Falha(s) nas pressuposições da ANOVA

Transcrição

1 Falha(s) nas pressuposições da ANOVA Prof. a Dr. a Simone Daniela Sartorio de Medeiros DTAiSeR-Ar 1

2 Na prática, é comum que uma ou mais hipóteses não se verifique. A mais comum é não existir homocedasticidade. Das exigências vamos nos preocupar, especialmente com a homogeneidade de variâncias, que consideramos a exigência mais importante e com a normalidade. 2

3 Quando a pressuposição de homogeneidade não for atendida os dados não podem ser analisados como estão. Para tentar resolver o problema, deve-se tentar alguma das seguintes alternativas, nessa ordem: 1) Verificar se os dados apresentam algum outlier; DICA: Retirando-o o(s) outlier(s) muitas vezes resolve-se o problema. 2) Transformar os dados; Pode solucionar ou não o problema de heterocedasticidade e/ou normalidade dos erros. 3) Verificar se no modelo não falta algum termo. 4) Assumir outra distribuição para os erros. Por exemplo: Exponencial, Poisson, Binomial, Gama, Beta, etc. MODELOS LINEARES GENERALIZADOS 5) Realizar uma análise não-paramétrica. 3

4 a) Transformação de dados 4

5 Algumas sugestões de transformações Seja X a variável resposta original avaliada no experimento. Se, dados de contagem, tende-se, provavelmente uma distribuição de Poisson. Usa-se a transformação dos dados, do tipo: Y X k em que k 0, geralmente 0 (zero) ou 0,5. Este valor quando os dados de observação apresentarem valores baixos, inclusive zeros. Se, dados de proporção (ou %), tende-se, provavelmente uma distribuição de Binomial. Se estas estiverem entre [0,30%] e [70, 100%] usa-se a transformação Y arcsen X em que p são as porcentagens. 5

6 Algumas sugestões de transformações Seja X a variável resposta original avaliada no experimento. Se médias de tratamentos são proporcionais às respectivas variâncias, usa-se a transformação: Y log( X k) para k 0. Transformação recíproca: é uma função de transformação adequada quando X refere-se à taxa de sobrevivência. Por conseguinte, Y 1 X refere-se à taxa de mortalidade. 6

7 Exemplo 1 Um pesquisador pretende realizar um experimento visando ao enraizamento de estacas de pessegueiros. São 4 variedades ou cultivares onde cada parcela recebeu 20 estacas de uma determinada variedade, através de um sorteio. Passando o tempo necessário, o pesquisador arrancou as estacas e anotou o número de enraizadas. O resultado foi: Repetições Tratamento Totais A ,2 0,7 B ,6 0,3 C ,8 7,7 D ,8 9,7 Fixando =5%, existe diferença entre os cultivares em relação ao enraizamento de estacas de pessegueiros? Justifique sua resposta apresentando todos os cálculos mˆ i s i 7

8 No R: n.estacas <- c( 2, 2, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 12,10,14,17,11, 7, 9,15, 8,10) TRAT<- rep(c("a","b","c","d"), each=5) dados<-data.frame(trat,n.estacas) # ou dados<- read.csv2( DIC_estacas.csv, head=t) Os dados: Repetições Trat A B C D No excel: DIC_estacas.csv TRAT REP n.estacas A 1 2 A 2 2 A 3 1 A 4 1 A 5 0 B 1 1 B 2 0 B 3 0 B 4 1 B 5 1 C 1 12 C 2 10 C 3 14 C 4 17 C 5 11 D 1 7 D 2 9 D 3 15 D 4 8 D

9 Verificando as pressuposições do modelo dados brutos ##--- Modelo DIC mod1<- lm(n.estacas ~ TRAT, data=dados) # 1) Teste de Shapiro-Wilk (normalidade dos erros) shapiro.test(rstudent(mod1)) Shapiro-Wilk normality test data: rstudent(mod) W = , p-value = # 2.1) Teste de Hartley (homocedasticidade) var.res<- tapply(rstudent(mod1),trat,var); var.res a b c d Fmaximo<- max(var.res)/min(var.res); Fmaximo # 2.2) Teste de Bartlett (homocedasticidade) OBS: precisa de normalidade dos erros! bartlett.test(n.estacas ~ TRAT, data = dados) Bartlett test of homogeneity of variances data: n.estacas by TRAT Bartlett's K-squared = , df = 3, p-value =

10 Verificando as pressuposições do modelo dados brutos #--- Gráfico de resíduos versus preditos plot(predict(mod1), rstudent(mod1), ylim= c(-4,4), pch=19) abline(h=c(-3,0,3), lty=2) #--- Gráfico quantil-quantil com envelope simulado require(car) qqplot(rstudent(mod1), distribution="norm", pch=19, col="blue", xlab="quantis da dist. normal", ylab="resíduos Studentizados") 10

11 Dados brutos 11

12 Verificando as pressuposições do modelo dados transformados ##---(Dados transformados) n.est.transf<- sqrt(n.estacas + 0.5) dados.tr<- data.frame(dados, n.est.transf) mod2<- aov(n.est.transf ~ TRAT, data=dados.tr) #--- Novo modelo #--- Teste de Shapiro-Wilk (normalidade dos erros) shapiro.test(rstudent(mod2)) Shapiro-Wilk normality test data: rstudent(mod2) W = 0.967, p-value = 0.69 # 1.1) Teste de Hartley (homocedasticidade) var.res<- tapply(rstudent(mod2), TRAT, var); var.res a b c d Fmaximo<- max(var.res)/min(var.res); Fmaximo [1] # 1.2) Teste de Bartlett (homocedasticidade) # OBS: precisa de normalidade dos erros! bartlett.test(n.est.transf ~ TRAT, data = dados.tr) Bartlett test of homogeneity of variances data: n.est.transf by trat Bartlett's K-squared = , df = 3, p-value =

13 Verificando as pressuposições do modelo dados transformados #--- Gráfico de resíduos versus preditos plot(predict(mod2), rstudent(mod2), ylim= c(-4,4), pch=19) abline(h=c(-3,0,3), lty=2) #--- Gráfico quantil-quantil com envelope simulado require(car) qqplot(rstudent(mod2), distribution="norm", pch=19, col="blue, xlab="quantis da dist. normal", ylab="resíduos Studentizados") 13

14 Dados com transformação 14

15 ANOVA dados transformados anova(mod2) Analysis of Variance Table Response: n.est.transf Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) Trat e-09 *** Residuals Conclusão:... Trat. Média transformada Média original C D A B OBS: Na apresentação dos resultados em relatórios (ou artigos, etc ) não coloca-se as médias dos dados transformados. Coloca-se as médias originais e os resultados da análise com os dados transformados. 15

16 Transformação Box-Cox Seja X a variável resposta original avaliada no experimento. Para tentar contornar o problema vamos usar a Transformação Box-Cox, que consiste em transformar os dados de acordo com a expressão: Y 1 X, onde é um parâmetro a ser estimado dos dados. Se = 0, a equação acima se reduz a Y log( X ), onde log(.) é o logarítmo neperiano. Uma vez obtido o valor de encontramos os valores dos dados transformados conforme a equação acima e utilizamos estes dados transformados para efetuar as análises. 16

17 No R: #==== Transformação Box-Cox require(mass) box.tr <- boxcox(y ~ TRAT, data=dic, lambda=seq(-2, 2, 1/10)) abline(v=1, col='red') # Precisa transformar? SIM #--- Valor exato lambda <- box.tr$x[which(box.tr$y == max(box.tr$y))]; lambda #--- Novo modelo Y_transf<- (y^(lambda)-1)/(lambda) dic<- data.frame(dic, Y_transf) mod1<- lm(y_transf ~ TRAT, data=dic) = 0,54 Referência: BOX, G.E.P.; COX, D.R. An analysis of transformations. Journal of Royal Statistical Society, series B, v.26, p ,

18 b) Modelo Linear Generalizado 18

19 c) Teste não paramétrico 19

20 Não-paramétricos (Media na) Paramétricos (Média) Testes não-paramétricos Duas Amostras Três ou mais amostras Tipo de Teste Uma amostra Emparelhadas Independentes Emparelhadas Independentes _T-Student _T-Student (emparelhadas) _T-Student (independentes) _ANOVA de medidas repetidas _ANOVA _Wilcoxon signed rank _Teste de Wilcoxon _Teste de Mann-Whitney _Teste de Friedman _Teste de Kruskal-Wallis 20

21 Intervalo Ordinal Nominal Testes não-paramétricos Duas Amostras k amostras Escala da Variável Uma amostra Emparelhadas Independentes Emparelhadas Independentes _Teste binomial _Teste qui-quadrado _Teste de McNemar _Teste de Fisher _Teste qui-quadrado para 2 amostras independentes _Teste da mediana _Teste Q de Cochran _Teste qui-quadrado para k amostras independetnes _Teste de Kolmogorov- Smirnov para uma amostra _Teste de iterações para uma amostra _Teste do sinal _Teste de Wilcoxon _Teste de Mann-Whitney _Teste de Kolmogorov- Smirnov para duas amostras _Teste de Wald- Wolfowitz _Teste de Friedman _Teste de Kruskal-Wallis _Teste de Moses para reações extremas _Teste de Walsh _Teste de aleatoriedade para pares _Teste de aleatoriedade para 2 amostras independentes 21