xpont intiro. Monómios Polinómios 2. Rconhcr oprar com monómios 1. Idntificar um monómio como uma xprssão qu liga por símbolos d produto «fators numéricos» (opraçõs nvolvndo númros ltras, ditas «constants», qu dsignam númros) potências d xpont natural d bas rprsntada por ltras, ditas «variávis» (ou «indtrminadas»). 2. Dsignar por «part numérica» ou «coficint» d um monómio uma xprssão rprsntando o produto dos rsptivos fators numéricos. 3. Dsignar por «monómio nulo» um monómio d part numérica nula por «monómio constant» um monómio rduzido à part numérica. 4. Dsignar por «part litral» d um monómio não constant, stando stablcida uma ordm para as variávis, o produto, por ssa ordm, d cada uma das variávis lvada à soma dos xponts dos fators m qu ssa variávl intrvém no monómio dado. 5. Idntificar dois monómios não nulos como «smlhants» quando têm a msma part litral. 6. Dsignar por «forma canónica» d um monómio não nulo um monómio m qu s rprsnta m primiro lugar a part numérica m sguida a part litral. 7. Idntificar dois monómios como «iguais» quando admitm a msma forma canónica ou quando são ambos nulos. 8. Rduzir monómios à forma canónica idntificar monómios iguais. 9. Dsignar por «grau» d um monómio não nulo a soma dos xponts da rsptiva part litral, quando xist, atribuir aos monómios constants não nulos o grau. 10. Idntificar, dados monómios smlhants não nulos, a rsptiva «soma algébrica» como um monómio com a msma part litral cujo coficint é igual à soma algébrica dos coficints das parclas. 11. Idntificar o «produto d monómios» como um monómio cuja part numérica é igual ao produto dos coficints dos fators a part litral s obtém rprsntando cada uma das variávis lvada à soma dos xponts dos fators m qu ssa variávl intrvém nos monómios dados. 12. Multiplicar monómios adicionar algbricamnt monómios smlhants. 13. Rconhcr, dada uma soma d monómios smlhants, qu substituindo as indtrminadas por númros obtém-s uma xprssão numérica d valor igual à soma dos valors das xprssõs ALG8 Página 66

102 numéricas qu s obtêm substituindo, nas parclas, as indtrminadas rsptivamnt plos msmos númros. 14. Rconhcr, dado um produto d monómios, qu substituindo as indtrminadas por númros obtém-s uma xprssão numérica d igual valor ao produto dos valors das xprssõs numéricas qu s obtêm substituindo, nos fators, as indtrminadas rsptivamnt plos msmos númros. 3. Rconhcr oprar com polinómios 1. Dsignar por «polinómio» um monómio ou uma xprssão ligando monómios (dsignados por «trmos do polinómio») através d sinais d adição, qu podm sr substituídos por sinais d subtração tomando-s, para o fito, o simétrico da part numérica do monómio qu s sgu ao sinal. 2. Dsignar por «variávis do polinómio» ou «indtrminadas do polinómio» as variávis dos rsptivos trmos por «coficints do polinómio» os coficints dos rsptivos trmos. 3. Dsignar por «forma rduzida» d um polinómio qualqur polinómio qu s possa obtr do polinómio dado liminando os trmos nulos, adicionando algbricamnt os trmos smlhants liminando as somas nulas,, no caso d por st procsso não s obtr nnhum trmo, idntificar a forma rduzida como. 4. Dsignar por polinómios «iguais» os qu admitm uma msma forma rduzida, por «trmo indpndnt d um polinómio» o trmo d grau d uma forma rduzida por «polinómio nulo» um polinómio com forma rduzida. 5. Dsignar por «grau» d um polinómio não nulo o maior dos graus dos trmos d uma forma rduzida dss polinómio. 6. Idntificar, dados polinómios não nulos, o «polinómio soma» (rsptivamnt «polinómio difrnça») como o qu s obtém ligando os polinómios parclas através do sinal d adição (rsptivamnt «subtração») dsignar ambos por «soma algébrica» dos polinómios dados. 7. Rconhcr qu s obtém uma forma rduzida da soma algébrica d dois polinómios na forma rduzida adicionando algbricamnt os coficints dos trmos smlhants, liminando os nulos as somas nulas assim obtidas adicionando os trmos assim obtidos, ou concluir qu a soma algébrica é nula s todos os trmos form assim liminados. 8. Idntificar o «produto» d dois polinómios como o polinómio qu s obtém ftuando todos os produtos possívis d um trmo d um por um trmo do outro adicionando os rsultados obtidos. 9. Rconhcr, dada uma soma (rsptivamnt produto) d polinómios, qu substituindo as indtrminadas por númros, obtém-s uma xprssão numérica d valor igual à soma (rsptivamnt produto) dos valors das xprssõs numéricas qu s obtêm substituindo, nas parclas (rsptivamnt fators), as indtrminadas rsptivamnt plos msmos númros. 10. Rconhcr os casos notávis da multiplicação como igualdads ntr polinómios dmonstrá-los. 11. Eftuar opraçõs ntr polinómios, dtrminar formas rduzidas os rsptivos graus. 4. Rsolvr problmas 1. Rsolvr problmas qu associm polinómios a mdidas d áras volums intrprtando gomtricamnt igualdads qu os nvolvam. 2. Fatorizar polinómios colocando fators comuns m vidência utilizando os casos notávis da multiplicação d polinómios. ALG8 Página 67

103 Equaçõs incompltas d 2.º grau 5. Rsolvr quaçõs do 2.º grau 1. Dsignar por quação do 2.º grau com uma incógnita uma igualdad ntr dois polinómios, com uma variávl, rdutívl à quação qu s obtém igualando a um polinómio d 2.º grau com uma variávl, por adição algébrica d trmos iguais a ambos os mmbros. 2. Dsignar a quação do 2.º grau ( ) por «incomplta» quando ou. 3. Provar qu s um produto d númros é nulo ntão um dos fators é nulo dsignar sta propridad por «li do anulamnto do produto». 4. Dmonstrar qu a quação do 2.º grau não tm soluçõs s, tm uma única solução s tm duas soluçõs simétricas s. 5. Aplicar a li do anulamnto do produto à rsolução d quaçõs d 2.º grau, rconhcndo, m cada caso, qu não xistm mais do qu duas soluçõs simplificando as xprssõs numéricas das vntuais soluçõs. 6. Rsolvr problmas 1. Rsolvr problmas nvolvndo quaçõs d 2.º grau. Equaçõs litrais 7. Rconhcr rsolvr quaçõs litrais m ordm a uma das incógnitas 1. Dsignar por «quação litral» uma quação qu s obtém igualando dois polinómios d forma qu plo mnos um dos coficints nvolva uma ou mais ltras. 2. Rsolvr quaçõs litrais do 1.º do 2.º grau m ordm a uma dada incógnita considrando apnas ssa incógnita como variávl dos polinómios nvolvidos as rstants ltras como constants. Sistmas d duas quaçõs do 1.º grau com duas incógnitas 8. Rsolvr sistmas d duas quaçõs do 1.º grau a duas incógnitas 1. Dsignar por «sistma d duas quaçõs do 1.º grau com duas incógnitas» um sistma d duas quaçõs numéricas rdutívis à forma tal qu os coficints não são ambos nulos utilizar corrtamnt a xprssão «sistma na forma canónica». 2. Dsignar, fixada uma ordm para as incógnitas, o par ordnado d númros como «solução d um sistma com duas incógnitas» quando, ao substituir m cada uma das quaçõs a primira incógnita por a sgunda por s obtêm duas igualdads vrdadiras por «sistmas quivalnts» sistmas com o msmo conjunto d soluçõs. 3. Intrprtar gomtricamnt os sistmas d duas quaçõs d 1.º grau num plano munido d um rfrncial cartsiano rconhcr qu um tal sistma ou não possui soluçõs («sistma impossívl»), ou uma única solução («sistma possívl dtrminado») ou as soluçõs são as coordnadas dos pontos da rta dfinida por uma das duas quaçõs quivalnts do sistma («sistma possívl indtrminado»). 4. Rsolvr sistmas d duas quaçõs do 1.º grau plo método d substituição. 9. Rsolvr problmas 1. Rsolvr problmas utilizando sistmas d quaçõs do 1.º grau com duas incógnitas. ALG8 Página 68

104 Organização Tratamnto d Dados OTD8 Diagramas d xtrmos quartis 1. Rprsntar, tratar analisar conjuntos d dados 1. Idntificar, dado um conjunto d dados numéricos (sndo ímpar), o «primiro quartil» (rsptivamnt «trciro quartil») como a mdiana do subconjunto d dados d ordm infrior (rsptivamnt suprior) a na squência ordnada do conjunto inicial d dados. 2. Idntificar, dado um conjunto d dados numéricos (sndo par), o «primiro quartil» (rsptivamnt «trciro quartil») como a mdiana do subconjunto d dados d ordm infrior ou igual a (rsptivamnt suprior ou igual a ) na squência ordnada do conjunto inicial d dados. Idntificar, considrado um conjunto d dados numéricos, o «sgundo quartil» como a mdiana dss conjunto rprsntar os primiro, sgundo trciro quartis rsptivamnt por,. Rconhcr, considrado um conjunto d dados numéricos, qu a prcntagm d dados não infriors (rsptivamnt não supriors) ao primiro (rsptivamnt trciro) quartil é plo mnos. Rprsntar conjuntos d dados quantitativos m diagramas d xtrmos quartis. Idntificar a «amplitud intrquartil» como a difrnça ntr o 3.º quartil o 1.º quartil ( ) dsignar por «mdidas d disprsão» a amplitud a amplitud intrquartis. 2. Rsolvr problmas 1. Rsolvr problmas nvolvndo a anális d dados rprsntados m gráficos divrsos m diagramas d xtrmos quartis. OTD8 Página 69

105 9.º ANO Númros Opraçõs NO9 Rlação d ordm 1. Rconhcr propridads da rlação d ordm m 1. Rconhcr, dados três númros racionais, rprsntados m forma d fração com, qu s tm comparando as fraçõs rsultants sabr qu sta propridad s stnd a todos os númros rais. 2. Rconhcr, dados três númros racionais, rprsntados m forma d fração com, qu s tm comparando as fraçõs rsultants sabr qu sta propridad s stnd a todos os númros rais. 3. Rconhcr, dados três númros racionais, rprsntados m forma d fração com, qu s tm comparando as fraçõs rsultants sabr qu sta propridad s stnd a todos os númros rais. 4. Provar qu para,, númros rais com s tm, no caso d,, srm positivos,. 5. Justificar, dados dois númros rais positivos, qu s ntão, obsrvando qu sta última propridad s stnd a quaisqur dois númros rais. 6. Justificar, dados dois númros rais positivos, qu s ntão. 7. Simplificar ordnar xprssõs numéricas rais qu nvolvam fraçõs, dízimas radicais utilizando as propridads da rlação d ordm. 2. Dfinir intrvalos d númros rais 1. Idntificar, dados dois númros rais (com ), os «intrvalos não dgnrados», ou simplsmnt «intrvalos», [ ], ] [,[ [ ] ] como os conjuntos constituídos plos númros rais tais qu, rsptivamnt,,,, dsignando por «xtrmos» dsts intrvalos os númros utilizar corrtamnt os trmos «intrvalo fchado», «intrvalo abrto» «amplitud d um intrvalo». 2. Idntificar, dado um númro ral, os intrvalos [ [, ] [, ] [] ] como os conjuntos constituídos plos númros rais tais qu, rsptivamnt,,, dsignar os símbolos por, rsptivamnt, «mnos infinito» «mais infinito». 3. Idntificar o conjunto dos númros rais como intrvalo, rprsntando-o por ] [. 4. Rprsntar intrvalos na rta numérica. 5. Dtrminar intrsçõs runiõs d intrvalos d númros rais, rprsntando-as, quando possívl, sob a forma d um intrvalo ou, caso contrário, d uma união d intrvalos disjuntos. 3. Oprar com valors aproximados d númros rais 1. Idntificar, dado um númro um númro positivo, um númro como uma «aproximação d com rro infrior a» quando ] [. 2. Rconhcr, dados dois númros rais aproximaçõs rsptivamnt d com rro infrior a, qu é uma aproximação d com rro infrior a. NO9 Página 70

106 3. Aproximar o produto d dois númros rais plo produto d aproximaçõs dos fators, majorando por nquadramntos o rro comtido. 4. Aproximar raízs quadradas (rsptivamnt cúbicas) com rro infrior a um dado valor positivo, dtrminando númros racionais cuja distância sja infrior a cujos quadrados (rsptivamnt cubos) nquadrm os númros dados. 4. Rsolvr problmas 1. Rsolvr problmas nvolvndo aproximaçõs d mdidas d grandzas m contxtos divrsos. NO9 Página 71

107 Gomtria Mdida GM9 Axiomatização das torias Matmáticas 1. Utilizar corrtamnt o vocabulário próprio do método axiomático 1. Idntificar uma «toria» como um dado conjunto d proposiçõs considradas vrdadiras, incluindo-s também na toria todas as proposiçõs qu dlas form ddutívis logicamnt. 2. Rconhcr, no âmbito d uma toria, qu para não s incorrr m raciocínio circular ou numa cadia d dduçõs sm fim, é ncssário fixar alguns objtos («objtos primitivos»), algumas rlaçõs ntr objtos qu não s dfinm a partir d outras («rlaçõs primitivas»), algumas proposiçõs qu s considram vrdadiras sm as dduzir d outras («axiomas»). 3. Dsignar por «axiomática d uma toria» um conjunto d objtos primitivos, rlaçõs primitivas axiomas a partir dos quais todos os objtos rlaçõs da toria possam sr dfinidos todas as proposiçõs vrdadiras dmonstradas utilizar corrtamnt os trmos «dfinição», «torma» «dmonstração» d um torma. 4. Sabr qu os objtos primitivos, rlaçõs primitivas axiomas d algumas torias podm tr intrprtaçõs intuitivas qu prmitm aplicar os tormas à rsolução d problmas da vida ral, m consquência, tstar a validad da toria como modlo da ralidad m dtrminado contxto. 5. Distinguir «condição ncssária» d «condição suficint» utilizar corrtamnt os trmos «hipóts» «ts» d um torma o símbolo. 6. Sabr qu alguns tormas podm sr dsignados por «lmas», quando são considrados rsultados auxiliars para a dmonstração d um torma considrado mais rlvant outros por «corolários» quando no dsnvolvimnto d uma toria surgm como consquências stritamnt rlacionadas com um torma considrado mais rlvant. 2. Idntificar factos ssnciais da axiomatização da Gomtria 1. Sabr qu para a Gomtria Euclidiana foram aprsntadas historicamnt divrsas axiomáticas qu foram sndo aprfiçoadas, qu, dadas duas dlas numa forma rigorosa, é possívl dfinir os trmos rlaçõs primitivas d uma através dos trmos rlaçõs primitivas da outra dmonstrar os axiomas d uma a partir dos axiomas da outra, dsignando-s, por ss motivo, por «axiomáticas quivalnts» conduzindo aos msmos tormas. 2. Sabr qu, ntr outras possibilidads, xistm axiomáticas da Gomtria qu tomam como objtos primitivos os pontos, as rtas os planos outras apnas os pontos, qu a rlação «stá situado ntr» stablcida ntr pontos d um trio ordnado, assim como a rlação «os pars d pontos são quidistants», ntr pars d pontos podm sr tomadas como rlaçõs primitivas da Gomtria. 3. Sabr qu na forma histórica original da Axiomática d Euclids s distinguiam «postulados» d «axiomas», d acordo com o qu s supunha sr o rsptivo grau d vidência domínio d aplicabilidad, qu nas axiomáticas atuais ssa distinção não é fita, tomando-s o trmo «postulado» como sinónimo d «axioma», nunciar xmplos d postulados axiomas dos «Elmntos d Euclids». 4. Idntificar «lugar gométrico» como o conjunto d todos os pontos qu satisfazm uma dada propridad. GM9 Página 72

108 Parallismo prpndicularidad d rtas planos 3. Caractrizar a Gomtria Euclidiana através do axioma das parallas. 1. Sabr qu o «5.º postulado d Euclids», na forma nunciada nos «Elmntos d Euclids», stablc qu s duas rtas num plano, intrstadas por uma trcira, dtrminam com sta ângulos intrnos do msmo lado da scant cuja soma é infrior a um ângulo raso ntão as duas rtas intrstam-s no smiplano dtrminado pla scant qu contém sss dois ângulos. 2. Sabr qu o «axioma uclidiano d parallismo» stablc qu por um ponto fora d uma rta não passa mais qu uma rta a la paralla qu é quivalnt ao «5.º postulado d Euclids» no sntido m qu substituindo um plo outro s obtêm axiomáticas quivalnts. 3. Sabr qu é possívl construir torias modificando dtrminadas axiomáticas da Gomtria Euclidiana qu incluam o 5.º postulado d Euclids substituindo-o pla rsptiva ngação, dsignar ssas torias por «Gomtrias não-euclidianas», no caso d não havr outras altraçõs à axiomática original para além dsta substituição, sabr qu s dsigna a toria rsultant por «Gomtria Hiprbólica» ou «d Lobachwski». 4. Idntificar posiçõs rlativas d rtas no plano utilizando o axioma uclidiano d parallismo 1. Dmonstrar qu s uma rta intrsta uma d duas parallas é com las complanar ntão intrsta a outra. 2. Dmonstrar qu são iguais os ângulos corrspondnts dtrminados por uma scant m duas rtas parallas. 3. Dmonstrar qu duas rtas parallas a uma trcira num dado plano são parallas ntr si. 5. Idntificar planos parallos, rtas parallas rtas parallas a planos no spaço uclidiano 1. Sabr qu a intrsção d dois planos não parallos é uma rta, nss caso, dsigná-los por «planos concorrnts». 2. Idntificar uma rta como «paralla a um plano» quando não o intrstar. 3. Sabr qu uma rta qu não é paralla a um plano nm stá nl contida intrsta-o xatamnt num ponto,, nss caso, dsigná-la por «rta scant ao plano». 4. Sabr qu s uma rta é scant a um d dois planos parallos ntão é também scant ao outro. 5. Sabr qu s um plano é concorrnt com um d dois planos parallos ntão é também concorrnt com o outro rconhcr qu as rtas intrsção do primiro com cada um dos outros dois são parallas. 6. Sabr qu duas rtas parallas a uma trcira (as três não ncssariamnt complanars) são parallas ntr si. 7. Sabr qu é condição ncssária suficint para qu dois planos (distintos) sjam parallos qu xista um par d rtas concorrnts m cada plano, duas a duas parallas. GM9 Página 73

109 8. Provar qu dois planos parallos a um trciro são parallos ntr si, sabr qu por um ponto fora d um plano passa um plano parallo ao primiro provar qu é único. 6. Idntificar planos prpndiculars rtas prpndiculars a planos no spaço uclidiano 1. Rconhcr, dados dois planos qu s intrstam numa rta, qu são iguais dois quaisqur ângulos convxos d vértics m lados prpndiculars a d forma qu os lados stão num msmo smiplano dtrminado por m os lados stão num msmo smiplano dtrminado por m, dsignar qualqur dos ângulos a rsptiva amplitud comum por «ângulo dos dois smiplanos». 2. Dsignar por «smiplanos prpndiculars» dois smiplanos qu formam um ângulo rto por «planos prpndiculars» os rsptivos planos suport. 3. Sabr qu s uma rta é prpndicular a duas rtas num msmo ponto, é igualmnt prpndicular a todas as rtas complanars a qu passam por qu qualqur rta prpndicular a qu passa por stá contida no plano dtrminado plas rtas. 4. Idntificar uma rta como «prpndicular a um plano» num ponto quando é prpndicular m a um par d rtas distintas dss plano justificar qu uma rta prpndicular a um plano num ponto é prpndicular a todas as rtas do plano qu passam por. 5. Provar qu é condição ncssária suficint para qu dois planos sjam prpndiculars qu um dls contnha uma rta prpndicular ao outro. 6. Sabr qu xist uma rta prpndicular a um plano passando por um dado ponto, provar qu é única dsignar a intrsção da rta com o plano por «pé da prpndicular» por «projção ortogonal do ponto no plano», no caso m qu o ponto prtnc ao plano, a rta por «rta normal ao plano m». 7. Sabr, dada uma rta um ponto, qu xist um único plano prpndicular a passando por, rconhcr qu é o lugar gométrico dos pontos do spaço qu dtrminam com, s prtncr a, ou com o pé da prpndicular traçada d para, no caso contrário, uma rta prpndicular a dsignar ss plano por «plano prpndicular (ou normal) a passando por», no caso d prtncr à rta, por «plano normal a m». 8. Rconhcr qu s uma rta é prpndicular a um d dois planos parallos ntão é prpndicular ao outro qu dois planos prpndiculars a uma msma rta são parallos. 9. Dsignar por «plano mdiador» d um sgmnto d rta [ ] o plano normal à rta suport do sgmnto d rta no rsptivo ponto médio rconhcr qu é o lugar gométrico dos pontos do spaço quidistants d. 7. Rsolvr problmas 1. Rsolvr problmas nvolvndo as posiçõs rlativas d rtas planos. GM9 Página 74

110 Mdida 8. Dfinir distâncias ntr pontos planos, rtas planos ntr planos parallos 1. Idntificar, dado um ponto um plano, a «distância ntr o ponto o plano» como a distância d à rsptiva projção ortogonal m provar qu é infrior à distância d a qualqur outro ponto do plano. 2. Rconhcr, dada uma rta paralla a um plano, qu o plano dfinido pla rta plo pé da prpndicular traçada d um ponto d para é prpndicular ao plano, qu os pontos da rta intrsção dos planos são os pés das prpndiculars traçadas dos pontos da rta para o plano, dsignar por «projção ortogonal da rta no plano» a distância ntr as rtas parallas por «distância ntr a rta o plano», justificando qu é mnor do qu a distância d qualqur ponto d a um ponto do plano distinto da rsptiva projção ortogonal. 3. Rconhcr, dados dois planos parallos, qu são iguais as distâncias ntr qualqur ponto d um a rsptiva projção ortogonal no outro, dsignar sta distância comum por «distância ntr os planos» justificar qu é mnor qu a distância ntr qualqur par d pontos, um m cada um dos planos, qu não sjam projção ortogonal um do outro. 4. Idntificar a altura d uma pirâmid ou d um con como a distância do vértic ao plano qu contém a bas a altura d um prisma, rlativamnt a um par d bass, como a distância ntr os planos qu contêm as bass. 9. Comparar calcular áras volums 1. Sabr qu a dcomposição d um prisma triangular rto m três pirâmids com o msmo volum prmit mostrar qu a mdida, m unidads cúbicas, do volum d qualqur pirâmid triangular é igual a um trço do produto da mdida, m unidads quadradas, da ára d uma bas pla mdida da altura corrspondnt. 2. Rconhcr, por dcomposição m pirâmids triangulars, qu a mdida, m unidads cúbicas, do volum d qualqur pirâmid é igual a um trço do produto da mdida, m unidads quadradas, da ára da bas pla mdida da altura. 3. Sabr qu a mdida, m unidads cúbicas, do volum d um con é igual a um trço do produto da mdida, m unidads quadradas, da ára da bas pla mdida da altura, por s podr aproximar por volums d pirâmids d bass inscritas circunscritas à bas do con o msmo vértic. 4. Sabr qu a mdida, m unidads cúbicas, do volum d uma sfra é igual a GM9, ond éo raio da sfra. Sabr qu, numa dada circunfrência ou m circunfrências iguais, o comprimnto d um arco d circunfrência a ára d um stor circular são dirtamnt proporcionais à amplitud do rsptivo ângulo ao cntro. Sabr qu, numa dada circunfrência ou m circunfrências iguais, arcos (rsptivamnt stors circulars) com comprimntos (rsptivamnt áras) iguais são gomtricamnt iguais. Idntificar a ára da suprfíci d um polidro como a soma das áras das rsptivas facs. Rconhcr, fixada uma unidad d comprimnto, qu a mdida, m unidads quadradas, da ára (da suprfíci) latral d um con rto é igual ao produto da mdida do comprimnto da gratriz plo raio da bas multiplicado por, sabndo qu pod sr aproximada plas áras (das suprfícis) latrais d pirâmids com o msmo vértic bass inscritas ou circunscritas à bas do Página 75

111 con, ou, m altrnativa, obsrvando qu a planificação da suprfíci latral corrspond a um stor circular d raio igual à gratriz. 9. Sabr qu a mdida, m unidads quadradas, da ára d uma suprfíci sférica é igual a, ond é o raio da sfra. 10. Rsolvr problmas 1. Rsolvr problmas nvolvndo o cálculo d áras volums d sólidos. Trigonomtria 11. Dfinir utilizar razõs trigonométricas d ângulos agudos 1. Construir, dado um ângulo agudo, triângulos rtângulos dos quais é um dos ângulos intrnos, traçando prpndiculars d um ponto qualqur, distinto do vértic, d um dos lados d para o outro lado, provar qu todos os triângulos qu assim s podm construir são smlhants também smlhants a qualqur triângulo rtângulo qu tnha um ângulo intrno igual a. 2. Dsignar, dado um ângulo agudo intrno a um triângulo rtângulo uma unidad d comprimnto, por «sno d» o quocint ntr as mdidas do comprimnto do catto oposto a da hipotnusa rprsntá-lo por,, ou. 3. Dsignar, dado um ângulo agudo intrno a um triângulo rtângulo uma unidad d comprimnto, por «cossno d» o quocint ntr as mdidas do comprimnto do catto adjacnt a da hipotnusa rprsntá-lo por ou. 4. Dsignar, dado um ângulo agudo intrno a um triângulo rtângulo uma unidad d comprimnto, por «tangnt d» o quocint ntr as mdidas do comprimnto do catto oposto a do catto adjacnt a rprsntá-lo por,, ou. 5. Dsignar sno d, cossno d tangnt d por «razõs trigonométricas» d. 6. Rconhcr, fixada uma unidad d comprimnto dados dois ângulos com a msma amplitud =, qu o sno, cossno tangnt d são rsptivamnt iguais ao sno, cossno tangnt d dsigná-los também rsptivamnt por sno, cossno tangnt d. 7. Justificar qu o valor d cada uma das razõs trigonométricas d um ângulo agudo ( da rsptiva amplitud) é indpndnt da unidad d comprimnto fixada. 8. Rconhcr qu o sno o cossno d um ângulo agudo são númros positivos mnors do qu. 9. Provar qu a soma dos quadrados do sno do cossno d um ângulo agudo é igual a dsignar st rsultado por «fórmula fundamntal da Trigonomtria». 10. Provar qu a tangnt d um ângulo agudo é igual à razão ntr os rsptivos sno cossno. 11. Provar qu sno d um ângulo agudo é igual ao cossno d um ângulo complmntar. 12. Dtrminar, utilizando argumntos gométricos, as razõs trigonométricas dos ângulos d,. 13. Utilizar uma tabla ou uma calculadora para dtrminar o valor (xato ou aproximado) da amplitud d um ângulo agudo a partir d uma das suas razõs trigonométricas. 12. Rsolvr problmas 1. Rsolvr problmas nvolvndo a dtrminação d distâncias utilizando as razõs trigonométricas dos ângulos d,. 2. Rsolvr problmas nvolvndo a dtrminação d distâncias utilizando ângulos agudos dados as rsptivas razõs trigonométricas dadas por uma máquina d calcular ou por uma tabla. GM9 Página 76

112 3. Rsolvr problmas nvolvndo a dtrminação d distâncias a pontos inacssívis utilizando ângulos agudos as rsptivas razõs trigonométricas. Lugars Gométricos nvolvndo pontos notávis d triângulos 13. Idntificar lugars gométricos 1. Provar qu as mdiatrizs dos lados d um triângulo s intrstam num ponto, dsigná-lo por «circuncntro do triângulo» provar qu o circuncntro é o cntro da única circunfrência circunscrita ao triângulo. 2. Provar qu a bisstriz d um ângulo convxo é o lugar gométrico dos pontos do ângulo qu são quidistants das rtas suports dos lados do ângulo. 3. Provar qu as bisstrizs dos ângulos intrnos d um triângulo s intrstam num ponto, dsigná-lo por «incntro do triângulo» provar qu o incntro é o cntro da circunfrência inscrita ao triângulo. 4. Sabr qu as rtas suport das três alturas d um triângulo são concorrnts dsignar o ponto d intrsção por «ortocntro» do triângulo. 5. Justificar qu a rta qu bissta dois dos lados d um triângulo é paralla ao trciro utilizar smlhança d triângulos para mostrar qu duas mdianas s intrstam num ponto qu dista do vértic do comprimnto da rsptiva mdiana concluir qu as três mdianas d um triângulo são concorrnts, dsignando-s o ponto d intrsção por «baricntro», «cntro d massa» ou «cntroid» do triângulo. 6. Dtrminar, por construção, o incntro, circuncntro, ortocntro baricntro d um triângulo. 14. Rsolvr problmas 1. Rsolvr problmas nvolvndo lugars gométricos no plano. Circunfrência 15. Conhcr propridads d ângulos, cordas arcos dfinidos numa circunfrência 1. Idntificar «arco d circunfrência» como a intrsção d uma dada circunfrência com um ângulo ao cntro utilizar corrtamnt o trmo «xtrmos d um arco». 2. Dsignar, dados dois pontos d uma circunfrência d cntro, não diamtralmnt opostos, por «arco mnor», ou simplsmnt «arco», o arco dtrminado na circunfrência plo ângulo ao cntro convxo. 3. Dsignar, dados dois pontos d uma circunfrência d cntro, não diamtralmnt opostos, por «arco maior», o arco dtrminado na circunfrência plo ângulo ao cntro côncavo. 4. Rprsntar, dados três pontos, d uma dada circunfrência, por arco o arco d xtrmos qu contém o ponto. 5. Dsignar, dados dois pontos d uma circunfrência, por «corda» o sgmnto d rta [ ], os arcos d xtrmos por «arcos subtnsos pla corda», quando s tratar d um arco mnor, dsigná-lo por «arco corrspondnt à corda». 6. Rconhcr, numa circunfrência ou m circunfrências iguais, qu cordas arcos dtrminados por ângulos ao cntro iguais também são iguais vic-vrsa. GM9 Página 77

113 7. Idntificar a «amplitud d um arco d circunfrência», como a amplitud do ângulo ao cntro corrspondnt rprsntá-la por, ou simplsmnt por quando s tratar d um arco mnor. 8. Rconhcr qu são iguais arcos (rsptivamnt cordas) dtrminados por duas rtas parallas ntr las comprndidos. 9. Dmonstrar qu qualqur rta qu passa plo cntro d uma circunfrência é prpndicular a uma corda a bissta, assim como aos arcos subtnsos aos ângulos ao cntro corrspondnts. 10. Dsignar por «ângulo inscrito» num arco d circunfrência qualqur ângulo d vértic no arco distinto dos xtrmos com lados passando por ls, o arco por «arco capaz do ângulo inscrito» utilizar corrtamnt a xprssão «arco comprndido ntr os lados» d um ângulo inscrito. 11. Dmonstrar qu a amplitud d um ângulo inscrito é igual a mtad da amplitud do arco comprndido ntr os rsptivos lados, como corolários, qu ângulos inscritos no msmo arco têm a msma amplitud qu um ângulo inscrito numa smicircunfrência é um ângulo rto. 12. Dsignar por «sgmnto d círculo» a rgião do círculo comprndida ntr uma corda um arco por la subtnso, dito «maior» quando o arco for maior «mnor» quando o arco for mnor. 13. Provar qu um ângulo d vértic num dos xtrmos d uma corda, um dos lados contndo a corda o outro tangnt à circunfrência («ângulo do sgmnto»), tm amplitud igual a mtad da amplitud do arco comprndido ntr os sus lados. 14. Dsignar por ângulo «x-inscrito num arco d circunfrência» um ângulo adjacnt a um ângulo inscrito a l suplmntar, provar qu a amplitud d um ângulo x-inscrito é igual à smissoma das amplituds dos arcos corrspondnts às cordas qu as rtas suport dos lados contêm. 15. Provar qu a amplitud d um ângulo convxo d vértic no intrior d um círculo é igual à smissoma das amplituds dos arcos comprndidos ntr os lados do ângulo os lados do ângulo vrticalmnt oposto. 16. Provar qu a amplitud d um ângulo d vértic xtrior a um círculo cujos lados o intrstam é igual à smidifrnça ntr a maior a mnor das amplituds dos arcos comprndidos ntr os rsptivos lados. 17. Provar qu a soma das mdidas das amplituds, m graus, dos ângulos intrnos d um polígono convxo com lados é igual a dduzir qu a soma d ângulos xtrnos com vértics distintos é igual a um ângulo giro. 18. Provar qu a soma dos ângulos opostos d um quadrilátro inscrito numa circunfrência é igual a um ângulo raso. 16. Rsolvr problmas 1. Construir aproximadamnt, utilizando um transfridor, um polígono rgular com lados inscrito numa circunfrência, sndo conhcido um dos sus vértics o cntro da circunfrência. 2. Rsolvr problmas nvolvndo a amplitud d ângulos arcos dfinidos numa circunfrência. 3. Rsolvr problmas nvolvndo a amplitud d ângulos intrnos xtrnos d polígonos rgulars inscritos numa circunfrência. GM9 Página 78

114 Funçõs, Squências Sucssõs FSS9 Funçõs algébricas 1. Dfinir funçõs d proporcionalidad invrsa 1. Rconhcr, dada uma grandza invrsamnt proporcional a outra, qu, fixadas unidads, a «função d proporcionalidad invrsa» qu associa à mdida da sgunda a corrspondnt mdida da primira satisfaz, para todo o númro ral positivo, (ao multiplicar a variávl indpndnt por um dado númro positivo, a variávl dpndnt fica multiplicada plo invrso dss númro), considrando, qu é uma função dada por uma xprssão da forma, ond concluir qu é a constant d proporcionalidad invrsa. 2. Sabr, fixado um rfrncial cartsiano no plano, qu o gráfico d uma função d proporcionalidad invrsa é uma curva dsignada por «ramo d hipérbol» cuja runião com a rsptiva imagm pla rflxão cntral rlativa à origm prtnc a um conjunto mais gral d curvas do plano dsignadas por «hipérbols». 2. Rsolvr problmas 1. Rsolvr problmas nvolvndo funçõs d proporcionalidad invrsa m divrsos contxtos. 3. Intrprtar graficamnt soluçõs d quaçõs do sgundo grau 1. Sabr, fixado um rfrncial cartsiano no plano, qu o gráfico d uma função dada por uma xprssão da forma ( númro ral não nulo) é uma curva dsignada por «parábola d ixo vrtical vértic na origm». 2. Rconhcr qu o conjunto-solução da quação d 2.º grau é o conjunto das abcissas dos pontos d intrsção da parábola d quação, com a rta d quação. FSS9 Página 79

115 Álgbra ALG9 Inquaçõs 1. Rsolvr inquaçõs do 1.º grau 1. Idntificar, dadas duas funçõs numéricas, uma «inquação» com uma «incógnita» como uma xprssão da forma, dsignar, nst contxto, por «primiro mmbro da inquação», por «sgundo mmbro da inquação», qualqur tal qu por «solução» da inquação o conjunto das soluçõs por «conjunto-solução». 2. Dsignar uma inquação por «impossívl» quando o conjunto-solução é vazio por «possívl» no caso contrário. 3. Idntificar duas inquaçõs como «quivalnts» quando tivrm o msmo conjunto-solução. 4. Rconhcr qu s obtém uma inquação quivalnt a uma dada inquação adicionando ou subtraindo um msmo númro a ambos os mmbros, multiplicando-os ou dividindo-os por um msmo númro positivo ou multiplicando-os ou dividindo-os por um msmo númro ngativo invrtndo o sntido da dsigualdad dsignar stas propridads por «princípios d quivalência». 5. Dsignar por «inquação do 1.º grau com uma incógnita» ou simplsmnt «inquação do 1.º grau» qualqur inquação» tal qu são funçõs afins d coficints d distintos simplificar inquaçõs do 1.º grau rprsntando na forma canónica. 6. Simplificar os mmbros d uma inquação do 1.º grau aplicar os princípios d quivalência para mostrar qu uma dada inquação do 1.º grau é quivalnt a uma inquação m qu o primiro mmbro é dado por uma função linar d coficint não nulo o sgundo mmbro é constant ( ). 7. Rsolvr inquaçõs do 1.º grau aprsntando o conjunto-solução na forma d um intrvalo. 8. Rsolvr conjunçõs disjunçõs d inquaçõs do 1.º grau aprsntar o conjunto-solução na forma d um intrvalo ou como runião d intrvalos disjuntos. 2. Rsolvr problmas 1. Rsolvr problmas nvolvndo inquaçõs do 1.º grau. Equaçõs do 2.º grau 3. Compltar quadrados rsolvr quaçõs do 2.º grau 1. Dtrminar, dado um polinómio do 2.º grau na variávl,, uma xprssão quivalnt da forma, ond são númros rais dsignar st procdimnto por «compltar o quadrado». 2. Rsolvr quaçõs do 2.º grau comçando por compltar o quadrado utilizando os casos notávis da multiplicação. 3. Rconhcr qu uma quação do sgundo grau na variávl,, é quivalnt à quação ( ) dsignar a xprssão por «binómio discriminant» ou simplsmnt «discriminant» da quação. ALG9 Página 80

116 4. Rconhcr qu uma quação do 2.º grau não tm soluçõs s o rsptivo discriminant é ngativo, tm uma única solução ( ( ) s o discriminant é nulo tm duas soluçõs ) s o discriminant for positivo, dsignar st rsultado por «fórmula rsolvnt». 5. Sabr d mmória a fórmula rsolvnt aplicá-la à rsolução d quaçõs compltas do 2.º grau. 4. Rsolvr problmas 1. Rsolvr problmas gométricos algébricos nvolvndo quaçõs do 2.º grau. Proporcionalidad Invrsa 5. Rlacionar grandzas invrsamnt proporcionais 1. Idntificar uma grandza como «invrsamnt proporcional» a outra quando dla dpnd d tal forma qu, fixadas unidads, ao multiplicar a mdida da sgunda por um dado númro positivo, a mdida da primira fica multiplicada plo invrso dss númro. 2. Rconhcr qu uma grandza é invrsamnt proporcional a outra da qual dpnd quando, fixadas unidads, o produto da mdida da primira pla mdida da sgunda é constant utilizar corrtamnt o trmo «constant d proporcionalidad invrsa». 3. Rconhcr qu s uma grandza é invrsamnt proporcional a outra ntão a sgunda é invrsamnt proporcional à primira as constants d proporcionalidad invrsa são iguais. 6. Rsolvr problmas 1. Rsolvr problmas nvolvndo grandzas invrsamnt dirtamnt proporcionais m contxtos variados. ALG9 Página 81

117 Organização Tratamnto d Dados OTD9 Histogramas 1. Organizar rprsntar dados m histogramas 1. Estndr a noção d variávl statística quantitativa ao caso m qu cada class fica dtrminada por um intrvalo d númros, fchado à squrda abrto à dirita, sndo sss intrvalos disjuntos dois a dois d união igual a um intrvalo ( stndr também ao caso m qu s intrsta cada um dsss intrvalos com um conjunto finito pré-dtrminado d númros), dsignando também cada intrvalo por «class». 2. Idntificar uma variávl statística quantitativa como «discrta» quando cada class fica dtrminada por um númro ou um conjunto finito d númros como «contínua» quando s associa a cada class um intrvalo. 3. Ragrupar as unidads d uma população m classs com bas num conjunto d dados numéricos d modo qu as classs tnham uma msma amplitud pré-fixada dsignar st procsso por «agrupar os dados m classs da msma amplitud». 4. Idntificar, considrado um conjunto d dados agrupados m classs, «histograma» como um gráfico d barras rtangulars justapostas tais qu a ára dos rtângulos é dirtamnt proporcional à frquência absoluta ( portanto também à frquência rlativa) d cada class. 5. Rconhcr qu num histograma formado por rtângulos d bass iguais, a rsptiva altura é dirtamnt proporcional à frquência absoluta à frquência rlativa d cada class. 6. Rprsntar, m histogramas, conjuntos d dados agrupados m classs da msma amplitud. 2. Rsolvr problmas 1. Rsolvr problmas nvolvndo a rprsntação d dados m tablas d frquência, diagramas d caul--folhas histogramas. Probabilidad 3. Utilizar corrtamnt a linguagm da probabilidad 1. Idntificar uma «xpriência» como um procsso qu conduz a um rsultado prtncnt a um conjunto prviamnt fixado dsignado por «univrso dos rsultados» ou «spaço amostral», não s dispondo d informação qu prmita xcluir a possibilidad d ocorrência d qualqur dsss rsultados, dsignar os lmntos do spaço amostral por «casos possívis» a xpriência por «dtrminista» quando xist um único caso possívl «alatória» m caso contrário. 2. Dsignar por «acontcimnto» qualqur subconjunto do univrso dos rsultados d uma xpriência alatória os lmntos d um acontcimnto por «casos favorávis» a ss acontcimnto utilizar a xprssão «o acontcimnto A ocorr» para significar qu o rsultado da xpriência alatória prtnc ao conjunto A. 3. Dsignar, dada uma xpriência alatória, o conjunto vazio por acontcimnto «impossívl», o univrso dos rsultados por acontcimnto «crto», um acontcimnto por «lmntar» s xistir apnas um caso qu lh sja favorávl por «composto» s xistir mais do qu um caso qu lh sja favorávl. 4. Dsignar dois acontcimntos por «incompatívis» ou «disjuntos» quando a rspctiva intrsção for vazia por «complmntars» quando form disjuntos a rsptiva runião for igual ao spaço amostral. ALG9 Página 82

118 5. Dscrvr xpriências alatórias qu possam sr rptidas mantndo um msmo univrso d rsultados construídas d modo a qu s spr, num númro significativo d rptiçõs, qu cada um dos casos possívis ocorra aproximadamnt com a msma frquência dsignar os acontcimntos lmntars dssas xpriências por «quiprovávis». 6. Dsignar, dada uma xpriência alatória cujos casos possívis sjam m númro finito quiprovávis, a «probabilidad» d um acontcimnto como o quocint ntr o númro d casos favorávis a ss acontcimnto o númro d casos possívis, dsignar sta dfinição por «rgra d Laplac» ou «dfinição d Laplac d probabilidad» utilizar corrtamnt os trmos «mais provávl», «igualmnt provávl», «possívl», «impossívl» «crto» aplicados, nst contxto, a acontcimntos. 7. Rconhcr qu a probabilidad d um acontcimnto, d ntr os qu stão associados a uma xpriência alatória cujos casos possívis sjam m númro finito quiprovávis, é um númro ntr, nss contxto, qu é igual a a soma das probabilidads d acontcimntos complmntars. 8. Justificar qu s form acontcimntos disjuntos s tm. 9. Idntificar dar xmplos d acontcimntos possívis, impossívis, lmntars, compostos, complmntars, incompatívis associados a uma dada xpriência alatória. 10. Utilizar tablas d dupla ntrada diagramas m árvor na rsolução d problmas nvolvndo a noção d probabilidad a comparação das probabilidads d difrnts acontcimntos compostos. 11. Ralizar xpriências nvolvndo a comparação das frquências rlativas com as rsptivas probabilidads d acontcimntos m xpriências rptívis (alatórias), m casos m qu s prsum quiprobabilidad dos casos possívis. ALG9 Página 83

119 Mtas Curriculars d Matmática (Ensino Básico) Altraçõs Dscritor Ond stava passou a star GM4-5.1 ( ) d lado um ( ) ( ) d arsta um ( ) NO6-2.8 ( ) como a distância ( ) ( ) como a mdida da distância ( ) GM6-2.3 Dsignar ( ) rgular. Dsignar por «pirâmid rgular» uma pirâmid cuja bas é um polígono rgular as arstas latrais são iguais. GM6-5.4 ( ) qu a ára do polígono é ( ) plo apótma. ( ) qu a mdida da ára do polígono, m unidads quadradas, é ( ) pla mdida do comprimnto do apótma. ( ) vértic, tal qu um stor circular dtrminado por ss ângulo stá contido no polígono ( ) GM7-2.8 ( ) vértic qu intrsta o intrior do polígono ( ) GM ( ) qu associando ( ) ( ), s o polígono for convxo, qu, associando ( ) GM ( ) ângulos formados ( ) ( ) ângulos intrnos formados ( ) GM7-8.2 ( ) ntr as bass. ( ) ntr as rtas suport das bass. FSS7-3.1 ( ) qu é uma função ( ) ( ) qu é igual, no su domínio, a uma função ( ) FSS7-3.3 ( ) uma função ( ) qualqur não nulo ( ) uma função numérica positiva dfinida para prtncnt ( ) valors positivos ( ) qualqur prtncnt ( ) GM8-3.3 ( ) d comprimnto, a mdida do ( ) d comprimnto, o comprimnto d ( ) comprimnto d ( ) FSS8-1.1 ( ) igual a à razão d proporcionalidad ( ) igual a à constant d proporcionalidad ntr ntr a ordnada a abcissa d qualqur ponto da rta ( ) «dcliv da rta». as ordnadas as abcissas dos pontos da rta ( ) «dcliv da rta» no caso m qu o rfrncial é ortogonal monométrico. ALG8-2.5 ( ) part litral ou ( ) das variávis. ( ) part litral. ALG8-3.9 ( ) númros racionais ( ) ( ) númros ( ) ALG8-5.1 ( ) uma quação quivalnt à qu s obtém ( ) variávl ( ) ( ) uma igualdad ntr dois polinómios, com uma variávl, rdutívl à quação qu s obtém ( ) variávl, por adição algébrica d trmos iguais a ambos os mmbros. OTD8-1.4 ( ) qu plo mnos um quarto dos dados têm valors não supriors ao primiro quartil qu plo mnos três quartos dos dados têm valors não supriors ao trciro quartil. GM9-6.7 ( ) dtrminam com uma rta prpndicular ( ) ( ) qu a prcntagm d dados não infriors (rsptivamnt não supriors) ao primiro (rsptivamnt trciro) quartil é plo mnos ( ) dtrminam com, s prtncr a, ou com o pé da prpndicular traçada d para, no caso contrário, uma rta prpndicular ( ) GM9-9.5 Sabr qu comprimnto ( ) Sabr qu, numa dada circunfrência ou m circunfrências iguais, o comprimnto ( ) GM ( ) as três ( ) ( ) as rtas suport das três ( ) GM ( ) polígono com ( ) ( ) polígono convxo com ( ) GM Construir ( ) Construir aproximadamnt, utilizando um transfridor, ( ) No domínio GM9, objtivo gral 9, por corência com o rstant documnto, foram altrados alguns abusos d linguagm, tndo-s substituído, m divrsas ocorrências, os trmos «ára» «volum» por «mdida, m unidads quadradas, da ára» «mdida, m unidads cúbicas, do volum». Foi também adicionado o dscritor GM9-8.4.