UM MODELO CONSTITUTIVO PARA O ESCOAMENTO ATRAVílS DE UM ARRANJO DE BARRAS DE SEÇÃO CIRCULAR. Sérgio Viçosa Moller

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1 UM MODELO CONSTITUTIVO PARA O ESCOAMENTO ATRAVílS DE UM ARRANJO DE BARRAS DE SEÇÃO CIRCULAR Sérgio Viçosa Mollr TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS DE PÕS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA OB TENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS (M.Sc.) Aprovada por: \ Prof. Raad Yahya Qassirn Prof'. Migul Hiroo Hirata Prof. RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL AGOSTO DE 979

2 i MOLLER, SERGIO VIÇOSA Um Modlo Constitutivo Para o Escoamnto Através d Um Arranjo d Barras d Sção Circular [ Rio d Janiro J 979. XII, 26 p. 29,7cm (COPPE-UFRJ, M.Sc., Engnh~ ria Mcânica, 979). Ts, Univrsidad Fdral do Rio d Janiro, Facul dad d Engnharia.. Escoamnto m Mios Porosos Anisotrôpicos. I.COPPE/UFRJ II. Título (séri).

3 ii Para Lna

4 AGRADECIMENTOS Ao Profssor Raad Yahya Qassim, cuja orintação tor nou possívl a ralização dsta ts. Ao Programa d Engnharia Mcânica da COPPE, m spcial ao Profssor Migul Hiroo Hirata plo apoio dado durant a fas xprimntal, ralizada m um dos túnis d vnto do Labo ratório Psado d Fnômnos d Transport do Programa d Engnh~ ria Mcânica da COPPE. Ao Programa d Engnharia Nuclar da COPPE, plo a poio dado durant a prparação da xpriência. Ao Instituto d Engnharia Nuclar, plas facilidads concdidas, m spcial ao Eng. Luís Frnando Vallim Schnidr. Ao Eng. Carlos Alxandr d Jsus Miranda por su auxílio nos programas Fortran ao Sr. Waltr Goms por sus dsnhos, ambos do Instituto d Engnharia Nuclar. Ao Sr. Sbastião Frnands Pimntl, da COPPE, plo instimávl auxílio dado durant a construção dos dispositivos a prparaçao da xpriência. À Srta. Lilian Vicntini por sus trabalhos d dati lografia. A todos aquls qu d alguma manira nos ajudaram.

5 iv RESUMO Na dtrminação do scoamnto através d um fix d barras d sção circular m arranjo uniform, é usada a Toria das Misturas, qu fornc as quaçõs d balanço para o sistm~ São fitas hipótss d scoamnto isotérmico rgim turbulnto, plnamnt dsnvolvido. Equaçõs constitutivas para a força rsistiva sao d - trminadas a partir das corrlaçõs d Jakob Row, su comportamnto analisado para um caso padrão. Comparação dos rsultados obtidos com stas quaçõs com os rsultados xprim~ tais d Bottgnbach mostram boa concordãncia na dirção do gradint d prssão não sndo possívl uma comparação dirta ntr os valors obtidos com as duas xprssõs. Para a confirmação do modlo foi fita uma xpriência, qu consistiu m mdir a quda d prssao (Númro d Eulr) nas dirçõs axial transvrsal d fixs d vartas m arranjo a- latório vários ângulos como funçõs da vlocidad (Númro d Rynolds) obtndo boa concordãncia xcto na dirção axial. Por fim é formulado um xmplo prático a fim d mostrar a aplicabilidad do modlo - a dtrminação do campo d prssao dvido a influência d uma chicana.

6 V ABSTRACT Th dtrmination of th flow through a uniform array of rod bundl is mad by mans of th Continuum Thoris of Mixturs, which givs balanc quations for th systm. Th hypothss of isothrmal and fully dvlopd turbulnt flow ar mad. Constitutiv quations for th rsistiv forc ar dtrmind from Jakob's and Row's corrlations, and its bhaviour analysd for a standard cas. Comparison of ths quations with Bottgnbach's xprimnts shows good agrmnt of th dirction of th prssur, although dirct comparison btwn prsnt thory and his thory is not possibl. For th confirmation of th modl an xprimnt is prformd, this consisting of masuring prssur drop (Eulr's Numbr) in th axial and transvrs dirction of a random array rod bundl at various angls as functions of vlocity (Rynold's Numbr), which has good agrmnt, xcpt on axial dirction. At last, a sampl problm is formulatd with th purpos of showing th applicability of th modl, this bing th dtrmination of prssur fild duto th influnc of a baffl.

7 vi NOMENCLATURA A Ára na quaçao (.S-l) A Parâmtro dfinido na quaçao (.2-0) a CD D Mtad do comprimnto da chicana no xmplo Coficint d Arrast Diâmtro quivalnt Dt Diâmtro maior na tomada d prssao (figura 30) d Diâmtro d uma barra dt Diâmtro mnor na tomada d prssao (figura 30) Eu Númro d Eulr. Vtor unitário na dirção "i" -l F Força d arrast na quação (.S-l) F Aclração d campo f* Fator d atrito G g Taxa d gração d massa Aclração da gravidad g* Vtor gravidad adimnsional H Altura manomftrica na xprssao (2.-8)!ndic d coordnada J Vlocidad d transfrência d massa K Coficint na quaçao d Darcy (.3-) K Coficint na quaçao d Brinkman (.3-3) K 2 Coficint na quaçao d Brinkman (.3-3) L Comprimnto d rfrência na quaçao (4.-) tt Comprimnto da tomada d prssão (figura 30) m Força rsistiva m. Força rsistiva na dirção "i" l N Númro d filiras d tubos para scoamnto prpndicular

8 Vll p p* Q q R R R.. lj R T T Prssão do fluido Prssão adimnsionalizada do fluido Parâmtro dfinido pla quação (.2-9) Vlocidad suprficial mdida com Pitot Parâmtro dfinido pla quação (.2-8) Tnsor rsistividad Componnt do tnsor rsistividad Númro d Rynolds Tmpratura do ar ambint Tnsão xtra do fluido Vlocidad d rfrência Vlocidad não prturbada no xmplo u V V m V v* X y z z z* z. z~ Cl l s r. y. V Vlocidad na dirção axial no xmplo Vlocidad na dirção transvrsal no xmplo Vlocidad máxima ntr as vartas m scoamnto transvrsal Vlocidad do fluido no mio (vlocidad d prcolaçã~ Vlocidad adimnsional do fluido Coordnada complxa no xmplo Coordnada complxa no xmplo Variávl complxa no xmplo Coordnadas do sistma Coordnada adimnsionalizada Coordnada na dirção "i" Coordnada adimnsionalizada na dirção "i" Coficint na quaçao (4.4-) Coficint na quaçao (4.4-) Razão d aspcto, dfinida na quação (3-) Função tnsorial no Torma d Wang - Eq. (2.2-4) Função scalar no Torma d Wang - Eq. ( ) Viscosidad cinmática

9 viii E Porosidad Fator dfinido na quaçao (3-) ç À Fator d atrito na quação (6-) Ângulo qu o vtor vlocidad faz com o ixo z 2 Passo, distância ntr cntros das vartas Viscosidad absoluta do fluido Viscosidad absoluta do ar Porosidad fictícia dada plas qs.(3-5) (3-7) Massa spcífica do fluido Dnsidad do ar Dnsidad do butanol- Dnsidad do fluido na mistura cr Tnsor d tnsão parcial do fluido Linha d corrnt no xmplo X fndic d configuração do mio Função d corrnt no xmplo Potncial complxo do scoamnto no xmplo Tnsor unitário

10 lx!ndice, Introdução. Dscrição do Problma.2 Rvisão Bibliográfica L3 Objtivos do Trabalho Pág Fundamntos Tóricos 2. Equaçõs d Balanço 2.2 Equaçõs Constitutivas 2.3 Adimnsionalização das Equaçõs d Balanço Alguns Parâmtros Gométricos 5 4. A Força Rsistiva 4. A Prda d Carga 4.2 Dtrminação das Equaçõs Constitutivas 4.3 Dfinição d Fator d Atrito 4.4 Escoamnto Axial 4.5 Escoamnto Transvrsal 4.6 O Tnsor Rsistividad Comparação com Exprimnto 5. Dscrição da Expriência 5.2 Analis dos Rsultados Comparação com Dados da Litratura 7. Conclusõs Sugstõs Apêndic I - Exmplo Apêndic II - Figuras Bibliografia

11 !NDICE DE X ILUSTRAÇOES pag.. Estrutura do Núclo d Um Rator Rápido Distri buição da Dnsidad d Potência 8 2. Linhas d Corrnt no Núclo d Um Rator Rápido Sgundo Ziglr 3. Tipos d Arranjos d Barras 4. Posição do Sistma d Coordnadas 5. Dimnsõs dos Dispositivos d Row 6. Fators d Atrito para a Dirção Axial Sgundo Row 7. f (E) - Coficint para Dirção Axial 8. f 2 (E) - Coficint para Dirção Axial 9. g (E) - Coficint para Equação (4.5-2) 0. g 2 (E) - Coficint para Equação (4.5-2). h (E) - Coficint para Equação (4.5-22) 2. h 2 (E) - Coficint para Equação (4.5-22) 3. g(e) - Coficint para Arranjo Triangular 4. g(e) - Coficint para Arranjo Quadrangular 5. Nomnclatura d Ângulos Posição do Sistma d Coordnadas m Rlação a uma Barra 6. Valor d mi como Função d, para Arranjo Triangular - E= 0,45, R = Valor d mi como Função d, para Arranjo Quadra~ gular - E= 0,45, R = Valor d m 2 d Arranjo como Função d, para Qualqur Tipo E= 0,45, R = Variação d IIIE* como Função d para Arranjo Triangular - E= 0,45, R = Variação d JE* como Função d, para Arranjo Quadrangular - E= 0,45, R =

12 2. Variação d q, para R = 0000 Arranjo Triangular - s = 0, Variação d q, para R = 0000 Arranjo Quadrangular - s = 0, Variação d o para R = 0000, Arranjo Triang:i:: lar s = 0,45 xi Pâg Variação d o para R gular - s = 0, O Dispositivo d Tsts 26. Os Módulos d Tsts 0000, Arranjo Quadra~ Dimnsõs (Intrnas) Básicas do Dispositivo 28. Tomada d Prssão 29. Esquma do Circuito d Mdidas 30. Viscosidad do Ar 3. Comparação d mi Mdido Calculado, s = 0,53, = 90º 32. Comparação d mi Mdido Calculado, s = O, 53, = Comparação d m* Mdido Calculado, s = 0, Comparação Entr o Valor d o Mdido Calculado 35. Comparação Entr o Valor d q, Mdido Calculado 36. Comportamnto da Função ç V 37. Posição do Vtor Vlocidad m Rlação ao Gradint d Prssão 38. Comparação dos Valors d o d Acordo com Bottgnbach a Prsnt Toria 39. Comparação dos Valors d o d Acordo com Bottgnbach a Prsnt Toria 40. Esquma para o Exmplo 4. Coficint d Arrast para uma Chicana - Arranjo Quadrangular, s = 0,

13 xii 42. Coficint d Arrast para uma Chicana - Arranjo Triangular, E= 0,45 Pâg. 22

14 CAP!TULO INTRODUÇÃO. DESCRIÇÃO DO PROBLEMA Fixs d barras ou tubos m arranjo uniform sao comu mnt ncontrados no núclo d rators nuclars m trocadors d calor convncionais. Na suprfíci xtrna dstas barras ou tubos scoa, usualmnt m rgim turbulnto, um fluido, o qual dstina-s a rmovr o calor dstas suprfícis. A figura mostra os prfis d graçao d potência no núclo d um rator rápido suprconvrsor (Fast Brdr Ractor). A baixa taxa d gração d calor na zona fértil radial (Radial Brding Blankt) du origm ao concito d canais abrtos para os rators rápidos proposto por Wiss t.al. Dsta manira, o rfrigrant é forçado a tomar a dirção radial, formando linhas d corrnt tridimnsionais dvido a prsnça d barriras smi-prmávis colocadas parallamnt aos lmntos combustívis, nvolvndo o núclo ativo (zona intrna d matrial fís - sil), da rgulagm das válvulas d ntrada saída do rfrig~ rant. Ziglr 2 adota o msmo concito, mas coloca barriras transvrsais aos lmntos combustívis. Est scoamnto, mostrado na figura 2, é vrificado xprimntalmnt por Bottgnbach3 qu propo quaços para a rsistência ao fluxo. Buttrworth4 propõ um método para o dsnvolvimnto d um modlo para scoamntos tridimnsionais m barras parallas.

15 2.2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Vários trabalhos foram fitos para a dtrminação d fators d atrito d parâmtros d transfrência d calor m scoamntos tanto na dirção axial das barras como na dirção transvrsal. No studo do scoamnto na dirção transvrsal, Grimin son 5 dtrminou curvas para o fator d atrito para tubos dispo~ tos m linha ou altrnados, como os mostrados na figura 3 sob a dnominação d arranjos quadrangulars triangulars, bm como parâmtros d transfrência d calor. Pirson 6 studou vá rios tipos d arranjos d tubos a fim d dtrminar como o tipo d arranjo influncia o fator d atrito a transfrência d calor (Númro d Nusslt). Zukauskas 7 faz uma anális do campo! tamnto do fluido ao passar transvrsalmnt por um arranjo d tubos, aprsntando também uma rvisão dos rsultados obtidos por outros autors. Jakob 8 studou os msmos dados qu Griminson obtndo rlaçõs para o fator d atrito m arranjos quadrangulars ou triangulars. No caso do scoamnto na dirção axial, vários traba - lhos dvm sr citados: Lwis Buttikr 9 fazm uma rvisão das soluçõs das quaçõs d Navir - Stoks para st scoamnto. Nijsing t.al. 0 fazm uma anális tórica do scoamnto m um arranjo triangular, lvando m considração parâmtros como spaçamnto, Númros d Rynolds d Prandtl. Eiflr Nijsing rptm xprimntalmnt st studo, obtndo boa concordância nos rsultados. Tong 2 faz uma rv~são dos stu-

16 3 dos xprimntais fitos para obtnção d fators d atrito parâmtros d transfrência d calor. Maubach Rhrn 3 studam a influência da rugosidad das barras. Carajilscov " faz um studo analítico da turbulência, dtrminando fluxo axial scundário distribuição da tnsão d cisalhamnto na pard das barras. Row 5 faz mdidas da vlocidad da turbulência m sus dispositivos d tst usando a técnica d anrnomtriad Lasr-Dopplr, aprsnta também xprssõs para o fator d atri to m cada um dsts dispositivos. As xprssos d Row para o fator d atrito no scoamnto ao longo das barras, bm corno as d Jakob para o scoamn to na dirção transvrsal das msmas srão usadas m capítulos postriors para a dtrminação das quaçõs constitutivas..3 OBJETIVOS DO TRABALHO Est trabalho dstina-s a dsnvolvr um modlo para o cálculo d scoamntos m sistmas como trocadors d calor d carcaça tubo com dfltors (Shll and Tub) m rators ra pidos como os propostos por Wiss t.al Ziglr. Consist no studo d um sistma d barras d sçao cir cular constant m arranjo uniform (rod bundl), com pards li sas sm spaçadors, tais como grads ou arams. Entr stas barras scoa um fluido nwtoniano, m rgim prmannt. Est scoamnto é turbulnto, incomprssívl, plnamnt dsnvolvido, não há transfrência d calor. Para o dsnvolvimnto do modlo part-s da hipóts

17 4 d qu o sistma sja um mio contínuo ond s ncontram duas fass - a fas fluida a fas sólida (as barras). Isso prmit qu sua anális sja fita através da Toria das Misturas 6, qu trata sistmas multifásicos (como nuvns d bolhas, litos fluidizados outros mios porosos) como mios contínuos. Esta anális pod sr dita "macroscópica" pois trata o sistma como um todo, m contraposição a uma anális "microscópica", qu invstigaria, por xmplo o prfil d vlocidad ntr as barras. Assim sndo, ao longo dst trabalho srao usadas infor maços "microscópicas" para o studo "macroscópico", Ao sr dscrito o sistma qu é objto dst studo, tomou-s um nfoqu microscópico, dscrvndo-s cada uma das fass individualmnt. Porém, ao s falar m mistura, dtrminados aspctos mi croscópicos prdm significado, por xmplo: fluido nwtoniano é a dscrição do msmo nquanto fora da mistura, pois nsta, o scoamnto é considrado invíscido, isto é, o fluido é idal.is to pod sr obsrvado na quação d Darcy 7 para o scoamnto m mios porosos* v = - K grad p (.3-) qu também pod sr scrita K V - grad p (.3-2) ond o trmo ~/K a força d amortcimnto da massa porosa, K é uma constant do mio. * Vr nomnclatura

18 A fim d considrar a condiçio d frontira~ vlocida d nula nas pards d contorno, assim tornar mais prcisa a anális d mios porosos, Brinkman 7 sugr a introduçio na quaçio d Darcy do trmo viscoso da quaçio d Navir-Stoks,a~ sim a quaçio (.3-) fica s grad p ; - K v + K 2 lap v (.3-3) Dsta manira, Brinkman stablc qu para valors al tos d K o scoamnto pod sr dscrito apnas pla quaçao d Darcy, para valors d K muito pqunos, o scoamnto pod sr dscrito pla quaçio d Navir-Stoks. Nst caso, K 2 igual a viscosidad do fluido.

19 CAP!TULO 2 6 FUNDAMENTOS TEÕRICOS 2. EQUAÇÕES DE BALANÇO Sja um sistma como o proposto na Introdução, composto d duas fass, a fas sólida a fas fluida, cada uma dlas contínua, coxistnts intrpntrants. A Toria das Misturas 6 stablc as quaços para os balanços d massa d quantidad d movimnto 8 para cada uma das fass. Como uma das fass, a sólida, é fixa, as quaçõss~ rao apnas para a fas fluida, dispnsando o uso d Índics. A quaçao para o balanço d massa dada na sua forma gral por ond p v D p div v = G Dt a massa spcífica do fluido a vlocidad do fluido no mio (2.-) G a taxa d gração d massa Establcndo-s scoamnto m rgim prmannt, o fluido incomprssívl qu não ocorra gração d massa por mio d ração química ntr as fass, a quação (2.-) fica div V= Ü (2.-2) O balanço da quantidad d movimnto para a fas fluida dado pla quação

20 7 Dv p ; diva+ m - G (v J) + P F (2.-3) ond a a tnsão parcial no fluido m a força rsistiva J F ~ a vlocidad d transfrência d massa a força d campo Plas hip6tss citadas considrando qu as forças d campo sjam apnas dvidas a aclração da gravidad, a quação (2.-3) toma a forma p(grad y) y; div z + ~ + p ~ (2.-4) A tnsão parcial a dvida 9 a prssão a tnsão xtra do fluido, assim (2.-5) Assim diva; - grad (p!l + div T (2.-6) Dfinindo-s como porosidad E a fração d volum ocupada plo fluido tm-s qu p ; E p (2.-7) A força rsistiva~ pod sr dfinida como a força qu uma fas xrc sobr a outra, assim m /fluido m ls6lido (2.-8)

21 8 Pla Toria das Misturas, a força rsistiva rsultan t da força d arrast ofrcida ao scoamnto plas barras, p~ rém, através d uma anális microscópica vê-s qu a msma d corrnt das forças viscosas m torno das barras. Assim, a quaçao (2.-4) pod sr scrita como s p (grad v) v = - grad (p!) + + div T + m + s p g (2.-9) Como nao há transfrência d calor, a quaçao para o balanço d nrgia dgnra na quação d balanço d quantidad d movimnto. 2.2 EQUAÇÕES CONSTITUTIVAS As quaços d balanço para ss studo sao div V = Ü (2. 2-) s p (grad ~) v = - grad (p!) + div T + + m + E p g (2.2-2) Ss, p g form conhcidos tm-s um sistma ind - trminado d duas quaçõs a quatro incógnitas, sndo stas ~. p, T m. Establcndo-s qu o scoamnto sja uniform nglignciando as forças d corpo, no caso a gravidad, a quação (2.2-2) fica

22 9 O= - grad (p ) + div T + m (2.2-3) Plo Torma d Wang 20 para a rprsntação d funçõs tnsoriais isotrópicas simétricas, a tnsão xtra T pod dscrita como sr =,. N (2.2-4) ond Yi sao funçõs scalars isotrópicas ri sao funçõs tnsoriais dadas plas N combinaçõs das M variivis no argumnto. Para o caso, tomando-si= M = O, obtém~s o tnsor unitir0 l, assim rl = (2. 2-5) Para = 2 M = variivl do argumnto, tm-s r 2 = V (2.2-6) Wang também stablc qu as y. dvm sr funçõs invariant d sus argumntos. Assim, o invariant d um sca lar, no caso E, é o próprio scalar. Ji o invariant d um vtor é o produto scalar dl por l msmo, portanto, pod-s tomar a norma d v, pois ]_ do lli:: = lv V (2.2-7) Dsta manira, pod-s xprssar a tnsão xtra por T Y, (E, :::) + Y2 (E, :::) Ci::@:::) (2.2-8) Tm-s ntão qu

23 0 div T = grad y, (E, ~) + (~@~) grad Y2 (E, ~) + Y2 E,~) div (~@~) (2.2-9) Pla hipóts d scoamnto uniform, sndo E constant grad Y = O grad Y2 o (2.2-0) div (::'.@::'.)=O Logo 8 div T = O (2.2-) Ess rsultado so valido para o scoamnto macroscopico invíscido da Toria das Misturas, não sndo válido para um scoamnto analisado microscopicamnt. Pla quação (2.l-6)v~ s qu na quaçao para o balanço d quantidad d movimnto somnt a prssao p participa da tnsão parcial o. Assim, a quação (2.2-3) pod sr scrita como m = grad p (2.2-2) Esta quaçao mostra qu a causa da quda d prssaoqu um scoamnto uniform através d um mio poroso sofr ê dvida a força rsistiva. Assim, para cada tipo d mio poroso studa do, dv-s procurar uma xprssao para~ qu pod sr dtrm! nada a partir da quação (2.2-2). Esta xprssão caractrísti ca d cada mio é chamada "Equação Constitutiva". Equaçõs constitutivas 2 sao aqulas qu dscrvm o comportamnto matrial m um dado sistma sgum três princí-

24 pios: dtrminismo, açao local indifrnça m rlação ao rf rncial matrial. Por dtrminismo comprnd-s qu a forçar~ sistiva é dtrminada pla história dos movimntos jâ ftuados plo sistma. O princípio d ação local stablc qu o movimnto fora d um dtrminado contorno arbitrariamnt pquno m torno d um dado ponto matrial pod sr ignorado ao dtrmina~ s a força rsistiva nss ponto. Por fim, o princípio d indi frnça m rlação ao rfrncial matrial stablc qu dois obsrvadors difrnts obtriam valors idênticos s studas - sm a força rsistiva tomando difrnts rfrnciais. A força rsistiva pod sr rprsntada por 8 o Índic m = R V (2.2-3) -x - Ond ~X o tnsor rsistividad, da forma R -X Rll Rl2 Rl3 l l R2 R22 R23 R3 R32 R33 J (2.2-4) x rfr-s à configuração (microscópica) do mio a nalisado, isto, o tipo d mio poroso analisado, mais spcificamnt ao tipo d arranjo adotado. Colocando-s o sistma d coordnadas ortogonais como indica a figura 4, orintando-o d manira qu a disposição das barras sja simétrica m rlação a todos os planos formados plo sistma d coordnadas, isto, usando-s como rfrência a informação microscópica da disposição forma das barras, tm s qu o tnsor R é simétrico 22, -X

25 2 R.. lj o l f J (2.2-5) a quaçao (3.2) fica simplificada Rll o o R -x ; o R22 o o o R33 (2.2-6) Admitindo-s qu o vtor vlocidad v parallo ao plano z z 2 a quaçao (2.2-6) prd o trmo R 33, assim o l R22 J (2. 2-7) Logo, a força rsistiva pod sr xprssa m trmos d suas componnts como., - Rll m ; ; - m2 J o o l Rl2 J (2.2-8) ou ml ; Rll vl (2,2-9) m2 ; R22 v2 (2.2-20)

26 3 2.3 ADIMENSIONALIZAÇÃO DAS EQUAÇÕES DE BALANÇO A fim d garantir a aplicabilidad da anális fitans t trabalho a qualqur sistma como o dscrito na Introdução,as quaçõs d balanço dvm sr adimnsionalizadas. Introduzindo-s UR dfinindo-a como Vlocidad d R frência D como Diâmtro Equivalnt D = 4 Ára da Sção Rta Prímtro Molhado (2.3-) pod-s dfinir como Vlocidad Adimnsional v* = V (2.3-2) coordnada adimnsional como z* = z D A prssao adimnsional (2.3-3) p* = p p iiurii 2 2 (2.3-4) A quaçao para o balanço d massa adimnsionalizada fi ca, para v* - parallo ao plano z * z * 2 a az* v* + a az* 2 v* 2 o (2.3-5) Tomando-s a quaçao (2.-9) simplificando-a através da quação (2.2-), tm-s

27 4 E p (grad v) v = - grad (p ) + m + E p ~ (2.3-6) Multiplicando-s ambos os lados da quaçao por 2 D obtém-s o msmo qu a aplicação das quaços (2.3-2), (2-3-3) (2.3-4). Assim a quação adimnsionalizada para o balanço d quantidad d movimnto fica (grad ~*) ~* = - grad (p*!) + m* + g* (2.3-7) (2.3-7) torna-s Tomando-s v* parallo ao plano ZiZz a quaçao cl cl v* v* ) ~l :2 v* cl z * cl z * 2 = = - cl p* cl p* : 2) + m* m* + : + : + :2 cl z * cl z * g* E.'. 2 (2.3-8) Assim g* = 2 g ll~rii (2.3-9) m* 2 D = m p li \JR 2 (2.3-0) Dssa manira, m* pod sr rprsntado por m* = R* v* (2.3-) -X

28 CAP!TULO 3 5 ALGUNS PARÂMETROS GEOM~TRICOS Est capítulo dstina-s a dar significado físico as dfiniçõs fitas, dntro do sistma ral proposto. São utilizados basicamnt dois tipos d arranjos, qu~ drangular triangular, cuja nomnclaruta stá indicada na fig~ ra 3. RAZÃO DE ASPECTO 8 - é a rlação ntr a distância ntr cntros das barras o diâmtro das msmas 8 = À d (3-) POROSIDADE E - a rlação ntr o volum ocupado plo fluido o volum total do mio, podndo sr calculada a partir da ara da sção rta do arranjo d barras, como mostrado na figura 3. Para um arranjo quadrangular, a porosidad dada por E li (3:- 2) ou E l _ 0,785 f3 2 (3-3) para arranjo triangular E = li cos 30 (3-4) ou E = - 0, (3-5)

29 DIÂMETRO EQUIVALENTE D é dfinido pla xprssão 2 (2.3-) 6 D 4 Ára da Sção Rta Prímtro Molhado (3-6) qu para o arranjo quadrangular pod sr indicada por D 4 Ild 2 (À 2 - ) II d 4 (3-7) o qu m trmos d porosidad fica D = E: - E: d 3-s) No caso d arranjo triangular D é dado por À 2 cos30 2 Ild 2 8 (3-9) II d 2 o qu posto m função d E: rsulta D E: = d -E: (3-0) Chamando-s = E: - E: (3 -) D pod sr indicado, para os dois tipos d arranjo por D = r; d 3-2) POROSIDADE FICTfCIA ~ - no capítulo 4 sra introduzida a por~ X sidad fictícia com a finalidad d corrigir a vlocidad d r frência na xprssão para a prda d carga no scoamnto trans

30 vrsal a um arranjo d barras. Assim, ç dfinido por 7 (3-3) Pod-s calcular ç, isto é a porosidad fictícia pao ra arranjo quadrangular pla rlação ço = À (À - d) E À2 3-4) a qual m trmos d E apnas fica ço = E-, [ -,28 (-E)o,s J 3-s) ç 6 calculada por (À-d) À cos 30 E(À 2 COS 30 ) 3-6) qu corno função d E fica (3-7) VELOCIDADE DE REFERENCIA u - R é a vlocidad tornada corno drão para a adirnnsionalização das quaçõs d balanço. pa Pod sr igual a norma da vlocidad quando o scoamnto for uniform, ou calculada a partir do quocint da vazão volumétrica d fluido pla ára da sção rta da rgião por ond passa o fluido. t utilizada também para o cálculo do Númro d Rynolds.

31 8 CAP!TULO 4 A FORÇA RESISTIVA 4. A PERDA DE CARGA Da quaçao (2.2-2) pod-s dtrminar uma manira d s obtr uma xprssão para a força rsistiva. Est sria o cálculo da prda d carga por unidad d comprimnto m um sco amnto através d um arranjo d barras nas dirçõs axial transvrsal. A fórmula d Darcy para a prda d carga m dutos ou ~ canais fchados com comprimnto L Lip = f* pv 2 L 2 D (4.-) Smlhantmnt pod-s scrvr sta fórmula para o scoamnto prpndicular a um fix d barras como Lip f* pv 2 m 2 N (4. 2-2) Ond v a vlocidad máxima do fluido ao passar nm tr as barras N é o númro d filiras d tubos qu foram cru zadas plo fluido. Ess tipo d scoamnto é analisado usual - mnt como sndo através d obstáculos. Para tornar as quaços (4.-) (4.-2) funçõs msmas variávis, pod-s fazr com qu das L D N (4.-3)

32 9 corrigir a vlocidad na quaçao (4.-2) através d um fator ~ dfinido no capítulo 3 por V = V m (4.-4) chamado ''Porosidad Fictícia", tomará valor igual a um para o scoamnto na dirção axial. Assim, as quaços (4.-) (4.-2) podm sr scri - tas da msma manira t,p = f* ~- 2 pv2 L (4.-5) 2 D o gradint d prssao m uma dirção lf i" pod sr a- proximado por d az. l p = Q.E L = f~ l ç:2 l pv 2 2 D (4.-6) D acordo com o critério d adimnsionalização xposto no capítulo antrior, o gradint d prssão adimnsional na di rção i é d az~ l p* f~ l pv. 2 l ) (4.-7) Assim d dz~ l p* = f* ~~2 l (v~) 2 l (4.-8)

33 DETERMINAÇÃO DAS EQUAÇÕES.CONSTITUTIVAS Plas quaços (2.2-2) (2.2-3) tm-s qu m* :;;; grad p* = R* -x v* (4.2-) componnts como Pla quaçao (4.-8), pod-s scrvr m* m trmos l m~ l a az~ l p* = f* ~~2 (v~)2 l l (4.2-2) Establcndo-s qu as componnts do tnsor rsistividad R* são funçõs da porosidad da norma da vlocidad a -X dimnsional, como no Torma d Wang, tm-s qu R* = R* (E, li~* ) -X -X (4.2-3) Como v* = llv*llsn (4.2,-4) v* = li J* cos 2 (4.2-5) lmbrando-s qu ~2 =, pod-s scrvr a quaçao (4.2-2) com auxílio das quaços (4.2-3), (4.2-4) (4.2-5) nas dir - ços " "2" m* = R * ( E, li~* ) v * = (4.2-6) f* 2 cos li~* li v* 2 (4.2-7)

34 2 Rsta agora dtrminar os coficints fí f nas 2 quaços (4.2-6) (4.2-7), o qu srá fito a sguir. 4.3 DEFINIÇÃO DE FATOR DE ATRITO O fator d atrito no scoamnto dntro d um tubo d finido pla xprssão f* = llp L pv 2 D 2 (4.3-) qu pod sr intrprtado como rlação ntr as forças d prssao d inércia, sndo igual ao dobro do Númro d Eulr. corrlação 2 Para tubos lisos d sçao circular, Moody aprsnta a 2 log R II* - 0,8 (4.3-2) qu é uma rlação funcional da forma Eu = f (R) (4.3-3) A rlação (4.3~3) foi utilizada nos trabalhos d Row 5 Jakob 8 para a dtrminação dos fators d atrito nos scoamn tos m arranjos d barras d sção circular nas dirçõs axial transvrsal.

35 ESCOAMENTO AXIAL Row 5 tstou sis dispositivos, com cinco porosidads difrnts mostrados na figura 5, rsultando a xprssão da for ma (4.4-) Nsta xprssao os coficints a a 2 sao rsultan - ts d cada dispositivo stão indicados na tabla como çao d sua porosidad. fun TABELA - COEFICIENTES DA EXPRESSÃO DE ROWE E a, ª2 0,55 0,566-0,869 O, S 3 0,282-0,296 0,49 ' 0,2625-0,240 0,43 0,22-0,20 i O, 4 2 0,3746-0,2725 Para E= 0,49 Row propo duas xprssos f* = 0,2008 R-O,Zl 4 Z f* = 0,343 R o valor aprsntado na tabla a média das duas xprssos. Os dados d Row stão plotados na figura 6 ond s p~ d obsrvar su comportamnto. Dla s pod afrir qu tantoos coficints linars como os coficints angulars das rtas mostradas sjam funçõs da porosidad E,

36 23 Escrvndo-s a xprssao d Row apos sr aplicada a função logaritmo a ambos os lados rsulta log f* = a 2 log R + log a (4.4-2) da qual pod-s tirar duas funçõs f (E) f 2 (E) as quais sao dfinidas como (coficint linar) (coficint angular) (4.4-3) (4.4-4) Ambas podm sr dtrminadas por mio d rgrssão linar23 a partir dos dados da tabla com os coficints para as xprssõs d Row. numérico são as xprssõs O rsultado obtido por mio dss método f (E) = -,724 E+ 0,205 (4.4-5) f 2 (E) = 0,366 E - 0,403 (4.4-6) mostradas nas figuras 7 8 rspctivamnt. Sndo assim, a quaçao (6.2-7) pod sr scrita como m* 2 ~* li v* 2 (4.4-7) Mas o Númro d Rynolds nsta quaçao rfr-s avlocidad na dirção axial, ntão, pla quação (4.2-3), a quação (4.4-7) fica

37 24 f (:) D ::: cos f 2 (:) m* = 0 ( ) cos v* v* 2-2 \) (4.4-8) Rdfinindo o Númro d Rynolds por llv li D R = A quaçao (4.4-7) fica \) (4.4-9) m* = 2 f (:) f 2 (:) f 2 (:)+l 0 R (cos)!* v (4.4-0) Assim f (:) f 2 (:) f 2 (:)+l = 0 R (cos) lly* li (4.4-) Portanto, a força rsistiva srá scrita como mz = 0C-l,724:+0,205) R(0,366:-0,403)(cos)C0,366:-0,597) li y* v* 2 (4.4-2) ond Rzz = 0C-724:+0,205)R(0,366:-0,403) (cos) (0,366:-0,597) li!* li (4.4-3) Como s pod obsrvar na figura 5, as xprssõs (4.4-2) (4.4-3) são rsultants d arranjos quadrangulars, triangulars misto, dssa manira, a força rsistiva para um scoamnto na dirção axial d um arranjo d barras d sção circular é função apnas da porosidad da vlocidad.

38 ESCOAMENTO TRANSVERSAL Jakob 8, ao analisar os msmos dados qu Grirninson 5,obtv duas corrlaçõs, urna para arranjo triangular outra p~ ra arranjo quadrangular f* = R-0,6 t,. [O, 25 + f* = R-0,5 0, ,75 cs-),os J 0,08 s,3 (S-l) o,43 + s (4.5-) (4.5-2) J (Para as duas quaços 5000 < R < 40000) nas quais o Númro d Rynolds rfr-s ao diâmtro da varta (nâo ao diâmtro quivalnt) à vlocidad máxima do fluidon tr as vartas. Invrtndo-s as quaços (4-3) (4-5) obtém-s para arranjo triangular quadrangular, rspctivamnt 0,952 (4.5-3) s = 0,886 (4.5-4) (4.5-2), obtém-s Substituindo-s sts valors nas quaços (4.5-)

39 26 f* = O, 25 + n L 0,75 fº,952 -,08 LCl-slo,5 R-0,6 (4.5-5) í f* = O, o º~''--0_7_0_9 R -0, 5 Cl-EJo,5 o,886 _ ]0,43+,725(-E)O,S [ (-E)o,5 (4.5-6) ~. garitmica tm-s Colocando-s as quaços (4.5-5) (4.5-6) na forma lo log f* n = g (E) - 0,6 log R (4.5-7) log f 0 = h (E) - 0,5 log R (4.5-8) ond L 0,75 ~,952 Jl,08 J L(l-E)o,5 (4.5-9) 0, ,0709 í 0,886 -] L c-s)o,5 o,43+,725(-e)o, 5 (4.5-0)

40 27 Traçando-s por pontos as curvas dadas plas quaços (4.5-9) (4.5-0) tm-s por mio d rgrssão linar 23 mostra das nas figuras 9 0 gl(e) = -,48 E+ 0,369 (4.5-) h (E) = 3,003 E+,34 (4.5-2) Dv-s agora, como já stablcido, corrigir a vloci dad o diâmtro no Númro d Rynolds das quaçõs (4.5-5) (4.5-6). A quaçao (4.2-6) pod sr scrita, para arranjo trian gular, aplicando-s as quaçõs (3.2) (3.3), como g ( E) = 0 c;;2 ( sn V l-o, 6 li *li * sn y v (4.5-3) Logo (4.5-4) Para arranjo quadrangular a quaçao (4.2-6) torna-s h (E) = 0 ;- 2 o ( llyll i'; sn D )-0,5 sn lly*ii vi V (4.5-5) Logo (4.5-6)

41 28 Rtirando-s das quaços (4.5-4) (4.5-6) os tr - mos~ ç pod-s scrvr (4.5-7) (4.5-8) as quais forncm as xprssos g 2 (E) = 0, 26 E + 0, 20 7 (4.5-9) h 2 ( ) = -,458 E +,464 (4.5-20) mostradas nas figuras 2. mo Assim, as quaços (4.5-4) (4.5-6) sao scritas co t, * gl(s) g2 (s) R-0,6 ml = 0 0 (sn)0,84 h º* (s) h 2 (s) R-0,5 (sn)o, 35 ml = 0 0 Chamando-s li~* li v* (4.5-2) ~* li v* (4.5-22) (4.5-23) (4.5-24) ntão

42 29 g(e) = -0,887 E+ 0,576 (4.5-25) h(e) = -4,46 E+ 2,840 (4.5-26) cujo comportamnto mostrado nos grâficos das figuras 3 4. Assim, as quaços (4.5-25) (4.5-26) ficam Íl * 0(-0,88 E + O,576) ml = R-0,6 (sn)0,84 y* li v* (4.5-27) m O. 0 (-4,467 E + 2,840) R-0,5 (sn)º 85 = /ly* li v* ond (4.5-28) R/l* = 0 (-0,88 E + 0,576) R-0,6 (sn) O' 84 li;:"* (4.5-29) Rº* 0(-4,467 E + 2,840) = R-0,5 (sn)º 85 li;:"* (4.5-30) 4.6 O TENSOR RESISTIVIDADE Nas sços foram dtrminadas as funçõs con~ titutivas para os scoamntos através d um arranjo d barras d sçao circular nas dirçõs axial transvrsal, A força rsistiva para o scoamnto na dirção axial mostrou sr função da vlocidad adimnsional da porosidad cb mio, não importando o tipo d arranjo adotado.

43 30 Já no scoamnto na dirção transvrsal dv-s considrar a configuração do mio, isto é, dv sr lvada m considração a informação microscópica do tipo d arranjo adotado.is to s dv ao fato d qu a vlocidad d rfrência adotada por Jakob sr a vlocidad máxima ntr as vartas, difrnt para os dois tipos d arranjos analisados. Assim, a quaçao para a força rsistiva adimnsional d v sr scrita, para cada configuração d barras ou tubos anali sada, como função d ::: E. O Númro d Rynolds qu surg nas xprssos para a força rsistiva (4.4-2), (4.5-27) (4.5-28), dv sr ncarado como um parâmtro microscópico, pois prd su significado na Toria mprgada. Para scoamnto através d um arranjo triangular, o tnsor rsistividad fica 0 (-0,887E+0,576) R-0,6 (sn)0,84 ll:::*ii o 0 0 (-, 724E+0,205)R(0,366E-0,403) (cos) (0,366E+0,597) :::* li (4.6-) Para arranjo quadrangular

44 3 0 (-4,46E+2,840) R-0,5 (sn)0,85 li~!! o R * = 0 0 (-, 724E+0,20S)R(0,366E-0,403) (cos) (0,366s+0,597) li~* (4.6-2) As xprssos (4.6-) (4.6-2) indicam qu o gradint d prssão, isto é, a força rsistiva, tm a dirção difrn t do vtor vlocidad quando o ângulo d incidência do (vlocidad),, é difrnt d zro ou novnta graus. fluido A fig~ ra 5 mostra a nomnclatura dos ângulos qu sss vtors fazm com o ixo d uma varta. Como a força rsistiva dada por m* = R* v* -x (4.6-3) pod-s xaminar su comportamnto para uma situação tomada como xmplo. Sjam portanto, dois sistmas tais como o qu foi xposto na introdução dst trabalho - um com arranjo triangu - lar, outro com arranjo quadrangular, ambos com a msma porosi dad E= 0,45. Através d cada um dsts arranjos um fluido scoa com Númro d Rynolds Nas figuras 6, 7 8 obsrva-s o comportamnto das componnts da força rsistiva m* m rlação ao 2 ângulo d incidência do fluido. Not-s qu no scoamnto a xial mz não é função da configuração. Nas figuras 9 20 pod-s vrificar o comportamnto

45 da norma da força rsistiva como função do ângulo d incidência do vtor vlocidad nos dois tipos d arranjo studados. 32 Os gráficos das figuras 2 22 indicam a variação do ângulo do gradint d prssao, isto é, da força rsistiva, com o ângulo d incidência do vtor vlocidad m arranjos triangular quadrangular rspctivamnt. A difrnça ntr os ângulos da vlocidad da força rsistiva nos dois tipos d arranjo studado stá nas figuras

46 33 CAPfTULO 5 COMPARAÇÃO COM EXPERIMENTO 5. DESCRIÇÃO DA EXPERIÊNCIA Para vrificação do modlo stablcido nst trabalho foi projtada uma pquna xpriência 24 Foi construído um dis positivo no qual ram instaladas quatro sçõs d tst difrn ts, cada qual fita m forma d módulo, mostrados nas figuras Nsss módulos, foram colocadas vartas d alumínio com sçao circular diâmtro 3,2mm, afastadas ntr si por anéis plásticos d spssura 0,52mm adaptados nas xtrmidads d cada varta. Essas vartas foram colocadas no intrior dos módulos m ângulos d 30, 45, 60 90, m arranjo alatório,su~ tntadas por hasts d latão apoiadas nos xtrmos m colchõs d borracha macia. O squma do dispositivo com suas dimnsõs básicas s tá mostrado na figura 27. Através dss dispositivo, fz-s passar ar impulsion~ do por um túnl d vnto marca Intrtch Corporation - Low Turbulnc Wind Tunnl. Est quipamnto stá situado na Laborató rio Psado d Fnômnos d Transport do Programa d Engnharia Mcânica da COPPE/UFRJ. Para dirigir-s o ar para o dispositivo, foi fita uma moldura rtangular com bordas d sção smicircular fitas d

47 34 P.V.C. A sguir o ar ra dirigido para a sçao d tsts atra vés d um distribuidor ali colocado com a finalidad d uniformizar o fluxo d ar ants d atingir o fix d vartas. Após a sçao d tsts foi colocada uma pça com forma d tronco d pirâmid, cuja bas maior ra adaptada ao túnl d vnto, a bas mnor à sção d tsts. Na pard latral d cada módulo foram fitas 3 toma - das d prssao. Bndict 25 indica a gomtria a rlação ntr as dimnsõs, mostradas na figura 28, qu dvm sr adota - das, assim Dt = 2 dt 0,5 < it/dt < 6,0 (5.-) (5.-2) sndo scolhido dt = tt dt mm = 5,0 (5.-3) (5.-4) As tomadas foram fitas na pard adjacnt as vartas, dispostas m ângulo d novnta graus, sparadas nas dirçõs a xial transvrsal às vartas d uma distância igual a 0 d, is to é, 32mm. Na part xtrna da pard, foi colocada sobr cada to mada uma conxao para unir cada uma dlas aos tubos dstinados a nviar o sinal d prssão da tomada ao manômtro. A figura 29 indica o circuito d manguiras qu lva o sinal d prssao a um micro-manômtro ltrônico d marca Furnss Control Limitd, modlo MDC. Est aparlho, com scalas

48 35 (lx), (2X) (SX), fundo d scala, m (lx) quivalnt a uma polgada d coluna d água, foi conctado a um multímtro digital d marca Hwltt-Packard modlo 3490-A. A vlocidad do ar foi mdida por mio d um tubo d Pitot d marca Dwyr (F.W. Dwyr Manufacturing Co.), conctado a um micro-manômtro CGS Scintific Corp. modlo MM-3 tipo Prandtl com tubo inclinado móvl, contndo como líquido manométrico Butanol-. A razao d srm usados dois manômtros difrnts, r~ sidiu no fato d as prssõs d vlocidads srm muito baixas, o micro-manômtro ltrônico, influnciado pla grand variaçao da tmpratura do ar no local d tst ao longo do dia as oscilaçõs na voltagm da rd létrica, prturbava o rsultado mdido. Por sta razão, usou-s o micro-manômtro tipo Prandtl para a vlocidad. Est Último não foi usado na mdição d qu~ das d prssao por tr rsposta muito lnta, dmorando muito a stabilizar o nívl do fluido manométrico. Com o objtivo d rduzir-s a influência da tmprat~ ra do mio xtrno nos micro-manômtros, sts foram rvstidos d isolant térmico isopor. Est procdimnto diminuiu a varia ção d tmpratura nos aparlhos, rduzindo a flutuação na li tu ra do multímtro digital tornando mais lnta a variação dnsidad do Butanol-. na Para a dtrminação da prssao d vlocidad, a dnsidad do Butanol- foi calculada através da xprssão 26

49 36 0,8239-6, T - 3, r 2 (5.-5) ond T dada m graus cntígrados pb obtida m g/cm 3. Por mio do dispositivo d rgulagm xistnt junto ao vntilador do túnl pôd-s variar a vlocidad do ar na d tsts. Para cada vlocidad foi mdida a quda d sçao prssao nas dirçõs axial transvrsal às vartas, tomando-s como r frência a tomada situada no vértic do conjunto d tomadas d prssao, indicada na figura 3 plo númro 3. Os rsultados obtidos stão na tabla 2 junto com as caractrísticas d cada módulo. As vlocidads qudas d prssão foram rprsntadas plos grupos adimnsionais caractrísticos p q D E ; R (5.-6) µ D llp* 2 Eu 2 QE. ; ; (5.-7) L.9. ) 2 p E Nas xprssos (5.-6) (5.-7) a dnsidad calcula da através da sguint rlação 28 ; 0,00293 H + 0,00367 T 76 (5.-8) ond H é a prssao atmosférica dada m cm d coluna d mrcúrio, T é a tmpratura m graus cntígrados a dnsidad pé obtida m g/cm 3. Para o cálculo do Númro d Rynolds, a viscosidad foi

50 dtrminada a partir da xprssao 37 µ = (0,05 T + 7,4). 0-5 A (5.-9) obtida por Rgrssão Linar 7 a partir d valors tablados na rfrência 27 indicados junto com a xprssão (5.-9) na fig~ ra 30. TABELA 2 - RESULTADOS DA EXPERIÊNCIA Módulo mm A 8,043 varta mm 2 2 AsÓlido 285,05 mm E = 0,53 R 230,24 220,65 83,4 054,85 mi,082 0,989 0,945 0,935 D = 3,59 mm Módulo - 45 Atotal Al varta A sólido mm 8, , 9 2 mm 2 mm R 334,95 293,0 85,70 m* 0,698 0,73 0,709 m* 2 0,650 0,07 0,07 E = O, ,3 0,730 0,076 D = 3, 6 5 mm Módulo - 60 \otal Al varta AsÓlido mm 8,043 2 mm 2469,2 mm 2 R 7,4 935,07 m* 2,967 2, O 0 m* 2 0,703 0,25 E = 0,56 D = 4,0

51 5.2 ANÁLISE DOS RESULTADOS 38 Dos quatro módulos construídos, foi abandonado o d 30 dvido as dificuldads d montagm. o o Os d aprsntao ram porosidad E= 0,53 o d 60 aprsntou E= 0,55. Essa difrnça na porosidad foi ocasionada pla distribuição alató ria das vartas, o qu não prmitiu um control prciso dstfa tor. Como, para uma msma porosidad, o valor da quda d prssao é maior para o scoamnto transvrsal através d um arranjo quadrangular do qu para um arranjo triangular, o rsulta do mostrado na figura 3 ra sprado dvido à dsordm das vartas no módulo. Rsultado smlhant é mostrado na figura 32 ond stão os valors obtidos na dirção transvrsal do módulo d 45~ A figura 33 indica a difrnça ntr os valors mdidos o cal culado na dirção axial do módulo d 45, ~ Esta difrnça a- tribuida ao fato d qu as vartas m arranjo alatório formm canais, na dirção axial, com largura ângulo difrnt d cal culado. Est fnômno foi também a causa dos valors obtidos com o módulo d 60, cuja porosidad mdida foi maior os valo rs obtidos na xpriência foram incompatívis com os rsulta - dos obtidos nos outros módulos. Msmo assim, os dados d 60 foram utilizados, junta - mnt com os d 45, para comparação com o valor dos ângulos * mostrados nas figuras 34 35, as quais indicam havr boa concordância ntr os valors mdidos os valors calculados. a

52 39 CAP!TULO 6 COMPARAÇÃO COM DADOS DA LITERATURA Bottgnbach 3 tstou uma séri d dispositivos com var~ tas d 2 cm d diâmtro distância ntr cntros d 2,4cm. To das las aprsntavam arranjo quadrangular ângulo d incidênia d fluxo d 30, 45, 60, Est autor o o o o o aprsnta a xprssão para o gradint d prssão como grad p = -.. llyll l v 2 ( 6. ) ond o fator _ç_ é dado por 43 R- 0 4 sino, 9 o = o 3,74 R (cos(0,96))- 2 ( 6. 2) Sndo st rsultado aprsntado m forma dimnsional nao possívl fazr-s uma comparação dirta dsss valors.en trtanto, a figura 36 prmit obsrvar o comportamnto das x - prssos acima, bm smlhant ao mostrado na figura 20. Na figura 37 pod-s obsrvar o comportamnto d ô com rlação ao ângulo d incidência da vlocidad nos dispositi - vos d Bottgnbach. Na figura 38 é fita a comparaçao ntr os valors d ô tóricos xprimntais d Bottgnbach para R = com os obtidos usando-s as xprssõs (4.4-2) (4.5-28).

53 40 Essa comparaçao fita novamnt da msma manira p~ ra o ângulo~ do gradint d prssão na figura 39. Dv-s ob srvar qu as xprssõs (6.) (6.2) são aplicávis somnt ao sistma studado por Bottgnbach dscrito nst capítulo, a fim d vrificar uma toria proposta por Ziglr 2 Os rsultados tóricos d Bottgnbach mostrados nas figuras foram obtidos através do método numérico. As curvas obtidas com a prsnt toria mostradas figuras rsultam da xtrapolação do valor d mf* d R ~ nas acima Buttrworth 4 apnas propo um método para a obtnção d um modlo para o scoamnto tridimnsional d fluidos através d arranjos d tubos, não chgando a xprssõs analíticas para a força rsistiva.

54 4 CAP!TULO 7 CONCLUSÕES E SUGESTÕES O prsnt trabalho fornc como rsultado final um m~ dlo constitutivo para a força rsistiva qu um fluido rcb ao scoar através d um arranjo d barras d sção circular. Isto prmit lvantar a indtrminação qu surg ao s studar as quaços d balanço. As funçõs constitutivas foram obtidas a partir da litratura; modificadas a fim d s adaptarm a To ria das Misturas, usada com sucsso nst trabalho. A adimnsionalização das quaços d balanço prmit a utilização dst modlo m qualqur sistma como o proposto na introdução dst trabalho. A comparaçao com os rsultados obtidos no xprimnto com os rsultados d Bottgnbach dmonstra a ficiência do mod lo. Os rsultados também indicam qu a força rsistiva para scoamnto axial indpnd do tipo d arranjo das vartas,ao passo qu para scoamnto puramnt transvrsal a força rsisti va dpnd do tipo d arranjo, para uma dada porosidad, maior para arranjo quadrangular do qu para arranjo triangular. A consquência dirta dst fato é qu ao s analisar um scoamnto complto dv-s lvar m considração a informação microscópica do tipo d arranjo adotado. Por fim, é proposto um xmplo, mostrado no Apêndic I. Sus rsultados mostram como a prsnça da chicana influncia o

55 campo d prssao m um scoamnto através d um arranjo quadra~ 42 gular d um arranjo triangular para vários valors do Númro d Rynolds. Com sts dados foi possívl também obtr-s curvas para o Coficint d Arrast d uma chicana. Algumas sugstõs podm sr fitas tndo m vista o cálculo hidráulico térmico dst tipo d sistma. Inicialmn t corrigindo-s os valors d f*, considrando-s a xistência d transfrência d calor, através d corrlaçõs d Sidr Tat, Rohsnow Clark, outros trabalhos citados por Tong 2 Outro aspcto sria o da transfrência d calor, anall sada a partir da quação d Balanço d Enrgia 6, studada par~!lamnt às quaçõs d balanço d massa quantidad d movimnto. Mudanças nas variávis dpndnts ao longo do tmpo também são importants dvm sr studadas, bm como sua vari ação com rlação a posição. Entr as hipótss fitas no início dst trabalho, s tava a d rigidz da fas sólida, ntrtanto, flutuaçõs prssao tnsõs d cisalhamnto induzidas por fnômnos na como sparação, vorticidad, turbulência, tc. podm induzir vibraçõs na strutura lástica causando um dsgast indsjávl cargas struturais dinâmicas 9. Isto xplica a importância d s studar st problma, no qual as condiçõs d contorno para o scoamnto do fluido para a vibração da strutura são acopladas.

56 43 APENDICE I EXEMPLO

57 44 EXEMPLO - CAMPO DE PRESSÃO DEVIDO A PRESENÇA DE UMA CHICANA I.l DESCRIÇÃO DO SISTEMA FÍSICO A figura 40 rprsnta um sistma d vartas submtido a um scoamnto uniform na dirção axial com vlocidad U. sistma é limitado apnas por uma pard paralla às barras,nos outros contornos o arranjo d barras s xtnd até o infinito. 00 O Prpndicularmnt à pard é colocada uma placa d al tura 2a, comprimnto muito longo spssura muito pquna. Esta chicana corta as vartas também prpndicularmnt não há fluxo através dla. Ã grand distância dssa chicana o scoamnto prmanc inaltrado, mas ao s aproximar da msma dsviado,provoca~ do um grand acréscimo na quda d prssao. Chicanas sao usadas no projto d trocadors d no modlo d scoamnto m rators rápidos proposto calor por Ziglr 2 s dstinam a aumntar a turbulência o tmpo dp! manência do fluido rfrigrant junto as suprfícis d trocacl calor. O objtivo dst xmplo é mostrar a aplicação do mod~ lo dsnvolvido nst trabalho. Isto srá fito calculando-s o campo d prssao ao longo d uma linha a jusant da chicana, paralla a msma. Para a solução dst xmplo srá dtrminado o potncial complxo para o scoamnto, a fim d dtrminar-s xprs-

58 45 sos para a vlocidad nas dirçõs axial transvrsal ntão aplicar as quaçõs (4.4-2), (4.5-27) (4.5-28) para dtrminar a quda d prssão qu o fluido sofr 28.2 SOLUÇÃO DO ESCOAMENTO Durand 29 aprsnta o potncial complxo para o scoa - mnto prpndicular a uma placa. Colocando-s o sistma d coor dnadas sobr o sistma proposto, o potncial complxo fica íl(z) ; - U 00 lz 2 + 4a 2 (I. 2-) ond U 00 a vlocidad nao prturbada z a coordnada compl~ xa (I.2-2) A sparaçao do potncial complxo m parts ral i maginária também é indicada por Durand, assim íl(z) ; cj) + /J (I.2-3) as componnts da vlocidad dtrminadas por u ; - -ª± ax (I. 2-4) (I. 2-5) do qu rsulta ntão (R + Q + 2 y 2 ) 2 AQ (I. 2-6)

59 46 V = u"' y (R + Q - 2 x 2 ) 2 AQ (I. 2-7) ond R = X - y a (I.2-8) -) 2 2 Rz Q = 4 X y + (I.2-9) A = \/ R + Q 2 (I. 7.-0) I.3 SOLUÇÃO DO MODELO Para s obtr a quda d prssao causada pla prsnça da chicana srá fita a intgração da quação para o balanço d quantidad d movimnto dss ponto a montant da chicana m qu a vlocidad é igual a 90 por cnto do valor d U até "' o ponto a jusant ond a vlocidad do fluido é novamnto 90 por cnto d U 00, Como simplificação sra adotado div T = O (I.3-) haja visto 8 pouco s sabr sobr a tnsão xtra. y = O obtém-s Tomando-s a quaçao (I.2-6), fazndo-s u 0,9U 00 o,9 u"' - - u"' v x2 + 4 ª2 X (I.3-2) ntão 0,8:::: x a 2 (I.3-2)

60 47 Assim X 2 = 7,053 a 2 (I.3-3) Logo = 4,29 a (I.3-4) a xprssao qu dá o ponto m qu u igual a novnta por cn to do valor d U 00 A intgração da quaçao d balanço da quantidad d mo vimnto ao longo da pard da chicana foi fita através do Mé todo Numérico d Simpson. Para isso foram dsnvolvidos dois programas Fortran. Ests programas fazm ambos basicamnt as msmas opraços, apnas um dstina-s ao cálculo d um arranjo quadrangular, o outro a um arranjo triangular. Nsts progr~ mas, o valor do gradint d prssao calculado no plano mostrado na figura 34, porm a intgração é fita sobr um plano "adimnsionalizado" através do critério mostrado no capítulo 4. Os programas PREX /2 para solução dst xmplo stão no fim dst Apêndic juntamnt com as rspctivas listagns. O fluxograma, qu é comum a ambos, também s ncontra no dst Apêndic. fim I.4 DESCRIÇÃO DOS PROGRAMAS I.4. CÁLCULO DE PARÂMETROS GEOM~TRICOS E ANAL!TICOS Calcula a porosidad, o diâmtro quivalnt, a posi - çao ond a vlocidad do fluido ating 90% do valor d U adimnsionaliza as grandzas gométricas. 00 (X90)

61 48 I.4.2 CÁLCULO DA PRESSÃO NO PONTO ZERO Faz a intgração da Equação d Balanço d Quantidad d Movimnto para a dirção axial ao longo da pard (primira pa~ t) para a dirção transvrsal ao longo da chicana m ambos os lados (sgunda trcira parts). A quda total d prssao até o Ponto Zro é obtida somando-s as prssõs obtidas três parts citadas. nas I DETERMINAÇÃO DO CAMPO DE PRESSÃO E'! -X90 E Y ENTRE ZERO E " 2 A" Intgra a Equação d Balanço d Quantidad d Movimnto para a dirção transvrsal, dtrminando a quda d prssao m cada ponto. I.4.4 SUBROTINA VELOZ Calcula as xprssos (I.2-8), (I.2-9) (I.2-0), Para a aplicação nas quaçõs d balanço, as quaçõs (I.2-6) (I.2-7) são adimnsionalizadas dividindo-as por por As drivadas das componnts da vlocidad são dadas AQ( 3R + -ª..Q ) - au (R + Q + 2 Y2) ax ax = - uoo u X 00 ax 2 AQ z Az Qz

62 49 - (R 2 + Q + 2 y) (A ~ + Q 3A) (I.4.4-) dx dx J au ay = u X 00 AQ 3R + ~ + 4 y ) ay ºY 2 A 2 Qz - (R + Q + 2 yz) ( A ~ + Q 3A ) ay ay (I.4.4-2) av ax u = 00 y AQ ( 3R + i x) dx dx z Az Qz 2 - (R + Q - 2 X) (A~ + Q 3A) l ax dx r ) J dv 3y uoo AQ ( or + ~ (R 2 + Q - 2 X ) + U ay ay 2 A Q l 2 A 2 Qz = 00 y 2 - (A~ + Q 3A) l (R + Q - 2 X) ay 3y _l (I.4.4-4)

63 Ond 50 3R 3x = 2 X (I.4.4-5) 3R 3y = - 2 y (I ) ~ 3x = 2 /Q (8 X 2 y + 2 x R) (I.4.4-7) ~ 3y = 2 /Q (8 2 X y - 2 x R) (I ) 3A 3x = 4 IA ( 3R + ~ ) ax ax (I.4.4-9) 3A 3y = 4 IA ( 3R 3y + (I.4.4-0) I.4.5 SUBROTINA SIMPS Entra m todas as fass do programa principal para fazr a intgração das quaçõs plo Método d Simpson'º I.S RESISTENCIA OFERECIDA POR UMA CHICANA Um problma drivado dst xmplo proposto o da dtrminação do coficint d arrast d uma chicana como a proposta.

64 5 Batchlor 3 dá a xprssao para o Coficint d Arras t como F CD = p u Subs ti tuindo-s F/A por l'lp A (I.5-) Tomando-s CD = l'lp p u (I.5-2) l'lp = l'ip l - (I.5-3) ond o Índic "l" rfr-s ao scoamnto calculado nos programas PREX o Índic "2" a um scoamnto puramnt axial. Na quaçao (I.5-3) l'lpl é a média das qudas d pr~ sao calculadas para cada valor d Rynolds. O rsultado para arranjo quadrangular stá na figura 4 para arranjo triangular na figura 42.

65 52 LER d, S, a, m, n CALCULAR E,D,a*,X90,A90 ESCREVER E, D ª* X90, A90 l 8----;,L_E_R_RE~Y_N_o_L_D_s_, f O FIM DO ARQU.!_ vo? PARE! NÃO CALCULAR h (ixo "x") CÁLCULO DOS PONTOS AO LONGO DO EIXO "x" SUBROTINA "VELOZ" CÁLCULO DA EQUAÇÃO DE BALANÇO DE QUANTIDADE DE MOVIMENTO EM CA DA PONTO NÃO CAL CULOU EM TO DOS OS PON TOS? - SIM G)

66 53 SUBROTINA SIMPS PSIMPS = P PARCIAL CALCULAR h (CHICANA) CÁLCULO DOS PONTOS DA CHI CANA (DIREITA) SUBROTINA VELOZ CÁLCULO DA EQUAÇÃO DE BALANÇO DE QUANTIDADE DE MOVIMENTO EM CADA PONTO À DIREITA DA CHICANA NÃO CALCULO EM TODOS OS PONTOS? SIM SUBROTINA S IMPS PSIMPS = P PARCIAL 2,..., CÁLCULO DOS PONTOS DA CHICANA (ESQUERDA) SUBROTINA VELOZ CÁLCULO DA EQUAÇÃO DE BALANÇO DE QUANTIDADE DE MOVIMENTO EM CADA PONTO À ESQUERDA DA CHICANA 8

67 54 0 NÃO ALCULOU EM TODOS OS PONTOS? l SIM SUBROTINA J SIMPS PSIMPS = P PARCIAL 3 l PRESSÃO NO PONTO ZERO = p PARCIAL + P PARCIAL 2 + P PARCIAL 3 / ESCREVER REYNOLDS/ P (ZERO) P PARCIAL 4=0 ~ ~ DETERMINAÇÃO DOS PONTOS DE \_J ~ ; AT~ M CÁLCULO DOS PONTOS ENTRE CA DA INTERVALO SUBROTINA VELOZ CÁLCULO DA EQUAÇÃO DE BALANÇO DE QUAN TIDADE DE MOVIMENTO EM CADA PONTO - NÃO CALCULOU EM TODOS OS PONTOS? SUBROTINA SIM SIMPS

68 55 P PARCIAL 4 = P PARCIAL 4 + PSIMPS P PONTO= P(ZERO) + P PARCIAL 4 ESCREVER!NDICE DO PONTO, COORDENADAS, COM PONENTES DA VELOCIDADE E PRESSÃO NÃO ALCULO EM TODOS OS INTERVALOS?

69 56 Pf.lL(,kAM f'f<fxi ( I~,P.T.c litpl'.t,tm'f"i=inpljt,taptt,:úutpljt) ( P>HGRA"'A t-xf!"f'l(' - (Ai"I--C i>f PHFSSA(I uevloll A PkESENCA Df:. l.jl'a C (t,lla!'>ia C CAkACHf<lSTilAS - ARf<A~J(' <,UAl'><A,c,L,LAt<, f<e-blao SE,..I-!Nflt-,ITA C CALCLLC H PAkA,..E-Tf.lllS bf<"ftk!cos E Ato.ALITICOS JK=l f.lfar(<i. ) G.HFT,AA " " C OHSfRVA(~l, - t. Stt,f-'f-<f- t,f-m R /:'l,f IIO(VALOfl PAR) FP"i=l-0,7H"i/HFT**2 DF,:t-f'S<H,/ ( -E- PS) A Aí':?<: A A /( f(l X'lfl:4, I?<.J*AA A'IO=!<'lll /l'f-cl wf.l!h{h,jt,) Ih füf<~ AT (-<l ///,'IX,"CA~P!, r f'f<fssj>o [lt-v[ü(j A,X, J\ P<f-SfNCA ['t- t,,..a CH!CM A",///) oklh (h.7) 7 füf,i"«t('ix "AH<ANJU r; t HWAthiJl Ak",//) wrjh(h,) FPS F º"' t, A T ( 4 x, "C A f' AC H k I <; T lf A"" /, "x, "POk ( SI lj A OE:=", F <;, l wf'!h (ln l?) f'fl, li:' FUktvAT(ClX,"DlAMlTf<CJ t-ícl,]val.f:nlf=",f7,3l RIH (h, 3) AAP 3 FCf',.AT(4X,"Ch!CA"A CAf.lt-t-N5l< "AL)=",F7,3) klh (h, 4) x<io.a'lo 4 FUk~Al (ClX,"XCJu=" F7,3,/,ClX. A<iO=",F7,3,///) oo RFAI' (<;,*) f<fy IF (H F (C.l,t,,f,U,) STl'P JK:)-JK wrih Cts.!') JK.><fY l" FO><t-AT(Tl//.fl., 'M..t-fH, i F RfY"OLl,S=,FlU,l) ( C CALCULO (>A PflfSSAO NI' PPt Tl' lh<o -X<iO,O) ( C f'hl"f!f-<i -APH - AO l('"b(, f,c, Fl ~l X Au'-'H,H, l A PkfCISAl r,a l"tfc;f;/\(a(l AO LUN(,() (JE "X" "-=0*[ f-'=?*j\40/!'< u ;;>o J=I,N I=J-

70 57 X (J) :XQ0-*-< Y(Jl=O CALL \/FLUI (J,X,Y,M,C,A,DHX,OHY,UQX,CQY,UAX,UAY,U,V,DUX, X [J li Y,, v X, IJ li Y, A /l ) P(Jl=IO**(-J.7?4*FPS+0.?0~)*kFY**(U.3hh*tPS-0,403)*U*U-?* XtlF(J*UL,X*l-?0 cmtii\.uf CAl l SJMPS p,.p.h,ps,í,h,) Pf'J:f'S r-. =h /':, SFbDhDA MARTt - Al [L',Gl ra Ct-<ICINA, PELA U!Ht!TA -<=?*A/l/N J=l " l=j- y (,.J) =! 4 X(Jl=O CALL VFLUZ (J,X,Y,M,L,A,OHX,uHY,U(,X,Dt,Y,UAX, AY,U,,ULX, XDLY,Ullx,OVY,A8) P(J)=l0**(-4.4h7*tP5+?.H4)*PFY (-O,!':il*V*V-t*OEY*0VY*V 3L' Cüt>.TIMJF C:Al L!:l!MPS ('l.,p,h,ps,('f(,) f'p?:ps C TFHCFIPA PARTf - IU LUNG( OA CH!(A~A, PFLA FSQUlkUA [0 4() J=l " I=J- Y(ul=AA-T*H X(Jl=C ( /l L L \, F L <) / (,.J o X I Y I f' (' o A I r, f< X t p Y t [ (; X, Ú Q Y, lj A X O Ü t, Y O U, V t [) t, X, "[; IJ Y, l, V X, L, li Y, A A l V:-V DVX:- \/X í'vy:-l,vy (ll; X :- (i X OUY:-l liy P(0l=I0**(-4,4h7 t~s+?,h4)*mty t-o,jsl*v*v-?*oeq*ovy*v 40 CO"T)/'.IIF CAI I SJ!"f'S (.,P,H,PS,[ f(j) PP3:t-''.:, C PMf SSAI' M. P(iNTO lfl-iú r. PU :f-'p J +Pf?+PP3 WHJ H!',?J) PZE 2 FO«A (9~o P(/rH0)=,~7.3).. kih Có,3ll ~ F Oh- ~,H\ T ( / / q X P UI\! T L " '-.. )i X " q X, Y 9 X, "lj", q X, "V" t 9 X t "P, / ) C rfhf<r,jt,,a(ao [,(, (Ar,f'(> t H FSSAú f-", -)(l/0 f Y ti'<tkt ZEMú t "2A i'<=~ /r S=? AA/" H:~/~,

71 58 PP4:(l rio c,t. K=l "' L=~- t-.n=" +l f() f,,(i,j:j,''f\ l=v- Ylvl=I *S l*i-' X IJl=-xq CALL VFIUl (J,x,y.~.~.A,O~X,UPY,U~X,U~Y,uAX,üAY,U,V,ülJX, XOlJY,LVA,ílVY,AA) TFT:ATAN(V/lll Vt,.=S~t-'T(l**? V**~l P(Jl=líl**(-4,4h7*FPS+?,~4l*MFY**(-0,JC,l*(Slh!TETll**(O,H~ X ) *V" <> V- ( P V X* L +()V Y <, V l ho CC'TlNlJF CAll SJMPS (,P,hl"',,[\flJl l-'p4:l-'p4 +PS v=k fj I c.j l =- ZF +PP4 ir!tt (h,4)) J,X(Jl,Yl ll,u,v,plvl 4 Fü~' 'ATillX,3,?X,F~.3,êX,F8,3,2X,F~.4,2X,Fh,4,2X,f~,4,/) <,O CU"T!MiF GG TI QO Ff\lí'

72 (' CH(LLC ('PS vt-lcc![>af t-', t- [lh<jvad/\s ~,A SULuCAü Of DURAND f-'iira C O bscoal<rl\to 59 S~HRUUTJ~t- V~LUL IJ,X,Y,H,íl,A,llHX,IHY,UílA,DílY,DAX,UAY,U, xv.rx,nuy,uva,uvy,aa) nj~f~sjon X(IJ(;l,YIJlül H=K(Jl?-Y(Jl**2+4*/\/\**? ~=S~kT(4*X(Jl**?*Y(Jl**?+k?l A:SO«l ( (t<+(;) /?) nrx:?*x (J) DHY=-ê Y(Jl nílx=<r X(J) Y(Jl**??*X(Jl Rl/(?*íl**O.',l [)(;Y:(r*X(Jl**?*Y(Jl-?*X(J) R)/(?*íl**(i,',l [) A X = ( t,h X + )(J X J / ( 4 * A** r: ', l DAY: ll t<x+(.<;yj / (4*A**(c,',) U=X(Jl IH+íl+?*Y(,l)**?l/l?*A*~I V:-Y(J)*(k+(l-?*X(J)**?l/l?*A*(l) CLX:(k+Q+?*Y!Jl**l)/l?*A*íl)+X(J)*IA t (Ut<A+OQX)-(H+Q+2 X Y ( J) *''?) * ( A*I,X +,<>, X l l /?*A**? l,**2 l DL Y:X ( J) * (AD(; (Ot<Y +!' (. y + 4 *Y ( J) ) - ( k +(H?*Y ( J) 2) ( A OQY +(;* X[)AYJ l/(?*a**?*y**ll P V X= - Y I J) * ( A<> t,; * (, t< X+ [ C X -4 * X I J l l - H + (-?* X ( J l 2) * ( A O(U + (l* XOAXl )/(?*A**?*(l**?l DVY=-IH+(l-?*l(Jl *?l/l?*a*íll-yij)*ia*íl*(uhy+u<;y)-(r+q-? X X I J l * *? l * ( A* f (l Y + (; * P A Y l l /? *A**?* U * * 2 ) HF Tl,k' FM

73 60!NTtGRA[Pl> ílas H,lliA(U s r,t -'Al Al'ICO ['t (ll,al\.l[ljaot DF MOVIl'IH,TO C V!A S!t-P!:>l f\i O[nf\i!:>!0\. P(3f!l PS:-' ( l DO )G,J:?,N,? l(! PS=PS+P(Jl*4,+P(J+ll*2, -'S:(l-'!:,-P(N+lll*h/l PS=P!:,/OF(l KFTtH FM~

74 6 fah'af TH< l'::i T!CA'::, PuPIIS!nAPf=.4'i í'!ai'<f lflü f l,l TVAL fntf = CtIfANA (4 JMFlliS!ONAl)= XQO: 4.?QO A90= 'i\.3'i9 t,iljmfh'p í)f h'f Y"t:L í'':,= ]000,0 - (lh<lj) = 7'i,",0( PU/\Tt X y -4,?QIJ?,{l()C,? -4,? (; 3-4,?40 h.ono 4-4.?'lO H.oor. ', -4.?9 O P O li r -4,?QO ;>.onc: 7-4).;>Q(l H -4].?90 \h,(l(ic: 9-4,?<lil 8,ílOC (J -4,?QO 20,()(l() (, V p -,900'-, -.00'3 7':>.497':, -.90]<.. -,Olh4 7"> Q ?4? 7"> ]'-, '>,463 -.QJ l" -.038':, 7':i ,9lh3 -,044!< 7':,,423 -.<l?]" -.0", <; -.9?73 -.O':,"i;> 7':i,3997 -,<n i~ -,O'i9? 7'>,40":>3 -,4'9r -,Of.?4 75,430f,

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76 63 ~l.ji,,ef,(, [F n YNOL l S=?',üOO.O P(7H<(,): h 7. "-4 PONTl, X y li V p -4.?QII?.oon -.900', -.OOf<3 h7.':, ?QO 4. il()o Olh4 h7.<,3', 3-4.?40 n.ooc ?4? t,7.',]9, 4-4.?<Hl A 00 CJ -,4J7', -.03> <, -4,?QO o.nno -.9] ]', -.03f<'i h7.48':,9 t, -4).?QO > loi' ?]', -.o':>r4 t, I' ]h.uilo -.9? <,? 67.44'!4 q -4.2'0 lh.ocn -.<,n n7.457tl () -4).?Q(I ;,o.nno -.93'h -.06?4 h Nl,i,,Ff,ll I' F -~ YNOL l S= o P(lFkO): t,!o.or!o F>ONTv X y lj V jj l -4 J,.?90? o (i o -,4[()', -.00<3 66.ll ?Q(l 4.0('( O]t,4 h6.076'< 3-4.?40,.oon ? bb ?'( H.oon -.907', -,03]t, 'í -4 l.?'0 l º ººº -.4l]'í -.038", hh.036 t, -4.?QO bb, ?' <i?l', -, 050 4, ?'0 lh.oo<, -.'273 -.O'J'ir' 6':,.496? 4-4J.?Qfl ' Q n, ':,2 () -4 l,?<i(j? ' ,0342

77 MWFRü CF -'t Y~'íll r S= 3t.,ooo.r P(7H<ü): h4.'lf<r 64 PONTO ~ y [ V f' l -4.?QII 2.oor, -.Q()Q'-, - O C!:<3 64.fl853? -4.,'Q li 4. 00( -.QOJQ -.O}l', ].?QO h Q ].?Gtl <.00 -.Q07'i -.03lh , -4).?Q(', 0.ooc -.<l]j'-, -.03H"> 64.R333, -4.?QC J?.IIIJíl -.'Hh :<, ?QIJ ] Q?] ", -.0">04 t,4.'033 f< -4.?GO jh Q ,2 t,4 79:l8 '- -4.?llO )h G,,3 -.Ot.,92 h4oh082 O -4.?QC ci jqt, -.Oh?4 64.A377 NUMFRU D F H YNOl f,s: P!ZFf<Ul= t--3. R7? íl POI\TO X y l' V p -4.?GO "ºº" -.00'3 3 flt,9',? -4.?GO ll{))q -.064,3.-<6?4 3-4J.?QO t,. o o (l -.Q ?42 h3.a50h 4-4.?Q(I H.ooo -.'-l07l, -.03lh " -4.?GO QJ] ', -.03Ht., t,3 0 Rl7H r -4 l o?q(i 2.00(i -.Q}l, t, ?QO 4.00P -.ll?l" -.0'> r -4.?QO -,.onn -.Q?73 -.0'>5? 63. 7:l4 q -4.?QO!H.oo - "' n -.0'> ?QO "º ººº -.q3qt'l -.Oh?4 t,3.8?3a

78 65!\lJMHH [ f P~ YNOL l's= 'iíl P(Zfkúl= ;;?.??O PONTli X y l, V p l -4.?Q(l 2.(()\ -.QO()'", -.OOf<3 62.?77? -4.?QO Q(}lQ -.U}f,4 62.? ?QG h.00 -.Q A.ooo -.907"> -.03lh 62.lf\37.., -4].2QO º ººº -.9', -.03' h -4.?QO QJ' ?Qti 4.llíl(! -.9?l'i h?.378 H -4).?Q!i )fi.((() -.Q?73 -.O','i2 6?.] ?QO )fl Ql lo -4.?Q(l t' QJQt, -.On? NL,_.F f<l nf t<t Y,0L PS= hoooc 0 fi P(ZFt<ü)= f,o.qj2 PO!'.TL " y l V p -4.?QO?.ooo - "ºº" -.OUR ?? -4].?QO 4.0nO -.<iolq -.Olf,4 n ?QO h ?4? 60 0 H90t, 4-4.?QO A O O O -.Q07', -.03Jh 'i -4.?QO º ººº -.Ql J'-, -.03H'-, f, -4.?QO Ql < ].?Q(l l ' -.oc, ?QO Jt-,.:0 -."?73 -.oc,r,;> 60.f<270 Q -4l.2QO!P Yl.3 -.O'iQ? h 0-4.?GO?o.noo -,Q'3',Jt, -.Ot,?4 60.A68Q

79 66 l\,ljl'ff.0 rf kf HHJLPS= P(lf-kO): 'ib.4?0 "0000.fl POI\ T lí X y l, V p l -4.?ClO? o o (J -.Q()()', -.OOP3 ':> ?4J 4.nnn -.QO)Q -.OJt,4!'>8.Ql ?40 n.,,oo ?42 5H.ll9tl9 4-4.?<JC H O O O -.907" -.03Jh ', -4.?<JO 0.ooc -.QJ ', - O 38!:i ':>fl.hó73 ó -4.?QO!? QJh < 5A.85l"i 7-4).?QU ) ?" S8.A400-4.?40 lhofloo -.Q273 -.OS!'>? ':>H.H373 Q -4.?QO JH.OOíl n -.0':>9i:' SA.P48A l (i -4.?QO? Q39t, -.Ot,24 :,H.A807 ~l:"ft'o l'f f'~ YNOLflS= f'(lft,(;j:,;7.434 POl'.TU X. y u V p -4 J.?QII QOO<s -.OOH ? -4.?ClO )'- -.Olh h 3-4.?ClO h.oop ', A.ooo S -.03lh ':> L, -4.?ClU Q} JS -.03f<':, ':>7.3:ll l.?90 \ 2. o G (' -.Q!t, óh4 7-4.? ( -.<l?i"> -.0", ':>53 p. -4.?90!h ?73 -.O'í':,2 57.3:>3 4-4.?'lll lh.oon - " ~.n - 0 0'i9? 57.36':>l l u oon -.9]Qf- -.OA?4 ':>7.347h

80 67 PR O G H /l M f' f.< F X? ( I N f' U T, (,(, T P lj T, T A P f S = N P U T, TAP E 6 =OUTPUT ) C Pf'OGHAMA fxf~plo - (AMP(, Ot PRFSSAO UEV!DU A PRESENCA DE UMA C Cl-<!CANA C CARACTtRISTICAS - C CALCULO Df AWHANJO TR!ANGLLAR, REG]AU SEMI-INFINITA O!Mfl'.SION X(llOl,Y!l!Ol,P!l!Ol J~ = PAH/\MfTHOS G~OMFTHICOS f ANALITICOS RfAO!S, ) D,hFT,AA,M,N C OflStRVACAv - N SFMPfff MFM,R (llje 0 (V/\LOH PAI<) fps=l-0,407/~ft? OfU:ff'S D/(J-FPSl AAO=í'"AA/llE () Xg():4,l?g AA Ag(l:XtiO/l>FQ wrjh!fi,6) Jt, FOHl'AT(Jt 'l,///,4x, CAMPO OE PRtSSAO OfVIDU A,IX, X"Pf<tSH CA DF UMA (h!c/\l'./,///) wrih (A.7) 7 FOPMAT (4X, ARPANJO TR!ANGULAH,//l whjh U,,!ll FPS l J FOPl'/lT (Gi,"CARACTf f.-lst I CAS,,gx, POROS!OAOE=",FS,2) wk!h (fi,!?l flfu J? FORMAT C4X, íllamf THO f Clll[VALfl'.Tf =",F7,3l wrjh U,, J 3) AAD 3 FOf/r,JlT (q)<.,"ch!cana ( H IMFN5IONAL l =",F7,3l wh[tf (fi,4) X<;O,A<;O 4 fohl'al (4X,"X40=,F7.3,/,4X,"A40=,F7,3,///) go RFAP (S,*l Rf Y lf (H,F(S),Nf,O,l STOf Ji<=J-Ji< wpih U,,J<,) JK,RfY l'-i Füf'l'AT(Tl//,8~,"NL,MFHC IJF REYNOLDS=,Fl0,ll C CALC~LO l A PkFSSAU NIJ PO~TO ZFRO (-X90,0J Pkl~flhA PARTf - AO LUNG(' ao FIXO X C AlJl<Ef\lTO IJA PHFCISAO NA HTfGRACAO AO LONGO DE J\ N:JO*I'. t-<=?*xc/0/f\i no?o J=J,N l=j-

81 c 68 X(J):"QO-l*H y ( J) :(l CALL VFL(IZ (J,X,Y,R,D,A,DRX,[IRY,DOX,DQY,DAX,OAY,u,v,oux, XDUY,UVX,DVY,AA) P(Jl=l0**(-J,724*fl-'S+0,?0SJ*RFY**(0,3hh*EPS-0,403)*U*U-2* XfJF G*DL;X*l,?O CO~:Tlt>.UF CALL S!ll'PS (t>.,p,h,pc;,rfc.) PP[:PS f',;:f\,/s C SfGUhOA PART~ - AIJ LUNl G DA CHICANA, PFLA OlH~IlA c c H=?*AA/N no 30 J=I,N l=j- Y(JJ=l*H X(J):U CAL L ~ Fl.OZ (.J, X, Y, R, C;, A, DR X, IJRY, LJQX, D<lY, DAX, UAY, U, V, DLX, XOUY,tVX,DVY,AA) P(J)=l0**(-0,HH7*fPc;+0,57h)*HfY**(-O,lbl*V*V-2*DEQ*OVY*V 3 CONTINUF CALL SJll'PS (\,-',t-<,-'s,dhll -'P?:PS C TFHCFIRA -'APTf - AO Lílt>.GO DA CHICAhA, PELA ESQUERDA c c J=l,N I=.J- Y(J)=AA-]*H X(J)=O CALL VFLI)/ (J,X,Y,R,Q,A,DRX,DRY,LJOX,DWY,UAX,OAY,u,v,oux, XOUY,lJVX,DVY,AA) V=-V OVX:-liVX OVY:-f,VY Ol,X:-PUX OUY=-l'UY P(.Jl=ID**(-O,HH7*FPS+P,57hl*P~Y**(-O,Jbl*V*V-?*DEQ*OVY*V 40 COhT JhllF C/ILI sp,ps (l\,,l-',h,-'<;,phi) PPJ:PS C -'RE.SSAO NU PONTO ZFRO c PZF:PPJ+PP?+PP3 wrih Ch,2 -'ZE 2 FC,Rr-AT(QX, PCZEROJ=",f7,3) wrih (n,3) ) FUR,-AT (//,9X, PONT0,5X, X,c,x, Y'',4X, U,9X, V,9X,"P",/I C OfTfRll'Jl'<ACAO ao CA~PU nr PRESSAO EM N:~, /? S=?*AA/., H=S/'< -XQO E Y ENTRE ZERO E ''2A''

82 69 PP4=0 f(' c,o K=l,~ L=~- NN=~ + 00 fdl J=J,NN l=u- Y (J l =l *S+ I*r< X(J):-XQ(I CALL VFLOZ (J,X,Y,H,Q,A,DHX,DRY,DQX,D~Y,UAX,DAY,u,v,oux. XOGY,üvX,OVY,AAl TET=ATAl\i(V/U) V~=S~HT(lJ**2 V**?) P(0l=lO <-O,RR7*fPS+r.~76l*RfY**(-O,lbl*(SlN(T~T))**(0,84 X)<>VN*V-(PVX U+OVY*V) 60 CONT I N!JF (ALL SIMPS ('<,P,H,PS,r.fll) PP4:t-'-'4+PS J=~ P(Jl=r'7F+PP4 wf/jh (ho4ll J,X(J),Y(N+l),cJ,V,P(Jl 4 FOH~AT(JlX,!3,2X,FH,3,?X,fM,3,?X,fH,4,2X,fH,4,2X,F8,4,/l ~O COl'<T!MJF GO Tli oo END

83 70 C CALCULO L,AS VF-LOCilAflfS f- Df PIVAUAS!'.A SüLUCAO Of OURAr>.O PAHA r O f-scoal"fl'.to SURPUUTINf VFLUl (J,X,Y,H,O,A,DPX,DRY,DQX,OQY,UAX,OAY,U, X VI OI IX, nu Y, DV J(, ()V Y, A A) fll~fnsion X(!IO),Y(JJO) R=X<Jl**?-Y(J)**?+4*AO**? Q:SQPT(4*X(J)**2*Y!J)**?+P**?) A=S(Jl-iT ( ( k +(I) 2) OPX=?*X(Jl DRY=-2 Y!Jl DOX:(H X!J)*Y(J)**??*X(J) H)/(2*0**0,5) OQY:(H*X!Jl *2*Y(J)-?*X(J) P)/(2*G**0,5) DAX=!L>RX+fQ) / (4*A r,<;) OAY=(~RX+()QY)/(4*A**0,5) L=X(J)*(P+Q+?*Y(J)**?)/(? A O) V:-Y(J)*(H+Q-2*X(J)**?)/(?*A*Q) fllx:(p+q+?*y(jl**?l/(?*a*ql+x(j)*!a Q (LHX+UQAl-(R+Q+2* XY (J) **?l * (A DQX+O*l'>X l l / (?*A**í:'*C,* 2) nu Y = X < J l * (A<> Q < IJPY + r, (.)Y + 4 Y < J l ) - < H + ll+?* Y < J 2 * <A* DQ Y + Q XOAYl )/(?*A**í:'*W**?) OVX:-Y (JI (A <J* (i,px+f'-(jx-4 X (J) )- (P+Q-? X (J) **2) (A*OQX+Q<> XCAX))/!? A? W**?l OVY:-(R+O-?*X(J)**?l/(2*A*Q)-Y(Jl*!A O*(OHY+DQY)-IR+0-2* XX(J)**?l*(A*ílQY+O flayl)/(?*a**2*y* 2) RfTI 'P~- F- Nr

84 7 INTfGHACAü OAS F~UACOFS rf HALANCO nt QUANTIDADE OE C VJ;A Slt-'PSUN nrt-ensioi-j P(30) PS=PCI) 00 0 J:i.',N,? 0 PS:PS+P(J)*4.+P(J+l)*i.'. PS=C~S-P(N+J) l*~/3 PS=PS/OFCl RFTUHrs Ef'<D MOVIMENTO

85 C'AMPO llf Pfit",S/lú D~Vl['.(l t P>l~SFfl.C:A r,~.jt;,a CHICANA 72 IRHAfl.JO TPIANGl'LAR CARACTFP[STIC'AS POPOSIOArE=.4'i llja"lttkc Ft.LIVAL.FNH= Ct-<IC/lfl.A ( Aíil"IFNS!Of'JALl = XQO: 4]?'l(I ACJO= ">l.?0 I\L~'F fw rf n YNOL LS= P<lFk(;l=?7.34? I o n o o o PONTO X y l -4.?'lO? }.?QO 4.00: 3-4,?CJO h,00' 4-4.?'lO H.onn 'i -4.?'lO f, -4,?'lO l?,cof. 7-4\.?Q(I 4,000 H -4,?'lO 6,00 q -4),?QO lr,000 o -4,?'lG?0,000 u V -' -.QflOt., -.OOR ,904 -,OJ/,4 27,333 -, ?4? 27,3234 -,'l07'i -.03]6 27,3]6 -,9 l" -,03Wo 27,2996 -,9i3 -,044fi 27,2904 -,9?" -.0"> ?73 -,O'i<,2 27,294/i - 'n,3 -,Q'-,'l2?7,377 -.Q)Qf- -,Ot-?4 27,3626

86 73 f\.u"ff<u OF f.t YNCJL l,s= l',<00.r P(ZFl-<0)=?t,,47q PONTC, }. y l V p -4.?QO " ººº -.900', ,?QO l<l -.OJt,4? ,?<lü ? ? 4-4,?QO qn7" -.Oêllb , -4.?90 O O O il -.9 '- -.03P', :, -4.?90? lh /: 2t> ?<lO <l?l'- -.0'>04 2t>.42!::>S f< -4.?QO l 6 O O O -.Q?73 - º"" q -4.?90.ooc '> ':,6", 0-4.? ':,07 "UMFRO OF f<i-ynolíls=? P (lfko) =?'>.Q03 PONTO }. y u V p -4.?qO? ':, -.OliA3 2S.'IOOH? -4}.? ! ', 3-4}.?Qll 6 O O O -.cio4, -.0?4? 2':, ?90 " ººº -.'07', <732 ', -4 l.? ] l', -.03R':, 2':>.864 f, -4.? 'llf> H 2':i.!'> ?)'> - 0':, \ -4.?90 lf> ':, }.?90 lh.ootj -.<i, n -.o,-,q2 <'!:> ? 'l]qf, !">.9263

87 74 ViJ~f RO flf Pê YN[ll [ S= 0 P(ZFf<ll)=?':>.475 2"0 ll O. O PONTO ~ y li V p l -4.?Q(I O -.QOO" ?QO 'lll] ' -.Olh ?Qll ].?QO " ººº -.97., <, -4.?QO 0.00(i -.'llj', -.03f'', ? Q?., f' -4.?QO ?73 -,0', Qll IH q:n -,O'iQ l li -4,?QO? Q 9f, -,024 25,4992 NUMFRO r:f htynol!'s= P(ZFRU)= 2". 7 3ooor,r PONTC., ~ y li V p -4.2QO ,'lq(lt., -,00'3 25,353? -4.?40 4,00C -,QOJ'l -,064 25, f, , '> J.?QO 8,000 -.Q07L, -,036 2':>.078 ', -4l,2QO 0,000 -.Ql I" ,0962 f, noo -,Q}f,3 -, , J.?QO 4,000 -.Q?J", -,O'i f' -4}.?QO 6, , O':i52 25,0927 q -4.2Qll,000 -,Q33 -.0">92 í:'5.6'> O -4 J.?QO "39(, -.06?

88 75 i'jll"'hw [lf fj(- Y NOL PS= P(lfRU):?4, f\f,0 3',000,(l PONTO X y li V p -4,?GO 2,000 -,QOO', -,OOH3 24,H5RO 2-4],?QO 4,00( -,QOJ4 -,Olh4?4,H5!7 3-4],?QO t,,))[} -,Qll43 -.0?4? 24,R42! 4-4,?<iO 8,000 -,'í(j7', -.03], 24,8305 ', -4,?GO 0,000 -,Yl l'"' -,03fi5?4,889 h -4],?CQ 2,000 -,QJ63 -,()448 24,'0 7-4],?QO 4,UOC -,Yí'}'i ,8075 H -4,?Q(I Jt,, ?73 -,0">5? 24,'56 4-4,?Q(, lfi,()()(l -.9 i3 -.0:,9? 24,8395 () -4,?QO 20.noo -,Q"JQIS -, ,88':,3 NUMFRt, l'f f<t YNOL PS= 40000,0 P(Zff<lll=?4,f,?6 PONT<, X y li V p -4,?GO 2,000 -,QIJO<, -,00<3 24,623h? -4,?<iO 4,oon -,QO\" -,064 24, ],?YO 6, ?4i' 24, ],;>QO 8,()()0 -,407", -,036 24,l:,Y6! ':, -4\,?QO 0.noo -,<JJ}', -,03R5 24,'i846 f, -4,?QO J?,00 -,463 -,044' 24, ,?'lO 4,000 -,9?] ', -.0:, fi -4,?00 6 o o o -,4?73 -.oc,,2 24, ],2QO IH,000 -,9"l3 - Q",Q? 24, ,?QO?0,000 -,QQt, -,Oh24 24,t,53

89 77 NlJf.'FRO DF nynolfls= 80000,0 p (lf-k()) =?3,4Ql PONTO X y li V p -4),?QO 2,00 -,Qf)Q'-, -, , ,?QfJ 4, O [I O -,90Q -,Olf,4 23, ,?QO h,coo -,9043 -, , l,?40 8,000 -,407':, -,03)6 23,4620 'i -4,?90 0,000 -,4':> -.038!:> 23,4506 h -4 l,2qo 2, )63 -, ,44?0 7-4,?Q(l 4,000 -,Q2)'i , ,?9 O Jn,ooo -,9?73 -.0':>5? 23, ,?QO 8,000 -.,n:n -,0">92 23, ,?GO?U,000 -,4Gn -, ,'il88 MWFRO Df RFYNOLPS= P(Zffiül=? 3, l "í4 JOOOOG,r PONTG X y L, V p l -4),290 2,000 -,Q(l(l', -,00'<3 23,l':ll7 2-4),?90 4,000 -,909 -,Olh4 23, ,?0ll h,000 -,4043 -, , ,?90 H,OOG -,cio7.-., -,036 23,245 ':, -4 l,2qo ,9'> -,038':, 23,3 I', -4,?GO ,9]',3 -, ,) ,?90 4,000 -,9?" -, , ),?90 lh, , ,0 9-4,?GO 8,000 -,933 -, , ,?00 20,(00 -, 9Yt, -, ,89

90 78 CORRESPONDENCIA DAS VARIÁVEIS FORTRAN COM AS VARIÁVEIS DO PROBLEMA A AA A a AAD 2a* A90 x* 90 BET D DEQ DAX DAY DQX DQY DRX DRY DUX DUY s d D aa/ax aa/ay aq;ax aq/ay ar/ax ar/ay au/ax au/ay EPS E: H Comprimnto do intrvalo d intgração no Méto do Simpson p p* PPl p* parcial PP2 p* parcial 2 PP3 p* parcial 3 PP4 p* parcial 4 PS Q R p* Simpson Q R

91 79 REY S TET u V VN X X90 y R Comprimnto do intrvalo ntr cada ponto no campo d prssão u V li::: li X Xlgo y!ndices I, J, JK, M, N

92 80 APtNDICE II FIGURAS

93 8 q(r) --...,tz) r9"a Z~na intrna d matnol ~fss. Zona xtrno d matrial fiss. ;zona fért II.rodol m Espap, para gas z..,. fwrtll axal utfrioc D d flnõo. supnor, FIG. - ESTRUTURA DO NOCLEO DE UM REATOR RÃPIDO E DISTRIBUI ÇÃO DE DENSIDADE DE POTENCIA

94 82 CÂMARA DE SAIDA t I / TANQUE DO REATOR t..,_,--0:-tt-valvula REGJLADORA DE FLUXO r CHICANA. PERMEAVEL -R-- câmaiiia ANELAR ' \ \ CAMARA DE ENTRADA FIG. 2 - LINHAS DE CORRENTE NO NOCLEÇ DE ill+ REATOR RÃPIDO SEGUNDO ZIEGLER

95 83 QllllaM.NIULAR A, AREA lotm. FIG. 3 - TIPOS DE ARRANJOS DE BARRAS

96 84 o i FIG. 4 - POSIÇÃO DO SISTEMA DE COORDENADAS /

97 85 ' : o li) N..., ---,-- ~ N - = ~ N - =o rn... d /o.75õ. 250" CANAL A d=, E =0,55 d=,25, f =0,43 0, CANAL B. d=, é =0,53 CANAL C d=, E =0,49 CANAL D d ", t =0,42 CANAL E d " =0,49 FIG. 5 - DIME:-.JSOES DOS DISPOSITIVOS DE ROWE

98 - 2 io ~ oc o , log R FIG. 6 - FATORES DE ATRITO PARA A DIREÇl\O AXIAL SEGUNDO ROWE l ~

99 87 f,<u - l,[]...j.. ~ -0,!I O,!I. o r = - o. s!i t' o = -.2~ E t 0,20! IG. 7 - f (s) - caficiente PARA DIREÇÃO AXIAL

100 88.o.' L ~o f = 0.6SB~ f-2 ( f) = 0,366é _ 0,403,J FIG. 8 - f 2 (E) - COEFICIENTE PARA DIREÇÃO AXIAL

101 89, , t l o 0,5,0 r -= o. 999 FIG. 9 - g (E) - COEFICIE~TE PARA EQUAÇÃO (4.5-2)

102 9 () -,,,( é) 0,5,0 r = O, 998 h., (E) = - 3, 003 f FIG. 0 - g 2 [E) - COEFICIENTE PARA EQUAÇÃO (4.5-2)

103 9,0 ~---- -i -- o 0,5 l,ó V'= O, 997 0,26 E + O, Z07 FIG. - h 2 (E) - COEFICIENTE PARA EQUAÇÃO (4.5-22)

104 92, ,- 0,5 0,5,0 r.. -~ 99,- ftz(é) =- /458 E r,464 FIG. 2 - h 7 (E) - COEF[CIEJ\TE PARA EQUAÇÃO (4.5-22) -

105 93,0 :/' ( f I, º 8 87 l,- o,!5 76 FIG. 3 - g(e) - [OEFICIE'iTE PARA ARRANJO TRIANGULAR

106 94 h ( f), , 'l j Q,::,...J !,0 h ( f.) = - 4,46 f + 2,840 FIG. 4 - h(e) - COEFICIENTE PARA ARRANJO QUADRANGULAR

107 95 z.. <[ a: a: <[ aj <[ o o X w FIG. 5 - NOMENCLATURA DE ÂNGULOS E POSIÇÃO DO SISTEMA DE COORDENADAS EM RELAÇÃO A UMA BARRA

108 96 A li' JJ' i! 0,5_,. J - LJ [ '.. ; _l..._., FIG. 6 - VALOR DE mi COMO FUNÇÃO DE, PARA ARRANJO TRIANGULAR - s = 0,45, R = 0000

109 97 i l --4, ~-+- -~,, , il---l----t ~-~~ : I! FIG. 7 - VALOR DE mi COMO FUNÇAO DE, PARA ARRANJO QUADRANGULAR E= 0,45 - R = 0000

110 98 O,I -t------, - - T- - -r --..,. r-r-n ops ~! 0 l ) o FIG. 8 - VALOR DE m 2 COMO FUNÇÃO DE, PARA QUALQUER TIPO DE ARRANJO - E= 0,45, R = 0000

111 99 ' º +--~~----~ ,- FIG. 9 - VARIAÇÃO DE [:_* COMO FUNÇÃO DE 6, PARA ARRANJO TRIANGULAR E= 0,45, R = 0000

112 ~, ~I -- - r--r-~~----~! i! i,,,v-+---+i_ ~ L ~ 0, ~+----,, W FIG VARIAÇÃO DE )):* )) COMO FUNÇÃO DE 8 PARA ARRANJO QUADRANGULAR - E: 0,45, R: 0000

113 LO / /' / / i li ~/ / i ' i, -----r , / t--- i V-,,! ' j IO ' i i ' i i '! FIG. 2 - VARIAÇÃO DE~ PARA R = 0000 E ARRANJO TRIANGULAR E: = 0,45 o

114 02.! í r-, r l _ i--- 4u-t i l----~- - i -i-+--+-~ t- 30-t-f--r -+ -f--i-. -H -l--+-- ~- f :nt-+--l t ! I / ' O FIG VARIAÇÃO DE ;, PARA R 0000 E ARRANJO QUADRANGU- LAR - E; 0,45

115 FIG VARIAÇAO DE ó PARA R = 0000, E ARRANJO TRIANGU LAR - E= 0,45

116 04 90 ' '. ' ' 80! ' ' 70 ' -- '! -! ir '' i '! ' ' i ~i w ' I '"'! ' Aft i ' :" i ! 20 i. ""'i i! ' 0! i! I"' i ' ' i ~i IO ()- FIG VARIAÇÃO DE o PARA R = 0000, E ARRANJO QUADRAN- GULAR E = 0,45

117 05 l l --' ' FIG O DISPOSITIVO DE TESTES

118 FIG OS MÓDULOS DE TESTE 06