3 Função - conceitos gerais 45

Transcrição

1 UFF/GMA - Matemática Básica - Parte III - Função Notas de aula - Marlene Sumário III Função: conceitos erais 45 3 Função - conceitos erais Conceito e representação simbólica de unção Exemplos e contra-exemplos de unções Domínio e imaem de unção Iualdade de unções Propriedades de unção: injetora, sobrejetora e bijetora Função injetora Função sobrejetora Função bijetora Composição de unções Funções inversas

2 45 Parte III Função: conceitos erais Introdução Podemos dizer que atualmente em quase todas as áreas ou teorias da matemática as unções desempenham papel primordial. Em cada área ou teoria aprounda-se o estudo de unções particulares visando tanto o desenvolvimento da teoria quanto de suas aplicações. Na disciplina Matemática Básica temos apenas por objetivo estudar aluns conceitos erais do estudo das unções, eles são usados nas unções particulares estudadas nas áreas ou teorias da matemática. 3 Função - conceitos erais 3.1 Conceito e representação simbólica de unção O conceito eral de unção é simples, alando inormalmente, precisamos de três coisas, para deinir uma unção, dois conjuntos A U e B e uma rera R que estabelece uma relação entre os elementos de A e de B. Conceito de unção Diz-se que dois conjuntos A U e B (nessa ordem) e uma rera R que relaciona elementos de A com elementos de B representam, estabelecem ou deinem uma unção de A para B se para todo x de A, a rera R aplicada ao elemento x associa um e só um elemento y que deve pertencer a B. Observações A rera R pode ser dada de diversas maneiras, não há uma maneira eral de se apresentar a rera. Usa-se descrições por palavras, tabelas, diaramas de Venn, visualizações em retas numéricas, em plano cartesiano, etc. Tudo isso será visto em cada contexto que serão estudadas as unções. Quando os conjuntos A e B e a rera R deinem uma unção e y B é tal que y oi obtito ao aplicar a rera R em x, denotamos por y = (x). A variável x de A é chamada de variável livre ou independente e a variável y de B é chamada de variável dependente. O conjunto U é o conjunto universo no qual A é um de seus subconjuntos. O conjunto universo U depende do contexto em que a unção está sendo deinida. Representação simbólica de uma unção Se os conjuntos A, B e a rera R de ato estabelecem ou deinem uma unção, duas ormas usuais de representar simbolicamente a unção são: A U B : A U B e x y = (x) x y = (x) Chamamos atenção para o caso em que a descrição da rera R é através de expressões na variável do conjunto A. Neste caso, na representação simbólica, é usual iualar essa expressão e (x), por exemplo y = (x) = x 3 x + x. 3. Exemplos e contra-exemplos de unções Continuando a alar inormalmente, em aluns casos, quando queremos entender bem o que um conceito ou deinição representa, é mais ácil entender o que não é do que o que é. Assim vamos começar com exemplos que não são unções, isto é, contra-exemplos de unções. 1. A = U = N, B = N, rera R: a cada número natural n associa-se um número maior do que n. A, B e essa rera R não representam uma unção, pois por exemplo se n = 100, é possível aplicar a rera R em n = 100 porque

3 UFF/GMA - Matemática Básica - Parte III - Função Notas de aula - Marlene A = N, mas, pela rera R, obtemos uma ininidade de valores y = 101 B = N, y = 10 B = N, y = 103 B = N, Assim, obtivemos uma ininidade de valores de y B = N, o que contraria o conceito de unção porque deveríamos obter um e só um valor y B = N.. U = conjunto das palavras do idioma portuuês. A = conjunto das palavras do idioma portuuês que contém pelo menos uma consoante. B= {a, b, c, d, e,,, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z} = alabeto do Brasil 1. Rera R: a cada palavra associa-se uma consoante dessa palavra. Vamos começar com a palavra uai (mineira!!). Apesar dessa palavra pertencer ao conjunto U, não é possível aplicar a rera R a essa palavra porque ela não tem consoantes, isto é, uai A. Aplicando a rera R à palavra vôo encontramos como resultado a letra v. Vamos veriicar em mais uma, aplicando a rera R na palavra dez, obtemos y = d B e y = z B, o que contraria o conceito de unção porque deveríamos obter um e só um valor y B. 3. U = R, A = [0, ) e B = R. Rera R: a cada x A associa-se um número y; y = x. Escolhendo x = 4, x R, mas como 4 < 0 = x A, loo vemos que não podemos aplicar a rera R a esse valor de x. Aplicando a rera R a x = 0 A, obtemos um e só um valor y = 0 R. Aora, aplicando a rera R a x = 9 A e obtemos dois valores y = 3 R e y = 3 R. Isto contraria o conceito de unção, deveríamos ter encontrado um e só um valor de y R. Vamos ver aora aluns exemplos de unção. 1. A = U = N, B = N, rera R: a cada número natural n associa-se um outro número natural que é o menor número natural entre os números naturais maiores do que n, em outras palavras, é o sucessor de n. A, B e essa rera R representam uma unção, pois por exemplo se n = 100, aplicando a rera R em n = 100, primeiro obtemos os números maiores que 100, uma ininidade de valores: 101 B = N, 10 B = N, 103 B = N,, e acilmente vemos que o menor deles é 101 B = N, o sucessor de 100. Como para todo n N sabemos que n < n + 1 < n + < n + 3 <, podemos aplicar a rera R a qualquer n N e obtemos um e só um número sucessor de n, que é n + 1 N. Uma representação simbólica dessa unção é. A = U = conjunto das palavras do idioma portuuês. B = N {0} : N N n y = (n) = n + 1 Rera R: a cada palavra do alabeto portuuês associa-se o número de consoantes do alabeto do Brasil que aparecem nessa palavra, sendo que as repetidas devem ser contadas a cada vez que aparece. Vamos começar com a palavra uai (mineira!!). Aplicando a rera R a essa palavra, o resultado é o único valor 0 B. Aplicando a rera R à palavra vôo, encontramos como único resultado 1 N B. Aplicando a rera R na palavra dez, obtemos o único número N B Aplicando a rera R à inconstucionalissimamente, encontramos como único resultado 14 N B. É claro que sempre é possível aplicar a rera R a qualquer palavra e o resultado sempre será um único número inito (natural ou zero). Sendo assim, os conjuntos A e B e a rera R descrita acima deinem uma unção. Podemos escrever, por exemplo, (uai) = 0; (vôo) = 1; (dez) = ; (inconstucionalissimamente) = 14. Esse exemplo não é tão inútil na prática quanto parece. Muitas unções deinidas em proramas computacionais são unções da cateoria texto. Se tiver curiosidade, no prorama Excel, no menu <inserir> entre em <unção>. 1 O alabeto portuuês consiste no alabeto latino oriinal, suprimidas as letras K, W e Y, que são utilizadas apenas em alumas palavras estraneiras não-aportuuesadas e em adjetivos e substantivos derivados de nomes estraneiros (Kantiano, Waneriano, Zwinlianismo, etc.). No atual alabeto do Brasil as letras K, W e Y estão inclusas, uma vez que o alabeto do Brasil já é o do Acordo ortoráico de (transcrito da wikipédia em 0/03/008)

4 UFF/GMA - Matemática Básica - Parte III - Função Notas de aula - Marlene U = R, A = [0, ), B = R. Rera R: a cada x A associa-se um número y; y = x e y 0. Escolhendo x = 4, x R, mas como 4 < 0 = x A, loo vemos que não podemos aplicar a rera R a esse valor de x. Aplicando a rera R a x = 0 A, obtemos um e só um valor y = 0 R. Aplicando a primeira airmação da rera R a x = 9 A, obtemos dois valores y = 3 R e y = 3 R, aora aplicando a seunda airmação obtemos o único valor y = 3. Aplicando a rera de R em x A, vamos veriicar que só conseuimos encontrar um único valor y R que satisaz as duas condições da rera R. Primeiro, podemos usar a seuinte airmação: dado um número real x 0, sempre existe pelo menos um número real y tal que y = x. Suponha que existe mais que um, y 1 e y. Se y 1 satisaz a primeira airmação da rera, vamos veriicar que qualquer y que também satisaz a primeira airmação da rera só pode ser y = y 1 ou y = y 1. y 1 e y satisazem a primeira airmação da rera = y 1 = x e y = x = y 1 = y = y 1 y = 0 = = (y 1 y ) (y 1 + y ) = 0 = y 1 y = 0 ou y 1 + y = 0 = y 1 = y ou y 1 = y = y = y 1 ou y = y 1. Como y 1 e y 1 são simétricos, apenas um deles é maior ou iual a 0. Esse único número y = y 1 ou y = y 1 e podemos escrever (x) = y. Acabamos de veriicar que A, B e a rera R deinem uma unção de A para B. Essa unção é denominada unção raiz quadrada ou unção raiz e rera R que a deine é denotada por (x) = x. A representação simbólica é: : [0, ) R R x y = (x) = x 3.3 Domínio e imaem de unção Considere uma unção deinida de A U para B, isto é, O conjunto A é demominado domínio da unção. : A U B x y = (x) O conjunto universo U é denominado conjunto de partida ou conjunto de saída da unção. O conjunto B é denominado conjunto de cheada ou contra-domínio da unção. Atenção É usual escrever apenas o conjunto de partida, isto é, o conjunto universo do domínio. Neste caso está subentendido que o domínio é o maior subconjunto de U em que é possível aplicar a rera R da deinição da unção. Usaremos qualquer uma das seuintes notações usuais para o domínio de : D ou D ou ainda dom(). Dado x D dizemos que o elemento y é imaem de x por, ou simplesmente dizemos que y é imaem de x. Obs.: para alumas unções, nem todo y de B é a imaem de alum x D. No ex. 1 anterior, 1 B = N, mas 1 não é o sucessor de nenhum natural, isto é, não é a imaem de nenhum número natural n. A imaem da unção é o subconjunto do contra-domínio B, obtido pela aplicação da rera R que deine a unção em todos elementos x D. Usaremos qualquer uma das seuintes notações usuais para a imaem de : I ou I ou ainda im(). Podemos usar o conceito de conjunto para descrever a imaem de : I = {y B; y = (x) para alum x D }. Vamos dizer qual é o domínio e qual é a imaem de cada unção dos 3 exemplos anteriores:

5 UFF/GMA - Matemática Básica - Parte III - Função Notas de aula - Marlene D = A = N I = N {1}. D = A I =? é muito trabalhoso encontrar a imaem, mas não impossível. Certamente I {0, 1,, 3,, 40}. 3. D = [0, ) I = [0, ) 3.4 Iualdade de unções Deinição (iualdade de unções) Duas unções e são iuais se os seus domínios e contra-domínios são iuais e a rera que deine a unção é a mesma. Exemplos e contra-exemplos. 1. : N N n y = (n) = n + 1 h : N {0} Z N n y = h(n) = n + 1 Airmação:. Justiicativa: os contra-domínios são dierentes. (observe que os domínios e as imaens são iuais e a rera é a mesma) Airmação: h. Justiicativa: os domínios são dierentes. : N N {1} n y = (n) = n + 1 (os contra-domínios são iuais e a rera é a mesma, mas as imaens são dierentes, pois 1 I e 1 I h ). : R R x y = (x) = (x 1) + x 1 : R R y z = (y) = y y Airmação: =. Justiicativa: (i) os domínios e os contra-domínios são iuais. (ii) y = (x) = (x 1) + x 1 = x x x 1 = x x = (x) = x x. Sendo assim, a rera que deine as duas unções é a mesma. Uma observação é que as letras atribuídas às variáveis das unções são dierentes, mas isso não muda a rera. 3.5 Propriedades de unção: injetora, sobrejetora e bijetora Função injetora Deinição (unção injetora) Dada uma unção : D U B x y = (x) diz-se que é injetora se a seuinte airmação é verdadeira: x 1, x D ; (x ) = (x 1 ) = x = x 1. Essa airmação é a mesma que: x 1, x D ; x x 1 = (x ) (x 1 ). Observações: A vantaem dessa deinição é que se queremos provar que uma unção é ou não é injetora basta veriicar se a airmação da deinição é verdadeira ou alsa. Para esclarecer a deinição, diz-se que uma unção é injetora quando y é um elemento da imaem de, ele só pode ser a imaem de um único elemento do domínio. Ou, de outra orma, elementos distintos do domínio são conduzidos para imaens distintas no contra-domínio. Exemplos e contra-exemplos:

6 UFF/GMA - Matemática Básica - Parte III - Função Notas de aula - Marlene Considere U = {a 1, a, b 1, b, c 1, c, d 1, d, e 1, e }, onde a 1, a, b 1, b, c 1, c, d 1, d, e 1, e são distintos entre si, B = {1,, 3, 4, 5, 6} e a rera R dada através de seu diarama de Venn ao lado, com as setas indicando as imaens dos elementos do domínio de. Observe que: D = {a 1, a, b 1, b, c 1, c, d 1, d } U e D U. I = {1,, 3, 4, 5} B e I B Airmação: a unção não é injetora. Justiicativa: a 1, a D, (a 1 ) = (a ) = 1, mas como oi dito que a 1 e a são distintos, temos que a 1 a. a 1 1 a b 1 b c 1 3 c d 1 4 d 5 e 1 6 e Acabamos de veriicar que: a 1, a D, (a 1 ) = (a ) (verdadeira) e a 1 = a (alsa). Loo, a 1, a D, (a 1 ) = (a ) a 1 = a. Conclusão: essa unção não é injetora porque a implicação da deinição é alsa.. Considere a unção deinida por A = R, B = [0, ) R e pela rera R: a x R, associa-se o quadrado do número x. É claro que elevando-se um número ao quadrado obtemos um único resultado, isto é, de ato A, B e a rera R deinem uma unção de A em B, representada simbolicamente a seuir. : R [0, ) R x y = (x) = x Vamos veriicar que essa unção não é injetora. Para veriicar basta apresentar um exemplo em que a implicação é alsa. Sabemos que se x 1 = 1 e x = 1, temos que x 1 = ( 1) = 1 e x 1 = (1) = 1. Loo temos um exemplo em que: x 1 = 1 A = R, x = 1 A = R e (x 1 ) = (x ) = 1 x 1 = x. Conclusão: essa unção não é injetora porque a implicação da deinição é alsa. 3. Considere a unção do exemplo 1 da seção anterior : N N n y = (n) = n + 1 Essa unção é injetora pois: n 1, n N e (n 1 ) = (n ) ( ) = n = n + 1 ( ) = n 1 = n. As implicações usadas oram: (*) deinição de ; (**) propriedade dos naturais. Conclusão: a unção é injetora porque para esta unção a implicação da deinição é verdadeira. 4. Considere a unção raiz (exemplo 3 da seção anterior): : D R R x y = (x) = x Já vimos que o (domímio de ) = D = [0, ) e que a (imaem de ) = I = [0, ]. Vamos veriicar que é injetora. x 1, x R e (x 1 ) = (x ) ( ) = x 1 = x ( ) = ( x1 ) = ( x ) ( ) = x 1 = x. As implicações usadas oram: (*) deinição da unção raiz; (**) propriedade: a, b R temos que: a = b ou a = b a = b ; (***) propriedade: ( a) = a a R e a 0. Conclusão: a unção raiz é injetora porque para esta unção a implicação da deinição é verdadeira.

7 UFF/GMA - Matemática Básica - Parte III - Função Notas de aula - Marlene Função sobrejetora Deinição (unção sobrejetora) Dada uma unção : A U B x y = (x) diz-se que é sobrejetora se a imaem de é iual ao contra-domínio de, isto é, se I = B. Observações: Intuitivamente, a unção é sobrejetora se não sobra elemento em B, isto é, todo elemento de B é a imaem de alum elemento de A. Podemos escrever a deinição usando símbolos: diz-se que é sobrejetora se y B, x D ; y = (x). Exemplos e contra-exemplos: 1. Considere a unção do exemplo da seção anterior : N N n y = (n) = n + 1 Essa unção não é sobrejetora pois I B = N. Justiicativa: 1 I, isto é, n N; (n) = n + 1 = 1. Lembre que N = {1,, 3, 4, }. A unção do exemplo 1 da seção anterior não é sobrejetora porque 6 B, 6 I. 3. São sobrejetoras as seuintes unções: : N N {1} n y = (n) = n + 1 : Z Z n y = (n) = n + 1 F : R [0, ) R x y = F (x) = x G : [0, ] R [0, ] R x y = G(x) = x Função bijetora Deinição (unção bijetora) Dada uma unção : A U B x y = (x) diz-se que é bijetora se é injetora e sobrejetora. Exemplos e contra-exemplos: 1. Considere a unção abaixo. Já provamos que é injetora e veriicamos que não é sobrejetora, loo não é bijetora. Vimos que I = N {1}. Considere a unção abaixo, que só diere de em seu contra-domínio. injetora e sobrejetora. : N N n y = (n) = n + 1 : N N {1} n y = (n) = n + 1 A unção é bijetora porque é. Considere a unção F : R [0, ) R x y = F (x) = x Vimos que essa unção é sobrejetora, mas não é injetora. Loo F não é bijetora.

8 UFF/GMA - Matemática Básica - Parte III - Função Notas de aula - Marlene Considere a unção G : [0, ] R [0, ] R x y = G(x) = x Vimos que essa unção é injetora e sobrejetora. Loo G é bijetora. 4. Considere a unção : [0, ) R [0, ) R x y = F (x) = x Observe que essa unção só diere da unção F do exemplo em seu domínio. Essa unção é sobrejetora pois qualquer número real nulo ou positivo é o quadrado de um outro número real. Vamos veriicar que com esse domínio, essa unção é injetora. x 1, x [0, ) e (x 1 ) = (x ) = x 1 0, x 0 e (x 1 ) = (x ) = x 1 0, x 0 e (x 1 ) (x ) = 0 = x 1 0, x 0 e (x 1 x ) (x 1 + x ) = 0 = x 1 0, x 0, x 1 = x ou x 1 = x. Como x 0, sabemos que x 0. Loo só há a opção x 1 = x. Vimos que essa unção é injetora e sobrejetora. Loo é bijetora. Observações: Nos casos em que a unção é injetora, mas não é sobrejetora, se or possível encontrar a imaem acilmente, podemos construir uma nova unção substituindo o contra-domínio pela imaem da unção. Essa nova unção será bijetora. Nos casos em que a unção é sobrejetora, mas não é injetora, podemos construir uma nova unção que só diere da primeira em seu domínio. Existe alum subconjunto do domínio da unção oriinal no qual a nova unção nesse subconjunto é injetora. A nova unção com o novo domínio será bijetora. Quando uma unção é bijetora diz-se que existe uma relação biúnivoca ou uma relação um-a-um entre o domínio e a imaem da unção. Isto siiniica: a cada x D existe uma correspodência com um e só um elemento da y I. (justiicativa: a rera R que deine a unção associa a cada x um e só um valor y) a cada y I existe uma correspondência com um e só um elemento x D. (justiicativa: unção injetora arante que só existe uma variável x do domínio tal que y = (x)) 3.6 Composição de unções Intuitivamente, compor unções nada mais é do que aplicar o raciocínio de transitividade a unções. Se uma unção permite que de um valor de x se obtenha um e só um y e outra unção permite que desse valor y se obtenha um e só um valor z, no inal veriicamos que do valor x acabamos por obter um e só um valor z, o que caracteriza uma terceira unção que é chamada de composta das duas primeiras. Aora vamos ormalizar essa idéia intuitiva. Deinição (composição de unções) Dadas duas unções D B x y = (x) e D C y z = (y) Se I D, podemos construir ou deinir uma nova unção da seuinte orma: D D B D C x y = (x) z = (y) = ((x)) := ( )(x) A unção deinida acima é denominada composta de e e ainda D = {x D ; (x) D }. Observação. A unção acima poderia ter sido dada com a letra x na variável livre e com a letra y na variável dependente, isto é, y = (x). As letras usadas oram y e z, respectivamaente, para acilitar a compreensão da unção composta. Exemplos:

9 UFF/GMA - Matemática Básica - Parte III - Função Notas de aula - Marlene Considere a unção com U = {a 1, a, b 1, b, c 1, c, d 1, d, e 1, e }, onde a 1, a, b 1, b, c 1, c, d 1, d, e 1, e são distintos entre si, B = {1,, 3, 4, 5, 6} e a rera R dada através de seu diarama de Venn abaixo, com as setas indicando as imaens dos elementos do domínio de. Considere a unção dada abaixo. Vamos obter ( )(x) para todos valores do domínio de ( ) e visualizar a composta em seu diarama de Venn. D U B D N R x y = (x) n z = (n) = D ( ) A R 16 n x z = ((x)) a 1 1 a b 1 b c 1 3 c ( ) (a 1 ) = ( (a 1 )) = ( (a )) = (1) = 16 1 = 15. ( ) (b 1 ) = ( (b 1 )) = ( (b )) = () = 16 4 = 1 = 3. ( ) (c 1 ) = ( (c 1 )) = ( (c )) = (3) = 16 9 = 7. d 1 4 d 5 ( ) (d 1 ) = ( (d 1 )) = (4) = = 0 = 0. e 1 6 e ( ) (d ) = ( (d )) = (5) = 16 5, não está deinida em R. a 1 15 a b 1 3 b c 1 7 c d 1 0 d e 1 e R. A unção de D em B é deinida por D = N, B = N e a rera R é dada pela expressão (n) = n +. A unção de D em C é deinida por D = N {1}, C = N e a rera R é dada pela expressão (n) = n 1. Veriique que D = N; I = N {1, }; D = N {1}; I = N. Vamos construir as unções e e depois veriicar se para essas unções = ou. D = N B = N D = N {1} C = N n y = (n) = n + n y = (n) = n 1 Construindo, D N {1} C D = N B = N n y = (n) = n 1 z = ((n)) = (n 1) = (n 1) + = n + 1 = ( )(n) Construindo, D N B D = N {1} C = N n y = (n) = n + z = ((n)) = (n + ) = (n + ) 1 = n + 1 = ( )(n) Comparando e vemos que os contra-domínios são iuais e a rera é a mesma. Para saber se de ato são iuais, alta veriicar se seus domínios são iuais. 1 D, pois ( )(1) = ((1)) = (1 1) = (0), mas 0 N, loo (0) não está deinido e ((0)) não está deinido. Vamos veriicar se 1 D, isto é, vamos veriicar se é possível calcular usando a composta. Veriicando, ( )(1) = ((1)) = (1 + ) = (3) = 3 1 =. Loo ((1)) está deinido, isto é, 1 D. Assim D D. Conclusão: para essas unções,. 3. As unções e estão deinidas a seuir. D = R B = R D = R C = R x y = (x) = x x y = (x) = x + 1 Vamos veriicar se para essas unções = ou. Vamos começar veriicando se a rera ( )(x) e ( )(x) é a mesma. ( )(x) = ((x)) = (x + 1) = (x + 1) = x + x + 1. ( )(x) = ((x)) = ( x ) = x + 1. Assim, vimos que as reras que deinem as duas unções são dierentes. Conclusão: para essas unções,.

10 UFF/GMA - Matemática Básica - Parte III - Função Notas de aula - Marlene As unções e estão deinidas a seuir. D = Q B = Q x y = (x) = x 1 Vamos veriicar se para essas unções = ou. D = Q C = Q x y = (x) = x + 1 Vamos começar veriicando se a rera ( )(x) e ( )(x) é a mesma. ( ) ( ) x + 1 x + 1 ( )(x) = ((x)) = = 1 = (x + 1) 1 = x (x 1) + 1 ( )(x) = ((x)) = (x 1) = = x = x Assim, vimos que a rera que deine as duas unções é a mesma. Falta veriicar se seus domínios e contra-domínios são iuais. O contra-domínio de é iual a B = Q. O contra-domínio de é iual a C = Q. D = { x D ; (x) = x+1 C D } = { x Q; (x) = x+1 Q } = Q D = {x D ; (x) = (x 1) B D } = {x Q; (x) = (x 1) Q} = Q Conclusão: para essas unções, =. Observação: Em eral, ( )(x) ( )(x), não podemos airmar que sempre ( )(x) ( )(x) porque em aluns poucos casos ( )(x) = ( )(x), como no ex. 3 anterior. 3.7 Funções inversas Deinição: (inversa da unção) Diz-se que a unção : B A é a unção inversa da unção : A B se e Observações: ((x)) = x, ((y)) = y, x A y B Na deinição acima A = D e B = D De acordo com a deinição acima podemos airmar que: Diz-se que a unção : A B é a unção inversa da unção : B A se e ((y)) = y, ((x)) = x, y B x A Como as duas condições são as mesmas concluímos que: é a inversa de é a inversa de. É usual dizer que uma é a inversa da outra e a outra é a inversa da uma. Podemos visualizar o que as condições produzem construindo simbolicamente as composições: A B A B x y = (x) (y) = ((x)) = x (x) = ((y)) = y Dada uma unção de A em B, nem sempre existe a unção inversa de B em A, quando existe diz-se que admite inversa ou que é inversível ou invertível. No caso em que admite inversa, denota-se a inversa por 1. Há discussão sobre a raia correta da palavra ser com t ou com s. No Aurélio só tem com t, mas para o adjetivo análoo convertível há também o adjetivo conversível com mesmo siniicado.

11 UFF/GMA - Matemática Básica - Parte III - Função Notas de aula - Marlene Airmação 1 Se admite inversa então y = (x) x = (y). Veriicando a equivalência, (= ) y = (x) aplicando é a inversa de = (y) = ((x)) = ((x)) = x trqnsitividade = (y) = x é a inversa de = ((y)) = y trqnsitividade = (x) = y ( =) x = (y) aplicando = (x) = ((y)) Airmação Uma condição necesária e suiciente para admitir inversa é ser bijetora. Em outras palavras, admite inversa é bijetora. Prova: (= ) Hipótese: admite inversa. Queremos provar: é injetora e sobrejetora. (x 1 ) = (x ) aplicando = é a inversa de ( (x 1 )) = ( (x )) = x 1 = x = é injetora. Aora vamos provar que é sobrejetora. y B aplicando = (y) = x, para alum x A airmação = 1 y = (x), para alum x A = é sobrejetora. Assim provamos que é injetora e sobrejetora, ou seja, é bijetora. ( =) Hipótese: deinida de A para B é bijetora. Queremos provar: admite inversa deinida de B para A. sobrejetora = y B, x A; y = (x). Como é injetora, esse x é o único elemento de A tal que y = (x). Já que é o único, podemos deinir a rera R para : y B associamos o único valor x A tal que y = (x). Assim (y) = x. x A e y = (x) aplicando = (y) = ((x)) (y)=x = x = ((x)), ou seja, ((x)) = x, x A y B e (y) = x aplicando = ((y)) = (x) y=(x) = ((y)) = y, ou seja, ((y)) = y, y B. cqd Airmação 3 de A para B admite inversa de B para A = I = D e I = D. De ato: Sabemos que D = A e D = B (*). Como é a inversa de temos que é a inversa de, pela airmação, ambas e são bijetoras. Assim, e são sobrejetoras, donde I = B e I = A. (**). Por (*) e (**), concluímos que I = D e I = D. Exemplos e contra-exemplos. 1. As unções e estão deinidas a seuir. D = A = R B = R x y = (x) = x 1 D = B = R A = R y y = (y) = y + 1 Este exemplo é quase iual ao ex. 3 da seção anterior, trocamos Q por R, tanto nos domínios, quanto nos contra-domínios. Podemos proceder como no ex. 3 e veriicar que ((x)) = x, x A = D = R e ((y) = x, y B = D = R Faça isso como exercício. Conclusão: e são as inversas uma da outra.. As unções e estão deinidas a seuir. D = A = [, 4] R B = [3, 7] R x y = (x) = x 1 D = B = [3, 7] R A = [, 4] R y y = (y) = y + 1

12 UFF/GMA - Matemática Básica - Parte III - Função Notas de aula - Marlene Este exemplo é quase iual ao ex. 1 anterior, tanto os domínios, quanto os contra-domínios aora são intervalos da reta, não são mais todos os reais. Neste caso, seria um pouco mais trabalhoso provar que as iualdades das condições valem exatamente nos valores desses intervalos. Para provar que admite inversa, pela airmação anterior, basta veriicar que é bijetora. Vamos encontrar a imaem de : Admitimos que y = (x) = x 1 = y = x 1. Mas esta é a equação de uma reta no plano, loo para encontrar a imaem de, basta encontrar () e (4), a imaem será o intervalo [(), (4)] ou [(4), ()]. Loo () = 3 e (4) = 7 = I = [3, 7] = B = é sobrejetora. x 1, x [, 4]; (x 1 ) = (x ) = x 1 1 = x 1 = x 1 = x = x 1 = x = é injetora. Loo é bijetora e admite inversa que também é bijetora. Como a e a, satisazem as condições ((x)) = x e ((y)) = y nos seus domínios, a unção é que é a inversa de, isto é, 1 ((x)) = x e ( 1 (y) ) = y em seus domínios. 3. Considere a unção F : R [0, ) R x y = F (x) = x Esse é o ex. da seção Vimos que F não é bijetora. Loo essa unção não admite inversa. 4. Considere a unção : [0, ) R [0, ) R x y = F (x) = x Observe que essa unção só diere da unção F do exemplo 3 em seu domínio. Esse é o ex. 4 da seção 6.5.3, já provamos que essa unção é bijetora. Loo a unção é inversível. Fica como exercício veriicar que a inversa da unção é : [0, ] R [0, ] R x y = (x) = x