Matemática Financeira. Instrutor: Adhemar Ranciaro Neto

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1 Matemática Financeira Instrutor: Adhemar Ranciaro Neto

2 Apresentação e Objetivos OBJETIVO Tornar o público alvo deste curso familiarizado com as técnicas da matemática financeira. ROTEIRO 1) Juros simples e Juros compostos 2) Descontos 3) Inflação 4) Séries de pagamentos 5) Análise de investimentos 6) Sistemas de amortização 7) Prazo médio/taxa média

3 Matemática básica (revisão) Razão Proporção Propriedade:

4 Matemática básica (revisão) Grandezas diretamente proporcionais Grandezas inversamente proporcionais

5 Matemática básica (revisão) Potenciação Radiciação n vezes Propriedades:

6 Matemática básica (revisão) Logaritmo Propriedades

7 Matemática básica (revisão) Progressões Aritmética (PA) Geométrica (PG)

8 Conceitos Gerais M.F.estuda ovalordodinheironotempo. Objetivo: Efetuar análises e comparações entre os fluxos de entrada e de saída de capital verificados em diferentes momentos. Efetuar o pagamento de um bem hoje representa a mesma situação que pagá-lo daquiummêscomomesmovalor?

9 Juro Juro é a remuneração do capital ao longo do tempo. Risco envolvido Componentes da Remuneração na operação. Inflação Capital emprestado.

10 Juro M = C + J M=Montante(ouValorFuturo) C=Capitalinicial(ouValorPresente) J=Juro i = J/C Taxadejuros: OBS: as taxas de juros sempre se referem a um horizonte de tempo(mês, ano, etc.)

11 Fluxo de Caixa Esquematização das movimentações monetárias ao longo do tempo. Entradas (+) Saídas (-) Taxa de Juros Tempo Ver exemplo(1) em Excel na planilha Matematica Financeira 1 na Sheet Juro

12 Regimes de Capitalização dos Juros Há3tiposderegimedecapitalizaçãodejuros. Regime de capitalização simples Regime de capitalização composta Regime de capitalização contínua

13 Regime de Capitalização Simples Características: Juros cobrados somente sobre o capital inicial da operação. Evolução dos juros em Progressão Aritmética (PA) J = C x i x n n é o prazo. Lembrar que a taxa de juros deve estar na mesma unidade temporal que o prazo de capitalização.

14 Regime de Capitalização Simples O montante na capitalização simples é dado por: M = C(1 + ni) Na descapitalização, temos C = M/(1 + ni) Ver exemplo(2) em Excel na planilha Matematica Financeira 1 na Sheet Juro Sumples

15 Taxa Equivalentee Taxa Proporcional Prazo da taxa diferente do prazo de capitalização. (Ex: Caderneta de Poupança) A taxa proporcional visa a encontrar a taxa que possui a mesma unidade do prazo de capitalização. i proporcional = i/(# períodos de capitalização) Ex:taxade12%aoanocomcapitalizaçãomensal. Ataxaproporcionalseráde1%aomês. Juros simples: Proporcional = Equivalente Ver exemplo(3) em Excel na planilha Matematica Financeira 1 na Sheet Juro Sumples

16 Taxa Nominal e Taxa Efetiva Taxa Nominal: o período da taxa não coincide com o período da capitalização. Taxa Efetiva: a unidade do período da taxa coincide com o período de capitalização. Taxa Equivalente é aquela que gera o mesmo montante para uma mesmo capital inicial ao final de um certo período. Ex:12%a.a.éequivalentea1%a.m.

17 Juro exato e Juro comercial Operações de curto prazo (normalmente ocorrem juros simples) é possível que o prazo seja definido em dias. Tempo exato: ano de 365 dias e meses obedecendo ao calendário civil. Anocomercial:360dias(mesesde30dias) Ex:12%a.a.equivalea 0,03287% a.d (juro exato) 0,03333% a.d (juro comercial)

18 EquivalênciaFinanceira emjuros simples Dois ou mais capitais representativos de uma certa data dizem-se equivalentes quando, a uma certa taxa de juros, produzem resultados iguais numa data comum(data focal). Exemplo: R$ ,00 vencíveis daqui a 8 meses é equivalente a receber hoje R$ ,00 à taxa simples de 18% a.t. com capitalização mensal?

19 EquivalênciaFinanceira parajuros simples Para verificarmos a equivalência devemos transportar os capitais do fluxo que serão comparados para uma mesma data (data focal), lembrando que, quando deslocamos o capital para a direita devemos CAPITALIZÁ-LO. Se fizermos o deslocamento deste para a esquerda devemos DESCAPITALIZÁ-LO.

20 EquivalênciaFinanceira parajuros CAPITALIZAÇÃO: simples Multiplicar o capital por(1+ni) DESCAPITAIZAÇÃO Dividir o capital por(1+ni) CAPITALIZAÇÃO DESCAPITALIZAÇÃO Fluxo de Caixa

21 EquivalênciaFinanceira parajuros simples Fazer a equivalência entre os capitais A, B e C, D nadatafocal0. A B C D Fluxo de Caixa V A0 =A/(1+ix1) V B0 =B/(1+ix2) V C0 =C/(1+ix4) V D0 =D/(1+ix5) V A0 +V B0 =V C0 +V D0

22 EquivalênciaFinanceira parajuros simples Fazer a equivalência entre os capitais A, B e C, D nadatafocal2. A B C D Fluxo de Caixa V A2 =Ax(1+ix1) V B2 =B V C2 =C/(1+ix2) V D2 =D/(1+ix3) V A2 +V B2 =V C2 +V D2

23 EquivalênciaFinanceira parajuros simples Lembrete: Para juros simples a equivalência se verifica somente para uma determinada taxa e pra uma determinada data focal. Tente verificar a equivalência entre estes dois capitais (A e B) para a data focal 0 e depois para a d. f. 1 mês. (i = 20% a.m. capitalização simples) A=$100noperíodo0 B=$140noperíodo2meses

24 EquivalênciaFinanceira parajuros simples -Generalização Dado um conjunto de títulos A de valores nominais (A1, A2,, An) exigíveis nas datas (P1, P2,, Pn) e um conjunto B de outros títulosde valores nominais (B1, B2,, Bm) exigíveis nas datas (D1, D2,, Dm) são equivalentes à data focal = F, se a soma dos valores nominais de A CAPITALIZADOS / DESCAPITALIZADOS até F for igual à soma dos valores nominais de B CAPITALIZADOS / DESCAPITALIZADOS até F. Ver exemplo(4 e extra) em Excel na planilha Matematica Financeira 1 na Sheet Juro Sumples

25 Regime de Capitalização Composta Juros são incorporados sobre o capital e sobre os juros acumulados. A evolução do saldo se dá sob uma progresão geométrica. Capitalização: Descapitalização FCC(i,n) = (1+i) n VF = VP(1+i) n VP = VF/(1+i) n FAC(i,n) = 1/(1+i) n

26 Regime de Capitalização Composta VF = VP x FCC(i,n) CAPITALIZAÇÃO DESCAPITALIZAÇÃO Fluxo de Caixa VP = VF x FAC(i,n) Juro: J = PV[(1+i) n 1] Ver exemplo (5 e extra) em Excel na planilha Matematica Financeira 1 na Sheet Juro Composto

27 Regime de Capitalização Composta Fórmulas no Excel: Encontrar o número de períodos de uma aplicação: =NPER(taxa;pgto;vp;vf;tipo) Taxa éataxadejurosporperíodo. Pgto é o pagamento feito em cada período (valor constante) Vp é o valor presente (obedecendo o sinal de entrada ou saída) Vf é o valor futuro, ou o saldo, que você deseja obter depois do último pagamento (obedecendo o sinal de entrada ou saída). Tipo : 0 (vencimento postecipado); 1 (vencimento antecipado)

28 Regime de Capitalização Composta Fórmulas no Excel: Encontrar o Valor da Taxa de uma aplicação: =TAXA(nper;pgto;vp;vf;tipo;estimativa) Nper éonúmerototaldeperíodosdepagamentoemuma anuidade.(aunidadeéamesmadoperíododataxa) Pgto é o pagamento feito em cada período (valor constante) Vp é o valor presente (obedecendo o sinal de entrada ou saída) Vf é o valor futuro, ou o saldo, que você deseja obter depois do último pagamento (obedecendo o sinal de entrada ou saída). Tipo : 0 (vencimento postecipado); 1 (vencimento antecipado)

29 Regime de Capitalização Composta Fórmulas no Excel: Encontrar o Valor Presente de uma aplicação: = VP(taxa,nper,pgto,vf,tipo) Taxa éataxadejurosporperíodo. Nper é o número total de períodos de pagamento em uma anuidade. Pgto é o pagamento feito em cada período (valor constante) Vf é o valor futuro, ou o saldo, que você deseja obter depois do último pagamento (obedecendo o sinal de entrada ou saída). Tipo : 0 (vencimento postecipado); 1 (vencimento antecipado)

30 Regime de Capitalização Composta Fórmulas no Excel: Encontrar o Valor Futuro de uma aplicação: =VF(taxa;nper;pgto;vp;tipo) Taxa éataxadejurosporperíodo. Nper é o número total de períodos de pagamento em uma anuidade. Pgto é o pagamento feito em cada período (valor constante) Vp é o valor presente (obedecendo o sinal de entrada ou saída) Tipo : 0 (vencimento postecipado); 1 (vencimento antecipado)

31 Taxa Equivalenteemcapitalização composta Ataxaequivalenteéaquelaquegeraomesmo montante de um mesmo capital aplicado durante um mesmo período. q=#deperíodosdecapitalização. Ex: qual a taxa equivalente mensal de 10,3826%a.s.?(R:1,66a.m.)

32 Taxa Nominal e Taxa Efetiva Taxa Nominal: o período da taxa não coincide com o período da capitalização. Taxa Efetiva: a unidade do período da taxa coincide com o período de capitalização. Ex: taxa nominal de 36% a.a. capitalizados mensalmente. Qual a taxa efetiva?(r: 42,6% a.a.) qéo#deperíodosdecapitalização. Ver exemplo (6 e extra) em Excel na planilha Matematica Financeira 1 na Sheet Juro Composto

33 Taxa Nominal e Taxa Efetiva FórmuladoExcel Encontrar a taxa efetiva anual a partir de uma taxa nominal dada. =EFETIVA(taxa_nominal;npera) Taxa_nominal é a taxa de juros nominal. Npera é o número de períodos compostos por ano. Obs: a taxa de juros nominal deve ser ao ano.

34 EquivalênciaFinanceira parajuros compostos Para verificarmos a equivalência devemos transportar os capitais do fluxo que serão comparados para uma mesma data (data focal), lembrando que, quando deslocamos o capital para a direita devemos CAPITALIZÁ-LO. Se fizermos o deslocamento deste para a esquerda devemos DESCAPITALIZÁ-LO. Para os juros compostos, a equivalência se verifica para qualquer data focal.

35 EquivalênciaFinanceira parajuros compostos-generalização Dado um conjunto de títulos A de valores nominais (A1, A2,, An) exigíveis nas datas (P1, P2,, Pn) e um conjunto B de outros títulosde valores nominais (B1, B2,, Bm) exigíveis nas datas (D1, D2,, Dm) são equivalentes à data focal = F, se a soma dos valores nominais de A CAPITALIZADOS / DESCAPITALIZADOS até F for igual à soma dos valores nominais de B CAPITALIZADOS / DESCAPITALIZADOS até F.

36 EquivalênciaFinanceira parajuros compostos-exemplo Uma empresa deve $180000,00 a um banco sendo o vencimento definido em 3 meses a contar de hoje. Prevendo dificuldades de caixa no período a empresa negocia com o banco a substituição deste compromisso por dois outros de valores iguais nos meses 5 e 6 contados de hoje.sendode3,6%a.m.ataxadejuros,pode-se calcular o valor dos pagamentos propostos sendo a data focal: a)hoje b)3meses c)5meses Ver exemplo (7) em Excel na planilha Matematica Financeira 1 na Sheet Juro Composto

37 EquivalênciaFinanceira parajuros compostos(excel) Dadososjuroseosprazos,paraencontrarmos o valor de alguma entrada ou saída do fluxo de caixa que gere a equivalência financeira, podemos usar o solver do Excel. Acessandoosolver(Excel2007): GuiaDados > Solver. Resolveremos o exemplo anterior com o uso da ferramenta Solver do Excel.

38 EquivalênciaFinanceira parajuros compostos(excel) Dados os valores de entrada e saída do fluxo de caixa e os prazos, para encontrarmos a taxa de juro que gera a equivalência financeira. podemos usar a função TIR. = TIR(valores;estimativa) Valores é uma matriz ou uma referência a células que contêm Valores é uma matriz ou uma referência a células que contêm números cuja taxa interna de retorno se deseja calcular. Valores deve conter pelo menos um valor positivo e um negativo para calcular a taxa interna de retorno. TIR usa a ordem de valores para interpretar a ordem de fluxos de caixa. Certifique-se de inserir os valores de pagamentos e rendas na seqüência desejada. Se uma matriz ou argumento de referência contiver texto, valores lógicos ou células em branco, estes valores serão ignorados. Observação: os períodos devem ser inteiros.

39 Convençõesparaperíodosnãointeiros Convenção linear: Capitaliza o período fracionário por meio do uso da capitalização simples. (Esta convenção quase não tem uso em operações financeiras). Convenção exponencial: adota o regime de capitalização composta para todo o período. Ondem/kéapartefracionáriadoperíodo

40 Convençõesparaperíodosnãointeiros Exemplo: VP= i=18%a.a. Período:4anose9meses VF =?(Convenção exponencial) VF= ,50

41 Regime de Capitalização contínua Juros são incorporados sobre o capital e sobre os juros acumulados. A capitalização do juro se dá de forma contínua. VF = VP x e ni Uso restrito para operações que envolvam distribuição uniforme de capitais no fluxo de caixa ao longo do tempo. (Ex: receitas de vendas de supermercado, rentabilidade de título a mercado, etc.)

42 Descontos Definição: Valor Descontado = Valor Nominal - Desconto Valor Descontado: é análogo ao valor atual. Valor Nominal: análogo ao valor futuro.

43 Tipos de desconto Descontos Simples Operações de curto prazo. Composto Operações de longo prazo. Racional (por dentro) Comercial (por fora) Racional (por dentro) Comercial (por fora) Quase não é utilizado

44 Desconto Racional simples Definição: O desconto se dá sobre o valor atual do títilo(valor descontado). Dr = Vd x i x n N -Dr = Vd i é a taxade descontoracionalsimples. n é o prazo do desconto. Como consequência: Ver exemplo (8 e extra) em Excel na planilha Matematica Financeira 1 na Sheet Desconto Simples

45 Desconto Comercial simples Definição: O desconto se dá sobre o valor futuro do títilo(valor nominal). Dc = N x d x n N -Dr = Vd d é a taxade descontocomercialsimples. n é o prazo do desconto. Como consequência: OBS: Este descontoincidesobreoperaçõesbancáriasde curto prazo e no comércio. OBS 2: Cuidado!!! Restrição: n x d < 1 Ver exemplo (8 e extra) em Excel na planilha Matematica Financeira 1 na Sheet Desconto Simples

46 DescontoComercialsimples com despesasbancáriase IOF Sejatataxadedespesasbancárias.Então: Dc = N x(d xn + t + IOF xn dias ) Como consequência, temos: Ver exemplo (9) em Excel na planilha Matematica Financeira 1 na Sheet Desconto Simples

47 Taxa implícitade juros do desconto comercialsimples É a taxa de desconto racional simples que produz o mesmo desconto que o desconto comercial simples (A operação possui o mesmo prazo da taxa de desconto). Dc = Dr Podemos,então,mostrarumarelaçãoentredei. OBS: ié a taxade descontor.s. obtidaparatodoo período. Ver exemplo (10) em Excel na planilha Matematica Financeira 1 na Sheet Desconto Simples

48 Taxa efetivade juros (custo) do descontocomercialsimples É a taxa de juro composto que torna equivalente o valor descontado e o valor nominal do título. (A operação possui prazo diferente ao da taxa de desconto) Vd Dc N 0 n períodos Serve para medir o valor efetivo do desconto comercial. Primeiro calculamos o desconto comercial, e o valor descontado. Depois aplicamos o fator de capitalização composta sobre NeVd. Logo, temos: Ver exemplo (10) em Excel na planilha Matematica Financeira 1 na Sheet Desconto Simples

49 Taxa efetivade juros do desconto comercialsimples Relação entre taxa efetiva e taxa de desconto comercial simples. Cuidado: O prazo das taxas utilizadas no cálculo da fórmula deve ser idêntico ao prazo da operação. Ver exemplo (11) em Excel na planilha Matematica Financeira 1 na Sheet Desconto Simples

50 Taxa efetivade juros do desconto comercialsimples Para pensar: Caso o custo de uma operação (taxa efetiva) de desconto comercial seja mantido constante, qual o comportamento da taxa de desconto ao aumentarmos o prazo da operação? (Resposta: Decrescente com o aumento do prazo). Por que?

51 Desconto para vários títulos Objetivo: Encontrar, de maneira simplificada, a taxa de juros efetiva de um conjunto de títulos com prazos desiguais. Exemplo: Um banco creditou um valor líquido de R$ ,00 na conta de um cliente após efetuar o desconto do seguinte conjunto de duplicatas: Título Valor Nominal Pr. de Antecipação A $ dias B $ dias C $ dias D $ dias Total $26000 Qual é o custo desta operação dedesconto?

52 Desconto para vários títulos Podemos resolver este exemplo calculando a taxa racional de juros aplicada a um prazo médio de operação. Onde n é o prazo médio dado por:

53 Desconto para vários títulos Resolvendo o exercício, temos: Observação: Perceba que esta é uma taxa aproximada. O cálculo correto seria a aplicação da taxa interna de retorno, que será vista adiante.

54 Desconto composto comercial É muito pouco utilizado nas operações financeiras. Seja d a taxa de desconto comercial composto dada para um período. Seja um título que está sendo descontado n períodos antes do vencimento. Então, temos queovalordescontado Vdédadopor: Vd = N(1 d) n O desconto, por sua vez, é dado por: Dc = N[1 -(1 d) n ] Ver exemplo (12) em Excel na planilha Matematica Financeira 1 na Sheet Desconto Composto

55 Desconto composto racional O desconto composto racional é aquele que gera o valor descontado igual ao valor presente obtido pelos juros compostos. Então,temos: Vd=Vp Odescontoéiguala: Mas isso é o mesmo que descapitalizar o valor nominal do título por meio dos juros compostos!!!! Ver exemplo (13) em Excel na planilha Matematica Financeira 1 na Sheet Desconto Composto

56 Inflação A taxa de inflação em um período é dada por: Onde Pn é o valor do índice de preços no instante n. Mês Maio Jun Jul Ago Set Out Nov Dez IGP 649,79 703,38 800,31 903, , , , ,56 Inflação do 2o semestre: I = 1576,56/703,38 1 = 124,14% I(out./dez) = 1576,56/1152,63 1 = 56,15%

57 Inflação Taxa de inflação acumulada. Ex: taxas mensais de inflação ao longo de um quadrimestre: 2,8%; 3,4%; 5,7%; 8,8%. Qual a taxa de inflação acumulada no quadrimestre? Solução: [(1+ 0,028)(1+0,034)(1+0,057)(1+0,08)] - 1= 22,2% a.q. Ataxamédiamensalé:(1+0,222) 1/4-1=5,1%a.m.

58 Inflação Taxa de inflação acumulada: (1+I AC )=(1+I 1 )(1+I 2 )(1+I 3 ) (1+I n ) TaxaMédiadeinflaçãoemumperíodo: (1+I AC ) 1/n =(1+I m ) Valordeflacionado: VD=N(1+I AC ) -1 Taxa de desvalorização da moeda: Ver exemplo (14, 15) em Excel na planilha Matematica Financeira 1 na Sheet Inflação

59 Inflação Taxadejurosrealetaxanominal. A taxa de juros real mede o quanto verdadeiramente se ganhou (ou perdeu) em uma operação. Para isso, devemos descontar dos juros nominais o efeito inflacionário. Logo: (1+i) = (1+r)(1+I) Onde i é a taxa nominal, r é a tx. real e I é a inflação. Ver exemplo (16) em Excel na planilha Matematica Financeira 1 na Sheet Inflação

60 Séries de pagamentos São pagamentos/recebimentos realizados ao longo do tempo. Pagando dívida: Processo de AMORTIZAÇÃO. Investimentos: Processo de CAPITALIZAÇÃO. Valores que devem ser pagos/ recebidos ao longo do tempo: PARCELAS ou TERMOS. Tempo de duração da renda: PRAZO.

61 Séries de pagamentos Classificação das séries de pagamentos. Quanto ao valor das parcelas CONSTANTES: Valores das parcelas são iguais VARIÁVEIS: Valores das parcelas são diferentes PERIÓDICAS: Termos com períodos iguais Quanto aos períodos NÃO PERIÓDICAS: Termos com períodos diferentes TEMPORÁRIAS: número de termos é finito Quanto ao prazo PERPÉTUAS: número de termos é infinito

62 Séries de pagamentos Classificação das séries de pagamentos. Quanto ao peródo de ocorrência ANTECIPADA: Termos exigíveis no início do período. POSTECIPADA: Termos exigíveis no final do período. Quanto ao vencimento IMEDIATA: Termos exigidos a partir do primeiro período DIFERIDA: Termos exigidos a partir de um outro período que não seja o primeiro. CARÊNCIA intervalo de tempo em que não ocorre o pagamento. O modelo básico de fluxo de pagamentos é classificado por: POSTECIPADO; IMEDIATO; TEMPORÁRIO; CONSTANTE; e PERIÓDICO.

63 Séries de pagamentos Classifique as seguintes séries: 1) Compra a prazo em uma loja em 3x iguais, com 3 cheques, sendo o primeiro pago no ato da compra, o segundo para 30 dias e o terceiro para 60 dias. 2) Uma máquina foi comprada mediante 8 pagamentos mensais iguais de R$ 100,00 a uma taxa de juros de 5% a.m.. A primeira prestaçãoépaga4mesesapósacompra.

64 O modelobásicodasériede pagamentos Para a série de amortizações (anuidades), temos:. Taxa de juros i P é o principal que deve ser pago em R parcelas consecutivas ao longo de um período n à taxa de juros i.

65 O modelobásicodasériede pagamentos(tipoanuidade) Qual a relação entre o principal e as parcelas? Para isso devemos tornar o fluxo de parcelas EQUIVALENTE ao principal por meio da equivalência a Juros Compostos. Logo,tomandocomodatafocaloperíodo0,temos: FPV(i,n): Fator de Valor Presente Ver exemplo (17) em Excel na planilha Matematica Financeira 1 na Sheet S. Pgtos.

66 O modelobásicodasériede pagamentos(tipoanuidade) Fórmulas no Excel: Encontrar o Valor Presente de uma anuidade: = VP(taxa,nper,pgto,vf,tipo) Taxa éataxadejurosporperíodo. Nper é o número total de períodos de pagamento em uma anuidade. Pgto é o pagamento feito em cada período (valor constante) Vf é o valor futuro, ou o saldo, que você deseja obter depois do último pagamento (obedecendo o sinal de entrada ou saída). Tipo : 0 (vencimento postecipado); 1 (vencimento antecipado)

67 O modelobásicodasériede pagamentos(tipoanuidade) Fórmulas no Excel: EncontraroValordaTaxadeumasériedepagamentos: =TAXA(nper;pgto;vp;vf;tipo;estimativa) Nper éonúmerototaldeperíodosdepagamentoemuma anuidade.(aunidadeéamesmadoperíododataxa) Pgto é o pagamento feito em cada período (valor constante) Vp é o valor presente (obedecendo o sinal de entrada ou saída) Vf é o valor futuro, ou o saldo, que você deseja obter depois do último pagamento (obedecendo o sinal de entrada ou saída). Tipo : 0 (vencimento postecipado); 1 (vencimento antecipado)

68 O modelobásicodasériede pagamentos(tipoanuidade) Fórmulas no Excel: Encontrar o Valor da parcela de uma série de pagamentos: =PGTO(taxa;nper;vp;vf;tipo) Taxaéataxadejurosporperíodo Nper éonúmerototaldeperíodosdepagamentoemuma anuidade.(aunidadeéamesmadoperíododataxa) Vp é o valor presente (obedecendo o sinal de entrada ou saída) Vf é o valor futuro, ou o saldo, que você deseja obter depois do último pagamento (obedecendo o sinal de entrada ou saída). Tipo : 0 (vencimento postecipado); 1 (vencimento antecipado)

69 O modelobásicodasériede pagamentos Para a série de capitaizações, temos:. Taxa de juros i F é o montante que deve ser recebido após R parcelas de aplicação consecutivas ao longo de um período n à taxa de juros i.

70 O modelobásicodasériede pagamentos(tipocapitalização) Qual a relação entre o montante e as parcelas? Para isso devemos tornar o fluxo de parcelas EQUIVALENTE ao montante por meio da equivalência a Juros Compostos. Logo,tomandocomodatafocaloperíodon,temos: FFV(i,n): Fator de Valor Futuro. Ver exemplo (18) em Excel na planilha Matematica Financeira 1 na Sheet S. Pgtos.

71 O modelobásicodasériede pagamentos(tipocapitalização) Fórmulas no Excel: Encontrar o Valor Futuro de uma aplicação: =VF(taxa;nper;pgto;vp;tipo) Taxa éataxadejurosporperíodo. Nper é o número total de períodos de pagamento em uma anuidade. Pgto é o pagamento feito em cada período (valor constante) Vp é o valor presente (obedecendo o sinal de entrada ou saída) Tipo : 0 (vencimento postecipado); 1 (vencimento antecipado)

72 O modelobásicodasériede pagamentos(tipocapitalização) Fórmulas no Excel: EncontraroValordaTaxadeumasériedepagamentos: =TAXA(nper;pgto;vp;vf;tipo;estimativa) Nper éonúmerototaldeperíodosdepagamentoemuma anuidade.(aunidadeéamesmadoperíododataxa) Pgto é o pagamento feito em cada período (valor constante) Vp é o valor presente (obedecendo o sinal de entrada ou saída) Vf é o valor futuro, ou o saldo, que você deseja obter depois do último pagamento (obedecendo o sinal de entrada ou saída). Tipo : 0 (vencimento postecipado); 1 (vencimento antecipado)

73 O modelobásicodasériede pagamentos(tipocapitalização) Fórmulas no Excel: Encontrar o Valor da parcela de uma série de pagamentos: =PGTO(taxa;nper;vp;vf;tipo) Taxaéataxadejurosporperíodo Nper éonúmerototaldeperíodosdepagamentoemuma anuidade.(aunidadeéamesmadoperíododataxa) Vp é o valor presente (obedecendo o sinal de entrada ou saída) Vf é o valor futuro, ou o saldo, que você deseja obter depois do último pagamento (obedecendo o sinal de entrada ou saída). Tipo : 0 (vencimento postecipado); 1 (vencimento antecipado)

74 Séries de pagamentos Casos especiais Pagamentos com carência (diferidos). Pagamentos/ aplicações não periódicos. Pagamentos/ aplicações com parcelas variáveis. Série infinita de pagamentos.

75 Pagamentoscom carência(diferidos). ComofaçoparaencontrarovalordeP? Observe que, a partir do período k, existe um modelo básico de pagamentos. Então, calculamos o valor do principal desta série em k e depois atualizamosestevalorparaamesmadatadep. Ver exemplo (19, extra) em Excel na planilha Matematica Financeira 1 na Sheet S. Pgtos.

76 Pagamentos/aplicaçõesnão periódicos. ComofaçoparaencontrarovalordeP(oudeF)? É só encontrar o valor atual (ou futuro) de cada termo e depois some para todos os termos. Pronto! VocêachouovalordeP(oudeF). Para P, temos: Para F, temos: Onde j é o período de ocorrência da parcela j

77 Pagamentos/aplicaçõescom parcelas variáveis. ComofaçoparaencontrarovalordeP(oudeF)? É só encontrar o valor atual (ou futuro) de cada termo e depois some para todos os termos. Pronto! VocêachouovalordeP(oudeF). Para P, temos: Para F, temos: Onde j é o período de ocorrência da parcela j

78 Série infinita de pagamentos Tal fato ocorre para pagamentos de longo prazo, como investimento em grandes obras de infraestrutura, pagamentos de aposentadoria, etc. O valor de P para esta série é:

79 Análise de Investimentos Avaliação de fluxos de caixa: Consiste em comparar os valores presentes dos fluxos de caixa de acordo com o regime dos juros compostos.

80 Análise de Investimentos TaxaInternadeRetorno:TIR É a taxa de juros que iguala o valor presente das entradas com o valor presente das saídas previstas de caixa. Sua formulação é dada por: Onde FC j é o valor da entrada/saída do fluxo no período j. Cuidado: A TIR supõe que todas as entradas/saídas são reaplicadas à mesma taxa queatir. Ver exemplo em Excel na planilha Matematica Financeira 1 na Sheet VPL.TIR

81 Análise de Investimentos FunçãonoExcel: Encontrar o valor da taxa interna de retorno =TIR(valores;estimativa) Valores é uma matriz ou uma referência a células que contêm números cuja taxa interna de retorno se deseja calcular (obedecendo o sinal de entradas/saídas). Estimativa é um número que se estima ser próximo do resultado de TIR. Ver exemplo em Excel na planilha Matematica Financeira 1 na Sheet VPL.TIR

82 Análise de Investimentos Valor Presente Líquido (VPL): é o resultado econômico de uma alternativa financeira dado em moeda atualizada para uma determinada taxa de juros. Ver exemplo (20) em Excel na planilha Matematica Financeira 1 na Sheet VPL.TIR

83 Análise de Investimentos Se a taxa de desconto mínima aceitável for maior que a TIR do projeto, a tomada de capital deve ser aceita, pois produzirá VPL>0 Se a taxa de desconto mínima aceitável for menor que a TIR do projeto, a aplicação de capital deve ser aceita, pois produzirá VPL>0

84 Análise de Investimentos FunçãonoExcel: Encontrar o valor da taxa interna de retorno =VPL(taxa;valor1;valor2;...) Taxa é a taxa de desconto sobre o intervalo de um período. Valor1;valor2;... sãoargumentosde1a254 que representam os pagamentos e a receita. (Obedecendo ao sinal de entrada/saída) Ver exemplo em Excel na planilha Matematica Financeira 1 na Sheet VPL/TIR

85 Análise de Investimentos Índice de Lucratividade(IL): É dado por: Taxaderentabilidade(TR):Édadopor: Ver exemplo em Excel na planilha Matematica Financeira 1 na Sheet VPL.TIR

86 Comparaçãoentre métodosde análise de investimento PROJETOS INDEPENDENTES (não há restrições de os projetos serem aceitos ao mesmo tempo, desde que sejam atraentes.) Exemplo: Projeto Invest. Ano1 Ano2 Ano3 Ano4 Ano5 A -$100,00 $30,00 $34,00 $35,00 $35,00 $38,00 B -$200,00 $68,00 $68,00 $66,00 $64,00 $64,00 C -$180,00 $50,00 $54,00 $58,00 $60,00 $62,00 Projeto VPL TIR IL TR Decisão A $5,80 20,4% a.a. 1,058 5,8% Aceitar B $7,60 19,7% a.a. 1,038 3,8% Aceitar C -$5,50 16,7% a.a. 0,969-3,1% Rejeitar

87 Comparaçãoentre métodosde análise de investimento PROJETOS MUTUAMENTE EXCLUDENTES Caso 1) Tamanhos diferentes(exemplo) Projeto Invest. Ano1 Ano2 Ano3 VPL IRR A -$450,00 $320,00 $230,00 $180,00 $80,60 32,5%a.a. B -$900,00 $360,00 $250,00 $900,00 $94,40 25,6%a.a. Suponhamos que a taxa mínima de atratividade sejade20%a.a. Estamos num impasse, pois o VPL aponta numa direção enquanto o IRR vai para outro caminho.

88 Comparaçãoentre métodosde análise de investimento Para resolver tal problema vamos apelar para o método dos valores incrementais de Fischer. Projeto Invest. Ano1 Ano2 Ano3 VPL IRR A -$450,00 $320,00 $230,00 $180,00 $80,60 32,5% a.a. B -$900,00 $360,00 $250,00 $900,00 $94,40 25,6% a.a. B-A -$450,00 $40,00 $20,00 $20,00 $13,8 21,3% a.a. O investimento incremental (B-A) apresenta TIR igual a 21,3% a.a. significando que os dois investimentos igualam seus VPL à taxa de 21,3% a.a.(intersecção de Fischer). Portanto, podemos concluir que até 21,3% de taxa de retorno, o investimentobémelhordoqueoa.paravaloresmaioresdetaxa,o investimentoaémelhordoqueob.

89 Comparaçãoentre métodosde análise de investimento Graficamente, temos:

90 Comparaçãoentre métodosde análise de investimento PROJETOS MUTUAMENTE EXCLUDENTES Caso 2) Mesma escala(exemplo) Projeto Invest. Ano1 Ano2 VPL IRR A -$500,00 $650,00 $100,00 $111,1 43,9%a.a. B -$500,00 $80,00 $820,00 $136,10 36,3%a.a. Suponhamos que a taxa mínima de atratividade sejade20%a.a. Estamos num impasse, pois o VPL aponta numa direção enquanto o IRR vai para outro caminho.

91 Comparaçãoentre métodosde análise de investimento Para resolver tal problema vamos apelar para o método dos valores incrementais de Fischer. Projeto Invest. Ano1 Ano2 VPL IRR A -$500,00 $650,00 $100,00 $111,1 43,9%a.a. B -$500,00 $80,00 $820,00 $136,10 36,3%a.a. B-A $0 -$570,00 -$720,00 26,3% a.a. O investimento incremental(b-a) apresenta TIR igual a 26,3% a.a. EntãoBépreferívelaAatéataxade26,3%a.a. Mas, neste caso, é mehor observarmos a taxa mínima de atratividade e as possibilidades de reinvestimento.

92 Comparaçãoentre métodosde análise de investimento PROJETOS MUTUAMENTE EXCLUDENTES Caso 3) Restrições de capital: Investimentos com diferentes quantias demandadas para aplicação, mas que geram o mesmo VPL. A melhor ferramenta de análise, neste caso, é a TR (Taxa de rentabilidade)

93 Custo Equivalente Anual Sãoasparcelasanuaisquerepresentamocustodo investimento. Serve como padrão de comparação para outras estruturas de custos. Exemplo: Uma empresa adquiriu um caminhão por Exemplo: Uma empresa adquiriu um caminhão por $60.000,00.Avidaútilestimadadesteveículoéde 5anosevalorresidualde20%dovalordacompra. Os custos operacionais anuais de manutenção e operação do caminhão estão previstos em $8200,00/ano. Calcule o custo equivalente anual. (considerarataxadejurocomo12%a.a.)