Soma dos ângulos internos de um triângulo. Ângulos externos. 7 o Ano

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1 5 Soma dos ângulos internos de um triângulo. Ângulos externos. 7 o Ano Maria Alice Camilo Escola Básica dos 2. o e 3. o Ciclos com Ensino Secundário do Cerco Maria Alice Fernandes Franco Camilo, de 43 anos de idade, é licenciada em Ensino de Matemática pela Universidade dos Açores. Exerce a actividade de docente desde 1993, sendo actualmente professora do quadro de nomeação definitiva da Escola Básica 2 o,3 o /Sec. do Cerco, no Porto. É utilizadora das TIC há vários anos, mas só agora começa a ter maior possibilidade de desenvolver planos didácticos como este devido ao apetrechamento da Escola. Realizou esta actividade numa turma de 7 o Ano, tendo dois objectivos principais: os alunos conjecturarem o valor da soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo e a relação entre um ângulo externo e os internos não adjacentes. No início com a ajuda do software os alunos apresentaram uma conclusão possível, tirada á custa de verificação dos resultados que obtinham modificando um triângulo inicial. Tendo a professora questionado se a conclusão era verdadeira, principalmente pela resposta de uma aluna que disse para todos não sei... mas para os que tinha feito a conclusão era válida, sentiu que teria que ir mais além. Resolveu pedir aos alunos que fizessem uma demonstração por dobragem de um triângulo desenhado numa folha de papel, mas não ficou por aí e passou à demonstração teórica auxiliada pelo software que estavam a utilizar. Este trabalho está interessante na medida em que não é muito habitual fazerem-se demonstrações neste nível de ensino. A Maria Alice seguiu esse caminho e os alunos não tiveram problemas com isso, além de que a demonstração seguida permitiu aos alunos recordarem outros conceitos envolvidos como, por exemplo, ângulos de lados paralelos. O trabalho inicialmente previsto para uma aula de 90 minutos não foi integralmente concluído tendo sido necessário completá-lo na aula seguinte. Como acontece em alguns casos os trabalhos foram gravados no ambiente de trabalho dos computadores, o que levou a que alguns tivessem sido apagados por alunos de outras turmas. A partir dessa experiência os alunos da Maria Alice passaram a enviar os trabalhos por correio electrónico para a professora, noutras aulas em que usaram computadores. 59

2 MARIA ALICE CAMILO, ESCOLA BÁSICA DOS 2. O E 3. O CICLOS COM ENSINO SECUNDÁRIO DO CERCO PLANO DIDÁCTICO TEMA Geometria TÓPICO Triângulos e quadriláteros SUB TÓPICO Soma dos ângulos internos de um triângulo. Ângulos externos. OJECTIVOS ESPECÍFICOS O aluno deverá ser capaz de: Usar o software GeoGebra para: Desenhar um triângulo qualquer Identificar os ângulos internos de um triângulo Determinar o valor da soma dos ângulos internos de um triângulo. Descobrir a propriedade do ângulo externo de um triângulo Desenvolver a visualização e o raciocínio geométrico e ser capazes de os usar Distinguir conjectura de prova ou demonstração. PRÉ-REQUISITOS O aluno deverá ser capaz de: Identificar um triângulo; Identificar os ângulos internos de um triângulo; Ter a noção de um ângulo raso; Nota: Os restantes pré-requisitos necessários para esta aula estão garantidos dado o conhecimento da turma, pela parte da professora. AVALIAÇÃO Observação directa: Interacção entre alunos Capacidade de formular e testar conjecturas Análise de todo o trabalho realizado por cada grupo (toda a produção dos alunos será gravada no computador) ESTRATÉGIAS (ENSINO/APRENDIZAGEM) A turma será organizada em pares. No início da aula, a professora fará uma breve apresentação do software de geometria Dinâmica GeoGebra exibindo algumas potencialidades dos menus que aparecem no ecrã, usando o quadro interactivo (não ultrapassando 15 minutos). De seguida, cada grupo construirá um triângulo e fará a respectiva exploração de acordo com o guião apresentado. Esta exploração não ultrapassará 30 minutos. Nos restantes 45 minutos, proporcionar-seá um pequeno debate onde se fará a distinção entre conjectura e prova ou demonstração matemática. Salientar-se-á a importância do facto de, embora se tenha verificado que a soma dos ângulos internos de muitos triângulos era igual a 180 o, apenas nos permitirá conjecturar que tal é verdade. As experiências realizadas, conduzi-los-ão à formulação da conjectura e de alguma forma constituirão argumentos que a apoiam. Referir-se-á que só poderão afirmar que ela é verdadeira, porque foi possível testá-la em todos os triângulos construídos em ambiente de sala de aula, porém deixar-se-à em aberto se nos será permitido generalizar a afirmação formulada. Dada a impossibilidade de garantir que, para um qualquer outro triângulo, diferente dos referidos, tal conjectura será verdadeira utilizar-se-á a demonstração propriamente dita para clarificar esta ideia. Deste modo salientar-se-á a importância da demonstração na medida em que será permitido aos alunos, perceber porque é que a relação descoberta se verifica de facto. Nesta altura será exibida e esclarecida a opção do processo para a demonstração, descrevendo-a partindo de uma folha de papel A4, na qual se recortará um triângulo escolhido de forma aleatória, no qual se processarão dobragens de modo a fazer convergir para o mesmo ponto de uma das bases do triângulo os três vértices de cada um dos ângulos 60

3 SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS DE UM TRIÂNGULO. ÂNGULOS EXTERNOS. 7 O ANO internos. Será constatado de imediato, por cada aluno, que o ângulo obtido nas condições referidas anteriormente é um ângulo raso. Deste modo, os alunos terão mais um dado para a conjectura e um ponto de partida para a demonstração teórica. Também é esperado que o aluno verifique que a amplitude do ângulo externo de um triângulo é igual à soma das amplitudes dos ângulos internos não adjacentes ao mesmo, ou seja, a propriedade do ângulo externo. No decorrer da aula, a participação dos alunos deverá ser solicitada em momentos considerados oportunos. MATERIAL Quadro Interactivo 9 computadores portáteis com o GeoGebra instalado Projector de vídeo Caderno diário Manual escolar Material de escrita Folhas A4 coloridas Guião policopiado Ficha de apoio; RELATO DE UMA AULA PREPARAÇÃO Reserva da sala 15 do pavilhão C; Requisição e Instalação do programa GeoGebra em 9 computadores portáteis Requisição de um projector de vídeo. DESENVOLVIMENTO DA AULA No ambiente GeoGebra (software gratuito de matemática dinâmica que reúne recursos de geometria, álgebra e cálculo), foi mostrado aos alunos a interface do software, explicando as principais ferramentas a serem utilizadas na aula. Após esta etapa foi distribuída uma ficha de trabalho e pedido que, em 20 minutos, resolvessem a Actividade 1 e 2. Durante a realização das actividades fui observando o trabalho dos alunos. Para surpresa minha, na maioria dos grupos, um dos alunos usava o computador e o colega registava os passos que faziam. CARACTERIZAÇÃO DA TURMA Este relato refere-se à aula leccionada, no dia 15 de Maio, à turma A do 7 o ano da E.B.2,3/S do Cerco num bloco de 90 minutos. A turma referida é formada por 18 alunos. Seis alunos têm aproveitamento insatisfatório à disciplina de Matemática e os restantes onze são razoáveis. De um modo geral são alunos interessados, mas pouco trabalhadores e respeitadores. São alunos muito empenhados no uso das tecnologias. Figura 5.1: Aspecto do ambiente de trabalho com o software dinâmico GeoGebra durante a realização da tarefa Passado o tempo estipulado perguntei, à turma, o que tinham observado. Todos referiram que a soma dos ângulos internos de um triângulo era de 180 o. Não ficando satisfeita com a resposta perguntei se a conclusão a que tinham chegado era válida para todos os triângulos. Uma aluna respondeu: (rindo) para todos não sei, mas quando arrastamos os vértices do triângulo que fiz vejo que os ângulos internos mudam e a 61

4 MARIA ALICE CAMILO, ESCOLA BÁSICA DOS 2. O E 3. O CICLOS COM ENSINO SECUNDÁRIO DO CERCO sua soma é sempre igual 180 o. Um outro aluno referiu que os comprimentos dos lados do triângulo também mudavam. Outro aluno apostou com toda a turma que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre 180 o. Nesta altura pedi-lhes que me convencessem de que aquela ideia que tinham acerca da soma dos ângulos internos de um triângulo era verificada em todos os triângulos. Alguns alunos referiram a necessidade de construir triângulos isósceles, equiláteros e escalenos para verificarem se era válida a sua conjectura. Neste momento referi que o facto de se ter verificado que a soma dos ângulos internos de muitos triângulos era igual a 180 o apenas nos permite conjecturar que tal é verdade. Para ajudar a clarificar esta ideia, sugeri que realizassem a Actividade 3 e forneci a cada aluno uma folha de papel colorida. Passados 5 minutos, um grupo de alunos referiu que tinha encontrado a forma de me convencer. Um desses alunos, levantou-se e disse-me: Veja, professora, se eu dobro os vértices do triângulo desta forma (e faz o gesto, ou seja faz as dobragens que lhes foram sugeridas na ficha e obtém uma figura do tipo [ver fig. 5.2]) obtenho um ângulo raso. Já convenci? esta ideia. Assim, pedi a todos os alunos para fazerem o seguinte: Construir um triângulo qualquer [ABC]. Apresentei o exemplo abaixo indicado: Figura 5.3: Triângulo [ABC] qualquer Traçar, pelo vértice A, uma recta paralela ao lado [BC] e marcar os pontos D e E Figura 5.4: As rectas BC e ED são paralelas Com recurso ao botão representado na Fig. 5.5 indicar as amplitudes dos ângulos ABC e BAE. Figura 5.5: Figura 5.2: A figura mostra que os três ângulos internos de um triângulo, quando adjacentes, formam um ângulo raso Aqui, lancei a pergunta à turma. convenceu-nos? A aluna Houve alunos que afirmaram positivamente, mas houve outros em que a dúvida permaneceu. Como um dos objectivos que tinha para esta aula era levar os alunos a fazerem a distinção entre conjectura e prova, achei que apresentar a demonstração poderia ajudar a clarificar Neste momento coloquei as seguintes questões: Que verificam? (A turma verificou que os ângulos marcados eram geometricamente iguais.) Porquê? (um aluno respondeu: porque são ângulos de lados paralelos (agudos) referindo-se ao exemplo 1) Proceder da mesma forma para os ângulos BCA e CAD. Do mesmo modo os alunos concluíram que os ângulos BCA e CAD são geometricamente iguais por serem ângulos de 62

5 SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS DE UM TRIÂNGULO. ÂNGULOS EXTERNOS. 7 O ANO manipulação; Comunicar quer oralmente quer através dos registos que foram fazendo; Desenvolver a autoconfiança e a autonomia; Partilhar saberes com os seus pares; Figura 5.6: Exemplo 1 Figura 5.7: Exemplo 2 ângulos agudos de lados paralelos lados paralelos e da mesma espécie ângulos agudos. Nesta altura, todos os alunos compreenderam que, em conjunto, os ângulos BAE, BAC e CAD formavam um ângulo raso, cuja amplitude é 180 o Estas actividades serviram ainda, como motivação para alguns alunos que manifestavam desinteresse/indiferença pela aprendizagem de conteúdos matemáticos e que neste contexto e face à sua capacidade de utilização dos meios informáticos, se tornaram muito participativos e colaborantes. Todos os alunos, chegaram às conclusões pretendidas. Outro aspecto, importante a ressaltar, é que os alunos gostaram de trabalhar com o software GeoGebra. Alguns inclusive, manifestaram interesse em aprender como fazer o download do programa em casa pois, queriam continuar explorando o software. É de referir que, não me foi possível, na primeira aula explorar a Actividade 4, pelo que ficou para a aula de 18 de Maio. Em resposta à pergunta Quem não ficou convencido que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180 o obtive a resposta Eu fiquei convencido. Passou-se para a Actividade 4. Somente 4 grupos resolveram a actividade na íntegra, os restantes ficaram na alínea e). Os alunos gravaram os trabalhos na pasta Ambiente de trabalho / Matemática / nome do grupo, fizeram os registos considerados essenciais, e deu-se por encerrada a aula. REFLEXÃO/AVALIAÇÃO DA AULA Estas aulas permitiram aos alunos: Utilizar o software para construir e manipular os triângulos; Conjecturar o Teorema da soma dos ângulos internos do triângulo, através da 63

6 MARIA ALICE CAMILO, ESCOLA BÁSICA DOS 2. O E 3. O CICLOS COM ENSINO SECUNDÁRIO DO CERCO ANEXOS Anexo I Ficha de trabalho orientada 64

7 SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS DE UM TRIÂNGULO. ÂNGULOS EXTERNOS. 7 O ANO Nesta actividade vais trabalhar com um programa, o GeoGebra, que permite fazer muitas investigações em Geometria. Para te começares a perceber do modo como podes trabalhar com ele propomos-te que investigues uma propriedade dos triângulos. Actividade 1 a) Esconde o sistema de eixos (No menu selecciona Exibir e clica em Eixos coordenados ). b) Cria três pontos A, B e C (Na barra de ferramentas selecciona o modo Novo ponto. Clica na zona gráfica para criar os vértices A, B, C do triângulo.) c) Constrói os três lados do triângulo, ou seja os segmentos que unem os pontos dois a dois d) Arrasta um dos vértices do triângulo e verifica que o triângulo muda de forma. Actividade 2 a) Pede as medidas dos ângulos internos do triângulo [ABC]; faz para isso o seguinte: Selecciona o modo Ângulo na barra de ferramentas e clica sobre o triângulo; Procede de igual forma para os outros dois ângulos internos do triângulo [ABC]; Escolhe o modo Mover e arrasta os vértices do triângulo. Que observas? Calcula a soma das amplitudes dos três ângulos do triângulo. Para isso, escreves, na barra algébrica, a variável soma: soma = α + β + γ ; b) Arrasta um dos vértices do triângulo. Verifica que nos vários triângulos que obténs ao arrastar um dos vértices, a soma dos ângulos é sempre 180º. De facto, embora as amplitudes de qualquer dos ângulos internos varie, o valor de 180º mantém-se sempre constante. Então, tens bastantes motivos para acreditar que deverá ser verdadeira a seguinte afirmação: A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a 180º 65

8 MARIA ALICE CAMILO, ESCOLA BÁSICA DOS 2. O E 3. O CICLOS COM ENSINO SECUNDÁRIO DO CERCO Nesta actividade vais trabalhar com um programa, o GeoGebra, que permite fazer muitas investigações em Geometria. Para te começares a perceber do modo como podes trabalhar com ele propomos-te que investigues uma propriedade dos triângulos. Actividade 1 a) Esconde o sistema de eixos (No menu selecciona Exibir e clica em Eixos coordenados ). b) Cria três pontos A, B e C (Na barra de ferramentas selecciona o modo Novo ponto. Clica na zona gráfica para criar os vértices A, B, C do triângulo.) c) Constrói os três lados do triângulo, ou seja os segmentos que unem os pontos dois a dois d) Arrasta um dos vértices do triângulo e verifica que o triângulo muda de forma. Actividade 2 a) Pede as medidas dos ângulos internos do triângulo [ABC]; faz para isso o seguinte: Selecciona o modo Ângulo na barra de ferramentas e clica sobre o triângulo; Procede de igual forma para os outros dois ângulos internos do triângulo [ABC]; Escolhe o modo Mover e arrasta os vértices do triângulo. Que observas? Calcula a soma das amplitudes dos três ângulos do triângulo. Para isso, escreves, na barra algébrica, a variável soma: soma = α + β + γ ; b) Arrasta um dos vértices do triângulo. Verifica que nos vários triângulos que obténs ao arrastar um dos vértices, a soma dos ângulos é sempre 180º. De facto, embora as amplitudes de qualquer dos ângulos internos varie, o valor de 180º mantém-se sempre constante. Então, tens bastantes motivos para acreditar que deverá ser verdadeira a seguinte afirmação: A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a 180º 66

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