Revisão estatística e probabilidade. Prof. Anderson Almeida Ferreira
|
|
- Pedro Henrique Martim Mendes Benke
- 8 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 Revisão estatística e probabilidade Prof. Anderson Almeida Ferreira
2 População População é o conjunto de elementos (indivíduos, objetos, etc.) que formam o universo de nosso estudo e que são passíveis de serem observados, sob as mesmas condições. Num processo de inspeção da qualidade, a população pode ser considerada como o conjunto de todos os itens que saem da linha de produção. Numa pesquisa de mercado, a população é o conjunto de possíveis consumidores.
3 Amostragem Grande parte das pesquisas científicas ou de resoluções de problemas de engenharia são feitos por amostragem, ou seja, observamos apenas um subconjunto de elementos da população. A amostragem é particularmente interessante quando: a população é grande ou infinita. as observações ou mensurações têm alto custo. as medidas exigem testes destrutivos. necessidade de rapidez, etc. POPULAÇÃO: todos os possíveis consumidores amostragem Amostra: um subconjunto dos consumidores inferência
4 População e Amostra População (ou universo): todos os N membros de uma classe ou grupo. Ex.: todos os processos executados numa máquina durante o período que esteve ativa. Amostra é uma parte da população, denotada por n. Ex.: todos processos executados pela máquina em 18/03/2006
5 Variáveis Normalmente, estamos interessados em certas características dos objetos de uma população. Por exemplo: Número de falhas; Espessura de cada parede; Sexo de um formando; Idade com que um indivíduo se formou Uma característica pode ser categorizada, como sexo ou tipo de defeito, ou pode ser de natureza numérica.
6 Variáveis Uma variável é qualquer característica que cujo valor pode mudar de um objeto para outro da população. Ou seja, uma variável, é o nome que se dá a um fenômeno que pode ser medido e que varia conforme a medição. Se não variasse seria uma constante e não teria maior interesse para a pesquisa. Normalmente, identificamos as variáveis com letras minúsculas do final do alfabeto. Exemplo: x = marca da calculadora de um estudante y = número de defeitos graves em um automóvel recentemente fabricado z = distância de frenagem de um automóvel sob condições específicas
7 Variáveis Os dados resultam da observação de uma, ou de duas ou mais variáveis simultaneamente. Univariados observações sobre uma única variável. Exemplos: Tipo de transmissão (A, M) de cada um dentre 10 automóveis recentemente comprados Vida útil (horas) de baterias da marca D colocadas em determinado uso Bivariados observações feitas em cada uma de duas variáveis. Exemplo: O par (altura, peso) de cada jogador de basquete de um time. Multivariados quando são feitas observações sobre mais de duas variáveis
8 Pesquisa Observacional e Experimental Numa pesquisa observacional (ou de levantamento) as características de uma população são levantadas (observadas ou medidas), mas sem manipulação. É o caso de um censo demográfico, pesquisas eleitorais, pesquisas de mercado, inspeção da qualidade, etc. Em todos esses casos, se quer ter idéia de uma certa população tal qual ela é na natureza ou no processo. Nas pesquisas experimentais, grupos de indivíduos (ou animais, ou objetos) são manipulados para se avaliar o efeito de diferentes tratamentos. É o caso de se verificar o rendimento de um processo químico para diferentes temperaturas de reação, as quais são manipuladas de acordo com o interesse prático.
9 Os métodos não são os mesmos
10 Estatística Descritiva É utilizada quando se deseja simplesmente resumir e descrever características importantes de dados coletados Envolve: Coletar dados Apresentar dados Caracterizar dados Finalidade: Descrever dados
11 Estatística Inferencial É utilizada quando um investigador usa as informações da amostra para tirar algum tipo de conclusão sobre a população Envolve: Estimativas Testes de Hipótese Finalidade: Tomar decisões sobre características da população de uma coleta
12 Terminologia
13 Variável Aleatória Uma variável aleatória (VA) x em um espaço amostral S é uma função x: S que atribui um número real a cada ponto amostral em S Ou seja, uma variável aleatória é uma variável que recebe um valor numérico como resultado de um experimento. Ex. Atrasos numa rede, tempo de resposta de um servidor, tempo entre chegadas de clientes em um servidor, número de tweets recebidos por uma conta experimental do Twitter
14 Média A média amostral Para um conjunto de números x 1, x 2, x 3,...x n, x Para informar a média amostral recomenda-se o uso de precisão decimal de um dígito a mais do que a precisão dos x i. Média da população = (soma dos N valores da população)/n n i 1 n x i
15 Mas cuidado com Média
16 Variância Considere-se as três séries de valores abaixo: <10, 12, 14, 9> <1, 20, 2, 22> <11, 11, 11, 12> É possível notar certa semelhança entre elas? Aparentemente são conjuntos bem diferentes. Mas todos têm a mesma média: 11,25.
17 Variância Essa observação do distanciamento dos elementos em relação à média é chamada de variância. Então, além da média, o pesquisador deve ficar atento também à variância do conjunto de valores, já que esta complementa a caracterização do conjunto.
18 Cálculo da variância Para cada elemento, subtraia a média do conjunto deste elemento: <10-11,25, 12-11,25, 14-11,25, 9-11,25> = <-1,25, 0,75, 2,75, -2,25> <1-11,25, 20-11,25, 2-11,25, 22-11,25> = <-10,25, 8,75, -9,25, 10,75> <11-11,25, 11-11,25, 11-11,25, 12-11,25> = <-0,25, -0,25, -0,25, 0,75> Agora, cada valor representa a distância do elemento para a média do conjunto
19 Eleve os valores resultantes ao quadrado: <-1,25 2, 0,75 2, 2,75 2, -2,25 2 > = <1,5625, 0,5625, 7,5625, 5,0625> <-10,25 2, 8,75 2, -9,25 2, 10,75 2 > = <105,0625, 76,5625, 85,5625, 115,5625> <-0,25 2, -0,25 2, -0,25 2, 0,75 2 > = <0,0625, 0,0625, 0,0625, 0,5625> Isso faz com que todas as distâncias fiquem positivas e aumenta a influência de elementos mais distantes da média.
20 Some os resultados: 1,5625+0,5625+7,5625+5,0625 = 14,75 105, , , ,5625 = 382,75 0,0625+0,0625+0,0625+0,5625 = 0,75 Isso gera um valor absoluto da variância acumulada
21 Divida pelo número de elementos do conjunto menos 1: 14,75/3 = 4, ,75/3 = 127, ,75/3 = 0,25 Isso gera a distância média, ou seja, independente do número de elementos no conjunto. Poderia ser n ao invés de n-1, mas a variância de um conjunto com apenas 1 elemento deve ser indeterminada.
22 Fórmula da Variância é a variância do conjunto X representa cada um dos elementos do conjunto X é a média do conjunto X é o número de elementos do conjunto X
23 Desvio-Padrão O desvio-padrão é uma medida também bastante utilizada para analisar conjuntos e é definido simplesmente como a raiz quadrada da variância
24 Indices de Dispersão Medem qual é a variação de conjunto de dados Intervalo (minímo e máximo) Variancia da amostra E os derivados da variância da amostra: Desvio Padrão, S s 1 n xi n 1 i1 2 2 COV = Razão da média da amostra e o desvio padrão s / x Percentis Especificação de quantas observações caem nos intervalos x
25 Sumarização de Dados Dado uma amostra {x 1, x 2,..., x n } de no observações. No caso da mediana, x (i) é o i-esimo elemento da lista ordenada 4. Mediana x(( n1/ 2) se impar 0.5( x( n/ 2) x(( n1)/ 2) ) se par 5. Moda: observação com maior frequência 6. Variância da amostra s 2 1 n 1 n i1 ( x i x) 2
26 Sumarização de Dados Dado uma amostra {x 1, x 2,..., x n } de no observações. 7. Desvio Padrão s 1 n 1 n i1 ( x i x) 2 8. Coeficiente de Variação = s / x
27 Mediana amostral: Valor x~ Mediana tal que 50% dos pontos estão abaixo dele Ordene as observações em ordem crescente x~ x~ = ao (n+1)/2 esimo valor se n impar = à média do (n/2)-esimo e do (n/2+1)-esimo valores, se n par Divide as observações em duas partes
28 Quartis e Percentis Quartis: Divide as observações em 4 partes O 2º quartil é a mediana Percentis: Divide as observações em 100 partes 99-esimo percentil separa as 1% maiores observações do restante
29 Exercício O artigo The Pedaling Technique of Elite Endurance Cyclists (Int. J. of Sport Biomechanics, 1991, p.29-53) relatou os dados a seguir sobre a potência de uma única perna de um ciclista em alta carga de trabalho: Calcule a média e a mediana amostral. Suponha que a primeira observação tenha sido 204 em vez de 244. Como a média e a mediana seriam afetadas? Calcule uma média aparada, eliminando a maior e a menor observação da amostra O artigo também relatou valores sobre a potência uma única perna para uma carga de trabalho baixa. A média amostral para 13 observações foi 119,8 e a 14ª observação foi 159. Qual é o valor da média para a amostra toda?
30 Exercício O artigo Oxygen Consumption During Fire Suppression: Error of Heart Rate Estimation (Ergonomics, 1991, p ) informou os dados a seguir sobre consumo de oxigênio (ml/kg/min) para uma amostra de 10 bombeiros em uma simulação de supressão de incêndio: 29,5 49,3 30,6 28,2 28,0 26,3 33,9 29,4 23,5 31,6 Calcule: A amplitude amostral A variância amostral O desvio padrão
31 Exercício Em uma amostra foram observados os seguintes valores para uma característica: 116,4 115,9 114,6 115,2 115,8 Calcule a média amostral e os desvios em relação a média Use os desvios calculados para obter a variância amostral e o desvio padrão amostral Subtraia 100 de cada observação para obter uma nova amostra de valores transformados. Calcule a variância amostral desses valores e a compare a variância dos dados originais.
32 Probabilidade Probabilidade se refere ao estudo da aleatoriedade e da incerteza A teoria da probabilidade oferece métodos de quantificação das chances ou possibilidades de ocorrência associadas aos diversos resultados Experimento qualquer ação ou processo cujo resultado está sujeito a incerteza.
33 Espaço Amostral O espaço amostral de um experimento, representado por S, é o conjunto de todos os resultados possíveis desse experimento. Exemplos: Examinar um fusível para verificar se funciona S={N, D} N representa sem defeito e D com defeito Examinar três fusíveis em sequência S={NNN, NND, NDN, NDD, DNN, DND, DDN, DDD}
34 Exemplo Dois postos de gasolina estão localizados em uma determinada interseção. Cada um possui seis bombas. Considere o experimento em que o número de bombas em uso em determinada hora do dia é determinado para cada posto.
35 Exemplo Se uma bateria de lanterna nova, tipo D, tiver uma voltagem fora de certos limites, será classificada como falha (F); se a voltagem estiver dentro dos limites especificados, será classificada como sucesso (S). Suponha que um experimento consista em testar cada bateria quando sai de uma da linha de montagem até que seja observado um sucesso.
36 Evento Evento é qualquer grupo (subconjunto) de resultados contidos no espaço amostral S. Simples se possui um único resultado Composto se possui mais de um resultado Quando um experimento é realizado, determinado evento A ocorre se o resultado experimental estiver contido em A.
37 Exemplo Considere um experimento em que cada um de três veículos que trafeguem em uma determinada estrada siga ela saída à esquerda (E) ou à direita (D) no final da rampa de saída. Alguns eventos compostos: O evento em que exatamente um dos três veículos vira à direita O evento em que no máximo um dos veículos vira à direita O evento em que os três veículos viram na mesma direção
38 Exemplo Para o exemplo das bombas em uso em cada um de dois postos Exemplos de eventos compostos O evento em que o número de bombas em uso é o mesmo nos dois postos; O evento em que o número total de bombas em uso é 4; O evento em que no máximo uma bomba está em uso em cada posto.
39 Álgebra de Eventos
40 Álgebra de Eventos
41 Álgebra de Eventos
42 Álgebra de Eventos
43 Três axiomas da probabilidade Dado um experimento e um espaço amostral S, o objetivos da probabilidade é atribuir a cada evento A um número P(A), denominado probabilidade do evento A, que fornecerá uma medida precisa da chance de ocorrência de A. Para assegura que as atribuições de probabilidades sejam consistentes, todas as atribuições devem satisfazer os axiomas a seguir: Para qualquer evento A, P(A) >= 0 P(S) = 1 (Normalização) Se A e B são mutuamente exclusivos P (A + B) = P(A) + P(B)
44 Exemplo Representando os seis eventos simples associados ao lançamento de um dado de seis lados por E 1, E 2, E 3, E 4 E 5 e E 6. Se o dado for construído de tal forma que qualquer um dos três resultados pares tenha o dobro de probabilidade de ocorrer em relação aos ímpares, como seria uma atribuição apropriada de probabilidades a cada evento simples? Qual seria a probabilidade do evento A = resultado par?
45 Técnicas de contagem Quando os diversos resultados são igualmente prováveis, a tarefa de calcular probabilidades se reduz a contagem. Em particular se N for a quantidade de resultados de um espaço amostral e N(A) for a quantidade de resultados contidos em um evento A, então P(A) = N(A)/N
46 Técnicas de Contagem Regra do produto Se o primeiro elemento ou objeto de um par ordenado puder ser selecionado de n 1 formas e para cada uma das n 1 formas, o segundo elemento do par pode se selecionado de n 2 formas, o número de pares é n 1 n 2. Exemplo: Uma família se mudou para uma cidade e precisa dos serviços de um obstetra e de um pediatra. Há duas clínicas de fácil acesso e cada uma tem dois obstetras e três pediatras. De quantas formas a família pode escolher os dois especialistas na mesma clínica.
47 Exemplo Há 10 professores disponíveis para correção de provas de um determinado curso. O primeiro exame consiste em quatro questões e deseja-se selecionar um professor diferente para corrigir cada uma (apenas um por questão). De quantas formas diferentes os professores podem ser escolhidos para a correção?
48 Combinação Definição Dado um conjunto de n objetos diferentes, qualquer subconjunto não-ordenado de tamanho k é denominado combinação. O número de combinações de tamanho k que podem ser formadas a partir de n objetos é representado por n k n k P k, n k! n! k!( n k)!
49 Exemplo Um depósito de uma universidade recebeu uma entrega de 25 impressoras, das quais 10 são impressoras a laser e 15 são a jato de tinta. Se 6 das 25 forem selecionadas aleatoriamente para serem verificadas por um técnico, qual será a probabilidade de que exatamente 3 delas sejam a laser? E a probabilidade de ao menos 3 impressoras a jato de tinta serem selecionadas?
50 Probabilidade Condicional Exemplo Componentes complexos são montados em uma fábrica que usa duas linhas de montagem diferentes: A e A. A linha A usa equipamentos mais antigos que A, de forma que é mais lenta e um pouco menos confiável. Suponha que em determinado dia, a linha A tenha montado 8 componentes, dos quais 2 foram identificados como defeituosos e 6 não defeituosos, ao passo que a linha A produziu 1 defeituoso e 9 não defeituosos. O gerente de vendas seleciona aleatoriamente 1 dos 18 componentes para uma demonstração. Antes da demonstração, qual a probabilidade do componente selecionado ser na linha A? Se o componente tiver defeito, qual a probabilidade do componente selecionado ser na linha A?
51 Probabilidade condicional A probabilidade condicional trata da probabilidade de ocorrer um evento A, tendo ocorrido um evento B, ambos do espaço amostral S, ou seja, ela é calculada sobre o evento B e não em função o espaço amostral S.
52 Exemplo Probabilidade condicional Uma pesquisa realizada entre 1000 consumidores,registrou que 650 deles trabalham com cartões de crédito da bandeira MasterCard, que 550 trabalham com cartões de crédito da bandeira VISA e que 200 trabalham com cartões de crédito de ambas as bandeiras. Qual a probabilidade de ao escolhermos deste grupo uma pessoa que utiliza a bandeira VISA, ser também um dos consumidores que utilizam cartões de crédito da bandeira MasterCard?
53 Probabilidade condicional
54 Exercício Suponha que, de todos os indivíduos que compram uma determinada câmera digital, 60% incluem um cartão de memória opcional na compra, 40% incluem uma pilha extra e 30% incluem um cartão e uma pilha. Dado que o indivíduo selecionado comprou uma pilha extra, qual é a probabilidade de compra de um cartão opcional?
55 Variáveis Aleatórias Def.: Para um dado espaço amostral S de um experimento, uma variável aleatória (va) é qualquer regra que associe um valor a cada resultado de S. Em termos matemáticos, uma variável aleatória é uma função cujo domínio é o espaço amostral e o contradomínio é um conjunto de números reais. Exemplo: Quando um estudante tenta acessar um computador em um sistema de compartilhamento de tempo, toda as portas estão ocupadas (F), caso em que o aluno não terá sucesso, ou haverá ao menos uma porta livre (S), caso em que o estudante conseguirá acessar o sistema. Com S= {S, F}, defina uma va X X(S) = 1 X(F)=0
56 Variáveis aleatórias Variável aleatória de Bernoulli Qualquer variável aleatória cujos únicos valores possíveis são 0 e 1. Variáveis aleatórias discretas, quando os valores possíveis constituem um conjunto finito ou podem ser relacionados em uma sequência infinita na qual haja um primeiro elemento, segundo elemento e assim por diante. Variáveis aleatórias contínuas, quando o seu conjunto de valores possíveis consiste em um intervalo completo da reta de números (Reta real).
57 Distribuição de probabilidade para variáveis aleatórias discretas Exemplo: Seis lotes de componentes estão prontos para embarque em um fornecedor. O número de componentes com defeito em cada lote é mostrado a seguir: Lote Número de peças com defeito Seja X o número de peças com defeito no lote selecionado. Sendo os eventos igualmente prováveis p(0) = P( X=0 ) = p(1) = P( X=1 ) = p(2) = P( X=2 ) =
58 Função de massa de probabilidade Def.: A função distribuição de probabilidade ou função de massa de probabilidade (fmp ou pmf) de uma va discreta é definida para cada número x por p(x) = P(X=x)=P(todos os ss: X(s)=x). Exemplo 1: Suponha que visitemos uma loja durante uma semana e observemos se a próxima pessoa a comprar um computador comprará um laptop ou um desktop. Se 20% de todos os computadores durante aquela semana selecionaram um laptop, a fmp de X será:
59 Exemplo 2: Considere um grupo de cinco doadores de sangue potenciais: A, B, C, D e E. Desses apenas A e B possuem O+. Cinco amostras de sangue, uma de cada indivíduo, serão testadas em ordem aleatória até que seja identificado um indivíduo O+. Seja va Y=número de testes necessários para identificar um indivíduo O+. Então a fmp de Y é:
60 p(x) PDF (probability distribution function) ou pmf Seja X o número de visitas que cada requisição faz ao disco p(x): p(0) = 0.25 p(1) = 0.5 p(2) = Função de Probabilidade de Massa # visitas ao disco
61 # Requisições Histograma Outra representação gráfica equivalente Plota o número de vezes que a saída de um experimento aleatório foi igual a cada ponto amostral Ex: se total de requisições ao servidor = Histograma # visitas ao disco
62 Zipf() Distribuições Discretas Comumente usada quando a distribuição é altamente concentrada em poucos valores Popularidade de arquivos em servidores Web/multimídia 90% dos acessos são para 10% dos arquivos Popularidade de palavras na língua inglesa Seja i, o elemento que ocupa a i-esima posição no ranking de concentração C P( X i) i i C é a constante de normalização Zipf: lei das Potências 1,2,...
63 Distribuição Zipf Modela popularidade dos remetentes de s
64 Parâmetro de uma distribuição de probabilidade No exemplo 1, tínhamos p(0)=0,8 e p(1)=0,2. Em outra loja temos p(0)=0,9 e p(1) = 0,1. De forma geral, a fmp de qualquer va Bernoulli pode ser expressa na forma 1 se x 0 p( x; ) se x 1 0 caso contrário aqui é um parâmetro
65 Função de distribuição acumulada (FDA ou CDF) A FDA F(x) de uma va discreta X com fmp p(x) é definida para cada valor de x po F( x) P( X Para qualquer valor x, F(x) é a probabilidade de o valor X observado ser no máximo x. x) y: yx p( y)
66 Exemplo: Para a fmp y P(y) 0,4 0,3 0,2 0,1 F(y) para cada valor de {1,2,3,4} é: F(2,7)= F(3,9999)=
67
68 Valor Esperado Seja X uma va discreta com conjunto de valores possíveis D e fmp p(x). O valor esperado ou valor médio de X denotado por E(X) ou x é E ( X ) x x p( x) xd Qual o valor esperado de uma va Bernoulli X?
69 Distribuição de probabilidade binomial Há diversos experimentos que satisfazem exatamente ou aproximadamente a seguinte lista de requisitos: O experimento consiste em uma sequência de n experimentos menores denominados tentativas, onde n é estabelecido antes do experimento. Cada tentativa pode resultar em um de dois resultados possíveis, chamados de sucesso (S) ou falha (F). As tentativas são independentes, de forma que o resultado de qualquer tentativa particular não influencia o resultado de qualquer outra tentativa. A probabilidade de sucesso é constante de uma tentativa para a outra. Denominamos essa probabilidade p. Um experimento para o qual essas condições são satisfeitas é denominado experimento binomial. Exemplo: A mesma moeda é lançada sucessiva e independentemente n vezes.
70
71
72
73 Exercício Calcule usando a fórmula b(3; 8, 0,6)= b(5; 8, 0,6)= P(3 X 5) quando n=8 e p=0,6 P(1 X) quando n=12 e p=0,1
74
75
76
77
78
79
80 Exercício Seja X o número de falhas na superfície de uma caldeira de um determinado tipo selecionada aleatoriamente, com distribuição de Poisson de parâmetro =5. Calcule P(X8)= P(X=8)= P(X9)= P(5 X 8)= P(5<X<8)= x F(x;) 0,007 0,040 0,125 0,265 0,440 0,616 0,762 0,867 0,932 0,968 0,986
81
82 Exemplo A probabilidade de X ter um valor no intervalo [a, b] é a área contida entre o intervalo e abaixo da curva da função de densidade. O gráfico de f(x) normalmente é denominado curva de densidade.
83 Função de distribuição acumulada e valores esperados A função de distribuição acumulada F(x) de uma va contínua X é definida para cada número x por É a área abaixo da curva de densidade à esquerda de x. O valor médio ou esperado de uma va contínua X com fdp f(x) é A variância de uma va contínua X com fdp f(x) e média é V ( X ) ( x ) f ( x) dx E[( x ) ] X x F ( x) P( X x) f ( y) dy x E( X ) x f ( x) dx
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93 Exemplo Suponha que o tempo de resposta X em um terminal de computador on-line específico tenha distribuição exponencial com tempo de resposta esperado igual a 5 segundos. Qual é a probabilidade de o tempo de resposta ser no máximo 10 segundos? 1 E( X ) 5, 0,2 P( X 10) F(10;0,2) 1 e (0,2)(10) 1 e 1 0,135 0,865 A probabilidade de o tempo de resposta estar entre 5 e 10 é P(5 X 10) F(10;0,2) F(5;0,2) 2 1 (1 e ) (1 e ) 0,233 2
94
95
96
97
98
99 Intervalos de confiança Estimando a População a Partir das Amostras Quão alto são os humanos? Medir todos nesta sala (amostra) Calcular a média da amostra x Assumir que a média da população é igual da amostra. x Uma estimativa pontual não diz nada sobre o quanto pode estar próxima de Uma alternativa para apresentar um único valor sensato para o parâmetro que está sendo estimado é calcular e relatar um intervalo completo de valores plausíveis.
100 Intervalos de confiança Valor da média da amostra é apenas uma estimativa da verdadeira média da distribuição. Os limite c 1 e c 2 tais que existe uma alta probabilidade, 1-, que a média da população está no intervalo (c 1,c 2 ): Pr{ c 1 < m < c 2 } =1- Pr[ x c1 ] Pr[ x c2] 2 onde é o nível de significância e 100(1- ) é o nível de confiança
101 Intervalos de Confiança Quão alto é José? Suponha que a média da altura humana seja 1,70 m José mede 1,70 m certo? Suponha que 90% dos humanos estão entre 1,55 e 1,90 m José está entre 1,55 e 1,90 m Então estamos 90% confiantes que José está entre 1,55 e 1,90 cm
102 Estimando os Intervalos de Confiança Duas fórmulas para intervalo de confiança Acima de 30 amostras de qualquer distribuição: distribuição-z Pequenas amostras de populações normalmente distribuídas: distribuição-t
103 Distribuição Z O intervalo de confiança 100(1-)% da média de uma população normal, quando o valor de e conhecido, é dado por x z / 1 / 2 Teorema do limite central: A média amostral de observações distribuídas identicamente e independentes: x ~ N( ; / n) n
104 Distribuição-z Intervalo em cada lado da média: z x / x n x z 1 2 s n O nível de significância é pequeno para níveis maiores do intervalo de confiança. Existem tabelas para a variável z! z z
105 Exemplo da Distribuição z 35 amostras: x Média da amostra = 42,1 Desvio padrão s = 20,1 n = 35 z z x z 1 2 s n Calcule o intervalo com 90% de confiança (. ) 1 ( 36. 5, 47. 7) 35
106
107 Definindo o tamanho da amostra Quantas observações n para obter uma acurácia de r% e um nível de confiança 100(1-)%? x z r% de acurácia implica em CI = ( x(1 r /100), x(1 r /100)) s n
108 Distribuição t Fórmula quase a mesma: x t 1 2 ; n1 s n Usável para populações normalmente distribuídas! Mas funciona para pequenas amostras n-1 indica o grau de liberdade
109 Exemplo da Distribuição t 10 amostras de chegada de transações: Média da amostra x= Desvio padrão s = 25.1, n = 10 Calcule o intervalo de confiança de 90%: x t 1 2 ; n1 s n Quanto é t 10.1 ;101 2
110 Exemplo da Distribuição t x (. ) ( , ) 10
111 Exemplo da Distribuição t 10 amostras de chegada de transações: Média da amostra x = Desvio padrão s = 25.1, n = 10 Calcule o intervalo de confiança de 90%: x t 1 2 ; n1 s n (. ) ( , ) 10 Calcule agora o intervalo de 99% de confiança
112 Exemplo da Distribuição t x (. ) ( , ) 10
113 Exemplo da Distribuição t 10 amostras de chegada de transações: Média da amostra x = Desvio padrão s = 25.1, n = 10 Calcule o intervalo de confiança de 90%: x t 1 2 ; n1 s n (3.250) 10 (144.7,196.3)
114
115 Tomando decisões sobre os dados experimentais Por que usamos intervalos de confiança? Sumarizar o erro na média da amostra Prover elementos para saber se a amostra é significativa Permitir comparações à luz dos erros
116
117 Referências Raj Jain. The Art of Computer System Performance Analysis: Techniques for Experimental Design, Measurement, Simulation and Modeling, John Wiley & Sons, Inc., Jay L. Devore, PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA PARA ENGENHARIA E CIÊNCIAS. Cengage Learning, Material didático do prof. Fabrício Benevenuto. Material didático da profa. Jussara Almeida DCC/UFMG.
Probabilidade Aula 02
0303200 Probabilidade Aula 02 Magno T. M. Silva Escola Politécnica da USP Março de 2017 Sumário 2.3 Técnicas de contagem 2.4 Probabilidade condicional 2.3 Princípio fundamental da contagem Suponhamos que
Leia maisAvaliação e Desempenho Aula 5
Avaliação e Desempenho Aula 5 Aula passada Revisão de probabilidade Eventos e probabilidade Independência Prob. condicional Aula de hoje Variáveis aleatórias discretas e contínuas PMF, CDF e função densidade
Leia maisTeoria das Filas aplicadas a Sistemas Computacionais. Aula 08
Teoria das Filas aplicadas a Sistemas Computacionais Aula 08 Universidade Federal do Espírito Santo - Departamento de Informática - DI Laboratório de Pesquisas em Redes Multimidia - LPRM Teoria das Filas
Leia maisModelagem e Avaliação de Desempenho. Pós Graduação em Engenharia Elétrica - PPGEE Prof. Carlos Marcelo Pedroso 2017
Modelagem e Avaliação de Desempenho Pós Graduação em Engenharia Elétrica - PPGEE Prof. Carlos Marcelo Pedroso 2017 Análise de desempenho São disponíveis duas abordagens para realizar a análise de desempenho:
Leia maisModelagem e Avaliação de Desempenho. Pós Graduação em Engenharia Elétrica - PPGEE Prof. Carlos Marcelo Pedroso 2018
Modelagem e Avaliação de Desempenho Pós Graduação em Engenharia Elétrica - PPGEE Prof. Carlos Marcelo Pedroso 2018 Análise de desempenho São disponíveis duas abordagens para realizar a análise de desempenho:
Leia maisConceitos Básicos, Básicos,Básicos de Probabilidade
Conceitos Básicos, Básicos,Básicos de Probabilidade Espaço Amostral Base da Teoria de Probabilidades Experimentos são realizados resultados NÃO conhecidos previamente Experimento aleatório Exemplos: Determinar
Leia maisProbabilidade Aula 04
0303200 Probabilidade Aula 04 Magno T. M. Silva Escola Politécnica da USP Março de 2017 A maior parte dos exemplos dessa aula foram extraídos de Jay L. Devore, Probabilidade e Estatística para engenharia
Leia maisMOQ-13 PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA. Professor: Rodrigo A. Scarpel
MOQ-13 PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA Professor: Rodrigo A. Scarpel rodrigo@ita.br www.mec.ita.br/~rodrigo Programa do curso: Semanas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 e 16 Introdução à probabilidade (eventos,
Leia maisProbabilidade e Estatística
Probabilidade e Estatística Aula 5 Probabilidade: Distribuições de Discretas Parte 1 Leitura obrigatória: Devore, 3.1, 3.2 e 3.3 Chap 5-1 Objetivos Nesta parte, vamos aprender: Como representar a distribuição
Leia maisModelagem e Avaliação de Desempenho. Pós Graduação em Engenharia Elétrica - PPGEE Prof. Carlos Marcelo Pedroso 2014
Modelagem e Avaliação de Desempenho Pós Graduação em Engenharia Elétrica - PPGEE Prof. Carlos Marcelo Pedroso 2014 Análise de desempenho São disponíveis duas abordagens para realizar a análise de desempenho:
Leia maisRedes de Computadores sem Fio
Redes de Computadores sem Fio Prof. Marcelo Gonçalves Rubinstein Programa de Pós-Graduação em Engenharia Eletrônica Faculdade de Engenharia Universidade do Estado do Rio de Janeiro Programa Introdução
Leia maisF (x) = P (X x) = Σ xi xp(x i ) E(X) = x i p(x i ).
Variável Aleatória Uma variável aleatória é uma variável numérica, cujo valor medido pode variar de uma réplica para outra do experimento. Exemplos: (i) Variáveis aleatórias contínuas: corrente elétrica,
Leia maisAvaliação de Desempenho
Avaliação de Desempenho Aula passada Métricas, Técnicas, Erros Aula de hoje Conceitos importantes de probabilidade Como fazer a análise de desempenho? Modelos Matemáticos Modelos de Simulação Como fazer
Leia maisCálculo das Probabilidades e Estatística I
Cálculo das Probabilidades e Estatística I Prof a. Juliana Freitas Pires Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba - UFPB juliana@de.ufpb.br Variáveis Aleatórias Ao descrever um espaço
Leia maisTécnicas Computacionais em Probabilidade e Estatística I. Aula I
Técnicas Computacionais em Probabilidade e Estatística I Aula I Chang Chiann MAE 5704- IME/USP 1º Sem/2008 1 Análise de Um conjunto de dados objetivo: tratamento de um conjunto de dados. uma amostra de
Leia maisAmostragem Aleatória e Descrição de Dados - parte I
Amostragem Aleatória e Descrição de Dados - parte I 2012/02 1 Amostra e População 2 3 4 Objetivos Ao final deste capítulo você deve ser capaz de: Calcular e interpretar as seguintes medidas de uma amostra:
Leia mais1. ANÁLISE EXPLORATÓRIA E ESTATÍSTICA DESCRITIVA
1. ANÁLISE EXPLORATÓRIA E ESTATÍSTICA DESCRITIVA 2019 Estatística Descritiva e Análise Exploratória Etapas iniciais. Utilizadas para descrever e resumir os dados. A disponibilidade de uma grande quantidade
Leia maisAULA 07 Distribuições Discretas de Probabilidade
1 AULA 07 Distribuições Discretas de Probabilidade Ernesto F. L. Amaral 31 de agosto de 2010 Metodologia de Pesquisa (DCP 854B) Fonte: Triola, Mario F. 2008. Introdução à estatística. 10 ª ed. Rio de Janeiro:
Leia maisProbabilidade Revisão de Conceitos
Probabilidade Revisão de Conceitos Espaço de Amostras A totalidade dos possíveis resultados de um experimento aleatório. Exemplo: jogar dados S = {(1,1),(1,),... (,1),(,)... (6,6)} S é dito o número de
Leia maisVariáveis Aleatórias. Prof. Tarciana Liberal Departamento de Estatística - UFPB
Variáveis Aleatórias Prof. Tarciana Liberal Departamento de Estatística - UFPB Introdução Ao descrever o espaço amostral de um experimento aleatório, não especificamos que um resultado individual seja
Leia maisVariáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidade
Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades - parte III 08 de Abril de 2014 Distribuição Binomial Negativa Objetivos Ao final deste capítulo você deve ser capaz de: Ententer suposições
Leia maisCONHECIMENTOS ESPECÍFICOS
CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 X 39,0 39,5 39,5 39,0 39,5 41,5 42,0 42,0 Y 46,5 65,5 86,0 100,0 121,0 150,5 174,0 203,0 A tabela acima mostra as quantidades, em milhões
Leia maisProbabilidade e Estatística
Probabilidade e Estatística Aula 7 Distribuição da Média Amostral Leitura obrigatória: Devore: Seções 5.3, 5.4 e 5.5 Chap 8-1 Inferência Estatística Na próxima aula vamos começar a parte de inferência
Leia maisVariáveis Aleatórias. Prof. Luiz Medeiros Departamento de Estatística - UFPB
Variáveis Aleatórias Prof. Luiz Medeiros Departamento de Estatística - UFPB Introdução Ao descrever o espaço amostral de um experimento aleatório, não especificamos que um resultado individual seja um
Leia maisTeoria das Filas aplicadas a Sistemas Computacionais. Aula 09
Teoria das Filas aplicadas a Sistemas Computacionais Aula 09 Universidade Federal do Espírito Santo - Departamento de Informática - DI Laboratório de Pesquisas em Redes Multimidia - LPRM Teoria das Filas
Leia maisVariáveis Aleatórias. Prof. Tarciana Liberal Departamento de Estatística - UFPB
Variáveis Aleatórias Prof. Tarciana Liberal Departamento de Estatística - UFPB Introdução Ao descrever o espaço amostral de um experimento aleatório, não especificamos que um resultado individual seja
Leia maisProbabilidade e Estatística
Probabilidade e Estatística Aula 5 Probabilidade: Distribuições de Discretas Parte 2 Leitura obrigatória: Devore, seções 3.4, 3.5 (hipergeométrica), 3.6 Aula 5-1 Objetivos Nesta parte 01 aprendemos a representar,
Leia maisModelos Probabilísticos Teóricos Discretos e Contínuos. Bernoulli, Binomial, Poisson, Uniforme, Exponencial, Normal
Modelos Probabilísticos Teóricos Discretos e Contínuos Bernoulli, Binomial, Poisson, Uniforme, Exponencial, Normal Distribuição de Probabilidades A distribuição de probabilidades de uma variável aleatória:
Leia maisMB-210 Probabilidade e Estatística
Instituto Tecnológico de Aeronáutica Divisão de Engenharia Mecânica-Aeronáutica MB-210 Probabilidade e Estatística Profa. Denise Beatriz Ferrari www.mec.ita.br/ denise denise@ita.br 2o. semestre/2013 Variáveis
Leia maisMétodos Quantitativos para Ciência da Computação Experimental. Jussara Almeida DCC-UFMG 2013
Métodos Quantitativos para Ciência da Computação Experimental Jussara Almeida DCC-UFMG 2013 Revisão de Probabilidade e Estatística Concentrado em estatística aplicada Estatística apropriada para medições
Leia mais5 Distribuição normal de probabilidade. Estatística Aplicada Larson Farber
5 Distribuição normal de probabilidade Estatística Aplicada Larson Farber Seção 5.1 Introdução às distribuições normais Propriedades de uma distribuição normal Suas média, mediana e moda são iguais. Tem
Leia mais3 a Lista de PE Solução
Universidade de Brasília Departamento de Estatística 3 a Lista de PE Solução. Se X representa o ganho do jogador, então os possíveis valores para X são,, 0, e 4. Esses valores são, respectivamente, correspondentes
Leia maisProbabilidade e Modelos Probabilísticos
Probabilidade e Modelos Probabilísticos 2ª Parte: modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas, modelo uniforme, modelo exponencial, modelo normal 1 Distribuição de Probabilidades A distribuição
Leia mais1.1 Exemplo da diferença da média da população para a média amostral.
1 Estatística e Probabilidades Inferência Estatística consiste na generalização das informações a respeito de uma amostra, para a sua população. A Probabilidade considera modelos para estimar informações
Leia maisESTATÍSTICA. x(s) W Domínio. Contradomínio
Variáveis Aleatórias Variáveis Aleatórias são funções matemáticas que associam números reais aos resultados de um Espaço Amostral. Uma variável quantitativa geralmente agrega mais informação que uma qualitativa.
Leia maisMétodos Quantitativos para a Gestão Ambiental Probabilidades e Distribuições Estatísticas Parte 1 (4/13) Luiz Carlos Estraviz Rodriguez
Métodos Quantitativos para a Gestão Ambiental Probabilidades e Distribuições Estatísticas Parte 1 (4/13) Luiz Carlos Estraviz Rodriguez Distribuição de probabilidades Contexto O porquê desta aula Ao desenvolvermos
Leia maisCapítulo 2. Distribuições de Probabilidade Estimativas de parâmetros e tempos-atéfalha. Flávio Fogliatto
Capítulo 2 Distribuições de Probabilidade Estimativas de parâmetros e tempos-atéfalha Flávio Fogliatto 1 Ajustes de distribuições Em estudos de confiabilidade, dados são amostrados a partir de uma população
Leia maisConceito de Estatística
Conceito de Estatística Estatística Técnicas destinadas ao estudo quantitativo de fenômenos coletivos, observáveis. Unidade Estatística um fenômeno individual é uma unidade no conjunto que irá constituir
Leia maisMétodos Quantitativos para Ciência da Computação Experimental. Jussara Almeida DCC-UFMG 2016
Métodos Quantitativos para Ciência da Computação Experimental Jussara Almeida DCC-UFMG 2016 Revisão de Probabilidade e Estatística Concentrado em estatística aplicada Estatística apropriada para medições
Leia maisCapítulo 5 Distribuições de probabilidade normal Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.
Capítulo 5 Distribuições de probabilidade normal slide 1 Descrição do capítulo 5.1 Introdução à distribuição normal e distribuição normal padrão 5.2 Distribuições normais: encontrando probabilidades 5.3
Leia maisEstatítica Descritiva e Exploratória
Gledson Luiz Picharski e Wanderson Rodrigo Rocha 3 de Abril de 2008 Estatística Descritiva e exploratória 1 Introdução à análise exploratória de dados 2 Análise exploratória de dados: Medidas-resumo 3
Leia maisVariável aleatória. O resultado de um experimento aleatório é designado variável aleatória (X)
Variável aleatória O resultado de um experimento aleatório é designado variável aleatória (X) Função densidade de probabilidade A função densidade de probabilidade associa cada possível valor da variável
Leia maisEstatística Descritiva e Exploratória
Gledson Luiz Picharski e Wanderson Rodrigo Rocha 9 de Maio de 2008 Estatística Descritiva e exploratória 1 Váriaveis Aleatórias Discretas 2 Variáveis bidimensionais 3 Váriaveis Aleatórias Continuas Introdução
Leia mais1 Introdução. 2 Variáveis Aleatórias Discretas (VAD)
Prof. Janete Pereira Amador 1 1 Introdução Muitas situações cotidianas podem ser usadas como experimento que dão resultados correspondentes a algum valor, e tais situações podem ser descritas por uma variável
Leia maisUniversidade Federal de Mato Grosso - UFMT Probabilidade e Estatística
Universidade Federal de Mato Grosso - UFMT Probabilidade e Estatística 1 Introdução Definição: Estatística é um conjunto de conceitos e métodos científicos para coleta, organização, descrição, análise
Leia maisEstatística e Modelos Probabilísticos - COE241
Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241 Aulas passadas Espaço Amostral Álgebra de Eventos Axiomas de Probabilidade Análise Combinatória Aula de hoje Probabilidade Condicional Independência de Eventos
Leia mais6EMA Lucas Santana da Cunha 17 e 19 de abril de Universidade Estadual de Londrina
ESTATÍSTICA ECONÔMICA 6EMA020-1000 lscunha@uel.br http://www.uel.br/pessoal/lscunha/ Universidade Estadual de Londrina 17 e 19 de abril de 2017 1 o Bimestre Cronograma Critério de Avaliação Bibliografia
Leia maisEELT-7035 Processos Estocásticos em Engenharia. Variáveis Aleatórias. EELT-7035 Variáveis Aleatórias Discretas. Evelio M. G.
EELT-7035 Processos Estocásticos em Engenharia Variáveis Aleatórias Discretas 21 de março de 2019 Variáveis Aleatórias Variável aleatória, X( ): função que mapeia o espaço amostral (S) em números pertencentes
Leia maisProbabilidade. Objetivos de Aprendizagem. UFMG-ICEx-EST. Cap. 2 - Probabilidade Espaços Amostrais e Eventos. 2.1.
2 ESQUEMA DO CAPÍTULO 2.1 ESPAÇOS AMOSTRAIS E EVENTOS 2.2 INTERPRETAÇÕES E AXIOMAS DE PROBABILIADE 2.3 REGRAS DE ADIÇÃO 2.4 PROBABILIDADE CONDICIONAL 2.5 REGRAS DA MULTIPLICAÇÃO E DA PROBABILIDADE TOTAL
Leia maisVariáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidade
Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades - parte II 29 de Março de 2011 Distribuição Uniforme Discreta Média Propriedade da falta de memória Objetivos Ao final deste capítulo você
Leia maisà Análise de Padrões
CC-226 Introdução à Análise de Padrões Prof. Carlos Henrique Q. Forster Variáveis, Estatísticas sticas e Distribuições de Probabilidades Tópicos de hoje Definições Alguns estimadores estatísticos Distribuições
Leia maisCapítulo 5. Variáveis aleatórias. 5.1 Introdução
Capítulo 5 Variáveis aleatórias 5.1 Introdução Em experimentos aleatórios cujo espaço amostral contém alguns eventos de interesse é, em geral, mais fácil lidar como uma variável aleatória, isto é, é mais
Leia maisDistribuições de Probabilidade
Distribuições de Probabilidade 7 6 5 4 3 2 1 0 Normal 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Exemplos: Temperatura do ar 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 Assimetrica Positiva 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Exemplos: Precipitação
Leia maisUma breve introdução a probabilidade
Uma breve introdução a probabilidade Modelo Probabilístico Espaço amostral (S): conjunto de todos os resultados que podem ocorrer a partir de um experimento aleatório Probabilidade de eventos (P): quantificação
Leia maisPRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES
PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES Certas distribuições de probabilidades se encaixam em diversas situações práticas As principais são: se v.a. discreta Distribuição de Bernoulli Distribuição binomial
Leia maisPROBABILIDADE E ESTATÍSTICA. Profa. Dra. Yara de Souza Tadano
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA Profa. Dra. Yara de Souza Tadano yaratadano@utfpr.edu.br Aula 7 11/2014 Variáveis Aleatórias Variáveis Aleatórias Probabilidade e Estatística 3/41 Variáveis Aleatórias Colete
Leia maisProf. Adriano Mendonça Souza, Dr. Departamento de Estatística PPGEMQ / PPGEP - UFSM
Prof. Adriano Mendonça Souza, Dr. Departamento de Estatística PPGEMQ / PPGEP - UFSM Noções básicasb de Inferência Estatística descritiva inferencial População - Parâmetros desconhecidos (reais) Amostra
Leia maisConfiabilidade de sistemas. Uma importante aplicação de probabilidade nas engenharias é no estudo da confiabilidade de sistemas.
Confiabilidade de sistemas Uma importante aplicação de probabilidade nas engenharias é no estudo da confiabilidade de sistemas. Uma definição pratica de confiabilidade corresponde à probabilidade de um
Leia maisMedidas-Resumo. Tipos de Variáveis
Tipos de Variáveis Medidas-Resumo Exemplo 2.1 Um pesquisador está interessado em fazer um levantamento sobre alguns aspectos socioeconômicos dos empregados da seção de orçamentos da Companhia MB. Usando
Leia maisAnálise de dados, tipos de amostras e análise multivariada
Les-0773: ESTATÍSTICA APLICADA III Análise de dados, tipos de amostras e análise multivariada AULA 1 12/05/17 Prof a Lilian M. Lima Cunha Maio de 2017 Introdução O que significa o termo estatística? No
Leia maisIntrodução à probabilidade e à estatística II. Prof. Alexandre G Patriota Sala: 298A Site:
Introdução à probabilidade e à estatística II Revisão Prof. Alexandre G Patriota Sala: 298A Email: patriota@ime.usp.br Site: www.ime.usp.br/ patriota Estatística Estatística: É uma ciência que se dedica
Leia mais4ª LISTA DE EXERCÍCIOS - LOB1012. Variáveis Aleatórias Contínuas, Aproximações e TLC
4ª LISTA DE EXERCÍCIOS - LOB1012 Variáveis Aleatórias Contínuas, Aproximações e TLC Assunto: Função Densidade de Probabilidade Prof. Mariana Pereira de Melo 1. Suponha que f(x) = x/8 para 3
Leia maisDistribuição Normal de Probabilidade
Distribuição Normal de Probabilidade 1 Aspectos Gerais 2 A Distribuição Normal Padronizada 3 Determinação de Probabilidades 4 Cálculo de Valores 5 Teorema Central do Limite 1 1 Aspectos Gerais Variável
Leia maisInstituto Tecnológico de Aeronáutica Divisão de Engenharia Mecânica-Aeronáutica. Professora: Denise Beatriz T. P. do Areal Ferrari
Instituto Tecnológico de Aeronáutica Divisão de Engenharia Mecânica-Aeronáutica Professora: Denise Beatriz T. P. do Areal Ferrari denise@ita.br Distribuições Discretas Uniforme Bernoulli Binomial Poisson
Leia maisConteúdo Teórico: 04 Esperança
ACH2053 Introdução à Estatística Conteúdo Teórico: 04 Esperança Marcelo de Souza Lauretto Sistemas de Informação EACH www.each.usp.br/lauretto Referência: Morris DeGroot, Mark Schervish. Probability and
Leia maisProbabilidade ESQUEMA DO CAPÍTULO. UFMG-ICEx-EST Cap. 2- Probabilidade 1
Probabilidade ESQUEMA DO CAPÍTULO 2.1 ESPAÇOS AMOSTRAIS E EVENTOS 2.2 INTERPRETAÇÕES DE PROBABILIADE 2.3 REGRAS DE ADIÇÃO 2.4 PROBABILIDADE CONDICIONAL 2.5 REGRAS DA MULTIPLICAÇÃO E DA PROBABILIDADE TOTAL
Leia maisCONCEITOS BASICOS, ORGANIZAÇÃO E APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS, DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
DISCIPLINA: MÉTODOS QUANTITATIVOS PROFESSORA: GARDÊNIA SILVANA DE OLIVEIRA RODRIGUES CONCEITOS BASICOS, ORGANIZAÇÃO E APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS, DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA MOSSORÓ/RN 2015 1 POR QUE ESTUDAR
Leia maisMOQ-12: PROBABILIDADES E PROCESSOS ESTOCÁSTICOS. VA s e Distribuições
Motivação: MOQ-2: PROBABILIDADES E PROCESSOS ESTOCÁSTICOS VA s e Distribuições Definimos anteriormente Espaço de Probabilidades como sendo a tripla (W,, P(.)), em que, dado um eperimento, W representa
Leia maisPrincipais distribuições discretas Distribuição de Bernoulli sucesso fracasso X = 1, se sucesso X = 0, se fracasso P(X) TOTAL 1 Exemplo 5:
Principais distribuições discretas Na prática, sempre se procura associar um fenômeno aleatório a ser estudado, a uma forma já conhecida de distribuição de probabilidade (distribuição teórica) e, a partir
Leia maisDistribuição de Probabilidade. Prof. Ademilson
Distribuição de Probabilidade Prof. Ademilson Distribuição de Probabilidade Em Estatística, uma distribuição de probabilidade descreve a chance que uma variável pode assumir ao longo de um espaço de valores.
Leia maisDaniel Queiroz VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
Daniel Queiroz VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS INTRODUÇÃO O que é uma variável aleatória? Um tipo de variável que depende do resultado aleatório de um experimento aleatório. Diz-se que um experimento é
Leia maisRevisão de Probabilidade
05 Mat074 Estatística Computacional Revisão de Probabilidade Prof. Lorí Viali, Dr. viali@mat.ufrgs.br http://www.ufrgs.br/~viali/ Determinístico Sistema Real Causas Efeito Probabilístico X Causas Efeito
Leia maisRevisão de distribuições de probabilidades contínuas (Capítulo 6 Levine)
Revisão de distribuições de probabilidades contínuas (Capítulo 6 Levine) Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc. Chap 6-1 Objetivos: Neste capítulo, você aprenderá:
Leia maisDistribuições Contínuas de Probabilidade
Distribuições Contínuas de Probabilidade Uma variável aleatória contínua é uma função definida sobre o espaço amostral, que associa valores em um intervalo de números reais. Exemplos: Espessura de um item
Leia maisProfessora Ana Hermínia Andrade. Período
Distribuições de probabilidade Professora Ana Hermínia Andrade Universidade Federal do Amazonas Faculdade de Estudos Sociais Departamento de Economia e Análise Período 2016.2 Modelos de distribuição Para
Leia maisPROBABILIDADE E ESTATÍSTICA DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES PARTE I
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES PARTE I Bruno Baierle Maurício Furigo Prof.ª Sheila Regina Oro (orientadora) Edital 06/2013 - Produção de Recursos Educacionais Digitais Variável
Leia maisEstatística I Aula 8. Prof.: Patricia Maria Bortolon, D. Sc.
Estatística I Aula 8 Prof.: Patricia Maria Bortolon, D. Sc. MODELOS PROBABILÍSTICOS MAIS COMUNS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS Lembram o que vimos sobre V.A. contínua na Aula 6? Definição: uma variável
Leia maisSUMÁRIO. 1.1 Introdução, Conceitos Fundamentais, 2
SUMÁRIO 1 CONCEITOS BÁSICOS, 1 1.1 Introdução, 1 1.2 Conceitos Fundamentais, 2 1.2.1 Objetivo, 2 1.2.2 População e amostra, 2 1.3 Processos estatísticos de abordagem, 2 1.4 Dados estatísticos, 3 1.5 Estatística
Leia maisESTATÍSTICA ECONÔMICA A 6EMA
ESTATÍSTICA ECONÔMICA A 6EMA020-1000 Prof. Dr. Lucas Santana da Cunha email: lscunha@uel.br http://www.uel.br/pessoal/lscunha/ 21 de março de 2018 Londrina-PR 1 / 19 1 o Bimestre Plano do Curso Cronograma
Leia maisPROBABILIDADE RESUMO E EXERCÍCIOS* P1
PROBABILIDADE RESUMO E EXERCÍCIOS* P1 *Exercícios de provas anteriores escolhidos para você estar preparado para qualquer questão na prova. Resoluções grátis em Conceitos e Fundamentos Estudamos probabilidade
Leia maisEstatística Descritiva (I)
Estatística Descritiva (I) 1 O que é Estatística Origem relacionada com a coleta e construção de tabelas de dados para o governo. A situação evoluiu: a coleta de dados representa somente um dos aspectos
Leia maisLista de Exercícios #2 Assunto: Variáveis Aleatórias Discretas
1. ANPEC 2018 Questão 3 Considere um indivíduo procurando emprego. Para cada entrevista de emprego (X) esse indivíduo tem um custo linear (C) de 10,00 Reais. Suponha que a probabilidade de sucesso em uma
Leia maisCap. 8 - Variáveis Aleatórias
Variáveis Aleatórias Discretas: A de Poisson e Outras ESQUEMA DO CAPÍTULO 8.1 A DISTRIBUIÇÃO DE POISSON 8.2 A DISTRIBUIÇÃO DE POISSON COMO APROXIMAÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 8.3 O PROCESSO DE POISSON
Leia maisProbabilidade e Estatística
Probabilidade e Estatística Aula 6 Distribuições Contínuas (Parte 02) Leitura obrigatória: Devore, Capítulo 4 Chap 6-1 Distribuições de Probabilidade Distribuições de Probabilidade Distribuições de Probabilidade
Leia maisLista 1 de Exercícios Estatística II-CE003
Lista 1 de Exercícios Estatística II-CE003 1) Os dados abaixo mostram os primeiros, de um total 4 registros, de uma companhia seguradora. Cidade Motor Idade Segurados Sinistros 1 1
Leia maisTeoria das Probabilidades
Capítulo 2 Teoria das Probabilidades 2.1 Introdução No capítulo anterior, foram mostrados alguns conceitos relacionados à estatística descritiva. Neste capítulo apresentamos a base teórica para o desenvolvimento
Leia maisEstatística 1. Resumo Teórico
Estatística 1 Resumo Teórico Conceitos do Curso 1. Tipos de Variáveis e Representações Gráficas a. Tipos de Variáveis b. Distribuição de Frequências c. Histograma 2. Estatística Descritiva Medidas Estatísticas
Leia maisEstatística e Modelos Probabilísticos - COE241
Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241 Aula passada Exemplos Análise Combinatória Probabilidade Condicional Independência de Eventos Teorema da Probabilidade Total Lei de Bayes Aula de hoje Exemplo
Leia maisVariáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidade
Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades 01 de Abril de 2014 Objetivos Ao final deste capítulo você deve ser capaz de: Determinar probabilidades a partir de funções de probabilidade
Leia maisTestes de Hipóteses. Ricardo Ehlers Departamento de Matemática Aplicada e Estatística Universidade de São Paulo
Testes de Hipóteses Ricardo Ehlers ehlers@icmc.usp.br Departamento de Matemática Aplicada e Estatística Universidade de São Paulo Introdução e notação Em geral, intervalos de confiança são a forma mais
Leia maisEST029 Cálculo de Probabilidade I Cap. 4: Variáveis Aleatórias Unidimensionais
EST029 Cálculo de Probabilidade I Cap. 4: Variáveis Aleatórias Unidimensionais Prof. Clécio da Silva Ferreira Depto Estatística - UFJF Introdução Considere o experimento: Lançamento de uma moeda. Resultados
Leia maisVARIÁVEIS ALEATÓRIAS
UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA VARIÁVEIS ALEATÓRIAS Joaquim H Vianna Neto Relatório Técnico RTE-03/013 Relatório Técnico Série Ensino Variáveis
Leia maisRevisão de Estatística (Aplicada a Análise de Desempenho) Profa. Jussara M. Almeida 1 o Semestre de 2014
Revisão de Estatística (Aplicada a Análise de Desempenho) Profa. Jussara M. Almeida 1 o Semestre de 2014 Por quê? Modelagem probabilística Avaliação dos resultados Qual a probabilidade do tempo de residência
Leia maisLista de exercícios 2 Métodos Estatísticos Básicos
Lista de exercícios 2 Métodos Estatísticos Básicos Prof. Regis Augusto Ely 1 de julho de 2014 1 Variáveis aleatórias unidimensionais 1. Suponha que a variável aleatória X tenha os valores possíveis 1,
Leia maisEstatística e Modelos Probabilísticos - COE241
Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241 Aula passada Probabilidade Condicional Independência de Eventos Teorema da Probabilidade Total Lei de Bayes Aula de hoje Exemplo Lei de Bayes Variáveis Aleatórias
Leia mais