Andre - Dirmatica. Matemática Cursos Profissionais Módulo A1 - Geometria

Transcrição

1 Andre - Dirmatica Matemática Cursos Profissionais Módulo A1 - Geometria

2 Áreas Em algumas situações problemáticas, surge a necessidade de quantificar a porção do plano que uma determinada forma ou figura ocupa. Daí ser efectuado o cálculo de uma área. A área quantifica a porção do plano que a respectiva figura ocupa.

3 Áreas do Quadrado e do Rectângulo Embora existam ferramentas matemáticas que permitam demonstrar as áreas do quadrado e do rectângulo, admita-se a sua veracidade sem comprovação. Pois os conceitos envolvidos na sua demonstração, pertencentes ao Cálculo, não são abordados a este nível.

4 Área do Quadrado Dado um quadrado de lado L, a sua área A é dada por: Ou seja, L Exemplo A área de um quadrado com 5cm de lado é dada por: ou seja, a sua área é igual a 25cm 2 5cm

5 Área do Rectângulo Dado um rectângulo de base B e altura H, a sua área A é dada por: H B Exemplo A área de um rectângulo com 4cm de base e 3cm altura é dada por: 3cm ou seja, a sua área é igual a 12cm 2 4cm

6 Área do Paralelogramo Consideremos um paralelogramo de base b e altura h qualquer. h b Como determinar a sua área? Corte-se, ao paralelogramo, um pedaço a partir da sua altura, obtendo a situação da figura Pegando no triângulo e colando-o sobre o outro lado oblíquo do paralelogramo, obtém-se um rectângulo como se mostra abaixo. E a área deste rectângulo é dada por Como o rectângulo e o paralelogramo têm a mesma área, vem

7 Assim, dado um paralelogramo de base b e altura h, a sua área é dada por: Exemplo A área de um rectângulo com 2cm de base e 1,5cm altura é dada por: 1,5cm 2cm ou seja, a sua área é igual a 3cm 2

8 Área do Triângulo Consideremos um triângulo de base b e altura h qualquer. h Como calcular a sua área? b Consideremos uma cópia do triângulo como mostra a figura b h Obtém-se, por junção, um paralelogramo, cuja área é igual a E como cada triângulo ocupa metade do paralelogramo

9 Assim, dado um triângulo de base b e altura h, a sua área é dada por: Exemplo A área de um triângulo com 3cm de base e 4cm altura é dada por: 4cm ou seja, a sua área é igual a 6cm 2 3cm

10 Área do Trapézio Consideremos um trapézio qualquer de base maior B, de base menor b e altura h. Como calcular a sua área? h b B Procedendo de modo análogo como para a área do triângulo h b B Obtém-se, por junção, um paralelogramo de base B+b e altura h, cuja área é igual a B b E como cada trapézio ocupa metade do paralelogramo

11 Assim, dado um trapézio de base maior B, base menor b e altura h, a sua área é dada por: Exemplo A área do trapézio representado ao lado é dada por: 6cm 3cm 8cm ou seja, a sua área é igual a 26cm 2

12 Área do Losango Consideremos um losango qualquer de diagonal maior D e de diagonal menor d. D d Como calcular a sua área? Observe-se que a diagonal menor corta o losango em dois triângulos congruentes (geometricamente iguais) de base d e altura D/2. D D/2 A área de cada um deles é dada por D/2 d d d Pelo que a área do losango é dada por

13 Assim, dado um losango de diagonal maior D e diagonal menor d, a sua área é dada por: Exemplo A área do losango representado ao lado é dada por: 7cm 5cm ou seja, a sua área é igual a 17,5cm 2

14 Área de um Polígono Regular Recorde-se que, por definição, um polígono diz-se regular se todos os seus lados tiverem o mesmo comprimento e se todos os seus ângulos tiverem a mesma amplitude Exemplos de polígonos regulares: Triângulo Equilátero; Quadrado; Pentágono Regular

15 Uma das propriedades partilhadas por todos os polígonos regulares reside no facto de poderem ser decompostos numa quantidade de triângulos isósceles congruentes igual ao seu número de lados. Ou seja, um polígono regular de n lados pode ser decomposto em n triângulos isósceles congruentes No caso do hexágono regular, este seria decomposto em seis triângulos, como mostra a figura ao lado.

16 De um modo geral, é possível determinar directamente a área de qualquer polígono regular. O cálculo é baseado no valor do perímetro e do comprimento da apótema, sendo que a apótema é o segmento de recta que une o centro do polígono ao ponto médio de um dos lados. Como se pode constatar, a apótema corresponde à altura de cada um dos triângulos em que o polígono é decomposto. Assim, a área de cada triângulo será dada por:

17 Como a base do triângulo corresponde ao lado do polígono, tem-se E existindo tantos triângulos, como o número de lados do polígono, n, a área do polígono será Ou seja,

18 Mas o produto do comprimento de cada lado pelo número de lados é igual ao perímetro do polígono, tem-se A polígono = perímetro apótema 2 Ou seja, a área de um polígono regular é dada por: A = perímetro apótema 2

19 Exemplo Calcule-se a área de um eneágono regular com 5 cm de lado e 6,87 cm de apótema. Tem-se que: P eneágono = 9 5 = 45 cm E, então, A eneágono = 45 6,87 2 = 309,15 2 = 154,575 cm 2 Pelo que a área do eneágono supramencionado é igual a 154,575 cm 2