Modelo Kronig-Penney. Física do Estado Sólido 2017/2018, 7 Maio Modelo Kronig-Penney FES-21-KP 1 / 18

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1 Modelo Kronig-Penney Física do Estado Sólido 2017/2018, 7 Maio 2018 Modelo Kronig-Penney FES-21-KP 1 / 18

2 Outline 1 Equação de Schrödinger 2 Forma matricial 3 Discussão Física 4 Conclusão Modelo Kronig-Penney FES-21-KP 2 / 18

3 O potencial O modelo de Kronig-Penney com uma barreira Dirac é o mais simples dos modelos analíticos para partículas a uma dimensão num potencial periódico. O potencial periódico é dado por V (x) = U n= δ(x na) onde a é a periodicidade do potencial e U o coeficiente dos deltas de Dirac. Modelo Kronig-Penney FES-21-KP 3 / 18

4 Função de onda A solução da equação de Schrödinger para uma energia E no intervalo na < x < (n + 1)a é dada por ψ (n) (x) = A n e iκ(x na) + B n e iκ(x na) onde κ = 2mE/ 2 e A n e B n são constantes a determinar pelas condições de fronteira em x = na. A função de onda é assim. A 0 e iκ(x) + B 0 e iκ(x) ψ(x) = A 1 e iκ(x a) + B 1 e iκ(x a) A 2 e iκ(x 2a) + B 1 e iκ(x 2a). se 0 < x < a se a < x < 2a se 2a < x < 3a Modelo Kronig-Penney FES-21-KP 4 / 18

5 Condições de fronteira: continuidade da função A condição de fronteira ψ (n+1) ((n + 1)a) = ψ (n) ((n + 1)a) dá uma primeira condição A n+1 e iκ[(n+1)a (n+1)a] + B n+1 e iκ[(n+1)a (n+1)a] = A n e iκ[(n+1)a na] + B n e iκ[(n+1)a na] que simplifica para A n+1 + B n+1 = A n e iκa + B n e iκa. Modelo Kronig-Penney FES-21-KP 5 / 18

6 Condições de fronteira: discontinuidade da derivada A condição de fronteira ψ (n+1) ((n + 1)a) ψ (n) ((n + 1)a) = 2mU 2 ψ(n) ((n + 1)a) dá a segunda condição que simplifica para iκa n+1 e iκ[(n+1)a (n+1)a] iκb n+1 e iκ[(n+1)a (n+1)a] iκa n e iκ[(n+1)a na] + iκb n e ( iκ[(n+1)a na] ) = 2mU A 2 n e iκ[(n+1)a na] + B n e iκ[(n+1)a na] iκa n+1 iκb n+1 = iκa n e iκa iκb n e iκa + 2mU 2 ( A n e iκa B n e iκa) Modelo Kronig-Penney FES-21-KP 6 / 18

7 Juntando as condições As duas condições são A n+1 + B n+1 = A n e iκa + B n e iκa ( ) iκa n+1 iκb n+1 = iκa n e iκa iκb n e iκa + 2mU A 2 n e iκa + B n e iκa dividindo a segunda por iκ temos A n+1 + B n+1 = A n e iκa + B n e iκa A n+1 B n+1 = A n e iκa B n e iκa 2iQ(κ)A n e iκa 2iQ(κ)B n e iκa onde definimos Q(κ) = 2mU 2 κ As equações têm a solução que depende da energia. A n+1 = A n e iκa iq(κ)a n e iκa iq(κ)b n e iκa B n+1 = B n e iκa + iq(κ)a n e iκa + iq(κ)b n e iκa Modelo Kronig-Penney FES-21-KP 7 / 18

8 Forma matricial da equação Esta equação A n+1 = A n e iκa iq(κ)a n e iκa iq(κ)b n e iκa B n+1 = B n e iκa + iq(κ)a n e iκa + iq(κ)b n e iκa pode escrever-se da forma matricial ( ) ( An+1 (1 iq(κ))e iκa iq(κ)e = iκa ) ( ) An iq(κ)e iκa (1 + iq(κ))e iκa = M B n+1 onde definimos uma matriz M que não depende de n. Vamos ter assim que ( ) ( ) An = M n A0 B n B 0 B n ( An B n ) Modelo Kronig-Penney FES-21-KP 8 / 18

9 Valores próprios de M A matriz ( (1 iq(κ))e iκa iq(κ)e M = iκa ) iq(κ)e iκa (1 + iq(κ))e iκa tem valores próprios λ dados pela solução da equação quadrática ( (1 + Q(κ) 2 ) λ 1 iq(κ))e iκa + (1 + iq(κ))e iκa) + λ 2 Q(κ) 2 = 0 Definindo a função real X(κ) = 1 ((1 iq(κ))e iκa + (1 + iq(κ))e iκa) 2 A equação quadrática fica λ 2 2λX(κ) + 1 = 0 Modelo Kronig-Penney FES-21-KP 9 / 18

10 Valores próprios de M A equação tem então duas soluções λ 2 2λX(κ) + 1 = 0 λ ± = X(κ) ± X(κ) 2 1 Se X(κ) 1 então λ ± = X(κ) ± i 1 X(κ) 2 definindo cos(φ) = X(κ) temos Se X(κ) > 1 então λ ± = e ±iφ λ + > 1 e λ = 1 λ + Modelo Kronig-Penney FES-21-KP 10 / 18

11 Condição para soluções físicas Vamos estar numa situação parecida com o problema de espalhamento, onde não há soluções estacionárias normalizáveis da equação de Schrödinger, mas podemos construí-las a partir de soluções que não divergem para ±. No caso de X(κ) > 1 escolhendo para (A 0, B 0 ) o vector próprios de M associado a λ + temos que os coeficientes de (A n, B n ) vão crescer exponencialmente para n +. No caso de λ esses coeficientes vão crescer exponencialmente para n. Estas soluções matemáticas não são aceitáveis. Modelo Kronig-Penney FES-21-KP 11 / 18

12 Condição para soluções físicas II No caso X(κ) 1 e escolhendo para (A 0, B 0 ) um dos vectores próprios de M, vamos ter que os coeficientes ( ) ( ) An = e ±inφ A0 B n B 0 ± ou seja os coeficientes vão adquirindo uma fase cada vez que se atravessa uma das barreiras delta. Temos neste caso soluções aceitáveis. ± Modelo Kronig-Penney FES-21-KP 12 / 18

13 Relação com o Teorema de Bloch Se X(κ) 1 e (A 0, B 0 ) é um dos vectores próprios de M temos que ( ) ( ) An = e ±inφ(κ) A0 B n B ± 0 ± Se definirmos temos que k = φ(κ) a = 1 a arccos(x(κ)) ψ (n) (x) = A n e iκ(x na) + B n e iκ(x na) = e ±ik(na)( A 0 e iκ(x na) + B 0 e iκ(x na)) = e ±ik(na) ψ (0) (x na) pelo que ψ(x) é uma função de Bloch com o vector de onda k. Modelo Kronig-Penney FES-21-KP 13 / 18

14 A função X(κ) Analisando a função X(κ) = 1 ((1 iq(κ))e iκa + (1 + iq(κ))e iκa) 2 ( = R (1 iq(κ))e iκa) ( = R (1 i 2mU 2 κ )eiκa) ( ) = R F(κ) onde definimos F(κ) temos que F(κ) > 1 e F(κ) é uma função decrescente de κ, enquanto que o seu argumento é uma função decrescente (para κ > 0) variando entre π/2 e 0. Vamos ter assim uma função F(κ) que se enrola à volta do círculo unitário no plano complexo, e portanto X(κ) vai sempre alternando entre as situações X(κ) 1 e X(κ) > 1, ou seja entre bandas de energia permitidas e proibidas. Modelo Kronig-Penney FES-21-KP 14 / 18

15 Análise dimensional As constantes do problema são, m, a e U. Escolhendo as três primeiras grandezas para o nosso sistema de dimensões, podemos definir o coeficiente adimensional da barreira de potencial como Ũ = U 2ma 2 Definindo ainda κ = κa e k = ka vamos ter F( κ) = (1 i 2Ũ κ )eiκ Modelo Kronig-Penney FES-21-KP 15 / 18

16 A função F ( κ) A função F( κ) para Ũ = 4 no plano complexo é a seguinte: A vermelho está a zona com soluções físicas. Os pontos sobre a curva indicam os valores inteiros de κ. Modelo Kronig-Penney FES-21-KP 16 / 18

17 As bandas Para Ũ = 4 obtêm-se as seguintes bandas Modelo Kronig-Penney FES-21-KP 17 / 18

18 Conclusão Obtemos bandas de energia permitidas e bandas de energia proibidas (hiatos). Na resolução deste problema as soluções aparecem com a forma de funções de Bloch. Mas a sobreposição das soluções com κ e κ têm a mesma energia, são soluções da equação de Schrödinger, mas não são funções de Bloch. Para Ũ 0 obtemos o limite da partícula livre. Para Ũ obtemos o limite da partícula num poço de potencial de largura a. Use o notebook associado a esta apresentação para analisar o problema. Modelo Kronig-Penney FES-21-KP 18 / 18