A Method with Paraconsistent Partial Differential Equation Used in Explicit Solution of Onedimensional

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1 A Method with Paraconsistent Partial Differential Equation Used in Explicit Solution of Onedimensional Heat Conduction J. I. Da Silva Filho, Member, IEEE and C. M. Cruz, Member, IEEE Abstract Paraconsistent mathematics, also called Inconsistent Mathematics, is considered as the study of common mathematical objects, such as sets, numbers and functions, where some contradictions are allowed. Within certain conditions, Paraconsistent logic (PL), which is a non-classical Logic, presents as main property tolerance contradiction in its fundamentals without that the conclusions are invalidated. The PL in its structural form, which uses two annotation values-palv, can be used to substantiate a Differential Calculus with Paraconsistent derivative of first and second order. We introduce here the Paraconsistent Partial Differential Equation (PPDE) aligned with processes of numerical methods for an example application in analysis with explicit solution of temperature distribution in onedimensional way. To obtain the results was used an analogy of application of PPDE with the law of heat conduction of Fourier, considering the same mathematical procedures of finite differences. eywords paraconsistent logic, paraconsistent differential calculus, numerical methods, heat transfer. I. ITRODUÇÃO A OSSA tecnologia atual é toda fundamentada em Lógica Binária, que, devido a esta ser originaria dos estudos dos antigos filósofos gregos, também ficou conhecida como Lógica Clássica ou Aristotélica []. Juntamente com as exigências de maiores índices de confiabilidade, de maior produção com menores desperdícios veio a necessidade de diminuir os limites aceitáveis das medições, criando intervalos de decisão muito pequenos. estes casos verificou-se que a Lógica Clássica, com as suas rígidas leis binárias, que não consideram a existência da contradição, não responde bem a estas condições limítrofes []. Portanto, apesar dos reconhecidos avanços tecnológicos baseados na Lógica Clássica surgiram necessidades do encontro de novas formas para a concepção de modelos de sistemas físicos, tais que estes se mostrem mais eficientes para responder às análises que tratam com condições limites [3]. Respondendo a este problema existem hoje diferentes lógicas conhecidas como não-clássicas que trazem em seus fundamentos princípios que, de certa forma, violam as leis que fundamentam a Lógica Clássica [,]. As teorias matemáticas sustentadas por estas lógicas que, em certos aspectos, contradizem as rígidas leis da lógica clássica, têm se mostrado bastante eficientes em diversos campos do conhecimento [,4]. J. I. Da Silva Filho, Universidade Santa Cecília (UISATA), Santos, São Paulo, Brasil, inacio@unisanta.br C. M. Cruz, Centro Universitário Monte Serrat (UIMOTE), Santos, SP, Brasil, clovis.m.cruz@ieee.org Utilizaremos neste trabalho a Lógica Paraconsistente (LP) em sua forma especial denominada de Lógica Paraconsistente Anotada (LPA) que tem em sua representação um Reticulado Associado permitindo assim a elaboração de técnicas algorítmicas em aplicações diretas e que tem trazido resultados bastante promissores. Para o Cálculo Diferencial Paraconsistente usamos a LPA em sua forma estrutural na qual se utiliza anotação com dois valores (LPAv) em resoluções de problemas relacionados a sistemas físicos []. A. Lógica Paraconsistente Lógica Paraconsistente (LP) é uma lógica não-clássica que revoga o principio da não-contradição e admite o tratamento de informações contraditórias na sua estrutura teórica. Entre os precursores da Lógica Paraconsistente encontra-se o ógico polonês J. Lukasiewicz e o fiósofo russo.a. Vasilév, que, de maneira independente, sugeriram a possibilidade de uma lógica que restringiria, por exemplo, o princípio de contradição [][]. Os sistemas iniciais de Lógica Paraconsistente, contendo todos os níveis lógicos, envolvendo, cálculos proposicionais, de predicados e de descrições, bem como lógicas de ordem superior, deve-se a.c.a. da Costa (954 em diante) [,] [4]. Baseado em seus estudos existem hoje, inclusive, sistemas paraconsistentes de teorias de conjuntos, estritamente mais fortes do que os clássicos, sendo, então, considerados como subsistemas paraconsistentes []. B. Lógica Paraconsistente Anotada com anotação de dois valores (LPAv) A Lógica Paraconsistente Anotada LPA pertence a família de lógicas paraconsistentes e pode ser representada de modo particular, através de um Reticulado de quatro Vértices em que, intuitivamente, as constantes de anotação representadas nos seus vértices vão dar conotações de estados Lógicos extremos às proposições [] [4]. Conforme visto em [] e [4] pode-se obter através da LPA uma representação sobre o quanto as anotações, ou evidências, expressam o conhecimento sobre uma proposição P. Isso é feito utilizando um Reticulado formado por pares ordenados de valores (μ, λ), os quais comporão a anotação, conforme é visto na Fig.. esta representação, é fixado um operador ~: τ τ onde: τ {(μ, λ) μ, λ [0, ] R}. Se P é uma fórmula básica, então: ~ [(μ, λ)] (λ, μ ) onde, μ, λ [0, ] R.

2 O operador ~ constitui o significado do símbolo lógico de negação do sistema que será considerado. Figura. Reticulado Associado a LPAv. Podem-se relacionar os estados Lógicos Paraconsistentes extremos, representados nos quatro vértices do Reticulado, com os valores dos Graus de Evidência favorável (μ) e desfavorável (λ), da seguinte forma: P T P (, ) A anotação (μ, λ) (, ), atribui à proposição P uma leitura intuitiva que P é inconsistente. P V P (, 0) A anotação (μ, λ) (, 0), atribui à proposição P uma leitura intuitiva que P é verdadeira. P F P (0, ) A anotação (μ, λ) (0, ) atribui à proposição P uma leitura intuitiva que P é falsa. P P (0, 0) A anotação (μ, λ) (0, 0), atribui à proposição P uma leitura intuitiva que P é indeterminada. o ponto interno equidistante dos quatro vértices do Reticulado tem-se a seguinte interpretação: P I P (0,5; 0,5) A anotação (μ, λ) (0,5; 0,5), atribui à proposição P uma leitura intuitiva que P é Indefinida. ) Aumento da Escala de no QUPC, que é dado pela transformação linear: T (x,y) ( x, y). ) Rotação de 45 o em relação à origem no QUPC expandido, que resulta na transformação linear:. T ( x, y) x y, x+ y 3) Translação do eixo dos y, que é dada por: T ( x, y) 3 ( x y, x+ y ). Para a obtenção da equação final fazse a composição T 3 ө T ө T, obtendo: T( X, Y) x y, x+ y ( ), representada pela equação: T( X, Y) x y, x+ y () Portanto, através da equação () pode-se converter pontos do QUPC, que representam anotações de τ, em pontos de κ, que também representam anotações de τ [][4]. Relacionando os componentes da transformação T(X,Y), conforme a nomenclatura usual da LPAv vem que: x μ Grau de evidência favorável y λ Grau de evidência desfavorável O primeiro termo X obtido no par ordenado da equação da transformação () denomina-se de Grau de Certeza G C, calculado por: GC μ λ () Seus valores, que pertencem ao conjunto R, variam no intervalo fechado - e + e estão no eixo horizontal do Reticulado de valores denominado de Eixo dos graus de certeza. O segundo termo Y obtido no par ordenado da equação da transformação () denomina-se de Grau de Contradição G ct que é calculado por: Gct μ + λ (3) Os valores de Gc e Gct são expostos no Reticulado associado à LPAv, conforme mostra a Fig. (b). C. O Reticulado de valores da LPAv Considera-se um Quadrado Unitário no Plano Cartesiano (QUPC) como o Reticulado τ com o sistema de coordenadas onde os valores do Grau de Evidência favorável (μ) ficam representados no eixo x, e os valores do Grau de Evidência desfavorável (λ) no eixo y [] [4]. O Quadrado Unitário é visto na Fig. (a). o sistema τ certa anotação (μ, λ) pode ser identificada com o ponto do plano em outro sistema κ representado por outro Reticulado de quatro Vértices como o mostrado na Fig.(b). Para isto, fixa-se um sistema de coordenadas para τ e definem-se transformações entre o QUPC e κ. Para a obtenção de uma equação que relaciona as transformações lineares entre o QUPC e o reticulado κ, tal que κ pode ser obtido a partir de QUPC, é encontrada através de três fases, que consistem em: Figura. (a) Quadrado Unitário no Plano cartesiano QUPC. (b) Reticulado κ munido de um novo sistema de coordenadas. Os valores resultantes de G ct pertencem ao conjunto R, variam no intervalo fechado + e - e estão expostos no eixo vertical do Reticulado τ denominado de Eixo dos graus de contradição [4]. Sendo assim, no Reticulado de valores κ, quando G C resultar em + significa que o estado lógico resultante da análise paraconsistente é Verdadeiro e, quando

3 G C resultar em - significa que o estado lógico resultante da análise paraconsistente é Falso. Da mesma forma, no Reticulado de valores κ quando G ct resultar em + significa que o estado lógico resultante da análise paraconsistente é Inconsistente T, e quando G ct resultar em - significa que o estado lógico resultante da análise paraconsistente é Indeterminado. A partir da equação () pode-se obter o Grau de Evidência Resultante, que é construído pela normalização do Grau de Certeza: μ Er ( μ λ) + (4) O conceito de estado Lógico Paraconsistente ε τ pode então ser correlacionado ao conceito fundamental de estado, como o estudado na ciência física [4], sendo: ε τ(μ, λ) (μ - λ, μ + λ - ), ou então: ( G G ) ε (5) τ ( μ, λ) C, ct onde: ε τ é o estado Lógico Paraconsistente. G C é o Grau de Certeza obtido pela equação (). G ct é o Grau de Contradição obtido pela equação (3). Em uma medição estática das Variáveis Observáveis no mundo físico, na qual se obtém os valores de Graus de Evidência favorável (μ) e desfavorável (λ) para a determinação dos Graus de Certeza (G C ) e de Contradição (G ct ), sempre é encontrado um único estado Lógico Paraconsistente ε τ relacionado às duas informações. Isto pode ser observado na Fig. 3. II. CÁLCULO DIFERECIAL PARACOSISTETE Da definição de Derivada, de maneira geral considera-se que, no limite, quando os dois pontos de intersecção com o gráfico de uma função f convergem para um mesmo ponto P, a inclinação da secante é igual à da tangente [5]. este caso, o declive da secante ao gráfico de f que passa pelos pontos (x,f(x)) e (x + h,f(x + h)) é dado pelo quociente de ewton [6]: f ( x+ h) f ( x) Q( x, h). h A dedução da derivada pelo método de ewton obriga um tratamento que consiste em ignorar grandezas consideradas infinitamente pequenas [3], tratando igualmente como pequenas e, portanto desprezíveis. Para estabelecer um método de Calculo Diferencial Paraconsistente [6], onde valores contraditórios não serão desprezados, considera-se inicialmente o quociente de ewton escrito como: Q( y, Δ x). Pode-se aplicar a este um Fator de normalização que tem como objetivo colocar seus valores dentro dos limites do Reticulado da Lógica Paraconsistente Anotada com anotação de dois valores (LPAv) [] [6]. Portanto: (6) Q( y, Δ x) a equação (6) são identificados no Quociente de ewton os Graus de Evidência da anotação da LPAv, tal que: f ( x+) μ Grau de Evidência favorável. f ( x) λ Grau de Evidência desfavorável O fator de ajuste garante que 0 λ e 0 μ. Com estas considerações no modelo Lógico Paraconsistente [6] se origina o Grau de Certeza do quociente de ewton, tal que: GC Q( y, x) (7) Δ E o Grau de Contradição do quociente de ewton, tal que: G (, ) + (8) ctq y o modelo da LPAv o valor de pode ser estimado como f ( x) e o seu valor vai definir o Grau de Contradição do quociente de ewton. Como o seu valor estabelece o local no Reticulado da LPAv onde se encontrará o estado Lógico Paraconsistente, então faz-se: y e denominamos max de Fator de ormalização de ewton. Figura 3. O estado lógico paraconsistente ε τ obtido no Reticulado de valores da LPAv a partir de duas medições em fontes de informação no mundo físico. físico. Com na obtenção do valor final da Derivada o Grau de Contradição do quociente de ewton será próximo de h ψ, que é uma constante de equilíbrio equivalente a constante de Planck, denominado de Fator Lógico Paraquântico, conforme visto em [7] e [8].

4 A. Derivada Paraconsistente de primeira Ordem A partir do Fator de ormalização de ewton inserido no Modelo Lógico Paraconsistente [6] é obtido o quociente de ewton Paraconsistente, ligado ao Grau de Certeza: (9) Onde: PQ é o quociente de ewton Paraconsistente. ( ) é um fator de ormalização que pode levar ao valor do Grau de Contradição final escolhido na análise como o Fator de Quantização Paraquântico h ψ. O valor da Derivada Paraconsistente [7,8] no mundo físico é obtido pela reaplicação do Fator de ormalização de ewton no resultado do quociente de ewton Paraconsistente [7]: ' y PQ (0) ( ) Exemplos de aplicação da Derivada Paraconsistente de primeira ordem podem ser visto em [6] e [7]. B. Derivada Paraconsistente de segunda Ordem Considerando que a derivada primeira é obtida com o cálculo do Quociente de ewton Paraconsistente pela equação (9), o Grau de Certeza do quociente de ewton da derivada primeira é escrito na forma de: GC Q ( ) () Aplicando a equação (4) este valor do Grau de Certeza será normalizado, transformando-se em Grau de Evidência favorável para a segunda Derivada, portanto: + μ Q( ) () Para a representação da derivada paraconsistente de segunda ordem, quando o valor de Δ x diminui será o Grau de Evidencia desfavorável λ quem se aproximará do Grau de Evidência favorável μ [7]. Portanto, a equação do quociente de ewton paraconsistente do segundo ponto, ou segundo estado Lógico paraconsistente, obtido no Reticulado para a derivada paraconsistente segunda [8], fica: f ( x) f ( x) (3) f ( x) μ Segundo Grau de Evidência favorável. f ( x) λ Segundo Grau de Evidência desfavorável. Sendo assim, o Grau de Certeza do segundo estado Lógico é calculado, por: f ( x) f ( x) GC Q( ) (4) Para transforma-lo em Grau de Evidência desfavorável para a segunda derivada da mesma função f(x), fica GC Q( ) + λ Q( ), ou então: f ( x) f ( x) + λ Q( ) (5) esta segunda representação da derivada paraconsistente quando o valor de diminui o Grau de Evidencia desfavorável λ se aproxima do Grau de Evidência favorável μ. Dessa forma a segunda derivada paraconsistente será: μ Q( ) λ Q( ) (6) ou então, fazendo () e (5) em (6): PQ ( ) ( +Δ ) ( ) ( ) ( Δ ) f x x f x f x f x x + + Rearranjando, o quociente de ewton Paraconsistente para função de segunda ordem fica: f ( x) f ( x) (7) ( ) onde: PQ valor final da derivada paraconsistente segunda da ( ) função f(x). é o fator de ormalização cuja ação permite o tratamento dos sinais conforme os fundamentos da LPAv. Para fazer a recuperação e assim obtendo-se o valor da segunda derivada da função f(x) no universo físico real, faz-se: " y PQ (8) ( ) " onde: y valor final da derivada segunda no mundo real. Exemplos de aplicação da Derivada Paraconsistente de segunda ordem podem ser visto em [6] e [8]. III. EQUAÇÃO DIFERECIAL PARCIAL PARACOSISTETE (EDPP) A Equação Diferencial Parcial Paraconsistente (EDPP) é obtida a partir das equações das Derivadas Paraconsistentes de primeira e segunda ordem vistas no item anterior. A EDPP é representada na Lei de condução de calor de Fourier [9] e sua resolução será feita considerando os mesmos procedimentos matemáticos das Diferenças Finitas. A. Equação de Condução de Calor A Equação de condução de calor é fundamentada em equação de derivadas parciais e foi construida a partir de um modelo matemático para a difusão de calor em sólidos [9]. Existem diversas variações da equação de condução de calor e na matemática ela se apresenta como uma equação parabólica em derivadas parciais [9]. Tomamos inicialmente um balanço de calor para um elemento infinitesimal na barra (ou haste) isolada, longa e fina no qual, ao examinar o caso estacionário, também considerará as quantidades de calor armazenadas no elemento em um

5 período t. Tal balanço poderá ser feito da seguinte forma: Entradas Saídas Armazenado q( x) ΔΔΔ y z t q( x+) ΔΔΔΔΔΔ y z t x y zρcδ T Dividindo pelo volume do elemento ( ΔΔΔ x y z) e Δ t ; q( x) ΔΔΔ y z t q( x+) ΔΔΔ y z t ΔΔΔ x y zρcδt, obtémse: ΔΔΔΔ x y z t ΔΔΔΔ x y z t q( x) q( x+) ΔT ρc onde, no limite, resulta na Δt equação da quantidade do calor armazenado em relação ao tempo [9]: q T ρc (9) x B. Equação de Condução de Calor de Fourier este trabalho vamos representar a Equação Diferencial Parcial Paraconsistente (EDPP) na Equação de Condução de Calor de Fourier [9,0]. A lei de Fourier especifica que o fluxo de calor perpendicular ao eixo i é proporcional ao gradiente ou inclinação da temperatura na direção i. O fluxo de calor com a temperatura é regido pela conhecida lei de condução de calor de Fourier [0], representada pela equação: T ρ (0) qi k C i qi é o fluxo de calor na direção da dimensão i (cal/cm.s). k é o coeficiente de difusividade térmica (cm /s). ρ é a densidade do material (g/cm 3 ). C é a capacidade calorífica do material (cal/g. o C). T é a temperatura, definida por H, onde H é o T ρcv calor (cal) e V é o Volume (cm 3 ). O sinal negativo garante que um fluxo positivo na direção i resulta de uma inclinação negativa de alta para baixa temperatura. A equação (9) pode ser escrita como: T q () xρc Fazendo (0) em () resulta na Equação de Condução de Calor de Fourier unidimensional [9,0]: T T k x () A solução da equação () consiste em encontrar as soluções ao mesmo tempo e no espaço para uma equação diferencial de primeira ordem em função do tempo, e de uma equação diferencial de segunda ordem em função da posição. Equações parabólicas como estas podem ser resolvidas utilizando procedimentos de Calculo umérico onde se substitui as derivadas parciais por diferenças divididas finitas [9][]. este trabalho utilizaremos os procedimentos das Diferenças Finitas aplicando as Derivadas Paraconsistentes de primeira e de segunda ordem [7,8]. C. Equação Diferencial Parcial Paraconsistente da Lei de Condução de Calor de Fourier Inicialmente, para a Derivada Paraconsistente de primeira ordem em relação ao tempo aplicada no primeiro termo da equação () pode-se fazer a igualdade com a equação (0): T ' y. PQ. Sendo T( t+δt) f () t ( ) PQ ( ), Δt tem-se: T T( t+δt) f () t (3) Δt Para a Derivada Paraconsistente de segunda ordem em relação ao espaço, aplicada no segundo termo da equação (), é feito a igualdade com a equação (8): T " y. PQ.Sendo: ( ) x ( T( x+) T( x) ) + ( T( x) T( xδ x) ) +, ( ) que pode ser escrito na forma; T( x+) T( x) T( x) T( x) + + ( ) ( ) Aplicando a equação (8) resulta em: T( x+) T( x) T( x) T( x) + + (4) T x ( ) ( ) Portanto, com as equações (3) e (4), a lei da Condução de Calor de Fourier na equação () pode ser apresentada na forma de Derivadas Paraconsistentes, tal que: T( x+) T( x) T( x) T( x) + + T( t+δt) f () t. k Δt ( ) Rearranjando e fazendo: β k Δt ( ), pode-se escrever a Equação Diferencial Parcial Paraconsistente da lei de Condução de Calor de Fourier como: T( x+) T( x) T( x) T( x) + + (5) T( t t) f () t +Δ β Conforme as considerações da LPAv, verifica-se que a equação (5) pode ser considerada como dois Graus de Certeza:. O primeiro é o Grau de Certeza de relação de tempo G. Portanto, como este Grau de Certeza é a Derivada Ctempo Paraconsistente de primeira ordem em relação ao tempo, então, para o tempo tem-se: t T( t+δt) μ + Grau de Evidência favorável. t T() t λ + Grau de Evidência desfavorável.

6 . O segundo é o Grau de Certeza de relação de espaço G. Como este Grau de Certeza é a Derivada Paraconsistente Cx de segunda ordem em relação ao espaço, então tem-se no espaço: T ( x+) T( x) + x μ + Grau de Evidência favorável. T( x) T( x) + x Grau de Evidência desfavorável. λ + A lei da Condução de Calor de Fourier na equação (5) pode ser apresentada em LPAv como G Ctempo βg Cx ou então: t+ t+ x+ x+ μ λ β μ λ (6) Para as condições impostas pela lei de de Condução de Calor de Fourier verifica-se que o Grau de Evidência favorável em relação ao tempo é o resultado de uma medição de temperatura na próxima iteração. Isolando este termo na equação (6), tem-se o Grau de Evidência favorável: μ β μ λ + λ t+ x+ x+ t+ (7) Portando, para obter o valor da Temperatura multiplica-se o valor do Grau de Evidência por : t T ( t+δ t). μ + (8) Para obter o valor da temperatura para n iteração, faz-se: t+ x+ x+ t+ μ i+ β μ λ + λ i i (9) com i 0 Aplicando a equação (3), calcula-se o Grau de Contradição: t+ t+ Gcttempo μ + λ (30) Este valor de Gct pode ser utilizado para controle e verificação da instabilidade do proceso. IV. EXEMPLO DE APLICAÇÃO DA (EDPP) A AALISE DE CODUÇÃO DE CALOR Apresenta-se a seguir um exemplo da aplicação da EDPP na analise de condução de calor unidimensional em uma barra. Considera-se uma barra de alumínio com 50 cm de comprimento e dimensões desprezíveis em relação ao eixo y e z. A barra está isolada termicamente em ambos os lados de modo a não trocar calor com o ambiente externo. Inicialmente, essa barra foi mantida a uma temperatura constante de 0 C e suas extremidades foram mantidas a 0 C para o tempo t >0. A difusividade térmica para o alumínio é dada por k cm /s e o espaçamento sugerido para a análise é de 5 cm, com intervalos de tempo de Δt 5 s. a resolução, inicialmente calcula-se o β : Δt 5 β. k 0,4. 5 ( ) ( ) A Equação Diferencial Parcial Paraconsistente utilizada será a (9) e o Fator de ormalização de ewton para a primeira iteração será: ymax k 0. Obedecendo as condições de contorno, inicia-se com: T( x+δ x) 0 e T( xδ x) 0. Em seguida calcula-se o valor do Grau de Evidência para cada iteração: t μ , t μ , t μ , Da equação (0) calcula-se a temperatura transformando os Graus de Evidência obtidos em graus Celsius. Para a primeira iteração: t T( t+δ t). μ + 0+ T( t+δ t) 0, T( t+δ t) 5, o C. Modificam-se estes valores até que o número de iterações seja suficiente para deixar os resultados próximos de zero. Para exemplificar, a tabela I e a tabela II mostram os valores obtidos em 7 primeiras iterações, e o gráfico na Fig. 4 mostra os resultados obtidos para 00 iterações (500 segundos). TABELA I GRAUS DE EVIDÊCIA RESULTATES (µ ER ) DA AALISE EDPP O EXEMPLO DA BARRA DE ALUMÍIO Tempo (s) ,00 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0 0,00 0,57 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 5 0,00 0,48 0,68 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0 0,00 0,4 0,64 0,70 0,7 0,7 0,7 0,70 5 0,00 0,38 0,6 0,69 0,7 0,7 0,7 0, ,00 0,35 0,58 0,68 0,70 0,7 0,70 0, ,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 TABELA II VALORES RESULTATES DA TEMPERATURA EM GRAUS CELSIUS ( O C) OBTIDOS PELA AALISE EDPP O EXEMPLO DA BARRA DE ALUMÍIO. Tempo (s) ,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0 0,0 6,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 5 0,0 3,6 9, 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0 0,0,0 8, 9,8 0,0 0,0 0,0 9,8 5 0,0 0,8 7,3 9,5 9,9 0,0 9,9 9,5 30 0,00 9,97 6,5 9, 9,9 9,9 9,8 9, 060 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

7 [8] J. I. Da Silva Filho. Paraconsistent Differential Calculus (Part II): Second- Order Paraconsistent Derivative. Applied Mathematics, 5, 4-5. doi: 0.436/am [9] M.. Ozisik. Heat Conduction. John Wiley & Sons, ew York, USA, 980. [0] G. D. Smith. umerical Solution of Partial Differential Equations. Oxford Mathematical Handbooks, ewyork, 97. [] E. Delgado, M. A. Duarte. Synchronization of Fractional-Order Systems of the Lorenz type: The on- adaptive Case. IEEE Latin America Transactions, Vol., (40-45) o. 3, May 04. Figura 4. Gráfico da distribuição da temperatura utilizando a EDPP no exemplo da barra de alumínio para 00 iterações. V. COCLUSÃO este trabalho apresentamos um Cálculo Diferencial Paraconsistente que é sustentado pela Lógica Paraconsistente Anotada em sua forma especial que utiliza dois valores (LPAv). Mostrou-se um exemplo de sua aplicação na análise de distribuição de Temperatura de condução de calor unidimensional onde os resultados obtidos foram alinhados a processos de Cálculo umérico que utilizam as técnicas de Diferenças Finitas (DF). Apesar dos valores serem similares aos encontrados no método DF a Equação Diferencial Parcial Paraconsistente (EDPP) traz como vantagem o fato de que seus resultados são visualizados no Reticulado associado à Lógica Paraconsistente Anotada de anotação com dois valores (LPAv). Sendo assim, este trabalho contribui de forma a trazer novos subsídios nas técnicas de resolução em cálculo de distribuição de temperatura utilizando como base a Lógica Paraconsistente. Em trabalhos futuros com a EDPP podem-se fazer análises mais apuradas sobre a instabilidade térmica, não só através dos Graus de Evidencia (µ Er ), como também pela verificação do comportamento do Grau de Contradição (Gct) e da propagação do estado lógico Paraconsistente no Reticulado da LPAv, a medida que os cálculos vão sendo efetivados. João Inácio Da Silva Filho é graduado em Engenharia Elétrica pela Universidade Santa Cecília (UISATA), Santos, SP, Brasil, em 98. Obteve o título de mestre em Engenharia Elétrica pela Escola Politécnica da Universidade Estadual de São Paulo (POLI/USP) em 999, e de Doutor, em Engenharia Elétrica pela mesma Instituição, em 00. Atualmente é professor/pesquisador do Laboratório de Lógica Paraconsistente Aplicada LaboLPA na Unisanta, em Santos-SP. Clovis Misseno da Cruz é graduado em Engenharia Elétrica pela Universidade Santa Cecília (UISATA), fez pósgraduação em Engenharia da Computação- Universidade Federal de Uberlândia (UFU) e 05 recebeu o título de Mestre em Engenharia Mecânica pela Universidade Santa Cecília (UISATA). Atualmente é Consultor em Telecomunicações na Telefónica e atua como pesquisador do Laboratório de Lógica Paraconsistente Aplicada LaboLPA na Unisanta, em Santos-SP, Brasil. REFERÊCIAS [].C.A. Da Costa, On Paraconsistent Set Theory. Logique et Analyse, 5, [] J. I. Da Silva Fiho, G. Lambert-Torres, G. and J. M. Abe. Uncertainty Treatment Using Paraconsistent Logic - Introducing Paraconsistent Artificial eural etworks. IOS Press, p.38 pp. Volume, etherlands, 00. [3] D.F. Rogers, and J.A. Adams. Mathematical Elements for Computer Graphics. nd Edition, McGraw-Hill, ew York [4] J. I. Da Silva Filho, A. Scalzitti. Análises de Sinais de Informações em Lógica Paraconsistente Anotada, Revista Seleção Documental,.4 Ano 4 ISS , (-6) pp - Ed. Paralogike - Brasil, 009. [5]. D. Stroyan,. and W.A.J. Luxemburg. Introduction to the Theory of Infinitesimals. Academic Press, ew York [6] J. I. Da Silva Filho. An Introduction to Paraconsistent Integral Differential Calculus: With Application Examples. Applied Mathematics, 5, doi: 0.436/am [7] J. I. Da Silva Filho. Paraconsistent Differential Calculus (Part I): First- Order Paraconsistent Derivative. Applied Mathematics, 5, doi: 0.436/am